湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题(原卷版)
衡阳市2019-2020学年高一下期末达标测试数学试题含解析
衡阳市2019-2020学年高一下期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A ．1 B ．5 C ．7 D ．25【答案】B 【解析】 【分析】计算出向量34i f -的坐标，再利用向量的求模公式计算出34i f -的值. 【详解】由题意可得()()()3431,040,13,4i f -=-=-，因此，(23435i f -=+=， 故选B. 【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.2．不等式x 2+ax+4＞0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣4，4） B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，+∞） D ．∅【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】不等式x 2+ax+4＞0对任意实数x 恒成立，则2160a ∆=-<，∴44a -<<． 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解．3．已知ππ042βα<<<<，且πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A B ． C D ．10-【答案】C 【解析】【分析】根据同角公式求出πcos 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭后，根据两角和的正弦公式可得. 【详解】 因为ππ42α<<，所以044ππα<-<，因为πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫-=⎪⎝⎭因为π04β<<，所以442πππβ<+<， 因为π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π3cos 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin()cos()cos()sin()4444ππππαβαβ=-++-+3455=+=故选：C 【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，拆解44ππαβαβ+=-++是解题关键，属于中档题.4．已知三棱锥A BCD -，若AB ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，CD =AB =则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．28π B ．30πC ．32πD ．36π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出三棱锥A BCD -的图形，将其放入一个长方体中，容易知道三棱锥A BCD -的外接球半径，利用球的表面积公式求解即可. 【详解】根据题意画出三棱锥A BCD -如图所示，把三棱锥A BCD -放入一个长方体中， 三棱锥A BCD -的外接球即这个长方体的外接球，长方体的外接球半径等于体对角线的一半， 所以三棱锥A BCD -的外接球半径()()223223302R +==， 三棱锥A BCD -的外接球的表面积223044302S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，对于三棱锥三条棱有两两垂直的情况，可以考虑将其放入一个长方体中求解外接球半径，属于基础题.5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判定，得到答案． 【详解】由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈， 当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=，所以3211111123121n n n a a a na a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列． 当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11n n a na n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n aa a a n a a a a a a n n----=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=，所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．下面的程序运行后，输出的值是（ ）A ．90B ．29C ．13D ．54【答案】D 【解析】 【分析】根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案． 【详解】模拟程序的运行，可得0A =，2i =执行循环体，0224A =+⨯=，3i = 执行循环体，43313A =+⨯=，4i = 执行循环体，134429A =+⨯=，5i = 执行循环体，295554A =+⨯=，6i = 退出循环，输出A 的值为1． 故选：D ．【点睛】本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 7．下列命题正确的是（ ）A ．若a bc c >，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若2211a b>，则a b <D <a b <【答案】D 【解析】 【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b >则22a b <即a b <，故C 项错误；D <a b <，故D 项正确.故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.8．在ABC △中，b =，4cos 5B =-，则sin A = （ ）A ．5B C D ．6【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据4cos 5B =-计算出sin B 的值，然后根据正弦定理以及b =即可计算出sin A 的值，最后得出结果。
衡阳市名校重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知不等式20x ax b ++<的解集是{}12x x -<<，则a b +=( ) A ．3-B ．1C ．1-D ．32．函数cos y x =的最小正周期是（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos a c a c babc c -+-=.则B =（ ） A ．60B =︒B ．60B =︒或120B =︒C ．30B =︒D ．90︒4．若函数cos (0)12y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．πD ．2π5．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是( )． A ．7B ．8C ．9D ．66．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A ．233B ．283C ．263D ．2537．同时具有性质：“① 最小正周期是π；② 图象关于直线3x π=对称；③ 在5[,]6ππ上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A ．cos()26x y π=+B ．5sin(2)6y x π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．sin(2)6y x π=-8．球O 是棱长为2的正方体的内切球，则这个球的体积为（ ） A ．4π3 B ．16π3 C ．2π D ．4π9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若::5:6:7a b c =，则最大角的余弦值为（ ） A ．1930B ．12C ．57D ．1510．一个多面体的三视图如图所示．设在其直观图中，M 为AB 的中点，则几何体C MEF -的体积为（ ）A ．34B ．12C ．13D ．1611．如果a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（） A ．11a b< B ．a 2＜b 2 C ．a 3＜b 3 D ．ac 2＜bc 212．已知两条直线,a b 与两个平面,αβ，给出下列命题:①若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥；②若,,,a b a b αββα⊂⊂，则αβ∥； ③若,,a b αβαβ⊥⊥，则a b ∥；④若,,a b αβαβ⊥，则a b ∥；其中正确的命题个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题13．已知()1,1a =-,(),1b d =，a 与b 的夹角为钝角，则d 的取值范围是_____; 14．已知正数a 、b 满足226a b +=，则24b a +的最大值为__________．15．若a 、b 、()20,0a b ->>这三个的数字可适当排序后成为等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b ab ++=________________.16．某中学初中部共有120名老师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年湖南省衡阳市高一下学期选科摸底考试数学试题 PDF版
2020年衡阳市新高考选科高一摸底考试数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.1.C .解析：由{}[)1,2,3,4,2,P Q ==+∞，则{}2,3,4A B = ,故选C.2.A .解析： 函数2-=x y 在区间]2,21[上是减函数,2min 124y -∴==，故选A.3.D .解析：由垂直的判定方法易知:12k =,故选D.4.B .解析：根据对数的运算性质及换底公式，易知选B.5.C .解析：由向量的坐标运算验证，可知选C.6.C .解析： 圆的切线垂直于过切点的半径，由此可得切线的斜率，再用点斜式可得切线方程为052=-+y x ，故选C．7.B .解析：3sin cos 8αα=，21(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，又42ππα<<，则1cos sin 2αα-=-，故选B.8.D .解析:根据线、面的平行与垂直的判定定理和性质定理易得D 选项结论是错误的，故选D.9.A .解析：由题意可知：12AE AC CE AC AB =+=- 1,2λμ∴+=故选：A．10.B.解析：1sin 101sin 2θθ-≤≤⇒≤+≤ ，由θsin 1log 3+=x 可得19x ≤≤，22log (|1||9|)log 83x x -+-==，故选B.11.D.解析：由图象可知(0)0f >可排除A、B，又当0x >与图象不符，可排除C,故选D.12.A.解析：过M 作ME 平行于AD 交AB 于E，连结CE,设BE=1,可证BC=4,BM=2,从而可求得AD 与MC 所成角的余弦值为5，故选A.二．填空题：本大题共4小题，每小题4分.共16分，13.1.解析：因为半径为2cm,扇形周长为6cm,所以弧长为2cm,因此弧度数为1.故填114.-1.解析：(sin 30)(cos 60)cos1801f f ο︒===- ，故填-115.③④.解析：由空间直线的位置关系的判定可知③④正确， 错误.16.{})1,1(0)1,1(ee --.解析： 函数)(xf 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()x f x e =，⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=∴-0,0,00,)(x e x x e x f x x ,若方程(())f f x m =总有实数根，则m 的取值范围应是函数(())y f f x =的值域.()f x 的值域为()1,1-,∴函数(())y f f x =的值域可以求得是{})1,1(0)1,1(ee --.三.解答题：本大题共6小题，第17题6分，18-21题每题8分，第22题10分，共48分.17.解：（1）13312(lg 50lg 5)8(lg10)212log 9log 442-⨯⨯==+-…………3分（2）2cos()cos()2sin cos 22tan 13cos sin()2x x x x x x x πππ++---==+-+ …………5分又tan 2x =，∴原式=2215⨯+=…………6分18.解：（1）①当所求直线过原点时 k ＝12，∴y ＝12x ，即x －2y ＝0；……1分②当截距不为0时，k ＝－1，∴y －2＝－(x －4)，即x ＋y －6＝0．……2分∴所求直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0．…………3分（2）由顶点C 在直线3x －y ＝0上，可设C (x 0，3x 0)，可求直线AB 的方程为3x ＋4y －20＝0，…………4分则顶点C 到直线AB 的距离d ＝|3x 0＋4×3x 0－20|32＋42＝|3x 0－4|，…………5分且|AB |＝42＋(2－5)2＝5；………6分∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝10，即|3x 0－4|＝4，∴x 0＝0或x 0＝83，…………7分故顶点C 的坐标为(0，0)或(83，8)．…………8分19.解：（1）(6,1),(,),(2,3),AB BC x y CD ===-- (4,2),AD AB BC CD x y ∴=++=+- …………1分∵BC ∥AD，∴(2)(4)0x y y x --+=…………2分…………3分（2）(6,1),(2,3),AC AB BC x y BD BC CD x y =+=++=+=-- ………4分,0,AC BD AC BD ⊥∴⋅= 即(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=…………5分，∴解得21x y =⎧⎨=-⎩或63x y =-⎧⎨=⎩…………6分(8,0),(0,4)AC BD ∴==- 或(0,4),(8,0)AC BD ==- …………7分又∵,AC BD ⊥ ∴四边形ABCD……8分20.解：(1)连接BD ，交AC 于点N ，则点N 即为所求，证明如下：∵ABCD 是正方形，∴N 是BD 的中点，又M 是DE 的中点，∴MN ∥BE ，…………2分∵BE ⊂平面ABE ，MN ⊄平面ABE ，∴MN ∥平面ABE .