类重整化群方法研究相对论对称性的进展_李冬鹏

中国科学: 物理学 力学 天文学2016年 第46卷 第1期: 012005SCIENTIA SINICA Physica, Mechanica & Astronomica引用格式:李冬鹏, 郭建友. 类重整化群方法研究相对论对称性的进展. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2016, 46: 012005Li D P Guo J Y. Progress on relativistic symmetries by similarity renormalization group (in Chinese). Sci Sin Phys Mech Astron, 2016, 46: 012005, doi: 10.1360/SSPMA2015-00367《中国科学》杂志社SCIENCE CHINA PRESS评 述原子核协变密度泛函理论及其应用专辑类重整化群方法研究相对论对称性的进展李冬鹏①②, 郭建友①*① 安徽大学物理与材料科学学院, 合肥 230039; ② 合肥师范学院电子信息工程学院, 合肥 230601 *联系人, E-mail: jianyou@收稿日期: 2015-07-16; 接受日期: 2015-08-12; 网络出版日期: 2015-12-14 国家自然科学基金资助项目(批准号: 11405040, 11175001)摘要 本文概述了类重整化群方法研究相对论对称性的一些进展, 分别在球形和轴对称情况下, 给出了理论的推导过程. 在协变密度泛函理论框架下, 应用类重整化群方法把Dirac 哈密顿量转换成了对角形式, 分解出了非相对论、动力学、自旋轨道耦合、Darwin 和动能的相对论修正等5个有物理意义的组分算符, 并用这个算符探究了相对论对称性的起源和破缺机制. 结果表明: 自旋对称性几乎完全归因于自旋轨道耦合, 而赝自旋对称性与非相对论项、动力学项和自旋轨道耦合都相关.关键词 相对论对称性, 类重整化群方法, 协变密度泛函理论 PACS: 03.65.Pm, , 21.10.Hw, 21.10.Pc, 24.80.+y1 前言对称性在原子核的壳层结构及其演化规律中扮演着重要角色. 自旋对称性(Spin Symmetry, SS)破缺的引入, 成功地解释了实验上发现的幻数[1–3]. 基于强自旋轨道耦合的壳模型不仅很好地描述许多原子核的基态性质[4], 也能够解释双中子(质子)分离能[5], α衰变半衰期[6]的变化规律, 以及太阳系和人体元素丰度分布[5]. 赝自旋对称(Pseudospin Symmetry, PSS)概念的提出[7,8], 很好地描述了实验上发现的原子核形变和超形变带[9,10], 全同带[11–14], 磁矩[15–17], 赝自旋伙伴带[18,19]和幻数移动[20–26]等现象.由于对称性在解释许多原子核现象方面取得的成功, 探索这种对称性的起源和破缺机制一直是核物理领域的热门话题之一. 早在1949年, Jensen 和Mayer 在Schrödinger 方程中考虑自旋-轨道耦合, 成功解释了幻数, 即自旋对称性破缺问题[1,2]. 在单粒子能级图上, 自旋对称性容易被发现, 如: p 1/2和p 3/2是角动量l =1的自旋伙伴态. 而赝自旋伙伴态, 如: 2s 1/2和1d 3/2, 轨道角动量l 相差2, 难以从单粒子能级图上直接看出. 直到1969年, Arima 和Hecht 两个小组才发现了这一对称性[7,8]. 它表现为量子数为(n ,l , j =l +1/2)和(n -1,l +2,j =l +3/2)的两个单粒子态, 能量非常靠近, 具有近简并结构, 可以标记为赝自旋伙伴态()1,1,12.nn l l j l =-=+=±赝自旋对称性的发现引起了物理学家的关注, 但其起源和破坏机制一直没有弄清楚. 