重庆南开中学2020级高三第六次质检数学理科试卷-含答案
重庆市六校2020届高三复学联合诊断性考试数学(理)试题 含答案
者虽然还没有最终确诊患 2019 新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医
学观察 14 天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离 10 天未
有临床症状，若该人员居家隔离第
k
天出现临床症状的概率为
1 k 10 2
，
k 11,12,13,14 ，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立
的最小值为 ,且将函数 的图象向右平移个单位后得到的函数
为奇函数,则函数 的一个递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
为
上的可导函数,且有
,则对于任意的
,
当 时,有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示,正方体
中,点 分别为边 , 的
中点,过点 作一平面与线段 所在直线有一交点 ,若正方体边长为 ,则多面体
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如果向量
与
共线且方向相反,那么实数 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数
(其中
,且
)可化为
,则
应满足条件（ ）
A． tan b a
B． cos a a2 b2
____________________________________________________________________________________________
的体积为（ ）
A． 10 ． 设点 是以
足 A． 3
2
B． 32
C． 64
D．
3
3
为左、右焦点的双曲线
x2 a2
重庆南开2020届高三下2.16周练理科数学试卷和答案
A.
6
B.
12
C.
4
D.
3
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为
19
A.
2
B. 12
41
C.
4
23
D.
2
11.
在
ABC
sin
中，
B
3
，BAC
60 ，D 是 BC 的中点.
若 AE
EC ，且 AD BE ，则实数
x 5y 3
则 a 的取值范围为
.
16. 函数 f (x) (x a)(| x 3a | | x 5a |) 满足： f (1) f (3) f (5) f (2019) 0 ，则
f (2019) f (2021) =
．
2020
三．解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
（1）证明： AB 平面 SDB ； （2）若 M 为 BS 中点，求二面角 M CD B 的余弦值．
20.（12 分）已知 F 为抛物线 C1 : y2 2 px(0 p 1) 的焦点， E 为圆 C2 : (x 4)2 y2 1上任意一点，且
|
EF
|
最大值为 19 4
三．解答题
17. 解：（1）由题意得，1 d q 1 4d q3 1 ，解得 d q, q3 4q 0 ，由 bn 0 ，可得
南开中学高三数学模拟试卷(理科)(参考答案).doc
南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。
甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。
重庆南开中学2020学年度高2020级数学理科6月考前猜题卷
重庆南开中学2020学年度高2020级数学理科6月考前猜题卷第I 卷（选择题 50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1. 定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且为两个集合A ，B 的差集，若全集I N =，{}{}2,4,6,1,2,3,4,5,6A B ==，则A B -=（ ）A. φB. AC. BD. {}1,3,5 2.200711i i+=-（ ） A. 2i B. 2i - C. 1 D. i 3. {}n a 为正项等比数列，且354657225a a a a a a ++=，则46a a +=（ ）A. 25B. 20C. 15D. 54. ()y f x =是定义在R 上的函数，则()y f x =为奇函数的必要不充分．．．．．条件是（ ） A. ()f x 的图像过原点，且()f x 单调递增B. 对任意的x R ∈，()()0f x f x --=都成立C. 对任意x R ∈，()()0f x f x +-=都成立D. 存在0x R ∈，使得00()()0f x f x +-=成立5. 已知函数()sin cos ()f x a x x x R =+∈的一条对称轴方程3x π=，则a 的一个可能取值是（ ）3 D. 3-6. 不等式组2142x a x a⎧->⎨-<⎩有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,3)-B. (3,1)-C. (,1)(3,)-∞+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U7. 在二项式12)nx -（的展开式中，偶数项二项式系数和为32，则展开式的中间项为（ ） A. 2120x B. 3120x - C. 3160x - D. 3160x 8. 设是(,)P x y 椭圆22194x y +=上一点，12,F F 是两个焦点，若120F P F P ⋅<u u u r u u u u r ，则点P 的横坐标x 的取值范围是（ ）A.35353,,355⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B.3535,55⎛⎫-⎪⎪⎝⎭C.35353,,355⎛⎫⎛⎤--⎪ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦U D.3535,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 如图，点P是球O的直径AB上的动点，设PA=x，过点P且与AB垂直的截面面积记为()f x，则函数1()2y f x=的大致图象是（）10. 已知1,1m n>>，则2211m nn m+--的最小值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6第II卷（非选择题共100分）二、填空题（每小题4分，6小题，共24分，请将答案填在答题卡相应位置的横线上）11. 某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=。
重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷
重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的 （ ）2．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是 （ ）A ．}21|{<<-x xB ．φC ．RD ．}12|{-<>x x x 或3．若1||||,>+∈b a R b a ，则使成立的充分不必要条件是（ ） A ．1||≥+b a B ．21||21||≥≥b a 且C ．1||≥aD ．b<－14．若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是 （ ）A ．)4,0(π B ．)1,0[ C ．)43,2(ππ D ．),4(ππ5．已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与，则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是 （ ）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 6．数列1，n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为 （ ）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是 （ ）A ．（3，－2）B ．（1，－2）C ．（419，－2） D ．（9，－2） 8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω，则的取值范围是（ ）A ．[－1，31] B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[-9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是 （ ）A ．（1）和（3）B ．（1）和（4）C ．（2）和（3）D ．（2）和（4）10．已知xy y x N y x ，则，且19939319*,≤+∈的最大值是 （ ）A ．559B ．560C ．561D ．562二、填空题（每题4分，共24分）11．函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n = 13．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是14．已知圆的方程为1)1(22=++y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有 个.16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题（共76分） 17．（13分）解关于x 的不等式：)0(,113)1(><--+a x x a18．（13分）圆822=+y x 内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.（1）求当43πα=时，弦AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.19．（13分）已知△ABC 的面积为3， 且满足60≤⋅≤AC AB ，设AC AB 和的夹角θ. （1）求θ的取值范围； （2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）（n *N ∈）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值.21．（12分）在沙坪坝交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离m （米）与车速v （千米/小时）须遵守的关系是225001kv m ≥（其中k （米）是车身长，常数），同时规定.2k m ≥ （1）当m=2k时，求机动车的速度变化范围； （2）设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=，此时，应规定怎样的车速，每小时的机动车流量P 最大？22．（12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+，（1）求a 2，a 3的值；（2）是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，若存在，求出μλ,的值；若不存在，说明理由；（3）设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21， 证明：当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时，参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解：10．22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ，又，而而561=3×11×17=33×17=51×11，20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ，经检验或满足题意，故5611151=⨯=xy 二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2，4） 12．)1,(-∞ 13．)13(21-n14．),21()21,(+∞+--∞Y 15．64 16．5:4三、解答题（共74分） 17．解：0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当，时，1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时，a 2=1，不等式的解集为φ； ③当a>2时，a 2<1，不等式的解为)1,2(ax ∈时综上，不等式的解为：①0<a<2时，)2,1(a x ∈；②a=2时，φ∈x ；③a>2时，)1,2(ax ∈.18．解：（1）当43πα=时，直线AB 方程为：01=-+y x ，圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+，∴弦AB 的长为：30)22(822=-（2）当弦AB 被点P 平分时，PO ⊥AB ，直线l 的斜率为21，其方程为052=+-y x 19．解：（1）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则由，，可得，1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ （2）θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ，Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时，当时，20．解：（1）由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得：2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ，又即 （2）由（1）易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=， ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1<b 2=b 3>b 4>……，∴b n 最大值23,32即b b ，对一切正整数n 都有，t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值，∴t 的最小值是23. 21．解（1）2252500122≤∴≥=Θv kv k m ，故当22502≤<=v km 时，（千米/小时） （2）当231000225k vP v =≤时，P 是v 的一次函数，v=225，P 最大为k3250000，当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时，， 当且仅当v=50时，P 最大为k25000， kk 325000025000>Θ∴当v=50（千米/小时）时，每小时机动车流量P 最大. 22．解：（1）10,432==a a（2）设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为，即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为 又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列 （3）证明：由（1）得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时，35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时，5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=，，而n n n b b S n ， 故n=2时不等式成立， 当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时，由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得，且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。
2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
高考数学模拟试卷（理科）（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，N={x|＜2x＜1}，M={x|y=ln（-x-1）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {x|-3＜x＜-1}B. {x|-3＜x＜0}C. {x|-1≤x＜0}D. {x|x＜-3}2.设0＜a＜1，则“log a b＞1”是“b＜a”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知a=log2，b=5-3，c=2，则a，b，c的大小关系为（ ）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜b＜aD. c＜a＜b4.函数f（x）=ln x+2x-6的零点所在的区间为（ ）A. （1，2）B. （2，3）C. （3，4）D. （4，5）5.将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个对称中心是（ ）A. （，）B. （-，-）C. （，）D. （，-）6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（ ）A. 22B. 23C. 20D. 217.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a1=( )A. 23B. 32C. 35D. 388.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.9.若平面向量满足，，，，则的最大值为（ ）A. B. C. D.10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ A. B. C. D.11.设F 1，F 2分别是椭圆C ：的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足且∠CF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.12.若对于任意的实数t ，函数f （x ）=（x -t ）3+（x -e t ）3-3ax 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. （-]B. （）C. （]D. （）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z 满足（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数=______．14.已知（ax +1）n 的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =______．15.已知定点A （2，0），点P （x ，y ）的坐标满足，当（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是______．16.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，∠ABE =20°，∠CDF =30°．将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC 中，BC =2，B =45°，=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若S △BCD =1，求CD 的长；（Ⅱ）若A =30°，λ=，求的值．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：年 份201220132014201520162017年份代码t 123456（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方=t；（2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…（t n，y n），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=-．