…………4分(2)取AB 的中点F ，连接EF ，∵△ABE 是等腰直角三角形，且AB ＝2，∴EF ⊥AB ，EF ＝12AB ＝1，∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，EF ⊂平面ABE ，∴EF ⊥平面ABCD ，即EF 为四棱锥E ABCD 的高，…………6分∴V 四棱锥E ABCD ＝13S 正方形ABCD ·EF ＝13×22×1＝43.…………8分20.解:（1）()f x 为偶函数.…………1分证明如下： ()224,0,4,0.x x x x f x x x x x ⎧++>⎪⎪=⎨-+⎪-<⎪⎩当0x >时,0,x -<则()24x x f x x ++=,()22()()44x x x x f x x x---+++-=-=-,所以()()f x f x =-;…………2分当0x <时,0,x ->则()24x x f x x -+=-,()22()()44x x x x f x x x-+-+-+-==--,所以()()f x f x =-;…………3分综上所述,对于定义域内任意x ,都有()()f x f x =-,所以()f x 为偶函数.………4分（2）()f x 在(]0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增.…………5分任取()1212,0,,x x x x ∈+∞<,()()()()211221124x x x x f x f x x x ---=,因为()1212,0,,x x x x ∈+∞<,所以12210,0x x x x >->,所以,当2112212,40,()()0x x x x f x f x >>->->时,21()()f x f x >,当21122120,40,()()0,x x x x f x f x ≥>>-<-<时21()()f x f x <,…………7分所以()f x 在(]0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增.…………8分22.解：（1）由题得：())13f x x πω=++…………2分又函数()f x 的周期为2π，所以222ππω=，所以2ω=…………3分所以())13f x x π=++…………4分对称中心为(,1)412k ππ-()k z ∈…………5分（2）（法一）23sin 3sin 2022x x m m ---≥，…………6分 [0,2]x π∈,sin [0,1]2x ∈，∴23sin 223sin 12x m x -≤+，…………7分设3sin 12x t =+，[1,4]t ∈，则1sin 23x t -=2213(1)225159(2)33t t t y t t t t⋅----===--在[1,4]t ∈上是增函数………9分1t ∴=时，min 2y =-，2m ∴≤-…………10分（法二）设sin ,[0,1]2x t t =∈，23320y t mt m =---≥<1>02m <时，即0m <时，min (0)20y y m ==--≥，2m ∴≤-…………7分<2>012m ≤≤时，即02m ≤≤时，2min (3320242m m m y y m m ==---≥，此时无解…………8分<3>12m >时，即2m >时，min (1)3320y y m m ==---≥，14m ≤此时无解…9分综上：2m ≤-…………10分。
湖南省衡阳一中高一数学下学期期末试卷 文(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某一中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}2．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）3．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm24．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A． B． C．D．以上都不对5．某种计算机病毒是通过电子进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量y（台）12 24 49 95 190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（）A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6•2x D．y=12log2x+126．如图，根据程序框图，当输入10时，输出的是（）A．12 B．19 C．14.1 D．﹣307．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）A．﹣1 B．C．D．8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A．y=sinx B．y=sin（4x+）C．y=sin（4x﹣）D．y=sin（x+）9．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ10．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或011．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值X围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3）C．（3，+∞）D．（3，5）12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．13．将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m=．14．在△ABC中，A=120°，a=，b=1，则△ABC的面积为．15．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为．16．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值X围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，某某数a的取值X围．18．已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．20．已知向量与的夹角为30°，且=， =1．（1）求；（2）求的值；（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．21．已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y﹣15=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．22．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省某某一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选：B．2．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案．【解答】解：对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，故函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，1），故选：D．3．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中几何体的三视图中，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形我们可以求出该正四棱锥的底面上的棱长和侧面的高，代入棱锥侧面积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个正四棱锥，又由主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为则棱锥的侧高（侧面的高）为2故棱锥的侧面积S=4×=8cm2故选C4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A． B． C．D．以上都不对【考点】二分法求方程的近似解．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＜0，f（2.5）＞0 知，f（x）零点所在的区间为．【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=﹣10=＞0，f（x）零点所在的区间为，方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是，故选A．5．某种计算机病毒是通过电子进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量y（台）12 24 49 95 190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（）A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6•2x D．y=12log2x+12【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中y的增长速度进行判断．【解答】解：由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数增长．故选：C．6．如图，根据程序框图，当输入10时，输出的是（）A．12 B．19 C．14.1 D．﹣30【考点】选择结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．【解答】解：由图可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当当输入10时，输出的是：1.9×10﹣4.9=14.1．故选C．7．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求出k+的坐标，再由数量积的坐标表示列式求得k值．【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，0），∴k+=k（1，2）+（﹣2，0）=（k﹣2，2k），由k+与垂直，得，即1×（k﹣2）+2×2k=0，解得：k=．故选：C．8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A．y=sinx B．y=sin（4x+）C．y=sin（4x﹣）D．y=sin（x+）【考点】正弦函数的图象．【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的，即可求出．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移可得y=sin2=sin（2x+），再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得y=sin（4x+），故选：B．9．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A 命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．【解答】解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A 命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B10．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0【考点】点到直线的距离公式．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．11．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值X围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3）C．（3，+∞）D．（3，5）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，∴4α=，解得α=﹣；∴f（x）=，x＞0；又f（a+1）＜f（10﹣2a），∴，解得3＜a＜5，∴实数a的取值X围是（3，5）．故选：D．12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【考点】解三角形．【分析】先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos （A﹣B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状．【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，∵cos2===∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形．故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．13．将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m= 20 ．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率和为1，求出第二组的频率，利用公式频率=，求出样本容量m的值．【解答】解：∵第二、三组的频率为0.15和0.45∴第一组的频率为1﹣0.15﹣0.45=0.4∵第一组的频数为8∴m=故答案为：20．14．在△ABC中，A=120°，a=，b=1，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵A=120°，a=，b=1，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：3=1+c2+c，即c2+c﹣2=0，∴解得：c=1或﹣2（舍去），∴S△ABC=bcsinA==．故答案为：．15．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意通过圆和矩形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：四边形ABCD的面积为2．BM＜BC表示以B为圆心，1为半径的圆在矩形ABCD内部的部分，面积为，∴BM＜BC的概率为=．故答案为：．16．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值X围是．。
湖南省衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
结合 a 的范围，求得 a2 + 2b 的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者.