基于谐振子势的壳模型, Bahri 等人[27]指出自旋-轨道相互作用强度和轨道-轨道相互作用强度之间满足特殊比例关系是赝自旋对称性的原因, 而且这一比例可由相对论平均场(Relativistic Mean Field, RMF)理论[28–32]给予解释. Blokhin 等人[33]指出通过一种螺旋性幺正变换可以把正常态变换为赝自旋态(,)l s. 1997年, Ginocchio 通过求解描述球形核的Dirac 方程[34], 指出赝自旋对称性是一种相对论性的对称性, 严格赝自旋对称性的条件是Dirac 方程中的标量势S 和矢量V 势之和为零, 赝轨道角动量l 就是Dirac 波函数的下旋量中的轨道角动量. 此后, Meng 等人[35]给出了更为一般的严格对称性条件, 即S +V =常数, 并指出实际核中的赝自旋对称性与赝离心势垒(PCB)和赝自旋-轨道耦合势(PSOP)相关. 当PCB 远小于PSOP 时, 原子核具有更好的赝自旋对称性[36]. 文献[37]在谐振子势的基础上考虑Woods-Saxon 势修正, 探索了束缚态的赝自旋对称问题. 类似于核子谱, Ginocchio 推测反核子谱中也存在类似的对称性[38], Zhou 等人[39–41]详细研究了反核子谱中的对称性, 发现反核子谱中的自旋对称性比核子谱中的赝自旋对称性更好.和球形核相似, 变形核也存在赝自旋对称性. Bohr 指出: 单粒子态[]()312,,N n Ω=Λ+Λ和(Ω=[]332,,2)N n Λ+Λ+是赝自旋双重态, 标记为()33121,,1N N nn ⎡⎤Ω=Λ±=-=Λ=Λ+⎣⎦[9]. 基于相对论平均场理论, 文献[42,43]研究了球形和形变原子核的赝自旋对称性, 发现无论是球形核还是形变核, 当能级靠近连续阈时, 赝自旋对称性更好. 文献[44,45]研究了轴对称变形核中PCB 与PSOP 对赝自旋对称性的影响, 获得了和球形核一致的结论. 文献[46]从相对论平均场理论出发, 研究了大量形变核中Dirac 波函数的赝自旋对称问题.在原子核中, 由于不存在非束缚核, 严格的赝自旋对称性是不存在的. 虽然人们对赝自旋对称性的起源进行了详细探讨, 实际核中赝自旋对称性的破缺机制一直没有弄清楚. Alberto 等人[47–51]认为: 赝自旋对称性起源于几个能量项的相互抵消和赝自旋对称性具有动力学性质. 文献[52]用微扰方法研究了赝自旋对称性, 指出赝自旋对称性破缺不能被看作赝自旋对称哈密顿量的微扰项, 反映赝自旋对称性的破缺机制比自旋对称性更加复杂, 这一点在文献[53]也有详细讨论. 文献[53]还指出赝自旋对称性的破缺与单粒子态的量子数以及势场形状都相关. 此外, 文献[54]对赝自旋对称性的非微扰机制进行了探讨. 利用超对称变换, 文献[55–58]分别研究了球形和轴对称形变原子核的相对论对称性问题. 文献[59,60]系统探讨了张量力对赝自旋能量劈裂的影响, 指出张量力影响自旋-轨道耦合, 进而影响原子核的赝自旋对称性. 除了束缚态, 共振态中的赝自旋对称性问题也受到人们的关注[61–64].在上述赝自旋对称性的研究中, 需要计算Dirac 下旋量满足的类薛定谔方程(见下面公式(6))中每一项对赝自旋对称性破坏的贡献. 遗憾的是: 在这个方程中, 存在着奇异性、非厄米性以及待求能量和算符的耦合问题. 为了解决这些问题, 文献[65]引入类重整化群(Similarity Renormalization Group, SRG)方法, 通过连续幺正变换把Dirac 哈密顿量转化成对角形式, 其上、下对角元分别对应Dirac 粒子、反粒子算符. 这个算符的每一项都是厄米的, 具有明确的物理意义, 可用来探究相对论对称性的起源和破缺机制. 基于这个方法, 文献[66,67]进一步和超对称变换结合, 研究了赝自旋对称性的起源和破缺机制.关于相对论对称性研究的详细探讨可参阅文献[37,68,69]. 