8讲义(弦上波)

弦线上波的传播规律
实验介绍：
波动的研究几乎出现在物理学的每一领域中。

如果在空间某处发生的扰动，以一定的速度由近及远向四处传播，则这种传播着的扰动称为波。

机械扰动在介质内的传播形成机械波，电磁扰动在真空或介质内的传播形成电磁波。

不同性质的扰动的传播机制虽然不相同，但由此形成的波却具有共同的规律性。

本试验利用弦线上驻波实验仪，通过弦线上驻波的观察与测量，研究弦线上横波的传播规律。

各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器等，都是由于产生驻波而发声的。

为得到最强的驻波，弦或管内空气柱的长度必须等于半波长的整数倍。

实验目的：
1、观察弦振动及驻波的形成；
2、在振动源频率不变时，用实验确定驻波波长与张力的关系；
3、在弦线张力不变时，用实验确定驻波波长与振动频率的关系；
4、定量测定某一恒定波源的振动频率；
5、学习用对数作图法处理数据。

实验仪器：
弦线上驻波实验仪（FD-FEW-II型）及其附件，包括：可调频率的数显机械振动源、平台、固定滑轮、可动刀口、可动卡口、米尺、弦线、砝码等；分析天平，卷尺。

图1 弦线上驻波实验仪示意图
1、可调频率数显机械振动源；
2、振动簧片；
3、金属丝弦线；
4、可动刀口支架；
5、可动卡口支架；
6、标尺；
7、固定滑轮；
8、砝码与砝码盘；
9、变压器;
10、实验平台；11、实验桌
实验原理：
1、弦线上横波传播规律
在一根拉紧的弦线上，其中张力为T ，线密度为μ，则沿弦线传播的横波应满足下述运动方程：
2222
y T y
t x
μ∂∂=∂∂ ⑴ 式中x 为波在传播方向（与弦线平行）的位置坐标，y 为振动位移。

将(1)式与
典型的波动方程22
222y y v t x
∂∂=∂∂ 相比较，即可得到波的传播速度：
v =
⑵
若波源的振动频率为f ，横波波长为λ；由运动学知识知，f v λ、与关系为：
v f λ= ⑶
比较式⑵和式⑶可得：
λ=
⑷
为了用实验证明公式⑷成立，将该式两边取对数，得：
11
lg lg lg lg 22
T f λμ=-- ⑸
若固定频率f 及线密度μ不变，而改变张力T ，并测出各相应波长λ，作
lg lg T λ- 图，若得一直线，计算其斜率，如为12，则证明了12
T
λ∝的关系成立；
同理，固定线密度μ及张力T 不变，改变波源振动频率f ，测出各对应波长λ，作
lg lg f λ-图，如得一斜率为1-的直线，就验证了：1f λ-∝的关系。

将公式⑷变形，可得：
f =
⑹
实验中测出λ、T 、μ的值，利用公式（6）可以定量计算出f 的值；若计算值和
试验值相吻合，也可以定量地证明了式⑷成立。

2、驻波原理
当两列振幅和频率相同的相干波在同一直线相向传播时，合成的波是一种波形不随时间变化的波，称为驻波。

我们可以在一根张紧的弦弦上观察到驻波，如图1示，将弦线一端系在震动簧片上，弦线的另一端系一定质量的砝码，调节可动卡口⑤位置适中，就会在弦线上出现波幅、波节明显而稳定的驻波。

取x 轴沿弦线向右，并将波源取为坐标原点，波源传出的入射波沿x 正向传播，入射波在⑤处受阻，产生半波损失并反射回来。

入射波可表示为：
1cos 2()x
y A vt πλ
=-
反射波表示为：2cos 2()x
y A vt πλ
=+
则合成波为：122(2cos
)cos 2x
y y y A vt ππλ
=+=
上式中，22cos x
A πλ
为驻波的振幅，是x 的函数：
⑴ 当2cos 1x
πλ
= ⇒ 24
x k
λ
=±，k=0,1,2,……，振幅最大，为波幅处；
⑵ 当2cos
0x
πλ
= ⇒ (21)
4
x k λ
=±+，k=0,1,2,……，振幅为零，为波节处。

相邻两波幅或相邻波节的距离都是半波长2
λ。

3、λ、T 、μ、f 值的测量
⑴实验时，调节可动卡口⑤位置，使弦线上出现稳定的驻波，将指示刀口④放至某一波节的正下方，设④、⑤间的间距为L ，半波个数为n ，则波长：
2L
n
λ= ⑺
⑵此时，跨过定滑轮的弦线所悬挂的砝码和砝码钩的总质量若为m ，则弦线所受的张力为：T mg =。

⑶设弦线的长为l ，质量为M ，则弦线的线密度（单位长度的质量）为：M l
μ=。

⑷波源的振动频率f ，可以从仪器上直接读出，也可以通过公式⑹计算出。

实验内容及要求：
1、验证横波的波长λ与弦线中的张力T 的关系（f 不变）
固定波源振动的频率，在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力。

