采用有限质点法的薄壳动力非线性行为分析
超空泡运动体圆柱薄壳动力屈曲及可靠性分析
超空泡运动体圆柱薄壳动力屈曲及可靠性分析王杰方;安伟光;宋向华【摘要】首先将超空泡运动体模拟成受动态轴向载荷作用的圆柱薄壳，推导了结构的动力稳定性微分方程和动力不稳定区域，然后考虑动态轴向载荷的随机性，采用有限步长迭代法将给出的动力屈曲失稳的多个安全余量方程线性化，并利用逐步搜索法找出有效的安全余量方程，最后结合逐步等效平面法计算了舱段动力屈曲的可靠性指标。
通过算例分别分析了载荷频率、速度和载荷比例系数这三个随机参数的变化对动力屈曲可靠性的影响。
计算结果为如何选择载荷频率、速度和载荷比例系数的安全范围提供了理论依据。
%Firstly,a supercavitating vehicle was modeled as a cylindrical thin shell loaded with a axial dynamic load.The dynamic stability differential equations and the unstable regions of the shell were deduced.Secondly,the safety margin equations for its dynamic buckling were given and linearized with the limited step length iteration method considering the randomness of axial load.Then,the step-by-step searching method was proposed to search those effective safety margin equations.Finally,the reliability index of the dynamic buckling was calculated with the step-by-step equivalent plane method. Through numerical examples, the influences of change of load frequency, velocity and proportional coefficient of load on the dynamic buckling reliability were analyzed,respectively.The calculation results provided a theoretical basis for choosing the safety range of load frequency,velocity and proportional coefficient of load.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(000)008【总页数】7页(P22-28)【关键词】动力屈曲;可靠性;有限步长迭代法;逐步搜索法;逐步等效平面法【作者】王杰方;安伟光;宋向华【作者单位】哈尔滨工程大学航天工程系，哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学航天工程系，哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学航天工程系，哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】O342超空泡运动体是在低压汽化或者人工通气形成的超空泡中高速航行的运动体，其头部空化器和水相互接触所产生的阻力随速度的二次方增长，结构所承受的轴向载荷非常大，容易发生屈曲，另外，空泡形状和尺寸的不稳定性会导致载荷随时间变化，对于承受动态轴向载荷作用的圆柱薄壳结构，一般来说，结构只有轴向振动，但是，当轴向载荷的扰动频率与结构横向的固有频率之间的比值存在某种关系时，圆柱薄壳结构的横向振动的振幅迅速增大，导致结构将丧失动力稳定性。
非线性动力分析方法课件
反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
05
非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。
结构动力学小结[1]1
![结构动力学小结[1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/16082d2bb52acfc789ebc9fe.png)
海上油气开发设施因为水深和生产方式的不同，有多种开发设施。
大致可以分为（1）固定平台：导管架平台和重力式，主要用于油气的生产。
（2）移动式平台：主要用于油气勘探，包括自升式和半潜式（3）单点系泊系统：作为海上油气集输装置，穿梭油轮定位（4）顺应式平台：研究开发中，国外已经开始应用，用于较大水深。
从结构上来分，一般将spar 平台分为三部分：平台上体，平台主体和系泊系统（包括锚固基础），其中平台上体和平台主体并称为平台本体。
TLP 由五大部分组成：平台上体、立柱（含横撑和斜撑）、下体（沉箱）、张力腿系泊系统和锚固基础第二章 确定性载荷卡门涡街：Reynolds 数较高的流体流经圆柱体时，在柱体断面宽度最大点附近发生分离。
在分离点之后沿柱体表面将发生逆流。
边界层在分离点脱离柱体表面，并形成向下游延展的自由剪切层。
上下两剪切层之间的区域即为尾流区。
在剪切层范围内，由于接近自由流区外侧部分的流速大于内侧部分，流体便有发生旋转并分散成若干个旋涡的趋势。
人们称在柱体后面的涡系为“卡门涡街”。
涡激升力：旋涡是在柱体后部两侧交替、周期性地发生的。
当在一侧的分离点处发生旋涡时，在柱体表面引起方向与旋涡旋转方向相反的环向流速 因此发生旋涡一侧沿柱体表面流速小于原有流速v ，而对面一侧的表面流速 则大于原有流速v ，从而形成沿与来流垂直方向作用在柱体表面上的压力差即升力。
当一个旋涡向下游泄放（即自柱体脱落并向下游移动）时，它对柱体的影响及相应的升力FL 也随之减小，直到消失，而下一个旋涡又从对面一侧发生，并产生同前一个相反方向的升力。
因此，每一“对”旋涡具有互相反向的升力。
涡激振动： 涡激升力周期变化，引起结构发生垂直于轴线方向的振动，称为涡激振动。
锁定现象（lock-in ）： 当涡激升力频率与弹性结构的固有频率接近，结构的振动会驱使旋涡的泄放频率在一个较大的S 范围内固定在结构的自振频率,即振动固定在固有频率上,从而诱发结构剧烈颤振或抖振，这称之为锁定现象。
薄壳和薄板的内禀理论
科学宝库中一颗永远闪烁的明珠——钱伟长的“板壳的内禀理论”薄壳和薄板的内禀理论(The Intrinsic Theory of Thin Shells and Plates)程昌钧上海大学，应用数学和力学研究所，力学系，上海 200072仅用力学状态的内禀变量应力和应变严格地从三维弹性理论出发导出的对任意形状板壳都适用的非线性偏微分方程组。
薄板和薄壳在工程和技术中是一类应用广泛的结构元件。
1940年以前，关于板壳的理论已取得了一些进展，但亦存在一些问题，主要有：(1) 所有的理论都是根据先验的克希霍夫-拉夫假设(通常称为直法线假设)来建立的，并给出由中面的三个位移分量()u v w ,,所满足的三个平衡微分方程；(2) 薄板和薄壳理论是分开来处理的，特别是壳体问题，根据其几何特征的不同，采用不同的坐标系来建立各自的壳体理论，没有一个统一的适合各种形状的板壳理论；(3) 板壳理论中的各种近似是混乱的，没有一种系统的简化与近似方法。
为了克服板壳理论中的这些缺陷，钱伟长在1941年到1944年建立了一种系统的精确理论，并给出一套统一的近似方法，使得从这一理论出发，根据不同的实际情况，进行不同的简化和近似，可以得到适合于各类板壳问题的理论。
板壳的内禀理论主要由五篇论文组成[1-5]，其中第一篇论文是由钱伟长与J. L. Synge （辛吉）联合发表的，是内禀理论的基础与核心。
钱伟长早在昆明联大读研究生期间(1938年－1940年)就开始了对板壳精确理论的研究，他提出了以三维弹性力学的应力满足的平衡方程为基础，引入应力应变关系，来导出应变分量表示的壳体应力满足的单元的平衡理论。
在该理论中，钱伟长采用了一种全新的坐标系-以中面为基础的拖带坐标系(Comoving coordinates) (x x x 012,,)：在变形前，中面为x 00=，(,)x x 12为中面上点的坐标，中面以外各点的坐标为()x 012,,x x ，并称之为以中面为基础的高斯坐标系，其中(,)x x 12为垂直于中面的法线与中面交点的坐标。
非线性动力分析方法
吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可 能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值 指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数 的值决 定的各种类型的吸引子归纳如下：
l l l l , , , ,
一 非线性动力系统
Lorenz方程组：
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性
• 吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是 一个动力系统在t →∞时所呈现的与时间无关的定态，并 且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就 是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 • 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环 吸引子，等等。
二 经典非线性测量方法
1.Lorenz 散点图
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
2.Lyapunov 指数
Lyapunov 指数用于判断一个系统是否属于混 沌系统。系统的Lyapunov 指数谱中存在正值,则 表明该系统具有混沌特征。因此,只要系统的 Lyapunov 指数谱中最大的Lyapunov 指数为正,则 该系统为混沌系统。
二 经典非线性测量方法
4.K熵 K熵（柯尔莫哥洛夫熵） S熵（香农熵，信息论） 一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示 的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数 之和。
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二 经典非线性测量方法
周边固支深薄球壳的非线性动态分析
果讨论 壳体 的前 三阶振动频率 与壳体各参数之 间的关 系． 结果表 明壳体展 开 角较小 时， 阶振 动的频 率大干 一阶 高 振动的频率． 向载荷对高阶振动频率的影响小于其 对一阶振 动频率的影响． 横 关键词 ：深薄球壳；打靶法 ；非线性
