2015年高考数学模拟冲刺卷(理科)含答案
2015届高三第二次模拟考试理科数学试题(Word版 含答案)1
2015年高考模拟试题(一)理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若21mii-+为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则A ．[]1,2B ．[)1,2C ．[]0,3D ．(]0,33．若0a b <<，则下列结论中正确的是 A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2b aa b+> 4．已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则 A ．4B ．2C ．3-D ．4-5．执行右面的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为 A ．（11，12）B ．（12，13）C ．（13，14）D ．（13，12）6．已知()xf x e x =-，命题()(),0p x R f x ∀∈>：，则 A ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< D ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤7．若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知函数()()()()()()22,log ,ln xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==，若0=，则 A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形区域（含边界），若点(),x y D ∈，则211y x x -++的取值范围是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“~λ特征函数”.下列结论中正确的个数为 ①()0f x =是常数函数中唯一的“~λ特征函数”；②()21f x x =+不是“~λ特征函数”； ③“13~λ特征函数”至少有一个零点；④()x f x e =是一个“~λ特征函数”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上. 11．已知向量与满足()2,a b a b b ==-⊥，则a 与b 的夹角为_________.12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有______种.13．直线1ax =与圆221x y +=相交于B A ,两点（其中a ，b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点（1，0）之间距离的最小值为_______. 14．已知()()0sin n f n nx dx π=⎰，若对于()()(),1231R f f f n x x ∀∈++⋅⋅⋅+<++-恒成立，则正整数n的最大值为___________.15．已知点D C B A ,,,均在球O的球面上，1,AB BC AC ==，若三棱锥D ABC -体积的最大值是14，则球O 的表面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为(),,1,sin 2sin a b c f C B A ==，若，且ABC ∆的面积为求c 的值.17．（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]0,100，样本数据分组为[)[)0,20,20,40，[)[)[]40,60,60,80,80,100.（1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率） 18．（本小题满分12分）一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD 为一个矩形，其中4,6==AD AB ，顶部线段EF //平面ABCD ，棱FC FB ED EA ====二面角F BC A --.设N M ,分别是BC AD ,的中点.（1）证明：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）已知{}n a 满足()()121n n na n a n N *+=+∈，且13,1,4a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足()sin n n n b a S π=，为数列{}n b 的前n 项和， 求证：对任意,2n n N S π*∈<+. 20．（本小题满分13分） 已知函数()()2ln 1f x ax x =++.（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，B A ,是椭圆上位于直线2x =两侧的动点. （i ）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； （ii ）当点B A ,运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.。
2015届高三考前模拟(理科)数学试卷附答案
2015届高三考前模拟（理科）数学试卷考试时间：150分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知全集,U R =集合{}{}3|log (1),|2x A x y x B y y ==-==,则()U A B =ð ( )A ．0+∞（，）B ．(0,1]C ．(1,)+∞D ．(1,2) 2．复数1312iz i-=+，则（ ） A. z ＝2 B. z 的实部为1 C. z 的虚部为i - D. z 的共轭复数为1i -+3．已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝（ ）A.0.22B.0.28C.0.36D.0.644．执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ） A.(21，41) B.[21，41] C.(21，41] D.[21，41)5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 52，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n＝（ ） A.14n -B. 41n -C. 12n -D. 21n-6．在直角三角形ABC 中，2C π∠=，2,1,AB AC ==若32AD AB =uuu r uu u r ，则CD CB ⋅=uu u r uu r( )A.92B.5C.6D.97．△ABC 的顶点A 在24y x =上，B ，C 两点在直线250x y -+=上，若AB AC -uu u r uuu r＝2 5 ，则△ABC 面积的最小值为( ) A.55B.1C.2D.5 8.一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的表面积为（ ） A.12233π++B. 123π+开始是x ≤81？否 输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1C. 3233π+D. 233π+ 9．函数1)1(cos 2)(f 2---=x xx x ，其图像的对称中心是（ ）A ．（－1，1） B.（1，－1） C.（1，1） D.（0，－1）10．设三位数n abc =（即10010n a b c =++，其中,,a b c N *∈）,若以,,a b c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ）A ．45个 B.81个 C.165个 D.216个 11.已知函数()(,xxaf x e a R e e =+∈是自然对数的底数)在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. [0,1]B. [1,0]-C. [1,1]-D. 22(,][,)e e -∞-⋃+∞12．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列四个命题：①曲线C 有且仅有一条对称轴； ②曲线C 的长度l 满足l ＞2；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24 ；④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 16上述命题中，真命题的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．二项式2101)x x-（的展开式中的常数项是 ． 14．四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球的表面积为_ __．15．点P 在△ABC 内部（包含边界），3,4,5AC AB BC ===，点P 到三边的距离分别是123,,d d d ，则123d d d ++的取值范围是____ ____． 16．在数列{}n a 中，已知11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则1112a a +=三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求a ＋bc的最大值．18.（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：甲 乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3（Ⅰ）求这两名队员在比赛中得分的均值和方差； （Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X 的分布列和期望．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面AB 1B 1A 为 正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60︒， AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）求证：平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角B -AC -A 1的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．21.（本小题满分12分）设定义在(0,)+∞上的函数ln (),(),x n n x e f x g x x x==其中n N *∈(Ⅰ)求函数()f x 的最大值及函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若存在直线:()l y c c R =∈,使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l的两侧，求n 的最大值.（参考数据：ln 4 1.386,ln5 1.609≈≈）请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋ π4)＝2距离的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）设函数1()=||||(0)f x x x a a a-++>.证明：()2f x ≥； （Ⅱ）若实数z y x ,,满足22243x y z ++=,求证:23x y z ++≤理科数学参考答案 一、选择题：BDBCD ABBBC CA 二、填空题：（13）45 （14）100π （15）[ 12 5 ，4] （16）35262±三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ． …3分因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3． (6)分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π3)] ＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)． ………………………10分当A ＝ π3时，a ＋b c取最大值2． ……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x-乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．…………4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k (1316)2－k，k ＝0，1，2，…………7分 X 的分布列为X 0 1 2P 169256 78256 9256…………10分X 的均值E (X )＝2×316＝ 38． …………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面AB 1B 1A 为正方形，知AB ⊥BB 1．又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面AB 1B 1A ，所以平面AB 1B 1A ⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O -xyz ． 其中O 是BB 1的中点，Ox ∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)． …6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0，即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)． …………………10分 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B -AC -A 1的余弦值为－77． ……………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1， ①且a 2－b 2a ＝22， ②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．………………………………………………………6分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分B CB 1B AC 1A 1Axz y O（Ⅲ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………12分21.（22）解：（Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ……………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2． ……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（23）证明:(Ⅰ)由0a >，有111()=|||||)()|2f x x x a x x a a a a a-++≥--+=+≥( 所以()2f x ≥ ………………………5分 (Ⅱ)22243x y z ++=,由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++(当且仅当2111x y z ==即6355x z y ===，时取“=”号)整理得:9)2(2≤++z y x ,即32≤++z y x ……………………10分。
2015年高考理科数学模拟试题(二)(含答案)
