人教版八年级数学下册期末专题复习对角互补专题 (无答案)

对角互补模型

【结论】：①CD=CE；
②OD+OE=OC
③
S△DCE S△OCD S△OCE
3 OC 2 4
知识点
NO2: 全等型-120°
证明提示： ①方法一作垂直，证明△CDM≌△CEN ②方法二过点C作CF⊥OC，证明△ODC≌△FEC
知识点
NO2: 全等型-120°
方法一：
过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，
第一讲
对角互补模型
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
对角互补模型
课堂预知
对角互补模型
全等型-90° 全等型-120° 全等型-任意角ɑ 相似型-90°
知识点
NO1: 全等型-90°情况1
【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB
垂足分别为M，N．
所以 SOCD SOCE 2SONC
3 OC 2 4
易证△MCD≌△NCE（ASA），
所以CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC．
知识点
NO2: 全等型-120°
方法二：以CO为一边作∠FCO＝60°，交OB于点F，则△OCF为等边三角形．易证△DCO≌△ECF（ASA）．所以CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC， ∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝ 3 OC
CN⊥OB，垂足分别为M、N
D
易证△MCD∽△NCE，
∴ NE CE CNCD·tanα
O
C EN
知识点
NO4: 相似性--90°
方法二证明提示：
易证△DCO∽△ECF，
A
FE CE CF tan

中考数学常见几何模型专题04 对角互补模型(从全等到相似)(解析版)

专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠234CODCOESS+=. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB . 则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠212ODCE OCDCOES SSOC =+=. 3）全等型—2α和1802α︒-：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒-，OC 平分∠AOB . 则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCDCOESSOC αα+=⋅⋅.1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ；（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ，构造AAS 证明∠CFB ≅∠CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， ∠∠ADC ＝∠ABC ＝90o ，，∠∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∠AD ＝1122AC AB AC ，＝．∠AD ＋AB ＝AC ，（2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ．∠AC 平分∠BAD ，∠CF ＝CE ，∠∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∠∠FBC ＝∠EDC ，又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∠∠CFB ≅∠CED ()AAS ，∠FB ＝DE ， ∠AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，在四边形AFCE 中，由∠题知：AE ＋AF ＝AC ，∠AD ＋AB ＝AC ； ②在Rt ∠ACE 中，∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，又∠AC ＝10，∠CE ＝A sin 10sin 60o DAC ∠＝＝∠CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，∠()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋＝111022AC CE ⨯⨯⨯＝．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △，则'BDB △的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．）将BDM 绕点，得到DCP ，则DCP =∠，NPD ≅△，证得AMN 的周长【详解】解：（1）将DCB 绕点顺时针方向旋转60︒，得到'DAB ， ∠DCB ∠'DAB △，'BD B D =，60BDB ∠=︒， 'BDB △是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）过B ′作于E ，由（1）知，2224）解：将BDM 绕点，得到DCP ， CDP △，，CP BM =PDC ∠， ∠BDC 是等腰三角形，且BD CD =，DBC ∠=∠又∠ABC 等边三角形，ABC ACB ∠=∠MBD ACB ∠=∠同理可得NCD ∠PCD NCD =∠DCN NCP +∠和NPD 中，MD PD MDN PDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠()NMD NPD SAS ≅△△， ∠MN PN NC CP NC BM ==+=+，∠AMN 的周长224AM AN MN AM AN NC BM AB AC =++=+++=+=+=．故AMN 的周长为4．【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键． 3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，120MAN ∠=︒，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，求证：AB AD AC +=．【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB ∠绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB =，P 为BC 边的中点，120MPN ∠=︒，将MPN ∠绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM =时，请直接写出AN 的长．的结论可得PEM PFN ≌，根据含FN AF EM AF =+=） AC 平分MAN ∠，60DAC BAC ∠=∠=1AC =，∴AB AD +∠MAN ∠=BAD ∠+∠CDA ∴∠=CED ∠=CED CFB ∴≌，ED ∴,AE ED AD AF =-AE AF ED AD ∴+=-又AE AF AC +=，∴（3）①如图，当M P 是BC 的中点，ABC 是等边三角形，B =∠C =60°）可得PEM PFN ≌，EM ∴AB 1122CP BC AB ∴===FPB =90°-60°=30°，1，3AE AF ∴==，AM AN AF FN AF ∴=+=模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

八年级数学几何压轴题对角互补专题探究及变式训练汇总

八年级数学几何压轴题对角互补专题探究及变式训练汇总对角互补专题探究（一）基本图形：如图1，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，旋转∠FBE 得到∠HBI ，求证：△FBH ∽△EBI ;如图2，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，连接BD ，∠DBE =∠CBF ,若△BCD 为等边三角形，探究：线段DE 、DF 、BD 之间的数量关系________________________;如图3，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，连接BD ，∠DBE =∠CBF ,若BD ⊥DC ,∠DCB =30°探究：线段DE 、DF 、BD 之间的数量关系______________________;例1.已知直角梯形ABCD , AD ∥BC , ∠A =900, ∠EBF =∠C . (1)当AD :AB =1:3,∠C =600时，如图1所示，求证：DE +DF =BC ;(2).当AD :AB =1:1,∠C =450时，如图2所示，则线段DE 、DF 、BC 之间的数量关系_______________；(3).在(2)的条件，如图3所示，若AB =2时，3BM =MC ,连接AF 、FM ,若AF 与BE 交于点图1N ,当∠AFM =450时,求线段NF 的长度.变式训练：1.已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ,AD =3AB ,∠A =900,∠C =600,DH ⊥BC 于H ,P 为BC 上一点，作∠EPF =600,此角的两边分别交AD 于E , 交CD 于F . (1).如图1，当点P 在点B 处时，求证：2 AE +CF =2CH ;(2).如图2，当点P 在点H 处时，线段 AE 、CF 、CH 的数量关系为____________________; (3).在（2）的条件下，连接FB 、EF ,FB 与FH 交于点K ,若AB =32,EF =21,求线段FK 的长度.图2图1图3图3图2图12.已知平行四边形ABCD , ∠C =60°，点E 、F 分别为AD 、CD 上两点∠EBF =∠C . (1).如图1，当AB =BC 时，求证：CF +AE =BC ； (2).如图2，当AB =76BC 时，线段：CF 、AE 、BC 三者之间有何数量关系_______________; (3)在(2)的条件下如图3，若AB =6,连接EC 与BF 交于M ,当△BEM 为等边三角形时，求线段FM 的长.图1图2图3例2.已知：△ABC 中，∠ACB =900, ∠B =300 ,点P 为边AB 上的一点, ∠EPF =900,PF 与边AC 交于点F ,PE 与边BC 交于点E . 设AP :PB =k(1)如图1，当k =31时，则： AF + _____ BE =21AB ;(2).如图2，当k =1时，线段AF 、BE 、AB 的数量关系为___________________; (3).在(2)的条件下，如图3，连接CP ,EF 交于点K ,将FP 沿着EF 对称，对称后与CP 交于点M ,连接ME ,若AC =3,当ME ∥FP 时，求tan ∠CEM 的值.图3图2图1变式训练：1.等边△ABC 中，BH 为AC 边上的高，点P 为AB 边中点，∠EPF =900,此角的两边与AC 边交于点F ,与高BH 交于点E . (1)如图1，求证: FH +3BE =21AB ; (2)如图2，则线段FH 、BE 、AB 之间满足的关系式为____________;(3)如图3，在(2)的条件下，连接EF ，直线EF 与BC 交于点N ，将FN 沿着FP 对称，对称后与AB 交于点M ,若AC =34,AM :BM =1:3,时，求BN 长度.图2对角互补专题探究（二）1.直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m 、n 上，且点A 在点B 的右侧.点P 在直线m 上，AP =AB ,连接BP ,以PB 为一边在PB 右侧作等边△BPC ，连接AC .过点P 作PD ⊥n 于点D .(1)当点P 在A 的右侧时（如图1），求证：BD =AC(2)当点P 在A 的左侧时（如图2），线段BD 与AC 之间的数量关系为_______________.(3)在(2)的条件下，设PD 交AB 于点N ，PC 交AB 于点M （如图3）.若△PBC 的面积为，求线段MN 的长.图1nmCDPBA图32.如图，直线y = -33kx +4k (k ＞0)与x 轴交于B ,与y 轴交于D ,点O 与点C 是关于直线BD 对称，连接BC ,若AC =34. (1)求k 的值；(2)点P 为OB 的中点，动点E 从点B 出发，每秒1单位速度沿BH 向点H 运动，过点P 做PE 的垂线交AC 于点F ,当点F 与点O 重合时点E 停止运动. 设运动时间为t 秒，△PHF 面积为S ，写出S 与t 点函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围． ()连接PH ,是否存在t 值，使得tan ∠FPH =73，若存在请求t 值，若不存在，说明理由.对角互补专题探究（三）例1．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)，△AEP为直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过点E作EM∥BC交AF于点M．(1)若∠BAD=120°(如图1)，求证：BF+DE=EM；(2)若∠BAD=90°(如图2)，则线段BF、DE、EM的数量关系为_____________.(3)在(1)的条件下，若AD：BF=3：2，EM=7，求CE的长．变式训练：1.已知：矩形ABCD 中AD K AB=，点E 、F 分别在CD 、CB 上运动，且EAFa ?（角α为锐角）,过E 作EM ∥BC 交AF 于点M ,探究BF 、DE 、ME 之间的数量关系为_______________________________.(1) 当K =3，a =45°时，___________________________.E(2) 当K=3，a=60°时，___________________________.(3) 当K=3，a=30°时，___________________________.2.如图：已知四过形ABCD中AD K=、∠DAB=∠BCD=90°，点E、F分别在CD、CB上AB运动，且EAF a?（角α为锐角）,过E作EM∥BC交AF于点M，探究BF、DE、ME之间的数量关系为_______________.B对角互补专题探究（四）例2.已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠EAF=30°,过F作FM∥BC交AE于M . （1）当∠BAD=60°时(如图1所示)，求证︰BE+FD=FM；（2）当∠BAD=90°时(如图2所示)，则线段BE，DF,FM的数量关系为_______________；（3）在（1）的条件下(如图3所示)，连接DB交AE于点G，交AF于点K，交MF于点N，若BG:DK=3:5，FM=14时，KN的长.B图1F图2图3B D变式训练：1．已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∠BAD =∠ADC ，点F 在CD 边上运动(点E 与C 、D 两点不重合)（1）若∠BAD =90°(如图l )，AD =2AB ，∠EAF =450，求证：DF +2BE =FG（2）若∠BAD =150°(如图2)，AB =AD , ∠EAF =300,则DF 、BE 、FG 的数量关系为 .（3）在（1）的条件下（如图3）DF =4AB =6,直线AF 交直线BG 于点H ，求GH 的长. 图3FF图12.已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ,AB =CD =kAD ,∠BAD =∠ADC ,点E 在CD 边上运动（点E 与C 、D 两点不重合），将AE 绕点A 顺时针旋转30°后与BC 边交于点F ，过点E 作EM ∥BC 交AF 于点M .（1）若k =1, ∠BAD =120°(如图1)，求证:DE +BF =12ME . （2）若k =12, ∠BAD =90°(如图2)，则线段DE 、BF 、ME 的数量关系为 .（3）在（1）的条件下，若CE =2，AE=求ME 的长.图2FE图1对角互补专题探究（五）例3.如图1，正方形ABCD中，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于Q，交边AB的延长线于N.（1）求证DP=MN;（2）若PC：PB=1:3，那么线段QE与QN的数量关系为______________________; （3）如图2，连接BD、MP，绕着点P旋转∠CPM，角的两边分别交边AB、AD于点H、K，交边CD于点R，当四边形DBQM的面积为24，MR：RC=1：2时，求.变式训练：1.已知：在正方形ABCD中，P为直线AD上一点，连接BP,以BP为底边作等腰直角三角形△PBE,连接AE.（1）如图1，当点P在线段AD上时，求证：AB+APAE;（2）如图2, 当点P在线段DA的延长线上时，线段AB、AP、AE的数量关系是（3）在（2）的条件下，过点A作AF∥PE,AF交BC的延长线于F,过点C作∠DCF的平分线，交AF于点H,若AB=4,四边形PBEA的面积为5，求线段CH的长.2.已知等边三角形ABC ，点D 为BC 的中点，∠NDM =120°两边分别交直线AC 、AB 分别于点M 、N .（1）如图1，求证：MC =21AB +BN ；（2）如图2，线段MC 、AB 、BN 的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将∠NDM 的两边DM 、DN 分别反向延长，交AB 、AC 的延长线分别于点E 、F ，连接EF 若BN =1，CM =2，求EF 的长.图1图2图3BB图2。