中 图分 类号 ：０ ２ ； ４ ３ ６ ０３ ３ 文 献 标 识 码 ：Ａ
式 中
Ｎ＝ （ 素ｄ ． ） ＝ ＋ ＝ ｒ
Ｎ ｚ＋ ） ｚ （ 素ｄ 一 １ ｚ
ｃ ７
（ ８ ）
Ｍ一 （ 素 ｄ Ｊ １ ） ． ＋
Ｍ一 （ 素 如 ２ 。＋ ） ｊ １
一
（ ９ ）
（） １ ｏ
合材料层合扁球壳的非线性强迫振动问题．
『 （＋ 兰 ￡ 胆） －
（ ｃ ｏ ｌｏ ｃｅ ｃ Ｓ ｈ ｏ ｆＳ ｉｎ ｅ，Ｉ ｚ ｕＵｎｉ． ｏ ｃ ．，ｌ ｚ ｏ ７ ０ ５ ｍｎ ｈｏ ｖ ｆＴｅ ｈ ｍｎ ｈ ｕ ３ ０ ０，Ｃｈｎ ） ｉａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔａ ｉｇ ｔ ｅｇ ｏ ｔｙｎ ｎ ｉ ｅ ｒｄ ｆｒ ｔ ｎ ｉｔ ｃ ｏ ｎ ，ａｄｓ ｌｃ ｍｅ ｔｔｐ ｙ ａ ｃ ｃ ｎ ｒ ｌ ｋ ｎ ｈ ｅ ｍｅｒ ｏ ｌ ａ ｅｏ ｍａ ｉ ｎ ｏａ ｃ ｕ ｔ ｉｐａ ｅ ｎ—ｙ ｅｄ ｎ ｍｉ ｏ ｔｏ ｎ ｏ
壳 的动态 问题研究 就更 少．
点法求解线性微分方程组 ， 得到临界载荷的数值解．
王新 志和 王永 刚［研究 扁球 壳在静 载荷 作用 下 的轴 ４ ］
对称非线性 自由振动问题 ， 给出非线性静力边值问
题 的一 次 近 似解 析 解 ． ０ ５年 ， 新 志 等【 用 拟 壳 ２０ 王 ］ 法建立 正 三角形 网格 的三 向扁锥 面单层 网壳 的非 线 性 动力 学微分 方程 ． 在周 边 固定条 件下 ， 用分 离变 量
超空泡运动体圆柱薄壳的非线性动力屈曲分析
超空泡运动体圆柱薄壳的非线性动力屈曲分析王杰方;安海;安伟光【摘要】超空泡运动体的动力屈曲失稳具有隐蔽性、突发性和危险性,因而必须研究清楚运动体的失稳区域边界及失稳振幅.将超空泡运动体模拟成受轴向周期载荷作用的细长圆柱薄壳,给出非线性几何方程、物理方程和平衡方程,建立细长圆柱薄壳带有非线性项的动力屈曲微分方程组;依据非线性项的形式,给出合理的非线性位移表达式,得到具有周期性系数的非线性横向振动微分方程;采用伽辽金交分法和和鲍洛金方法,获得带有周期性系数和非线性项的马奇耶方程;求解非线性马奇耶方程,得到第一、第二阶不稳定区域内的定态振动振幅的解析表达式;绘制超空泡运动体的非线性参数共振曲线,分析航行速度、载荷比例系数、轴向载荷频率和振型对参数共振曲线的影响.以上研究为建立基于参数共振的圆柱薄壳动力失稳的可靠性分析及基于参数共振可靠性的结构动力优化设计的奠定了理论基础.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2016(048)001【总页数】11页(P181-191)【关键词】超空泡运动体;圆柱薄壳;非线性;动力屈曲;参数共振【作者】王杰方;安海;安伟光【作者单位】哈尔滨工程大学航天工程系,哈尔滨150001;南昌工程学院土木与建筑工程学院,南昌330099;哈尔滨工程大学航天工程系,哈尔滨150001;哈尔滨工程大学航天工程系,哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】O343.9对于细长超空泡运动体（长细比约为10～22）而言，仅在头部和尾部与水接触，由于工作环境特殊（气、液两项介质）且航行速度很高，超空泡运动体比常规武器（单一介质）对结构的动力稳定性能更加敏感，特别是轴向周期载荷作用下的参数失稳问题（轴向载荷作用下横向振动的共振）. 只有在特定的情况下，即在横向振动频率、激发系数及外载荷频率等满足一定关系的参数平面内，参数共振才会被激发出来，但参数共振一旦被激发，其振动振幅会迅速地增长. 因此，对于高速甚至超高速运动的细长体而言，参数共振是一种突发的、危险的、隐蔽的值得引起重视的失效模式.国内外对参数振动的研究有：文献 [1-3] 利用弗吕格、桑德尔、拉甫、唐奈尔方程建立了在轴向力作用下的圆柱壳的微分方程，并转化为马奇耶方程分析了圆柱壳的动力稳定性问题. 周承倜等[4]用汉密尔顿原理导出了复合材料叠层圆柱壳的非线性动力稳定性微分方程. 曾潇等[5]对受轴向压缩的有随机初始缺陷的圆柱壳进行了动力稳定性及其可靠性分析. 张善元等[6]对圆柱壳在轴向周期载荷作用下的参数振动进行了研究. 以上的文献都是以圆柱壳作为研究对象的. 实际上，参数振动有广泛的工程背景，例如，赵晶瑞等[7]对一种新型的深海顺应式采油平台（“Spar”平台）的纵摇运动进行了分析，得到了具有三次非线性项的有阻尼马奇耶方程. 徐万海等[8]研究了张力腿、立管等海洋细长结构参数振动的动力不稳定区域. 王俊荣等[9]研究了深水半潜式平台的纵摇和横摇的参数共振，给出了半潜式平台的马奇耶方程，分析了平台失稳的参数条件. 吴学敏等[10]开展了深水顶张式立管参数振动与涡激振动耦合振动分析方法研究. 文献 [11] 研究了参数激励作用下立管的动力稳定性问题. 桑松等[12]用希尔无穷行列式法推导得到了纵摇响应的马奇耶稳定性图谱，并用数值方法分析了平台纵摇马奇耶不稳定运动的发生过程. 除了以上海洋工程结构以外，大跨度斜拉桥的斜拉索参数振动研究也十分热门[13-16].另外，张晓湘[17]分析了钢框架结构承受周期载荷时的动力稳定性. 邱良[18]研究了径向均布周期载荷作用下拱结构的动力稳定性.目前，国内外关于超空泡航行体参数共振研究公开发表的文献很少. 国外，佐治亚理工学院在超空泡航行体的参数共振方面做了一些工作：文献 [19-20]根据汉密尔顿原理建立超空泡航行体结构壳体运动方程，通过有限元离散求解航行体结构动力屈曲问题，采用鲍洛金方法得到超空泡航行体模型的失稳区域. 文献 [21] 采用有限元方法对超空泡航行体普通、加肋和渐缩壳体结构进行静力和动力屈曲研究. 文献[22] 引入自适应空化器概念，采用考虑剪切变形的梁单元建立超空泡航行体有限元模型，对航行体结构进行动力屈曲分析. 国内，施连会等[23]基于弹性壳体的一般理论，利用鲍洛金方法对航行体的动力屈曲问题进行了数值研究. 麻震宇等[24-25]基于更新拉格朗日格式的超空泡航行体结构有限元模型，将结构动力屈曲理论与非线性有限元方法相结合，开展了超空泡航行体双层壳结构动力屈曲研究.宋向华等[26-27]建立了超空泡射弹截锥形结构的动力微分方程，利用鲍洛金方法进行动力稳定性分析，求解出动力不稳定区域边界; 随后，给出射弹结构动力稳定性的安全余量方程，计算了结构的动力稳定性的非概率可靠度. 刘明等[28-29]在超空泡射弹动力稳定性分析的基础上，采用随机因子法求出随机参数射弹结构的动力不稳定区域边界，并对结构的可靠性进行了分析. 王杰方等[30]将超空泡运动体模拟成受动态轴向载荷作用的圆柱薄壳，推导了结构的动力稳定性微分方程，计算了舱段动力屈曲的可靠性指标.从现有的文献来看，基于参数共振的高速航行体圆柱薄壳结构非线性动力失稳问题的研究文献较少. 较大的运动体横向变形，会直接破坏原有的空泡稳定性，而空泡的稳定性决定了高速航行体的运动稳定性. 线性的参数共振理论只适用于小变形的情况，随着横向振幅的增长，非线性因素的影响开始显露出来，成为不可忽略的必要因素. 因此，本文将从非线性的角度开展基于参数振动的失稳研究.文中将线应变和剪应变中计入非线性因素，建立圆柱薄壳横向振动的非线性微分方程; 采用伽辽金变分法和鲍洛金方法，将非线性微分方程转化为具有周期性系数和非线性项的马奇耶方程; 求解非线性马奇耶方程，得到考虑非线性因素细长圆柱薄壳的第一、第二阶不稳定区域内的定态振动的振幅解析表达式，进而对影响圆柱薄壳的非线性参数共振曲线的因素进行分析.将超空泡运动体模拟成受轴向周期载荷作用的细长圆柱薄壳. 对于圆柱薄壳，采用未变形前的曲线坐标系（α,β,z ）来描述有限变形的几何位置，α,β 为壳体中面的主曲率线.在扭转变形的几何关系中计入切向位移的影响，在线应变和剪应变中计入非线性项，细长圆柱薄壳的非线性几何方程为式中，（u, v,w ）为轴向、周向和径向位移，R 为圆柱薄壳的半径为中面内的线应变为中面内的剪切变形为弯曲变形，κ12 为扭转变形.物理方程中，中面力中计入弯曲变形的影响，中面外的力 M 1中计入中面应变的影响，即式中，E为材料弹性模量，h为薄壳厚度，v为泊松比，是中面内的法向力和剪力，是中面外的弯矩和扭矩.平衡方程中，在圆周切线方向（周向）考虑横向剪切力Q2的影响，即式中，X为沿圆柱薄壳轴向的表面力，Y为沿周向的表面力，Z为沿法向的表面力，为横向剪切力.综合以上3个方程，得到细长圆柱薄壳的非线性微分方程组为方程组（4）是关于位移的3个微分方程组，相关微小项已省略，为非线性项，仅与位移w有关，式中式中为了求得方程组（4）的近似解，在轴向周期载荷作用下的圆柱薄壳，设其横向振动的弯曲形式为式中圆柱薄壳两端没有法向位移为轴向和周向的半波数，取整数值，L为圆柱薄壳的长度. 式（10）给出了在均布轴向载荷作用下的圆柱薄壳线性问题的精确解，将其代入中得设方程组（4）中前两式的解的形式为式中满足线性方程组且应该满足边界条件. 将式（14）代入式（4）的前两式（略去切向表面力，），得到系数的表达式为联立几何方程式（1）、物理方程式（2）、式（14）和式（16），得到轴向力和周向力为式中设的表达式为既可以满足边界条件（径向和周向位移为0，轴向不为0），又可以满足方程组（15）. 将式（19）代入式（15）中得对于受轴向周期载荷作用的圆柱薄壳，其轴向的平衡条件为式中为不随时间变化的部分为随时间变化的部分，θ为动载荷的角频率.联立式（17）～式（21），求得内力为横向振动微分方程组（4）的第3式中，沿圆柱薄壳法向的表面力为[31]式中，m是圆柱薄壳中面内单位面积的质量，m＝ρh.综合式（4）中的第3式、式（13）、式（14）、式（16）、式（19）、式（20）、式（22）和式（23），得到圆柱薄壳的非线性横向振动微分方程式，即式中是振型为（n,k）时圆柱薄壳的自由振动固有频率式中g'（n,k）与文献 [30] 中的表达式完全一致，经验证，文献 [30] 中的线性问题得到的自由振动固有频率与非线性问题中的表达式一致，这说明非线性微分方程式（24）中的线性部分与文献 [30]中的线性微分方程式是一致的，也进一步验证了圆柱薄壳非线性横向振动微分方程式（24）的正确性.对圆柱薄壳的非线性横向振动微分方程式（24）进行伽辽金变分，得到非线性横向振动微分方程为引入临界载荷的记号 P∗，令这一记号形如文献 [30] 中的临界载荷另外，引入非线性系数的记号令于是，横向振动微分方程写成下面的形式，即式（31）的微分方程是带有周期性系数和非线性项的二阶齐次微分方程，用于描述细长圆柱薄壳在轴向周期载荷作用下的参数振动问题. 按照鲍洛金方法，将式（31）写成马奇耶方程的形式式中，为在轴向力的定值分量作用下的横向振动的固有频率，为激发系数，即采用鲍洛金方法确定圆柱薄壳在动力不稳定区域内的定态振动振幅.2.1 第一阶不稳定区域内的定态振动振幅为了确定第一阶不稳定区域内的定态振动振幅，取将式（34）代入式（32），得到包含系数和的方程组式中，系数和的表达式为将式（34）中的解代入式（36）中，忽略谐波项，获得式（35）中的两个非线性项和的表达式，并将式（35）变换为式中表示第一共振区内的定态振幅. 显然时，方程组（37）是成立的，相当于受轴压作用的圆柱薄壳没有横向振动的情况.