２０１５年高考数学（理科）模拟试题（二）㊀㊀一㊁选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知集合Ａ＝｛０，１，２｝，则集合Ｂ＝｛ｘ－ｙ｜ｘɪＡ，ｙɪＡ｝中元素的个数是（㊀㊀）．Ａ．１㊀㊀㊀Ｂ．３㊀㊀㊀Ｃ．５㊀㊀㊀Ｄ．９２．已知ｉ是虚数单位，若（２－ｉ）㊃ｚ＝ｉ３，则ｚ＝（㊀）．Ａ．１５－２５ｉ㊀㊀㊀㊀Ｂ．－２５＋１５ｉ㊀㊀Ｃ．－２５－１５ｉ㊀㊀Ｄ．１５＋２５ｉ３．命题 对任意ｘɪＲ，都有ｘ２ȡ０ 的否定为（㊀）．Ａ．对任意ｘɪＲ，都有ｘ２＜０Ｂ．不存在ｘɪＲ，都有ｘ２＜０Ｃ．存在ｘ０ɪＲ，使得ｘ２０ȡ０Ｄ．存在ｘ０ɪＲ，使得ｘ２０＜０４．某班有男生３６人，女生１８人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为９的样本，则抽取的女生人数为（㊀㊀）．Ａ．６㊀㊀㊀Ｂ．４㊀㊀㊀Ｃ．３㊀㊀㊀Ｄ．２５．下列函数中是奇函数且周期是π的是（㊀）．Ａ．ｙ＝２ｃｏｓ（２ｘ＋π２）㊀㊀㊀Ｂ．ｙ＝２ｃｏｓ（ｘ＋π２）Ｃ．ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π２）㊀㊀㊀Ｄ．ｙ＝２ｓｉｎ（ｘ＋π２）６．如图所示，在下列四个几何体中，其三视图中有且仅有两个相同的是（㊀㊀）．Ａ．②③④㊀㊀Ｂ．①②③㊀㊀Ｃ．①③④㊀㊀Ｄ．①②④７．从１，３，５，７，９这５个奇数中选取３个数字，从２，４，６，８这４个偶数中选取２个数字，再将这５个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列，这样的五位数的个数是（㊀㊀）．Ａ．１８０㊀㊀㊀Ｂ．３６０㊀㊀㊀Ｃ．４８０㊀㊀㊀Ｄ．７２０８．某算法的程序框图如图所示，则输出Ｓ的值是（㊀㊀）．Ａ．６㊀㊀Ｂ．２４Ｃ．１２０㊀㊀Ｄ．８４０㊀㊀９．已知点Ｐ在抛物线ｘ２＝４ｙ上，且点Ｐ到ｘ轴的距离与点Ｐ到此抛物线的焦点的距离之比为１ʒ３，则点Ｐ到ｘ轴的距离是（㊀）．Ａ．１４㊀㊀Ｂ．１２㊀㊀Ｃ．１㊀㊀Ｄ．２１０．设偶函数ｆ（ｘ）（ｘɪＲ）满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），且当ｘɪ［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ｘ２．又函数ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓ（πｘ），则函数ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）在区间［－１２，３２］上的零点个数为（㊀㊀）．Ａ．５㊀㊀㊀Ｂ．６㊀㊀㊀Ｃ．７㊀㊀㊀Ｄ．８二㊁填空题：本大题共５小题，每小题５分，共２５分．１１．二项式２ｘ３－１２ｘ２æèçöø÷５的展开式的常数项是㊀㊀㊀㊀．１２．在平面直角坐标系中，若点Ａ（１，１），Ｂ（２，４），Ｃ（－１，３），则｜ＡＢң－ＡＣң｜＝㊀㊀㊀㊀．１３．设函数ｆ（ｘ）＝２１－ｘ，ｘɤ１，１－ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）ɤ２时ｘ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１４．已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线与圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋２＝０有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１５．设满足条件ｘ２＋ｙ２ɤ１的点（ｘ，ｙ）构成的平面区域的面积为Ｓ１，满足条件［ｘ］２＋［ｙ］２ɤ１的点（ｘ，ｙ）构成的平面区域的面积为Ｓ２（其中［ｘ］㊁［ｙ］分别表示不大于ｘ㊁ｙ的最大整数，例如［－０．３］＝－１，［１．２］＝１），给出下列结论：①点（Ｓ１，Ｓ２）在直线ｙ＝ｘ左上方的区域内；②点（Ｓ１，Ｓ２）在直线ｘ＋ｙ＝７左下方的区域内；③Ｓ１＜Ｓ２；④Ｓ１＞Ｓ２．其中所有正确结论的序号是㊀㊀㊀㊀．三㊁解答题：本大题共６小题，共７５分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１６．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋ｃｏｓ（２ｘ－π３）．（Ⅰ）求ｆ（ｘ）的最大值及取得最大值时ｘ的值；（Ⅱ）在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ｆ（Ｃ）＝１，ｃ＝２３，ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ，求әＡＢＣ的面积．１７．（本小题满分１２分）在数列｛ａｎ｝中，前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）２．３６（Ⅰ）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（Ⅱ）设ｂｎ＝ａｎ２ｎ，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，求Ｔｎ的取值范围．１８．（本小题满分１２分）某中学举行了一次 环保知识竞赛 ．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为１００分）作为样本（样本容量为ｎ）进行统计．按照［５０，６０），［６０，７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在［５０，６０），［９０，１００］的数据）．（Ⅰ）求样本容量ｎ和频率分布直方图中ｘ㊁ｙ的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是８０分以上（含８０分）的同学中随机抽取３名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的３名同学得分在［８０，９０）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．１９．（本小题满分１２分）直三棱柱ＡＢＣ Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ＝ＢＢ１＝１２ＢＣ，øＡＢＣ＝９０ʎ，Ｎ㊁Ｆ分别为Ａ１Ｃ１㊁Ｂ１Ｃ１的中点．（Ⅰ）求证：ＣＦʅ平面ＮＦＢ；（Ⅱ）求二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值．２０．（本小题满分１３分）已知点Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），动点Ｇ满足ＧＦ１＋ＧＦ２＝２２．（Ⅰ）求动点Ｇ的轨迹Ω的方程；（Ⅱ）已知过点Ｆ２且与ｘ轴不垂直的直线ｌ交（Ⅰ）中的轨迹Ω于Ｐ㊁Ｑ两点．在线段ＯＦ２上是否存在点Ｍ（ｍ，０），使得以ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数ｍ的取值范围；若不存在，请说明理由．２１．（本小题满分１４分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｋｅｘ－ｘ２（其中ｋɪＲ，ｅ是自然对数的底数）．（Ⅰ）若ｋ＜０，试判断函数ｆ（ｘ）在区间（０，＋ɕ）上的单调性；（Ⅱ）若ｋ＝２，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，试比较ｆ（ｘ）与２的大小；（Ⅲ）若函数ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２），求ｋ的取值范围，并证明０＜ｆ（ｘ１）＜１．参考答案一㊁ＣＡＤＣＡ㊀㊀㊀ＡＤＣＢＢ二㊁１１．－５㊀１２．１０㊀１３．［０，＋ɕ）㊀１４．（１，２］㊀１５．①③三㊁解答题１６．解（Ⅰ）由已知，得ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋ｃｏｓ（２ｘ－π３）＝３２ｓｉｎ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ＋３２ｓｉｎ２ｘ＝３ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６）．当２ｘ＋π６＝２ｋπ＋π２，即ｘ＝ｋπ＋π６（ｋɪＺ）时，函数ｆ（ｘ）取得最大值２．（Ⅱ）由ｆ（Ｃ）＝２ｓｉｎ（２Ｃ＋π６）＝１得ｓｉｎ（２Ｃ＋π６）＝１２，因为π６＜２Ｃ＋π６＜２π＋π６，所以２Ｃ＋π６＝５π６，解得Ｃ＝π３．因为ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ，根据正弦定理，得ａ＝２ｂ，由余弦定理，有ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ，（２３）２＝４ｂ２＋ｂ２－２ˑ２ｂ２ｃｏｓπ３＝３ｂ２，解得ｂ＝２，ａ＝４，故әＡＢＣ的面积ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ˑ４ˑ２ˑｓｉｎπ３＝２３．１７．解（Ⅰ）当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝１；当ｎȡ２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ｎ（ｎ＋１）２－（ｎ－１）ｎ２＝ｎ，经验证，ａ１＝１满足上式，故数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ｎ．（Ⅱ）由题意，易得Ｔｎ＝１２＋２２２＋３２３＋ ＋ｎ２ｎ，则１２Ｔｎ＝１２２＋２２３＋３２４＋ ＋ｎ２ｎ＋１，两式相减，得Ｔｎ－１２Ｔｎ＝１２＋１２２＋１２３＋ ＋１２ｎ－ｎ２ｎ＋１＝１－１２ｎ－ｎ２ｎ＋１，所以Ｔｎ＝２－ｎ＋２２ｎ．由于Ｔｎ＋１－Ｔｎ＝ｎ＋１２ｎ＋１＞０，则Ｔｎ单调递增，故ＴｎȡＴ１＝１２，又Ｔｎ＝２－ｎ＋２２２＜２，故Ｔｎ的取值范围是［１２，２）．１８．解（Ⅰ）由题意可知，样本容量ｎ＝８０．０１６ˑ１０＝５０，ｙ＝２５０ˑ１０＝０．００４，ｘ＝０．１－０．００４－０．０１０－０．０１６－０．０４＝０．０３０．（Ⅱ）由题意可知，分数在［８０，９０）有５人，分数在［９０，１００］有２人，共７人．抽取的３名同学中得分在［８０，９０）的学生个数ξ的可能取值为１，２，３，则Ｐ（ξ＝１）＝Ｃ１５Ｃ２２Ｃ３７＝５３５＝１７，Ｐ（ξ＝２）＝Ｃ２５Ｃ１２Ｃ３７＝２０３５＝４７，Ｐ（ξ＝３）＝Ｃ３５Ｃ３７＝１０３５＝２７，所以ξ的分布列如下：ξ１２３ｐ１７４７２７㊀㊀故ξ的数学期望为Ｅξ＝１ˑ１７＋２ˑ４７＋３ˑ２７＝１５７．１９．解㊀解法一：（Ⅰ）直三棱柱ＡＢＣ Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｂ１ＢʅＡＢ，ＢＣʅＡＢ，４６Ｂ１ＢɘＢＣ＝Ｂ，所以ＡＢʅ平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ．又Ｎ㊁Ｆ分别为Ａ１Ｃ１㊁Ｂ１Ｃ１的中点，所以ＡＢʊＡ１Ｂ１ʊＮＦ，ＮＦʅ平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ．又因ＦＣ⊂平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ，所以ＮＦʅＦＣ．取ＢＣ中点Ｇ，有ＢＧ＝ＧＦ＝ＧＣ，所以ＢＦʅＦＣ，又ＮＦɘＦＢ＝Ｆ，所以ＣＦʅ平面ＮＦＢ．（Ⅱ）由题意，平面ＡＢＣʅ平面ＡＣＣ１Ａ１，平面ＡＢＣɘ平面ＡＣＣ１Ａ１＝ＡＣ．过点Ｂ作ＢＨʅＡＣ于Ｈ，则ＢＨʅ平面ＡＣＣ１Ａ１，所以ＢＨʅＮＣ．过Ｈ作ＨＥʅＮＣ于Ｅ，连结ＢＥ，所以ＮＣʅ平面ＢＥＨ，ＮＣʅＢＥ，则øＢＥＨ是二面角Ｂ ＮＣ Ａ的平面角．在ＲｔәＡＢＣ中，ＢＨˑＡＣ＝ＡＢˑＢＣ．不妨设ＡＢ＝ａ，则ＢＨ＝ＡＢˑＢＣＡＣ＝２５５ａ．因为ＢＦ＝ＣＦ，所以在әＢＮＣ中，ＮＣ＝ＢＮ＝３２ａ，ＢＥˑＣＮ＝ＢＣˑＮＧ．又因为在ＲｔәＢＮＧ中，ＮＧ＝５２ａ，所以ＢＥ＝ＢＣˑＮＧＣＮ＝２５３ａ，故在ＲｔәＢＥＨ中，ｓｉｎøＢＥＨ＝ＢＨＢＥ＝３５，则ｃｏｓøＢＥＨ＝ＢＨＢＥ＝４５，二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值为４５．解法二：（Ⅰ）以Ｂ１为坐标原点，Ｂ１Ｂ，Ｂ１Ｃ１，Ｂ１Ａ１所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴，建立空间直角坐标系．不妨设ＡＢ＝ａ，则Ｂ１（０，０，０），Ｂ（ａ，０，０），Ｆ（０，ａ，０），Ａ１（０，０，ａ），Ｃ１（０，２ａ，０），Ｎ（０，ａ，ａ２），Ｃ（ａ，２ａ，０），则ＢＦң＝（－ａ，ａ，０），ＦＮң＝（０，０，ａ２），ＣＦң＝（－ａ，－ａ，０），ＣＦң㊃ＢＦң＝ａ２－ａ２＝０，ＣＦң㊃ＦＮң＝０ˑ（－ａ）＋０ˑ（－ａ）＋０ˑａ２＝０，所以ＣＦʅＢＦ，ＣＦʅＦＮ，又ＢＦɘＦＮ＝Ｆ，所以ＣＦʅ平面ＮＦＢ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ＣＣ１ң＝（－ａ，０，０），Ａ１Ｃ１ң＝（０，２ａ，－ａ），ＢＣң＝（０，２ａ，０），ＢＮң＝（－ａ，ａ，ａ２），设平面ＡＣＣ１Ａ１的一个法向量为ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），则有ｎ１㊃ＣＣ１ң＝０与ｎ１㊃Ａ１Ｃ１ң＝０，即－ａｘ１＝０与２ａｙ１－ａｚ１＝０，取ｙ１＝１，ｚ１＝２，则ｎ１＝（０，１，２）．设平面ＢＮＣ的一个法向量为ｎ２＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则有ｎ２㊃ＢＣң＝０与ｎ２㊃ＢＮң＝０，即２ａｙ２＝０与－ａｘ２＋ａｙ２＋ａ２ｚ２＝０，取ｘ２＝１，ｚ２＝２，则ｎ２＝（１，０，２）．设二面角Ｂ ＮＣ Ａ的大小为θ，则由ｎ２㊃ｎ２＝ｎ１㊃ｎ２ｃｏｓθ得二面角Ｂ ＮＣ Ａ的余弦值为４５．２０．解（Ⅰ）由ＧＦ１＋ＧＦ２＝２２，且Ｆ１Ｆ２＜２２知，动点Ｇ的轨迹是以Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）为焦点的椭圆，设椭圆的标准方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），ｃ＝ａ２＋ｂ２，由题知，ｃ＝１，ａ＝２，则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝２－１＝１，故动点Ｇ的轨迹Ω的方程是ｘ２２＋ｙ２＝１．（Ⅱ）假设在线段ＯＦ２上存在Ｍ（ｍ，０）（０＜ｍ＜１），使得以ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形，直线ｌ与ｘ轴不垂直，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）（ｋʂ０），由ｘ２＋２ｙ２＝２，ｙ＝ｋ（ｘ－１），{可得（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２ｋ２－２＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２１＋２ｋ２，ｘ１ｘ２＝２ｋ２－２１＋２ｋ２，ＭＰң＝（ｘ１－ｍ，ｙ１），ＭＱң＝（ｘ２－ｍ，ｙ２），ＰＱң＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１），其中ｘ２－ｘ１ʂ０．由于ＭＰ㊁ＭＱ为邻边的平行四边形是菱形，所以（ＭＰң＋ＭＱң）ʅＰＱң，则有（ＭＰң＋ＭＱң）㊃ＰＱң＝０，从而有（ｘ２＋ｘ１－２ｍ，ｙ２＋ｙ１）㊃（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）＝０，所以（ｘ２＋ｘ１－２ｍ）（ｘ２－ｘ１）＋（ｙ２＋ｙ１）（ｙ２－ｙ１）＝０，又因ｙ＝ｋ（ｘ－１），则有ｙ２－ｙ１＝ｋ（ｘ２－ｘ１），ｙ２＋ｙ１＝ｋ（ｘ１＋ｘ２－２），故上述式子可以变形为（ｘ１＋ｘ２－２ｍ）＋ｋ２（ｘ１＋ｘ２－２）＝０，将ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２１＋２ｋ２代入上式，可以得到（４ｋ２１＋２ｋ２－２ｍ）＋ｋ２（４ｋ２１＋２ｋ２－２）＝０，即２ｋ２－（２＋４ｋ２）ｍ＝０，所以ｍ＝ｋ２１＋２ｋ２（ｋʂ０），可知０＜ｍ＜１２，故实数ｍ的取值范围是（０，１２）．２１．解㊀（Ⅰ）由ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ可知，当ｋ＜０时，由于ｘɪ（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ＜０，故函数ｆ（ｘ）在区间（０，＋ɕ）上是单调递减函数．（Ⅱ）当ｋ＝２时，ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ，令ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ，ｈᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２，由于ｘɪ（０，＋ɕ），故ｈᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２＞０，于是ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ在区间（０，＋ɕ）上为增函数，所以ｈ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ＞ｈ（０）＝２＞０，即ｆᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－２ｘ＞０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，从而ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２在区间（０，＋ɕ）上为增函数，故ｆ（ｘ）＝２ｅｘ－ｘ２＞ｆ（０）＝２．（Ⅲ）函数ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ１，ｘ２，则ｘ１，ｘ２是ｆᶄ（ｘ）＝ｋｅｘ－２ｘ＝０的两个根，即方程ｋ＝２ｘｅｘ有两个根，设φ（ｘ）＝２ｘｅｘ，则φᶄ（ｘ）＝２－２ｘｅｘ，当ｘ＜０时，φᶄ（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增且φ（ｘ）＜０；当０＜ｘ＜１时，φᶄ（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增且φ（ｘ）＞０；当ｘ＞１时，φᶄ（ｘ）＜０，函数φ（ｘ）单调递减且φ（ｘ）＞０．要使方程ｋ＝２ｘｅｘ有两个根，只需０＜ｋ＜φ（１）＝２ｅ，故实数ｋ的取值范围是（０，２ｅ）．又由上可知函数ｆ（ｘ）的两个极值点ｘ１，ｘ２满足０＜ｘ１＜１＜ｘ２，由ｆᶄ（ｘ１）＝ｋｅｘ１－２ｘ１＝０，得ｋ＝２ｘ１ｅｘ１，所以ｆ（ｘ１）＝ｋｅｘ１－ｘ２１＝２ｘ１ｅｘ１ｅｘ１－ｘ２１＝ｘ１（２－ｘ１）＝－ｘ２１＋２ｘ１＝－（ｘ１－１）２＋１，由于ｘ１ɪ（０，１），故０＜－（ｘ１－１）２＋１＜１，所以０＜ｆ（ｘ１）＜１．５６。
2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷(1)数学(理科)