（参考数据：（t i）（y i）=2.8，计算结果保留小数点后两位）19.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A、B，过F与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于C、D，与直线l2：x=4交于P．①求四边形ABCD面积的最小值；②求证：直线PA，PF，PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列．21.设函数，．（1）当b=0时，函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；（2）若y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，且函数h（x）=f（x）+g （x）在x∈（1，+∞）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），且有定点T（4，0），求△TAB的面积．23.已知a，b均为正实数，且a+b=1．（1）求的最大值；（2）求的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合N∩C U M，由N={x|＜2x＜1}={x|-3＜x＜0}，M={x|y=ln（-x-1）={x|x＜-1}，则C U M={x|x≥-1}，则N∩C U M={x|-1≤x＜0}．故选：C．阴影部分用集合表示为N∩C U M，只要求出M、N进行集合的运算即可．正确理解集合M、N所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵0＜a＜1，log a b＞1=log a a，∴0＜b＜a，∵0＜b＜a⇒b＜a，b＜a推不出0＜b＜a，∴0＜b＜a是b＜a充分不必要条件，即“log a b＞1”是“b＜a”的充分不必要条件．故选：B．先找出log a b＞1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：，0＜5-3＜50=1，；∴a＜b＜c．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．4.【答案】B【解析】解：f（1）=2-6＜0，f（2）=4+ln2-6＜0，f（3）=6+ln3-6＞0，f（4）=8+ln4-6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力．解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．【解析】解：函数，=，=+，把函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）==cos2x+的图象，令，解得：x=（k∈Z），当k=0时，函数的对称中心为（）．故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的应用，属于基础题．由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为-3，则9a1+×(-3)=207，解得即可．【解答】解：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为-3，则9a1+×(-3)=207，8.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V=πr2•h-•πr3=π••（•2-•）=．故选：D．根据三视图知该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是中档题．9.【答案】D【解析】【分析】本题可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，这样就能方便于计算，切记不要直接计算．本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点．本题属中档题．【解答】解：由题意，可得：，∵==4+4×16-4×4=52．∴=2．∴====3+52+2×××=55+4×∵55+4=52+2×2×+3=（2）2．则的最大值为2．故选：D．10.【答案】B【解析】【分析】利用隔板法求出共计有n==21种领法，由此能求出“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：如下图，利用隔板法，得到共计有n==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有1种，“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m=2+3+2+1=8，∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p=．故选：B．11.【答案】A【解析】解：设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，F1（-c，0）．直线l过F1交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且∠CF1F2=30°，可得C（0，），设A（x,y),则（c，）=（-c-x，-y），解得A（，-）．可得：即：，e∈（0，1）．解得e=．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=（x-t）3+（x-e t）3-3ax在R上都是增函数，∴f′（x）=3（x-t）2+3（x-e t）2-3a≥0在R上恒成立，∴a≤（x-t）2+（x-e t）2，（x-t）2+（x-e t）2=2（x-）2+≥，令y=t-e t，则y′=1-e t，∴（-∞，0）上，y′＞0，（0，+∞）上，y′＜0，∴t=0时，y max=-1，∴的最小值为，∴a≤，故选：A．利用f（x）=（x-t）3+（x-e t）3-3ax在R上都是增函数，可得f′（x）=3（x-t）2+3（x-e t ）2-3a≥0在R上恒成立，分离参数a≤（x-t）2+（x-e t）2，再求出右边的最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．13.【答案】-1-i【解析】解：∵=，∴．故答案为：-1-i．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】2【解析】【分析】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键．先根据二项式系数的和为2n，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．【解答】解：由二项式系数和为2n=32，得n=5，又令x=1，得各项系数和为（a+1）5=243，∴a+1=3，∴a=2．故答案为：2．15.【答案】2【解析】【分析】等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）∵定点A（2，0），点P（x，y），∴，设，要使当（O为坐标原点）的最小值是2时，即x=2时，点P落在直线x=a上，此时a=2．故答案为2.16.【答案】70°【解析】解：AB不动，由于AB∥CD，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为30°．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．故答案为：70°两者同时动，则线线关系不易确定，可以先固定一个探究规律，再作出判断本题考查两异面直线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系变化不好确定，故本题采取了先固定一个，进行研究得出规律．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由S△BCD=BC•BD•sin45°=BD=1，可得：BD=，在△BCD中，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cos45°=4+2-4=2，解得：CD=．……………（6分）（II）由，可得：BD=2AD，在△ADC中，由正弦定理可知：，可得：sin∠ACD==，在△BDC中，由正弦定理可知：，可得：sin∠BCD==，故====．……………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可解得BD的值，根据余弦定理即可解得CD 的值．（II）由已知可得BD=2AD，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ACD=，在△BDC中，由正弦定理可得sin∠BCD=，即可计算得解的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解（1）由题意可知：==3.5，，==7（t i-）2=2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52=17.5，∴==0.16，又=-=7-0.16×3.5=6.44所以y关于t的线性回归方程为=0.16t+6.44（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码t=8，此时=0.16×8+6.44=7.72，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨．【解析】（1）先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；（2）将2019年的年份代码t=8代入线性回归方程可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.【答案】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，，又AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴,∴四边形BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解:如图所示，取AD中点O，连接PO，CO，由于为正三角形，则，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面平面ABCD =AD ，PO 侧面PAD ，所以PO 平面ABCD ，又CO 平面ABCD ，所以PO CO .因为AO =AB =BC =，且，所以四边形ABCO 是矩形，所以CO AD ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =BC ==1，则OA =OD =AB =CO =1.又因为为直角三角形，，所以.作MN CO ，垂足为N ，连接BN ，因为PO CO ，所以MN PO ，又PO 平面ABCD ，所以MN 平面ABCD ，所以即为直线BM 与平面ABCD 所成的角,设CN =t ，因为，所以MN =，.因为，所以MN =BN ，即，解得，所以，，所以，，，，则，，.设平面MAB 和平面DAB 的法向量分别为，,则，即，可取，则,平面DAB 的法向量可令，所以.因为二面角M -AB -D 是锐二面角，所以其余弦值为.【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于较难题．（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，通过证明CE ∥BF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，作MN CO ，垂足为N ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，即可求出二面角M -AB -D 的余弦值．20.【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a2=b2，∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切．∴b==，∴a2=4，b2=3∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①斜率不存在时，方程为x=1，代入椭圆方程可得y=±，∴|AB|=3，|CD|=2a=4，∴四边形ABCD面积为=6；斜率不为0时，方程为y=k（x-1），代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴|AB|=|x1-x2|=，同理|CD|=，∴+=+=≥2，∴|AB||CD|≥，∴S ABCD=|AB||CD|≥×=，∵＜6，∴四边形ABCD面积的最小值为；②l1的斜率存在时，则直线l2的方程为y=-（x-1）．令x=4，则P（4，-），∴k PA+k PB=+=++×=-=2k PF．l1的斜率不存在时，由对称性知，k PA+k PB=2k PF．∴直线PA，PF，PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列．【解析】（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得a2=b2，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，求出b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）①分类讨论，设出方程代入椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值；②分类讨论，设出方程，证明k PA+k PB=2k PF，即可证明直线PA，PF，PB的斜率k PA，k PF ，k PB成等差数列．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于难题．21.【答案】解：（1）当b=0时，f（x）=x lnx-ax2-x，（x＞0）．∴f′（x）=ln x+1-2ax-1=ln x-2ax．函数f（x）有两个极值点，有两个零点，令p（x）=ln x-2ax，∴p′（x）=-2a=．①a∈（-∞，0）时，p′（x）＞0，∴p（x）在（0，+∞）单调递增，不符合题意．②a∈（0，+∞）时，令p′（x）＞0，x∈，∴p（x）在上单调递增．令p′（x）＜0，x∈（，+∞），∴p（x）在（，+∞）上单调递减．令p（）=-ln2a-1＞0，∴a∈．又∵p（1）=-2a＜0，p=ln-=，令,,在定义域单调递减，，p=ln-=<0又＜，∴a∈时，f（x）=x lnx-ax2-x有两个极值点．综上所述a∈，（2）y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0且f（1）≠0，∵f′（x）=-ln x-2ax+b，∴b=2a且a≠1，∴h（x）=x lnx-ax2+（b-1）x+e x-ex，在x∈（1，+∞）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，即当x＞1时，h′（x）=1+ln x-2ax+b-1+e x-e=ln x-2ax+2a+e x-e＞0恒成立，令t（x）=ln x-2ax+2a+e x-e，∴t′（x）=+e x-2a，设φ（x）=+e x-2a，∴φ′（x）=e x-，∵e x＞e，＜1，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，即t′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴t′（x）＞t′（1）=1+e-2a，当a≤时，且a≠1时，t′（x）≥0，∴t（x）在（1，+∞）上单调递增，∴t（x）＞t（1）=0成立，当a＞，∵t′（x）在（1，+∞）单调递增，∴t′（1）=1+e-2a＜0，t′（ln2a）=+2a-2a＞0，∴存在x0∈（1，ln2a）使得t′（x0）=0，当x∈（1，x0）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，∴t（x0）＜t（1）=0，t（x）＞0不恒成立；∴实数a的取值范围为（-∞，1）∪（1，]【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．（1）先求导，再分类讨论，利用导数判断函数的单调性，判断函数的极值点的情况，即可求出a的范围；（2）先根据导数的几何意义求出b=2a，再根据函数h（x）=f（x）+g（x）在x∈（1，+∞）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，可得h′（x）=ln x-2ax+2a+e x-e＞0恒成立，构造函数，利用导数，即可求出a的范围22.【答案】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴由题设，得C1的直角坐标方程为x2+（y-5）2=25，即x2+y2-10y=0，故C1的极坐标方程为ρ2-10ρsinθ=0，即ρ=10sinθ，M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON，点N的轨迹为曲线C2，设点N（ρ，θ）（ρ≠0），则由已知得，代入C1的极坐标方程得，∴C2的极坐标方程为ρ=10cosθ（ρ≠0）；（2）∵射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），∴将代入C1，C2的极坐标方程得，又∵T（4，0），∴，，∴．【解析】本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．（1）由曲线C1的参数方程能求出C1的直角坐标方程，由此能求出C1的极坐标方程；设点N（ρ，θ）（ρ≠0），由已知得，代入C1的极坐标方程，能求出C2的极坐标方程，（2）将代入C1，C2的极坐标方程得，由T（4，0），能求出△TAB的面积．23.【答案】解：（1）≤（12+12）•（4a+1+4b+1）=2[4（a+b）+2]=2（4×1+2）=12，当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12．（2）原式═，因为，当且仅当，即时，取等号，以，故原式的最大值为．【解析】（1）利用平方以及柯西不等式转化求解即可．（2）利用基本不等式，转化求解函数的最值．本题考查不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学(文)试题(解析版)
