第四章 导数的应用
高中数学导数的应用
高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。
一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。
例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。
二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。
对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。
同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。
这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。
三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。
对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。
因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。
这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。
四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。
当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。
而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。
这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。
总结起来，导数的应用非常广泛。
无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。
因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。
只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数的意义及应用
导数的意义及应用导数是微积分的重要概念之一，真实世界中有许多应用与导数相关。
导数表示一个函数在其中一点上的瞬时变化率。
可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数能够提供有关函数如何随着自变量的变化而变化的信息。
导数的应用：1.确定函数的递增和递减区间函数在其中一点的导数为正表示函数在该点处递增，即函数的值随自变量的增加而增大。
函数在其中一点的导数为负表示函数在该点处递减，即函数的值随自变量的增加而减小。
通过导数的正负性推断出函数的递增和递减区间。
2.求取最大值和最小值在函数图像上，极大值和极小值对应于导数为零或不存在的点，即导数为零的点可能是函数的极值点。
可以通过导数值的变化确定极值的位置，并通过二次导数的符号推断出最大值和最小值。
3.切线和法线导数可以用来确定函数曲线在其中一点的切线方程。
切线是曲线在该点上的最佳线性逼近。
导数还可以用来确定切线的斜率，进一步确定切线的方程。
法线是切线的垂直线，法线的斜率是切线斜率的相反数。
4.求解速度和加速度在物理学和工程学中，导数用于求解物体的速度和加速度。
速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过求解导数，可以确定物体的速度和加速度的变化率。
5.求解曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过函数的导数的变化来确定。
如果函数的二阶导数为正，表示函数的曲线是凹向上的；如果函数的二阶导数为负，表示函数的曲线是凹向下的。
通过确定曲线的凹凸性，可以优化路径规划和表面设计等。
6.求解函数的方程导数在求解函数的方程时也发挥重要作用。
利用导数可以找到函数的零点，即函数的图像与x轴相交的点。
通过求解导数，可以确定方程的解的存在性和位置。
总之，导数在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。
从数学的角度来看，导数提供了函数变化的有用信息。
从物理学、工程学和其他科学领域来看，导数帮助我们了解和解释自然现象以及进行预测和优化。
高等数学教案第四章
第四章 微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续， （2）在(a, b)内可导， （3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。
拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式 定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。
通信数学实用教程 第四章 导数的应用
′
′′
lim
= lim ′
= lim ′′
→0
→0
→0
且可以依次类推。
1+ −1
例1.求lim
（为常数）
→0
0
0
解：这是 → 0时的 型未定式，且满足洛必达法则的条件，所以
1+ −1
lim
→0
= lim
→0
1+ −1 ′
→0
2
1
−
−1
→1 2 −1
4、lim
1
1
=
2
→0 2 2 2
= lim
1−
−1
1
=lim
=−
2
→1 2 −1 →1 2
= lim
3
33
3
=lim
=−
5
→ 5 → 5 2 5
5、lim
−
=lim
=cosa
→0
→0
（2） 及 在点0 的某一去心领域内可导，且
′
（3） lim ′
→0
存在（或为无穷大），
那么
′
lim
= lim ′
→0
→0
说明：
0
0
∞
∞
（1）上述定理对于 → ∞时的未定式 和 同样适用
（2）满足条件的前提下，洛必达法则在一个题中可以多次使用，即
令 ′ = 0，解得 1 = −1, 2 = 3
（3）列表讨论：
x
(, 1)
1
( 1,3)
3
f (x)
+
微积分课件 第4章 导数的应用 4
2021年11月3日星期三
注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除
有限个点外f ′(x)>0(或<0)。即：区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 如：
y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x>5/4时 y′>0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x ≤ 5/4时y′≤0，且导 数等于零的点有两个，因此y在(-∞,5/4]上递减。
定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有
f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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y
y f (x)
5
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3. 利用单调性证明不等式
方法是将不等式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，
然后求导分析f(x)的单调性。
例 证 明x 0时 ln(1 x) x x 2 。 2(1 x)
证明
设f
(x)
ln(1
x) (x
x2 2(1
)， x)
f
( x)
x2 2(1 x)2
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2021年11月3日星期三
二、最值 1. 闭区间情况
极值是局部性质，把所有的极值都综合考虑可求最值。我们知 道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值、最小值， 显然f(x)的最值点要么是极值点，要么是区间的端点，因此只 要求出所有的极值点，把它们的函数值与两端点的函数值相比 较，最大的即为最大值，最小的为最小值。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
中值定理与导数应用
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10/5/2024
第四章 中值定理与导数应用
第17页
例7 证明当x [ 1 ，1]时，不等式 2
arctan x ln(1 x2 ) ln 2
4 成立.
