effective求表面格林函数迭代方法
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
格林函数法
（14.2.12）
考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r )
T
G (r , r0 ) n
dS
（14.2.13）
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f ( r0 )dV0 ( r0 )
T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A S d
AdV =
T
divAdV (14.1.1)
T
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面 的积分化为体积分
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
T0
(14.3.1)
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
(14.3.2) (14.3.3)
14.3.1 三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对（14.3.3）式两边在球内积分
r0 0
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
FEKO7.0各类求解器的介绍
FEKO各类求解器的介绍FEKO中的求救器有矩量比（MOM八多层快速多圾子方法（MLFMM人杨理光学法（POJ. 一致性统射理怡（UTD人有限元（FEM丿等计算方法，FEKO SUite 7.0&其原有算法基础上，新增肘城有限差分（FQg求解器，同肘增加了多层快速多圾子（MLFMM）与杨理光竽（PO）的混合算法。
1.矩量法矩量冻是一种基于积分方程的严格的数值方空，其赫度主要取决于目标儿何建栈新度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。
其思想主要是将儿何n标剖分富散，雀其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得列几何目标上的电流分布，从而其它近迄场信息可从该电浇分布求得。
下面以电场积分方程求解理想导体的电该散射问題为例，简要介绍矩量法的一般方出。
由麦丸斯维方程纽和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFlEJ 如下：(jcvA+ VΨ)tnn = E霊,T On S.(1)其中，A为矢量该伐，¥为标量电住，在达形式分别如下:_ -Λ∣∕r-^∣初诃0)⑵田㈢=丄∫σ(r ) r^l--√∕5£()Js 4^lr-r I定义基函数糸J n ,将电流展开为j ≈∑I ll J n⑷π-l 其中人为匀第"个基函IUfI 关的的电流展开糸数。
为了将积分方程富我成为 矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数和同的函数糸刃作为权函数，哀 示Λ g •对式(3-1)求积得j3 <Λ,J m > + < VΨ, J m >=< E inC , J m > ⑸(3-4)代入式(45),得列包令N 个未知量的N 个线性方程，可以写成I2a jl∕ J = I V ；］其中，［Z mπ］^jN×N 的矩阵，［人］和［匕：］均为NXI 的向量，［人］为电流糸妳 ［V ； ］ 7⅛激励向量，N 为未知量数目。
数学物理方法--格林函数法
0, 0
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
G(r , r ') 4 (r r ')
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
u (r ) 和 设
T
在
上有连续一阶导数。由高斯定理 uv dS (uv)dV
T
v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
7
5. 边值问题的格林函数
第一边值问题(狄里希利问题)
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u
f
u (r , r ') G(r , r ') 0
第一边值问 题格林函数
1 u (r0 ) 4
1 G (r , r0 )r (r )dV 4 T
1
1
12.1
泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
1. 源问题 例 静电场 a.无界空间
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
q 4
r'
r r ' r
r
处静电场
1 (r ) u0 (r , r ') G(r , r ') r r '
格林函数法详解
V
q (r r') /0
解 u f (r')d ' G 1 V q
4 | r r'|
4 | r r'|
40 | r r'|
基本思路
原问题 点源问题
关系
u f (r ) u | 0
G (r r ' )
G | 0
f (r) f (r') (r r')d '
A JGdV
V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
第三章格林函数法
r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
离散周期lyapunov方程和离散周期riccati方程的迭代算法
摘要作为线性时变系统的最简单形式，线性周期系统由于其广泛的应用，一直是学者们研究的热点。
线性周期系统，是一类系数矩阵带有周期性的线性系统，在各个领域中都有着广泛的应用。
为了研究离散周期系统的稳定性问题，离散周期Lyapunov方程的求解就显得至关重要。
同样，在进行离散周期系统的线性二次最优状态反馈控制器的设计时，需要用到离散周期Riccati方程的解。
基于这样的研究背景，本文针对离散周期系统下的Lyapunov方程和Riccati方程，给出了其求解的迭代算法。
针对离散周期Lyapunov方程，推导出了相应的迭代算法，分别对零初始条件和任意初始条件的情况给出了严谨的收敛性证明，并通过数值仿真验证了算法的有效性。
并且将最新估计信息的思想引入了迭代算法，得到了新的基于最新估计信息的迭代算法，同样对给出了算法在零初始条件下和非零初始条件下，迭代算法的严谨的收敛性证明，利用数值仿真例子证明了算法是有效并且收敛的。
并且通过对两种算法的数值仿真对比发现，基于最新估计信息的迭代算法的收敛速度要快于原始的迭代算法，从而验证了加入最新估计信息的迭代算法的优越性。
针对推导出的离散周期Riccati方程的迭代算法，给出了其在零初始条件下的收敛性证明，并通过数值仿真验证了算法的有效性，同样，为了改进算法，加入了最新估计信息，得到了新的基于最新估计信息的迭代算法。
同样对该算法的收敛性进行了严谨的证明与数值仿真验证，说明了该算法是有效可用的。
针对两种方程的迭代算法，为了研究最新估计信息对迭代算法的影响程度，引入了加权的思想，得到了带权重因子的新的迭代算法，并进行了收敛性证明。
通过数值仿真，给出了不同权重因子下的收敛性曲线，通过对比可以看出当全部使用最新估计信息时，算法的收敛速度最快，由此可见，加入最新估计信息能有效提高迭代算法的收敛速度。