本文主要介绍类重整化群方法在相对论对称性研究方面取得的一些进展.2 理论框架2.1 协变密度泛函理论在协变密度泛函理论(Covariant Density Func- tional Theory, CDFT)框架下[5], 核子之间通过交换介子发生相互作用, 模型的拉格朗日密度可表为(()223111 i 1 242111 ,4224U m m F M g g F g e A μμνμμμνωμμνμμνμνρμμμσωμμμρμνμμμψγσγωτγγψσσσωω+∂∂=∂----⎫-⋅-⎪⎭--ΩΩ+-⋅+⋅- R R ρρτρ (1)其中, 场张量为(),,g μνμννμμνμννμρμνωωΩ=∂-∂=∂-∂-⨯R ρρρρ,F A A μνμννμ=∂-∂标量介子σ场的自耦合为()2234321.234g g U m σσσσσ=++ 由欧拉-拉格朗日方程()0μμϕϕ∂∂-∂=∂∂∂ (2) 可以导出核子运动的Dirac 方程()()(),V M S βψεψ⎡⎤⋅+++=⎣⎦αp r r (3) 其中 31()2(,),V g g e S A g μμμωμσρμμτγωγγσ-=++=⋅r ρτr 分别代表标量和矢量势, α和β是Dirac 矩阵, 细节可参看文献[5]. 在球形情况下, Dirac 旋量可表为 ()()()()i ,1,,jlm jlm F r Y G r Y r θϕψθϕ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(4) 将(4)式代入Dirac 方程, 可得()()()()222211d d 22d d ,4M M r r r M F r F r r M κκκε+++⎧⎡⎤+'∆⎪-+-⎨⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎫'∆++∑-=⎬⎭(5) ()()222211d d 22d d ()(),4M M r r r M G r G r r M κκκε---⎧⎡⎤-'∑⎪-+-⎨⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎫'∑--∆+=⎬⎭ (6)这里2M +=ε+M -∆, 2M -=ε-M -∑; ∑和∆分别表示矢量势和标量势之和及差, 即: ∑=V +S 和∆=V -S ; 量子数κ=(l -j )(2j +1), l 和j 是轨道角动量和总角动量量子数. 如果∑(r )=0或d ∑/dr =0, 方程(6)满足严格的赝自旋对称性[34,35], 但是由于分母包含M -, 计算中会出现奇点, 待求能量和算符耦合等问题. 文献[35,36]等在计算PCB 和PSOP 的贡献时乘以(2M -)2来消除奇点. 文献[70]指出, 乘以(2M -)2的计算与原始势场不同, 在奇点附近更加明显, 影响了人们对赝自旋对称性破缺机制的理解. 基于这些原因, 文献[65]发展了类重整化群方法研究相对论对称性问题. 在协变密度泛函理论框架下, 应用类重整化群方法把Dirac 哈密顿量化成了对角形式, 分离出了Dirac 粒子和反粒子算符, 分解出了非相对论、动力学、自旋轨道耦合、Darwin 和动能的相对论修正等每个有物理意义的组分算符. 下面介绍类重整化群方法研究相对论对称性的细节.2.2 类重整化群方法类重整化群方法的基本思想是基于Wegner [71,72]提出的哈密顿流方程, 其核心是通过连续幺正变换将哈密顿量的非对角元变为零,达到对角化的目的, 关于类重整化群方法的细节可以参考文献[65,73]. 该方法假设系统的哈密顿量H 在幺正变换下可以写成†()()(),H l U l HU l = (7) l 是流算符, 哈密顿量H (l )可以看作是从初始值H (0)= H 经连续幺正变换得到. 对(7)式关于流算符l 求导,可得 ()()()d,,d H l l H l l η⎡⎤=⎣⎦ (8) 这里 ()()()()††d ,d U l l U l l lηη==- (9) 为了解流方程(8),把哈密顿量H (l )写成偶算符ε(l )和奇算符o (l )之和 ()()(),H l l o l ε=+ (10) 这里, 偶算符ε(l )和β满足对易关系, 即: ε(l )β=βε(l ),奇算符o (l )和β满足反对易关系, 即: o (l )β=-βo (l ). 为了使哈密顿量的非对角元部分o (l )在l →∞时衰减为零, 依据Wegner 的理论, 选择η(l )=[βM , H (l )]. 