2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷（1）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|20A x x x =+-<，{}|23B x x =-<<，则B C A 等于A ．{}|13x x ≤<B ．{}|23x x ≤<C ．{}|21x x -<<D ．{}|2123x x x -<≤≤<或 2．已知复数z 的共轭复数是31ii -+，则复数z 等于 A ．12i -B ．12i +C ．12i --D ．2i -3．抛物线22(0)y px p =->的准线经过，则p =ABC．D．4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像如图所示，为了得到函数π需要将()y f x =的图像A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3πC ．向右平移6π个单位D ．向右平移3π5．设,,l m n 表示不同的直线，,,αβγ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；正(主)视图2③若l αβ=，m βγ=，n γα=，则l ∥m ∥n ； ④若m αβ=，l βγ=，n γα=，且n ∥β，则l ∥m ．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．当实数,x y 满足不等式0,0,22,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有3ax y +≤成立，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤B ．0a ≥C ．02a ≤≤D ．a 7．运行右图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为A ．49B ．25C ．13D ．78．如图，水平放置的几何体的三视图，形、侧（左）视图为长为3A ．30+B ．6+C ．D ．429．已知(1)f x +是偶函数，且()f x 在区间(1,)+∞上 单调递减，(2)a f =，3(log 2)b f =，1()2c f =，则有A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<10．有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机调整到上层，若其它书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为A ．35B ．310C ．12D ．2511．如图，已知双曲线的中心在坐标原点O ，左焦点为F ，C 是双曲线虚轴的下顶点，双曲线的一条渐近线OD 与直线FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则ODF ∠的余弦值是A ．7B ．7C D12．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x =(1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围为A ．104k <≤或k = B ．104k <≤C ．104k <<或k =D ．104k <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 的否定形式为 ．14．已知数列{}n a 满足11a =，*11()4nn n a a n N +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，21123444n n n S a a a a -=+⋅+⋅++⋅，类比课本推导等数列前n 项和公式的方法，可求得54n n n S a -＝ ．15．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+＝ ．16．已知函数22()1x f x x =+，函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在[]10,1x ∈，对任意[]20,1x ∈，都有12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2cos()4sin sin 1B C B C -=-．（1）求A ； （2）若13,sin23B a ==，求b ． 18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，2BC =，1BC1CC =△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点．（1）求证：EF ∥平面1A BC ；（2）若三角形ABC 中，BC 边上的高为整数，且EF 与平面11ACC A所成的角的正弦值为3，求二面角1C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是12，这1名女生报此所大学的概率是13．且这4人报此所大学互不影响． （1）求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；（2）在报考某所大学的上述4名学生中，记ξ为报这所大学的男生和女生人数的和，试求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点为1(F，2F ，且椭圆C 的下顶点到直线20x y +-=的距离为2（1）求椭圆C 的方程；（2）若一直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B （A 、B 不是椭圆C 的顶点）两点，以AB 为直径的圆过椭圆C 的上顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-（a 为实数）．（1）求()f x 在区间[],2(0)t t t +>上的最小值；（2）若存在两个不等实根121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围．A BCA 1C 1B 1E F请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（1）若13EC EB =，12ED EA =，求DCAB的值； （2）若2EF FA FB =⋅，证明：EF ∥CD23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为4cos ρθ=，直线l的方程为2,21,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T ． （1）求点T 的极坐标；（2）过点T 作直线l '，l '被曲线C 截得的线段长为2，求直线l '的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设()||2||(0)f x x x a a =+->． （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤； （2若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷（1）数学（理科）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。
2015年高三数学理科模拟试卷及参考答案
2015年高三数学理科模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( ) A. (1)(2)(2)f f f -<<- B. (2)(1)(2)f f f -<-<C. (2)(2)(1)f f f <-<-D. (1)(2)(2)f f f -<-<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为( ) A.14B.23C.28D.386．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B.14或23C.23D.23或348．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F,过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF+的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 169．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r=-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r=+≤，若BA⊂，则实数r可以取的一个值是( )A. 21+ B. 3 C. 2 D.212+10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x xf xf x x⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．设等差数列{}na满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-.若当且仅当9n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A.74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．14．若整数．．,x y满足不等式组70y xx yx-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y+的最大值为15．已知正三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．三．解答题。
2015高考数学模拟试卷及答案解析-理科
2015高考数学模拟试卷及答案解析（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）=3sin x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．233π+ B ．2323π+ C ．232π+ D ．23π+6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a= A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放．A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 A ．2+1B ．2C ．2D ．2－110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．22C ．6D ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为 。
2015高考一模 数学」2015年山东省高考模拟冲刺卷(一)数学(理工类)试题及答案
绝密★启用前 试卷类型A山东省2015年高考模拟冲刺卷（一）理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、复数5)zi i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +2、若[-1,1]{}2|1x x tx t ⊆-+≤,则实数t 的取值范围是（ ）A ．[-1,0]B ．[2-C ．(,2]-∞-D ．[2-2+3、已知()2,M m 是抛物线()220y px p =>上一点，则“1p ≥”是“点M 到抛物线焦点的距离不少于3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线（ ）A ． BCD 5、在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A ．B ．2C ．D ．46、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．π4C ．π2D ．π25 7、定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则ma x {4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）A ．[8,10]-B ．[7,10]-C ．[6,8]-D ．[7,8]-8、函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为 （ ） A ．2 B ．4C ．8D ．169、已知△ABC 中，内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,且b c C a =+23cos ，若123,1=-=b c a ，则角B 为（ ）A ．4πB ．6πC ．3πD ．12π10、设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、已知函数a a x x f +-=|2|)(．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为 ． 12、已知点A()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N13、已知函数()11,1x x f x e x -≤≤=>⎪⎩ 则⎰-21d )(x x f = ． 14、把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为： ．（用数字作答） 15、已知函数x xe x f =)(，记)()(0x f x f '=，)()(01x f x f '=，…，)()(1x f x f n n -'=且12x x >，对于下列命题：①函数)(x f 存在平行于x 轴的切线； ②0)()(2121>--x x x f x f ；③x x e xe x f 2014)(2012+='；④1221)()(x x f x x f +<+．其中正确的命题序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f ．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到EF A 1 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值．数列}{n a 中，,11=a 当2≥n 时，其前n 项和为n S ，满足).21(2-=n n nS a S （Ⅰ）求n S 的表达式； （Ⅱ）设,12+=n S b n n 数列}{n b 的前n 项和为n T ，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G的上顶点，且145PFO ∠=︒． （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）已知直线1l ：1ykx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示．（1）证明：120m m +=；（Ⅲ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值．已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--．（Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 在定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意正整数n ，222134232)1ln(nn n +++++<+ ．山东省2015年高考模拟冲刺卷参考答案理科数学（一）1、A2、A3、B4、D5、B6、A7、B8、C9、B 10、B 11、112、C13、22e e π+-14、96 15、①③；16、解：（1）)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f )cos 23sin 21(sin 2x x x -+=)cos 21sin 23(32x x -=)6sin(32π-=x ------4分 由Z k k x k ∈+≤-≤-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤-,32232ππππ． 所以f （x ）的单调递增区间为)](322,32[Z k k k ∈+-ππππ -----6分 （2）因为3)(=A f ，所以21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A --------8分 因为B b A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B ．--------10分 3π=A ，6π=B ，2π=C ．所以B C 3=．--------12分17、解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率.283566581312==⋅=C C C P …4分 （Ⅱ）10,8,6,4ξ的取值为;2895618)()6(;5631)()()8(;283)10(5833233312232213582322332312132223581312==⋅+⋅+⋅===+⋅+⋅+⋅===⋅==C C C C C C C C P C C C C C C C C C P C C C P ξξξ.561)4(583322=⋅==C C C P ξ ………8分5.75642854562482830=+++=ξE ………12分18、解析：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 ．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连结D F ． ∵AE :EB=C F :F A=1:2，∴A F =AD=2，而∠A=600,∴△AD F 是正三角形， 又AE=DE=1，∴E F ⊥AD 在图2中，A1E ⊥E F ，BE ⊥E F ，∴∠A1EB 为二面角A1-E F -B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E ⊥BE ．...........................．3分 又BE∩E F =E ，∴A1E ⊥平面BE F ，即A1E ⊥平面BEP (4)（2）建立分别以ED 、E F 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E （0,0,0）,A （0,0,1）, B（2,0,0）,F（0,3,0）, P （1,,0）,则(0,0,1)AE =-,(2,0,1),(1,AB BP =-=-．设平面ABP 的法向量1111(,,)n x y z =， 由1n ⊥平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥，即111120,0.x z x-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =111,23y z ==，1(3,1n =．111cos ,||||(AE n AE n AE n ⋅<>===⋅,1,120AE n <>=, 所以直线A1E 与平面A1BP 所成的角为600…………8分（3）(0,3,1),(1,0,0)AF PF =-=-，设平面A F P 的法向量为2222(,,)n x y z =．