重庆市南开中学2020级高三第六次教学质量检测考试数学（文科）一、选择题 1.若复数z 满足112z ii i+=+-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A.32i - B.3i +C.23i +D.2i -【答案】A 【分析】(1)(12)z i i i =+--，直接利用复数的乘法运算即可.【详解】由已知，(1)(12)332z i i i i i i =+--=--=-. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.设全集U=R ，集合{}21xA x =>，(){}ln 2B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. ()0,∞+B.()0,2C.[)2,+∞D. ()[),02,-∞+∞U【答案】C 【分析】由已知得到集合A 、B ，阴影部分表示的集合为U A B I ð，再按交集、补集运算即可. 【详解】由21x>，得0x >，所以{|0}A x x =>，由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<，阴影部分表示的集合为U A B =I ð{|0}x x >I {|2}x x ≥={|2}x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式，是一道容易题. 3.已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则2cos 29114a b a bθ⋅===+⋅+⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,...33的33个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第4列数字开始从左向右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A. 21 B. 32C. 09D. 17【答案】C 【分析】根据表格依次读取即可，注意，不在01到33之间的跳过不取.【详解】由随机数表法知，读取的第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为09. 故选：C【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对基本抽样方法操作的掌握，是一道容易题. 5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.10-B.6 C. 8 D. 14【答案】B 【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案. 【详解】当20,1Si ==时，2,20218i S ==-=，25<，4,18414i S ==-=，45<；8,1486i S ==-=，此时85>，退出循环，输出的S 的为6. 故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.6.已知直线,m n 与平面,αβ满足m α⊂，n β⊂，则下列命题正确的是（ ） A. 若α∥β，则m ∥β B. 若αβ⊥，则m β⊥ C. 若α∥β，则m ∥n D. 若αβ⊥，则m n ⊥【答案】A 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，若α∥β，则α与β无公共点，又m α⊂，所以m 与β无公共点，由线面平 行的定义可得m ∥β，故A 正确；对于选项B ，若αβ⊥，则m 与β可能平行、相交、在β内，故B 错误；对于选项C ，若α∥β，则m 与n 可能平行，可能异面，故C 错误；对于选项D ，若αβ⊥，则m 与n 可能平行，可能异面，也可能相交，故D 错误. 故选：A【点睛】本题考查线线、线面、面面的位置关系，考查学生的空间想象能力，是一道容易题.7.数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=（ ）A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】D 【分析】可以从第4行第二列入手，结合每行每列都有1—6，简单推理，即可得到答案.【详解】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d+=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17. 故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题. 8.已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象与函数()cos(2)()2g x x πφφ=+<的图象的对称中心完全相同，则φ为（ ）A.6π B.6π-C.3π D.3π-【答案】D【详解】解：若()f x 与()g x 的对称中心相同，则函数的周期相同即222ππω=，则2ω=， 即()2sin(2)6f x x π=+由26x k ππ+=，即212k x ππ=-，即()f x 的对称中心为(212k ππ-，0)即()g x 的对称中心为(212k ππ-，0)， 则()cos(2())cos()cos()021221266k k g k ππππππϕπϕϕ-=⨯-+=-+=±-=， 即62k ππϕπ-=+，则23k πϕπ=+，k Z ∈ 当1k=-，233ππϕπ=-+=-， 故选：D ．9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()21f x f x f ++=，且()01f =，则()2020f 的值为（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 2-【答案】A 【分析】令1x =-，得(1)(1)(1)f f f +-=，进一步得到(1)(1)0f f =-=，所以()()20f x f x ++=，迭代一次可得()f x 是以4为周期的周期函数，再利用周期性计算得到答案.【详解】在()()()21f x f x f ++=中，令1x =-，得(1)(1)(1)f f f +-=，所以(1)0f -=，又()f x 为偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，从而()()20f x f x ++=，所以()()42()f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()2020(4505)(0)1f f f =⨯==.故选：A【点睛】本题考查抽象函数的性质及应用，涉及到函数的奇偶性、周期性，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.10.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点为1F ，右顶点为D ，过点D 作垂直于x 轴的直线交双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，1ABF V 为等边三角形，则双曲线离心率为（ ）AB.C.2 D. 3【答案】C 【分析】由已知求出AD ，1F D ，再由1tan 30ADF D=o 即可建立,,a b c 的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨设A 在第一象限，令x a =，则y b =±， 所以(,)A a b ，AD b =，又1F D c a =+，1ABF V 为等边三角形，所以1tan 30AD F D ==ob c a =+，所以2220c ac a --=，220e e --=， 解得2e =或1e =-（舍）. 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，此类题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知ABC V 三内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，cos sin 0A a C +=，若角A 平分线段BC 于D 点，且1AD =，则4b c +的最小值为（ ） A.6 B.9C.D. 3+【答案】B 【分析】 由已知，易得23A π=，再利用ABC ABD ACD S S S =+V V V 得到bc b c =+，即111b c+=，再利用“1”的替换即可得到答案.【详解】由cos sin 0A a C +=及正弦定理，得cos sin sin 0C A A C +=， 因(0,)C π∈，sin 0C ≠sin 0A A+=，即tan A =(0,)A π∈， 所以23A π=.如图，ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒， 所以bc b c =+，即111b c+=.∴()114455249b c b c b c c b ⎛⎫+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2c b =，bc b c =+，即33,2c b ==时，等号成立 所以4b c +的最小值为9. 故选：B【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.12.设函数()()()2100x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若不等式()()3222203a f x ax a f x a ⎛⎫⎡⎤-+-≥> ⎪⎣⎦⎝⎭对任意11x -≤≤都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3⎤⎥⎣⎦【答案】A 【分析】 注意到()()222aax f xef ax -⎡⎤==⎣⎦，所以()322223a f x ax a f x ⎛⎫⎡⎤-+-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭()2f ax =， 利用()f x 的单调性可得322303x axa -+-≤对任意11x -≤≤都成立，令()32233g x x ax a =-+-，只需()max 0g x ≤即可.【详解】由已知，()f x 在R 上单调递减，因为0a >，所以()()222aax f x e f ax -⎡⎤==⎣⎦，所以()322223a f x ax a f x ⎛⎫⎡⎤-+-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭()2f ax =， 所以322223xax a ax -+-≤，即322303x ax a -+-≤对任意11x -≤≤都成立， 令()()()32'223,36323g x x ax a g x x ax x x a =-+-=-=-①当21a <时，()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,2a 上单调递减，在()2,1a 上单调递增，则()()()max001201063g g x a g ⎧≤⎪≤⇔⇒≤≤⎨≤⎪⎩，所以1162a ≤<；②当21a ≥时，()gx 在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，()()max 20003g x g a ≤⇔≤⇒≤，所以1223a ≤≤综上，1263a ≤≤. 故选：A【点睛】本题考查函数不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴选择题. 二、填空题 13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，525S =，则公差d =______.【答案】2 【分析】直接利用等差数列前n 项和公式即可.【详解】由已知，51545510252S a d d ⨯=+=+=，解得2d =. 故答案为：2【点睛】本题考查等差数列前n 项和的基本量的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14.以抛物线24y x =的焦点为圆心，被直线2x y +=截得弦长为的圆方程为______.【答案】()2211x y -+=【分析】由已知，设圆的方程为()2221(0)x y r r -+=>，算出圆心C 到直线2x y +=的距离d ，=计算即可.【详解】由已知，抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心C 为(1,0)，设圆的方程为()2221(0)x y r r -+=>，圆心C 到直线2x y +=的距离==d所以==21r =， 故所求圆的方程为()2211x y -+=.故答案为：()2211x y -+=【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离、抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.在平面直角坐标系xOy 中，向量,i j r r 是以O 为起点，与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，且向量a r满足a i a j -+-=r r r r ，则a i +r r的取值范围是______.【答案】2⎤⎦【分析】设(1,0),(0,1)OI i OJ j ====u u r r u u u r r ，'(1,0)OI i =-=-u u u r r ，(,)OA a x y ==u u u r r ，则a i +r r 表示点A 与点'I 的距离的取值范围，由a i a j -+-=r r r r可得A 在线段IJ 上，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，设(1,0),(0,1)OI i OJ j ====u u r r u u u r r ，'(1,0)OI i =-=-u u u r r，(,)OA a x y ==u u u r r ，则''||||a i OA OI I A +=-=u u u r u u u r r r u u u r ，因为a i a j -+-=r r r r ，所以=A 与点,I J ，又IJ =，所以A 在线段IJ 上，如图所示，注意到'I J IJ ⊥，所以'''||||JI AI II ≤≤，所以'AI ⎤∈⎦.故答案为：2⎤⎦【点睛】本题考查利用向量模的几何意义求向量的模的取值范围，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.16.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有______条棱，若每条棱的长均为1，其表面积为______.【答案】 (1). 36 (2). )122123+【分析】图中共有8个正三角形，6个正八边形，算出总的边数除以2即可；算出正三角形、正八边形的面积即可. 【详解】图中共有8个正三角形，6个正八边形，则共有3886362⨯+⨯=条棱；设正三角形、正八边形的面积分别为12,S S ，因为135DAB ∠=o ，所以45ADC ∠=o ，22AE =，221DC DE AB =+=，故 21212221)122S ++=+⨯=+ 又13S =，∴表面积S 12862312212S S =⋅+⋅==)122123+.故答案为： (1). 36 (2). )122123+【点睛】本题主要考查几何体表面积的计算，考查学生空间想象能力，数学计算能力，是一道中档题. 三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14BB =，E 是棱1CC 上的点，且114CECC =.（1）求长方体被平面BED 分得的两部分体积之比（大比小）； （2）求证：1A C ⊥平面BED . 【答案】（1）23；（2）证明见解析 【分析】（1）只需计算出长方体的体积以及E BCD V -即可； （2）连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，要证明1A C ⊥平面BED ，只需证明1BD A C ⊥，1A C OE ⊥即可.【详解】（1）长方体1111ABCD A B C D -的体积为22416V =创=11122213323E BCD BCD V S EC -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，长方体被平面BED 分得的两部分体积之比为21632323-=.（2）证明：由1A A ⊥平面ABCD 得1A A BD ⊥，又易知BD AC ⊥，1AC AA A =∩，故BD ⊥平面11A ACC ，所以1BD A C ⊥ 另一方面，连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，在矩形11A ACC 中，114A A CC ==，1122AC AC ==，1EC =，故有12EC AC OC AA ==， ∴1EOC ACA V :V ，∴190EOC ACA ∠+∠=︒，∴1A C OE ⊥，且OE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ，OE BD O =I ，故1A C ⊥平面BED .【点睛】本题考查求几何体体积以及证明线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，基本计算能力，是一道容易题. 18.某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[]200,500内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在[)350,400，[)400,450的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量都不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有10000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以10元/千克收购；乙：低于350克的脐橙以2元/个收购，高于或等于350克的以5元/个收购.请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）【答案】（1）110；（2）方案乙 【分析】（1）由分层抽样知，质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中各抽取3个和2个，采用列举法求概率； （2）分别计算甲、乙方案所得总收益，比较即可得到答案. 【详解】（1）由题意知脐橙在[)350,400，[)400,450的比例为3:2，故应分别在质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中抽取3个和2个.记抽取质量在[)350,400的为,,A B C ，质量在[)400,450的为,D E ，则从这5个脐橙中随机抽取2个的方法共有以下10种：,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ；其中2个脐橙质量都不小于400克的方法有1种，故2个脐橙质量都不小于400克的概率为110. （2）方案乙更好，理由如下： 由频率分布直方图知[)200,250，[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[]450,500的频率分别为0.05,0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若用甲方案，总收益为[]2250.052750.163250.243750.34250.24750.051000010001035450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯÷⨯=元； 若用乙方案，脐橙低于350克的有()0.050.160.24100004500++⨯=个，不低于350克的有5500个.则总收益为450025500536500⨯+⨯=元 所以，乙方案收益更高，选择方案乙.【点睛】本题考查概率与统计的综合应用，涉及到分层抽样、频率分布直方图、古典概型的概率等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 19.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，1232a a a +=，*n N ∈.且()*2log n n b a n N =∈.（1）求,n n a b ； （2）设12231111...n n n T b b b b b b +=+++，若()()211n n nn b T n a λ-<+对*n N ∈都成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()*2n n a n N =∈，()*nb n n N =∈；（2）34λ>【分析】（1）由1232a a a +=可得公比q ，由314S =可得1a ，再利用等比数列通项公式即可得到,n n a b ； （2）由裂项相消法可得1111n nT n n =-=++，不等式()()211n n nn b T n a λ-<+等价于()()21211212n n n n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N都成立，令()212nn f n -=，只需求出max ()f n 即可. 【详解】（1）数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a +=，得：()2112a q a q +=∴220q q --=，因为{}n a 是正项数列，所以1q ≠-，2q =.又314S =，()311141a q q-=-，∴12a =，从而()*2n na n =∈N ，()*2log n nb a n n ==∈N .（2）()1111111n n b b n n n n +==-++∴122311111 (111)n n n n T b b b b b b n n +=+++=-=++ 故不等式()()211n n n n b T n a λ-<+等价于()()21211212n nn n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N 都成立， 令()212n n f n -=，∴()()12142f n n f n n ++=-，令21142n n +>-，得32n <；令21142n n +<-，得32n >，所以当1n =时，()()121142f n n f n n ++=>-；当2n ≥时，()()121142f n n f n n ++=<-故()()max 324f n f ==，∴34λ>.