关键词：离散周期系统；Lyapunov方程；Riccati方程；迭代算法AbstractAs the simplest form of time-varying linear systems, periodic linear systems have been attracting much attention during the past several decades. This is partially because this type of systems has very wide application. To investigate the stabilization problem of the periodic linear systems, it is important to achieve the solution of the periodic Lyapunov matrix equation. Similarly, the design of linear quadratic optimal state feedback controller based on the robust control is related to the stabilizing positive definite solution of Riccati equation. Based on this research background, we propose iterative algorithms for solving discrete-time periodic Lyapunov matrix equation and discrete-time periodic Riccati matrix equation.Iterative algorithms for discrete periodic Lyapunov equations are derived, respectively to the zero initial conditions and arbitrary initial conditions. And the proof of convergence is given. The effectiveness of the algorithm is verified by numerical simulation. And the latest information estimation theory is into the iterative algorithm, the proof of the convergence is also given. The validity of the algorithm is verified by numerical simulations. Finally, the simulation analysis of the two algorithms find that the convergence rate of the iterative algorithm based on the estimation of the latest information is faster than the original algorithm. It proves the superiority of the iterative algorithm adding the latest information of the estimation.Iterative algorithm for discrete periodic Riccati equations is derived, given the zero initial condition of convergence, and the effectiveness of the algorithm is verified through numerical simulation. In order to improve the algorithm with the latest estimate information, a new iterative algorithm based on the information of the latest estimation is given. The convergence of the new algorithm is proved and the validity of the algorithm is verified by numerical simulation. Through numerical simulation, the convergence curves of different weighting factors are given. It found that using the latest estimate information, the convergence speed is the fastest. Therefore, adding the latest estimation information can effectively improve the convergence speed of iterative algorithm.Key words：discrete-time linear periodic system，periodic Lyapunov equations，periodic Riccati equations，iterative algorithms目录摘要 (I)ABSTRACT ..................................................................................................................... I I 第1章绪论 . (1)1.1课题的来源及研究的背景意义 (1)1.2国内外在该方向上的研究现状及分析 (2)1.3本文的主要研究内容 (6)第2章离散周期系统Lyapunov方程快速迭代算法 (8)2.1相关的概念与性质 (8)2.2原始迭代算法 (9)2.2.1显式迭代算法 (9)2.2.2数值仿真 (12)2.3基于最新估计信息的迭代算法 (16)2.3.1显示迭代算法 (16)2.3.2数值仿真 (19)2.4本章小结 (24)第3章离散周期Riccati方程的迭代算法 (25)3.1相关的概念与性质 (25)3.2问题的描述 (25)3.3原始迭代算法 (25)3.3.1显示迭代算法 (26)3.3.2数值仿真 (28)3.4基于最新估计信息的迭代算法 (29)3.4.1显示迭代算法 (30)3.4.2数值仿真 (32)3.5本章小结 (34)第4章离散周期Riccati方程的加权最新估计迭代算法 (35)4.1 带加权因子的快速迭代算法 (35)4.2数值仿真 (37)4.3本章小结 (39)结论 (40)参考文献 (41) (45)致谢 (46)第1章绪论1.1课题的来源及研究的背景意义随着对控制系统的研究越来越深入，人们发现，许多生活中的系统是线性周期系统。
第四章 Green函数法(all)
u(r0 ) G( r ,r0 ) f (r)dV G( r ,r0 )(r)dS
T
意义：Poisson方程边值问题的解在 T 内任一 点的值可由Green函数 G(r,r0 ) 和问题的已知函数 f 和 φ 的积分表示.