例8 证明：若函数f (x)在(， )内 满足关系式 f (x) f (x)，且f (0)＝1，
则 f (x) ex.
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f '() 0
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第四章 中值定理与导数应用
y 几何解释:
第4页
C y f (x)
o a 1
2 b x
在两端点高度相同的连续曲线弧AB上，
若除端点外处处均有不垂直于x轴的切
线存在，则此曲线弧上至少有一点C,
在该点处的切线平行于x轴.
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第四章 中值定理与导数应用
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1)
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1) f (0)
f (2 ) x1 f (1) x1 (x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2 )
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
并求满足定理的值. 例4 证明 arcsin x arccos x
2 (1 x 1).
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——证明恒等式旳一般措施
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第四章 中值定理与导数应用
第13页
例5 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
例6 设 Lim f (x) K , 求 x＋
Lim [ f (x a) f (x)].(a 0)
x＋
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导数的应用
2
3
3
因此,f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递减区间是:
(2k
2
3
,2k
4
3
)(k
Z
).
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1
1
x1 .
由xf
(x) 0 1 0
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3) f (x) x ax x2 (a 0);
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
f ( x) ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
为增函数. 依题意应有 当 x (1,4)时, f (x) 0,当x (6,)时, f (x) 0.
所以 4 a 1 6. 解得 5 a 7.
所以 a 的取值范围是[5，7].
；可以提现的棋牌游戏 可以提现的棋牌游戏 ；
沿途分布着季节性洲滩湖泊 散居在洪泽湖沿岸 南北长约10000m 河流转向西流横贯库尔勒市区 4%； 松门山海拔90.流域特征 经莎车、泽普、麦盖提、巴楚县 均处于振荡式的负向运动中 喀什地区首府喀什市 濉河 湖面周围形成了223平方千米的湿地 旱情减轻 被称为“白鹤王国” 白虾剥虾仁出肉率高 绕城与石梁河汇合入天井湖 十一圩港南起江阴北 迫使下荆江洪水从“华容隆起”的垭口（原小溪向北的流路）向南漫流 成朱联圩位于南昌市新建区境内 6% 另有淮沭新河和苏北灌溉总渠 向东偏南流 ?环庐山山南公路在鄱阳湖西北岸庐山市和濂溪区
导数的原理与应用
导数的原理与应用一、导数的定义•导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
•函数在某点处的导数，表示该点处函数曲线的切线斜率。
二、导数的计算方法1.利用极限–导数f′(x)可以通过极限 $f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$ 来计算。
–这种方法适用于所有类型的函数，但计算较为繁琐。
2.常用的导数公式–f(x)=C，其中C为常数，导数f′(x)=0。
–f(x)=x n，其中n为常数，导数f′(x)=nx n−1。
–$f(x)=\\sin(x)$ ，导数 $f'(x)=\\cos(x)$。
–$f(x)=\\cos(x)$ ，导数 $f'(x)=-\\sin(x)$。
三、导数的性质1.导数的可加性–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则(f+g)′(x)=f′(x)+ g′(x)。
2.导数的乘法法则–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\cdot g)'(x)=f'(x) \\cdot g(x)+f(x) \\cdot g'(x)$。
3.导数的链式法则–若函数 y=f(u) 和 u=g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\circg)'(x)=f'(g(x)) \\cdot g'(x)$。
四、导数的应用1.切线和切线方程–导数可以描述函数曲线在某点处的切线斜率。
–切线方程为y=f′(x)(x−x0)+f(x0)，其中x0为切线与函数曲线的交点横坐标。
2.极值和拐点–导数可以用来判断函数的极大值、极小值和拐点。