对角互补型问题复习

对角互补专题复习一、全等型——90°条件：（1）∠AOB＝∠DCE＝90°条件：以C为旋转中心，将∠DCE逆时针旋转（2）OC平分∠AOB 使一边交AO延长线于点D时试找出以下数量关系：结论：①CD与CE的数量关系：CD与CE的数量关系：②OD、OE、OC三者的数量关系: OD、OE、OC三者的数量关系:③SΔOCD、SΔOCE与线段OC SΔOCD、SΔOCE与线段OC三者的数量关系三者的数量关系若将条件（2）与结论（1）互换，应如何添加辅助线？二、全等型——120°已知：∠AOB＝120°，∠DCE＝60°，OC平分∠AOB①CD与CE的数量关系：②OD、OE、OC三者的数量关系:③SΔOCD、SΔOCE与线段OC的关系:三、全等型——任意角α条件：①∠AOB＝2α∠DCE＝180°－2α②OC平分∠AOB (可用含α的代数式表示）结论：CD与CE的数量关系：OD、OE、OC三者的数量关系:SΔOCD、SΔOCE与线段OC的关系:四、相似型：条件：∠AOB ＝∠DCE ＝90°，∠COE ＝α，（用含α的代数式表示下列数量关系）① CD 与CE 的数量关系： ② OD 、OE 、OC 三者的数量关系:③S ΔOCD 、S ΔOCE 与线段OC 的关系:已知：如图1,四边形ABCD 中,AB =BC ,BE ⊥AD ,垂足为E ,∠BCD −ABE =90∘,过点C 作CF ∥AD ，交对角线BD 于点F.(1)求证：CF =CD ；(2)若将“AB =BC ”改为“AB =k ⋅BC (k 为常数,且k >0)”,其它条件不变(如图2),CFCD 的值(用含k 的式子表示).（3）在（2）的条件下，若∠ADB ＝α，试用k 、α来表示S ΔABD 、S ΔBCD 与线段BD 的数量关系。

作业一：第二、三、四类型，课后独立完成当∠DCE 一边交AO 延长线于点D 时，三个结论的变化。

专题训练-- 对角互补模型

专题六对角互补模型数学模型-对角互补模型旋转型类型一（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)）已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB+AC=2AD．1．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．类型二（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)）已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB-AC=2AD．2．已知:△ABC中，CA=CB,∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º(1)如图所示，求证：DA+DB=2DC(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH=.类型三“等边三角形对120°模型”．△ABC是等边三角形，∠BPC=120°，则有PB+PC=PA；类型四“120°等腰三角形对60°模型”△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，则有PB+PC=3PA；3．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．4．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．∠EAF=12（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申∠BAD，如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=12连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.构造全等型类型五-全等型90°条件：①∠AOB=∠DCE=90°，②OC平分∠AOB结论：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S△DCE=S△OCD+S△OCE=12OC2辅助线的做法，可有下面两种方法来证明．当C与AO的延长线相交时，也是相同的方法．结论变为：①CD=CE；②OE-OD=2OC；③S△OCE-S△OCD=12OC25．探究：如图1和2,四边形ABCD中,已知AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如图1,若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系_______时，仍有EF=BE+DF;（2）拓展：如图3,在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=22，点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．类型六-全等型120°条件：①∠AOB=2∠DCE=120°，②OC平分∠AOB结论：①CD=CE；②OD+OE=OC；③S△DCE=S△OCD+S△OCE2证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形．6．如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的角平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.（1）如图1，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想OD+OE与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当∠DCE绕点C旋转到点D位于OA的反向延长线上时，求线段OD,OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.7．如图，一伞状图形，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP=2，∠MPN=60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系(2)如图二，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α度0<α<60°，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．8．（1）方法导引：问题：如图1，等边三角形ABC的边长为6，点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，∠FOG=120°，绕点O 任意旋转∠FOG，分别交△ABC的两边于D，E两点．求四边形ODBE面积．讨论：①小明：在∠FOG旋转过程中，当OF经过点B时，OG一定经过点C．②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“ASA”证出△ODB≌△OEC．③小飞：因为△ODB≌△OEC，所以只要算出△OBC的面积就得出了四边形ODBE的面积．老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形ODBE的面积：________．（2）应用方法：①特例：如图2，∠FOG的顶点O在等边三角形ABC的边BC上，OB=2，OC=4，边OG⊥AC于点E，OF⊥AB 于点D，求△BOD的面积．②探究：如图3，已知∠FOG=60°，顶点O在等边三角形ABC的边BC上，OB=2，OC=4，记△BOD的面积为x，△COE的面积为y，求xy的值．③应用：如图4，已知∠FOG=60°，顶点O在等边三角形ABC的边CB的延长线上，OB=2，BC=6，记△BOD 的面积为a，△COE的面积为b，请直接写出a与b的关系式．类型七-全等型α条件：①∠AOB=2α，∠DCE=180-2α．；②CD=CE；结论：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC．cosα③S四边形ooc E=S△oc D+S△oc E=OC2sinαcosα当∠DCE的一边交AO的延长线于点D时，上述条件不变，结论有所变化9．综合实践初步探究：如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为；解决问题：(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为；拓展应用：(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；。