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算、裂项相消法求数列的和以及数列不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A 为椭圆C 上任意一点，且已知()1,0P .（1）若椭圆C 的短轴长为4，求AP 的最大值；（2）若直线AP 交椭圆C 的另一个点为B ，直线:4l x =交x 轴于点D ，点A 关于直线l 对称点为'A ，且'A ，,D B 三点共线，求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）5；（2）2214x y +=【分析】（1）由c a =24b =，222a b c =+解方程组得到椭圆的方程，再利用两点间的距离公式计算即可； （2）当AB 斜率为0时，',,A D B 三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，联立椭圆方程得到根与系数的关系，再利用',,A D B 三点共线，即A D BD k k '=计算即可得到椭圆方程.【详解】（1）由题意2c a =，∴22314b a -=，224a b =且24b =，∴216a =，24b =所以22:1164x y C +=，设()11,A x y ，则()()22222211111131142544x AP x y x x x =-+=-+-=-+∵144x -≤≤，故当14x =-时，max 5AP =.（2）当AB 斜率为0时，',,A D B 三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，与椭圆2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=联立得：()22242140my my b +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则>0∆，12224m y y m -+=+，2122144b y y m -=+ 又由题知()4,0D ，()'118,A x y -，∴'114A D y k x =-，224BD y k x =-故由',,A D B 三点共线得A D BD k k '=，即121244y y x x =--，()()122144y x y x -=- ∴()()1221330y my y my -+-=，∴()121223my y y y =+代入韦达定理得：()222214644b m m m m --=++，∴2413b -=，21b =，24a = 故椭圆方程为22:14x C y +=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到三点共线，在处理直线与椭圆的位置关系时，一般要用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题. 21.已知函数()()()12x x f x ae x e a x -=-+-+.（1）若曲线()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，求-a b 的值；（2）当0x <时，函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()4ln 21a <-+【分析】（1）利用导数的几何意义求出()f x 在点()()0,0f 处切线方程，对比系数即可；（2）()f x 的极值点等价于()'f x 的变号零点，则有()21x x x x e a e e -=-，即y a =与()21xx x x e y e e -=-有两个交点，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）因为()()'2x x f x ae xe a -=+-+，∴()'02f =-，且()01f a =-故()f x 在点()()0,0f 处切线方程为(1)2y a x --=-，即21y x a =-+-，又由题知()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，故1a b -=，∴1a b -=.（2）()()'2x x fx ae xe a -=+-+，()f x 的极值点等价于()'f x 的变号零点，则有()21xx x x e a e e -=-，则y a =与()21x x x x e y e e -=-有两个交点，记()()21xx x x e h x e e -=-， 则有：()()()()'21211xxxx e e x h x e e --+=-记()()'1,1xxs x e x s x e =-+=-，所以()sx 在(),0-∞上单调递减，所以()()02s x s >=. 所以()h x 在(),ln 2-∞-上单调递增，在()ln 2,0-上单调递减， 所以()()()max ln 241ln 2hx h =-=-+又因为x →-∞，()hx →-∞；0x →，()h x →-∞，由图像可知()41ln 2a <-+.【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值点，考查学生的逻辑推理能力，数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值．【答案】（1）1:2sin C ρθ=e ；2:4sin C ρθ=-e ；（2）32【分析】(1)直接由条件求出1C e 与2C e 的极坐标方程即可; (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值. 【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-.(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-, 则12sin [4sin()]sin233ABC S ππθθ∆=--ggg (sin coscos sin )33ππθθθ=--23sin cos θθθ=+)6πθ=+. 所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆面积最大值为【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.23.已知实数0x >，0y >，且满足1x y +=. （1）求关于x 的不等式352124x y x +-++≤的解集； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析【分析】（1）由已知，可得01x <<，不等式352124x y x +-++≤等价于151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-，只需解1124x x -≤-即可； （2）()()222222111111x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫--=-⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()11221x y xy xy xy xy +++===+，又()2144x y xy +≤=，代入即可得到证明.【详解】（1）1x y +=，∴10y x =->，且01x <<，故不等式352124x y x +-++≤等价于 151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-，∴308x <≤，∴不等式的解集为30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）因为1x y +=，故()()()()22222222222211221111x y x y x y y x xy y xy x x y x y x y xy ⎡⎤⎡⎤++++⎛⎫++⎛⎫--=-⋅-=⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()112219x y xy xyxyxy +++===+≥（∵()2144x y xy +≤=）. 即可证得不等式成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式的证明，考查学生的基本计算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.。
2023年重庆市南开中学高考数学第六次质检试卷+答案解析(附后)
2023年重庆市南开中学高考数学第六次质检试卷1. 已知集合，，则( )A.B.C. D.2.已知p ：“四棱柱是正棱柱”，q ：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则p 是q 的条件( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 已知为角终边上一点，则( )A.B. C. D.4. 某项活动安排了4个节目，每位观众都有6张相同的票，活动结束后将票全部投给喜欢的节目，一位观众最喜欢节目A ，准备给该节目至少投3张，剩下的票则随机投给其余的节目，但必须要A 节目的得票数是最多的，则4个节目获得该观众的票数情况有种( )A. 150B. 72C. 20D. 175. 已知点M ，N 分别是平行六面体的棱，BC 上的点，且，，点P ，Q 分别是线段，上的点，则满足与平面ABCD平行的直线PQ 有条( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条6. 已知函数则的解集是( )A. B. C. D.7. 已知CD 为圆A ：的一条弦，且以CD 为直径的圆始终经过原点O ，则CD 中点B 的轨迹方程为( )A. B.C. D.8.已知点，，，⋯，，⋯和数列，满足，若，，分别为数列，的前n 项和，则( )A. B. C. D. 09. 设i 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有( )A.B. 若，互为共轭复数，则C. 若，则D. 若复数为纯虚数，则10. 某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；乙：第一次涨幅，第二次涨幅；丙：第一次涨幅，第二次涨幅其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有( )A. 方案甲和方案乙工资涨得一样多B. 采用方案乙工资涨得比方案丙多C. 采用方案乙工资涨得比方案甲多D. 采用方案丙工资涨得比方案甲多11. 正四棱台中，，，侧棱与底面所成角为分别为AD，AB，的中点，M为线段上一动点包括端点，则下列说法正确的是( )A. 该四棱台的体积为B. 三棱锥的体积为定值C. 平面EFG截该棱台所得截面为六边形D.异面直线与所成角的余弦值为12. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 定义域为B.C. 是偶函数D. 在区间上有唯一极大值点13. 已知随机变量，且，则______ .14. 已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______ .15. 已知三棱锥的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，则该球的体积为______ .16. 已知抛物线，为抛物线内一点，不经过P点的直线l：与抛物线相交于A，B两点，连接AP，BP分别交抛物线于C，D两点，若对任意直线l，总存在，使得成立，则该抛物线方程为______ .17. 党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对年的研发人数作了相关统计年份代码分别对应年如折线图：根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数y与年份代码x的相关系数r，并由此判断其相关性的强弱；试求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数结果取整数参考数据：当认为两个变量间的相关性较强参考公式：相关系数，回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，18.已知数列，的前n项和为，，，，若是等比数列，求；若，证明：，均为等比数列.19. 如图四棱锥，，B，D在以AC为直径的圆上，平面为SC的中点.若，证明：；当二面角的正切值为时，求点B到平面SCD距离的最大值.20. 已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称.求函数的解析式；若三角形ABC满足是边BC上的两点，且，求三角形ABC面积的取值范围.21. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，双曲线的左顶点为，过A斜率为的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.求双曲线和椭圆的标准方程；椭圆上存在一点，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.22. 现定义：为函数在区间上的立方变化率.已知函数，若存在区间，使得的值域为，且函数在区间上的立方变化率为大于0，求实数a的取值范围；若对任意区间，的立方变化率均大于的立方变化率，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意得，，根据交集的运算可知：故选：根据指数函数的单调性和绝对值不等式的解法求出两个集合，利用交集的运算即可求解．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：当四棱柱是正棱柱时，其底面为正方形，侧面为矩形，即p是q的充分条件；当四棱柱的底面和侧面都是矩形时，底面不一定是正方形，故四棱柱不一定是正棱柱，故p不是q的必要条件，则p是q的充分不必要条件，故选：判断命题p和命题q之间的逻辑推理关系，即可判断出答案．本题考查棱柱的结构特征以及充要条件的判断，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意知为角终边上一点，则，，故，故故选：根据角终边上的点的坐标，求得角的正弦值，继而求得，代入求值，即得答案．本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：依题意，当A得6票，则只有1种，当A得5票，则有种，当A得4票，剩下的2票可能投给1个节目或2个节目，则有种，当A得3票，剩下的3票可能投给3个节目或2个节目，则有种，综上可得一共有种情况．故选：对A的得票分类讨论，分别求出投票方案数，再根据分类加法计数原理计算可得．本题考查分类计数原理和简单的组合问题，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：作平行于平面ABCD的平面分别交，，，于R，S，T，，当该平面过点M时，如图所示：则在平面内的直线均平行于平面ABCD，将平面向上平移分别与直线，交于P，Q，则PQ平行于平面ABCD，因为平面有无数多个，所以这样的PQ有无数多条．故选：作与平面ABCD平行的平面分别与直线，交于P，Q，因为这样的平面有无数多个，所以PQ有无数多条．本题主要考查空间中直线与平面的位置关系，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意当时，，当时，，作出函数的图象如图，在同一坐标系中作出函数的图象，由图象可得不等式解集为故选：根据函数的解析式，作出函数图象，继而作出的图象，数形结合，求得不等式的解集．本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：圆A：的圆心，半径为设，由题意CD为圆A：的一条弦，且以CD为直径的圆始终经过原点O，所以：，，可得：，化简可得故选：设出B的坐标，利用已知条件列出方程，求解即可．本题考查轨迹方程的求法，圆与圆的位置关系的应用，是中档题．8.【答案】D【解析】解：依题意，，，，又，所以，又，则，由，可得，同理，，即数列，均是周期为6的数列，又，，所以，故选：根据题意分析可得数列，均是周期为6的数列，运算求解即可得结果．本题考查数列的周期性以及数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，令，，，则，，所以，故A正确；对于B，令，，，，所以，故B正确；对于C，令，，，，根据复数的乘法运算可知：，，，故C错误；对于D，若复数为纯虚数，则，即，故D正确．故选：根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断．本题主要考查复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：方案甲：两次涨幅后的价格为：，方案乙：两次涨幅后的价格为：，方案丙：两次涨幅后的价格为：，因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立，故，因为，所以，，所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解．本题主要考查了函数的实际应用，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：将正四棱台补形为正四棱锥，由，，可得为其中截面，设O，分别为ABCD，的中心，底面ABCD，故为侧棱与底面所成角，故，可得，侧面为等腰梯形，高为，故，对于，选项正确；对于B，连接BD，则，，所以，平面EFG，平面EFG，得平面EFG，由于为定值，M在上，故三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确；对于C，取中点H，连接EH并延长交于P，连接FG并延长交直线于Q，则≌，则，而，故，同理，连接PQ，则，即为的中位线，而为的中点，故在PQ上，即P，，Q三点共线，连接，，则五边形为平面EFG截正棱台所得的截面，选项错误；对于D选项，由题意，，所以四边形为平行四边形，故，可得为异面直线与所成角或补角，在中，由余弦定理得，由于异面直线与所成角范围为故异面直线与所成角的余弦值为，选项正确，故选：将正四棱台补形为正四棱锥，求得相关线段长度，根据棱台的体积公式计算该四棱台的体积，判断A；根据线面平行的性质结合棱锥体积公式可判断B；根据平面的基本性质作出平面EFG截该棱台所得截面，判断C；采用平移法，找到异面直线与所成角，解三角形，可求得异面直线与所成角的余弦值，判断本题考查分割补形法的应用，台体的体积公式的应用，线面平行的判定定理，棱台的截面问题，异面直线所成角问题，化归转化思想，属中档题．12.【答案】ACD【解析】解：的定义域为，解得的定义域为正确；B.由于的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；C.设，则定义域为，，即是偶函数，C正确；D.，令，，，令，由，当时，，即当时，单调递增，当时，，在单调递减，且，，，结合，时，；，时，，故存在使得，即有在单调递减，在单调递增，在单调递减，注意到，且时，，时，，从而对于，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，为在区间上的唯一极大值点，故D正确，故选：根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断A；由于函数的定义域不关于原点对称，故可判断B；根据函数奇偶性的定义可判断C；求出函数的导数，根据其结构特点，构造函数，再次求导，判断导数正负，进而判断函数单调性，进而判断极大值点，即可判断本题主要考查利用奥斯研究函数的最值与极值，函数的奇偶性的判断，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：因为随机变量，所以，所以，所以故答案为：根据二项分布的期望和方差公式计算即可．本题考查离散型随机变量的期望和方程，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：，且，则，即，当时，，则故答案为：答案不唯一根据题意，由数量积的计算公式可得，分析m、n的关系，利用特殊值法可得答案．本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由，，，所以，即，所以，又，所以，设r为外接圆半径，，解得，所以，则，，即P到平面ABC的距离为2，外接球球心的中点到平面ABC的距离为1，外接球半径，，故答案为：利用余弦定理求出，设r为外接圆半径，利用正弦定理求出r，再根据三棱锥的体积，求出P到平面ABC的距离，即可得到球心O到平面ABC的距离，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解．