每改变一次张力(即增加一次砝码)，均要左右移动可动卡口⑤的位置，使弦线出现振幅较大而稳定的驻波。

用实验平台⑩上的标尺⑥测量L 值，数出对应的半波数，即可根据式(7)算出波长λ（张力T 改变5次，每一张力T 下测2次λ，求其平均值）；列表记录和处理数据，计算出T λ-，lg lg T λ-的一一对应关系；在二维直角坐标纸上用描点法作出lg lg T λ-直线图，由图求出直线的斜率；分析实验所得~T λ间关系及其误差。

波源的频率可固定在80~120Hz 之间的某一个值上；为了使lg lg T λ-直线图上的点分布比较均匀些，砝码钩上依次增加砝码的量采取非等间距递增。

2、验证横波的波长λ与波源振动频率f 的关系（T 不变）
在砝码盘上放上一定质量的砝码，以固定弦线上所受的张力T ，改变波源振动的频率，用驻波法测量各相应的波长λ（f 改变5次，每一f 下测2次λ，求平均值）。

作lg lg f λ-图，求其斜率；分析实验所得~f λ间关系及其误差。

波源振动频率的调节范围可控制在60~160Hz ，为了使lg lg f λ-直线图上的点分布均匀一些，波源频率依次增加的量采取非等间距递增。

3、测定波源的振动频率 f
用卷尺、分析天平测弦线的线密度μ。

固定波源振动的频率为0f 不变，在砝码盘上依次添加砝码（5次），以改变弦上的张力，测每一张力下的稳定驻波的波长(2次，求其平均值)。

利用公式（6）算出f ，将计算结果和实验时仪器所显示的频率比较，分析两者的误差及误差来源。

实验时须注意的问题：
1、注意安全用电。

2、振动仪的振幅要适当，不必过大；须在弦线上出现振幅较大且稳定的驻波时，
再测量驻波波长，并从波点开始测量。

3、弦线所受的张力是砝码与砝码钩的总重量，砝码和砝码钩的的质量均已标出。

4、实验时，发现波源发生机械共振时，应减小振幅或改变波源频率，便于调节出振幅大且稳定的驻波。

5、使用分析天平时要严格按照要求进行操作：先调底座水平，再调衡量水平；取放物品和砝码时必须使衡量制动，动作要轻，要从侧门进行，且随开随关；取放小片码时要夹牢，谨防掉落、丢失；注意保持分析天平的清洁。

实验原始数据纪录与处理：
1、验证λ 与T的关系（f＝Hz）
m为砝码和砝码钩的总质量，L为产生驻波的弦线长度，n为在L长度内的半波个数。

λ-图，由图求出其斜率为。

(附上图)
根据以上数据作lg lg T
2、验证λ与f的关系
砝码加挂钩的总质量m＝Kｇ；张力T＝mg＝N（2
=）
9.8/
g m s
λ-图，由图求出其斜率为。

(附上图)
根据以上数据作lg lg f
3、测定波源的振动频率 f （仪器上显示频率f 0 ＝ Hz ） （实验数据测量及记录参考表1 ）
-1
求f 与 f 0 间的相对误差：E = 00
100%f f f -⨯ ＝ 。

4、实验结果分析：
（1）实验结果1、2表明：lg λ- lg T 的斜率非常接近0.5；lg λ-lg f 的斜率接近-1，验证了弦线上横波的传播规律，即横波的波长λ与弦线张力 T 的平方根成正比，与波源的振动频率 f 成反比。

（２）实验结果3表明：用驻波法可以测出波源的振动频率，测得值（f ＝ Hz ）接近于仪器显示的振动波源频率（f 0 ＝ Hz ）。

（３）实验误差来源分析：
实验结果1、2、3与理论值相比均有差别，产生误差的来源主要有以下几点： ⅰ）……； ⅱ）……； ⅲ）……； …… ……
思考题：
1、实验中可能存在哪些误差？弦线的粗细和弹性对实验各有什么影响，应如何选择？
2、测L 时，驻波的个数n 是多一些好还是少一些好？为什么？
3、测量半波长时，为什么不测驻波波腹间的距离，而测波节之间的距离？ ４、为了使 lg λ - lgT 直线图上的数据点分布比较均匀，砝码盘中砝码质量应如何改变？
５、为了使 lg λ - lg f 直线图上的数据点分布比较均匀，波源的振动频率应如何改变？
６、注意发现和观察你身边的驻波现象，分析驻波现象的利与弊。

参考文献：
1、沈元华，陆申龙主编. 基础物理实验. 高等教育出版社，2003：109~111
2、裴文瑄. 物理实验简明教程. 中国矿业大学出版社，1992：103~105
3、刘克哲. 物理学. 高等教育出版社，1999年第二版：172~177。