对角互补模型(解析版)--初中数学专题训练

对角互补模型基本模型：例题精讲1(基本模型)在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF= 120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是；(2)当点E在线段AB上时，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，BF=8,BE=2，请直接写出BC的长．【答案】(1)DE=DF；(2)DE=DF，理由见解析；(3)4【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，D点为AC的中点∴∠DBC=30゜∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜-∠DBC-∠EDF=30゜∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案为：DE=DF(2)仍有DE=DF；理由如下：过点D作DG∥BC交AB于点G，如图2所示则∠AGD=∠ABC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等边三角形∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD∴∠DGE =∠GDC =120゜∴∠EDF =∠GDC =120゜∵∠GDE +∠EDC =∠EDC +∠CDF∴∠GDE =∠CDF∵D 点是AC 的中点∴AD =DC =GD∵∠ACB =60゜∴∠DCF =120゜∴∠DGE =∠DCF在△DGE 和△DCF 中，∠DGE =∠DCFGD =DC∠GDE =∠CDF∴△DGE ≌△DCF (ASA )∴DE =DF(3)过点D 作DG∥BC 交AB 于点G ，如图3所示与(2)同理有：△DGE ≌△DCF∴GE =CF设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ∴GE =12a +2由GE =CF ，得：12a +2=8-a 解得：a =42(基本模型2)已知：如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 的中点，∠DOE =120°，∠DOE 绕着点O 旋转，角的两边与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ．(1)若OD ，OE 都在BC 的上方，如图1，求证：OD =OE ．(2)在图1中，BD ，CE 与BC 的数量关系是．(3)若点D 在AB 的延长线上，点E 在线段AC 上，如图2，直接写出BD ，CE 与BC 的数量关系是．【答案】(1)见解析；(2)2CE +BD =BC ；(3)2(CE -BD )=BC【解析】(1)证明：取AB 的中点F ，连接OF ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ,∠ABC =∠ACB =60°，∵点O 与点F 分别是BC 与AB 的中点，∴BF =BO =OC ，∴△BOF 是等边三角形，∴OF =OB =OC ，∠OFD =∠OCE =∠BOF =60°，∴∠COF =120°=∠DOE ，∴∠DOF =∠EOC ，∵在△DOF 和△EOC 中，∠OFD =∠OCEOF =OC ∠DOF =∠EOC，∴△DOF ≅△EOC (ASA )，∴OD =OE ．(2)解：结论：2CE +BD =BC ．理由：∵△DOF ≌△EOC ，∴DF =EC ，∴BD +EC =BD +DF =BF ，∵△BOF 是等边三角形，∴OB =BF ，∵BC =2OB ，∴2CE +BD =BC ．故答案为：2CE +BD =BC ；(3)结论：2(CE -BD )=BC ．理由如图2中，取AB 的中点F ，连接OF ．同(1)中的方法可证△BOF 是等边三角形，△DOF ≌△EOC ，∴DF =CE ，∴EC -BD =DF -BD =BF =OB ，∵BC =2OB ，∴2(CE -BD )=BC3(培优综合)如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，且与点B ，C 不重合，连接AD ．作以∠FAD 为直角的等腰直角△ADF ．(1)若AB =AC ，∠BAC =90°①当点D 在线段BC 上时，试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)若AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，点D 在线段BC ．上，且CF ⊥BD 时，如图3，试求∠BCA的度数．【答案】(1)①CF=BD，CF⊥BD；②存在，详见解析(2)45°【解析】(1)①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：如图2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；(2)如图，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵CF⊥BD∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∠ACF=∠AEC ∠CAF=∠EAD AF=AD，∴△ACF≌△AED(AAS)，∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°1问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为；位置关系为．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由见解析【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠DCB=90°，又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90°，∴∠CAE+∠CBD=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案为：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：设CE与BD相交于点G，如图1所示：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠CBD+∠CGB=90°，∴∠AEC+∠EGF=90°，∴∠AFB=90°，∴BD⊥AE，即AE=BD，AE⊥BD依然成立．2已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【答案】(1)64°；(2)S△BDC=S△ACE，理由见解析【详解】(1)解：∵△ABC≌△DEC，∴CA=CD，又∵∠ACB=90°，∠B=32°，∴∠A=∠ADC=90°-32°=58°，∴在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-2×58°=64°，故答案为：64°．(2)解：如下图所示：过点B作△BDC的边CD上的高BG，过点E作△ACE的边AC上的高，由作图及△ABC≌△DEC知：∠BCG+∠DCF=90°，∠ECF+∠DCF=90°，CD=AC，∴∠BCG=∠ECF(同角的余角相等)，∴在Rt△BCG与Rt△ECF中有：∠BCG=∠ECF∠BGC=∠EFC=90°BC=EC∴Rt△BCG≌Rt△ECF(AAS)，∴BG=EF，∵S△BDC=12CD⋅BG，S△ACE=12AC⋅EF，∵CD=AC ，BG=EF，∴S△BDC=S△ACE，故答案为：S△BDC=S△ACE．3在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸【答案】(1)AB⊥BE，AB=BD+BE；(2)见解析；(3)72或8．【解析】(1)如图1中，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB=BD+BE．(2)①如图2中，结论：BE=AB+BD．理由：连接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如图3中，结论：BD=AB+BE．理由：连接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE，∵BD=AB+AD，AD=BE，∴BD=AB+BE．(3)如图2中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD+AB=8+4=12，∵BE⊥AD，∴S△ADE=12•AD•EB=12×12×12=72．如图3中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD-AB=8-4=4，∵BE⊥AD，∴S△ADE=12•AD•EB=12×4×4=8．4在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN= 60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【答案】(1)BM+NC=MN；(2)成立，MN=BM+NC；(3)NC-BM=MN，见解析【解析】(1)解：BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，DM=DN DB=DC，∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN，故答案为：BM+NC=MN；(2)猜想：结论仍然成立．证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1(SAS)，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN(SAS)，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC；(3)NC-BM=MN，理由如下：证明：在CN上截取CM1=BM，连接MN，DM1由(2)得，△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN(SAS)，∴MN=M1N，∴NC-BM=MN．课后训练1在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=4，且E为边BC的中点，连接AE，以AE为边向上作等边三角形ADE，连接BD，则BD的长为．【答案】6【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即CF=BC=4，∵在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=4，∴∠ABC=60°，AB=2BC，∴△ABF是等边三角形，∴AF=AB，∠FAB=60°，又∵在等边三角形ADE中，AE=AD，∠EAD=60°，∴∠FAE=∠BAD，∴△FAE≅△BAD(SAS)，∴EF=BD，又∵BC=4，E为边BC的中点，∴EC=1BC=2，2∴EF=EC+CF=2+4=6，∴BD=EF=6．故答案为6．2如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF=45°，如果BE=1，DF=7，则EF=__．【答案】6【详解】解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G，由旋转的性质可知，AG =AE ，DG =BE ，∠DAG =∠BAE ，∵∠EAF =45°，∴∠DAG +∠BAF =45°，又∵∠BAD =90°，∴∠GAF =45°，在△AEF 和△AGF 中，AE =AG∠EAF =∠GAF AF =AF，∴△AEF ≌△AGF (SAS )∴EF =GF ，∵BE =1，DF =7，∴EF =GF =DF -DG =DF -BE =7-1=6.故答案为：6．3已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB =BC ，∠ABC =120°，∠MBN =60°，将∠MBN 绕点B旋转．(1)当∠MBN 旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN 的两边分别交AD ，DC 于E ，F ，且AE =CF ，求证：①BE =BF ②AE +CF =EF ；(2)当∠MBN 旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN 的两边分别交AD ，DC 于E ，F ，且AE ≠CF 时，小颖猜想1 中的AE +CF =EF 仍然成立，并尝试作出了延长DC 至点K ，使CK =AE ，连接BK ，请你证明小颖的猜想；(3)当∠MBN 旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN 的两边分别交AD ，DC 于E ，F ，猜想线段AE 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE-CF=EF，见解析【解析】(1)证明：①在△ABE和△CBF中，AB=BC∠A=∠BCFAE=CF，∴△ABE≌△CBF SAS．∴BE=BF；②由①知△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF=12∠ABC-∠MBN=12120°-60°=30°．∴AE=12BE，CF=12BF，∴△BEF是等边三角形．∴BE=BF=EF．∴AE+CF=12BE+12BF=EF；(2)解：延长DC至K点使得CK=AE，如图．在△ABE和△CBK.中，BK=BE∠KBF=∠EBFBF=BF∴△ABE≌△CBK SAS．∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°，∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．在△EBF和△KBF中，BK=BE∠KBF=∠EBFBF=BF，∴△EBF≌△KBF SAS．∴EF=KF．∴EF=CK+CF．∴AE+CF=EF；(3)解：如图3，猜想AE-CF=EF．证明如下：在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK．在△ABE和△CBK中，∴△ABE≌△CBK SAS．∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°．∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．4如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD=CE，BD⊥CE，证明见解析(2)BD=CE，BD⊥CE，证明见解析【详解】(1)证明：延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠DABAC=AB∴△EAC≌△DAB(SAS)，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠AEC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠AEC=90°，∴∠BFE=90°，即EC⊥BD，∴BD=CE，BD⊥CE．，(2)证明：延长BD交CE于F∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，∴∠BAD=∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠BADAC=AB∴△EAC≌△DAB(SAS)，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BFC=90°，即EC⊥BD，∴BD=CE，BD⊥CE ．5已知：在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD=CD．(1)如图1，∠BAC的度数为度．(2)如图2，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF，连接DE、DF，求证：∠AED+∠AFD=180°；(3)如图3，在(2)的条件下，AD交EF于点G，过点C作CH⊥EF于点H，连接DH，点N在CH延长线上，连接GN、AN，若GN∥DH∥AB，判断线段AN与EG的数量和位置关系，并证明你的结论．【答案】(1)90(2)见解析(3)AN=EG，AN∥EG；【详解】(1)∵AD=BD=CD，AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD=∠B=∠C=45°∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，故答案为：90；(2)∵AD⊥BC，AD=BD=CD∴∠B=∠1=45°，∠C=∠2=45°∴∠1=∠C∵AE=CF∴△AED≅△CFD∴∠3=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠3+∠4=180°即∠AED+∠AFD=180°(3)连接GC，DH、GN与AC分别交于L、K，过H作HM⊥BC于M，HP⊥AD于P，∵∠BAC=90°，GN∥DH∥AB∴∠BAC=∠NKC=∠HLC=90°∵AD=BD=CD∴∠ADH=∠CDH=45°∴HP=HM∵CH⊥EF，AD⊥BC∴∠ADC=∠GHC=90°，∠PHG=∠CHM=90°-∠GHM∴△PHG≅△MHC ASA∴HG=HC∵∠NGH=∠ACH=90°-∠GNH∴△CHF≅△GHN ASA∴CF=GN∵AE=CF∴AE=GN∵GN∥AE∴四边形AEGN是平行四边形∴∠EAG=∠NGA∴△AEG≅△GAN SAS∴AN=EG，∠AGE=∠GAN∴AN∥EG∴AN=EG，AN∥EG6(1)如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF=BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：．(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF= BE+FD，请问：(1)中结论是否成立？若成立，请证明结论．(3)若(2)中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上(如图3所示)，其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．①∠EAF=∠BAD；②2∠EAF+∠BAD=360°．【答案】(1)∠EAF=∠FAD+∠BAE；(2)∠EAF=∠FAD+∠BAE，理由见解析；(3)②正确【详解】解：(1)∠EAF=∠FAD+∠BAE，理由如下：如图1，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，则BF =DF，AF=AF ，∠BAF =∠DAF，∠ABF =∠D，在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴∠ABF +∠ABC=180°，∴点F ,B,E三点共线，∵EF=BE+DF，∴EF=BE+BF =EF ，∵AE=AE，∴△AEF ≅△AEF，∴∠EAF =∠EAF，∴∠EAF=∠BAF +∠BAE=∠FAD+∠BAE；(2)∠EAF=∠FAD+∠BAE，理由如下：如图2，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABG，则BG=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠D，∵∠B+∠D=180°，∴∠ABG+∠ABC=180°，∴点G,B,E三点共线，∵EF=BE+DF，∴EF=BE+BG=EG，∵AE=AE，∴△AEG≅△AEF，∴∠EAG=∠EAF，∴∠EAF=∠BAG+∠BAE=∠FAD+∠BAE；(3)在DC的延长线上取一点H，使DH=BE，连接AH，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，∵AB=AD，∴△ADH≅△ABE SAS，∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DH+FD=FH，∵AF=AF，∴△AEF≅△AHF SSS，∴∠FAE=∠FAH，∵∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，∴2∠FAE+(∠HAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠HAB+∠DAH)=360°，即2∠FAE+∠BAD=360°，故②正确．7已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAC=∠BDC=α．(1)【特例体验】如图1，AB=BC，α=60°，则∠ADB的度数为；(2)【类比探究】如图2，AB=BC，求证：∠ADB=∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α=60°，∠ACB+∠BCD=180°，CE⊥BD于点E，AC=kDE，直接写出CDAB的值(用k的代数式表示)．【答案】(1)60°(2)证明见解析；(3)2k+2．=CD，如图1所示：【详解】(1)解：在BD上取点E，使BE∵AB=BC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠ABE=∠ACDBE=CD∴△ABE≅△ACD(SAS)，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADB=60°；故答案为：60°；=BH，如图2所示：(2)证明：在DC的延长线上取一点H，使BD∴∠BDH=∠H=α，∵∠BAC=∠BDC=α，∠AOB=∠COD，∴∠ABD=∠ACD，∵AB=BC，∠BAC=∠BDC=α，∴∠ACB=∠BAC=α，又∵∠BCD=∠ACD+α=α+∠CBH，即∠ACD+α=α+∠CBH，∴∠ACD=∠CBH=∠ABD，在△ABD和△CDH中，AB=BC∠ABD=∠CBHBH=BD∴△ABD=△CBH(SAS)，∴∠ADB=∠H=α，∴∠ADB=∠BDC；(3)解：延长DC至H，使CH=AC，连接BH，如图3所示：图3∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，∵AC=CH，BC=BC，∴△ABC≌△HBC(SAS)，∴AB=BH，∠H=∠BAC=∠BDC=60°，∵CE⊥BD，∴∠ECD=30°，∴CD=2ED，设ED=m，则CD=2m，∵AC=kED=km∴CH=km，∴DH=2m+km，又∵∠BDH=∠H=60°，∴△BDH为等边三角形，∴DH=BH=AB=km+2m，∴CD AB =2mkm+2m=2k+2．8如图1，等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接AP交BD于E点，连EC．(1)求证：AP =BD ；(2)求证：EC 平分∠BEP ；(3)设AE =a ，DE =b ，CE =c ，若BP =4CP ，直接写出a ，b ，c 之间满足的数量关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)a -3b =2c【详解】(1)证明：∵等边△ABC 与等边△DCP 的顶点B ，C ，P 三点在一条直线上，∴∠ACB =∠DCP =60°，∠BCP =180°，∴∠ACD =180°-∠DCP -∠ACB =60°，∴∠BCD =∠BCA +∠ACD =120°，∠ACP =∠DCP +∠ACD =120°，∴∠BCD =∠ACP ，∵等边△ABC ，等边△DCP ，∴BC =AC ，DC =PC ，在△BCD 与△ACP 中，∵BC =AC∠BCD =∠ACP CD =CP，∴△BCD ≌△ACP SAS ，∴AP =BD ．(2)证明：如图1，过点C 作CM ⊥BD 交BD 于点M ，过点C 作CN ⊥AP 交AP 于点N ，∵(1)中已证△BCD ≌△ACP ，又∵CM ⊥BD ，CN ⊥AP ，∴CM =CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AP ，∴EC 平分∠BEP．(3)a -3b =2c ，理由如下：如图2，过点C 作CM ⊥BD 交BD 于点M ，过点C 作CN ⊥AP 交AP 于点N ，在EB 上截取一点F ，使得AE =EF ，在EP 上截取一点G ，使得ED =EG ，连接AF ，DG ，∵△BCD ≌△ACP ，∴∠BDC =∠APC ，∵∠DBC +∠BDC =∠DCP ，又∵等边△DCP ，∴∠DCP =60°，∴∠DBC +∠BDC =60°，∵∠BDC =∠APC ，∴∠DBC +∠APC =60°，即∠AEB =60°，∵AE =EF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠FAE =60°，AF =AE ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，BA =CA ，∴∠BAC -∠FAC =∠FAE -∠FAC ，即∠BAF =∠CAE ，在△BAF 与△CAE 中，∵BA =CA∠BAF =∠CAE AF =AE，∴△BAF ≌△CAE SAS ，∴BF =CE ．∵AE =EF =a ，CE =c ，∴BE =BF +EF =CE +AE =c +a ，同法可证，EP =EG +GP =ED +CE =b +c ，∵BP =4CP ，∴BC =3CP ．∵CM ⊥BD ，CN ⊥AP ，∴S △BEC S △ECP =12×BE ×CM 12×PE ×CN =BC CP=3，∵(2)中已证CM =CN ，∴BE PE=3，∴c +a =3b +c ，即a -3b =2c ．9四边形ABCD 是由等边ΔABC 和顶角为120°的等腰ΔABD 排成，将一个60°角顶点放在D 处，将60°角绕D 点旋转，该60°交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．(1)当E 、F 都在线段AB 上时(如图1)，请证明：BM +AN =MN ；(2)当点E在边BA的延长线上时(如图2)，请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在(1)的条件下，若AC=7，AE=2.1，请直接写出MB的长为．【答案】(1)证明见解析；(2)MB=MN+AN．证明见解析；(3)2.8．【详解】解：(1)证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，DM=DQ∠QDN=∠MDN DN=DN，∴△MND≌△QND(SAS)，∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；(2)：MB=MN+AN.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°= 60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，DN=DP∠MDP=∠MDN DM=DM，∴△MND≌△MPD(SAS)，∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；(3)如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，根据(1)△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，∠QND=∠MHN ∠AEN=∠GEH AN=GH，∴△ANE≌△GHE(AAS)，∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8。