【详解】
f
(x)
=
x
x
-
a
-b
=
ìx2 - ax - b, x ³ a íî-x2 + ax - b, x < a
，
①当 2
£
a
<
3 时，
f
(x)
=
-x2
+
ax
-b
，对称轴为
x
=
a 2
³1，
f (x) 在[0,1] 上单调递增，
h
(
x
)
=
g
æ çè
x
-
π65ö÷øπ+
g
æ çè
6
-
x
ö ÷ø
在
é êë
π5,π 66
ù úû
上的值域.
17．已知 x Î R ，我们定义函数 f ( x) 表示不小于 x 的最小整数，例如： f (π4) = ，
试卷第41 页，共33 页
f (-0.1) = 0 ．
(1)若 f ( x) = 2023 ，求实数 x 的取值范围；
对称
10．已知函数
f
(x)
=
é êë
x
+1ù 3 úû
-
é êë
xù 3 úû
（
xÎ
R
，其中 [ x ]
表示不大于
x
的最大整数），则
（）
A． f ( x) 是奇函数
B． f ( x) 是周期函数
C． f ( x) 在[0, 2) 上单调递增
2019学年湖南衡阳一中高一下期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南衡阳一中高一下期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，则（）A．___________________________________ B．C．___________________________________ D．2. 数列1，3，7，15，…的通项可能是（）A．____________________________ B．_________________________________ C．______________________________ D．3. 已知角的终边过点，且，则的值为（） A．______________________________ B．______________________________ C．______________ D．4. 在中，角的对边分别为，则以下结论错误的为（）A．若，则B．C．若，则；反之，若，则D．若，则5. 把函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度后得到图象的函数表达式为（）A．B．C．D．6. 已知三个不等式：① ；② ；③ .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（）A．___________________________________ B．_____________________________________ C． D．7. 在中，若，则的形状是（）A．直角三角形______________ B．等边三角形________________________ C．等腰三角形____________________ D．不能确定8. 已知，则（）A．____________________________ B．______________________________ C．____________________ D．9. 已知，则（）A．______________________________ B．___________________________________ C．______________________________D．10. 在平面直角坐标系中，若点在直线的上方，则实数的取值范围是（）A．___________ B．______________ C．____________________ D．11. 如果不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．____________________________ B．______________C．___________ D．12. 已知数列，若，则（）A．____________________ B．______________ C．___________D．二、填空题13. 设，且是与的等比中项，则的最小值为________.14. 已知数列的通项公式，则数列的项取最大值时，________________________ ．15. 已知数列满足且则________________________ ．16. 在中，，则面积的最大值为____________________________ ．三、解答题17. 若等比数列的公比，前项和为，已知，求的通项公式．18. 某公司生产甲、乙两种产品，已知生产一台甲产品需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙产品需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元。
湖南省衡阳县第一中学2019-2020学年高一下学期延迟开学期间精选试题(一)数学试题答案
由题意如图所示：三角形 OAA'为 Rt△，A 为球与正方体的交点，
则 OA'＝R﹣1， AA'2 OA'2 R2
所以：R2＝（R﹣1）2+22，解得 R=2.5， 所以球的表面积 S＝4πR2＝25π， 三、解答题（共 6 个小题，第 17 题 10 分，其它每小题 10 分，共 70 分）
17.解：（1）∵ A x x 1 ， B x 1 x 5 ∴ A B x 1 x 5 ， CU A CU B x x 1或x 5 ……………………………….5 分
D
B
在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, AC ⊥ C1C, ……6 分
又 BC C1C C, AC ⊥平面 BCC1 ,……7 分
又 BC1 平面BCC1, AC ⊥ BC1. ……8 分
(3)由(2)得 AC⊥平面 B1BCC1
∴直线 B1C 是斜线 AB1在平面 B1BCC1 上的射影……9 分
21(1)如图，令 BC1交CB1于点O，连接OD，
C1
AA'2 OA'2 R2 ……2 分 又 OD 平面CDB1, AC1 平面CDB1，
A1
B1
AC1 // 平面CDB1 ……4 分
C
(2)证明： AC 3, BC 4, AB 5, ∠ ACB 900 ,即AC ⊥ BC, ……5A分
4 4
x2 x1
x1 x2
x1x2 x1x2
1，
得 f x1 f x2 0 ，得到 f x1 f x2 ，
∴ f x 在 4, 4 上为减函数；
（II）
f
x
lg
4 4
x x
lg
4 4
湖南省衡阳市第一中学2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题解析版
衡阳市第一中学2019 高一（下）第一次月考数学一、选择题（本大题共12 小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1. 若－ <α <0，则点 P(tan α， cos α) 位于 ()A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】 B【分析】试题剖析：∵－< α <0，∴ tan α <0， cos α >0，∴点 P(tan α， cos α ) 位于第二象限，应选B 考点：本题考察了三角函数值的符号评论：娴熟掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的重点，属基础题2. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】剖析：直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期.详解：由题得函数的最小正周期为，故答案为： C.点睛：（1）本题主要考察正弦型函数的最小正周期，意在考察学生对这些基础知识的掌握水平 .(2) 使用周期公式，一定先将分析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是 , 注意必定要注意加绝对值 . 三角函数的周期公式中代表的是的系数，不是什么地方都是.函数中的系数是，最小正周期，不是.3. 若，则 tan的值是（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】∵，∴，∴ =，应选B4. 假如在第三象限，则必然在第（）象限A. 一、二B.一、三C. 三、四D. 二、四【答案】 D【分析】【剖析】依据在第三象限，可得，，解不等式求得的范围，，分为偶数和为奇数分别议论所在的象限．【详解】在第三象限，，，，当为偶数时，如，可得是第二象限角，当为奇数时，如，可得是第四象限角，应选： D【点睛】本题考察象限角，终边同样的角的表示方法，获得，，是解题的重点．5.给出以下命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③无论用角度制仍是用弧度制胸怀一个角，它们与扇形所对半径的大小没关；④若 sin α =sin β，则α与β的终边同样；⑤若 cos θ <0，则θ是第二或第三象限的角.此中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】 A【分析】因为第一象限角 370°不小于第二象限角 100°, 故①错 ; 当三角形的内角为 90°时 , 其既不是第一象限角 , 也不是第二象限角 , 故②错 ; ③正确 ; 因为 sin=sin, 但与的终边不同样 , 故④错 ; 当θ =π ,cos θ=-1<0 时既不是第二象限角 , 又不是第三象限角 , 故⑤错 . 综上可知只有③正确 .6.设 >0, 函数 y=sin(x+)+2 的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是A. B. C. D.3【答案】 C【分析】函数的图象向右平移个单位后所以有应选 C7.要获得的图像 , 需要将函数的图像 ( )A. 向左平移个单位B.向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】 D【分析】由 , 所以将函数的图像向右平移个单位获得的图像.8. 若函数 y＝ tan ω x 在内是减函数，则 ()A. 0< ω≤1B.－1≤ ω <0C. ω ≥1D. ω≤－ 1【答案】 B【分析】因为在上单一递加，而y＝tan 在（－，）内是减函数，则，因为，所以，则，故，综上。
2019-2020学年湖南省衡阳市永和第一中学高一数学文联考试题含解析
2019-2020学年湖南省衡阳市永和第一中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是( )A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．2. 若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2nC．D．log2m＞log2n参考答案：C【考点】不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．【解答】解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为 C．【点评】指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质．3. 执行如图所示的程序框图，若输出的k=5，则输入的整数p的最大值为（）A．7B．15C．31D．63参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由框图可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S k循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是 7 4第四圈是 15 5第五圈是 31 6第六圈否故S=15时，满足条件S＜pS=31时，不满足条件S＜p故p的最大值15．故选B．4. 在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C.等边三角形D．等腰直角三角形参考答案：A由得，则，即，所以，则，即，又是的内角，所以，则，即，所以是等腰三角形。