由以上讨论知, 要求解Poisson方程边值问题, 就要首先求出相应的Green函数。要知区域 T上 的Green函数, 还必须解一个特殊的定解问题。以 第一边值问题为例, 须求解
减T 去①式得:
u[vx cos( n, x) v y
(vu uv)dV
T
co(sv(nun,
y)uvvz
cos(
)dS
n
n, z)]dS
……②
即
第二Green公式
uvdV
T
u
v dS n
(uxvx
T
uyv y
uzvz )dV……①
第一Green公式
2.基本解
定义：设 M ( r ), M0(r0 ) 为n维空间中的点，
ln[1
02
20
cos(
)]
k 1
k 0
cos k(
k
)
有
G1
|
1
4
k 1
0k
k
(cos k
cos k
sin k
sin k
)
通过比较系数可得
a0 0,
ak
k 0
4 k
cos k ,
bk
0k 4 k
sin k
从而得:
G1( , ;0 ,
)
1
4
(0 )k
k1 k
cos k(
)
1
数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]
![数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/0fa571d09fc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d6e6.png)
第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
格林函数
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,u a u f r t t∂-∇=∂v 表示温度场u 与热源(),f r t v之间关系 Poission ’s Eq.：()20u f r ρε∇=-=-v表示静电场u 与电荷分布()f r v之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r r ρφπεΩ=-⎰r r r这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩vv v v v 这里讨论的是静电场()u r v， ()f r ρv 代表自由电荷密度。
FEKO算法描述
FEKO 算法描述（MoM 和MLFMM ） 矩量法（MoM ）1、矩量法的一般方法矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。
其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。
下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。
由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE ）如下：tan tan (), on .inc j A E r S (1)其中，A 为矢量磁位，ψ为标量电位，表达形式分别如下： ''||'0||4)()('ds r r e r J r A r r jk S -=--⎰πμ (2) ''||'0||4)(1)('ds r r e r r r r jk S -=ψ--⎰πσε (3)定义基函数系列n J ，将电流展开为∑=≈N n n n J I J 1(4)其中n I 为与第n 个基函数相关的的电流展开系数。
为了将积分方程离散成为矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为g ，对式(3-1)求内积得>>=<ψ∇<+><m inc m m J E J J A j ,,,ω (5) 将式(3-4)代入式(3-5)，得到包含N 个未知量的N 个线性方程，可以写成][]][[e m n mn V I Z = (6)其中，][mn Z 为N N ⨯的矩阵，][n I 和][e mV 均为1⨯N 的向量，][n I 为电流系数，][e mV 为激励向量，N 为未知量数目。
其形式分别如下：tan m e inc m m S V J E ds =⎰ (7) 001()m m mn m n s m n S S Z j J a ds J ds j ωμψωε=+∇⎰⎰ (8)上式中，'||'''()()4||n jk r r n n S e a r J r ds r r π--=-⎰ (9) '||''''()[()]4||n jk r r n s n S e r J r ds r r ψπ--=∇-⎰ (10)矩阵方程(6)建立之后，下一步就是该矩阵方程的求解。
3DEC用户手册(4.0)中文版
如何求格林函数
如何求格林函数格林函数是一种用于解决偏微分方程的数学工具。
它在物理学、工程学等领域中被广泛应用，用于描述空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
本文将以人类的视角，以一个具体的例子来介绍如何求解格林函数。
假设我们考虑一个二维空间中的热传导问题，即热量在空间中的传播。
假设有一个热源在坐标原点处，我们想求解在空间中任意点处的温度分布。
我们需要建立起偏微分方程描述这个问题。