专题22 对角互补模型(学生版)

专题22对角互补模型【模型1】90°的对角互补模型如图22-1，已知在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90BCD BAD ，AC 平分BCD ∠；过点A 做CB 的垂线，交CB 的延长线于E 点，过A 点做CD 的垂线交CD 于点F。

结合︒=∠=∠90BCD BAD 与AC 平分BCD ∠可证得AEC ∆≌AFC ∆⇒AEB ∆≌AFD ∆⇒AD AB =，AF AE DF BE ==,，结合勾股定理可得AC AE CE CD BC 2=+=+；又AEB ∆≌AFD∆∴AFDAEB S S ∆∆=∴()2222122AC AC AE S S AECF ABCD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===四边形四边形综上所述，可得：（1）AD AB =；（2）AC CD BC 2=+；（3）221AC S ABCD =四边形。

【模型2】120°的对角互补模型如图22-3，已知在四边形ABCD 中，︒=∠120BCD ，︒=∠60BAD ，AC 平分BCD ∠；【结论】（1）AD AB =；（2）AC CD BC =+；（3）243AC S ABCD =四边形。

（证法如模型1）【例1】如图，ABC 为等边三角形，以AB 为边向外作ABD △，使120ADB ∠=︒，再以点C 为旋转中心把CBD 旋转到CAE V ，则给出下列结论：①D ，A ，E 三点共线；②DC 平分BDA ∠；③E BAC ∠=∠；④DC DB DA =+．其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ 的面积为_______．【例3】（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：__________；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是边BC ，CD 所在直线上的点，且12EAF BAD ∠=∠．请画出图形（除图②外），并直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．1．已知：90,ABC ADC AD DC ∠=∠=︒=，求证：2BC AB BD +=．2．已知60,120,ABC ADC AB BC ∠=︒∠=︒=，求证：AD DC BD +=，234ABD BCD ABCD S S S BD =+=四边形．3．五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，求证：AD 平分∠CDE ．4．如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB 、AC 交于点E 、F ．（1）当DF ⊥AC 时，求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由5．回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF =BE +FD ，探究图中∠BAE 、∠FAD 、∠EAF 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ．连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°．E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF =BE +FD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，如图3所示，仍然满足EF =BE +FD ，请直接写出∠EAF 与∠DAB 的数量关系．6．感知：如图①，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒，90B ∠=︒．判断DB 与DC 的大小关系并证明．探究：如图②，AD 平分BAC ∠，180ABD ACD ∠+∠=︒，90ABD ∠<︒，DB 与DC 的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形ABDC 中，45B ∠=︒，135C ∠=︒，DB DC m ==，则AB 与AC 差是多少（用含m 的代数式表示）7．在MAN ∠内有一点D ，过点D 分别作DB AM ⊥，DC AN ⊥，垂足分别为B ，C ．且BD CD =，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若BED CFD Ð=Ð，请说明DE DF =；（2）如图2，若120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．8．如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，使AB 与AD 重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F ，D ，G 三点共线，易证△AFG ≌△AFE ，故EF ，BE ，DF 之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E ，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB ，DC 延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.9．探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴△GAF≌△________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．10．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D=180°，可延长CB 到E ，使BE=CD ，通过证明△AEB ≌△ACD ，从而可证AC 平分∠BCD ；想法二：通过AB=AD ，可将△ACD 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到△AEB ，可证C,B,E 三点在条直线上，从而可证AC 平分∠BCD ．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC 平分∠BCD ；②如图2，当∠BAD =90°，用等式表示线段AC ,BC ,CD 之间的数量关系，并证明.11．四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为．12．问题探究（（1）如图①，已知∠A =45°，∠ABC =30°，∠ADC =40°，则∠BCD 的大小为___________；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠ADC =90°，对角线BD =6．求四边形ABCD 的面积；小明这样来计算．延长DC ，使得CE =AD ，连接BE ，通过证明△ABD ≌△CBE ，从而可以计算四边形ABCD 的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD 的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD 是正在建设的城市花园，其中AB =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，DC =40米，AD =30米．请计算出对角线BD 的长度．13．问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，120ABC ∠=︒，60M BN ∠=︒，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，再证明BFC BFE △≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA BC =，180BAD BCD ∠+∠=︒，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．14．问题背景如图（1），在四边形ABCD 中，∠B+∠D ＝180°，AB ＝AD ，∠BAD ＝α，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且∠EAF 12=α，连接EF ，试探究：线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD2DE的长．。

对角互补模型例题

对角互补模型例题
对角互补模型是数学中一个重要的几何概念，它指的是在一个四边形中，如果一对对角的角度和为180度，则这个四边形可以被划分为两个三角形，并且这两个三角形的面积相等。

以下是一个对角互补模型的例题：
题目：已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=45°，BC=10，求四边形ABCD的面积。