由2n ⊥平面A F P 知，22,n AF n PF ⊥⊥，即22220,0.x z -=⎧⎪-=令21y =，得220,x z ==2(0,1n =． 1211127cos ,8||||(n n n n n n ⋅<>===⋅,所以二面角B-A1P-F 的余弦值是78-………………………………12分19、解：（1）因为)2(),21(12≥-=-=-n S S a S a S n n n n n n ，所以).21)((12--=-n n n n S S S S即n n n n S S S S -=⋅--112 ① 由题意,01≠⋅-n n S S 故①式两边同除以,1n n S S ⋅-得2111=--n n S S ，所以数列}1{n S 是首项为,11111==a S 公差为2的等差数列．故,12)1(211-=-+=n n S n 所以;121-=n S n（2）),121121(21)12)(12(112+--=+-=+=n n n n n S b n n)121121()5131()311((2121+--++-+-=+++=n n b b b T n n )1211(21+-=n ≥13又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -， 化简得：2，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……21、解：（１）因为()21f x a x x '=--+，令(1)0f '=，即202a --=，解得4a =-， 经检验此时，(0x ∈，1)，()0f x '>，()f x 递增；(1，)+∞，()0f x '<，()f x 递减，()f x 在1x =处取极大值．满足题意． ． (4)（２）22()2()211a x x a f x a x x x +-+'=--=++， 令()0f x '=，得0x =，或22a x +=-，又()f x 的定义域为(1-，)+∞当212a +-≤-，即0a ≥时，若(1x ∈-，0)，则()0f x '>，()f x 递增；若(0x ∈，)+∞，则()0f x '<，()f x 递减；当2102a +-<-<，即20a -<<时，若(1x ∈-，2)2a +-，()0f x '<，()f x 递减；2(2a x +∈-，0)，则()0f x '>，()f x 递增；若(0x ∈，)+∞，()0f x '<，()f x 递减；③当202a +-=，即2a =-时，()0f x '≤，()f x 在(1-，)+∞内递减，④当202a +->，即2a <-时，若(1x ∈-，0)，则()0f x '<，()f x 递减；若(0x ∈，2)2a +-，则()0f x '>，()f x 递增；若2(2a x +∈-，)+∞，则()0f x '<，()f x 递减；．…．9（3）由（2）知当1a =时，()f x 在[0，)+∞上递减，∴()(0)f x f ≤，即2l n (1)x x x +≤+，∵10i >，∴221111ln(1)i i i i i++<+=，1i =，2，3，，n ， ∴23131ln 2ln ln224n n n n+++++<+++， ∴231ln(1)24n n n++<+++ ． (14)。
2015高考模拟试卷及答案解析-理科全套
2015高考理科模拟试卷及答案解析目录2015高考理科数学模拟试卷 (2)2015高考理科数学模拟试卷答案解析 (5)2015高考理综模拟试卷 (12)2015高考理综模拟试卷答案解析 (24)2015高考理综化学模拟试卷答案解析 (24)2015高考理综生物模拟试卷答案解析 (25)2015高考理综物理模拟试卷答案解析 (26)2015高考语文模拟试卷 (27)2015高考语文模拟试卷答案解析 (34)2015高考英语模拟试卷 (36)2015高考英语模拟试卷答案解析 (44)2015高考理科数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A =，{1,3,9}B =，x A ∈，且x B ∉，则x =A ．1B ．2C ．3D ．92．在复平面内，复数11i+-对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若01a <<，log (1)log a a x x -<，则A ．01x <<B ．12x <C ．102x <<D ．112x <<4．函数2cos2sin y x x =+，R ∈x 的值域是A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]-D ．[0,2]5．在5(12)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10- 6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2则该几何体的体积为A πB C ．32π3 D ．4π3+ 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( )A.36 B.34 C.33 D.328．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C ：222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A ．B ．正视图 侧视图俯视图 （第6题）C．(25,)+∞ D．(25,)+∞9．若,a b 表示直线，α表示平面，且b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知, 圆222π=+y x 内的曲线sin ,[,]y x x ππ=-∈-与x 轴围成的阴影部分区域记为Ω(如图),随机往圆内投掷一个点A ,则点A 落在区域Ω的概率为 A ．33πB ．34π . 32πC D ．31π11．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是AB ．2 CD12．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πβββ++=- C ． 1tan()41πααα-+=+ D ．1tan()41πβββ-+=+ 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=，则5a = ． 14．若某程序框图如图所示，则运行结果为 ．15．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为 ．16．已知点(3,0)A -和圆O ：229x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于,A B ）是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，(0)PE ED λλ=>，直线PA 与BE 交于C ，则当λ= 时，（第14题）||||CM CN +为定值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求a bc+的取值范围． 18．（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知5(3)21P X ==． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望． 19．（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB 丄平面PAD,PD=AD, E 为PB 的中点,向量12DF AB =,点H 在AD 上,且0PH AD ⋅= (I)EF//平面PAD.(II)若(1)求直线AF 与平面PAB 所成角的正弦值.(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角的余弦值. 20．（本题满分12分）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值． 21．（本题满分12分）已知R a ∈，函数()ln (1)f x x a x =--． （Ⅰ）若11a e =-，求函数|()|y f x =的极值点；（第20题）（Ⅱ）若不等式22(12)()ax a ea xf x e e+-≤-+恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，,,A B C 是圆O 上三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交圆O 于D ，过B 做直线BE 交AD 延长线于E ，使BD 平分EBC ∠.（1）求证：BE 是圆O 的切线；（2）若6AE =，4AB =，3BD =，求DE 的长.一、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为2sin 10ρθ--=. 设圆C 与直线l 交于点A ，B，且(0,P .（1）求AB 中点M 的极坐标； （2）求|PA |＋|PB |的值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x m x x =----，R ∈m ，且(1)0f x +≥的解集为[]1,0. （1）求m 的值；（2）若R ,,,,,∈z y x c b a ，且222222,x y z a b c m ++=++= 求证: 1ax by cz ++≤.2015高考理科数学模拟试卷答案解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．B ；3．C ；4．A ；5．D ；6．A ；7．C ；8．C 9．D ；10．B ；11．A ．12．A 第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第12题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．81； 14．5； 15．36； 16．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209xy -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca b a --=，化简得222c ab b a =-+， …4分所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…7分（Ⅱ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…11分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，cba +的取值范围是]2,1(．…14分18． 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ，…4分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …7分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…14分19.【答案】(Ⅰ) 取PA 的中点Q,连结EQ 、DQ,则E 是PB 的中点,∴1//,2EQ AB AB 且EQ=12DF AB =又1//,2DF AB AB ∴且DF=∴DF EQ DF EQ =且,//,∴四边形EQDF 为平行四边形, ∴//EF QD ,,EF PAD PAD ⊄⊂又平面且DQ 平面,//EF PAD 平面(Ⅱ)⑴解法一:证明: 0PH AD ∙=,∴PH AD ⊥ ∴PH⊥AD,又 AB⊥平面PAD,PH ⊂平面PAD,∴AB⊥PH,又PH ⋂AD=H,∴PH⊥平面ABCD; ---------------------------------连结AE ,PD AD Q PA =为的中点DQ PA ∴⊥又AB PAD ⊥平面且DQ PAD ⊂平面AB DQ ∴⊥AB PA A = DQ PAB ∴⊥平面由(Ⅰ)知 //EF DQ EF PAB ∴⊥平面AE AF PAB ∴为在平面上的射影 FAE AF PAB ∴∠为直线与平面所成的角2PD AD == PH =Rt PHD ∆在中 1HD ===H ∴为AD 中点, 又PH AD ⊥ 2PA PD AD ∴=== EF DQ PH ∴===AB PAD ⊥平面 AB AD ∴⊥ //DF AB DF AD ∴⊥在Rt ADF ∆中 AF ===又EF PAB ⊥平面 EF AE ∴⊥Rt AEF ∴∆在中 sin EF FAE AF ∠===155AF PAB ∴直线与平面所成的角的正弦值为515 (2)延长DA,CB 交于点M,连接PM,则PM 为平面PAD 与平面PBC 所成二面角的交线. 因为CD AB CD AB 21,//=,所以点A,B 分别为DM,CM 的中点,所以DM=4, 在PHM RT ∆中:222MH PH PM+=,32=∴PM 222DM PM PD =+∴ PD PM ⊥∴,又因为PMD CD 平面⊥,所以PM CP ⊥CPD ∠即为所求的二面角的平面角.所以在PCD RT ∆中:55522cos ===∠PC PD CPD 解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得 PH ABCD ⊥平面 又AB PAD ⊥平面在平面ABCD内过点//H HG AB 作HG PAD ∴⊥平面,以H为原点,以..HA HG HP x y z 的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系 H xyz - 2PD AD ==PH =Rt PHD ∆在中1HD ===H AD ∴为中点()100A ∴，， (,P O O ()12,0B ，1,12E ⎛ ⎝ ()110F -，， ()210AF ∴=-，， 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z= (1,0,PA =, (1,2,PB =00n PA n PA n PB n PB ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩由得020x x y ⎧=⎪∴⎨+-=⎪⎩ 得y=0 令z =得x=3 (n ∴=设直线AF 与平面PAB 所成的角为θ 则(sin cos ,AF n AF n AF nθ====AF PAB ∴直线与平面分 ) (2) 显然向量为平面PAD 的一个法向量,且)0,2,0(= 设平面PBC 的一个法向量为),,(1111z y x n =,(1,2,PB =,)0,2,2(-=,由,01=∙n PB 得到032111=-+z y x由,01=∙n 得到02211=+-y x ,令11=x ,则3,111==z y所以)3,1,1(1=n ,111cos,AB nAB nAB n===所以平面PAD与平面PBC(14分 )20．解：（Ⅰ）1C的焦点为)2,0(pF，…2分所以12+=p，2=p．…4分故1C的方程为yx42=，其准线方程为1-=y．…6分（Ⅱ）设),2(2t tP，)121,(211+xxM，)121,(222+xxN，则PM的方程：)()121(1121xxxxy-=+-，所以12122112+-=xtxt，即02242121=-+-ttxx．同理，PN：121222+-=xxxy，02242222=-+-ttxx．…8分MN的方程：)()121(121)121(121222121xxxxxxxy--+-+=+-，即))((21)121(12121xxxxxy-+=+-．由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-22422422222121ttxxttxx，得txx421=+，21211221ttxx-=-．…10分所以直线MN的方程为222ttxy-+=．…12分于是222222241)1(241|24|ttttttd++=+-+-=．令)1(412≥+=sts，则366216921=+≥++=ssd（当3=s时取等号）．所以，d的最小值为3．…15分21．解：（Ⅰ）若11-=ea，则11ln)(---=exxxf，111)('--=exxf．（第20题）当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…6分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*） 设a e xa eax x x g ++-+=)21(ln )(22， 则eae ax x x g 2121)('2+-+=（0>x ） xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …8分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立． …11分②当0>a 时，x e e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe ae x --=． 令2212e a ex e a =-，解得a e x =1，则当1x x >时，2212e a ex e a >-；再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-e ae x ． 取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．…14分22. (1)证明：连接BO 并延长交圆O 于G ，连接GCDBC DAC ∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BD 平分EBC ∠,EBC BAC ∴∠=∠.又BGC BAC ∠=∠，EBC BGC ∴∠=∠,90GBC BGC ∠+∠=,∴90GBC EBC ∠+∠=,∴OB BE ⊥. ……………5分∴BE 是圆O 的切线.（2）由（1）可知△BDE ∽△ABE ，BE BDAE AB=,BE AB BD AE ⋅=⋅∴， 6=AE ，4AB =，3BD =，92BE ∴=. ……8分由切割线定理得：2BE DE AE =⋅278DE ∴=. ……………10分 23.由2sin 10ρθ--=，得2210x y +--=，即(224x y +=. …………3分将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得212t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋22⎛ ⎝＝4，即2680t t -+=， 40∆=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以121268t t t t +=⎧⎨=⎩, …………6分12t 2,t 4.==解得（1）1232t t +=，∴32M ⎛ ⎝⎭，∴点M的极坐标为6π⎫⎪⎭. ………………8分 （2）又直线l 过点，故由上式及参数t 的几何意义得PA PB +=12t t +＝126t t +=. .........10分 24.(1)(1)0f x +≥，1x x m ∴+-≤.当m ＜1时，11≥-+x x ，∴不等式m x x ≤-+1的解集为φ，不符题意. 当1≥m 时，①当0＜x 时，得21m x -≥，0＜21x m≤-∴. ②当10≤≤x 时，得m x x ≤-+1，即m ≤1恒成立.③当1＞x 时，得21+≤m x ，21＜1+≤∴m x .综上m x x ≤-+1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121m x m x.由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021m m，1=∴m . ……………………………5分(2)222x a ax +≥,222y b by +≥,222z c cz +≥,()2222222a b c x y z ax by cz ∴+++++≥++,由(1)知2222221,x y z a b c ++=++=()22ax by cz ∴++≤, 1.ax by cz ∴++≤ …………………………10分2015高考理综模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分。
