2014高考数学复习大串讲 第54课时--直线与圆锥曲线的位置关系

课题：直线与圆锥曲线的位置关系
教学目标：直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用. （一） 主要知识及主要方法：
1.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理 .
2.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否 有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△，注意直
线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便. 3.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.
4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算：()1连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；()
2易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；()3一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y )的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：
d ==＝2
212
))(11(y y k
-+
. 焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.焦点弦长：
PF e d
=
PF ed ⇒=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的
准线的距离，e 是离心率）
5.涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y ，()
00,P x y 是直线与圆锥曲线的两个交点，O 为坐标原点，则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，
AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=
6.解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算.
（二）典例分析：
问题1．设直线l 过双曲线2
2
13
y x -=的一个焦点，交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原
点，若0OA OB ⋅=
，求AB 的值.
问题2．过抛物线22y px =（0p >）的焦点作一条直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y ，
两点，设直线的倾斜角为θ.求证：()1212y y p ⋅=-；()22
2sin p
AB θ
=
问题3．（04湖北）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：22
21x y -=的右支交于不同的两点A 、
B .（Ⅰ）求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
问题4．（07天津质检）已知中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与圆
22
5 420
2
x y x y
+--+=交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB的斜率为
1
2 -，
求此椭圆的方程.
（三）课后作业：
1.（07南通九校联考）过双曲线2
2
12
y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，
若4AB =，则满足条件的直线l 有 .A 2条 .B 3条 .C 4条 .D 无数条
2.已知双曲线C :2
2
14
y x -= ，过点P (1,1)作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，
则满足上述条件的直线l 共有 .A 1 条 .B 2条 .C 3条 .D 4条
3.（07北京海淀区）若不论k 为何值，直线()2y k x b =-+与直线221x y -=总有公共点，
则b 的取值范围是.A ( .B ⎡⎣ .C ()2,2- .D []2,2-
4.直线10kx y k -++=与椭圆22
12516
x y +=公共点的个数是
.A 0 .B 1 .C 2 .D 随k 变化而改变
5.椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率
为22，则n
m 的值为 .A 22 .B 322 .C 229 .D 2732
6.已知椭圆22
24
x y
+=，则以(1,1)为中点的弦的长度是
.A.B.C.D
7.若直线1
y kx
=+和椭圆
22
1
25
x y
m
+=恒有公共点，则实数m的取值范围为
8.过椭圆22
22
x y
+=的一个焦点的直线交椭圆于P、Q两点,求POQ
△面积的最大值
9.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率为
1
3
e=，过F作直线l交
椭圆于,A B两点，已知线段AB的中点到椭圆左准线的距离是6，则AB=
10.已知双曲线的方程为
2
21
3
y
x-=.()1求以点()
2,1
A为中点的弦所在的直线方程；
()2以点()
1,1
B为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.
（四）走向高考：
11.（06福建）已知双曲线122
22=-b
y a x (0a >，0b >)的右焦点为F ，若过点F 且
倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
.A (]1,2 .B ()1,2 .C [)2,+∞ .D ()2,+∞
12.（07全国Ⅰ）已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．
过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．
（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22
00
132
x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．。