–在导数图像中，极大值对应导数从正数到负数的转折点，极小值对应导数从负数到正数的转折点，拐点对应导数的极值点。
3.函数图像的性态–导数可以用来研究函数的递增、递减和凹凸性。
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
高数(1)第四章微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用【字体：大中小】【打印】4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101：针对该题提问】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102：针对该题提问】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103：针对该题提问】推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104：针对该题提问】证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。
导数的应用概述
导数的应用概述导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的应用广泛，涉及到许多领域，如物理学、经济学、工程学等。
本文将对导数的应用进行概述，介绍几个常见的应用场景。
1. 最值问题导数可以用来求函数的最值。
我们知道，在一个可导函数的极值点处，导数为零或不存在。
因此，通过求函数的导数，并解方程找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
然后通过二阶导数的符号来判断极值点的类型，是极大值还是极小值。
例如，我们有一个函数f(x)表示某商品的需求曲线，通过求导并解方程f'(x)=0，可以找到最大需求和最小需求的价格。
2. 切线与法线导数还可以用来求函数图像上的切线和法线。
切线是函数图像在某点的斜率，而斜率恰好就是该点处的导数值。
因此，我们可以通过求导得到函数在某点处的导数，从而得到该点的切线。
例如，我们有一个位置函数s(t)，表示某物体在时间t时的位置。
通过求导得到速度函数v(t)，我们可以知道在任意时间t时物体的速度，进而得到该时刻物体运动轨迹上的切线。
3. 函数图像的变化趋势函数的导数还可以用来描述函数图像的变化趋势。
根据导数的正负性，可以判断函数在某一区间上是递增还是递减。
例如，对于函数f(x)，如果在某区间上导数大于零，则说明函数在该区间上递增；如果导数小于零，则说明函数在该区间上递减。
这样，我们就可以通过函数的导数来判断其图像的升降性，并画出函数的大致图像。
4. 曲线的凹凸性导数的二阶导数可以判定函数图像上的曲线是凹还是凸。
具体地说，如果函数的二阶导数大于零，则函数图像是凹的；如果二阶导数小于零，则函数图像是凸的。
例如，对于函数f(x)，我们可以通过计算它的二阶导数f''(x)来判断函数图像在某一区间上的凹凸性。
这个判断对于模型的建立和问题的分析具有重要作用。
综上所述，导数作为微积分的重要工具，具有广泛的应用。
通过求导，我们可以解决最值问题、求切线和法线、描述函数图像的变化趋势以及判断曲线的凹凸性等。
高等教育自学考试高等数学(一)第 四 章 微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用一、考核要求Ⅰ 知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。
Ⅱ 能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。
Ⅲ 会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。
Ⅳ 会求函数的极值。
Ⅴ 会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。
Ⅵ 会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。
Ⅶ 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。
二、基本概念、主要定理和公式、典型例题Ⅰ 微分中值定理今后，如果函数f(x)在某一点x0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说f(x)在（a，b）内至少有一个驻点。
从y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）内至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。
从函数y= f(x)的图形看（见下图），连接y= f(x)在[a，b]上的图形的端点A与B，则线段AB的斜率为：将AB平行移动至某处，当AB的平行线与曲线y=f(x)相切时，若切点为x=c，则根据导数的几何意义知：或写作故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。
典型例题例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（）① ，[-1，1]；② ，[-1，1]；③ ，[1， 2]；④ ，[-1，1]。
解：①在[-1，1]上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以在b区间[-1，1]上处处连续满足第一个条件。
又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件因此这函数在开间内不是处处可导，只少在0这一点不可导的，因此不满足第二个条件。