为了获得方程组（37）的非零解，将其视为和的线性齐次方程组，只有当未知数的系数组成的行列式等于零时和才有非零解，即解出第一阶不稳定区域内的定态振幅 A1为马奇耶方程具有以下性质[31]：不稳定区域和稳定区域被周期为T和2T的周期解隔开了，也就是说，周期相同的两个解包围着不稳定区域，周期不同的两个解包围着稳定区域. 因此，第一阶不稳定区域由振幅为和周期为的两个周期解所包围. 2.2 第二阶不稳定区域内的定态振动振幅为了确定第二阶不稳定区域内的定态振幅，取将式（40）代入式（32），得到包含系数 a2和 b0，b2的方程组式中和按式（36）计算，系数为将式（40）代入式（36）和式（42）中，忽略各项谐波，获得式（41）中的 3 个非线性项和并将式（41）变化为式中，为第二共振区附近的定态振幅.为获得方程组（43）非零解，将其视为和的线性齐次方程组，只有当未知数的系数组成的行列式等于零时，和才有非零解（由于故略去式（43）中的微小项[31]），将行列式等式变换为解出第二阶不稳定区域内的定态振幅的解为计算表明，在不稳定区域内，式（45）中的始终为虚数，因此，第二阶不稳定区域内的定态振动振幅为和因此，第二阶不稳定区域由振幅为和周期为T的两个周期解所包围.由式（39）和式（45）可知，在考虑几何非线性因素的圆柱薄壳非线性动力屈曲问题中，动力不稳定区域边界上周期解的定态振动振幅会随着外载荷频率变化而变化，而在线性问题中，认为动力不稳定区域边界上为无限增长的解[31]. 因此，动力屈曲的非线性分析能定量地给出超空泡运动体在不同外载荷频率下的参数振动振幅，进而为运动体尾部的浸水深度和沾湿面积的确定以及水动力分析打基础.超空泡运动体航行深度流场密度对于自然超空泡，空泡内的饱和蒸汽压标准大气压圆柱薄壳舱段的几何参数：半径长度厚度空化器直径材料物理参数[32]：弹性模量材料密度泊松比3.1 超空泡运动体受力分析对于超空泡运动体水平向前运动时的动力屈曲分析，其受力可以简化为轴向的均布载荷，即头部阻力和尾部推力，二者大小相等，作用在头部空化器的阻力[21]为式中为流体密度是空化器的横截面积是空化器的阻力系数，V是航行体的运动速度. 零攻角时，圆盘空化器的阻力系数为式中为空化器锥角，圆盘空化器的锥角为180°为空化数为空泡内压力为环境压力，其表达式为式中，H为航行深度，p为标准大气压.运动体在高速航行过程中，空泡形状和尺寸的不稳定性会导致轴压幅值随时间变化，本文将这一动态的轴向载荷简化为[19]式中，δ 为扰动载荷的比例系数，dn为圆盘空化器的直径.3.2 圆柱薄壳舱段非线性动力屈曲计算结果及分析综合第2节和第3节中的内容可知，动力不稳定区域附近的定态振幅不仅与横向振动的振型有关，与轴向载荷频率有关，还与载荷比例系数δ和航行速度V有关. 因此，下文将分析这些因素对非线性参数共振曲线的影响.3.2.1 给定速度和载荷比例系数时，不同振型下的非线性参数共振曲线图1、图2和图3给出了一定速度和载荷比例系数时，不同振型下，考虑几何非线性因素的第一阶非线性参数共振曲线图，其中虚线表示的是不稳定解. 从式（39）可知，若则以振型应于图1中的 G 点对应于图1中的 C 点. 所以，某一振型对应的两条曲线（一条实线和一条虚线）所夹的横坐标上的区域即为这一振型下的激发区.从以上 3 幅图中可以得出以下结论：（1）当圆柱薄壳所受的外载荷的频率处于激发区以外且在小于激发区一侧（图1中的 BC 段）时，圆柱薄壳没有横向振动.（2）考虑几何非线性的圆柱薄壳舱段，其各阶参数共振曲线都向大于激发区频率的一侧倾斜. 因此，① 外载荷频率从小于激发下界的一侧开始逐渐增大（图1中的路线为BCGF）时，圆柱薄壳的横向振动振幅沿着 BCHD 增大.② 外载荷频率从大于激发上界的一侧开始逐渐减小（路线为FGCB）时：若从 F 到 G 点没有外界干扰或者干扰不足以使壳体的横向振动越过不稳定解（EG 曲线）到达稳定解（DH 曲线）上去，则壳体的横向振动振幅依然为0，直到频率到达 G 点时，壳体才会发生“突变”的、振幅位于 H 点的横向振动.若从 F 到 G 点时，存在干扰使得壳体的横向振动越过不稳定解（EG 曲线）到达稳定解（DH 曲线）上去，横向振动的振幅由零突然增大到 DH 曲线，这使得 GF 段成为潜在的激发区域，导致危险的激发区域扩大.（3）对比图1、图2和图3的纵坐标可知，当 k＝2或 k＝3 时，不稳定区域内的定态振动振幅与壳体的厚度（h＝3 mm）是同一个数量级的，但当 k＝1 时，不稳定区域内的定态动振幅比k＝2 或 k＝3 时高出两个数量级.以振型 i＝1，k＝1为例，对比参数振动的线性和非线性理论，可知：（1）在参数振动的线性理论中，不存在参数共振曲线的“倾斜”问题，激发区域只有图1中的 CG 段，但在考虑几何非线性的参数振动非线性理论中，由于参数共振曲线向大于激发区频率一侧“倾斜”，导致激发区不仅有 CG 段，还包括 GF 段. 因此，考虑几何非线性后，激发区的扩大会导致外载荷安全频率范围的缩小和结构动力稳定可靠性的降低.（2）参数振动的线性理论认为激发区域内振动的振幅是无限大的，这不符合工程实际. 考虑几何非线性，激发区域内的振动振幅实际上为有限振幅. 对于超空泡运动体而言，结构的变形量直接影响其沾湿面积，而沾湿面积决定了空泡的稳定性，这是一个典型的流固耦合问题. 因此，考虑非线性因素，准确地获得激发区域内的参数振动振幅，是进行流固耦合分析的必要前提.3.2.2 给定的振型（i＝2，k＝2）时，速度和载荷比例系数对非线性参数共振曲线的影响图4给出了载荷比例系数δ＝0.4 时，不同航行速度V下的第一阶非线性参数共振曲线图. 图5给出了航行速度 V＝400 m/s 时，不同载荷比例系数δ下的第一阶非线性参数共振曲线图.由图4和图5可以得出以下结论：（1）激发区的范围随着超空泡运动体的航行速度V和载荷比例系数δ增大而增大; 激发区内的定态振动的振幅随着超空泡运动体的航行速度V和载荷比例系数δ增大而增大.（2）结论“（1）”与线性理论的结论相同[30]，事实上，从式（38）和文献 [31] 中的线性临界频率方程式的对比中可知，若令式（38）中的那么，式（38）和线性临界频率方程式是一致的，也就是说，图1中的CG段的激发区域在线性理论和非线性理论中是相同的. 不同之处在于，非线性理论中要将GF段也计入激发区域范围内，使激发区比线性理论中给出的激发区扩大.通过对第二阶非线性参数共振的共振曲线进行分析，也能得出与第一阶相同的结论. 图6给出了第一阶和第二阶非线性共振曲线的对比图（δ＝0.4，V＝400 m/s）. 由图6可知，第二阶非线性共振曲线与第一阶的形状相似，都向较大频率的一侧倾斜; 第二阶不稳定区域内的定态振动的振幅远小于第一阶的定态振动的振幅，这也说明了在圆柱薄壳的横向参数振动中，第一阶不稳定区域不仅激发区远大于第二阶，考虑非线性因素后，第一阶激发区内的振动振幅也远大于第二阶.本文建立了圆柱薄壳的非线性动力屈曲计算模型，并给出了超空泡运动体的圆柱薄壳舱段的分析算例，得到以下结论：（1）考虑几何非线性因素后，参数共振曲线向大于激发区频率的一侧倾斜，使得激发区的范围变大，从而导致外载荷安全频率范围的缩小和结构动力稳定可靠性的降低.（2）考虑非线性因素，能准确地获得激发区域内的参数振动振幅，是进行超空泡运动体流固耦合分析的基础.（3）激发区的范围随着超空泡运动体的航行速度V和载荷比例系数δ增大而增大; 激发区内的定态振动的振幅随着超空泡运动体的航行速度 V和载荷比例系数δ 增大而增大.（4）当 k＝2 或 k＝3 时，不稳定区域内的定态振动振幅与壳体的厚度（h＝3 mm）是同一个数量级的，但当k＝1 时，不稳定区域内的定态振动振幅比k＝2 或 k＝3 时高出两个数量级.【相关文献】1 Lam KY，Ng TY. 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板壳结构屈曲分析的非线性有限元法_杨娜
关键词: 三维退化曲壳元; 板壳结构; 物理非线性; 几何非线性; 罚 单元; 屈曲分析
中图分类号: TU391
第7讲几何非线性与屈曲分析
主讲：练章华 教授
Lzh_CAE
16
6．子步 7．自动时间步长 8．载荷和位移方向 9．非线性瞬态过程的分析
主讲：练章华 教授
（1）子步数或时间步长 （2）自动时间步长
以载荷增量加 载，程序在每 一步中进行平 衡迭代
Lzh_CAE
17
四、非线性分析的基本过程
主讲：练章华 教授
非线性分析的步骤
1．建模 2．加载并求解 3．检查结果
主讲：练章华 教授
非线性问题需要 一系列带校正的 线性近似来求解
纯粹增量近似与牛顿啦普森近似的关系
计算响应 误差
真实响应
纯粹增量式解
Lzh_CAE
两给载荷增量
全牛顿－拉普森迭代求解
13
3．非线性求解的组织级别
非线性求解级别：
载荷步 子步 平衡迭代
载荷步2
子步 载荷步1
主讲：练章华 教授
载荷步 子步
rectng , 0 , 0.0032 , 0 , 0.0324
lesize , 2 , , , 20 , 1 lesize , 1 , , , 4 , 1
建模
mshape , 0 , 2d
mshkey , 1
amesh , 1 网格
fini
/solu
antype , 4
trnopt , full
lumpm , on
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-50 -100 -150 -200 -250
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不同时刻等效应力及变形
三种非线性油膜力模型的分析比较1）
三种非线性油膜力模型的分析比较1)王晋麟曹登庆2)王立刚黄文虎（哈尔滨工业大学航天学院，137 信箱，哈尔滨150001）摘要：本文分析比较了三种具有解析表达式的圆轴承非线性油膜力模型，对比了建立油膜力时，Reynolds 方程及其边界条件所采用的假设条件，并以200MW汽轮发电机低压转子为例，比较了不同油膜力模型对系统非线性行为的影响，并分析了产生各种差异的因素。
关键词：转子―轴承；汽轮机；非线性振动；油膜振荡中图分类号：TH133 O3220引言转子―轴承系统非线性动力学行为研究是转子动力学中较为活跃的一个领域。
基于八个油膜动特性系数的线性油膜力模型[1]已经发展得较为完善并获得了广泛的应用。
为了提高发电效率、节约能源、保护环境，汽轮发电机的主力机组从亚临界到超临界、超超临界转型，已经成为必然的选择。
同时，由于发电机转速的提高、结构的轻型化和大柔性使得转子―轴承系统中的非线性因素越来越显著，以小扰动为前提的线性油膜力模型已不再适用。
从20世纪80年代起,转子―轴承系统的非线性油膜失稳问题逐渐引起科学家与工程师们的重视。
建立一个既能较为准确地反映轴承中的油膜力，又简单实用的解析的非线性油膜力模型是研究转子―轴承系统非线性动力学现象的关键。
对圆轴承，从基本的Reynolds方程出发，基于静态Gümbell假设，可以导出无限短轴承和无限长轴承的π油膜力模型的解析表达式[2]。
Muszynska[3]提出用表征流体的周向流速的量来建立非线性的油膜力模型，并据此分析了转子―轴承系统的稳定性。
1991年Capone[4]提出修正的短轴承假设下的非线性油膜力模型，该模型的计算结果表明，它具有较好的精度和收敛性。
张文等[5,6]提出了动态π油膜力模型，它用三个非线性函数描述油膜力，并在短轴承假设下获得了非稳态非线性油膜力的解析表达式。