经过计算可以得到, 当l →∞, ()(),H ε∞=∞ 即()()()()()()()()(){()()()()()()()()()()()}201111124113111111111111000210,0,08140032 0,0,0 0,0,00 20,00,0,M o Mo o M o o Mo o o o o εεεβεβεεεεεε∞=++⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦ (11)式中()()()0110,0,0,S V o εβεβ==+=⋅αp (12) 这里只将哈密顿量H 展开到1/M 3阶, 具体原因可以参看第三部分数值计算和讨论的内容(图1).在球形核情况下, (3)式的哈密顿量可以写成d d ,d d M V S r r H M V S r r κκ⎛⎫++-+ ⎪⎪= ⎪+-+- ⎪⎝⎭(13) 初始条件(12)式可写为()011(0),00(0),00d 0d 0,d 0d V SS V V S r r o r r εβεβκκ=+∑⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪-∆⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎪= ⎪+ ⎪⎝⎭(14) 将(14)代入(11)式, 可得()0,0P A H M H M ε+⎛⎫∞= ⎪--⎝⎭ (15) 其中 ()2222223324331d 2d 24d 2d 82224 168P p H r Sp S M r r M M S S Sp S r r M M M S p M M κκ'∆⎛⎫'=∑+--- ⎪⎝⎭'''∑∆⎛⎫'++-+ ⎪⎝⎭'''''∑-∑∆+∑-- (16) 是描述Dirac 粒子的算符, 这里p 2=-d 2/d r 2+κ(κ+1)/r 2,算符右上角的一撇代表该算符对求一阶导数, 两撇是求二阶导数. 公式中的前两项表示非相对论部分,第三、第六项是动力学项, 第四、第七项是自旋-轨道耦合项, 第五、第八项表示Darwin 项, 最后一项表示相对论的动能修正. 在公式(16)中, 待求能量和算符没有耦合、每一项都是厄米的, 不存在奇点, 自旋-轨道耦合算符被完全分离出来, 能方便地用来探索相对论对称性的起源和破缺机制. 从公式(16)可以看出, 当0'∆=时, 系统具有完全的自旋对称性, 这与(5)式的情况相同. 另外()22221d 2d 24A p H r Sp S M r r M M κ'∑⎛⎫'=-∆+---⎪⎝⎭22332433d 2d 82224168S S Sp S r r M M M S p M M κ'''∆∑⎛⎫'-+-+⎪⎝⎭'''''∆-∑∆+∆--(17)是描述Dirac 反粒子的算符, 这里p 2=-d 2/d r 2+ κ(κ-1)/r 2, H A 可由H P 经电荷共轭变换得到[49].众所周知, 在核素图上, 球形核只是位于幻数附近的少数核, 大部分原子核是形变的, 因此需要对描述任意形变核的Dirac 哈密顿算符对角化, 以便研究形变核的相对论对称性问题. 将(12)式代入(11)式, 可得描述任意形变核的对角化的Dirac 哈密顿算 符[73,74], 其表达式和公式(15)一致, 这里nr dy sl km dw ++++,P H H H H H H = (18) 其中, H nr , H dy , H Sl , H km 和H dw 分别对应非相对论项、动力学项、自旋-轨道耦合项、相对论动能修正项和Darwin 项, 具体形式为 ()()()()2nr 22dy 23sl 24km 32dw 2322,212,22121,4,811816 24,=∑+=--∇⋅∇+-∇⋅∇⎛⎫=-⋅∇∆⨯ ⎪⎝⎭=-=∇∑-⎡⎤⋅∇∑-∇∑⋅∇∆+∇∑⎣⎦p H MSH Sp S Sp S M M S H M M p H M H M M S σp (19) 公式(18)和(19)是描述任意形变核的对角化的Dirac 哈密顿算符. 