山东省2015年高考冲刺卷理科数学试题及参考答案
山东省2015年高考模拟冲刺卷理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50是符合题目要求的．1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数z = ）A ．2B ．3C ．11 2、在ABC ∆中，设命题BcA b C a p sin sin sin :==，命题q :p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3（ ）C ．－ 22D ．－ 24（ ）5、c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆那么=b （ ）A ．B ．1+CD ．2+6、直线L 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2224y x y x ==或B ．2248y x y x ==或C ．2268y x y x ==或 D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m )(mod m b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且 则b 的值可为（ ）C ．2009D ．201010)()()(),2,f x f x f x =-=且当[]0,1x ∈时，()f x 在区间[]5,1-上的零点个数为（ ）C ．6D ．1025分． 111+交圆22:1P x y +=于,A B 两点，则12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为 ． 13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ．14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； ④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数． 则其中真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x m +=，),(cos y x n -=，且m n ⊥．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD= （Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30。
2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案
2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来 的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图． 那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数， 则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（ ）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（ ）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（ ） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
2015年高考理科数学模拟试题
2015年普通高等学校招生考试数学模拟试题（理工类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2C 、3D 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ）侧视图俯视图11222211A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ） A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年高考数学理冲刺题及答案(word版可打印)
2015年高考（理科数学）冲刺题及答案（word 版可打印）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合11,0,,12⎧⎫A =-⎨⎬⎩⎭，集合{}2,xy y x B ==∈A ，则集合A B =（ ）A ．11,0,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}0,1 2、复数321iz i-=-的共轭复数z =（ ） A ．5122i + B ．5122i - C ．1522i + D ．1522i - 3、“22k πϕπ=+，k ∈Z ”是“函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象过原点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4、甲乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（ ）A ．甲成绩稳定且平均成绩较高B ．乙成绩稳定且平均成绩较高C ．甲成绩稳定，乙平均成绩较高D ．乙成绩稳定，甲平均成绩较高5、某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．156、已知α，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（ ） A ．4π- B ．4πC ．34π- D ．34π7、设点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数241y ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数的概率为（ ）A ．13B ．23C ．14D ．128、若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12FF 被抛物线22y bx =的焦点分成5:3两段，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．324D ．2339、已知M 是C ∆AB 内一点，且C 23AB⋅A =，C 30∠BA =，若C ∆M B 、∆MAB 、C ∆MA 的面积分别为12、x 、y ，则14x y+的最小值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．2010、已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()F F 0m n -<成立；④当0a >时，函数()F 2y x =-有4个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、若不等式()2log 122x x m ++--≥恒成立，则实数m 的取值范围是 ．12、现有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把4枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）．13、若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 ． 14、已知()x x f x e=，()()1f x f x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算：()11x x f x e -=，()22x x f x e -=，()33xxf x e -=，⋅⋅⋅，照此规律则()n f x = ．15、已知圆C :()()22431x y -+-=和两点(),0m A -，(),0m B （0m >），若圆C 上至少存在一点P ，使得90∠APB =，则m 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知222sin sin C sin sin sin C B +=A +B ．()1求角A 的大小；()2若1cos 3B =，3a =，求c 值．17、（本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科、文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示．现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取3名同学进行测试．()1求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；()2记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且满足条件：2421n n S n S n +=+（n *∈N ）． ()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有111n n n nb b +T -+=T +（n *∈N ），13b =，证明：数列{}1n b -是等比数列；又211n n n a c b +=-，求数列{}n c 的前n 项和W n ．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CDP -AB 中，D//C A B ，D AB ⊥A ，AB ⊥PA ，C 22D 4B =AB =A =BE ，平面PAB ⊥平面CD AB ．()1求证：平面D PE ⊥平面C PA ；()2若直线PE 与平面C PA 所成的角的正弦值为55，求二面角C D A -P -的余弦值．20、（本小题满分13分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F 1,0，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线Q P 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60．()1求椭圆C 的方程；()2设O 为坐标原点，线段F O 上是否存在点(),0t T ，使得Q Q Q P⋅TP =P ⋅T ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）已知函数()211axf x x=++（0a ≠）． ()1当1a =时，求函数()f x 图象在点()0,1处的切线方程；()2求函数()f x 的单调区间；()3若0a >，()2mx g x x e =，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()12f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题C B AD C C A D C D 二、填空题11.(,1]-∞- 12. 5 13. 10 14. (1)()e n xx n -- 15. 46m ≤≤三、解答题16.解：（1）由正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==， …………………2分因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）可知，3sin 2A =， …………………4分 因为1cos 3B =，B 为三角形的内角，所以22sin 3B =， …………………6分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+3112232223236+=⨯+⨯=…………………9分 由正弦定理sin sin a cA C=， 得332226sin 1sin 6332a c C A +==⨯=+. …………………12分17.解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人， 文科组抽取1人， …………………2分 从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女， 所以所求的概率为：11235328914C C C P C +==. …………………4分(2)由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3， …………………5分相应的概率分别是021********(0)112C C C P C C ξ===,1112353321218484148(1)112C C C C P C C C C ξ==+=， 1121355321218484145(2)112C C C C P C C C C ξ==+=,252184110(3)112C P C C ξ===,………………9分 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P9112 48112 45112 1011248451031231121121122E ξ=⨯+⨯+⨯=.18.解：2133,1)(124)1(21112122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当………………2分 ∴ n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112所以)(*∈=N n na n ………………4分(2)由n n n n nn n n b T b T b T b T +=+-=++-++11111可得所以121-=-+n n n b T T ，121-=+n n b b ，)1(211-=-+n n b b ………………4分 所以}1{-n b 是等比数列且112b -=，2=q 公比 ………………6分∴ n n n n q b b 222)1(1111=⨯=-=--- ∴12+=n n b (8)分 ∴ nn n n n n n b a c )21()12(212112⋅+=+=-+= ………………9分∴ n n n n c c c c W )21()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++=利用错位相减法，可以求得2552n n n W +=-. ………………12分19.解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB 平面ABCD AB =，AB PA ⊥， ∴PA ⊥平面A B C D , ………………2分又∵AB AD ⊥，故可建立空间直角坐标系o xyz -如图所示， 不妨设4,BC AP λ==(0)λ>,则有(0,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(0,0,)D E C P λ， ∴(2,4,0),(0,0,),(2,1,0)AC AP DE λ===-，∴4400,0DE AC DE AP =-+==， ………………4分 ∴,DE AC DE AP ⊥⊥， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED∴平面PED ⊥平面PAC ………………6分（2）由（1），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=-, 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，2415sin |cos ,|||555PE DE θλ-∴=<>==+，解得2λ=±， ∵0λ> ∴2λ=，即(0,0,2P ………………8分 设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，(2,2,0),(0,2,2)DC DP ==-， 由,DC DP ⊥⊥n n , ∴220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，不妨令1x =，则(1,1,1)=--n ... (10)分∴2115cos ,535n DE +<>==, 显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为155. ……………12分 20.