张文等[7]于2002年进一步提出了非线性油膜力的一般表达式，其瞬态刚度阵和瞬态阻尼阵由三个非线性函数来描述，并通过变分法给出了有限长椭圆轴承的高精度近似解析式。
非线性弹性力学
1948年R.S.里夫林在任意形式的贮能函数下，得到不可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解。将它们 应用于橡胶制品，即使橡胶的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。在这一成就的鼓舞下，学者们重新 开始探讨有限变形弹性理论，并导致了整个的蓬勃发展。此后，非线性弹性理论就成为理性力学的重要组成部分。 1952年起C.特鲁斯德尔、W.诺尔、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.爱林根以及美籍华人王钊诚在 非线性弹性力学方面作出较大贡献，中国的郭仲衡于1962～1963年连续发表了多篇论文。1972年奥登等人在用有 限元法进行数值解方面做了大量有成效的工作，从而使得非线性弹性力学在工程实际中得到较广泛的应用。但是 非线性弹性力学无论在理论方面、精确解方面还是数值近似解方面都比线性弹性力学难度大，所以至今远不如线 性弹性力学成熟，有许多问题尚需进一步探讨。非线性弹性力学的基本概念和方程比较复杂，在分析中大多采用 张量这一数学工具。
变形描述
变形描述在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻物体在三维空间中所占的区域为参考构形（见）现时构形，在其上取笛卡儿坐标。
由方程 对于有单值逆变换的情形，存在 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 其中u是该物质点的位移矢量,它在和中的坐标分别记为和。 必须区分使用和坐标，这是非线性弹性力学区别于线性弹性力学的基本特征之一。 描述物体变形的量有变形梯度，在中，其定义为： 其中为克罗内克符号；为位移分量的偏导数，即变形梯度既包含纯变形又包含刚性转动，为把纯变形从其中 分解出来，须采用极分解定理，相应于左分解和右分解分别得到左柯西-格林应变(又称芬格应变)和右柯西-格林 应变(又称格林变)。而在中有逆应变(称为皮奥拉应变)和(称为柯西应变)。
多层内凹蜂窝圆柱壳冲击动力学行为分析
Journal of Mechanical Strength2023,45(2):423-429DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.023∗20210802收到初稿,20210830收到修改稿㊂中央高校基本科研业务费专项资金(310812163504)资助㊂∗∗马南芳,男,1997年生,湖南邵阳人,汉族,长安大学理学院硕士研究生,主要研究方向为多孔材料与结构力学性能㊂∗∗∗邓庆田(通信作者),男,1980年生,陕西咸阳人,汉族,长安大学理学院副教授,博士,主要从事多孔材料与结构力学性能㊁损伤检测研究㊂多层内凹蜂窝圆柱壳冲击动力学行为分析∗IMPACT DYNAMIC BEHAVIOR ANALYSIS OF MULTIPLE LAYERS RE-ENTRANT HONEYCOMB CYLINDRICAL SHELLS马南芳∗∗㊀邓庆田∗∗∗㊀李新波㊀宋学力(长安大学理学院,西安710064)MA NanFang ㊀DENG QingTian ㊀LI XinBo ㊀SONG XueLi(School of Science ,Changᶄan University ,Xiᶄan 710064,China )摘要㊀构建了不同角度单层内凹蜂窝圆柱壳模型,提出了一种新型多层复合内凹蜂窝圆柱壳结构㊂利用有限元仿真方法研究了单层和多层内凹蜂窝圆柱壳在轴向冲击下的变形行为,分析对比了单层和多层内凹蜂窝圆柱壳在不同冲击速度下的平台应力和比吸能特性㊂结果表明,在相同密度和尺寸下,多层内凹蜂窝圆柱壳的冲击能量吸收能力相对于单层内凹蜂窝圆柱壳有显著提升;内凹蜂窝圆柱壳初始变形破坏位置随着冲击速度的改变而改变;多层内凹蜂窝圆柱壳没有表现出负泊松比性质㊂关键词㊀内凹蜂窝㊀复合材料㊀圆柱壳㊀冲击速度㊀能量吸收中图分类号㊀O344Abstract ㊀The single layer re-entrant honeycomb cylindrical shell with different angles is established in this paper.Based onthe single layer re-entrant honeycomb cylindrical shell with different angles,a novel composite re-entrant honeycomb cylindrical shell is proposed.The deformation behavior of single and multi-layer re-entrant honeycomb cylindrical shells under axial impact was studied by numerical simulation.By comparing and analyzing the plateau stress and specific energy absorption of single andmulti-layer re-entrant honeycomb cylindrical shells under different impact velocities.The following conclusions can be obtained:compared with the single-layer re-entrant honeycomb cylindrical shell,the energy absorption capacity of the multi-layer re-entrant honeycomb cylindrical shell is significantly improved under the same density and size.The deformation position of re-entrant honeycomb cylindrical shell is changed with different impact velocities.The multi-layer re-entrant honeycomb cylindrical shell doesnᶄt show negative Poisson s ratio.Key words㊀Re-entrant honeycomb ;Composite material ;Cylindrical shell ;Impact velocities ;Energy absorption Corresponding author :DENG QingTian ,E-mail :dengqt @ ,Tel :+86-29-82334373,Fax :+86-29-82334373The project supported by the Special Fund for Basic Scientific Research of Central Colleges in Changᶄan University(No.310812163504).Manuscript received 20210802,in revised form 20210830.0㊀引言㊀㊀负泊松比材料和结构在吸能特性方面具有一定优势[1],因而在航空航天㊁机器人㊁国防工业等领域都得到了广泛的应用[2]㊂GAO Q 等[3]分析得到了双箭头蜂窝圆柱壳的力学性能理论,并且根据有限元与实验结果验证所得理论;MA C 等[4]研究了轴向压缩下手性圆柱壳的力学行为;LEE W 等[5]用3D 打印制作了内凹蜂窝圆柱壳,通过实验和有限元方法研究了低速冲击下内凹蜂窝圆柱壳的响应行为;CHEN L M 等[6]研究了多孔圆柱壳结构在轴向冲击载荷作用下的动态破碎性能和能量吸收,得到了多孔圆柱壳结构有良好的能量吸收性能的结论㊂复合圆柱壳因其优良的能量吸收性能同样被广泛应用于汽车㊁航空航天及军事等领域[7],轻质复合材料壳体结构受到国内外科研工作者的广泛关注[8],唐文勇等[9]研究了径向冲击下复合材料层合圆柱壳的动力屈曲,导出了圆柱壳径向脉冲屈曲的控制方程;朱波等[10]研究了芯材增强对夹层圆㊀424㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀柱壳动力学性能的影响,结果表明,点阵增强可以提高结构的固有频率;VASILIEV V V等[11-12]主要针对网格筒及网格加筋筒进行了应用方面的总结归纳;王博等[13]综述了加筋薄壳结构折减因子的确定及缺陷敏感性优化设计方法;WEAVER P M等[14-15]开展了[ʃ45ʎ]s铺层形式圆柱壳的轴压屈曲实验,验证了螺旋式屈曲模式的存在并且材料属性和屈曲形态影响承受效率;BISAGNI C[16]对3组[+45ʎ/-45ʎ]s铺层的碳纤维薄壁圆柱壳开展了轴压屈曲实验,对比分析了两类动态压缩屈曲实验的变形特征;何景轩[17]对比分析了4种铺层圆柱壳的数值模型与轴压屈曲荷载值㊂通过对以上内凹蜂窝以及复合圆柱壳结构的研究,本文提出了一种新型复合多孔圆柱壳结构㊂通过旋转单层内凹蜂窝层,可以得到不同轴向角度的内凹蜂窝层,将不同角度的内凹蜂窝层组合,构建出一种新型的多层复合多孔圆柱壳㊂利用有限元仿真方法对复合多孔圆柱壳进行轴向冲击变形行为研究,研究了复合多孔圆柱壳在不同角度㊁不同层数以及不同速度下的冲击变形行为㊂1㊀多层内凹蜂窝圆柱壳模型㊀㊀如图1所示,以内凹蜂窝单元左下角顶点为旋转中心,将0ʎ单层内凹蜂窝旋转θ1,可以得到θ1单层内凹蜂窝,内凹蜂窝圆柱壳由所得内凹蜂窝层弯曲而成㊂根据内凹蜂窝圆柱壳的特点,单层内凹蜂窝壳首尾两端单元必须互补才能弯曲构成完整圆柱壳㊂首尾两端内凹蜂窝单元互补需要满足:①斜杆在X轴水平投影长度为水平杆长度的三分之一,即L A=L B=L C;②旋转的角度θ1应为夹角θ2的n(n=1,2, )倍数㊂如图2所示,内凹蜂窝单元壁厚为t,上下壁厚为t/2㊂图1㊀0ʎ和θ1单层内凹蜂窝Fig.1㊀0ʎandθ1single layer of re-entranthoneycomb图2㊀0ʎ内凹蜂窝单元几何尺寸Fig.2㊀Geometric dimensions of0ʎre-entrant honeycomb㊀㊀单个内凹蜂窝单元尺寸如图2所示,将0ʎ单层内凹蜂窝旋转角度θ1,所得θ1单层内凹蜂窝结构密度不变,可得内凹蜂窝结构相对密度Δρ为Δρ=ρ∗ρS=12t L13sinθ2+22(1)其中,ρ∗为内凹蜂窝结构的密度;ρS为基体材料的密度㊂将L A=2.5mm夹角θ2=30ʎ的内凹蜂窝层分别旋转30ʎ㊁60ʎ㊁90ʎ,组成的内凹蜂窝圆柱壳的基本单元尺寸如表1所示㊂表1㊀组成圆柱壳的基本单元尺寸Tab.1㊀The basic unit dimensions of cylindrical shells角度Angelθ10ʎ30ʎ60ʎ90ʎ长度Length l/mm1034.64208.66圆柱壳半径Radius of cylindrical shells