本题主要考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：根据题意设，，，，，，，，，，同理可得，将A，B两点代入抛物线方程得，作差可得，而，即，同理可得，将其代入，可得，此时抛物线方程为，故答案为：设，，，，根据，推出，结合点在抛物线上，可得，，即可求得p，即得答案．本题考查抛物线的几何性质，方程思想，设而不求法，化归转化思想，属中档题．17.【答案】解：由题知，，，，认为相关变量x，y有较强的相关性；由得，回归方程为，当时，即2023年该公司投入研发人数约540人．【解析】将数据代入公式计算即可求解；结合和题中的数据，代入公式计算即可求解．本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．18.【答案】解：由题意得：由当时，，且，故等比数列的公比，证明：当时，由，①，由，②，将①+②得：，当时有：，，且，是首项为6，公比为4的等比数列，同理，将①-②得：，当时有：，，，且，是首项为2，公比为的等比数列．【解析】根据是等比数列，求出公比，然后即可求前n项和；利用数列的递推关系，推出是以为首项，4为公比的等比数列，是以为首项，为公比的等比数列．本题主要考查了等比数列的性质和通项公式，考查了数列的递推关系，属于中档题．19.【答案】证明：记AC的中点为O，连接EO，则O为圆心，又E为SC的中点，所以，因为平面ABCD，所以平面ABCD，连接BD，连接DO并延长DO，交AB于点M，.因为，所以，因为AC为直径，由对称性可知，故为等边三角形，又因为O为的外心，所以O为的中心，故，平面ABCD，平面ABCD，，，DM，平面EOD，平面EOD，平面EOD，解：过点D作于H，作于N，连接DN，如图所示，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，，AC，平面ASC，所以平面ASC，因为平面SAC，所以，因为，，DH，平面DHN，所以平面DHN，因为平面DHN，所以，故二面角的平面角为，因为，所以为等边三角形，所以，所以，，所以，所以，在中，，所以，所以为等腰直角三角形，所以，又，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，，AS，平面ASD，所以平面ASD，因为平面ASD，所以，所以，由于点B在半圆弧AC上运动，当B位于线段CD中垂线上时，的面积取得最大值，且最大值为，设点B到平面SCD距离为d，根据，即点B到平面SCD距离的最大值为【解析】作出辅助线，得到为等边三角形，，由线面垂直得到，从而得到平面EOD，证明出；作出辅助线，得到为二面角的平面角，由二面角的大小得到，，由勾股定理得到，，当B位于线段CD中垂线上时，取得最大值，由等体积法得到本题主要考查线线垂直的证明，二面角的求法，点到平面距离的求法，考查数形结合思想与转化思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．20.【答案】解：由已知化简得，，由得，，，又，，，易得，由①，②，又，，将①②式并结合，可得：，以BC所在直线为x轴，以BC中垂线为y轴建立直角坐标系，则，，设，则由可得：点A的轨迹方程为，即，当时，取到最大值，根据几何关系易知三角形ABC面积的取值范围为【解析】根据题意将函数化简，利用正弦函数的平移变化得到，结合图象关于原点中心对称即可求出函数解析式；结合可得，结合题意，建立平面直角坐标系得到点A的轨迹方程为，再根据几何关系即可求解．本题考查三角函数的图象及性质，考查动点轨迹方程的求法，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，，可得双曲线方程为，此时，由双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍，得，可得，故椭圆方程为由过A的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，设直线方程为，联立直线和双曲线可得，由韦达定理知，，解得，可得，以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点，可得，即，将代入得将P点坐标代入椭圆可得：，解得，故，故直线l的方程为：【解析】根据题意得出，求出双曲线方程，得到，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍，得，进而求出椭圆方程；设出直线方程为，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点B坐标，进而得到，然后结合题意和向量的数量积即可求解．本题主要考查双曲线与椭圆的性质，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：在区间上的立方变化率为正，可得单调递增，即故若存在区间，使得的值域为，即存在不同的，，使得，故方程有两不等实根，化简得有两不等实根．即与有两个不同的交点．由，可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，故要使与有两个不同的交点，，故实数a的取值范围是；由对任意区间，的立方变化率均大于的立方变化率，可得，由可得，，即对任意，有，可得在上单调递增．即在上恒成立，解法一：①当时，当时，，显然不成立．②当时，在上恒成立，即在上恒成立，令，在上恒成立，即显然在上单调递增，得在上恒成立．即恒成立，令，可得在上单调递减，在上单调递增，故，解得；解法二：①当时，当时，，显然不成立．②当时，可转化为，令，可得与互为反函数，故恒成立，只需恒成立即可，即恒成立．令，可得在上单调递减，在上单调递增，故，解得解法三：令，可得，①当时，，此时在上单调递增，由，当时，，故在上存在唯一，使得，即，即，，令，则，当时，，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，故在上恒成立，只需即可．而，解得，经检验，当时等号成立，故，②当时，当时，，显然不成立．故综上，实数a的取值范围为【解析】由题意得到单调递增，即，故，分离参数后得到有两不等实根，构造，得到其单调性，结合函数图象得到实数a的取值范围；由题意得到，转化为对任意，有，构造，求导得到在上恒成立，解法一：考虑与两种情况，结合同构思想，得到，求出其单调性，得到在上恒成立，变形为，构造，求导后得到其单调性，求出；解法二：变形为，构造，观察得到与互为反函数，从而证明出恒成立即可，构造，求导后得到其单调性，求出；方法三：对二次求导，构造，求导后分与两种情况，分析出时，在上存在唯一，使得，求出在上恒成立，转化为只需即可，利用基本不等式证明出结论，且时，不合题意，得到答案．本题考查导数的综合运用，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，涉及了隐零点的解答方法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．。
重庆市南开中学高2020级高三下学期期中考试数学(理)试题及答案
重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（ ） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）A ．1B 5C 6D ．227．函数2()sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0D ．128．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（ ）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（ ）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p -1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导． （一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-）， 且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i i z x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()() ()81821ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑，$a y bx=-$．20．已知函数()3(1)lnf x x a x=-+，2()4g x x ax=-+．（1）若函数()()y f x g x=+在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()()y f x g x=-的图像与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点,A B均在椭圆Γ上，点C在抛物线212y x=上，若ABC△的重心为坐标原点O，且ABC△的面积为364，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin24πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C的极坐标方程为2sin cosρθθ=．（1）写出直线l和曲线C的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x<且平行于l的直线交曲线C于,A B两点，若||||2PA PB⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B A C A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC = ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，13PA MA ∴==． 取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直， 以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin 30||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b ≈$， 又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，$ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）．20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+，()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+， 设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=； （2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+ 由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△==⇒=③ 将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以1,2C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 联立曲线2:C y x =得：22000122022t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：2000032112822y y x y d -+-+==≥， 当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求， 此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。
重庆市南开中学2020年高三下期中数学试题及答案(理科)
A﹒ 3 2
B﹒ 2
C﹒ 9 4
8
D﹒
3
二、填空题 ：本 大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知 a ， b 均为单位向量，且 (3a b) (a 2b) ，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为
﹒
14．已知 (x 2 )n（ n N * ）的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中 x 的系数为
A﹒ 2
B﹒ 1
C﹒ 0
D﹒ 1 2
8．抛物线 C：y2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ， A，B 是抛物线 C 上两点，
且 | AF | | BF | 10 ， O 为坐标原点，若 OAB 的重心为 F ，则 p
A﹒1
B﹒ 2
C﹒ 3
D﹒ 4
开始
输入 x 1，s 0
x 2x
则 P0,0,1, D 2 2,1,0 ,C 2 2,1,0 , M 2,1,0 ,CP 2 2,1,1 , MD 2,2,0 , MP
2,1,1 ,
设平面
PMD
的法向量为
m
x,
y,
z ，则由
m
MP
0
m
2,1,3 ，设直线 PC 与平面 PMD 所成角
m MD 0
（1）若函数 y f (x) g(x) 在其定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a ，使得函数 y f (x) g (x) 的图像与 x 轴相切？若存在，求满足条件的 a 的个数，
请说明理由．
21．（12
分）已知椭圆 :
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）的离心率为
1 恒成立，令 mx
重庆南开中学2024届高三第六次质检(2月)数学试题+答案
重庆市高2024届高三第六次质量检测数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}*2{13},30A xx B x xx −<<∈−<N ∣∣，则A B ∩=（ ）A.{03}x x <<∣B.{13}x x −<<∣C.{}1,2D.{}0,1,2 2.已知复数z 满足()1i 21z z +=−，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知非零向量,a b满足b = ()3a a b ⊥+ ，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π64.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2433,3412a S S ==+，则7a 等于（ ） A.10 B.11 C.12 D.135.函数()2221sin 21x x e x x f x e+−=−的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.6.已知三棱锥O ABC −,,A B C 是球O 的球面上的三个点，且120,ACB AB ∠==2AC BC +=，则球O 的表面积为（ ）A.36πB.24πC.12πD.8π7.已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点分别为12F F ､，过点2F 作直线交双曲线右支于M N ､两点（M 点在x 轴上方），使得223MF F N =.若()110MF MN F N +⋅=，则双曲线的离心率为（ ）8.对于正数,a b ，有()()216ab a b ab ++=，则a b +的取值范围是（ ）A.(]0,1B.C.[]1,2D.[]2,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某射箭俱乐部举行了射箭比赛，甲､乙两名选手均射箭6次，结果如下，则次数第/x 次 1 2 3 4 5 6 环数/y 环786789甲选手次数第/x 次 1 2 3 4 5 6 环数/y 环 976866乙选手A.甲选手射击环数的第九十百分位数为8.5B.甲选手射击环数的平均数比乙选手的大C.从发挥的稳定性上看，甲选手优于乙选手D.用最小二乘法求得甲选手环数y 关于次数x 的经验回归方程为3ˆ0.a y x =+，则ˆ 6.45a =10.的扇形，,A B 为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ） A.该圆锥的母线长为2 B.该圆锥的体积为πC.从A 点经过圆锥的表面到达B 点的最短距离为D.11.平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，如：（1）平面上，过点()00,Q x y ，且以()(),0ma b ab =≠为方向向量的平面直线l 的方程为00x x y y a b−−=；在空间中，过点()000,,Q x y z ，且以()(),,0ma b c abc =≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x xy y z z ab c−−−==.（2）平面上，过点()00,Q x y ，且以()(),0nm n mn ≠为法向量的直线l 的方程为()()000m x x n y y −+−=；空间中，过点()000,,Q x y z ，且以()(),,0nm n p mnp ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y p z z −+−+−=.现已知平面:2345x y z α++=，平面12210:220,:,:641311x y x y z l l x y z y z β−= −−+==+=− +=−，则（ ）A.1l ∥αB.α∥β C.1l β⊥ D.2l β⊥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆22:2430C x y x y ++−+=，直线:220l mx y m ++−=，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，则AB 的最小值为__________.13.2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________.14.设()f x 是定义在R 上的单调增函数，且满足()()17f x f x −−+=−，若对于任意非零实数x 都有()()11243f f x x f x x +−−+=− +，则()2024f =__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，1OB BF ==，点G 是线段BF 的中点（1）证明：EG ∥平面DAF ；（2）若直线DF 与圆柱底面所成角为45 ，求点G 到平面DEF 的距离. 16.（15分）设函数()π1cos sin (0)64f x x x ωωω=+−>，且函数()f x 的图像相邻两条对成轴之间的距离为π2 （1）若π0,2x ∈，求()f x 的取值范围；（2）把函数()f x 图像上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，讨论函数()g x 的单调性；（3）在ABC 中，记A B C ､､所对的边分别为()1,2a b c f A =−､､，外接圆面积为(4π,tan 2tan B C =，BAC ∠的内角平分线与外角平分线分别交直线BC 于D E ､两点，求DE 的长度.17.（15分）设()ln ,0f x ax ax x a =+>. （1）求()f x 的极值；（2）若对于1,2x ∞ ∀∈+，有()2xf x e 恒成立，求a 的最大值.18.（17分）已知定点()()1,0,1,0A B −，若动点P 到()1,0A 与到定直线1:4l x =的距离之比为12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点B 作直线2l 交C 于M N ､两点（M 点在x 轴的上方），过点M 作1l 的垂线，垂足为Q .是否存在点P ，使得四边形MNPQ 为菱形？若存在，请求出此时2l 的斜率；若不存在，请说明理由；（3）若动点P 在第一象限，延长PA PB ､交C 于R K ､两点，求PAK 与PBR 内切圆半径的差的绝对值的最大值. 19.（17分）已知正项数列{}n a 满足：22*111145450,,2n n n n n n a a a a a a n a +++−+−=∈=N .（1）设1nn nb a a =+，试证明{}n b 为等比数列； （2）设24n n n bc b =−，试证明12509nc c c +++< ； （3）设2221222212111,n n n nA a a aB a a a =+++=+++ ，是否存在n 使得()232n n n A B −+为整数？