【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件

π 5π 6，kπ＋ 6 )k∈Z.
高效课堂
●互动探究
正切函数的周期性
求下列函数的周期 π (1)y＝2tan(2x＋3)； 1 π (2)y＝3tan(2x－4)．
[探究] 利用周期函数的定义求解，或利用 y＝Atan(ωx＋ π φ)(ω≠0)的周期为|ω|求解．
π [解析] 解法 1： 令 z＝2x＋3， 那么函数 y＝2tanz 的周期是 π. π π π 由于 z＋π＝(2x＋3)＋π＝2(x＋2)＋3， 所以自变量 x 只要并 π π 且至少要增加到 x＋2时， 函数值才能重复取得， 即 T＝2是能使 π π 等式 2tan[2(x＋T)＋3]＝2tan(2x＋3)成立的最小正数，从而函数 π π y＝2tan(2x＋3)的周期是2，
π 1 (2)∵T＝|ω|，ω＝2，∴T＝2π. 1 π ∴y＝3tan(2x－4)的周期为 2π.
求下列函数的最小正周期： 1 (1)y＝tan(－2x)； π (2)y＝tan(2x＋12)． [ 探究 ] 利用周期函数的定义来解 ，对于正切函数 y ＝
tanx，若tanx＝tan(x＋T)，则T为正切函数的周期．T的最小值为 最小正周期．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
三角函数
第一章 1.4.3 正切函数的性质与图象
1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
优效预习
●知识衔接 1．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x [答案] D B．y＝cos2x D．y＝cosx )
π π ∴y＝tan(2x＋12)的最小正周期为2.
正切函数的奇偶性
试判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； (2)f(x)＝x2tanx－sin2x.
[探究] 利用函数奇偶性的定义去判断．
π [解析] (1)因为该函数的定义域是{x|x≠2＋kπ，k∈Z}，关 于原点对称，且 f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋ |tanx|＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数． π (2)因为函数 f(x)的定义域是{x|x≠2＋kπ，k∈Z}，关于原点 对称， 又 f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－ x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶 函数．
பைடு நூலகம்[解析]
递减函数．
结合函数 y ＝cosx 的图象可知其在 [0，π]上为单调
1 2．函数 y＝2sinx＋1 的值域是________． [答案]
1 3 ， 2 2
[解析] ∵－1≤sinx≤1，
1 3 ∴原函数的值域为2，2.
3．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取 得最大值．
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
●自主预习 正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切曲线． 正切函数y＝tanx的图象叫做 ___________
(2)性质：如下表所示. 函数
性质 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 增区间 减区间
[答案] 2kπ＋π(k∈Z)
[解析] ∵y＝3cos(π－x)＝－3cosx， ∴ 当 cosx ＝－ 1 时，即 x ＝ 2kπ ＋ π(k∈Z) 时，函数取得最大
值．
4．求函数
π 3π π y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
π π 3π [解析] 由 2kπ＋2≤x－4≤2kπ＋ 2 ，k∈Z， 3π 7π 解得 2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当 k＝－1 时，－ 4 ≤x≤－4.
●预习自测
1．函数 y＝tanx( )
A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
π π C．在每一个开区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数 π π D．在每一个闭区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数
[答案] C
2．f(x)＝tan2x是(
1 1 [解析] (1)y＝tan(－2x)＝tan－2x－π 1 ＝tan－2x＋2π，
1 ∴y＝tan(－2x)的最小正周期为 2π.
π π π π (2)y＝tan(2x＋12)＝tan(2x＋12＋π)＝tan2x＋2＋12，
y＝tanx
π xx≠ ＋kπ，k∈Z 2
R
π 奇函数
π π － ＋kπ， ＋kπ(k∈Z) 2 2
无
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0(k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线 x＝2＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 无限接近渐近线． π (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋b 的周期是 T＝|ω|.
1 π (2)令 z＝2x－4，那么函数 y＝3tanz 的周期是 π. 1 π 1 π 由于 z＋π＝(2x－4)＋π＝2(x＋2π)－4，所以自变量 x 只要 并且至少要增加到 x＋2π 时，函数值才能重复取得，即 T＝2π 1 π 1 π 是能使等式 3tan[2(x＋T)－4]＝3tan(2x－4)成立的最小正数，从 1 π 而函数 y＝3tan(2x－4)的周期是 2π. π π 解法 2：(1)∵T＝|ω|，ω＝2，∴T＝2. π π ∴y＝2tan(2x＋3)的周期为2.
)
A．奇函数
C．奇函数又是偶函数 [答案] B
B．偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数y＝3tanx－1的定义域是________．
[答案]
π xx≠ ＋kπ，k∈Z 2

2 4．函数 y＝tan(x－3)的增区间为__________________． π 5π [答案] (kπ－6，kπ＋ 6 )k∈Z. π π π π 5 [解析] 由 kπ－2<x－3<kπ＋2即 kπ－6<x<kπ＋6π.∴(kπ－