湖南省衡阳市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷A卷(模拟)
湖南省衡阳市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一下·河口期末) 已知，则的终边落在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2019·湖北模拟) 已知，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·陕西期末) 函数y= sin2x+cos2x的最小正周期为（）A .B .C . πD . 2π4. （2分）函数是（）A . 奇函数，且在上是增函数B . 奇函数，且在上是减函数C . 偶函数，且在上是增函数D . 偶函数，且在上是减函数5. （2分）设P;“”, q:“直线与抛物线只有一个公共点”，则p是q（）条件A . 充分且非必要B . 必要且非充分C . 充分且必要D . 既非充分也非必要6. （2分）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则=（）A .B . －1C .D . 27. （2分）函数的零点所在的区间是（）A .B . (1,2)C . (2,3)D . (3,4)8. （2分）函数的部分图象如图所示，则A .B .C .D .9. （2分）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·武城期中) cos75°cos15°﹣sin435°sin15°的值是（）A . 0B .C .D . -二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）角α的终边经过点P（x，4），且sinα= ，则x=________．12. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知角的终边上有一点P（），且，则________．13. （1分）在△ABC中，若b=2， c=1，tanB=2，则a=________14. （1分）把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为________15. （1分） (2019高三上·维吾尔自治月考) 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=________.三、双空题 (共3题；共3分)16. （1分）已知，，则tanα=________．17. （1分） (2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．18. （1分） (2016高一上·南京期中) 集合A={x| ＜2x≤4}，则A∩Z=________．四、解答题 (共3题；共36分)19. （10分） (2017高一上·广东月考) 据市场分析，南雄市精细化工园某公司生产一种化工产品，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系．已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？20. （15分） (2020高一下·平谷月考) 已知函数，．（1）利用“五点法”画出函数在一个周期上的简图．（2）把的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象；然后把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象；再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍（横坐标不变），得到的图象，求的解析式．21. （11分） (2016高一上·景德镇期中) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、双空题 (共3题；共3分) 16-1、17-1、18-1、四、解答题 (共3题；共36分) 19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
衡阳市名校2019-2020学年新高考高一数学下学期期末检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量(1,)a m =，(3,1)b =-，且()//a b b +，则实数m 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-2．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β）＝22，则cosβ＝（） A 32B 2C ．210 D 2或210 5．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．474733⎡--+⎢⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．676733⎡-⎢⎣⎦6．记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩则max{||,||,||}x y z 的最大值为（ ） A ．32B ．1C 7D ．237．函数的最大值为（）A ．1B ．C ．D ．28．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为( )A ．B ．C ．D ．9．已知正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE 2ED =，则EB EC ⋅=（） A ．13-B ．12-C ．23-D ．-110．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f[f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设函数()222cos 646cos x x xf x x xπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足的关系是（ ） A ．2M m -= B ．2M m += C ．4M m -=D ．4M m +=12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，若51238a a =，则当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题：本题共4小题 13．已知x ，y ＝R +，且满足x 12x++2y 1y +=6，若xy 的最大值与最小值分别为M 和m ，M+m ＝_____.14．若tan 2α=，则sin 2α= .15．当2a =，5b =时，执行完如图所示的一段程序后，x =______.16．已知等边三角形ABC 的边长为2,点P 在边AB 上,点Q 在边AC 的延长线上,若CQ BP =,则PC PQ ⋅的最小值为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一下学期期中数学试题(解析版)
湖南省衡阳市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．三角式cos(405)︒-的值是 ( )A ．B ．C ．12D ．2【答案】D【解析】根据余弦的诱导公式，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】cos(405)cos 405cos(36045)cos 452︒︒︒︒︒-==+==. 故选：D 【点睛】本题考查了余弦的诱导公式，考查了特殊角的余弦值，属于基础题. 2．已知点(sin ,tan )M γγ在第四象限，则角γ在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】根据第四象限内点的坐标特征，再根据正弦值、正切值的正负性直接求解即可. 【详解】因为点(sin ,tan )M γγ在第四象限，所以有：sin 0tan 0γγγ>⎧⇒⎨<⎩是第二象限内的角. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦值、正切值的正负性的判断，属于基础题.3．已知点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，且向量MN u u u u r 与ST u u u r相等，则p ，q 的值分别为( ) A ．-7，-5 B ．7，-5C ．-7，5D ．7，5【答案】C【解析】根据平面向量的坐标表示求出向量MN u u u u r 与ST u u u r的坐标，再根据平面向量相等的定义可得方程组，解方程组，可得p ，q 的值. 【详解】由点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，可知：(4,2),(3,3)MN ST p q ==---u u u u r u u u r，因为向量MN u u u u r 与ST u u u r 相等，所以347325p p q q --==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查了平面向量相等的定义，属于基础题. 4．三角式sin167cos17sin77sin17︒︒︒︒+的值为( ) A ．12B ．12-C ．1D ．―1【答案】A【解析】应用诱公式把式子的角度都转化成小于等于45度的角，再逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值直接求解即可 【详解】sin167cos17sin 77sin17sin13cos17cos13sin17301sin 2︒︒︒︒︒︒︒︒︒=+==+. 故选：A 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.5．已知函数()f x 满足()()f x f x π=+，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则()f x 可能是( ) A ．sin 2y x = B ．sin y x =C ．tan2x y = D ．cos 2y x =【答案】D【解析】由()()f x f x π=+，可求出函数的周期，再结合在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，对四个选项逐一判断即可. 