r/mm22.2822.0522.2822.05㊀㊀基于表1中的基本单元尺寸,使用Soildworks软件对圆柱壳结构进行建模,构建厚度相同的单层㊁双层和三层内凹蜂窝圆柱壳模型㊂其中0ʎ,30ʎ,60ʎ,90ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳厚度为2mm;[30ʎ/150ʎ]与[60ʎ/ 120ʎ]双层内凹蜂窝圆柱壳,每层厚度为1mm;[30ʎ/150ʎ/30ʎ]与[60ʎ/120ʎ/60ʎ]三层内凹蜂窝圆柱壳,每层厚度为2/3mm,层与层之间不重合㊂通过有限元软件Abaqus模拟图3中8种内凹蜂窝圆柱壳在冲击载荷下的吸能特征以及破坏模式㊂其中模型主要参数为高度90mm,壁厚2mm㊂材料采用㊀第45卷第2期马南芳等:多层内凹蜂窝圆柱壳冲击动力学行为分析425㊀㊀金属铝,主要材料参数为:密度ρs =2700kg /m 3,弹性模量为E =70GPa,泊松比为0.33,屈服强度为σy =76MPa㊂模型的边界条件设置如图4所示:将模型置于两块刚性板之间,底部刚性板为固定端,顶部刚性板为冲击端,设置模型各处为通用接触,摩擦因数为0.15,在约束管理器中,模型与刚性板之间㊁多层圆柱壳层与层之间的选用绑定约束,模型选用十结点修正二次四面体C3D10M 单元,网格尺寸为2mm,顶㊁底部板选用离散刚体单元,网格尺寸为5mm㊂图3㊀8种内凹蜂窝圆柱壳Fig.3㊀Eight kinds of re-entrant honeycomb cylindricalshells图4㊀模型加载的边界条件Fig.4㊀Boundary conditions of model loading2㊀模型可靠性验证㊀㊀使用3D 打印机打印内凹蜂窝圆柱壳进行可靠性验证,基体材料为PLA,材料参数为:密度ρS =1250kg /m 3,弹性模量为E = 1.57GPa,泊松比为0.35㊂由于3D 打印机局限性,因此对模型尺寸进行调整,打印尺寸放大一倍所得模型尺寸:H =180mm,r =44.1mm㊂仿真设置为刚性板与模型顶部和底部表面选用表面与表面接触,摩擦因数为0.3,设置模型其他各处为通用接触,摩擦因数为0.15,模型选用十结点修正二次四面体C3D10M 单元,网格尺寸为2mm,顶㊁底部板选用离散刚体单元,图5为实验和有限元变形对比图,图6为实验和有限元力-位移曲线对比图,对比分析图5和图6可知仿真和实验结果吻合较好㊂图5㊀30ʎ内凹蜂窝圆柱壳实验和有限元变形对比Fig.5㊀Comparison of the deformation behaviors of 30ʎre-entranthoneycomb cylindrical shell between simulation andexperiment图6㊀30ʎ内凹蜂窝圆柱壳实验和有限元力-位移曲线对比Fig.6㊀Comparison of the load-displacement curves of 30ʎre-entranthoneycomb cylindrical shell between simulation and experiment3㊀数值仿真结果3.1㊀不同冲击速度下的变形模式㊀㊀在冲击载荷作用下,薄壁结构的变形模式直接影响到整体结构的耐撞性[18]㊂研究单层㊁双层和三层内凹蜂窝圆柱壳结构在不同冲击载荷下的变形模式,双层和三层内凹蜂窝圆柱壳变形模式基本一致,因此三层内凹蜂窝圆柱壳变形模式图不再列出㊂每隔0.2的应变截取一张变形图,得到单层㊁双层内凹蜂窝圆柱壳在应变为0.2㊁0.4㊁0.6下的变形图㊂图7的结构变形模式表明不同的冲击速度会导致圆柱壳破坏变形位置不同㊂单层和多层内凹蜂窝圆柱壳随着冲击速度的降低,圆柱壳初始变形破坏的位置由圆柱壳顶部逐渐向底部移动㊂当冲击速度为80m /s,顶部最先发生变形破坏;冲击速度为40m /s 时,变形破坏的位置出现在距离顶部一定距离区域;冲击速度为20m /s 时,变形破坏的位置出现在圆柱壳中部㊂30ʎ和60ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳结构在受冲击载㊀426㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀荷作用下表现出负泊松比的性质;而[30ʎ/150ʎ]和[60ʎ/120ʎ]双层内凹蜂窝圆柱壳在受冲击载荷作用下出现较小的横向扩张变形,泊松比为正,其变形模式与一般薄壁圆柱壳受冲击后的变形相类似㊂图7㊀不同冲击速度下内凹蜂窝圆柱壳结构的变形模式Fig.7㊀Deformation modes of re-entrant honeycomb cylindrical shells at various impact velocities3.2㊀不同冲击载荷下的应力-应变的曲线㊀㊀图8和图9为单层㊁双层和三层内凹蜂窝圆柱壳在不同冲击速度下的应力-应变曲线,提取有限元仿真软件中冲击端反力与位移,通过冲击端的反力除以对应截面的原始面积获得应力,应变通过冲击位移除以对应的原长获得㊂由图8可知,0ʎ和90ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳表现出一般多孔材料在受压时所具有的弹性阶段㊁平台阶段和密实阶段㊂而30ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳在密实阶段出现应力下降现象,结合3.1节中结构变形模式,分析可知发生应力下降的原因是在弹性阶段和平台阶段,圆柱壳下端已经被破坏,逐渐横向变形,当结构进入密实阶段时,圆柱壳下端进一步被破坏,横向变形加剧,从而导致应力下降;在40m/s冲击速度下,60ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳没有出现密实阶段㊂通过3.1节中的结㊀㊀构变形模式可知,冲击速度为40m/s时,圆柱壳中部发生向内横向收缩,形成上下宽,中间窄的初步破坏形式,随着应变的增加,中间向内收缩而上下两端受力横向扩张,当应变为0.8时,上下两端仍未接触密实,因此没有出现应力上升现象㊂[60ʎ/120ʎ]双层内凹蜂窝圆柱壳与[30ʎ/150ʎ]双层内凹蜂窝圆柱壳平台阶段相比0ʎ和90ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳更加平缓,峰值应力与平台应力相差不大,并且密实阶段的应力也大于0ʎ和90ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳的应力㊂由图9可以看出,三层圆柱壳最高峰值应力大于双层圆柱壳,并且[60ʎ/120ʎ]双层和[60ʎ/120ʎ/60ʎ]三层圆柱壳在不同冲击速度下应力-应变曲线基本一致,而[30ʎ/150ʎ]双层圆柱壳应力-应变曲线比[30ʎ/150ʎ/ 30ʎ]三层圆柱壳平缓㊂㊀第45卷第2期马南芳等:多层内凹蜂窝圆柱壳冲击动力学行为分析427㊀㊀图8㊀单层和双层蜂窝圆柱壳在不同冲击速度下的应力-应变曲线Fig.8㊀Stress-strain curves of single and double honeycomb cylindrical shells at various impactvelocities图9㊀双层和三层蜂窝圆柱壳在不同冲击速度下的应力-应变曲线Fig.9㊀Stress-strain curves of double-layer and three-layer honeycomb cylindrical shells at various impact velocities4㊀平台应力㊀㊀分析内凹蜂窝圆柱壳在不同冲击速度下的变形,目的是得到圆柱壳在不同冲击速度下的吸能效果,对比不同的吸能特性,选用平台应力σP 和比吸能(SEA)作为评判内凹蜂窝圆柱壳吸能效果的指标㊂表2㊀30ʎ内凹蜂窝圆柱壳平台应力Tab.2㊀Plateau stress of 30ʎre-entrant honeycomb cylindrical shells冲击速度Impact velocity v /(m /s)单层30ʎ平台应力Plateau stress of 30ʎsingle layer σP /MPa双层[30ʎ/150ʎ]平台应力Plateau stress of [30ʎ/150ʎ]double layer σP /MPa相对提升比例Relative increaseratio /%三层[30ʎ/150ʎ/30ʎ]平台应力Plateau stress of [30ʎ/150ʎ/30ʎ]three layerσP /MPa相对提升比例Relative increase ratio /%20 5.4510.1346.2010.8349.68407.7313.6443.3314.647.058018.6320.9911.2421.3914.81内凹蜂窝圆柱壳结构的平台应力可以表示为σP =1εd -ε0ʏεd ε0σ(ε)d ε(2)式中,ε0为对应于初始峰值应力的名义应变;εd 为锁定应变,为蜂窝结构密实化阶段所对应的应变㊂根据式(2)可以求得内凹蜂窝圆柱壳结构的平台应力,如图10所示,内凹蜂窝圆柱壳结构的平台应力随着冲击速度的增大而增大;结合表2和表3可知,30ʎ和60ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳平台应力值低,在相同密度尺寸下,双层内凹蜂窝圆柱壳平台应力相较于单层有大幅度提升;而三层内凹蜂窝圆柱壳相较于双层内凹蜂窝圆柱壳平台应力提升比例在3%左右;在中速为40m /s 与低速为20m /s 的冲击下,多层内凹蜂窝圆柱壳平台应力大于其他单层内凹蜂窝圆柱壳平台应力;而在高速为80m /s 的冲击下,[60ʎ/120ʎ]双层和[60ʎ/120ʎ/60ʎ]三层内凹蜂窝圆柱壳平台应力值则小于单层0ʎ和90ʎ内凹蜂窝圆柱壳㊂图10㊀不同冲击速度下的内凹蜂窝圆柱壳的平台应力比较Fig.10㊀Comparison of the plateau stress of re-entrant honeycombcylindrical shells at various impact velocities㊀428㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀表3㊀60ʎ内凹蜂窝圆柱壳平台应力Tab.3㊀Plateau stress of60ʎre-entrant honeycomb cylindrical shells冲击速度Impact velocity v/(m/s)单层60ʎ平台应力Plateau stress of60ʎsingle layerσP/MPa双层[60ʎ/120ʎ]平台应力Plateau stress of[60ʎ/120ʎ]double layerσP/MPa相对提升比例Relative increaseratio/%三层[60ʎ/120ʎ/60ʎ]平台应力Plateau stress of[60ʎ/120ʎ/60ʎ]three layerσP/MPa相对提升比例Relative increaseratio/%20 4.919.9250.5110.6653.94407.6511.8435.3912.2537.55 8015.8216.25 