热传导问题可以由热传导方程来描述，其形式为：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是温度分布函数，t是时间，α是热扩散系数。
接下来，我们引入格林函数G(x, y, x', y')，它是满足以下方程的函数：α(∂²G/∂x² + ∂²G/∂y²) = δ(x - x')δ(y - y')其中，δ(x)是狄拉克函数，表示单位脉冲。
注意，这里的格林函数是关于空间坐标的函数，与时间无关。
有了格林函数之后，我们可以通过以下公式来求解温度分布函数u(x, y, t)：u(x, y, t) = ∫∫G(x, y, x', y')f(x', y', t)dxdy其中，f(x, y, t)是边界条件或初始条件。
在实际应用中，求解格林函数常常采用分离变量法、变换法等数学方法。
这些方法能够将偏微分方程转化为一系列普通微分方程或积分方程，从而求解出格林函数。
通过求解格林函数，我们可以得到任意时刻、任意位置的温度分布。
这对于热传导问题的研究和工程应用具有重要意义。
格林函数的求解方法可以推广到其他偏微分方程问题中，因此具有广泛的应用价值。
总结起来，格林函数是一种用于求解偏微分方程的数学工具。
它通过满足特定的方程条件，描述了空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
通过求解格林函数，我们可以得到解析解，从而获得任意时刻、任意位置的场或势函数分布。
格林函数法
格林函数法
格林函数（Green's Function）是描述物理系统状态之间相互转换和
其它类型的转换的一种函数，用来解决系统的边界值问题。
它可以通过物
理系统的差分方程来解释，也可以用来表征物理系统的任意状态之间的相
互作用。
格林函数可以概括地表示为：当系统处于某一特定状态时，其他
状态的影响，及它们之间的相互作用，以及系统当前状态的演变。
格林函数法可以分为两种：一种是无限空间的，这种方法是通过求解
无限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题；另一种是有限空间的，
这种方法是通过求解有限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题。
格
林函数法可以用来研究物理系统中多种形式的边界值问题，包括边界条件、初始条件、响应函数、激励函数、反应函数等。
此外，它还可以用来估计
未知量、估计系统参数、构造信号处理过程和对边界条件进行约束等。
格林函数方法
格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。
格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。
格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。
主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。
这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。
具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。
格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。
如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。
在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。
最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。
此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。
综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。
该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。
格林函数法
r
0
dS
(5.2.8）
式（5.2.8）称为泊松方程的基本积分公式。但是它
的物理解释很困难，因此我们根据前面的格林函数互易定
理，并利用跟林函数的对称性，将上式改为：
u r0
G r0,r
u r
G
T0
r0,r
f
r0
dV0
0
G
r0,r
u r0 n0
n0 dS0（5.2.9）
G r0,r
u r
G r,r0
T0
f
r0
dV0 r0
0
n0 dS0
（2）第二类边值问题
（5.2.13）
14
对应下列格林函数的解：
u r f r
u
n
|
rp
（5.2.14）
G r, r0 r r0 G r, r0
n | 0
（5.2.15）
代入基本积分公式可得第二类边值问题的解的积
G(r, r0) G(r0, r)
上式表明，在位于r0处的脉冲（或点源）在一 定边界条件下在r处产生的影响（或产生的场）， 等效于把脉冲（或点源）移至r处在同样边界条件 下在r0处算产生的影响（或场），即物理场的互 易性。
10
根据第二格林公式，得到：
u
r
G n
