广州外国语学校数学限时训练(理科)

广州外国语学校数学限时训练（理科） 2016．10.30
班级：姓名：学号
1．已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，则函数（）
A.[]3,2
B.(]3,1
C.(]3,0
D.(
]3,1-
2
A ．3B
．4D 3．ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++ 为零向量，且||||OA AB = ，
则CA 在BC
方向上的投影为（）
A ．-3B
．3D 4．实数,x y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，若4x y m -≥恒成立，
则实数m 的取值范围是（） A.(],0-∞ B.(],4-∞
C. D.
5．若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．2
6．则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx
=的交点为顶点的三角形的面积为（） A
7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，函数
(],12-∞[]0,12
，在A x =处取到最大值.
（2，求ABC ∆的面积.
8．已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是递减数列．
9．为了解今年某校高三毕业班想参军的学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为
1:2：3，其中第2小组的频数为24.
（Ⅰ）求该校高三毕业班想参军的学生人数；
（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班想参军的同学中（人数很多）
任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 10．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程分别是（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值.
广州外国语学校数学限时训练（理科）参考答案
1．D 【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足10
1330
x x x +>⎧∴-<≤⎨-≥⎩，
函数定义域为(]3,1- 考点：函数定义域
考点：函数值．
3．B 【解析】
试题分析：由题意知四边形ABOC 为菱形，且边长为2，120A =︒，∴30ACB ∠=︒，则
CA 在BC 方向上的投影为B ．
考点：向量的投影． 4．A 【解析】
试题分析：在直角坐标系内作出可行域10230260x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，由图可知当目标函数4z x y =-通
时有最小值0，所以m 的取值范围为(],0-∞,故选A.
考点：线性规划. 5．C 【解析】
试题分析：由()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，得lg()lg()ab a b =+，即ab a b =+，
则
所
当且仅当2
a b
==时等号成立，所以a b
+的最小值为4，故选C．考点：1、对数的运算；2、基本不等式．
6．C
【解析】
试题分析
：交
点
C．
考点：1
、双曲线的标准方程及性质；2、抛物线的标准方程及性质；3、三角形的面积．【方法点晴】本题主要考查双曲线的标准方程及性质、抛物线的标准方程及性质和三角形的
7．（1
（2
【解析】
试题分析：（1
依题意有
，所
以；（2），由余弦定理知：
A
bc
c
b
a cos
2
2
2
2-
+
=
，得
试题解析：
（1
时，函数)(x f 取到最大值，所以
（2）由余弦定理知：A bc c b a cos 2222-+=，
考点：三角恒等变换，解三角形． 8．（1
（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由于函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-．代入利用对
又0n a >，解出即可；（2）由（1）
利用做商法，即可证明其单调性．
试题解析：（1，2(log )2n f a n =-， ∴2222log log 2n n a a n --=-， ∴2210n n a na +-=，解得
∵0n a >，∴，*n N ∈；
（2
∵0n a >
，∴， ∴数列是递减数列．
考点：（1）数列的概念及其简单表示；（2）数列的函数特性．
【方法点睛】本题考查了数列的通项公式的求法、指数与对数的运算性质、分子有理化，考查了计算能力，
基础题．对于（2）除了做商法以外，还可采用分子有理化化简通项，判断其单调性： 随着n 的增大而增大且大于0，∴数列{}
n a 是递减数列．
1n n a a +<{}n a
9．（Ⅰ）96；
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设想参军的人数为n ，前三小组的频率分别为1p ，2p ，3p ，由频率分布直方图的性质
求出第2小组的频数为24，频率为25.0，由此能求出该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）体重超过60公斤的学生的频率为
，X 的可能取值为0，1，2，3，且能求出X 的分布列和数学期望．
试题解析：（Ⅰ）设想参军的人数为n ，前三小组的频率分别为1p ，2p ，3p ，
则由条件可得：21311
232,
3,(0.0370.013)51,
p p p p p p p =⎧⎪
=⎨⎪++++⨯=⎩解得10.125p =，20.25p =，
30.375p =.
，故96n =. （Ⅱ）由（1）可得，一个想参军的学生体重超过60公斤的概率为
2713525512515. 考点：（1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量及其分布列；（3）离散型随机变量的期望
与方差.
【方法点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．对于频率分布直方图中，应考虑没个条形的面积代表该组的频率，并且所有条形面积之和为1；熟练掌握二项分布是解决该题的关键所在，故应理解透彻二项分布的意义. 10．（１）x y x 222=+，
【解析】
试题分析：（１）利用极坐标与普通方程转化可得曲线C 的直角坐标方程；通过消参的方式将直线l 的参数方程转化为普通方程，再转化成极坐标方程；（２）将直线极坐标方程分别代入曲线C 和直线l 的方程，可求得．利用三点共线可求和||AB 的值.
试题解析：（1）根据题意可得θρcos 2=可化为θρρcos 22=， 根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x y x 222=+， ∴曲线C 的直角坐标方程为x y x 222=+.
直线l 的参数方程分别是（t 为参数）
（2代入θρcos 2=，可求得
根据题意可知B A O 、、三点共线，且||||||OA OB AB -=，∴ 考点：极坐标方程与普通方程的转化；参数方程与普通方程的转化．。