如果存在，则求出n 应满足的条件；若不存在，请给出理由.重庆市高2024届高三第六次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项CDDDAADCBCDABAC一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.5.A 【解析】分子分母同时除以e x得()221sin 2e e x xx x f x −+−=−，函数221sin 2x x+−是偶函数，函数e ex x −−是奇函数，所以函数()f x 是奇函数，排除()C,f x 的定义域是{}0x x ≠∣，排除B ，当x ∞→+时，()0f x+→，所以排除D ，所以选A .6.A 【解析】因为120ABACB ∠= ，所以ABC 的外接圆半径为1r在ABC 中，由余弦定理可得22222232cos120()AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ==+−⋅=++⋅=+−⋅所以2()31AC BC AC BC ⋅=+−=，所以1sin1202ABC S AC BC =⋅ ， 因为1133O ABC ABC V S h h h −=⋅==∴=球半径3R =，所以球面积24π36πS R =，故选A 7.D 【解析】由()110MF MN F N +⋅=，可知1MF MN =，故22122F N MN MF MF MF a =−=−=， 则12214,36,8F N a MF NF a MF a ====，在12MF F 与12NF F 中由余弦定理可得： 2222221212441643664cos ,cos 824a c a c a a F F NF F Mac ac∠∠+−+−=， 而1212cos cos 0F F M F F N ∠∠+=，解得224c a =，即2e =. 8.C 【解析】由题可知：263333()2121214ab a b a b ab ab +==−−+++⋅+ （当且仅当a b =时取等）， 化简可得()2()320a b a b +−++ ，解得12a b + .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD （选对1个得2分，选对两个得4分） 10.AB （选对一个得3分）【解析】对于A，一圆锥的底面半径r =，则底面圆周长为的扇2π，得2l =，所以A 正确； 对于B，因为r =，母线长为2，所以该圆锥的高为1，所以其体积为21π1π3×=，故B 正确 对于C ，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，所以从A 点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为22××≠C 不正确； 对于D ，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形， 设其顶角为θ，则该三角形的面积为122sin 2S θ=××.当截面为轴截面时，2π3θ=，则20π3θ< 故当π2θ=时，max 122122S =×××=≠D 不正确. 故选：AB11.AC （选对一个得3分）【解析】由题可知：平面α的法向量()2,3,4m =，平面β的法向量()()1151,2,2,:1112z x y n l −−−=−−==− ，恒过()5,0,1−，方向向量11,1,12l −21134:234z y x l −+==，恒过110,,43 − ，方向向量()22,3,4l = A.10l m ⋅= ，且()2530415×+×+×−≠，故1l 不在α上，则1l ∥α.正确B.0n m ⋅=，则αβ⊥.错误C.112l n =−，则1l β⊥，正确.D.由234122≠≠−−，可知2l 与n 不平行，则2l 与β不垂直.错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.213.36 【解析】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：233318C A =若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：1133232218C C A A = 所以不同的选法总数为36.14.2021 【解析】令()()1123t f x x f x x=+−−++，则()4f t =−，令x t =，则()()11124123t f t t t f t t t =+−−+=−−−−++，解得1t =−或12−.而()()17f x f x −−+=−，故1722f −=−.因此1t =−.则()()11123f x x f x x −=+−−++， 即()()()()()()()3111133333f x x f x x f x x f x x x f x x f x +−++=+⋅+−=−=+++.因此()30f x x +−=或()()31x f x +=，当()()31x f x +=时，()13f x x=−，在()0,∞+上单调递减，不满足题意，舍去；当()3f x x =−时，满足题意.则()20242021f =.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）证明：取AF 中点M ，连接,DM GM G ､为BF 中点，∴又2,AB DE GM DE ∴ ∥∥∴四边形DEGM 为平行四边形，DM ∴∥EG ，又DM ⊂平面,DAF EG ⊄平面,DAF EG ∴∥平面DAF .（2）1OB BF ==，易知60,90ABF AFB AF ∠∠==∴DA ⊥ 平面ABF ，且直线DF 与圆柱底面所成角为45 ，即45,AFD AD ∠=∴= .如图，以FA FB FN ､､分别为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系F xyz −，()()()(10,0,0,,1,0,0,,0,0,2F A B G D，12E ，(1,2FDFE ，设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00FD n FE n ⋅=⋅=，102x y = ∴ = ，令1y =，得)1n−，0,EG = ，设点G 到平面DEF 的距离为d ，d∴. 16.（15分）（1）()2π111cos sin sin cos 6424f x x x x x x ωωωωω=+−=+−11πcos2sin 2426x x x ωωω=+=+，又π,22,122T ωω=∴==，则()1πsin 226f x x =+ . 若π0,2x∈ ，则()ππ7π112,,,66642x f x+∈∴∈−. （2）()()1π15πsin 2,sin 42626f x x g x x=+∴=+， ()π5πππ1π12π42π,ππ;26232122k x k k x k k −+++−+−+∈Z ()π5π3ππ1π12π42π,ππ26212262k x k k x k k +++−++∈Z . ()f x ∴在()π1π1π,π32122k k k −+−+∈ Z 上单调递增，在()π1π1π,π12262k k k −++∈ Z 上单调递减.（3）()1π1π2sin 2sin 21,0π,π26263f A A A A A=+=−⇔+=−<<∴=.ABC的外接圆半径(π2,tan 2tan 3R B C C==−=− ，解得tan 1C =（舍去负值）.则ππ,412C B==. 而ππ5ππ3412ADE ∠=−−=，且由AD AE ､分别为内外角平分线可知AD AE ⊥，故π12E ∠=.因此,ππcos cos 1212AE cAE c DE===.在ABC中，由正弦定理可知，π2sin 4sin 4c R C ==，故4DE =−. 17.（15分）（1）()()()11ln 2ln f x a x a x =++=+′，令()0f x ′>，可得21e x >，故()f x 在210,e单调递减，21,e ∞+单调递增. 即()f x 在21e x =处取得极小值221e e a f=−，无极大值. （2）由题可知，对211ln ,,2e xx x xx a∞+ ∀∈+恒成立.设()()22ln 2ln ln 22,e e x xx x x x x x x g x g x −′++−+==， 令()()()12ln ln 22,2ln 4,h x x x x x h x x h x x=−+−+=−′′−在1,2∞ +单调递减，故()12ln2202h x h′′=−< ，故()h x 在1,2∞ +单调递减，而()10h =， 故当1,12x∈时，()()()0,0,h x g x g x >′>单调递增.当()1,x ∞∈+时，()()0,0h x g x <<′，()g x 单调递减.故()()211e g x g =.则211e a ， 即2e a .因此a 的最大值为2e . 18.（17分）（1）设(),P x y12=，化简可得223412x y +=，即22143x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y .若四边形MNPQ 为菱形则MQ ∥NP 即2P y y =且20P x x +=； MQ NP =，则20x <（若20x ，则MQ NP >），且1242x x −=−①；MQ MN =，由题可知114.22xMQ x MB =−=+，同理可得，222x NB =+，故1242x x MN +=+，因此121442x x x ++=−②. 联立①②可得1247127x x= =−，代入C中运算可得12y y = =412,,77M N − ，12,7P .而77,,4121151177MB NB MB NB k k k k ====≠+−+，故M N B ､､三点不共线.因此不存在P 点与直线2l 使得四边形MNPQ 为菱形.（3）设PAK PBR ､面积分别为12S S ､，内切圆半径分别为()()()()1200334434,,,,,,,r r P x y K x y R x y x x A B < ､､恰为椭圆C 的两焦点，故24PB PA RB RA KB KA a +=+=+==.则PAK PBR ､的周长均为()1030318.2S AB y y y y =⋅−=−，同理204S y y =−. 则43121222884y y S S r r −−=−=. 设直线PA 的方程为()0011x y xy −+，与椭圆联立整理可得()()2222000003146190x y y x y y y −++−−=.由于22003412x y +=，带入整理可得，()()222000004033526190.52y x y x y y y y x −−+−−==−，于是040352y y x −=−. 同理可得，030352y y x −=+.34002034254y y x y x −==−（当且仅当032x =时取等， 相应地有22005027,)1734x y ==，因此12r r −最大值为19.（17分）（1）由题可知，()()22114151n n n na aa a+++=+，则()()22111154n nn na a a a ++++=，即1111515,042n n b b b a a +==+=≠，则数列{}n b 是以52为首项，54为公比的等比数列.（2）15552244n nn b − ==， 111114142255454162144525524nn n n n nn n n c b b ===⋅=⋅⋅ −−−−1141254(12518516125nnn ⋅⋅=−，当且仅当1n =时取等) 当1n =时，1105099c =<； 当2n 时，11244155254425504185518915nn n c c c− +++<++=⋅< −.（3）2222111252525110014161612222259116nn n n n n A B a a n b b n n na−−+=+++−=++−=−=− − 1n =时，111732128A B +=不是整数；2n =时，221025464A B +=−不是整数 3n 时，2232n n −⋅必定为整数，故只需要考虑()222510011002251616329932n n n nn −⋅− ⋅⋅− ⋅=×是否为整数即可. 又因为21002(169)16932n n n⋅⋅+−×(111111312225169169922516916n n n n n nn n n n n n n n C C C C C −−−−− ⋅××++××+×==⋅×++××212991616n n nn C −− +× ，故只需要()()212822251699925169216n n n n n n n −−−−⋅⋅⋅+=⋅+⋅为整数即可，则8n . 综上所述，8n .。
重庆南开中学2020级高三下学期第六次教学质量检测考试文科数学试题(有答案)
重庆市南开中学2020级高三第六次教学质量检测考试数学（文科）一、选择题 1．若复数z 满足112z ii i+=+-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．32i -B ．3i +C ．23i +D ．2i -2．设全集U =R ，集合{}21xA x =>，(){}ln 2B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()0,+∞B ．()0,2C ．[)2,+∞D ．()[),02,-∞+∞U3．已知向量,a b r r 在正方形网格中的位置如图所示，若一个格子长度为1个单位，那么a r 与b r 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒4．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,...33的33个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第4列数字开始向左向右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）A ．21B ．32C ．09D ．175．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．10-B ．6C ．8D ．146．已知直线,m n 与平面,αβ满足m α⊂，n β⊂，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβP ，则m βP B ．若αβ⊥，则n β⊥ C ．若αβP，则m n PD ．若αβ⊥，则m n ⊥7．数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=（ ）A ．11B ．13C ．15D ．178．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭和函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫+<⎪⎝⎭图象的对称轴完全相同，则ϕ的值为（ ） A ．6πB ．6π-C ．3πD ．3π-9．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()21f x f x f ++=，且()01f =，则()2020f 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-10．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点为1F ，右顶点为D ，过点D 作垂直于x 轴的直线交双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，1ABF △为等边三角形，则双曲线离心率为（ ） AB．C ．2D ．311．已知ABC △三内角,,A B C 的对边分别为,,a b ccos sin 0A a C +=，若角A 平分线段BC 于D 点，且1AD =，则4b c +的最小值为（ ）A ．6B ．9C．D．3+12．设函数()()()2100x x x f x x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若不等式()()3222203a f x ax a f x a ⎛⎫⎡⎤-+-≥> ⎪⎣⎦⎝⎭对任意11x -≤≤都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,12⎤⎥⎣⎦二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，525S =，则公差d =______.14．以抛物线24y x =的焦点为圆心，被直线2x y +=的圆方程为______.15．在平面直角坐标系xOy 中，向量,i j r r是以O 为起点，与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，且向量a r 满足a i a j -+-=r r r r ，则a i +r r的取值范围是______.16．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有______条棱，若每条棱的长均为1，其表面积为______.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14BB =，E 是棱1CC 上的点，且114CE CC =. （1）求长方体被平面BED 分得的两部分体积之比（大比小）； （2）求证：1A C ⊥平面BED.18．某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[]200,500内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示： （1）按分层抽样的方法从质量落在[)350,400，[)400,450的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量都不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有10000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以10元/千克收购；乙：低于350克的脐橙以2元/个收购，高于或等于350克的以5元/个收购. 请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）19．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，1232a a a +=，*n ∈N .且()*2log n n b a n =∈N .（1）求,n n a b ；（2）设12231111...n n n T b b b b b b +=+++，若()()211n n nn b T n a λ-<+对*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A 为椭圆C 上任意一点，且已知()1,0P .（1）若椭圆C 的短轴长为4，求AP 的最大值；（2）若直线AP 交椭圆C 的另一个点为B ，直线:4l x =交x 轴于点D ，点A 关于直线l 对称点为A '，且A '，,DB 三点共线，求椭圆C 的标准方程.21．已知函数()()()12xxf x ae x ea x -=-+-+.（1）若曲线()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，求a b -的值； （2）当0x <时，函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以11,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，外切于点O 的两个圆.过O 作两条夹角为3π的射线分别交1C e 于O 、A 两点，交2C e 于O 、B 两点. （1）写出1C e 与2C e 的极坐标方程； （2）求OAB △面积最大值.23．已知实数0x >，0y >，且满足1x y +=. （1）求关于x 的不等式352124x y x +-++≤的解集； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.重庆市南开中学2020级高三第六次教学质量检测考试数学（文科）参考答案一、选择题11．答案：B解析：ABC ABD ACD S S S =+△△△111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⇒⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒ 111bc b c b c⇒=+⇒+=.∴()()2114219b c b c ⎛⎫+⋅+≥+=⎪⎝⎭.12．