在轴对称情况下, 自旋-轨道耦合项可以化为 sl †,X Y H Y X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭(20) 其中 ()()()()()()2i 2,,12111cot ,4,,1211e4,,1 cot .r r S X L M r r r M r r S Y M r r r M r r L r r ϕϕϕθθθθθθθθθθθθ-⎛⎫∂∆∂∆⎛⎫=-+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎡∂∆∂∆∂∂⎛⎫=-⨯-⎢ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎣⎤⎛⎫∂∆∂∆+-⎥ ⎪∂∂⎥⎝⎭⎦公式(18)和(19)可以用来探究任意形变核的相对论对称性的起源及其破坏机制. 下面分别介绍利用公式(16)以及(18)和(19)探究球形和轴对称形变核的相对论对称性问题.3 计算结果与讨论3.1 球形核相对论对称性的研究利用公式(16)可以探究球形原子核相对论对称性的起源和破坏机制, 细节参看文献[65].图1展示了6对赝自旋伙伴态单粒子能级随展开阶数增加的变化情况. 从图中可以看出, 在非相对论极限近似下, H P 的能谱与精确解偏离很大, 随着展开阶数的增加, 偏离越来越小, 到1/M 3阶, H P 的能谱与精确解之间, 无论是能级位置还是劈裂大小, 都十分接近. 表明展开到1/M 阶的Dirac 哈密顿量H P 可以很好地描述原子核的单粒子能级. 因此, 下面利用展开到1/M 阶的H P 探索相对论对称性的起源和破坏机制, 并分析势场形状对相对论对称性的影响[75]. 为方便计, Dirac 哈密顿量H P 中的标量势和矢量势采用Woods-Saxon 形式, 即()()()()00,,, ,,.r f a r r r f a r r ∑∑∆∆∑=∑∆=∆ (22)其中()(){},,1/1exp /.f a R r R r a ⎡⎤=+-⎣⎦图1 (网络版彩图)哈密立顿量H P 的能谱对应的6对赝自旋伙伴态的单粒子能级. 每个子图的第一、第二和第三栏分别对应非相对论极限、展开到1/M 2阶和1/M 3阶的计算结果, 最后一栏是精确解的结果(取自文献[65])Figure 1 (Color online) The energy spectrum of H P for the six pseudospin partners. The first column in each subfigure indicates that H P is approximated to the nonrelativistic limit. The second and third columns in each subfigure indicate that H P is approximated to the orders 1/M 2 and 1/M 3, respectively. The fourth column in each subfigure indicates the exact relativistic spectra [65].利用(22)式,可以分析相对论对称性的起源及其与势场形状的关联. 图2展示了H P 中每一项对赝自旋双重态(2f 7/2, 1h 9/2)和(2g 9/2, 1i 11/2)能量劈裂的贡献及其随弥散参数a 的变化情况. 从图中可以看出, 非相对论、动力学和自旋-轨道耦合项对赝自旋能量劈裂的贡献很大, 而相对论的动能修正和Darwin 项对赝自旋能量劈裂的贡献几乎可以忽略. 非相对论项对赝自旋能量劈裂的贡献对弥散参数a 非常敏感, 其余项对赝自旋能量劈裂的贡献与弥散参数a 的关系不明显, 总的能量劈裂随a 的变化趋势和非相对论情况一致, 即总的能量劈裂随a 的变化主要源于非相对论效应. 虽然如此, 自旋-轨道相互作用和动力学效应是赝自旋对称性的形成原因. 在a 的变化范围, 自旋-轨道相互作用总是改进赝自旋对称性, 随着轨道角动量的增加, 改进更加显著. 和自旋-轨道相互作用不同, 对于深束缚的能级, 动力学效应破坏赝自旋对称性, 随着能级向连续谱靠近, 动力学效应演化为改进赝自旋对称性.图2 (网络版彩图)H P 中每一项对赝自旋双重态(2f 7/2, 1h 9/2)和(2g 9/2, 1i 11/2)能量劈裂的贡献及其随弥散参数a 的变化情况. 