分析：由于∠A=∠C=90°，∠B=45°，因此∠D=45°。

这意味着四边形ABCD 是一个等腰直角梯形，其中BC是上底，AD是下底。

由于∠A和∠C都是直角，所以四边形ABCD可以被划分为两个直角三角形。

解：根据对角互补模型，我们可以将四边形ABCD划分为两个三角形：△ABC 和△ADC。

由于∠A=∠C=90°，∠B=45°，因此△ABC是一个等腰直角三角形。

同样地，△ADC也是一个等腰直角三角形。

根据等腰直角三角形的性质，我们知道AC=BC=10。

因此，四边形ABCD的面积可以通过计算两个等腰直角三角形的面积来获得：面积= 0.5 ×AC ×BC + 0.5 ×AC ×DC = 0.5 ×10 ×10 + 0.5 ×
10 ×(10+10) = 50 + 50 = 100
所以，四边形ABCD的面积为100。

通过以上例子可以看出，对角互补模型可以有效地帮助我们解决关于几何形状的面积计算问题。

八年级数学下册梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理(解析版)

专题03梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。

[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。

模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB=ZAOC=90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值模型二:如图所示,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD取最大值四边形中对角互补模型对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一：含90°的全等型1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.图1图2图3模型二、：含60°与120°的全等型如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.梯形中位线定理（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

初中数学-暑假第8讲对角互补模型

初中数学·几何辅助线几何模型·三角形全等·专题复习——对角互补模型方法点拨：已知中有公共端点的两条线段相等，利用互补及平角可得另一对角相等，再通过添加辅助线得到全等的的三个条件解决问题。

例1、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．例2、已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD．例3、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°．求证：AE=（AB+AD）．例4、如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．ABP C判断PA、PB、PC的关系，并加以证明例6、如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，P是△ABC外一点，且∠BPC=60°，试判断PA、PB、PC的关系，并加以证明AB CP ABP C＋∠BPC=180°，试判断PA、PB、PC的关系，并加以证明（用含α的式子表示.例8、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，P是△ABC外一点，且∠BPC=135°，试判断PA、PB、PC的关系，并加以证明PCBAABPC＋∠BPC=180°，试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明（用含α的式子例10、已知：如图，在ABC △中，,AB AC BAC α=∠=（不大于90o），点P 为ABC△外一点，且o1902APC α∠=+，连接BP ．（1）当o60α=时，APC ∠= o ；,,PA PB PC 这三条线段满足的数量关系是；（2）如图2，当︒=90α时，探究,,PA PB PC 三条线段之间的数量关系，并证明；（3）用含α的式子表示,,PA PB PC 三条线段之间的数量关系，并证明．PCBA初中数学·几何辅助线几何模型·三角形全等·专题复习——对角互补模型（习题）1、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，求证：BC=CD；（2）如图2，若AB+AD=AC，求∠BCD的度数；（3）如图3，当∠BAD=120°时，请判断AB、AD与AC之间的数量关系？并加以证明．2、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2BE AB +=；。

初中数学几何-典型问题中的对角互补模型

初中数学几何-典型问题中的对角互补模型(总1页)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
2 初中数学几何-典型问题中的对角互补模型
一、等边三角形
1.已知：ABC ∆是等边三角形，12120∠+∠=︒，求证：1260∠=∠=︒.
2.已知：ABC ∆是等边三角形，160∠=︒，求证：260∠=︒.
3.已知：12BAC 60∠=∠=∠=︒，求证：ABC ∆是等边三角形.
4.已知：12360∠=∠=∠=︒，求证：ABC ∆是等边三角形.
二、等腰直角三角形（对直角型）
5.已知：ABC ∆是等腰直角三角形，1290∠+∠=︒，求证：1245∠=∠=︒.
6.已知：ABC ∆是等腰直角三角形，145∠=︒，求证：245∠=︒.
7.已知：1245∠=∠=︒，BAC 90∠=︒，求证：ABC ∆是等腰直角三角形.
8.已知：12345∠=∠=∠=︒，求证：ABC ∆是等腰直角三角形.
三、等腰直角三角形（对45︒角型）
9.已知：ABC ∆是等腰直角三角形，12135∠+∠=︒，求证：145∠=︒.
10.已知：ABC ∆是等腰直角三角形，145∠=︒，求证：290∠=︒.
11.已知：ABC ∆是等腰直角三角形，290∠=︒，求证：145∠=︒.
12.已知：145∠=︒，2BAC 90∠=∠=︒，求证：ABC ∆是等腰直角三角形.
13.已知：1345∠=∠=︒，290∠=︒，求证：ABC ∆是等腰直角三角形.。

对角互补专题

对角互补专题探究（一）基本图形：如图1，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，旋转∠FBE 得到∠HBI ，求证：△FBH ∽△EBI ;如图2，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，连接BD ，∠DBE =∠CBF ,若△BCD 为等边三角形，探究：线段DE 、DF 、BD 之间的数量关系________________________;如图3，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，连接BD ，∠DBE =∠CBF ,若BD ⊥DC ,∠DCB =30°探究：线段DE 、DF 、BD 之间的数量关系______________________;例1.已知直角梯形ABCD , AD ∥BC , ∠A =900, ∠EBF =∠C .(1)当AD :AB =1:3,∠C =600时，如图1所示，求证：DE +DF =BC ;(2).当AD :AB =1:1,∠C =450时，如图2所示，则线段DE 、DF 、BC 之间的数量关系_______________；(3).在(2)的条件，如图3所示，若AB =2时，3BM =MC ,连接AF 、FM ,若AF 与BE 交于点N ,当∠AFM =450时,求线段NF 的长度.图2图3 图1图1变式训练：1.已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ,AD =3AB ,∠A =900,∠C =600,DH ⊥BC 于H ,P 为BC 上一点，作∠EPF =600,此角的两边分别交AD 于E , 交CD 于F . (1).如图1，当点P 在点B 处时，求证：2 AE +CF =2CH ; (2).如图2，当点P 在点H 处时，线段 AE 、CF 、CH 的数量关系为____________________; (3).在（2）的条件下，连接FB 、EF ,FB 与FH 交于点K ,若AB =32,EF =21,求线段FK 的长度.2.已知平行四边形ABCD , ∠C=60°，点E 、F 分别为AD 、CD 上两点∠EBF =∠C . (1).如图1，当AB =BC 时，求证：CF +AE =BC ；(2).如图2，当AB=76BC 时，线段：CF 、AE 、BC 三者之间有何数量关系_______________;(3)在(2)的条件下如图3，若AB =6,连接EC 与BF 交于M ,当△BEM为等边三角形时，求线段FM 的长.图1图1 图3 图2 图2 图3例2.已知：△ABC 中，∠ACB =900, ∠B =300 ,点P 为边AB 上的一点, ∠EPF =900,PF 与边AC 交于点F ,PE 与边BC 交于点E . 设AP :PB =k(1)如图1，当k =31时，则： AF + _____ BE =21AB ;(2).如图2，当k =1时，线段AF 、BE 、AB 的数量关系为___________________;(3).在(2)的条件下，如图3，连接CP ,EF 交于点K ,将FP 沿着EF 对称，对称后与CP 交于点M ,连接ME ,若AC =3,当ME ∥FP 时，求tan ∠CEM 的值.图3图2图1变式训练：1.等边△ABC 中，BH 为AC 边上的高，点P 为AB 边中点，∠EPF =900,此角的两边与AC 边交于点F ,与高BH 交于点E .(1)如图1，求证: FH +3BE =21AB ;(2)如图2，则线段FH 、BE 、AB 之间满足的关系式为____________;(3)如图3，在(2)的条件下，连接EF ，直线EF 与BC 交于点N ，将FN 沿着FP 对称，对称后与AB 交于点M ,若AC =34,AM :BM =1:3,时，求BN 长度.图1图2对角互补专题探究（二）1.直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m 、n 上，且点A 在点B 的右侧.点P 在直线m 上，AP =AB ,连接BP ,以PB 为一边在PB 右侧作等边△BPC ，连接AC .过点P 作PD ⊥n 于点D . (1)当点P 在A 的右侧时（如图1），求证：BD =AC(2)当点P 在A 的左侧时（如图2），线段BD 与AC 之间的数量关系为_______________. (3)在(2)的条件下，设PD 交AB 于点N ，PC 交AB 于点M （如图3）.若△PBC 的面积为，求线段MN 的长.nmDCP B A图1nmCDP BA图2nmCDP BA 图32.如图，直线y = -33kx +4k (k ＞0)与x 轴交于B ,与y 轴交于D ,点O 与点C 是关于直线BD 对称，连接BC ,若AC =34. (1)求k 的值；(2)点P 为OB 的中点，动点E 从点B 出发，每秒1单位速度沿BH 向点H 运动，过点P 做PE 的垂线交AC 于点F ,当点F 与点O 重合时点E 停止运动. 设运动时间为t 秒，△PHF 面积为S ，写出S 与t 点函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．()连接PH ,是否存在t 值，使得tan ∠FPH =73，若存在请求t 值，若不存在，说明理由.对角互补专题探究（三）例1．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)，△AEP为直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过点E作EM∥BC交AF于点M．(1)若∠BAD=120°(如图1)，求证：BF+DE=EM；(2)若∠BAD=90°(如图2)，则线段BF、DE、EM的数量关系为_____________.(3)在(1)的条件下，若AD：BF=3：2，EM=7，求CE的长．变式训练：1.已知：矩形ABCD 中AD K AB=，点E 、F 分别在CD 、CB 上运动，且EAFa ?（角α为锐角）,过E 作EM ∥BC 交AF 于点M ,探究BF 、DE 、ME 之间的数量关系为_______________________________.(1) 当K =3，a =45°时，___________________________. (2) 当K =3，a =60°时，___________________________.(3) 当K =3，a =30°时，___________________________.2.如图：已知四过形ABCD 中AD K AB=、∠DAB =∠BCD =90°，点E 、F 分别在CD 、CB 上运动，且EAF a ? （角α为锐角）,过E 作EM ∥BC 交AF 于点M ，探究BF 、DE 、ME 之间的数量关系为_______________.BE对角互补专题探究（四）例2.已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠EAF=30°,过F作FM∥BC交AE于M . （1）当∠BAD=60°时(如图1所示)，求证︰BE+FD=FM；（2）当∠BAD=90°时(如图2所示)，则线段BE，DF,FM的数量关系为_______________；（3）在（1）的条件下(如图3所示)，连接DB交AE于点G，交AF于点K，交MF于点N，若BG:DK=3:5，FM=14时，KN的长.B图1F图2图3B D变式训练：1．已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠BAD=∠ADC，点F在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)（1）若∠BAD=90°(如图l)，AD=2AB，∠EAF=450，求证：DF+2BE=FG（2）若∠BAD=150°(如图2)，AB=AD, ∠EAF=300,则DF、BE、FG的数量关系为.（3）在（1）的条件下（如图3）DF=4AB=6,直线AF交直线BG于点H，求GH的长.2.已知：四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=kAD,∠BAD=∠ADC,点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），将AE绕点A顺时针旋转30°后与BC边交于点F，过点E作EM∥BC交AF于点M.（1）若k=1, ∠BAD=120°(如图1)，求证:DE+BF=12 ME.（2）若k=12, ∠BAD=90°(如图2)，则线段DE、BF、ME的数量关系为.（3）在（1）的条件下，若CE=2，AE=求ME的长.图3FF图1CB图2图2FE 图1F对角互补专题探究（五）例3.如图1，正方形ABCD中，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于Q，交边AB的延长线于N.（1）求证DP=MN;（2）若PC：PB=1:3，那么线段QE与QN的数量关系为______________________; （3）如图2，连接BD、MP，绕着点P旋转∠CPM，角的两边分别交边AB、AD于点H、K，交边CD于点R，当四边形DBQM的面积为24，MR：RC=1：2时，求.11 / 1212 / 12变式训练：1.已知：在正方形ABCD 中，P 为直线AD 上一点，连接BP ,以BP 为底边作等腰直角三角形△PBE ,连接AE .（1）如图1，当点P 在线段AD 上时，求证：AB +APAE ;（2）如图2, 当点P 在线段DA 的延长线上时，线段AB 、AP 、AE 的数量关系是（3）在（2）的条件下，过点A 作AF ∥PE ,AF 交BC 的延长线于F ,过点C 作∠DCF 的平分线，交AF 于点H ,若AB =4,四边形PBEA 的面积为5，求线段CH 的长.2.已知等边三角形ABC ，点D 为BC 的中点，∠NDM =120°两边分别交直线AC 、AB 分别于点M 、N .（1）如图1，求证：MC=21AB +BN ；（2）如图2，线段MC 、AB 、BN 的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将∠NDM 的两边DM 、DN 分别反向延长，交AB 、AC 的延长线分别于点E 、F ，连接EF 若BN =1，CM =2，求EF 的长.图1 图2 图3 B B 图1 图2。