G
u r
n
dS
T
u rG Gr
u
r
0
T
G
r,
r
0
f
r
dV
1
r
G
r,
n
r0
dS
（5.2.19）
利用格林函数的互易性可得到互易后的解的积
steffensen迭代法
steffensen迭代法
steffensen迭代法是一种收敛速度较快的迭代法，它是以变尺度和Aitken理论为基础而提出的。
谢尔夫森迭代法是用来求解非线性方程的迭代法。
最开始，它在
schaefer(1961)中被引入，他为迭代方程推导了一种更新算法，后来又被Hansen(1970)介绍，他把谢尔夫森迭代法应用到求解复杂的非线性方程的计算中。
谢尔夫森迭代法的基本思想是提出一种简单而鲁棒的迭代更新公式，使得初始值近似求解的过程快速收敛。
Steffensen迭代法在找到迭代更新公式时，引入了Aitken理论。
因此它与Netwon-Raphson和弦向量迭代法相似，是一个双插值法。
Aitken最原始的形式是用均值平方差求极限，谢尔夫森迭代法就是将Aitken理论用在求根上，引入变尺度概念，来进行收敛迭代。
谢尔夫森迭代法主要有以下四个关键步骤：
（1）将给定的非线性方程化为变量的方程：$$f(x)=0$$
（2）变换坐标轴，引入变量u：$$F(x+u⋅h,x)=0$$
（3）采用Aitken或平均拉格朗日插值求下列函数的极值：$$u_{n+1} = arg
minA_n(0)$$
（4）最后，获得的结果就是每次迭代的新值：$$x_{n+1}=x_n + u_{n+1}h$$
然后重复以上四个步骤，直到收敛为止。
优点是计算量少，速度快，而且具有非常好的收敛性，使得初始值使得迭代近似值较快地收敛。
缺点是，对于高次非线性方程，需要多项式拟合，这就要求实验数据要足够多。
介绍有限差分法在求解微分方程格林
介绍有限差分法在求解微分方程格林
有限差分法是一种数值方法，用于求解微分方程。
它通过将微分方程转化为差分方程来求解。
在求解格林函数时，有限差分法可以用来近似微分方程中的积分项。
首先，我们需要将微分方程转化为差分方程。
这可以通过将微分方程中的导数项替换为有限差分近似来实现。
例如，对于一维问题，我们可以使用向前、向后或中心差分公式来近似导数项。
接下来，我们需要求解差分方程。
这可以通过迭代或直接求解方法来实现。
在迭代方法中，我们从一个初始猜测值开始，并使用差分方程不断更新该值，直到达到收敛准则。
在直接求解方法中，我们使用代数方法来求解差分方程。
最后，我们需要处理积分项。
在有限差分法中，我们不能直接计算积分项，因此需要使用数值积分公式来近似它们。
常用的数值积分公式包括矩形法、辛普森法则和复合梯形法等。
通过使用有限差分法，我们可以近似求解微分方程中的格林函数。
这种方法在处理复杂边界条件和不规则区域时特别有用。
然而，有限差分法也有其局
限性，例如数值误差和稳定性问题。
因此，在使用有限差分法时，我们需要仔细选择差分近似和数值积分公式，以确保结果的准确性和可靠性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Abstract. The surface and bulk densities of states of a solid described by the stacking of principal layers are obtained by means of an iterative procedure which allows (i) the inclusion of 2” layers after n iterations, (ii) the simultaneous calculation of the Green functions for both the ‘right’ and ‘left’ surfaces as well as for the bulk (or central) principal layer, and (iii) the use of imaginary parts q as small as one wishes in the energy without any large increase in computing time, so that the limit q - 0 can really be obtained. As a by-product we obtain (i) the ‘right’ and ‘left’ transfer matrices of the ‘effective field’ or continuous fraction approach and (ii) a factorisation theorem which relates the Green functions of both surfaces to the Green functions of the bulk and the free metal atom.
Download details: IP Address: 211.142.247.90 The article was downloaded on 23/09/2012 at 02:30
PleaseБайду номын сангаасnote that terms and conditions apply.