其中, “nonrelati”对应非相对论极限的结果, “dynam- ical (spin-orbit)”对应动力学项(自旋轨道耦合项)的结果, “other”是Darwin 项和相对论动能修正的共同结果, “total” 是总的赝自旋能量劈裂Figure 2 (Color online) Comparisons of the contributions of all the terms in H P to the pseudospin energy splitting and their correlations with the surface diffuseness a for the (2f 7/2, 1h 9/2) and (2g 9/2, 1i 11/2) partners, where “nonrelati” denotes the result in the nonrelativistic limit, “dynamical (spin-orbit)” denotes the data contributed by the dynamical term (the spin-orbit interactions), “other” marks a combination of the contributions of Darwin term and the relativistic kinetic modification to the pseudospin splitting, and “total” labels the total pseudospin energy splitting.除了弥散度, 我们也探索了势阱深度和相对论对称性的关系, 如图3所示, 随着势阱深度变浅, 赝自旋对称性变好. 赝自旋对称性和势阱深度的这种关系主要来源于非相对论、动力学和自旋-轨道耦合项的贡献, 相对论的动能修正和Darwin项的贡献几乎可以忽略. 此外, 我们也观察到, 非相对论项和自旋轨道耦合项对赝自旋能量劈裂的贡献与势阱深度的关系不明显, 总的赝自旋能量劈裂随势阱深度∑0的变化趋势和动力学项的贡献相一致. 在∑0的变化范围, 自旋轨道耦合相互作用总是改进赝自旋对称性, 这种改进随着轨道角动量的增加而增加. 对于赝自旋双重态(2f7/2, 1h9/2), 动力学项破坏赝自旋对称性, 随着势阱变浅, 破坏减弱; 而对于赝自旋双重态(2g9/2, 1i11/2), 动力学效应改进赝自旋对称性, 随着势阱变浅, 改进增强. 这反映随着单粒子能级向连续谱移动, 赝自旋对称性变好的原因之一是动力学破坏减弱或改进增强.图4展示了H P中的每一项对赝自旋能量劈裂的贡献随势阱范围R的变化情况. 和图2类似, 非相对论、动力学和自旋-轨道耦合项对赝自旋能量劈裂有重要贡献, 其他项的贡献可以忽略. 在R的变化范围, 非相对论项总是破坏赝自旋对称性, 自旋-轨道耦合项总是改进赝自旋对称性, 而且这个破坏(改进)随着轨道角动量的增加而增大, 随着R的增大而减少. 和自旋-轨道耦合项相比, 动力学项对赝自旋劈裂的图3(网络版彩图)和图2类似, 这里是赝自旋双重态(2f7/2, 1h9/2)和(2g9/2, 1i11/2)的能量劈裂随势阱深度∑0的变化情况Figure 3(Color online) The same as Figure 2, but with the depth of the Woods-Saxon potential ∑0 for the (2f7/2, 1h9/2) and (2g9/2, 1i11/2)partners. 图4(网络版彩图)和图2类似, 这里是赝自旋双重态(2f7/2, 1h9/2)和(2g9/2, 1i11/2)的能量劈裂随势阱范围R的变化情况Figure 4(Color online) The same as Figure 2, but with the range of the Woods-Saxon potential R for the (2f7/2, 1h9/2) and (2g9/2, 1i11/2) partners.贡献更为复杂. 在深束缚区, 动力学效应破坏赝自旋对称性, 随着势阱范围R的减小, 能级向连续谱移动, 动力学项由破坏演化为改进赝自旋对称性. 