2.6517.8711.475㊀能量吸收㊀㊀比吸能SEA为单位质量所吸收的能量,反映了薄壁圆柱壳结构的吸能效率,比吸能值越大代表吸能效果越好,表达式为E M=E VΔρρS(3)E V=ʏεdε0σ(ε)dε(4)式中,E M为比吸能;E V为单位体积的材料所吸收的能量;Δρ为内凹蜂窝圆柱壳的相对密度㊂根据式(3)可以求得内凹蜂窝圆柱壳结构在不同冲击速度下的比吸能曲线,如图11所示,随着冲击速度增大,不同的内凹蜂窝圆柱壳之间的比吸能值差距减小;30ʎ和60ʎ单层内凹蜂窝圆柱壳结构能量吸收能力最差;多层内凹蜂窝圆柱壳能量吸收能力较好,其中[30ʎ/150ʎ/30ʎ]三层内凹蜂窝圆柱壳能量吸收能力最佳;双层与三层内凹蜂窝圆柱壳能量吸收曲线基本一致㊂图11㊀不同速度下的内凹蜂窝圆柱壳的比吸能曲线Fig.11㊀Specific energy absorption curves of re-entrant honeycomb cylindrical shells at various impact velocities6㊀结论㊀㊀本文提出了一种新型多层复合内凹蜂窝圆柱壳模型,将单层内凹蜂窝圆柱壳作为基础层,把与基础层成不同角度的单层内凹蜂窝圆柱壳作为铺层㊂利用有限元模拟方法对多层复合内凹蜂窝圆柱壳进行轴向冲击变形行为研究,研究了多层复合内凹蜂窝圆柱壳在不同角度㊁不同层数以及不同速度下的冲击变形行为,可以得到以下结论:1)相同密度和尺寸下,多层内凹蜂窝圆柱壳的冲击能量吸收能力相对于单层内凹蜂窝圆柱壳有显著提升,并且随着冲击速度的降低,能量吸收效率逐渐增大㊂2)不同冲击速度下的内凹蜂窝圆柱壳结构破坏变形的位置不同,随着冲击速度的增加,变形破坏的区域由下端逐渐到上端㊂3)多层内凹蜂窝圆柱壳受轴向冲击没有表现出负泊松比性质㊂参考文献(References)[1]㊀沈建邦,肖俊华.负泊松比曲边内凹蜂窝结构的面内冲击动力学数值研究[J].中国机械工程,2020,31(16):1998-2004.SHEN JianBang,XIAO JunHua.Numerical study on in-plane impactdynamics of negative poissonᶄs ratio honeycomb structures withcurved contact sides[J].China Mechanical Engineering,2020,31(16):1998-2004(In Chinese).[2]㊀王㊀梁,刘海涛.X型内凹蜂窝结构的拉伸力学行为研究[J].机械强度,2020,42(4):896-900.WANG Liang,LIU HaiTao.Study on tensile mechanical behavior ofX-type re-entrant honeycomb structure[J].Journal of MechanicalStrength,2020,42(4):896-900(In Chinese).[3]㊀GAO Q,LIAO W,WANG L.An analytical model of cylindricaldouble-arrowed honeycomb with negative Poissonᶄs ratio[J].International Journal of Mechanical 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薄壳结构的向量式有限元屈曲行为分析
薄壳结构的向量式有限元屈曲行为分析王震;赵阳;杨学林【摘要】Based on the basic theory of triangular thin-shell element of VFIFE, the basic principles of force-controlled method and displacement-controlled method were derived, and the corresponding processes of VIFIFE were presented. Then buckling and post buckling behavior for thin-shell structures were analyzed. On this basis, a computer program of the buckling analysis for triangular thin-shell element was developed and numerical examples were provided. The results show that the static and dynamic buckling and post buckling analysis can be well performed for thin-shell structures by the developed program, verifying the validity and the correctness of the theoretical derivation and the computer program. Without special processing, the buckling extreme point can be acrossed effectively by adopting displacement-controlled method, and the whole deformation of large deformation and large rotation, buckling and post buckling of thin-shell structures can be tracked.%基于向量式有限元三角形薄壳单元的基本理论，推导力控制法和位移控制法的基本原理及在向量式有限元中的处理方式，以实现薄壳结构的屈曲和后屈曲行为分析。
薄壁球壳压缩非对称屈曲特性的实验及有限元分析
薄壁球壳压缩非对称屈曲特性的实验及有限元分析周刚毅;董新龙;郝伟伟【摘要】The deformation behaviors of thin-walled spherical shells subject to quasi-state and dynamic com-pression are studied experimentally. The process of deformation, the non-axisymmetric buckling characteristic and its influence factors are analyzed in detail using ABAQUS finite element code. The results show that the deformation modes are dependent on the impact velocity. It is found that, if impact loading speed increases, the collapse modes shift from pentagons to hexagons. The dynamic loading-deformation curve on which the impact velocity is not very high is in good consistence with its quasi-static one. Meanwhile, the load-deformation curves of FEM simulation conform well to the experimental results at the stage of axi-symmetric inward dimple, but it is not so at the non-axisymmetric buckling stage. Furthermore, the process of deformation of spherical shells and its effect factors are discussed, suggesting that the contact constraints of surface between spherical shell and rigid plate play a significant role in the process of non-asymmetric deformation.%采用实验方法研究了球壳在刚性板准静态和冲击压缩下变形特性及非对称屈曲模态，结合ABAQUS有限元分析了球壳冲击压缩下的屈曲变形过程、非对称屈曲特性，探讨了其影响因素。
不可压缩超弹性Rivlin类材料组成球形薄壳动力响应
不可压缩超弹性Rivlin类材料组成球形薄壳动力响应赵振涛;袁学刚;张洪武;赵巍;张文正【摘要】基于非线性弹性动力学理论,研究了由不可压缩超弹性材料组成的球形薄壳在突加常值荷载作用下的动力响应.材料的本构关系采用了一类多项式形式的Rivlin类模型,并建立相应问题的数学模型;求得了描述球形薄壳径向对称运动的二阶非线性常微分方程.通过对微分方程的定性分析,讨论了材料参数及应变能函数的高阶项对方程平衡点个数的影响.对于给定结构参数和材料参数,证明了存在临界荷载,方程的相图会出现非对称的"∝"型或"∞"型同宿轨道,薄壳结构的周期和振幅出现跳跃以及结构被破坏等现象;定性指出了当应变能函数中两个不变量的阶数超过特定值时,薄壳结构不再出现新的动力响应.【期刊名称】《大连理工大学学报》【年(卷),期】2018(058)005【总页数】7页(P441-447)【关键词】不可压缩Rivlin类材料模型;球形薄壳;动力响应;振幅跳跃【作者】赵振涛;袁学刚;张洪武;赵巍;张文正【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连 116024;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连 116024;大连民族大学理学院,辽宁大连 116600;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连 116024;大连民族大学理学院,辽宁大连 116600;大连民族大学理学院,辽宁大连 116600【正文语种】中文【中图分类】O343.50 引言超弹性材料的典型代表有橡胶材料、类橡胶材料和生物软组织等.因其具有高弹性、大变形等特点，广泛应用于航空航天、机械工程、医疗器械等领域.从力学性能上讲，超弹性材料也称为Green弹性材料，其本构关系可由应变能函数给出，常见的有neo-Hookean材料、Mooney-Rivlin材料、Yeoh材料等.作为一种常见的材料模型，Rivlin类模型广泛应用于橡胶材料的模拟，如丁腈橡胶、天然橡胶、氯丁橡胶、硫化橡胶等；同时，Rivlin类模型形式简单，材料参数较少，使用该模型进行数值模拟可以得到很好的效果［1－2］.此外，由于与实验数据有较好吻合程度，有限元分析中也常使用Rivlin类模型对橡胶制件进行分析，如轨道用橡胶扣件受力和寿命分析［3］.