【详解】因为()()f x f x π=+，所以函数的周期为π.A ：函数sin 2y x =的周期为22ππ=，当222()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时，函数sin 2y x =单调递增，即当()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时，函数sin 2y x =单调递增，当1k =时，当3544x ππ≤≤时，函数sin 2y x =单调递增，所以函数在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递增函数，故()f x 不可能是sin 2y x =；B ：sin y x =的最小正周期是2π，故π不是它的周期，故()f x 不可能是sin y x =；C ：tan 2xy =的最小正周期为212ππ=，，故π不是它的周期，故()f x 不可能是tan2x y =； D ：函数cos 2y x =的最小正周期为22ππ=，当2222()k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数cos 2y x =单调递增，即当()2k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数cos 2y x =单调递增，当0k =时，当2x ππ≤≤时，函数cos 2y x =单调递增，所以函数在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，故()f x 可能是cos 2y x =. 故选：D 【点睛】本题考查了正弦型函数、余弦型函数、正切型函数的单调性和周期性，属于基础题. 6．在ABC V 中，5sin cos 10A A +=，则sin cos A A -的值为( ) A ．357-B ．357C ．355-D ．355【答案】D【解析】由5sin cos 10A A +=，结合三角形内角和定理可以求出A 的取值范围，运用同角的三角函数关系式直接求解即可 【详解】因为5sin cos 10A A +=，所以1sin cos 5A A =-，而(0,)A π∈，所以(,)2A π∈π.2sin cos (sin cos )12sin c 3s 5o A A A A A A -=-=-⋅=.故选：D 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力，属于基础题.7．设3(,sin )2a α=r ，1(cos ,)3b α=r ，且//a r b r，则锐角α为（ ）A ．030B ．060C ．075D ．045【答案】D【解析】由向量平行可得：31sin cos 23αα⨯=，由三角函数值可求出角. 【详解】因为//a rb r ，所以31sin cos 23αα⨯=，即sin21α=，因为α为锐角，所以22πα=，=4πα，故选D.【点睛】本题主要考查了向量平行的等价条件，正弦的二倍角公式，属于中档题. 8．下列三角式中，值不为1的是( ) A ．4sin15cos15︒︒B ．222cossin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22tan 22.51tan 22.5︒︒- D 【答案】D【解析】逆用公式，结合特殊角的三角函数值逐一判断即可. 【详解】A ：4sin15cos152sin(215)2sin 301︒︒︒︒=⨯==，本选项不符合题意；B ：222cossin 2cos(2)2cos 16663ππππ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭，本选项不符合题意； C ：22tan 22.5tan(2)122.5tan 451tan 22.5︒︒︒︒=⨯==-，本选项不符合题意；D cos 112π==≠，本选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查了逆用二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式，考查了半角公式，考查了特殊角的三角函数值，属于基础题. 9．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A 【解析】利用115212122T πππ=-=，求出ω，再利用5212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出ϕ即可 【详解】115212122T πππ=-=，∴2T wππ==，2ω∴=，则有 ()()22f x sin x ϕ+＝，代入512x π=得552221212f sin ππϕ⎛⎫⎛⎫⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，则有516sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 52,()62k k z ππϕπ+=+∈，23k πϕπ=-+，又Q 22ππϕ-<<，3ϕπ∴=-故答案选A 【点睛】本题考查三角函数的图像问题，依次求出ω和ϕ即可，属于简单题10．已知O 是ABC V 所在平面内一点，P 为AB 边中点，且30OA OB CO +-=u u u r u u u r u u u r r，那么( )A ．23CO OP =u u u r u u u rB ．13CO OP =u u u r u u u rC ．32CO OP =u u u r u u u rD ．CO OP =u u u r u u u r【答案】A【解析】根据平面向量的加法的几何意义，结合平面几何的性质求解即可. 【详解】O 是ABC V 所在平面内一点，因为P 为AB 边中点，所以P A 是三角形的中线.2303233OA OB CO OA OB CO OP CO CO OP +-=⇒+=⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：A 【点睛】本题考查了平面向量的加法几何意义，属于基础题.11．将函数sin 2y x =的图象经过下列哪种变换可以得到函数cos(2)3y x π=-的图象( ) A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移12π个长度单位D ．向右平移12π个长度单位【答案】C【解析】利用诱导公式把函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的解析式化简成正弦型函数的形式，再通过与函数sin 2y x =解析式的对比直接求解即可. 【详解】cos(2)sin(2)sin(2)sin[2()]323612y x x x x πππππ=-=+-=+=+，因此由sin 2y x =的图象向左平移12π个长度单位可以得到函数cos(2)3y x π=-的图象.故选：C 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象的平移，考查了诱导公式的应用，属于基础题.12．设函数())cos()0,||2g x x x πωθωθωθ⎛⎫=+-+>< ⎪⎝⎭，其图象关于直线512x π=对称，且相邻最高点的距离为π，则( ) A ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()g x 在3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()g x 在3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】B【解析】用辅助角公式化简函数的解析式，根据相邻最高点的距离为π，可以求出函数的最小正周期，进而求出ω的值，再根据对称轴求出θ的值，最后对选项中的区间进行单调性的判断即可. 【详解】())cos()2sin()6g x x x x πωθωθωθ=+-+=+-，因为该函数图象相邻最高点的距离为π，所以该函数的最小正周期为π，因此有202ππωωω=>∴=Q ，因此该函数的解析式为：()2sin(2)6g x x πθ=+-，又因为该函数的图象关于直线512x π=对称，所以有52()()12626k k Z k k Z ππππθπθπ⋅+-=+∈⇒=-∈，||26ππθθ<∴=-Q ，因此该函数的解析式为：()2sin(2)3g x x π=-，令23t x π=-.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，即2(,)33t ππ∈-， ()2sin g t t =在该区间上不单调；当3,48x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，即5(,)612t ππ∈，()2sin g t t =在该区间上单调递增. 故选：B 【点睛】本题考查了求正弦型函数的解析式，考查了正弦型函数的单调性，属于基础题.二、填空题13．已知||6a =r，e r 为单位向量，当a r 与e r的夹角为34π时，则a r 在e r方向上的投影为________.【答案】-【解析】根据平面向量数量积的几何意义直接求解即可. 【详解】因为||6a =r ，1e =r 为单位向量，a r 与e r的夹角为34π，所以a r 在e r 方向上的投影为：3||cos 4a π⋅=-r故答案为：-【点睛】本题考查了平面向量数量积的几何意义，属于基础题.14．已知tan 3θ=，则sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+--=---________. 【答案】1-【解析】先用诱导公式化简代数式，再利用同角三角函数关系式中商关系求解即可. 【详解】sin()cos()cos cos 2cos 221cos sin cos sin 1tan sin()sin()2πθπθθθθπθθθθθθπθ+--+====-------.故答案为：1- 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了同角三角函数关系式中的商关系， 属于基础题. 15．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =. 若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（12,λλ为实数），则12λλ+的值是 【答案】12【解析】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.16．函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =-⋅++-在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为________.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令sin cos t x x =+，根据同角的三角函数关系式求出sin cos x x ⋅关于t 的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域.【详解】令3sin cos ),[0,]()[,],4444t x x x x x t πππππ=+=+∈∴+∈∴∈Q .221sin cos 12sin cos sin cos 2t t x x t x x x x -=+⇒=+⋅⇒⋅=. 所以2221111()1(1)2222t f t t t t t -=-+-=-+-=--.13(0),,(0)22f f f f =-=∴<Q ，当t ∈，所以有max min 1()(1)0,()(0)2f t f f t f ====-， 所以函数的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了求函数的值域，考查了换元法，考查了二次函数的单调性，属于基础题.