解：（1）由题意知1c =，又tan 603bc==，所以23b =， ……………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y += ； ……………4分（2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)84120k x k x k +-+-=设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ， 则2120002243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ， ……………7分 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅= ，所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， ……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， ……………10分因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ……………12分 所以线段OF 上存在点(,0)T t使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈. ……………13分21.解（1）当1a =时，2()11x f x x =++，(0)1f =， 222222(1)21()(1)(1)x x x x f x x x +-⋅-'==++， ……………2分所以(0)1f '=，切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+= (4)分（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，22222222(1)2(1)(1)(1)()(1)(1)(1)a x ax x a x a x x f x x x x +-⋅--+'===+++， ……………6分 当0a >时，(1,1)x ∈-，()0f x '>，()f x 为增函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '<，()f x 为减函数；当0a <时，(1,1)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '>，()f x 为增函数. ……………8分（3）“对任意的1212,[0,2],()()x x f x g x ∈≥恒成立”等价于“当0a >时，对任意的12min max ,[0,2],()()x x f x g x ∈≥成立”，当0a >时，由（2）可知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，而2(0)1,(2)115a f f ==+>，所以()f x 的最小值为(0)1f =， 22()2e e (2)e mx mx mx g x x x m mx x '=+⋅=+，当0m =时，2()g x x =，[0,2]x ∈时，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤， ……………10分当0m ≠时，令()0g x '=得，1220,x x m ==-， （i ）当22m-≥，即10m -≤≤时，在[0,2]上()0g x '≥，所以()g x 在[0,2]单调递增，所以2max ()(2)4e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤-，所以1ln 2m -≤≤-(ii) 当202m <-<，即1m <-时，在2[0,],()0g x m'-≥，()g x 单调递增，在2[,2],()0g x m '-<，()g x 单调递减，所以max 2224()()eg x g m m =-=， 只需2241e m ≤，得2e m ≤-，所以1m <-(iii) 当20m-<，即0m >时，显然在[0,2]上()0g x '≥，()g x 单调递增，2max ()(2)4e m g x g ==，24e 1m ≤不成立， ……………13分综上所述，m 的取值范围是(,ln 2]-∞- ……………14分。
2015届高三二模冲刺数学(理)试题(一)及答案
2015届高三第二次模拟突破冲刺（一）数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U R =,集合{}|2A x x =≥,{|05}B x x =≤<,则集合)U C A B ⋂=（( ) A ．{|02}x x << B ．{|02}x x <≤ C ．{|02}x x ≤< D.{|02}x x ≤≤2. 设复数i z --=1（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则=⋅-|)1(|z z ( )3. 在正项等比数列}{n a 中，11=a ，前n 项和为n S ,且423,,a a a -成等差数列，则7S 的值为( ) A. 125B. 126C. 127D. 1284. 已知函数()cos f x x x =，为了得到函数()sin 2cos 2g x x x =+的图象，只需要将()y f x =的图象( )A. 向右平移4π个单位长度 B. 向左平移4π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度D. 向左平移8π个单位长度5. 若n 的展开式中第四项为常数项，则n =( )A ．4B ．5C ．6D ．76.给四面体ABCD 的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有( )A ． 96B ．144 C. 240 D. 360 7.已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点P F F ,,21是两曲线的一个公共点，若321π=∠PF F ，则e 等于( )A ． 错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．3A B D ．9. 已知变量y x ,满足约束条件错误！未找到引用源。
若52-≥+y x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (-∞,-1]B. [-1,+∞)C. [-1,1]D. [-1,1)10.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( ) A. 3108cm B.1003cm C.92 3cm D.84 3cm11.已知函数xx x a x f +-+=1)1(2ln )((R a ∈)定义域为)1,0(,则)(x f 的图像不可能是()A. B. C. D.12.设x R ∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦ （e 是自然对数的底数），则()ln 2f =( )A. 1B. 1+eC. 3D. 3+e第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2015高考理科模拟数学试题及答案
7．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-7．B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。
当有'()30ax f x ae =+=成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a=-，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-。
11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ． 11．【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=。
12．【解析】21cos 211()sin sin cos sin 2)2242x f x x x x x x π-=-=-=-+，故函数的最小正周期22T ππ==。
15．【解析】依题意，我们知道PBA PAC ∆∆,由相似三角形的性质我们有2PA PBR AB=,即2221PA AB R PB ∙===⨯14．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ． 17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？17．解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ===图4图420(1)0.1200P ξ===，4(2)0.02200P ξ=-== 故ξ的分布列为：（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%18．（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．18．解：（1）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =， 4'|1x y ==，过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -， 由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-； （2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。
高考数学模拟试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得 r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值X围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。
2015年高考冲刺压轴卷数学(理卷二)附答案
2015年高考冲刺压轴卷数学（理卷二）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015·广东省佛山市二模·1）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．82．（2015·广东省肇庆市三模·1）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2015·广东省广州市二模·2）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ）A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2015·广东省惠州市二模·5）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )ABCD5．（2015·广东省揭阳市二模·4）已知1sin()3πα+=，则cos 2α=（ ）B.89C.79-D.796．（2015·广东省深圳市二模·4）如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（ ）（瓶壁厚度忽略不计）图11正视图侧视图俯视图A ．π8+B ．π48+C ．π16+D ．π416+7．（2015·广东省湛江市二模·5）在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,228．（2015·广东省汕头市二模·7）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．（2015·广东省佛山市二模·9）不等式112<-x 的解集为 ． 10．（2015·广东省肇庆市三模·10）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种（用数字作答）．11．（2015·广东省惠州市二模·9）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b +的最小值为__________．12．（2015·广东省茂名市二模·12）已知直线1y kx =+与曲线b ax x y ++=3相切于点(1，3)，则b 的值为 ．13．（2015·广东省深圳市二模·12）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（2015·广东省汕头市二模·14）15．（2015·广东省佛山市二模·15）（几何选讲） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（2015·广东省肇庆市三模·16）（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2c o s )23s i n ()s i n (3)(-++=ππ．（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若]0,2[πθ-∈，103)32(=+πθf ，求)42sin(πθ-的值．17．（2015·广东省广州市二模·17）（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一AB图1次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 50.5 4[50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（2015·广东省惠州市二模·18）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，CD ．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --为 30，设PM t MC =⋅，试确定 t 的值．19．（2015·广东省揭阳市二模·18）(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设525452+2log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ．MPCABDQ20．（2015·广东省茂名市二模·20）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点2P ，离心率为12，过直线4:=x l 上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A 、B ．（1）求椭圆E 的方程；（２）是否存在实数λ，使得BC AC BC AC ⋅=+λ恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（2015·广东省深圳市二模·21）（本小题满分14分）已知函数xbax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ， 其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．数学（理卷二）参考答案与解析1．D【命题立意】本题旨在考查集合的子集个数．【解析】集合A 的元素是自然数，所以A ＝｛1,2,3｝,共3个元素，其子集个数为23＝8个． 故选:D 2．A【命题立意】本题考查复数的乘法运算法则、考查复数的几何意义．【解析】z=i （1-i ）=1+i 所以z 对应的点为（1，1）所以z 对应的点位于第一象限，故选A ． 3．D【命题立意】考查不等式的性质，容易题. 【解析】因为2ππ>，则s i n s i n 2ππ<，所以选项A 错误；因为b a >，则22log log a b >，所以选项B 错误；若0a b >>，则1122a b >，所以选项C 错误；若0a b >>，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确. 4．B【命题立意】本题考查向量的数量积运算及余弦定理． 【解析】13cos 2AB AC A ⋅=⇒=，又由余弦定理知7=BC ． 5．D【命题立意】考查诱导公式、二倍角公式，容易题. 【解析】由1sin()3πα+=得31sin -=α，∴97)31(21sin 212cos 22=⨯-=-=αα. 6．C【命题立意】本题考查了三视图和体积公式．【解析】几何体为圆柱体和长方体的组合体，∴24216V ππ=+⨯⨯=+．故选C ．7．D【命题立意】本题考查程序框图．【解析】按程序框图的流水方向一步一步推到，或者寻找出规律即可，步骤略． 8．A【命题立意】本题考查的知识点是直方图和茎叶图．【解析】由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个， [0，5）的频数为20×0.01×5=1个， [5，10）的频数为20×0.01×5=1个， [10，15）频数为20×0.04×5=4个， [15，20）频数为20×0.02×5=2个， [20，25）频数为20×0.04×5=4个， [25，30）频数为20×0.03×5=3个， [30，35）频数为20×0.03×5=3个， [35，40]频数为20×0.02×5=2个， 则对应的茎叶图为A ， 故选A 9．()0,1【命题立意】本题旨在考查绝对值不等式的解法． 【解析】211,1211,01x x x -<∴-<-<∴<<，所以不等式的解集为()0,1故答案为：()0,1 10．10【命题立意】本题考查分类计数原理问题，关键是如何分类． 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册24C =6种 根据分类计数原理知共10种，故答案为：10 11．4【命题立意】本题考查基本不等式,“1”的代换．