关于超弹性材料及其结构的动力响应问题的研究源于Knowles［4］的工作，他利用材料的不可压缩条件和结构的对称性研究了无限长不可压缩弹性圆柱管轴对称振动问题，并将问题约化为一维非线性问题，给出了超弹性材料模型振动问题的一般形式解，从而奠定了此类问题的研究基础.随着有限变形理论和非线性动力学理论的发展，越来越多的学者致力于超弹性结构动力学问题的研究.相关问题的研究进展可参见Aranda-Iglesias等［5］和 Alijani 等［6］的综述.其中，Calderer ［7］研究了球壳和柱壳结构在突加荷载下的动力学问题，给出了荷载对解的定性性质的影响.Yuan等［8－9］研究了周期阶梯荷载下不可压缩超弹性材料组成的球膜和圆柱壳的动力学问题，给出了周期振动的条件.为了分析超弹性本构关系对球形薄膜动态膨胀的影响，Rodríguez-Martínez等［10］采用6种不同形式的应变能函数分析了不同的常值荷载和加速度下球壳的变形和振动问题，指出了对于同样的变形，不同的材料模型会改变系统的稳定性.Aranda-Iglesias等［11］对超弹性圆柱壳结构的径向振动进行了研究，分别对修正的Mooney-Rivlin模型和具有不变量高阶项的Yeoh模型进行分析和比较，并指出，Yeoh模型提供了比Mooney-Rivlin模型更保守的预测性.为了更加深入了解橡胶材料的性能，并对其行为进行准确模拟，Treloar［12］和 Kawabata等［13］使用硫化橡胶进行了各种变形实验，然后通过实验数据拟合得到Rivlin类模型的材料参数，并进行了相应的变形分析.本文的目的是在已有研究工作的基础上，运用有限变形理论和非线性动力学理论，研究不可压缩超弹性Rivlin类材料组成的球形薄壳的动力响应问题，并进行必要的定性分析.1 球形薄壳的运动模型对于由不可压缩超弹性材料组成的球形薄壳，当薄壳的内表面受突加常值荷载作用时，考察薄壳的径向对称运动.在球坐标系中，薄壳的初始构型表示为其中R1和R2分别表示薄壳的内外半径.在球对称变形假设下，变形后构型表示为其中r（R，t）是径向变形待定函数.用于描述两种构型映射关系的变形梯度张量F ＝diag｛r／R，r／R，r／R｝，其中λ1＝r／R，λ2＝λ3＝r／R，分别表示薄壳的径向和环向主伸长.根据材料的不可压缩条件λ1λ2λ3＝1，即，对其两端关于R积分，可以得到其中r2（t）＝r（R2，t），是一个只与时间t相关的待求函数.易见，式（3）可以完全描述薄壳随时间演化的径向运动.对于不可压缩超弹性材料组成的薄壳，Cauchy应力的主分量为其中p（r，t）是静水压力，W＝W（λ1，λ2，λ3）是不可压缩超弹性材料的应变能函数.忽略体积力的作用时，描述薄壳径向对称运动的平衡微分方程为其中ρ0表示材料密度，表示r（R，t）关于时间t的二阶导数.在初始时刻，薄壳未发生变形且处于静止状态，于是相应的初始条件为薄壳的内表面受到与时间无关的径向均布常值荷载p（p＞0）的作用，且外表面无约束时，应力的边界条件可以表示为本文中，考虑多项式形式的Rivlin类不可压缩超弹性材料模型，其应变能函数的一般形式为［14］式中：Am、Bn 为材料参数；I1、I2 是右 Cauchy－Green张量C的两个主不变量，它们与主伸长λ1、λ2、λ3 有如下关系：特别地，当式（8）中的参数Am、Bn取一些特殊值时，该模型可以退化为常见的neo-Hookean、Mooney-Rivlin和Yeoh等形式的材料模型.2 模型求解2.1 控制方程量纲一化对式（3）关于时间t求二阶导数，并进行整理得到将式（4）和（10）代入式（5），然后对得到的方程关于r积分，由边界条件（7）得到1其中r1（t）＝r（R1，t）.为了便于定性分析，引入如下量纲一变换：其中δ表示薄壳的厚度参数，x表示薄壳外表面的变形.将应变能函数形式（8）重新记为其中am1＝Am1／A1，bn1＝Bn1／A1.于是，式（11）可约化为如下形式的量纲一方程：其中此外，初始条件（6）变为2.2 首次积分解将式（14）两边同时乘以x2x.，然后关于时间t积分，根据初始条件（18），得到如下首次积分解：其中是势能函数.令x.＝y，式（14）转化为如下的一阶微分方程组：易见，方程的平衡点为（xe，0），其中xe满足方程H（x；δ）－＝0，换句话说，对于给定的荷载，可以根据该方程确定平衡点的个数.当薄壳的结构参数给定时，系统的动力响应主要受材料的本构关系及突加荷载的影响.通过对曲线的渐近线和系统平衡点个数的讨论，进而可以对系统的动力响应进行定性分析.3 方程定性分析3.1 平衡点的个数当参数m、n取不同值时，表1、2分别给出了薄壳变形曲线的渐近线和平衡点个数的变化情况.表1 变形曲线的渐近线随应变能函数中m、n的变化Tab.1 The change of asymptotic curves of deformation curves for different m，n in strain energy functionsm渐近线n＝0 n＝1 n＝2 n＝3…1 水平渐近线k10＝0斜渐近线k11＝4b11－－2 斜渐近线k21＝16a21斜渐近线k22＝4b11＋16a21－－3－－－－…表2 平衡点的个数Tab.2 The number of equilibrium pointsm平衡点个数n＝0 n＝1 n＝2 n＝3…1 0，1，2 1，2，3 1，2，3 1，2，3 2 1，2，3 1，2，3 1，2，3 1，2，3 3 1，2，3 1，2，3 1，2，3 1，2，3…表1中，水平渐近线和斜渐近线表示变形曲线在x→＋∞时的渐近线类型；“－”表示相应的变形曲线不存在水平或斜渐近线.由表1、2不难看出，当m＝1，n＝0时，系统最多有2个平衡点，对应的变形曲线有递增和递减两个分支并且有水平渐近线；当m＝1，2且n＝0，1时变形曲线存在渐近线，其他情况不再有渐近线.不难得出如下结论：当m、n继续增大时，系统的行为不再发生定性的变化.3.2 球形薄壳的动力响应薄壳的厚度取为δ＝0.01，初始条件为（1，0）.下面利用非线性动力学理论中的相平面分析法，结合数值算例对超弹性薄壳结构的动力响应问题进行定性分析，主要涉及周期振动、振幅跳跃以及结构破坏等.特别地，当薄壳做周期运动时，由于薄壳在最大振幅xmax处满足x x＝xmax＝0，对于给定的荷载，根据式（19）求得xmax，进而描述薄壳振动的周期为3.2.1 m＝1，n＝0应变能模型响应当m＝1，n＝0时，式（8）退化为neo-Hookean应变能模型.此时，该模型只含有I1－3的线性项.图1给出了变形曲线以及不同荷载时的势能曲线、相轨迹和时程曲线.图1 系统的变形曲线、势能曲线、相轨迹和时程曲线（m＝1，n＝0）Fig.1 The deformation curves，potential energy curves，phase diagrams and time history curves of the system （m ＝1，n＝0）由图1中的变形曲线可见，存在一个最大值时，系统存在两个平衡点，记作（xe1，0）和（xe2，0）（xe1＜xe2）.不难验证，（xe1，0）是中心点，（xe2，0）是鞍点.由势能曲线可见，存在一个临界荷载＝2.213 2.当时，相轨迹为封闭的曲线，因此系统随时间的演化非线性周期振动；当时，系统的相轨迹中出现右侧不封闭的“∝”型同宿轨道；当时，系统虽然有中心点和鞍点，但是相轨迹中不再有封闭的曲线；当时，系统没有平衡点.时程曲线给出了系统随时间的运动.图2给出了周期运动时系统周期和振幅随荷载变化的关系.由图2可见，对于每一个小于临界值的荷载，都对应着确定的周期和振幅，并且它们随荷载的增大而增大.但是当时，系统运动不再有周期性，薄壳的变形会随时间一直变大，直到破裂.图2 周期和振幅曲线（m＝1，n＝0）Fig.2 The period and amplitude curves （m＝1，n＝0）3.2.2 m＝1，n＝1应变能模型响应当m＝1，n＝1时，式（8）退化为Mooney-Rivlin应变能模型.此时，该模型存在材料参数b11.由表1可见，变形曲线始终存在斜渐近线，所以系统至少存在一个平衡点.如图3中的曲线，材料参数影响系统平衡点的个数，并存在临界材料参数b11cr＝0.214.（1）b11＝0.1此时，b11＜b11cr.图3给出了不同材料参数的变形曲线及不同荷载时的势能曲线、相轨迹和时程曲线.图3 系统的变形曲线、势能曲线、相轨迹和时程曲线（m＝1，n＝1）Fig.3 The deformation curves，potential energy curves，phase diagrams and time history curves of the system （m ＝1，n＝1）由图3的变形曲线可见，当b11＜b11cr时，存在一个局部极小值和极大值.当时，系统存在一个平衡点，并且为中心点；当时，系统存在3个平衡点（xe1，0）、（xe2，0）和（xe3，0）（xe1＜xe2＜xe3）.不难验证，其中（xe1，0）和（xe3，0）是中心点，（xe2，0）是鞍点；当时，系统存在1个平衡点，并且为中心点.由势能曲线可见，存在一个临界荷载＝2.734 67.当时，相轨迹为封闭的曲线，中心点（xe1，0）是稳定的，系统随时间的演化非线性周期振动；当时，系统的相轨迹中出现非对称“∞”型同宿轨道；当时，系统虽然仍有2个中心点和1个鞍点，但中心点（xe3，0）是稳定的.当时，系统只有1个中心点，相轨迹为封闭的曲线.时程曲线给出了不同荷载作用下系统随时间的运动.图4给出了系统的周期和振幅随荷载变化的关系.由图可见，存在临界荷载＝2.734 67.当时，周期和振幅随荷载的增大而增大，并且在临界荷载处存在极限周期和振幅.当时，周期随荷载的增大而减小，振幅随荷载的增大而增大；当时，发生周期和振幅跳跃现象.图4 周期和振幅曲线（m＝1，n＝1，b11＝0.1）Fig.4 The period andamplitude curves（m＝1，n＝1，b11＝0.1）（2）b11＝0.25此时，b11＞b11cr，图5给出周期运动时系统周期和振幅随时间变化的关系.由图5可见，随着荷载的增大，系统做非线性周期振动，周期和振幅随荷载连续变化，虽然没有跳跃或者突变现象，但是周期曲线存在一个最大值，振幅曲线存在一个拐点.3.2.3 其他情况前面已经对m＝1，n＝0和m＝1，n＝1两种典型的应变能模型的响应问题进行了分析，这两种模型包含了表1中所有的渐近线类型和表2中所有可能的平衡点个数，图6给出了m、n取其他值时的情况.由图6可见，材料参数对变形曲线的渐近线以及系统平衡点个数的影响与前两种典型情况相似，并且同样存在着临界材料参数.通过以上的分析验证可以知道，应变能函数中的参数m、n继续增大时，系统的动力响应并未发生定性的改变，只是在定量方面有一定的影响.图5 周期和振幅曲线（m＝1，n＝1，b11＝0.25）Fig.5 The period and amplitude curves（m＝1，n＝1，b11＝0.25）（2）荷载的大小影响系统振动的稳定性.如图1所示，存在临界荷载，相轨迹出现了非对称的“∝”型同宿轨道，当荷载超过临界荷载时，相轨迹不再封闭，即球形薄壳随时间的径向运动将无限增大，最终破裂；如图3所示，球形薄壳随时间的径向运动始终是一类非线性周期振动，但出现了非对称“∞”型同宿轨道，即存在临界荷载，当荷载超过临界荷载时，球形薄壳发生周期跳跃和振幅跳跃的现象，参见图4.（3）对于Rivlin类材料模型，应变能函数中的低阶项能够定性描述结构的动力响应，增加高阶项能够更加准确地对其进行定量分析，但是不会出现新的响应类型. 图6 材料参数对平衡点个数的影响Fig.6 The effect of material parameters onthe number of equilibrium points4 结论（1）材料参数的取值影响系统平衡点的个数.如图6所示，存在临界材料参数，当材料参数小于临界参数时变形曲线有3个平衡点，当材料参数大于临界参数时变形曲线只有1个平衡点；在有些情况下，变形曲线有两个平衡点或不存在平衡点.【相关文献】［1］敏乾.列车用橡胶堆旁承的两种本构模型振动特性研究［J］.机械，2015，42（10）：30-33，39.MIN Qian.The research on 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结构非线性动力分析方法综述_周文峰