三、解答题17．已知向量(2,3)a =-r ，(3,4)b =r ，2c a b =-r r r .（1）求向量c r的模；（2）若a b λ-rr与2a b -rr垂直，求实数λ的值.【答案】（1）||c =r（2）2013λ=-. 【解析】（1）利用平面向量坐标表示的运算公式求出向量c r的坐标，再利用平面向量坐标表示模的公式直接求解即可；（2）根据平面向量互相垂直的性质，得到等式，根据平面向量坐标表示的运算公式化简，解方程即可. 【详解】（1）∵(2,3)a =-r ，(3,4)b =r ，∴2(8,5)c a b =-=--r r r，∴||c =r（2）由a b λ-rr与2a b -rr垂直，得22()(2)02(12)0266(12)250a b a b a a b b λλλλλ--=⇒-+⋅⋅+=⇒-++=r r rr r r r r ，∴2013λ=-.【点睛】本题考查了平面向量坐标表示的运算公式和模公式，考查了平面向量互相垂直的性质，考查了数学运算能力.18．已知α为第一象限角，且4 cos25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭.（1）求22sin sin2cos cos2αααα++的值；（2）求5tan4απ⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）20；（2）1 7 .【解析】（1）利用诱导公式化简等式4cos25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系求出cosα的值，根据二倍角的正弦公式，余弦公式，代入求值即可；（2）由（1）可求出tanα的值，结合特殊角的正切值，利用两角差的正切公式直接求解即可.【详解】（1）因α为第一象限角，且4 sin5α=，∴3 cos5α==∴2222 224432sin sin2sin2sin cos55520 cos cos23cos13315αααααααα⎛⎫+⨯⨯⎪++⎝⎭=== +-⎛⎫⨯-⎪⎝⎭（2）∵sin4 tancos3ααα==，∴5tan tan5tan114tan541tan71tan tan4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+【点睛】本题考查了诱导公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角差的正切公式，考查了特殊角的正切值，考查了数学运算能力.19．已知函数1 ()sin262 f x xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的对称轴方程和单调递增区间； （2）求()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）对称轴方程23k x ππ=+，k ∈Z ，单调递增区间：,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）利用正弦型函数的对称性和单调性直接求解即可； （2）利用正弦型函数的单调性直接求解即可； 【详解】 （1）由2()62x k k Z πππ-=+∈，可得函数的对称轴为：23k x ππ=+k Z ∈； 由222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，可得函数的单调递增区间为：,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）511,(2),sin(2)[1,]()[,1]36666622x x x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-∴-∈-∴∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，所以函数的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴和单调递增区间，考查了正弦型函数在闭区间上的最值，属于基础题.20．在ABC ∆中，三个内角分别为、、A B C ，已知sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求角A 的值； （2）若0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5A B -=，求sin B .【答案】（1）3A π=;（2 ）310. 【解析】试题分析：（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得tan A =（2）由已知及（1）可求0,33A B B ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，利用同角三角函数基本关系式可求()sin A B -的值，利用(B A A B =--，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．试题解析：（1）因为sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭1cos 2cos 2A A A +=，即sin A A =，因为()0,A π∈，且cos 0A ≠，所以tan A =3A π=.（2 ）因为0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,33A B B ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为()()22sin cos 1A B A B -+-=，所以()3sin 5A B -=， 所以()()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B =--=---=21．在平面直角坐标系xOy 中，将向量OM u u u u r绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量ON u u u r，其中0πx <<，且点M 的坐标为.（1）若34x π=，求点N 的坐标；（2）记函数()g x OM ON =⋅u u u u r u u u r ，若(0,)θπ∈，且()cos 13g πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求θ的大小.【答案】（1）22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）4πθ=或12π.【解析】（1）把点M 写成2cos ,2sin 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭形式，根据题意，利用两角和的余弦公式、正弦公式直接求解即可；（2）利用平面向量数量积的定义化简函数()g x 的解析式，利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简cos cos 3πθθ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，最后根据特殊角的正弦值求出θ的大小.【详解】（1）由M 得2cos,2sin66M ππ⎛⎫⎪⎝⎭，33362cos cos cos sin sin 6464644ππππππ+⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭33362sin sin cos cos sin 6464644ππππππ-⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭点N 的坐标为6262,⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）由()||||cos 4cos g x OM ON OM ON x x =⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，故由()cos 313g πθθ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭， 得213cos cos cos sin cos 322πθθθθθ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭ 1cos231131sin 2sin 2444264θπθθ++⎛⎫=+=++=⎪⎝⎭， 得3sin 262πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又(0,)θπ∈，∴4πθ=或12π【点睛】本题考查了求点的坐标，考查了两角和的正弦公式、余弦公式，考查了两角差的余弦公式，考查了辅助角公式，考查了特殊角的正弦值. 22．函数()23sin()0,||22f x x ππωϕωω⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点A ，B ，C 在图象()f x 上，(0,3)A ，8,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并且AB x P 轴（1）求ω和ϕ的值及点B 的坐标； （2）若()035f x =0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求0(1)f x -的值；（3）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象，若关于x 的方程22[()]4()10g x ag x a -+-=在区间[0,]π上有两个不同解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4πω=，3πϕ=，4,33B ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）5-；（3）3|15a a ⎧<≤⎨⎩或12a ⎫=⎬⎭. 【解析】（1）把A ，C 两点的坐标代入函数解析式中，根据已知条件求出ω和ϕ的值，进而求出B 的坐标；（2）根据（1）所得函数的解析式，结合()05f x =，可以得到0sin 43x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，再根据同角的三角函数关系式求出0cos 43x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后根据两角差的正弦公式求出0(1)f x -的值；（3）根据正弦型函数图象的变换规律求出函数()y g x =的解析式，利用换元法，结合一元二次方程根的分布，分类讨论即可. 