I. Phys. F: Met. Phys. 15 (1985) 851-858. Printed in Great Britain
Highly convergent schemes for the calculation of bulk and surface Green functions
M P Lopez Sancho, J M Lopez Sancho and J Rubio
Instituto de Fisica de Materiales, CSIC, Serrano 144, 28006 Madrid, Spain Received IO August 1984, in final form 19 October 1984
0 1985 The Institute of Physics
85 1
852
M P Lopez Sancho et a1
of the original chain. This replacement can be repeated iteratively until the residual interactions between effective layers are as small as one wishes. After n iterations, say, one has a chain of lattice constant 2" times the original one, each effective layer replacing 2" original layers. The effective interlayer interactions become vanishingly small after a few Ryd). Note that each new iteration doubles the iterations (usually five or six for q = number of original layers included in the new effective layer. This is where the big advantage of the method lies, making it extremely powerful just in those situations where conventional iteration methods converge so slowly as to become almost hopeless. For instance, small q values (e.g. Ryd) require 12-14 iterations, i.e. about 2.5 times the iterations needed for q = Ryd. To get the same accuracy, 212-2'4 (4096-16384) iterations would be required in the conventional T-matrix approach! The format of this paper is as follows. The effective chain is introduced in 0 2, followed by the iterative procedure which allows us to obtain effective chains with successively weaker residual interactions. This leads to expressions for the Green functions for the 'right' and 'left' surfaces as well as for the bulk, which can be computed rather efficiently. Section 3 establishes a connection with usual T-matrix approaches and ends with recurrence formulae for matrix elements involving inner layers. Section 4 starts with the tight-binding version of the factorisation theorem which serves to link with other approaches like the matching Green function method (Garcia-Moliner and Rubio 1969, 197 1, Inglesfield 197 1) and discusses some unclear points about surface boundary conditions. Finally, some concluding remarks are made in 0 5 .
Home
Search
Collections
Journals
About
Contact us
My IOPscience
Highly convergent schemes for the calculation of bulk and surface Green functions
This article has been downloaded from IOPscience. Please scroll down to see the full text article. 1985 J. Phys. F: Met. Phys. 15 851 (/0305-4608/15/4/009) View the table of contents for this issue, or go to the journal homepage for more
1. Introduction
Recently a large number of papers have appeared where different kinds of Green functions are calculated by one of the several iterative methods available (Cyrot Lackmann 1970, Haydock et a1 1972, Anishchik et a1 1976, Mele and Joannopoulos 1978). One of the most popular is the ‘effective field’ or transfer matrix approach (Falicov and Yndurain 1975, Lee and Joannopoulos 198 1a, b). Most of them have in common a relatively slow convergence, particularly near singularities (Dy et a1 1979, Lee and Joannopoulos 1981a, b). This problem has been touched upon in two recent publications (Guinea et af 1983, Lopez Sancho et a1 1984) which propose iterative schemes quicker than the usual one in the transfer matrix approach. One of them (Guinea et a1 1983) aims at obtaining effective interactions for two-dimensional Hamiltonians at surfaces by means of decimation techniques, while the other (Lopez Sancho et a1 1984) presents a quick iterative method for the calculation of the transfer matrix so as to save computation time in the calculation of densities of states. Although the two approaches seem different at first sight, they really correspond to different versions of a general scheme for quick convergence of iterative processes, ultimately related to the renormalisation-group method (Gongalves d a Silva and Keiller 198 1). In this paper, decimation techniques are reformulated with the help of the effectivelayer concept. We take as an illustrative example the problem of solving the conventional linear chain of equations for the matrix elements of the Green operator G(w)=(a- H ) in a basis of localised functions. The method involves replacing the original chain by an effective one of twice the lattice constant, where each layer plus its two nearest neighbours in the original chain are replaced by an effective layer in the new chain; these effective layers interact through energy-dependent residual interactions which are weaker than those 0305-4608/85/04085 1 + 08S02.25