对角互补模型+培优练习

对角互补+角平分线模型已知，四边形ABCD, ZB+ZD=180°, AC 平分二BCD结论二AB=AD结论二的证明有三种方法1四点共圆2双垂法3旋补法其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。

下面, 我介绍双垂法和旋补法。

方法一：双垂法证明：分别过A作CD和CB得垂线AM和AN二AC 平分二BCD ZAM=AN又二二B+二D=180。

二二ABN=CD二二ABN二二ADMZAB=AD方法二：旋补法证明：延长CD到E,作等腰二ACE匚AC=AE,匚AEC=二ACE=二ACB 又口二B+匚D=180。

□二B=CZADE匚二ABC二二ADE匚AB=AD其实匚二B一二D二180。

二AC 平分二BCD二AB=AD 只要给出其中任意俩个条件，必定能推出第三个, 大家可以自己用双垂法试试。

已知，四边形ABCD,匚B+二D=180。

，AC平分二BCD结论二BC+CD=2ACcose证明：过A作AF二CD由结论匚可知：二ACE为等腰三角形，且BC=DE二BC+CD=CE=2CF又二CF=ACcosBZBC+CD=2CF=2ACcos0已知，四边形ABCD, ZB+ZD=180°, AC 平分二BCD 结论二四边形ABCD的面积二等腰三角形ACE的面积=AC到nOcos。

•••黄会绿，把黄割补到绿的位置・•・四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积VACE 的面积=AF*CF(其中4.4F=ACsin0,CF=ACcos0)•••四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC2sinecose特别地，当二BCD=120。

时，BC+CD=2ACcos60°=AC 四边形ABCD而积=正三角形ACE面积特别地，当二BCD=90。

时，BC+CD=2ACcos45°= AC四边形ABCD而积=等腰直角三角形ACE而积对角互补专题探究（一）基本图形：如图1，在四边形FBDE中，：:石。

全等专题八--对角互补型导学案

全等专题八--对角互补型导学案（1）一、例题：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，求证：AD=DC.变式1：如图，BD平分∠ABC，AD=DC，求证：∠A+∠C=180°.变式2：如图，AD=DC，∠A+∠C=180°，求证：BD平分∠ABC收获与总结：如图，在四边形ABCD中，给出下面三个条件：（1）BD平分∠ABC，（2）∠A+∠C=180°，（3）AD=DC.任取两个为已知，余下的一个为结论，都可以证明是正确的。

（简说成知“二”推“一”）二、巩固练习：如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC边上的点，且∠EDF+∠BAC=180°，求证：DE=DF.变式1：如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE=DF,求证：∠EDF+∠BAC=180°变式2：如图，E、F分别是AB、AC边上的点,∠EDF+∠BAC=180°,且DE=DF,求证：AD是△ABC中∠BAC的角平分线.全等专题八--对角互补型导学案（2）一、例题：.已知,点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B、D两点，且∠BCD+∠MAN=180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E.（1）当点E在线段AB上时，求证：AD+AB =2AE. 思考当点E在线段AB的延长线上时，上述结论还成立吗?（2）当点E在线段AB上时，求证：AE =AD+BE.（3）当点E在线段AB的延长线上时，求证：AD-AB=2BE.二、作业：如图，在平面直角坐标系中，∠ABC=90°，AB=CB，AO+CO=10，点B的纵坐标是5，四边形OABC 的面积是多少？。

对角互补模型(解析版)