【解析】1111()()1b a b a b a b a +=++=+124a b ++≥+=，当且仅当a b =时取等号，所以11a b+的最小值为4． 12．3【命题立意】考查导数的几何意义，容易题．【解析】 b ax x y ++=3，∴a x y +='23， 切点为)3,1(，∴13+=k ，即2=k ，∴2132=+⨯a ，∴1-=a ，∴b +⨯-=11133，所以3b =．13．66【命题立意】本题考查等差数列的前n 项和的计算．【解析】在等差数列中，3S ，63S S -，96S S -也成等差数列，即15，615S -，6153S -成等差数列，则62(15)S -=615315S -+，即666S =．故答案为:66．14．【命题立意】本题旨在考查参极坐标方程． 【解析】．故答案为．15．3【命题立意】本题旨在考查相交弦定理和三角形的相似．【解析】在Rt ABC ∆中，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD ＝2BD 2＝2，∴DB ＝AE ＝ED ＝1∴CE BC ===ACE ∽△FBE ，AE CE EF BE ∴=，故3AE BE EF CE ⨯==．故答案为：316．（1）π（2）-50【命题立意】本题考查的是二倍角公式，辅助角公式以及和差公式进行化简求值． 【解析】（1）x x x x f 2cos cos sin 3)(-= （2分）212cos 2sin 23+-=x x （4分） 21)62sin(--=πx （5分） 所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ． （6分） （2）由（1）得21cos 21)2sin(21]6)32(2sin[)32(-=-+=--+=+θπθππθπθf ，（7分）由10321cos =-θ，得54cos =θ． （8分） 因为]0,2[πθ-∈，所以53sin -=θ． （9分）所以2524cos sin 22sin -==θθθ，2571cos 22cos 2=-=θθ， （11分）所以502314sin2cos 4cos2sin )42sin(-=-=-πθπθπθ． （12分）17．（1）10=a ，8.0=b ，03.0=c ，100=n ；（2）32. 【命题立意】考查频率分布直方图，分层抽样，随机变量的分布列、期望，中等题. 【解析】（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=， 解得0.03c =．第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ． 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人. 依题意X 的取值为0，1，2．()022426C C 20C 5P X ===，()112426C C 81C 15P X ===，()202426C C 12C 15P X ===，所以X 的分布列为：X0 1 2P25 815 115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． 18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【命题立意】本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值． 【解析】（Ⅰ）证法一：∵AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，…………………4分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………5分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分证法二：AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 ∵PA=PD ，∴PQ ⊥AD ． …………………3分 ∵PQ ∩BQ=Q PBQ 平面、⊂BQ PQ ， …………………4分 ∴AD ⊥平面PBQ ． …………………5分 ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 （Ⅱ）法一：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．……………7分 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；……8分(0,0,0)Q，P，B，(1C -．设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---……9分 PM t MC =⋅,∴1(1))()1t x t x t x y t y y z t z z t ⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-⎩⎪=⎪+⎩，………10分 在平面MBQ中，QB =，1t QM t ⎛=- +⎝⎭，∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．……12分 ∵二面角M BQ C --为30°，∴cos3023n m n m⋅︒===⋅+3t =……14分 法二：过点M 作MO //PQ 交QC 于点O ，过O 作OE ⊥QB 交于点E ，连接ME ， 因为PQ ⊥面ABCD ,所以MO ⊥面ABCD ，由三垂线定理知ME ⊥QB ，则MEO ∠为二面角M BQ C --的平面角。
2015年高考数学模拟试题及答案(理科)
高中数学高考模拟试卷（理科）2015.10（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 （A（B ）（C（D ） 833.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠ （C ）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题（D ） “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.如图，该程序运行后输出的结果为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）165.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4俯视图6.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定 7. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（A ） （B ） （C ）2 （D 9. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图象向左平移)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 （A ）6π （B ）3π （C ）65π （D ）32π10. 设方程|)lg(|3x x-=的两个根为21,x x ，则（A ） 021<x x （B ）021=x x （C ） 121>x x （D ） 1021<<x x 11. 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（A ）300秒 （B ）400秒 （C ）500秒 （D ）600秒12. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（A ）40 （B ）48 （C ）60 （D ）68第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 .14.若等比数列}{n a 的首项为32，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .15. 已知)(x f 为奇函数，且当x >0时, 0)('>x f ，0)3(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为____________.16. 数列 ，，，，，，，，，，1423324113223112211，则98是该数列的第 项. 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值； （Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值.18. （本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.19. （本小题满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．21. （本小题满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=. （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）高中数学高考模拟试卷（理科）参考答案一．选择题： BCCCB BBACD BB1.解析：B. 21(1)1111(1)(1)i i z i i i i -+--=-=-=-++-，故选B.2. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为22=1223V =⨯⨯=. 3. 解析：C .由“且”命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为假命题，则p q ∧为假，故选项C 错误. 4. 解析：D.每次循环对应的b a ,的值依次为11,1,2,112a b b a ====+=；22,24,213a b a ====+=；43,4,216,314a b b a =====+=. 5. 解析：B.根据面面平行的判定可知①是假命题；②是假命题； ③是真命题；④是真命题.6. 解析：B. 2585312a a a a ++==，∴54a =,19592993622a a aS +=⨯=⨯=. 7. 解析：B. CB PA PB CB BP PA λλ=+⇒+= CP PA λ⇒=,∴C 、P 、A 三点共线.8. 解析：A. 抛物线212y x =-的准线方程为3x =，双曲线22193x y -=的渐近线为y x =，如图，它们相交得OAB ∆，则(3,A B ,∴132OAB S ∆=⨯=.9. 解析：C. 1sin ()sin sin )2cos xf x x x x x x==-=-2cos()6x π=+.函数()f x 向左平移65π后为55()2cos()2cos()2cos 666f x x x x ππππ+=++=+=-，所以5()2c o s6f x x π+=-为偶函数. 10. 解析：D. 如图，易知231x x =，3120x x x <<<，∴1201x x <<.11. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 12. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有2344C C +=10种；若有一个小孩，则有11232444()C C C C ++=28种；若有两个小孩，则有1244C C +=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种. 二．填空题13.6π；14.3；15. {|033x 0}x x <<-<<或；16.128. 13. 解析：6π.易知，在正方体内到点A 的距离小于a 的点分布在以A 为球心，以a 为半径的球的18部分内.故所求概率即为体积之比3341386a P a ππ⋅==.14. 解析：3. 42224 14(12)()44(11)181a x dx x x =+=+=+-+=⎰；123a =，341a a q =⋅得公比3q =.15. 解析：{|033x 0}x x <<-<<或.根据题意，函数()f x 的图象如图，可得0)(<x xf 的解集为{|033x 0}x x <<-<<或.16. 解析：128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而98是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项. 三．解答题17. （本题小满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值. 解：（Ⅰ）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+ ,5(,cos )82A Bn -= ，且98m n ⋅= ， 即259[1cos()]cos 828A B A B --++=.---------------------------------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,-------------------------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.--------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-------------------------------------------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-9384≥⨯=, 即tan()A B +有最小值34.-----------------------------------------------------------------------------------------10分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号），所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-.-------------------------------------------------------------------------------12分18. （本题小满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.解法一：（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）CD BD CD AD ⊥⊥,，∴ADB ∠是二面角A -CD -B 的平面角.-------------------------------------------------------------------------------------4分∴BD AD ⊥，∴⊥AD 平面BCD .取CD 的中点M ，则EM //AD ，∴EM ⊥平面BCD .过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，MNE ∠是二面角E -DF -C 的平面角.----------------------------------------------------6分在EMN Rt ∆中，EM =1，MN =23，∴721cos =∠MNE .----------------------------------8分（Ⅲ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD .-----------------11分∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33tan =∠DAQ .在等边ADE ∆中， ,30 =∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,.------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(002(),2,0,0(F E C B A ），，，------------------------------------------4分平面CDF 的法向量)2,0,0(=.设平面EDF 的法向量为n=（x ,y ,z ）.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE n DF ，即⎩⎨⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=------------------------------------------6分721||||cos =⋅>=⋅<n DA .二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721.------------------------------------8分 （Ⅲ）在平面坐标系x D y 中，直线BC 的方程为323+-=x y ，设)0,332,(x x P -，则)2,332,(--=x x .--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分∵x DE AP 31340=⇒=⇒=⋅⇒⊥. ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .---------------------------------------------------------------12分.19. （本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为161)21(4=；----------------------------------------------------1分 答5道题进入下一轮的概率为812121)21(334=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------------2分答6道题进入下一轮的概率为32521)21()21(2335=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------3分答7道题进入下一轮的概率为32521)21()21(3336=⋅⋅C ；-------------------------------------------------------------5分张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=.