答案：A解析：()f x ↓，()()222aax f x e f ax -⎡⎤==⎣⎦()322322222233f x ax a f ax x ax a ax ⎛⎫-+-≥⇒-+-≤ ⎪⎝⎭322303x ax a ⇒-+-≤ 令()()()3222336323g x x ax a g x x ax x x a '=-+-⇒=-=- ①当21a<时，()():1,0g x -↑，()0,2a ↓，()2,1a ↑ 则()()()max 0012110636210g g x a a g ≤⎧⎪≤⇔⇒≤≤⇒≤<⎨≤⎪⎩ ②当21a ≥时，()():1,0g x -↑，()0,2a ↓()()max 212000323g x g a a ≤⇔≤⇒≤⇒≤≤∴1263a ≤≤. 二、填空题 13．214．()2211x y -+=15．⎤⎦解析：由题：A 在IJ线上，则AI ⎤'∈⎦.16．36，)121+解析：图中共有8个△，6个正八边形，则共有3886362⨯+⨯=条棱面积分别为14S =，22S =∴128612S S S =⋅+⋅=总. 三、解答题17．解：（1）长方体1111ABCD A B C D -的体积为22416V =⨯⨯=11122213323E BCD BCD V S EC -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，长方体被平面BED 分得的两部分体积之比为21632323-=.（2）证明：由1A A ⊥平面ABCD 得1A A BD ⊥，又易知BD AC ⊥ 故BD ⊥平面11A ACC ，所以1BD A C ⊥另一方面，连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，在矩形11A ACC 中，114A A CC ==，11AC AC ==1EC =，故有12EC AC OC AA ==∴190EOC ACA ∠+∠=︒，∴1A C OE ⊥，且OE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ， 故1A C ⊥平面BED .18．解：（1）由题意知脐橙在[)350,400，[)400,450的比例为3:2，故应分别在质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在[)350,400的为,,A B C ，质量在[)400,450的为,D E ，则从这5个脐橙中随机抽取2个的方法共有以下10种：,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ；其中2个脐橙质量都不小于400克的方法有1种.故2个脐橙质量都不小于400克的概率为110. （2）方案乙更好，理由如下：由频率分布直方图知[)200,250，[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[]450,500的频率分别为0.05,0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若用甲方案，由于各质量区间脐橙数量分别为500,1600,2400,3000,2000,500. 故总收益为[]2250.052750.163250.243750.34250.24750.051000010001035450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯÷⨯=元； 若用乙方案，脐橙低于350克的有()0.050.160.24100004500++⨯=个，不低于350克的有5500个.则总收益为450025500536500⨯+⨯=元 所以，乙方案收益更高，选择方案乙.19．解：（1）数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a +=，得：()2112a q a q += ∴220q q --=，因为正项数列1q ≠-，∴2q =.又314S =得()311141a q q-=-，∴12a =，从而()*2n n a n =∈N ，()*2log n n b a n n ==∈N . （2）()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111 (111)n n n n T b b b b b b n n +=+++=-=++ 故不等式()()211n n n n b T n a λ-<+等价于()()21211212n nn n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N 都成立， 令()212nn f n -=，∴()()12142f n n f n n ++=-，当1n =时，()()121142f n n f n n ++=>-； 当2n ≥时，()()121142f n n f n n ++=<-故()max 324f =，∴34λ>. 20．解：（1）由题意c a =，∴22314b a -=，224a b =且24b =，∴216a =，24b =所以22:1164x y C +=， 设()11,A x y ，则()()22222211111131142544x AP x y x x x =-+=-+-=-+ ∵144x -≤≤，故当14x =-时max 5AP =. （2）当AB 斜率为0时，,,A D B '三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，与椭圆2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=联立得：()22242140my my b +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则0>△，12224m y y m -+=+，2122144b y y m -=+ 又由题知()4,0D ，()118,A x y '-，∴114A D y k x '=-，224BD y k x =-故由,,A D B '三点共线得A D BD k K '=，即121244y y x x =--，()()122144y x y x -=- ∴()()1221330y my y my -+-=，∴()121223my y y y =+代入韦达定理得：()222214644b m m m m --=++，∴2413b -=，21b =，24a = 故椭圆方程为22:14x C y +=. 21．解：（1）因为()()2xxf x ac xca -'=+-+，∴()02f '=-，且()01f a =-故()f x 在点()()0,0f 处切线方程为21y x a =-+-，又由题知()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，故1a b -=，∴1a b -=. （2）法1：()()2xxf x ae xea -'=+-+，()f x 的极值点等从旦()f x '的变号零点，则有：()21x x xx e a e e -=-， 则y a =与()21x x x x e y e e -=-有两个交点，记()()21xx x x e h x e e -=-，则有：()()()()21211xxxx e e x h x e e --+'=-记()()11xxs x e x s x c '=-+⇒=-，所以()s x 在(),0-∞↓，所以()()02s x s ≥=.所以()h x 在(),ln 2-∞-↑，()ln 2,0-↓，所以()()()max ln 241ln 2h x h =-=-+ 又因为x →-∞，()h x →-∞；0x →，()h x →-∞，由图像可知()41ln 2a <-+.法2：()()()222x x x x xf x ae xe a e ae a e x --'⎡⎤=+-+=-++⎣⎦，令()()()()()22211xx x x g x aea e x g x e ae '=-++⇒=--，()f x 的极值点即()g x 的变号零点.①当0a >时，()()()22220xx x x x g x aea e x ae a e x e x =-++<-++=-+<不符合题意②当0a ≤时，()g x 在(),ln 2-∞-↑，()ln 2,0-↓，因为()020g =-<()ln 21ln 204ag -=--->，即()4ln 21a <-+时，()()()()22210a a a a a g a ae a e a a e a ae a a e =-++≤-++<-+=-< ∴()g x 在(),ln 2a -，()ln 2,0-各有一个零点，满足题意.综上：()4ln 21a <-+.22．解：（1）由题意知圆心的直角坐标为()10,1C ，()20,2C -，半径分别为1,2， 故写出1C e 与2C e 的极坐标方程为1:2sin C ρθ=e ，2:4sin C ρθ=-e（2）由（1）得()2sin ,A θθ，4sin ,33B ππθθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则)212sin 4sin sin sin cos 233AOB S ππθθθθθ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅--⋅=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，OAB △面积最大值为2. 23．解：（1）1x y +=，∴10y x =->，且01x <<， 故不等式352124x y x +-++≤等价于 151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-， ∴308x <≤，∴不等式的解集为30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦. （2）因为1x y +=，故()()()()22222222222211221111x y x y xy y x xy y xy x x y x y x y xy ⎡⎤⎡⎤+++⎛⎫++⎛⎫--=-⋅-=⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()112219x y xy xy xy xy +++===+≥（∵()2144x y xy +≤=）.。
重庆市南开中学2021届高三下学期第六次质量检测数学试题1
重庆南开中学高2021级高三第六次质量检测数学试题2021.4命审单位：重庆南开中学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{12},(1,4)M x a x a N =-<<=，且M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．(,0]-∞ C ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．过抛物线214y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，若l 的倾斜角为45︒，则线段AB 的中点到x 轴的距离是（ ） A ．12B ．2C ．4D ．3 3．已知向量(2,3),(,2)a b x ==，则“a 与b 的夹角为锐角”是“3x >-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知两条不同的直线,l m 和不重合的两个平面,αβ，且//l β，则下列说法正确的是（ ） A ．若//αβ，则//l α B ．若m β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，则l α⊥ D ．若l m ⊥，则m β⊥5．某校举行排球赛，其中,,,A B C D 四个班分到一个组进行小组赛．赛前，小张，小李，小明，小红四人对这个小组的第一名至第四名进行了预测，分别是，小张：ABDC ；小李：BCAD ；小明：CDAB ；小红：BCDA ．比赛结束有了排名结果后发现，小张和小红预测对了两个班级的排名，小李和小明只预测对了一个班级排名，则最后获得第一名的是（ ） A ．A 班 B ．B 班 C ．C 班 D ．D 班 6．已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++=（ ）A ．202120212⨯ B ．202020212⨯ C ．202120202⨯ D ．202020202⨯7．已知函数()sin cos )2f x x x x =+-，将()f x 的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到()g x 的图像，实数12,x x 满足()()122f x g x -=，且12min4x x π-=，则ϕ的最小取值为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．34π 8．定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足：42()()0,(1)x f x e f x f e +-==，且当0x >时，()2()f x f x '>，则不等式24(2)x e f x e -<的解集为（ ）A ．(1,4)B ．(2,1)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数122z =-+（i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A ．31z = B ．2z z = C ．210z z ++= D ．220210z z z +++=10．已知函数()f x 满足x ∀∈R ，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为3011．在三棱锥S ABC -中，,SAC SBC 均是以SC 为斜边的等腰直角三角形，SA AB a =，则下列说法正确的是（ ） A ．SC AB ⊥B ．a ∈C ．该三棱锥的外接球的表面积为12πD ．当a =B 且与平面CAB 和平面SAB 所成角都为15︒的直线共有4条12．曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼．闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如，在平面上，点()11P x y ，和点()22,Q x y 的曼哈顿距离为：1212PQ L x x y y =-+-．若点()11,P x y 为圆22:4C x y +=上一动点，()22,Q x y 为直线1:240,22l kx y k k ⎛⎫⎡⎤---=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭上一动点，设()L k 为,P Q 两点的曼哈顿距离的最小值，则()L k 的可能取值有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．正整数n 满足2182525nnC C -=，则n =____________．14．已知随机变量ξ的分布列如下表，()D ξ表示ξ的方差，则(21)D ξ+=________．15．已知事件,A B 互斥，且事件A 发生的概率1()5P A =，事件B 发生的概率1()3P B =，则事件,A B 都不发生的概率是________．16．已知正数,,x y z 满足41x y z ++=，则()2238x y z-++的最小值是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，且223coscos ()222C A a c a c b ac ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）若(0)b c x x ==>，当ABC 仅有一解时，写出x 的范围，并求a c -的取值范围． 18．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2411n n S a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若有限数列{}n b 满足()1,1,2,,kk k n b a C k n =+=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19．（12分）某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间[600,700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分； （2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T 的“强基计划”入围资格．高校T 的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有,,,A A B C +四个等级，两科中至少有一科得到A +，且两科均不低于B ，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T 提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得,,,A A B C +的概率分别为2111,,,361212；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得,,,A A B C +的概率分别为1111,,,3464；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A +，则免面试，并被高校T 提前录取；若两科笔试成绩只有一个A +，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为23，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为25，面试“通过”的同学也将被高校T 提前录取． 若该班级考分前10名都已经报考了高校T 的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求 ①总分高于60分的某位同学没有进入第二轮的概率1P ；②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T 提前录取的概率2P ．20．（12分）如图1，菱形ABCD 中120ABC ∠=︒，动点,E F 在边,AD AB 上（不含端点），且存在实数λ使EF BD λ=，沿EF 将AEF 向上折起得到PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图2所示．（1）若BF PD ⊥，设三棱锥P BCD -和四棱锥P BDEF -的体积分别为12,V V ，求12V V ； （2）试讨论，当点E 的位置变化时，二面角E PF B --是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由．21．（12分）已知函数32()(2)8473t f x x t x x t =-++--+． （1）当0t >时，讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()ln g x x =，记函数()()|()()|()22f xg x f x g x m x +-=-，若函数()m x 有三个零点，求实数t 的取值范围．22．（12分）已知(0,2),(0,2),A B P -为坐标平面内一动点，直线,PA PB 的斜率,PA PB k k 满足：43PA PB k k ⋅=-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过E 上一点N 作不与坐标轴平行的直线与E 相切，交x 轴于点,D O 为坐标原点，试确定y 轴上是否存在定点Q ，使得1|cos |sin 2DNQ ODN ∠=∠？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 重庆南开中学高2021级高三第六次质量检测数学答案一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．【解析】：将四人的预测结果列表如下：由题分析，小张和小红预测对了两个，则必有D 班的名次为第三名，从而第二名为C 班，则第一名只能为A 班，第四名为B 班，故选A6．【解析】由题可知，2021rr a C =，对202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++等式，两边分别求导可得：20202202012320212021(1)232021x a a x a x a x +=++++，因为202120212021rrC C -=，所以20212021rr r a C a -==， 所以20202202022020123202120202019201802021(1)232021232021x a a x a x a x a a x a x a x +=++++=++++，令1x =，有：2020202020192018020212232021a a a a ⨯=++++．