这些表明动力学效应和自旋-轨道相互作用在赝自旋对称性中扮演着重要作用.3.2 轴对称形变核相对论对称性的研究和球形核类似, 利用公式(18)和(19)可以探究形变核相对论对称性的起源和破坏机制, 细节参看文献[73,74]. 以轴对称形变核为例, 势场取为()()()()()()()()022022,,S r S r S r PV r V r V r Pθθ=+=+式中()()2213cos1.2Pθθ=-径向部分采用Woods- Saxon势形式[76]. 图5展示了H P中每一项对自旋能量劈裂的贡献及其随四极形变β2的变化情况. 非相对论项、动力学项和自旋-轨道耦合项对自旋能量劈裂的贡献是主要的, 相对论动能修正和Darwin项对自旋能量劈裂的贡献非常小. 对于长椭形变核, 非相对论项和动力学项对自旋能量劈裂的贡献接近相互抵消, 总的自旋能量劈裂几乎完全源自于自旋-轨道相互作用, 特别是Ω=j的自旋双重态, (Ω表示角动量j 在第三轴上的投影), 如(7/2[404], 9/2[404]), (5/2[303], 7/2[303])和(3/2[202], 5/2[202])自旋双重态. 对于Ω<j 的自旋双重态, 非相对论项和动力学项对自旋能量图5(网络版彩图)H P中每一项对自旋能量劈裂的贡献及其随四极形变β2的变化情况, “nonrela, dynam, spinorb, relakin 和Darwin”分别代表非相对论、动力学、自旋-轨道耦合、相对论动能修正和达尔文项对自旋能量劈裂的贡献, “total”代表总的自旋能量劈裂. 1d, 1f和1g是相应的球形核标记(取自文献[74])Figure 5(Color online) Comparisons of the contributions of all the terms in H P to the spin energy splitting and their correlations with the deformation parameter β2 for four pairs of spin doublets. Here “nonrela,” “dynam,” “spinorb,” “relakin,” and “Darwin” denote the no- nrelativistic part, the dynamical term, the spin-orbit term, the relati- vistic modification of kinetic energy, and the Darwin term, respectively. As a guide to the eyes, the total pseudospin energy splitting is marked as “total”. 1d, 1f and 1g are the corresponding spherical notations [74]. 劈裂的贡献没有相互抵消, 它们对自旋能量劈裂有一定影响, 但自旋-轨道耦合项的贡献仍然是主要的, 如自旋双重态(5/2[413], 7/2[413]). 此外, 我们也注意到, 随着轨道角动量的增加, 自旋-轨道耦合项对自旋能量劈裂的贡献增加, 从而使总的自旋能量劈裂增大. 对于Ω=j的自旋双重态, 自旋能量劈裂随着形变的增大而增大也是源自于自旋-轨道相互作用. 对于扁椭形变核, 由于存在着组态混合, 情况变得更为复杂, 但非相对论项、动力学项和自旋-轨道耦合项仍然是引起自旋能量劈裂的主要原因.图6展示了H P中每一项对赝自旋能量劈裂的贡献及其随四极形变β2的变化情况. 不同于自旋能量劈裂, 赝自旋双重态的能量劈裂更为复杂. 在β2的变化范围, 非相对论项、动力学项和自旋-轨道耦合项对赝自旋能量劈裂都有贡献. 非相对论项总是破坏赝图6(网络版彩图)类似图5, 这里是赝自旋能量劈裂. 1d,1f 和1g 对应球形核单粒子态的赝自旋标记. (取自文献[74]) Figure 6(Color online) The same as Figure 5, but for the pseudospin energy splitting. 