对角互补模型基本模型：例题精讲1(基本模型)在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF= 120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是；(2)当点E在线段AB上时，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，BF=8,BE=2，请直接写出BC的长．【答案】(1)DE=DF；(2)DE=DF，理由见解析；(3)4【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，D点为AC的中点∴∠DBC=30゜∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜-∠DBC-∠EDF=30゜∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案为：DE=DF(2)仍有DE=DF；理由如下：过点D作DG∥BC交AB于点G，如图2所示则∠AGD=∠ABC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等边三角形∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD∴∠DGE =∠GDC =120゜∴∠EDF =∠GDC =120゜∵∠GDE +∠EDC =∠EDC +∠CDF∴∠GDE =∠CDF∵D 点是AC 的中点∴AD =DC =GD∵∠ACB =60゜∴∠DCF =120゜∴∠DGE =∠DCF在△DGE 和△DCF 中，∠DGE =∠DCFGD =DC∠GDE =∠CDF∴△DGE ≌△DCF (ASA )∴DE =DF(3)过点D 作DG∥BC 交AB 于点G ，如图3所示与(2)同理有：△DGE ≌△DCF∴GE =CF设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ∴GE =12a +2由GE =CF ，得：12a +2=8-a 解得：a =42(基本模型2)已知：如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 的中点，∠DOE =120°，∠DOE 绕着点O 旋转，角的两边与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ．(1)若OD ，OE 都在BC 的上方，如图1，求证：OD =OE ．(2)在图1中，BD ，CE 与BC 的数量关系是．(3)若点D 在AB 的延长线上，点E 在线段AC 上，如图2，直接写出BD ，CE 与BC 的数量关系是．【答案】(1)见解析；(2)2CE +BD =BC ；(3)2(CE -BD )=BC【解析】(1)证明：取AB 的中点F ，连接OF ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ,∠ABC =∠ACB =60°，∵点O 与点F 分别是BC 与AB 的中点，∴BF =BO =OC ，∴△BOF 是等边三角形，∴OF =OB =OC ，∠OFD =∠OCE =∠BOF =60°，∴∠COF =120°=∠DOE ，∴∠DOF =∠EOC ，∵在△DOF 和△EOC 中，∠OFD =∠OCEOF =OC ∠DOF =∠EOC，∴△DOF ≅△EOC (ASA )，∴OD =OE ．(2)解：结论：2CE +BD =BC ．理由：∵△DOF ≌△EOC ，∴DF =EC ，∴BD +EC =BD +DF =BF ，∵△BOF 是等边三角形，∴OB =BF ，∵BC =2OB ，∴2CE +BD =BC ．故答案为：2CE +BD =BC ；(3)结论：2(CE -BD )=BC ．理由如图2中，取AB 的中点F ，连接OF ．同(1)中的方法可证△BOF 是等边三角形，△DOF ≌△EOC ，∴DF =CE ，∴EC -BD =DF -BD =BF =OB ，∵BC =2OB ，∴2(CE -BD )=BC3(培优综合)如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，且与点B ，C 不重合，连接AD ．作以∠FAD 为直角的等腰直角△ADF ．(1)若AB =AC ，∠BAC =90°①当点D 在线段BC 上时，试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)若AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，点D 在线段BC ．上，且CF ⊥BD 时，如图3，试求∠BCA的度数．【答案】(1)①CF=BD，CF⊥BD；②存在，详见解析(2)45°【解析】(1)①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：如图2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；(2)如图，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵CF⊥BD∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∠ACF=∠AEC ∠CAF=∠EAD AF=AD，∴△ACF≌△AED(AAS)，∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°1问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为；位置关系为．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由见解析【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠DCB=90°，又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90°，∴∠CAE+∠CBD=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案为：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：设CE与BD相交于点G，如图1所示：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠CBD+∠CGB=90°，∴∠AEC+∠EGF=90°，∴∠AFB=90°，∴BD⊥AE，即AE=BD，AE⊥BD依然成立．2已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【答案】(1)64°；(2)S△BDC=S△ACE，理由见解析【详解】(1)解：∵△ABC≌△DEC，∴CA=CD，又∵∠ACB=90°，∠B=32°，∴∠A=∠ADC=90°-32°=58°，∴在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-2×58°=64°，故答案为：64°．(2)解：如下图所示：过点B作△BDC的边CD上的高BG，过点E作△ACE的边AC上的高，由作图及△ABC≌△DEC知：∠BCG+∠DCF=90°，∠ECF+∠DCF=90°，CD=AC，∴∠BCG=∠ECF(同角的余角相等)，∴在Rt△BCG与Rt△ECF中有：∠BCG=∠ECF∠BGC=∠EFC=90°BC=EC∴Rt△BCG≌Rt△ECF(AAS)，∴BG=EF，∵S△BDC=12CD⋅BG，S△ACE=12AC⋅EF，∵CD=AC ，BG=EF，∴S△BDC=S△ACE，故答案为：S△BDC=S△ACE．3在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸【答案】(1)AB⊥BE，AB=BD+BE；(2)见解析；(3)72或8．【解析】(1)如图1中，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB=BD+BE．(2)①如图2中，结论：BE=AB+BD．理由：连接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如图3中，结论：BD=AB+BE．理由：连接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE，∵BD=AB+AD，AD=BE，∴BD=AB+BE．(3)如图2中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD+AB=8+4=12，∵BE⊥AD，∴S△ADE=12•AD•EB=12×12×12=72．如图3中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD-AB=8-4=4，∵BE⊥AD，∴S△ADE=12•AD•EB=12×4×4=8．4在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN= 60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【答案】(1)BM+NC=MN；(2)成立，MN=BM+NC；(3)NC-BM=MN，见解析【解析】(1)解：BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，DM=DN DB=DC，∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN，故答案为：BM+NC=MN；(2)猜想：结论仍然成立．证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1(SAS)，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN(SAS)，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC；(3)NC-BM=MN，理由如下：证明：在CN上截取CM1=BM，连接MN，DM1由(2)得，△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN(SAS)，∴MN=M1N，∴NC-BM=MN．课后训练1在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=4，且E为边BC的中点，连接AE，以AE为边向上作等边三角形ADE，连接BD，则BD的长为．【答案】6【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即CF=BC=4，∵在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=4，∴∠ABC=60°，AB=2BC，∴△ABF是等边三角形，∴AF=AB，∠FAB=60°，又∵在等边三角形ADE中，AE=AD，∠EAD=60°，∴∠FAE=∠BAD，∴△FAE≅△BAD(SAS)，∴EF=BD，又∵BC=4，E为边BC的中点，∴EC=1BC=2，2∴EF=EC+CF=2+4=6，∴BD=EF=6．故答案为6．2如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF=45°，如果BE=1，DF=7，则EF=__．【答案】6【详解】解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G，由旋转的性质可知，AG =AE ，DG =BE ，∠DAG =∠BAE ，∵∠EAF =45°，∴∠DAG +∠BAF =45°，又∵∠BAD =90°，∴∠GAF =45°，在△AEF 和△AGF 中，AE =AG∠EAF =∠GAF AF =AF，∴△AEF ≌△AGF (SAS )∴EF =GF ，∵BE =1，DF =7，∴EF =GF =DF -DG =DF -BE =7-1=6.故答案为：6．3已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB =BC ，∠ABC =120°，∠MBN =60°，将∠MBN 绕点B旋转．(1)当∠MBN 旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN 的两边分别交AD ，DC 于E ，F ，且AE =CF ，求证：①BE =BF ②AE +CF =EF ；(2)当∠MBN 旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN 的两边分别交AD ，DC 于E ，F ，且AE ≠CF 时，小颖猜想1 中的AE +CF =EF 仍然成立，并尝试作出了延长DC 至点K ，使CK =AE ，连接BK ，请你证明小颖的猜想；(3)当∠MBN 旋转到(如图1)的位置，此时∠MBN 的两边分别交AD ，DC 于E ，F ，猜想线段AE 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE-CF=EF，见解析【解析】(1)证明：①在△ABE和△CBF中，AB=BC∠A=∠BCFAE=CF，∴△ABE≌△CBF SAS．∴BE=BF；②由①知△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF=12∠ABC-∠MBN=12120°-60°=30°．∴AE=12BE，CF=12BF，∴△BEF是等边三角形．∴BE=BF=EF．∴AE+CF=12BE+12BF=EF；(2)解：延长DC至K点使得CK=AE，如图．在△ABE和△CBK.中，BK=BE∠KBF=∠EBFBF=BF∴△ABE≌△CBK SAS．∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°，∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．在△EBF和△KBF中，BK=BE∠KBF=∠EBFBF=BF，∴△EBF≌△KBF SAS．∴EF=KF．∴EF=CK+CF．∴AE+CF=EF；(3)解：如图3，猜想AE-CF=EF．证明如下：在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK．在△ABE和△CBK中，∴△ABE≌△CBK SAS．∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°．∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．4如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD=CE，BD⊥CE，证明见解析(2)BD=CE，BD⊥CE，证明见解析【详解】(1)证明：延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠DABAC=AB∴△EAC≌△DAB(SAS)，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠AEC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠AEC=90°，∴∠BFE=90°，即EC⊥BD，∴BD=CE，BD⊥CE．，(2)证明：延长BD交CE于F∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，∴∠BAD=∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠BADAC=AB∴△EAC≌△DAB(SAS)，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BFC=90°，即EC⊥BD，∴BD=CE，BD⊥CE ．5已知：在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD=CD．(1)如图1，∠BAC的度数为度．(2)如图2，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF，连接DE、DF，求证：∠AED+∠AFD=180°；(3)如图3，在(2)的条件下，AD交EF于点G，过点C作CH⊥EF于点H，连接DH，点N在CH延长线上，连接GN、AN，若GN∥DH∥AB，判断线段AN与EG的数量和位置关系，并证明你的结论．【答案】(1)90(2)见解析(3)AN=EG，AN∥EG；【详解】(1)∵AD=BD=CD，AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD=∠B=∠C=45°∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，故答案为：90；(2)∵AD⊥BC，AD=BD=CD∴∠B=∠1=45°，∠C=∠2=45°∴∠1=∠C∵AE=CF∴△AED≅△CFD∴∠3=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠3+∠4=180°即∠AED+∠AFD=180°(3)连接GC，DH、GN与AC分别交于L、K，过H作HM⊥BC于M，HP⊥AD于P，∵∠BAC=90°，GN∥DH∥AB∴∠BAC=∠NKC=∠HLC=90°∵AD=BD=CD∴∠ADH=∠CDH=45°∴HP=HM∵CH⊥EF，AD⊥BC∴∠ADC=∠GHC=90°，∠PHG=∠CHM=90°-∠GHM∴△PHG≅△MHC ASA∴HG=HC∵∠NGH=∠ACH=90°-∠GNH∴△CHF≅△GHN ASA∴CF=GN∵AE=CF∴AE=GN∵GN∥AE∴四边形AEGN是平行四边形∴∠EAG=∠NGA∴△AEG≅△GAN SAS∴AN=EG，∠AGE=∠GAN∴AN∥EG∴AN=EG，AN∥EG6(1)如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF=BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：．(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF= BE+FD，请问：(1)中结论是否成立？若成立，请证明结论．(3)若(2)中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上(如图3所示)，其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．①∠EAF=∠BAD；②2∠EAF+∠BAD=360°．【答案】(1)∠EAF=∠FAD+∠BAE；(2)∠EAF=∠FAD+∠BAE，理由见解析；(3)②正确【详解】解：(1)∠EAF=∠FAD+∠BAE，理由如下：如图1，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，则BF =DF，AF=AF ，∠BAF =∠DAF，∠ABF =∠D，在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴∠ABF +∠ABC=180°，∴点F ,B,E三点共线，∵EF=BE+DF，∴EF=BE+BF =EF ，∵AE=AE，∴△AEF ≅△AEF，∴∠EAF =∠EAF，∴∠EAF=∠BAF +∠BAE=∠FAD+∠BAE；(2)∠EAF=∠FAD+∠BAE，理由如下：如图2，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABG，则BG=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠D，∵∠B+∠D=180°，∴∠ABG+∠ABC=180°，∴点G,B,E三点共线，∵EF=BE+DF，∴EF=BE+BG=EG，∵AE=AE，∴△AEG≅△AEF，∴∠EAG=∠EAF，∴∠EAF=∠BAG+∠BAE=∠FAD+∠BAE；(3)在DC的延长线上取一点H，使DH=BE，连接AH，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，∵AB=AD，∴△ADH≅△ABE SAS，∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DH+FD=FH，∵AF=AF，∴△AEF≅△AHF SSS，∴∠FAE=∠FAH，∵∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，∴2∠FAE+(∠HAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠HAB+∠DAH)=360°，即2∠FAE+∠BAD=360°，故②正确．7已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAC=∠BDC=α．(1)【特例体验】如图1，AB=BC，α=60°，则∠ADB的度数为；(2)【类比探究】如图2，AB=BC，求证：∠ADB=∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α=60°，∠ACB+∠BCD=180°，CE⊥BD于点E，AC=kDE，直接写出CDAB的值(用k的代数式表示)．【答案】(1)60°(2)证明见解析；(3)2k+2．=CD，如图1所示：【详解】(1)解：在BD上取点E，使BE∵AB=BC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠ABE=∠ACDBE=CD∴△ABE≅△ACD(SAS)，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADB=60°；故答案为：60°；=BH，如图2所示：(2)证明：在DC的延长线上取一点H，使BD∴∠BDH=∠H=α，∵∠BAC=∠BDC=α，∠AOB=∠COD，∴∠ABD=∠ACD，∵AB=BC，∠BAC=∠BDC=α，∴∠ACB=∠BAC=α，又∵∠BCD=∠ACD+α=α+∠CBH，即∠ACD+α=α+∠CBH，∴∠ACD=∠CBH=∠ABD，在△ABD和△CDH中，AB=BC∠ABD=∠CBHBH=BD∴△ABD=△CBH(SAS)，∴∠ADB=∠H=α，∴∠ADB=∠BDC；(3)解：延长DC至H，使CH=AC，连接BH，如图3所示：图3∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，∵AC=CH，BC=BC，∴△ABC≌△HBC(SAS)，∴AB=BH，∠H=∠BAC=∠BDC=60°，∵CE⊥BD，∴∠ECD=30°，∴CD=2ED，设ED=m，则CD=2m，∵AC=kED=km∴CH=km，∴DH=2m+km，又∵∠BDH=∠H=60°，∴△BDH为等边三角形，∴DH=BH=AB=km+2m，∴CD AB =2mkm+2m=2k+2．8如图1，等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接AP交BD于E点，连EC．(1)求证：AP =BD ；(2)求证：EC 平分∠BEP ；(3)设AE =a ，DE =b ，CE =c ，若BP =4CP ，直接写出a ，b ，c 之间满足的数量关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)a -3b =2c【详解】(1)证明：∵等边△ABC 与等边△DCP 的顶点B ，C ，P 三点在一条直线上，∴∠ACB =∠DCP =60°，∠BCP =180°，∴∠ACD =180°-∠DCP -∠ACB =60°，∴∠BCD =∠BCA +∠ACD =120°，∠ACP =∠DCP +∠ACD =120°，∴∠BCD =∠ACP ，∵等边△ABC ，等边△DCP ，∴BC =AC ，DC =PC ，在△BCD 与△ACP 中，∵BC =AC∠BCD =∠ACP CD =CP，∴△BCD ≌△ACP SAS ，∴AP =BD ．(2)证明：如图1，过点C 作CM ⊥BD 交BD 于点M ，过点C 作CN ⊥AP 交AP 于点N ，∵(1)中已证△BCD ≌△ACP ，又∵CM ⊥BD ，CN ⊥AP ，∴CM =CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AP ，∴EC 平分∠BEP．(3)a -3b =2c ，理由如下：如图2，过点C 作CM ⊥BD 交BD 于点M ，过点C 作CN ⊥AP 交AP 于点N ，在EB 上截取一点F ，使得AE =EF ，在EP 上截取一点G ，使得ED =EG ，连接AF ，DG ，∵△BCD ≌△ACP ，∴∠BDC =∠APC ，∵∠DBC +∠BDC =∠DCP ，又∵等边△DCP ，∴∠DCP =60°，∴∠DBC +∠BDC =60°，∵∠BDC =∠APC ，∴∠DBC +∠APC =60°，即∠AEB =60°，∵AE =EF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠FAE =60°，AF =AE ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，BA =CA ，∴∠BAC -∠FAC =∠FAE -∠FAC ，即∠BAF =∠CAE ，在△BAF 与△CAE 中，∵BA =CA∠BAF =∠CAE AF =AE，∴△BAF ≌△CAE SAS ，∴BF =CE ．∵AE =EF =a ，CE =c ，∴BE =BF +EF =CE +AE =c +a ，同法可证，EP =EG +GP =ED +CE =b +c ，∵BP =4CP ，∴BC =3CP ．∵CM ⊥BD ，CN ⊥AP ，∴S △BEC S △ECP =12×BE ×CM 12×PE ×CN =BC CP=3，∵(2)中已证CM =CN ，∴BE PE=3，∴c +a =3b +c ，即a -3b =2c ．9四边形ABCD 是由等边ΔABC 和顶角为120°的等腰ΔABD 排成，将一个60°角顶点放在D 处，将60°角绕D 点旋转，该60°交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．(1)当E 、F 都在线段AB 上时(如图1)，请证明：BM +AN =MN ；(2)当点E在边BA的延长线上时(如图2)，请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在(1)的条件下，若AC=7，AE=2.1，请直接写出MB的长为．【答案】(1)证明见解析；(2)MB=MN+AN．证明见解析；(3)2.8．【详解】解：(1)证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，DM=DQ∠QDN=∠MDN DN=DN，∴△MND≌△QND(SAS)，∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；(2)：MB=MN+AN.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°= 60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，DN=DP∠MDP=∠MDN DM=DM，∴△MND≌△MPD(SAS)，∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；(3)如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，根据(1)△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，∠QND=∠MHN ∠AEN=∠GEH AN=GH，∴△ANE≌△GHE(AAS)，∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8。