故选B ．7．【解析】：2()sin cos )sin cos 22f x x x x x x x =+-=+-cos 2)sin 2sin 22223x x x π-⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以()sin 223g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为()()122f x g x -=，所以不妨设()()1211f x g x =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得11111222225223212,,2223212x k x k k k Z x k x k ππππππππϕπϕπ⎧⎧-=+=+⎪⎪⎪⎪⇒∈⎨⎨⎪⎪+-=-+=--+⎪⎪⎩⎩， 所以12,2x x k k Z πϕπ-=++∈，因为12min ,04x x πϕ-=>，所以当1k =-时，min 4πϕ=，故选A ． 8．【解析】令2()()xf xg x e=，则4()()0()()0x f x e f x g x g x +-=⇔+-=， 即()g x 为奇函数；0x >时，则2()2()()2()()0xf x f x f x f xg x e '''->⇒=>， 所以()g x 在(0,2)上单调递增，则在(2,0)-时也单调递增；22(1)(1)(1)1f f e g e =⇒==； 则242(2)222(2)(2)(2)1(1)(1,4)21x x x f x e f x e g x g x x e --<-<⎧--<⇒=-<=⇒⇒∈⎨-<⎩，故选A ． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．10．【解析】：由()(6)f x f x =-知，()f x 图像关于3x =对称，由(2)(2)f x f x +=-可知，4为()f x 的一个周期，(2021)(1)1)0f f ∴==≠，A 错误； 又(6)()(4)f x f x f x -==-，所以1x =也为其一条对称轴，而)()ln()f x x f x -==-，所以(0,0)为()f x 的一个对称中心，且[1,0)x ∈-时，()f x 单调递减，所以可以画出()f x 的图像如下：所以，对于,(2,0)k Z k ∀∈为对称中心，C 正确；根据周期性，(2020,2022)x ∈的单调性与(0,2)x ∈的单调性相同，所以B 错误；对于D ，由()y f x =和sin 2y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象如图可得：方程的六个根分别为0,2,4,6,8,10，则D 正确．综上，选择CD ．11．【解析】：对于A ，由图形的对称性易得；A 正确对于B ，当SAC 和SBC 重合时0a =，当两个三角形展开成一个正方形时，a =，所以a ∈，所以B 错误；对于C ，取SC 的中点P ，有PS PA PB PC ===，即P 为三棱锥S ABC -12π，所以C 正确； 对于D ，如图，取AB 中点D ，连接,SD CD ，可得,SD AB CD AB ⊥⊥，所以CDS ∠为二面角S AB C --的平面角，而2SC SD CD ===， 所以由余弦定理计算可得120CDS ∠=︒，则过B 且与平面CAB 和平面SAB 所成角都相等的直线在平面PAB 上或在经过AB 且与PAB 垂直的平面上，而所成角都为15︒的直线则共有四条，所以D 正确；综上，选择ACD ．12．【解析】1:240,22l kx y k k ⎛⎫⎡⎤---=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭过定点(2,4)A -①当l 的斜率||1k <时，如图1，作一条纵截距为负数的切线平行于直线l ， 显然，要使得PQ L 最小，P 应位于切点处，作PC x ⊥轴交直线l 于点C ， 过Q 作QB PC ⊥于点B ，当Q 位于点C 的左方时，||||||PQ PC L PB QB PC L =+>=，当Q 位于点C 的右方时，显然也有PQ PC L L >，所以此时()PC L k L =，设直线y kx t =+2t =⇒=-t =-直线l 的纵截距为24k --，所以2||24()()20PC k L PC k L k L k '==+-⇒=-=>．当1,12k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，显然()0()L k L k'>⇒单调递增：1(1)632L L ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭②当l 的斜率(1,2]k ∈时，如图2，作一条纵截距为负数的切线平行于直线l ， 显然，要使得PQ L 最小，P 应位于切点处，作PC y ⊥轴交直线l 于点C ， 过Q 作QB PC ⊥于点B ，当Q 位于点C 的左方时，||||||PQ PC L PB QB PC L =+>=，当Q 位于点C 的右方时，显然也有()PC L k L =，所以此时PQ PC L L > 设直线y kx t=+2t =⇒=-， 直线l 的横截距为42k+，所以244||2()()20PCL PC L k L k k k k '==+-=⇒=--=<．()Lk ⇒单调递减；(1)6(2)4L L =-=综上，()[3L k ∈-，所以选ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6或7 14．2 15．71516．16-16．【解析】：()2222()(14)38383822x y z x y z z z+--+⨯-+⨯-++≥=264321z z z-+=164323216z z=+-≥=-（当且仅当1418x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．22(1cos )(1cos )coscos ()()2222C A a C c A a c a c b a c b ++⎛⎫⎛⎫++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(cos cos )()()23()2222a c a C c A a cb ac b a c b ac a c b ac ++++++-+-+=+-=== 4分2221cos 23a cb ac B B π⇒+-=⇒=⇒= （2）法一：由正弦定理，得sin sin c b C B =，则sin ,43x C B π==，则203C π<<， 做正弦曲线如图所示，则当04x <≤或14x=，即4x =或0x <≤ABC 仅有一解，故4x =或0x <≤ 6分法二：由正弦定理，如图，当sin b c B =或b c ≥时，ABC 仅有一解， 故4x =或0x <≤ 6分 当4x =时，242a c -=-=-； 7分当0x <≤4sin sin sin a c bA C B===， 4(sin sin )4sin sin 3a c A C C C π⎡⎤⎛⎫-=-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14sin 4sin 223C C C π⎡⎤⎛⎫=-+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦0,0333C C πππ<≤-<-≤，所以sin 03C π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以，4sin 3a c C π⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭．综上，{2}a c -∈-⋃ 10分18．解：()2411,0n n n S a a +=+>，当1n =时，()2111411,2a a a +=+=； 1分当2n ≥时，()()2211411411n n n n S a S a --⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ()()()()2222111111422020n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ------⇒=-+-⇒--+=⇒+--=10,2n n n a a a ->∴-=，即{}n a 为等差数列，故12(1)2n a a n n =+-=； 6分（2）()111(21)22kkkkk kk k n n n n n n b a C k C kC C nC C --=+=+=+=+，12n n T b b b ∴=+++()()011121112n nn n n n n n n C C C C C C ----=+++++++ 12分12221(1)21n n n n n -=⋅+-=+-19．解：（1）2分平均分：(6100.0046300.0076500.026700.0146900.005)20653.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=； 4分 （2）总分大于等于680分的同学有500.005205⨯⨯=人，由已知，其中有3人小于等于690分，2人大于690分；①()2111222212142121113363129999P P A A A A A B C C ++++⎛⎫=-++=--⨯⨯-⨯⨯=---= ⎪⎝⎭8分②设高于690分的同学被高校T 提前录取为事件M ，不超过690分的同学被高校T 提前录取为事件N ，则()()2112222221212()333363123P M P A A P A A A B C C ++++⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21122212111112112()535343695699P N P A A P A A A B C C ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 23222212323888271721227137284117626323939933993336561P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12分20．解：（1）在图2中，取EF 中点,O BD 中点M ，连结,OP OM ，以O 为原点，,,OF OM OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设4,AB OP x ==，则,OM x OF ==，,0),,(0,0,),(,0)B x F P x D x ⎫∴-⎪⎭，故(2,23,),2,PD x x BFx ⎫=---=--⎪⎭，∵直线BF 与PD垂直，20,80PD BF x x∴⋅=∴+=， 解得x =（舍）或2,2,23x PO OM PO OM AE ED ==∴=∴=∴=∴图1中点E 在靠近点D 的三等分点处．1259,95BCD BDEF BDEF BCD ABD BDEF S S S V S S V S ∴==∴==．6分（2）设二面角E PF B--的平面角为θ，则θ为钝角． 证明：平面AEF 的法向量(0,1,0),,2,n PF x BF x ⎫⎫==-=--⎪⎪⎭⎭，设平面PBF 的法向量(,,)m a b c=，则00PF mBF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即02(0xc a x b -=⎫⎪-+-=⎪⎪⎭⎩，取1a =，得33||1,,,cos ,||||11m n m m n m n ⎛⎫⋅=-∴〈〉=== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⨯+又θ为钝角，cos 5θ∴=-．∴无论点E 的位置如何，二面角E PF B --的余弦值都为定值 12分 21．解：（1）32()(2)847,03t f x x t x x t t =-++--+> 2()2(2)8(2)(4)f x tx t x x tx '=-++-=---，令()0f x '=，得1242,x x t==2分 当2t =时，2122,()2(2)0x x f x x '===--≤，故函数()f x 在R 上单调递减；当2t >时，12x x >，故函数()f x 在4,,(2,)t ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递减，在4,2t ⎛⎫⎪⎝⎭上递增； 当02t <<时，12x x <，故函数()f x 在4(,2),,t ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递减，在42,t ⎛⎫⎪⎝⎭上递增． 5分 （2）由已知()min{(),()},()ln m x f x g x g x x ==在(0,)+∞有且仅有1x =一个零点，①当0t =时，2()287f x x x =-+，由()0f x =得2(1,)2x =±∈+∞， 此时()m x 有三个零点． 6分②当0t <时，()(2)(4)f x x tx '=---，得1242,0x x t==<， 故函数()f x 在在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增；10(0)740,(1)103f t f t =->=->， ∴当1x ≤时，()()m xg x =，故()y m x =在(0,1]上仅有一个零点；若函数有()y m x =有三个零点，则需满足8(2)103t f =--<，解得308t -<<； 8分 ③当0t >时，（i ）若2t =，则() f x 为单调函数，所以函数()y m x =至多有2个零点，不合题意，舍； 9分（ii ）若82,()(2)10,(0)7403t f x f t f t >==--<=-<极大值，故()f x 在(0,)+∞至多有1一个零点，所以函数()y m x =至多有2个零点，不合题意，舍； 10分（iii ）81002,()(2)10,(1)133t f x f t f t <<==--<=-极小值， 当(1)0f <，即310t >时，函数()y m x =至多有2个零点，不合题意，舍； 当(1)0f =，即310t =时，3224132()471603f x f t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭极大值，函数()y m x =恰有3个零点，符合题意；当(1)0f >，即3010t <<时，3224132()471603f x f t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭极大值； 令32323()47160310t t t t t ϕ⎛⎫=-+-+<< ⎪⎝⎭，则23()121416010t t t ϕϕ''⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，故()t ϕ在30,10⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，3()010t ϕϕ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即40f t ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 此时函数()y m x =有4个零点，不合题意，舍；综上，实数的取值范围是33,0108⎧⎫⎡⎤⋃-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦12分 22．解：（1）设(,)(0)P x y x ≠，由已知，2222443PA PBy y y k k x x x -+-=⋅==-，化简得22143y x +=即动点P 的轨迹22:1(0)43y x E x +=≠ 4分（未挖点，扣1分） （2）设()()0000,0N x y x y ≠，切线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-与E 联立，()()()()2222200000043124363120x y k x k y kx x y kx y kx y kx ⎧+=⎪⇒++-+--=⎨=+-⎪⎩ 令()()()2222000036124340ky kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，结合22004312x y +=解得0043x k y =-，所以切线方程为()000043xy x x y y =--+，即004312x x y y += 6分所以与x 轴的交点为03,0D x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又原点到切线的距离为d =，所以sin ||dODN OD ∠==； 7分设在y 轴上存在定点(0,)Q m 使得1|cos |sin 2DNQ ODN ∠=∠， 由()2200000000000333,,,,,4x y QN x y m DN x y y y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得|||cos |||||9QN DN DNQ QN DN ⋅∠==，9分=即()()2220000434m y y x y m ⎡⎤-+=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 10分 ()()222000001224940y m y y m y x ---+-=，结合22004312x y +=，得()()22000021y m y y m y ---+=，整理得1m =±所以，在y 轴上存在定点(0,1)Q ±使得1cos sin 2DNQ ODN ∠=∠成立 12分。
2020届重庆市南开中学高三下学期第六次教学质量检测数学(理)试卷及解析
2020届重庆市南开中学高三下学期第六次教学质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)一、选择题1. 若集合{}1,2,3,4,5A =,集合(){}40B x x x =-<,则表示 RA B =（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}4,5D. {}1,4【答案】A 【解析】先求出集合B ,进一步得到RB ,再按交集的定义运算即可.【详解】由(4)0x x -<,得4x >或0x <,所以{|0B x x =<或4}x >, {|04}RB x x =≤≤,所以 RA B ={}1,2,3,4.故选：A 2. 在等差数列{}a n 中,21,45aa==,则{}an的前5项和5S=A. 7B. 15C. 20D. 25【答案】B 【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===3. 向量()2,1a =,向量()1,3b =.若()3a kb a +⊥,则实数k =（ ）A. 3B. 3-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】由()3a kb a +⊥,可得230a ka b +⋅=,再利用向量的坐标运算即可得到答案.【详解】由已知,221a =+=21135a b ⋅=⨯+⨯=,又()3a kb a +⊥,所以()30a kb a +⋅=,即230a ka b +⋅=,所以3550k ⨯+⨯=,解得3k =-. 故选：B4. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,他将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数理论中占有非常重要的地位,特别是当x π=时,10i e π+=被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式,263i i e e ππ+表示复数z ,则z =（ ）A. 2 C. 2 D. 2【答案】B 【解析】根据欧拉公式将263i i e e ππ+化简为1122z i +=+,再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】根据欧拉公式有26322cossincossin 6633ii e ei i ππππππ+=+++=+,所以z =+,||z ==故选：B5. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-恒成立,则不等式()()2120f x f x ++-<的解集为（ ）A. 1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ()3,-+∞D. (),3-∞-。