江苏省灌云高级中学期中考试高二数学文科试卷

江苏省灌云高级中学高二年级上学期期中考试
数 学 试 卷（文科）
注意事项： 2014/11/25
1、本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间120分钟.
2、所有试题的答案均填写在答题纸上，答在试卷上无效.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位．．．．．．． 置上．．
． 1.不等式(1)1x x x +≤+的解集为 ▲ .
2.在△ABC 中，135A =︒，15B =︒，1c =，则这个三角形的最大边的长为 ▲ .
3.等差数列{}n a 中，252,4a a ==，则21S = ▲ .
4.已知关于x 的不等式
x a
b x
+≥的解集是[1,0)-，则a b += ▲ . 5. 等比数列{}n a 前n 项和为221n n S p =++（p 为常数），则p = ▲ .
6. 已知2z x y =-，其中,x y 满足条件12y x
x y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则z 的最大值为 ▲ .
7．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ▲ . 8. 在△ABC 中，2,3,4a b c ===，则AB 边上的中线CM 长为 ▲ . 9. 点(1,2)A -在直线(1)0a x y a --+=上方，则实数a 的取值范围是 ▲ . 10．若ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，且()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆的形状 为 ▲ .
11. 已知正实数,x y 满足1x y +=，则1
2x y
-
的最大值为 ▲ . 12.在ABC ∆中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=+，1c =，则ABC ∆内切圆半径的取值范围为 ▲ .
13. 数列{}n a 前n 项和为n S ，已知11
3
a =
，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为 ▲ .
14.已知△ABC 的三边长为,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，则
b
a
的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）
在△ABC 中，2c =，(sin ,sin ),(cos ,cos )m A B n B A ==，sin 2m n C = （1）求
sin sin a b
A B
++的值；
（2）若a b ab +=，求△ABC 的面积S .
16. （本题满分14分） 已知函数2()1f x x ax =-+
（1）若a 为实数，求关于x 的不等式()1f x >的解集；
（2）若对任意的[2,5]x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
17. （本题满分14分）
在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，已知2514,,a a a 成等比数列，且20400S = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .
18. （本题满分16分）
在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5
82
2
2
bc
b c a -=-，a =3, △ABC 的面积 为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d . (1)求角A 的正弦值； (2)求边b ，c 的长； (3)求d 的取值范围.
19．（本题满分16分）
如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =
海里，AD =事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4
PAQ π
∠=
（其中P 、
Q 分别在边BC 、CD 上）
，搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．
（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围；
（2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．
20. （本题满分16分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+（*n N ∈）
（1）求12,a a 的值；
（2）求证：数列{2}n S +是等比数列；
（3）抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第32n -项，……，余下的项顺序不变，组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和为n T .
A
B
C D P
Q
高二期中考试数学（文科）参考答案
1、[1,1]- 2
3、168
4、1
5、1-
6、5
7、15
8、
9、3
(,)2-∞ 10、等边三角形 11
、2- 12
、1(0,]2
13、12 14、23(,)32
15.(1)3C π=
,
sin sin 3
a b c A B C +==
+ ………………7分 (2)S = …………14分
16.（1）当0a =时：解集为(,0)(0,)-∞+∞ 当0a >时：解集为(,0)(,)
a -∞+∞ 当0a <时：解集为(,)(0,)a -∞+∞………………8分
（2）5
2
a ≤
…………14分 17.（1）11,2a d ==，21n a n =- ………………7分
（2）1111
()(21)(21)22121
n b n n n n ==--+-+，11(1)22121n n T n n =-=++…………14分
19．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=， 1
1010tan 50tan 2
ABP S θθ
∆=⨯⨯=
在Rt ADQ
∆
中，)4
DQ π
θ=-，
1tan()100
tan()244
ADQ S ππ
θθ∆=
⨯⨯-=-
∴50tan 100tan(
)4
S π
θθ=---1tan 50
tan 1001tan θ
θθ
-=--⨯
+ …5分
其中0
tan 10tan()42
θπθ≤≤⎧⎪⎨≤
-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤
∴1tan 50tan 1001tan S θ
θθ
-=--⨯+，3
tan 1θ-≤≤
………………8分
（2）∵tan 0θ>，
1tan 4
50(tan 2)50(tan 13)1tan
tan 1
S θθθ
θθ-=-+
⨯=-++-++
3)50≤--=- ……………
13分 当且仅当4
tan 1tan 1
θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =-
∵(0,)2
πθ∈ 4π
θ∴=
答：当4
π
θ=时，S 有最大值50-． ……………16分
20.解：（1）12a =，24a = ……………3分
（2）由12323(1)2n n a a a na n S n +++
+=-+得，
当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+-
两式相减得：11()22n n n n n na n S S S S --=--++，所以122n n S S -=+……………6分
所以111224222
n n n n S S S S ---++==++，
（2n ≥） 所以数列{2}n S +是以4为首项，以2为公比的等比数列……………9分
（3）由（2）得1242n n S -+=⋅，所以1422n n S -=⋅-，所以2n n a =……………11分 抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第32n -项，……，余下的项顺序不变，得到新数列{}n b 为2356892,2,2,2,2,2,它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列，偶
数项组成以8为首项，8为公比的等比数列。

当*21()n k k N =-∈时，
122113212422()()n k k k T b b b b b b b b b ---=+++=+++++++
3113124(18)8(18)101210122218187777n k k k +----=+=⋅-=⋅--- ……………13分
当*2()n k k N =∈时，
1221321242()()n k k k T b b b b b b b b b -=+++=+++++++
3324(18)8(18)121212122218187777n k k k --=+=⋅-=⋅--- ……………15分
31231
21012
2,7712122,7
7n n n n T n ++⎧⋅-⎪⎪=⎨⎪⋅-⎪⎩为奇数为偶数 ……………16分。