---------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7.当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.81)21()21()4(44=+==ξP ； 类似有4121)21()21(21)21()21()5(334334=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ；)6(=ξP =+⋅⋅21)21()21(2335C 16521)21()21(2335=⋅⋅C ； )7(=ξP =+⋅⋅21)21()21(3336C 16521)21()21(3336=⋅⋅C .----------------------------------------------10分 于是ξ的分布列为161671664584=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ---------------------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）设张明进入下一轮的概率为1P ，被淘汰的概率为2P ，则121=+P P ，又因为张明答对每一道题的概率都为21，答错的概率也都为21.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即21P P =. 所以张明进入下一轮的概率为21.--------------------------------------------------------------------------------------6分20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2nnn n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------5分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =. ---------------------------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=； 得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------8分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22n n n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+233222(21)2nnn n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n n n n --=+-+⋅+- =(21)21nn n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------12分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n n n ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t ta a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------7分21. （本题小满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=.（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=，∴ab 213||=∴a a b 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .-----------------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，--------------------------------------------------------------5分F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ.--------------------------------------------------7分 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ------------------------------------------------------9分 ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.综上可知21λλ+是定值 6.---------------------------------------------------------------12分22. （本题小满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）解：（Ⅰ）1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , 1)0('=f ，切点)1,0(P ，l 斜率为1-.∴切线l 的方程：1+-=x y ------------------------------------------------------３分（Ⅱ）切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ，则0)(=x h 有且只有一个实数解.---------------------------4分 ∵0)0(=h ，∴0)(=x h 有一解0=x .------------------------------------------------------5分1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x x a ax x ax x h --------------------------------６分 ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增， ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解；------------------------------------------------------7分 ②0)(,210'=<<x h a ，0121,021>-==ax x∴0)11ln(11)1(,0)0()121(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h ， ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一；--------------------8分③当0)(,21'=>x h a ，)0,1(121,021-∈-==ax x∴0)0()121(=>-h ah ，而当1->x 且x 趋向-1时，)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-，)(x h 趋向∞-. ∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一.综上，当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时，21=a .-------------------------10分（Ⅲ）11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ；∵,1->x ∴0)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵0)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ，对称轴12121422->+-=--=aa a x ，011202(2)1(>=---=-a a k ，∴0)(=x k 有解21,x x ，其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时，0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=---------------------------12分 当)(*N n n a ∈=时，区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为)2,1(--------------------------------------------------14分。
2015年高三数学模拟考试理科试题及答案2015.1.17
2015年高三模拟考试数学试题（理）命题人：邬小军 审核：高三数学组第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共60分;）1.已知全集U=R ，集合A=｛X ｜2x ＞1｝，B=｛X ｜X 2+3X-4<0｝，则A ∩B 等于（ ） A.（0，1） B.（1，＋∞） C.（一4，1） D.（一∞，一4）2.已知i 为虚数单位，复数z ＝2i （2一i ）的实部为a ，虚部为b ，则log a b 等于（ ） A. 0 B. 1 C ．2 D.33. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c ． 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ）（A ）2（B ）12 （C ）114（D ）114-4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A.13 B. 23 C. 2 D. 15、设展开式的常数项为（ ）A. 12B.6C ．4 D. l6.已知一只蚂蚁在圆：x 2＋y 2＝1的内部任意随机爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻 该蚂蚁爬行在区域｜x ｜+｜ y ｜≤1内的概率是（ ）A 、2πB 、2πC 、4πD 、4π7.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0 时,f(x)＝2＋f(12)log 2x ，则f(－2)＝（ ）A. 1B. 3 C ．一1 D ．一38．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为,,a b c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1,3a b ==，则ABC S ∆=（ ）A.2B.3C.3D.2 9．若点P 是ABC ∆的外心，且0,120PA PB PC C λ++=∠=︒，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．1- C ．12 D ．12- 10. ()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数a 、b 若a b ≤，则必有( )A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤11. 下列命题：①函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π； ②已知向量(,1)a λ=，2(1,)b λ=-，(1,1)c -，则()//a b c +的充要条件是1λ=-； ③若111(1)adx a x =>⎰，则a e =；④圆224x y +=关于直线0ax by c ++=对称的充分不必要条件是0.c = 其中所有的真命题是（ ）A.①②B.③④C.②④D.①③12.设函数f(x)的导函数为f '(x)，对任意x ∈R 都有f(x) >f '(x)成立，则（ ） A. 3f(ln2）＞2f(ln3) B ． 3f( 1n2）＝2f( 1n3）C. 3f(ln2）＜2f(ln3）D. 3f(ln2）与2f( 1n3）的大小不确定第11卷（非选择题）二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数f(x)＝，且函数g(x)＝f(x)＋x 一a 只有一个零点，则实数a的取值范围是 ； 14.观察下列等式：则第n 个等式为 ； 15.如图为函数f(x) ＝tan （42x ππ-）的部分图象，点A 为函数f （x ）在y 轴右侧的第一个零点，点B 在函数f(x)图象上，它的纵坐标为1，直线AB 的倾斜角等于 ．16.一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的1020，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r 最大取＿ 时，才能使玻璃球触及杯底．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．17.（本小题满分12分）在等差数列中，公差d≠0，a1＝1且a1，a2，a5成等比数列．在数列中,b1＝3，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn．18.（本小题满分12分）如图，梯形ABCD中，AB／／CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2BC＝2CD＝2 ．E为AB中点．现将该梯形沿DE析叠．使四劝形BCDE所在的平面与平面ADE垂直。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年高考数学模拟冲刺卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
A ．奇函数且图象关于点（2
π，0）对称B ．偶函数且图象关于直线x=2
π对称 C ．奇函数且图象关于直线x=2
π对称D ．偶函数且图象关于点（2π，0）对称
． ． ． ．
设平面PAB 的法向量为
n =（x ，y ，z ），则0=∙AB n ,0=∙PB n
m =（x ，y ，z ），则n CB =0,m PB =0，即x=0,
3y-x=0
21．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区（如图），L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是0.5；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为0.75，0.6．（Ⅰ）求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（Ⅱ）若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
解：（Ⅰ）设”L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A
则P (A )＝213
303)2
1(2
1)2
1(⨯⨯+⨯C C （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2P (X ＝0)＝(1−10
1)5
31()4
3=-⨯
P (X ＝1)＝
20
9
53)431()531(43=⨯-+-⨯，P (X ＝2)＝
20
95343=⨯
EX ＝0×10
1×120
9+×20
9+2×20
9=20
27
设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3，
P (Y ＝0)＝303)21(⨯C ＝(Y ＝1)＝1
3C ×21×(21)2＝
P (Y ＝2)＝23C ×(21)2×21＝(Y ＝3)＝33C ×(21)3＝
若在线段MN 上取一点R ，使得RN MR λ-=，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若在，请求出
该定直线的方程；若不在，请说明理由．
解：（Ⅰ）∵已知△F 1AF 2是边长为2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）
∴b ＝
（Ⅱ）直线MN 的斜率必存在，设其直线方程为y=k （x+4），并设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．直线方程与椭圆方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2+32k 2x+64k 2-12=0，则
x 0＝
解：（1）函数f （x ）的定义域是：（0，+∞）由已知f ′
(x )＝∴x=e ∵当0＜x ＜e 时，f ′(x )＝0ln 12>-x x ，当x ＞e 时，f ′
(x )＝2
ln 1x
x -＜0∴函数f （x ）在（0，
e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减，
（2）由（1）知函数f （x ）在（0，e]上单调递增，在[e ，+∞）上单调递减故①当0＜2m ≤e 即
0＜m ≤(x )m ax ＝f (2m )＝
m m 2)
2ln(−1，
②当m ≥e 时，f （x ）在[m ，2m]上单调递减∴f (x )max ＝f (m )＝m
m ln −1，
m ＜e 时∴f (x )m ax ＝f (e )＝e
1−1．
（3）由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，f (x )max ＝f (e )＝e
1−1，∴在（0，+∞）上恒有f (x )＝m m ln −1≤e
1−1，
≤≤e 10，n
n +1≠e ，
∴ln n n +1＜e 1•n n +1⇒ln (n n +1)e ＜n n +1，即对∀n ∈N *，不等式ln (n n +1)e
＜。