陕西省高中数学 第二章 概率 细解条件概率拓展资料素材 北师大版选修2-3

细解条件概率
一、关于条件概率的定义
条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一，正确理解概念是解题的关键，任何一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A 的发生具有某种概率．但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同．这些附加条件可以看成是另外某个事件B 发生．
若想知道某一事件A 发生的可能性大小．尽管我们不可能完全预知试验结果，但往往会掌握一些与事件相关的信息，这对于我们的判断有一定的影响．在已知另一事件B 发生的前提下，事件A 发生的可能性大小不一定再是()P A ．已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作()P A B |．
二、条件概率的计算方法
1．利用古典概型公式计算
例1 盒中有红球5个，蓝球11个，红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，问它是蓝球的概率是多少？
解：记{}A =取得篮球，{}B =取得玻璃球，根据题意画出图表（如下图）．
玻璃 木质 总计 红
蓝 2 3 4 7 5 11
总计 6 10
16 如果已知取得的为玻璃球，那么它是蓝球的概率，这就是B 发生条件下A 发生的条件概率，记作()P A B |．在B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体．由古典概率型公式，在B 发生条件下A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，从上图中可知：42()63P A B =
=|． 2．利用条件概率公式求解
条件概率的公式及变形主要有以下四个：对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 发生的条件概率”，记作()P A B |，定义为()P A B |()()
P AB P B =； （1）
反过来可以用条件概率表示Ａ，Ｂ的乘积概率，即有乘法公式，若()0P B ≠，则()()()P AB P B P A B =|； （2）
同样有，若()0P A ≠，则()()()P AB P A P B A =|； （3）
若B 和C 是两个互斥事件，则有()()()P B C A P B A P C A =+U |||． （4）
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，求2张都是假钞的概率．
解：若A 表示：“抽到的两张都为假钞”；B 表示“抽到的两张中至少有1张为假钞”则所求概率为()P A B |．
又25220()()C P AB P A C ==，2115515220
()C C C P B C +=，由公式（1）易得， 所以252115515()10()0.118()85
C P AB P A B P B C C C ====+|． 点评：在本题中容易出现这样的错误：设A 表示“其中一张是假钞”；B 表示“2张都是假钞”，则4()0.210519P B A =
=|，准确理解题意，看是在什么条件下发生的事件是求解条件概率的关键．
三、条件概率在现实生活中的应用
例3 n 张彩票中有一个中奖票．
①已知前面1K -个人没摸到中奖票，求第K 个人摸到的概率；
②求第K 个人摸到的概率．
解：记{i A =第i 个人摸到中奖票}，则①的条件是12111
K A A A n k -=-+L ； ②所求为()K P A ，但对本题，121K K A A A A -=L 由条件概率公式及古典概率计算公式有： 1231121312121()()()()()()K K K K K P A P A A A A A P A P A A P A A A P A A A A --==L L L |||
1231111221n n n n k n n n n k n k n
----+==---+-+L ·····． 由以上两问可解释在生活中为什么每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关．。