专题对角互补模型综合应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题05 对角互补模型综合应用（知识解读）【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。

主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。

解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.【方法技巧】类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1 作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D 时，则有以下结论：作法1 作法2；；类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1 作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D 时，则有以下结论：作法1 作法2；；【典例分析】【类型一：含90°的对角互补模型】【典例1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④【变式1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【变式1-3】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．【变式1-4】问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【类型二：含120°的对角互补模型】【典例2】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【变式2-1】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN 的周长是．【变式2-2】【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．专题05 对角互补模型综合应用（知识解读）【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。

数学全等专题八--对角互补型导学案

全等专题八--对角互补型导学案（1）一、例题：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，求证：AD=DC.变式1：如图，BD平分∠ABC，AD=DC，求证：∠A+∠C=180°.变式2：如图，AD=DC，∠A+∠C=180°，求证：BD平分∠ABC收获与总结：如图，在四边形ABCD中，给出下面三个条件：（1）BD平分∠ABC，（2）∠A+∠C=180°，（3）AD=DC.任取两个为已知，余下的一个为结论，都可以证明是正确的。

（简说成知“二”推“一”）二、巩固练习：如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC边上的点，且∠EDF+∠BAC=180°，求证：DE=DF.变式1：如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE=DF,求证：∠EDF+∠BAC=180°变式2：如图，E、F分别是AB、AC边上的点,∠EDF+∠BAC=180°,且DE=DF,求证：AD是△ABC中∠BAC的角平分线.全等专题八--对角互补型导学案（2）一、例题：.已知,点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B、D两点，且∠BCD+∠MAN=180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E.（1）当点E在线段AB上时，求证：AD+AB =2AE. 思考当点E在线段AB的延长线上时，上述结论还成立吗?（2）当点E在线段AB上时，求证：AE =AD+BE.（3）当点E在线段AB的延长线上时，求证：AD-AB=2BE.二、作业：如图，在平面直角坐标系中，∠ABC=90°，AB=CB，AO+CO=10，点B的纵坐标是5，四边形OABC的面积是多少？资料交流微信群加。

中考补充专题11.对角互补模型

专题11.“对角互补模型”一．知识点:1.如图，已知∠AO B +∠DCE ＝180°，且点C 在∠AOB 的平分线上．结论：①CD ＝CE ；②∠AO B ＝90°时，OD +OE ＝2O C ； ③∠AO B ＝90°时，OD +OE ＝O C ．2. 如图，已知∠AO B +∠DCE ＝180°．结论：CE ＝CD ·tan ∠CGP3. 已知∠B AC ＝∠B DC ＝90°，AB ＝AC ．结论：B D +CD ＝2AD拓展：已知∠A BC ＝60°，∠ADC ＝120°，AB ＝,BC 结论：A D +DC ＝BD, S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD ＝43BD 2二．典型例题1.如图，AC 平分∠BAD ，∠B +∠D ＝180°，CE ⊥AD 于点E ，AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，求DE 的长．2.如图在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，点P 是线段AC 的中点，点M 为线段AB 延长线上一点，点N 为线段BC 延长线上一点，且∠MPN ＝90°，求证：＝33．3.已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在射线BA上，∠EDF ＝120°．（1）如图1，若点F与B点重合，求证：DB＝DE；（2）如图2，若点E在线段BC上，点F在线段BA 上，求的值；（3）如图3，若AF+CE＝BD，直接写出∠EDC 的度数为．三．变式练习1.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O点的两直线OE、OF互相垂直，分别交AB、BC于E、F，连接EF，若AE＝4，CF＝3，求EF 的长．3.如图，在等边△ABC，点O为三个内角平分线的交点，∠EOF＝120°，交边BC、AC于E、F，求证：OE＝OF；4.（1）【探究发现】如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O 旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是．（2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，∠BOD＝120°，OD ＝，OB＝4，OA 平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．5．如图，点D是等边△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D 上，三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点．（1）当EF∥BC时，如图①，证明：EF＝BE+CF；（2）当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时，线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；（3）当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时，（1）中的结论是否发生变化？如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）根据△ABC是等边三角形知道AB ＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，而DB＝DC，∠BDC ＝120°，这样可以得到△DCF和△BED 是直角三角形，由于EF∥BC，可以证明△AEF是等边三角形，也可以证明△BDE≌△CDF，可以得到DE＝DF，由此进一步得到DE＝DF∠BDE＝∠CDF＝30°，这样可以得到BE ＝DE ＝DF＝CF，而△DEF是等边三角形，所以题目的结论就可以证明出来了；（2）结论仍然成立．如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′＝CF，连接DF′，根据（1）的结论可以证明△DCF≌△DBF′，根据全等三角形的性质可以得到DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF，又∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，可以得到：∠EDF′＝∠CDF＝60°，由此可以证明△EDF′≌△EDF，从而证明题目的结论．（3）结论发生变化．EF＝BE﹣CF．【解答】解：如图，点D是等边△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，角的两边分别为DP、DQ（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∵DB＝DC，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°．∴∠DBE＝∠DBC+∠ABC＝90°，∠DCF＝∠DCB+∠ACB＝90°，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°．∴AE＝AF．∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AF＝CF．又∵DB＝DC，∠DBE＝∠DCF，∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF∠BDE＝∠CDF＝30°．∴BE＝DE＝DF＝CF．∵∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形．即DE＝DF＝EF．∴BE+CF＝DE+DF＝EF．（2）结论仍然成立．证明：如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′＝CF，连接DF′．由（1）得，∠DBE＝∠DCF＝90°则∠DBF′＝∠DCF＝90°，又∵BD＝CD，∴△DCF≌△DBF′（SAS）∴DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF，又∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°∴∠EDB+∠CDF＝60°∴∠EDB+∠BDF′＝∠EDF′＝∠CDF＝60°，又DE＝DE，∴△EDF′≌△EDF（SAS）．∴EF＝EF′＝BE+BF′＝BE+CF．（3）结论发生变化．EF＝CF﹣BE．。

人教版八年级数学下册期末专题复习 对角互补专题 (无答案)

对角互补模型

中考数学常见几何模型专题04 对角互补模型(从全等到相似)(解析版)

八年级数学几何压轴题对角互补专题探究及变式训练汇总

对角互补型问题复习

专题训练-- 对角互补模型

对角互补模型(解析版)--初中数学专题训练

专题22 对角互补模型(学生版)

对角互补模型例题

八年级数学下册 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理(解析版)

初中数学-暑假第8讲对角互补模型

初中数学几何-典型问题中的对角互补模型

对角互补专题

对角互补模型+培优练习

全等专题八--对角互补型导学案

对角互补模型(解析版)

专题 对角互补模型综合应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

数学全等专题八--对角互补型导学案

中考补充专题11.对角互补模型

人教版八年级数学下册期末专题复习对角互补专题 (无答案)

八年级数学下册梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理(解析版)

专题对角互补模型综合应用(知识解读)-中考数学(全国通用)