1d, 1f and 1g are the corresponding pseudospin spherical notations [74].自旋对称性, 自旋-轨道相互作用总是改进赝自旋对称性, 而动力学效应与能级所处的位置相关. 和球形核类, 对于深束缚的能级, 动力学项破坏赝自旋对称性, 随着能级向连续阈靠近, 动力学效应由破坏演化为改进赝自旋对称性. 对于长椭形变核, 赝自旋能量劈裂几乎不随四极形变β2变化, 尤其是Ω=j的赝自旋双重态, 如: (5/2[402], 7/2[404])和(3/2[301], 5/2[303])自旋双重态. 对于Ω<j的赝自旋双重态, 赝自旋能量劈裂随β2增加而增加主要源自于动力学效应的减弱, 如(3/2[521], 5/2[523])赝自旋双重态. 对于扁椭形变核, 由于组态混合, 赝自旋能量劈裂变得十分复杂, 和自旋能量劈裂类似, 非相对论项、动力学项和自旋-轨道耦合项仍然是引起赝自旋能量劈裂的主要原因.此外, 我们也研究了自旋和赝自旋对称性的相对论效应[77], 发现自旋对称性破坏和赝自旋对称性改进都源自于相对论效应, 在非相对论情况下, 不存在自旋对称性破坏和赝自旋对称性; 研究了在谐振子势中运动的Dirac粒子, 单粒子能量和波函数的相对论对称性[78], 发现自旋和和赝自旋劈裂与谐振子势的势场形状存在关联.综上所述, 无论对于球形核或形变核, 在非相对论情况下, 不存在自旋-轨道劈裂, 自旋对称性破坏完全源自于相对论效应, 非相对论项、动力学项和自旋-轨道耦合项扮演着主要作用, 相对论的动能修正和Darwin项对自旋对称性几乎没有影响. 对于长椭球核, 非相对论项和动力学项对自旋能量劈裂的贡献相互抵消, 自旋-轨道劈裂几乎完全来自于自旋-轨道耦合项. 和自旋对称性类似, 在非相对论情况下, 赝自旋双重态的能量劈裂是非常大的, 原子核具有好的赝自旋对称性主要源自于相对论效应. 自旋-轨道耦合相互作用和动力学效应在赝自旋对称性中扮演着主要角色, 相对论的动能修正和Darwin项对赝自旋对称性的影响可以忽略. 自旋-轨道相互作用总是改进赝自旋对称性, 改进的程度与能级位置、双重态的量子数以及势场形状相关. 动力学效应更为复杂, 对于深束缚的能级, 动力学效应破坏赝自旋对称性, 随着能级向连续谱移动, 动力学效应演化为改进赝自旋对称性, 动力学效应的这种演化与能级位置、双重态的量子数以及势场形状都相关. 这些澄清了相对论对称性的起源和破坏机制, 解释了费米面附近的能级具有更好赝自旋对称性的原因.4 总结本文概述了在协变密度泛函理论框架下, 应用类重整化群方法研究相对论对称性的一些进展, 介绍了把Dirac哈密顿算符对角化的一些理论细节, 给出了对角化的Dirac哈密顿算符, 其上、下对角元分别对应Dirac粒子、反粒子算符. 这个Dirac粒子和反粒子算符由一些列有独立物理意义的组分算符构成, 每一个组分算符都是厄米的、不存在奇异性, 在获得的类Schrödinger方程中, 能量与算符不存在耦合, 解决了相对论对称性研究中存在的非厄米的、奇异性和待求能量和算符的耦合问题, 并用这个算符探究了相对论对称性的起源及其破缺机制, 获得了一些有意义的结果.对于自旋对称性, 相对论的动能修正和Darwin 项对自旋能量劈裂几乎没有影响, 自旋对称性破坏主要源自于非相对论、动力学和自旋-轨道耦合项的贡献, 对于长椭球核, 非相对论项和动力学项对自旋能量劈裂的贡献相互抵消, 自旋-轨道劈裂几乎完全来自于自旋-轨道耦合相互作用. 对于赝自旋对称性, 自旋-轨道耦合和动力学项扮演着主要作用, 相对论的动能修正和Darwin项可以忽略. 自旋-轨道相互作用总是改进赝自旋对称性, 对于深束缚的能级, 动力学项破坏赝自旋对称性, 随着能级向连续谱移动, 动力学效应演化为改进赝自旋对称性, 这些都与能级位置、双重态的量子数以及势场形状相关, 揭示了相对论对称性的起源和破坏机制, 解释了费米面附近的能级具有更好赝自旋对称性的原因. 总之, 无论对于自旋或赝自旋对称性, 都来源于相对论效应.参考文献1Haxel O, Jensen J H D, Suess H E. 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