【详解】（1）把A ， C 两点坐标代入函数解析式中得：(0)3sin 2888()sin()0()333f f k k Z ϕϕωϕωϕπ⎧⎧===⎪⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+=∈⎩⎪⎩，因为0,||22ππωω<<<， 所以4πω=，3πϕ=，即函数()y f x =的解析式为()sin()43f x x ππ=+，当()432x k k Z ππππ+=+∈时，函数的对称轴为：24()3x k k Z =+∈，又因为AB x P 轴，所以4,33B ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）因为()0f x =由（1）有()00435x f x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即03sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以04cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭故()001434x f x πππ⎡⎤⎛⎫-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00sin cos cos sin 4344345x x ππππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=-⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ （3）由题可知()sin g x x =，[0,]x π∈， 令()t g x =，[0,1]t ∈，则22410t at a -+-=， 若要使得关于x 的方程在[0,]π上有两个不同的根， 则关于t 的方程在[0,1)t ∈上只有唯一解， 所以有以下几种情况 ①(0)(1)0f f ⋅<，解得315a <<; ②0∆=解得12a =或1a =-，当12a =是，12t =，满足题意; 当1a =-时，1t =-，不符合题意，舍去1a =-.③当0t =时，解得1a =，此时另一个根2t =不在[0，1)上，所以1a =符合题意. 综上所述a 的取值范围是31|152a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查了求正弦型函数的解析式，考查了正弦型函数的变换规律，考查了一元二次方程根的分布，考查了数学运算能力.。
微专题03 基本不等式和积问题(原卷版)
微专题03基本不等式和积问题【方法技巧与总结】一．重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．二．基本不等式如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．（2）当0a >，0b >时，有211a b≤+a b =时，等号成立．（3）当,a b R ∈时，有22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．四．利用基本不等式求最值已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ．【题型归纳目录】题型一：比较大小及不等式证明问题题型二：简单的和为定值或积为定值型题型三：含+y xx y或1+t t 以及可以转化为此的类型题型四：含22,,,++=++y x ax byax by xy ax by a b ab类型【典型例题】题型一：比较大小及不等式证明问题例1．（多选题）（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y >，则下列结论正确的是（）A ．11x y>B ．11x y<C ．2x y y x +≥D ．22222x y x y ++⎛⎫<⎪⎝⎭例2．（多选题）（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（）A ．12(2)9a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．2221)a b a b +≥++（C ．22a b a bb a++≥D ．2aba b≤+例3．（2022·河南·高一期中）已知x 、y 、z 都是正数．（1）求证：0x y y z z xyz zx xy---++≥；（2）若()2221122x y m m y x x y ⎛⎫+≥--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．例4．（2022·广东茂名·高一期末）已知,,a b c 均为正数，且3a b c ++=，证明：2221116a b c ab bc ac+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立．例5．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知a ，b ，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++．例6．（2022·江苏·高一单元测试）设a >0，b >0，a +b ＝2．（1）证明：(1)(1)a b ab++≥4；（2）证明：a 3+b 3≥2．题型二：简单的和为定值或积为定值型例7．（2022·陕西安康·高一期中）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A ．ab ≥BC ．213a b+≥D ．222a b +≥例8．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足1a b +=，则（）A ．ab 有最大值14B ．11a b+有最大值4C ．ab 有最小值14D ．11a b+有最小值2例9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数x y ，满足4x y +=，则xy 的最大值（）A ． 2B ．4C ． 6D ．8例10．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若()0,4,x ∈则()4x x -的最大值是（）A ．4B ．1C ．0D ．不存在例11．（2022·河南郑州·高一期中）设正实数x ，y 满足x +2y =1，则下列结论正确的是（）A ．x 的最大值为14B ．224x y +的最小值为12，C ．y x +1y的最大值为4D例12．（2022·山东青岛·高一期末）已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则()()()x y y z z x +++的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8例13．（2022·江苏·常州市第一中学高一期末）若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．9例15．（2022·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（）A ．16y x x=+B ．16sin sin y x x=+C ．22644x y x=+D ．227y x x =-+例16．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数x ，y 满足2x y +=-，则1x y-的最小值为（）A ．0B ．1-C ．D ．题型三：含+y xx y或1+t t 以及可以转化为此的类型例17．（2022·四川·华阳中学高一期中）若正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++，则当xyz取最大值时，1112x y z +-的最大值为______．例18．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A ．2B ．4C ．254D ．1例19．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（）A ．9B ．16C ．49D ．81例20．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1例21．（2022·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7，则14299a b +++的最小值为（）A ．49B C ．1327D 例22．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数x ，y 满足()()1419x y ++=，则4x y +的最小值为（）A ．3B ．4C ．265D ．425例23．（2022·江西省丰城中学高一期中）已知正实数a ，b ，若()1126a b a b+++=，z a b =+，则z 的取值范围是（）A ．{}13z z ≤≤B ．{}12z z ≤≤C ．{}23z z ≤≤D ．{}34z z ≤≤例24．（2022·河南三门峡·高一期末）若正实数x ，y 满足30x y xy ++-=，则x y +的最小值为（）A ．3B ．2CD ．2例25．（2022·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2y xz的最小值是（）A ．4B ．2C ．12D ．14例26．（2022·重庆八中高一期中）已知0a >，0b >，2a b +=，则22a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A ．8B ．4C ．9D ．4题型四：含22,,,++=++y x ax byax by xy ax by a b ab类型例27．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（）A ．6B ．8C ．14D ．16例28．（2022·全国·高一单元测试）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．22D ．2例29．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22例30．（2022·天津·南开中学高一期中）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________．例31．（2022·云南丽江·高一期末）若正数a ，b 满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为___________．例32．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．例33．（2022·青海青海·高一期末）已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．74B ．92C ．134D ．1例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知x y ，为正实数，且2x y xy +=，则2x y +的最小值是（）A ．2B ．4C ．8D ．16例35．（2022·江西·高一期中）已知0a >，0b >，且12a b+=，则4b a+的最小值是（）A ．92B ．2C ．9D ．4例36．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（）A ．若3x <-，则函数13y x x =++的最大值为3-B ．若0xy >，234x y xy +=，则2x y +的最小值为2C ．若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则xy 的最大值为1-D ．若2x >，2y >-，22x y +=，则11224x y +-+的最小值为3+例37．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p ，q 为正实数且3p q +=，则1121p q +++的最小值为（）A ．23B ．53C ．74D ．95例38．