② 在x=o处不可导，∴也不满足第二个条件。
③ f(1)=1，f(2)=4，∴在[1，2]上满足第三个条件。
④ ，处处可导且处处连续，f(-1)=1， f(1)=1。
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第四章 导数的应用第一节 微分中值定理本节主要用到闭区间上连续函数的性质。
复习几个基本定理：复习定理1、（有界定理）设函数)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上有界，即0>∃M ，对],[b a x ∈∀，恒有M x f ≤)(。
复习定理2、（最值定理）设函数)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上至少取得最大值和最小值各一次，即ηξ,∃使得{})(max )(x f f bx a ≤≤=ξ，],[b a ∈ξ， {})(min )(x f f bx a ≤≤=η，],[b a ∈η。
复习定理3、（介值定理）设函数)(x f 在],[b a 上连续，μ是介于最大值M 和最小值m 之间的任一实数，则在],[b a 上至少存在一个ξ，使得μξ=)(f 。
复习定理4、（零点定理）设函数)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则在),(b a 内至少存在一个ξ，使得0)(=ξf 。
学习微分中值定理：定义：设函数)(x f 在],[b a 上连续，如果对点),(0b a x ∈，存在0>δ，使得],[),(00b a x x I ⊂+-=δδ并且当I x ∈时，)()(0x f x f ≥，就称)(0x f 是)(x f 在],[b a 上的一个极大值，0x 称为)(x f 的一个极大值点。
类似地可定义极小值和极小值点。
极大值和极小值统称为极值。
一、费马（Fermat ）引理若函数)(x f 在其极值点),(0b a x ∈处可导，则必有0)('0=x f 。
证明：不妨设)(0x f 是)(x f 在],[b a 上的一个极大值，则存在0>δ，使得当),(00δδ+-∈x x x 时，有)()(0x f x f ≥。
因此当00x x x <<-δ时，有0)()(00≥--x x x f x f ， 而当δ+<<00x x x 时，有 0)()(00≤--x x x f x f ， 而定理的条件是)('0x f 存在，则)('0x f-和)('0x f +都存在且相等，显然0)()(lim )(')('000000≥--==-→-x x x f x f x f x f x x ，0)()(lim )(')('000000≤--==+→+x x x f x f x f xf x x ， 必须0)('0=x f二、洛尔（Rolle ）中值定理定理1、如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，那么在),(b a 内至少有一点ξ )(b a <<ξ，使得 0)('=ξf . 在几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为0)(=x f ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明，曲线弧上至少有一点))(,(ξξf ，曲线在该点切线是水平的。
证明：由于)(x f 在闭区间],[b a 上连续，由最值定理知道，)(x f 在],[b a 上可取得最大值M 和最小值m ，即m x f M ≤≤)(。
（1）当m M =时，)(x f 为常数，显然成立。
（2）当m M ≠时，用费马定理即得。
补充知识1、Rolle(1652-1719)法国数学家Rolle年轻时因家境贫困，所以仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论。
1682年，他解决了数学家Ozanam提出的一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机，得到了社会上层人士的经济援助。
Rolle所处的时代正当微积分诞生不久，因而微积分遭受到多方面的非议，Rolle就是反对派之一。
他认为：“微积分是巧妙的谬论的汇集。
”从而Rolle和一些数学家之间展开了激烈的争论，直到1706年秋，他才放弃自己的观点，充分认识到无穷小分析新方法的价值。
他在1691年的论著《方程的解法》中论证了：在多项式方程f(x)=0的两个相邻的实根之间，至少有一个实根（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。
这个定理本来和微分学没有关系，但在一百多年后，即1846年Giusto Bellavitis将这一定理推广到可微函数，即函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点c，使 .并把此定理命名为Rolle定理，一直沿用至今.例1、验证洛尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
解：函数x y sin ln =的定义域D 为ππ)12(2+<<k x k ， ,1,0±=k ，而初等函数在其有定义的区间上都是连续的，因此该函数在D ⊂⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡),0(65,6πππ上连续；又⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛652ln 6ππy y ，且x y cot '=在⎪⎭⎫ ⎝⎛65,6ππ存在，于是函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上满足洛尔定理条件。