·自然科学研究·结构非线性动力分析方法综述周文峰 郭 剑(攀枝花学院土木工程学院,四川攀枝花 617000)摘 要 时程分析法是一种计算机模拟分析方法,其优势在于能模拟出结构进入非弹性阶段的受力性能。
该方法主要包括结构分析模型、单元模型和恢复力模型三个重要方面。
本文从这三个方面简单介绍了结构非线性动力反应分析方法。
关键词 非线性;动力分析;模型结构抗震设计方法经历了静力阶段、反应谱阶段和动力阶段。
从本质上说,前二者所采用的方法均为静力法,且只能进行弹性分析。
动力阶段的形成建立在计算机的普及和数值分析方法的出现基础之上,其分析方法称为时程分析法。
时程分析法本质上是一种计算机模拟分析方法,能够计算出结构地震反应的全过程,该方法的突出优势在于能模拟出结构进入非弹性阶段的受力性能。
时程分析法的出现促进了结构非线性地震反应分析的发展。
它主要包括结构分析模型、单元模型和恢复力模型三个重要方面,下面从这三个方面进行简单介绍。
1 结构分析模型结构的模型化是非线性动力反应分析的第一步,结构模型的模拟应着重于其动力特性的模拟。
因此体系恢复力、质量、阻尼模型的准确性是模拟精度的前提。
目前的结构分析模型可分为以下几类:1.1 层间模型考虑到框架结构质量的分布规律,很容易形成以楼层为单元的多质点体系的思路,故将这种模型称之为层间模型。
在研究框架结构动力反应时,层间模型中采用得最多的是层间剪切型模型。
该模型假定框架结构层间变形以剪切变形为主,忽略其它形式变形的影响,故而比较适用于高跨比不大、层数不多的框架。
为了进一步拓宽此模型的适用范围,在此模型基础上又发展了层间剪弯型模型,使之能适用于层数较多和高跨比较大的框架。
但是层间模型在实际使用中却存在比较大的困难,这主要反映在如何具体确定层间的剪切刚度及弯曲刚度的问题上,而且这二者之间又是耦合在一起的。
这一问题层间模型自身是无法解决的。
目前,层间模型只是对于常见的层数不多且平面布置十分简单、规则、对称并且能简化为平面结构的框架有一定的实用性,也就是说对于这类框架通常能根据经验进行适当的假设后进行简单推导得到层间单元刚度。
壳的计算(总结)
壳的计算计算要点:壳体的内力和变形计算比较复杂。
为了简化，薄壳通常采用下述假设：材料是弹性的、均匀的，按弹性理论计算;壳体各点的位移比壳体厚度小得多,按照小挠度理论计算；壳体中面的法线在变形后仍为直线且垂直于中面；壳体垂直于中面方向的应力极小，可以忽略不计。
这样就可以把三维的弹性理论问题简化成二维问题进行计算。
在考虑丧失稳定的问题时，需要采用大挠度理论并求解非线性方程。
厚壳结构的计算则不能忽略垂直于中面方向的应力变化，并按三维问题进行分析.一般指封闭或敞开的被两个几何曲面所限的物体，在静力或动力荷载作用下，或在温差、基础沉陷等影响下所引起的应力、变形及稳定性等的计算。
薄壳结构广泛应用于各工程技术领域，如建筑工程中的各种薄壳屋盖及薄壳基础。
壳体可按壁厚h与壳体中面最小主曲率半径R min之比分为薄膜、薄壳及厚壳（包括中厚壳）三类。
h/R min≤1/20者称为薄壳；h/R min>1/20者称为中厚壳或厚壳；h/R min极小，抗弯刚度接近于零者称为薄膜。
薄壳的计算理论有基尔霍夫理论与非基尔霍夫理论。
壳的基尔霍夫假设与板的基尔霍夫假设相同，非基尔霍夫壳体理论考虑横剪切问题较为严密。
目前，在壳体的工程结构计设中普遍采用基尔霍夫理论进行计算。
薄壳的计算理论与薄壳的中面形状、构造形式及材料性质有关。
薄壳可按中面形状分为旋转壳、球壳、圆柱壳、圆锥壳、双曲面壳、抛物面壳、椭球壳、环壳、双曲抛物面壳、扁壳及各类组合壳体等。
若按构造形式分，则有光面壳、加肋壳、夹心壳及多层壳等。
按材料性质分，则有各向同性壳、各向异性壳、线性弹性壳、非线性弹性壳及粘弹性壳等。
对于线性弹性材料的光面壳，其一般计算理论已经可以总结为薄膜理论及弯曲理论二类。
尽管弯曲理论迄今尚无公认的统一形式，但总的说来，各种形式的差别不大。
对于各种形状、各种构造的壳体，其计算方法不尽相同。
许多加肋壳可折算为各向异性光面壳进行处理；夹心壳及多层壳的理论虽然有一定变化，但仍属于一般理论的范畴，扁壳理论由于有一些简化假设，其理论不很复杂，进展较快，已发展到复合材料非线性理论等。
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采用有限质点法的薄壳动力非线性行为分析
杨超1,2，罗尧治1，郑延丰1
(1. 浙江大学 空间结构研究中心，浙江 杭州 310058；2. 广东省高等学校结构与风洞重点实验室，广东 汕头 515063)
摘 要 ： 基 于 有 限 质 点 法 原 理 和 K-L 经 典 薄 壳 理 论 ， 构 造 具 有 大 位 移 大 转 动 分 析 能 力 的 薄 壳 离 散 质 点 模 型 ， 推 导
第 53 卷第 6 期 2019 年 6 月
பைடு நூலகம்
浙 江 大 学 学 报 (工学版)
Journal of Zhejiang University (Engineering Science)
DOI: 10.3785/j.issn.1008-973X.2019.06.001
Vol.53 No.6 Jun. 2019
Abstract: A discrete particle model of thin shells with large displacement and large rotation analysis capability was constructed based on the principle of finite particle method and K-L classical thin shell theory, and the fundamental governing equations and formulas were derived. For the particle displacement and the deformation and internal force of the shell element, the two parts corresponding to the in-plane tension and the out-of-plane bending and twisting were split and superimposed, respectively. The pure deformation related with the membrane rigidity and bending rigidity was sequentially separated by using a physical modeling procedure involving fictitious motions. Then in the local deformation coordinate system, the internal forces and moments were solved, and the explicit time integral formula with variable step sizes for calculation of the out-of-plane rotation was established. The determinations of several key parameters were also given, including particle mass, time step and damping. Moreover, an stress correction algorithm for solving material nonlinearity was introduced to simulate the dynamic nonlinear behavior of a thin shell with large elastic-plastic strain. The efficiency and validity of the presented method and the selfdeveloped program are verified by several benchmark examples of nonlinear shell dynamics. Key words: shell structures; finite particle method; nonlinearity; dynamic; complicated behaviors of structures
YANG Chao1,2, LUO Yao-zhi1, ZHENG Yan-feng1
(1. Space Structure Research Center of Zhejiang University, Hangzhou 310058, China; 2. Key Laboratory of Structure and Wind Tunnel of Guangdong Higher Education Institutes, Shantou 515063, China)
薄壳在包括土木建筑、航天航空、机械电子 等在内的工程科技领域有着广泛应用，如穹顶、 航天器、舰艇以及工业设备与产品的外壳等. 壳
体造型多为复杂曲面，受力后将同时发生面内位 移和横向位移，整体的薄膜状态和弯曲状态相互 耦合，需要同时分析，这使得薄壳的力学求解通
动力非线性行为的模拟，并通过典型算例验证方法及程序的有效性和正确性.
关键词： 薄壳结构；有限质点法；非线性；动力；结构复杂行为
中图分类号： TU 33; TU 311.4
文献标志码： A
文章编号： 1008−973X（2019）06−1019−12
Nonlinear dynamic analysis of shells using finite particle method
表述基本控制方程与公式. 对于质点位移以及壳元的变形和内力，均按照面内拉压和面外弯扭两部分进行拆分
与叠加，并通过物理方式的虚拟运动依次分离出与薄膜刚度和弯曲刚度相关的纯变形，进而在局部变形坐标系
下求解面外变形相对应的质点内力和内力矩，建立质点切平面外转角的变步长显式时间积分式，并对质点质量、
时间步长、阻尼等关键参数取值给出建议. 在此基础上引入材料非线性应力修正算法，实现对薄壳弹塑性大应变