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（）A ．134B ．94C ．74D ．95例39．（2022·江苏·常州市第一中学高一期中）已知0x >，0y >，2x y +=，则11xx y ++的最小值为（）．A ．126+B ．136+C ．133+D ．32【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>2．（2022·福建三明·高一期中）已知正实数,a b 满足418a b +=，使得11a b+取最小值时，实数,a b 的值为（）A ．94a =，9b =B ．2a =，10b =C ．3a =，6b =D ．185a =，185b =3．（2022·浙江杭州·高一期末）若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．（2022·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：①函数1y x x=+的最小值是2；②若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；③y =的最小值是2；④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-．其中，正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．35．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知0a >，0b >，且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（）A ．14a b ≤+≤B ．2a b +≥C ．14a b <+<D ．4a b +>6．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知x ，y R ∈，且0x >，0y >，2x y +=，那么xy 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．27．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数,1x y >（）A ．1BC ．2D ．8．（2022·河南新乡·高一期末）已知0x >，0y >，且22x y +=，则321x y+的最小值为（）A ．24B ．25C ．26D ．27二、多选题9．（2022·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（）A ．21x y x+=的最小值为2B ．任意的正数a b 、，且1a b +=C ．若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D ．设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +10．（2022·福建·福州三中高一期末）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为11．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若0a >，0b >，且5a b +=，则（）A ．ab 的最大值为254B 的最大值为10C ．22a b +的最小值为252D ．11a b+的最小值为4512．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A ．xyB ．2x y +的最小值为4C ．x y +的最小值为3-D ．22(2)(1)x y +++的最小值为113．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（）A ．12(2)()9a b ab++≥B ．222(1)a ab b +++≥C ．22a b a bb a++≥D ．22a b a b+≥+三、填空题14．（2022·江苏扬州·高一期中）若20,x y >>则2y xx y y+-的最小值为_________．15．（2022·湖北十堰·高一期中）已知1x >，则2241x x x -+-的最小值为___________．16．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___．17．（2022·江西·上高二中高一期末（理））已知a ，b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值为___________．18．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．四、解答题19．（2022·河南焦作·高一期中）已知a ，b 是正实数，且2a b +=，证明下列不等式并指出等号成立的条件：（1）222a b +≥；（2）()()334a bab ++≥．20．（2022·全国·高一单元测试）已知a ，b ，c 均为正数．（1）若40a b ab +-=，求a b +的最小值；（2）若1a b c ++=，求证：()()()1118a b c abc ---≥．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
衡阳市第一中学2020年上学期高一入学考试（数学）试题
一、选择题（以下各题只有一个答案正确，每题5分，共60分）.
1.若全集U =R ，{}3|log (2)1B x x =-≤，则U B =ð（ ） A. {|1}x x >- B. {|1x x <-或2}x ≥ C. {|1}x x <-
D. {|1x x ≤-或2}x >
2.下列函数中，既在定义域上是增函数又是奇函数的是（ ） A. 3y x
=-
B. 2ln 11y x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
C. 3y x =
D. 33x x y -=+
3.函数(3)()32x f x x -=-+的零点所在的区间是（ ） A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
4.已知直线1:210l x y +-=与直线2:30l x my -+=平行，则实数m 的取值为（ ） A. 12
-
B.
12
C. 2
D. 2-
5.已知向量(2,1)a =r ，(1,)b x =-r ，a b ⊥r r
，则x =（ ）
A. 1-
B. 1
C. 2-
D. 2
6.圆2268110x y x y ++--=的圆心和半径分别为（ ） A. ()3,4-，6
B. (2,3)-，4
C. (2,3)-，4
D. (3,4)-，6
7.若2
cos(
)2
3
π
α-=
，则cos(2)πα-=（ ） A. 29
-
B.
29
C. 59
-
D.
59
8.函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
A. B. C. D.
9.有以下四种变换方式： ①向左平移
3π
，再将横坐标变为原来的15；②将横坐标变为原来的15
，再向左平移15π；
③将横坐标变为原来的
15，在向左平移3π
；④向左平移15π，再将横坐标变为原来的15
.
其中，能将正弦函数cos y x =的
图象变为cos 53y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的是（ ） A. ①③
B. ②④
C. ②③
D. ①②
10.已知函数sin()y A x ωϕ=+，0,||2⎛⎫
><
⎪⎝
⎭
πωϕ的部分图象如图所示.则函数的解析式为（ ）
A. 2sin 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
B. 2sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C. 2sin 3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D. 2sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
11.已知,,A B C 三点都在以O 为球心的球面上，,,OA OB OC 两两垂直，三棱锥O ABC -的体积为27
6
，则球O 的体积为（ ） A.
163
π
B. 16π
C.
363
π
D. 36π
12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：1(1)()
f x f x +=，当(0,1]x ∈时，有()2-=x
f x ，则()2lo
g 9f 等于（ ） A.
1625
B.
98
C.
89
D.
2516
二、填空题（每题5分，共20分）.
13.若函数2()ln()f x x x a x =+为偶函数，则a = ． 14.已知tan 3a =，则
sin cos sin cos a a
a a
+-的值为_____.
15.在函数①|cos 2|y x =，②cos ||y x =，③cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，④tan 24y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
中，最小正周期为
2
π
的函数有_____.
16.如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u r
，则λμ+=______.
三、解答题（17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17.已知{|135}A x a x a =+≤≤-，{|4B x x =≤或6}x >. （1）若5a =，求A B I ；
（2）若A B ⊆，求a 的取值范围. 18.已知函数2
()68f x x x =-+.
（1）求函数()f x 的单调区间，并指出其增减性；
（2）求集合{|M m =使方程()0f x m -=有2个不相等的实根}.
19.已知ABC V 的三个顶点分别为(2,1)A ，(3,2)B -，(2,3)C -，求： （1）AC 边所在直线的
方程；
（2）AC 边所在直线关于点B 对称的直线A C ''的方程.
20.如图，已知四棱锥P ABCD -底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，
2PA =，点F 为PC 的中点.
（1）证明：//PA 平面BDF ；
（2）证明：平面PAC ⊥平面BDF ； （3）求三棱锥P BDF -的体积.
21.已知向量(cos ,0)a x =r
，3)b x =r ，记函数2()()32f x a b x =++r r
. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的取值范围；
（2）求函数()f x 的单调减区间. 22.以原点为圆心，半径为r
的圆O 222:(0)O x y r r +=>与直线380x y --=相切.
（1）直线l 过点(2,6)-且l 截圆O 所得弦长为43求直线l l 的方程； （2）设圆O 与x 轴
的
正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两
点，且122k k =-123k k ⋅=-，证明：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点坐标.。