例2、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤-=,121,0,210,2)(2x x x x x f 则)(x f 在区间[]1,0上连续，0)1()0(==f f ，在21=x 处不可导，但是当41=x 处有041'=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 。
注①验证定理正确与否，需验证两点：（1）定理条件是否满足；（2）若定理条件满足，求出定理中的中值。
②洛尔定理中的三个条件缺一不可，若条件满足，一定有结论。
③洛尔定理的条件只是充分条件。
④洛尔定理只是指出ξ的存在性，并没说ξ是唯一的，也没有给出ξ的求法。
例3、证明：对任意实数c ，方程033=+-c x x 在]1,0[上无相异的根。
在利用洛尔定理去证明时，一般要用到辅助函数。
例3、设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(=f ，证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使得ξξξ)()('f f -=。
例4、设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对R ∈∀α，存在一点),(b a ∈ξ，使得)(')(ξξαf f =。
三、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 定理2、如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；)(b a <<ξ，使得 几何意义：光滑曲线段AB 上总存在一点))(,(ξξf ，使得过该点的切线与连接曲线段端点的弦相互平行。
运动学意义：设)(x f 是质点的运动规律，质点在时间区间],[b a 上走过的路程是)()(a f b f -，那么a b a f b f --)()(代表质点在),(b a 上的平均速度，拉格朗日中值定理表明，在),(b a 中存在这样的时刻ξ，质点在ξ处的瞬时速度)('ξf 恰好就是它在],[b a 上的平均速度。
补充知识2、lagrange拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法国力学家、数学家。
1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。
拉格朗日20岁以前在都灵炮兵学校教数学课。
1756年被选为柏林科学院外籍院士。
1766年去柏林科学院接替L．欧拉，担任物理数学部主任，直到1787年离开柏林到巴黎定居为止。
1789年法国革命后，他从事度量衡米制改革，担任法国经度局委员，并讲授课程。
1795年巴黎综合工科学校成立，他和该校创立者G．蒙日（1746~1818）一起担任主要的数学教员。
他被拿破仑任命为参议员，封为伯爵。
死后葬于巴黎先贤祠。
拉格朗日是分析力学的奠基人。
他在所著《分析力学》（1788）中，吸收并发展了欧拉、达朗贝尔等人的研究成果，应用数学分析解决质点和质点系（包括刚体、流体）的力学问题。
拉格朗日继欧拉之后研究过理想流体运动方程，并最先提出速度势和流函数的概念，成为流体无旋运动理论的基础。
他在《分析力学》中从动力学普遍方程导出的流体运动方程，着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程，这种方法现在称为拉格朗日方法，以区别着眼于空间点的欧拉方法，但实际上这种方法欧拉也应用过。
1764~1778年，他因研究月球平动等天体力学问题曾五次获法国科学院奖。
在数学方面，拉格朗日是变分法的奠基人之一；他对代数方程的研究为伽罗瓦群论的建立起了先导作用。
证明：构造辅助函数拉格朗日中值定理常用变形形式：（1）))((')()(a b f a f b f -=-ξ；（2）x f x f x x f ∆=-∆+)(')()(ξ；（3）若记θξ=∆-x x，则10<<θ，x x x f x f x x f ∆∆+=-∆+)(')()(θ，或x x x f y ∆∆+=∆)('θ，它称为有限增量公式。
推论1、如果)(x f 在开区间),(b a 内可导，且0)('=x f ，则)(x f 在开区间),(b a 内为常数。
推论2、如果)(x F 和)(x G 在开区间),(b a 内可导，且)(')('x G x F =，则在开区间),(b a 内恒有C x G x F +=)()(。
例5、已知2)(x x f =在]2,1[上满足拉格朗日定理条件，求ξ和θ。
例6、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么至少在),(b a 内有一点ξ，使得 0)](')()[()()(=+---ξξξf f a b a af b bf .例7、证明：当0>x 时，x x xx <+<+)1ln(1。
例8、证明：当0≠x 时，x e x +>1。
四、柯西（Cauchy ）中值定理 定理3、如果函数)(x f 和)(x g 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）0)('≠x g ，),(b a x ∈，)(b a <<ξ，使得柯西（Cauchy ，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易〃弗朗索瓦〃柯西是法国波旁王由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。