整式的乘法与乘法公式(教师版)
第一章专题复习课-整式乘法公式(教案)2022-2023学年北师大版七年级数学下册
-混合运算：解决如(x + 2)^2 - (x - 3)^2这样的问题，学生需要先将两个完全平方公式展开，然后应用平方差公式简化计算。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“整式乘法公式”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或求解一些特定几何图形问题时，需要进行复杂的数学运算？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索整式乘法公式的奥秘。
此外，学生小组讨论的环节，我发现学生们对于整式乘法公式在实际生活中的应用有很好的想法，但在讨论过程中，有时会出现偏离主题的现象。为了提高讨论效率，我应该在讨论前给出更明确的主题和指导，以便学生能够更有针对性地展开讨论。
最后，总结回顾环节，我觉得可以进一步优化。在今后的教学中，我可以尝试让学生自己来总结今天所学的知识点，这样既能检验他们对知识的掌握程度，也能提高他们的归纳总结能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式乘法公式的基本概念。整式乘法公式包括完全平方公式、平方差公式和立方公式等，它们是解决整式乘法运算的快捷方法。这些公式在简化计算和解决实际问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，计算长方形(长为x+3，宽为x-2)的面积，我们可以使用完全平方公式来简化计算过程。
第一章专题复习课-整式乘法公式（教案）2022-2023学年北师大版七年级数学下册
一、教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容
本节课为2022-2023学年北师大版七年级数学下册“第一章专题复习课-整式乘法公式”。教学内容主要包括以下几部分：
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式教学课件
=a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8.
课堂检测
能力提升题
先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3， 其中x＝2.
1. 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
探究新知
(a–b)(a+b)
(1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a) (1+a)(–1+a) (0.3x–1)(1+0.3x)
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
整式的乘法与因式分解（教师版）
整式的乘法与因式分解（教师版）整式的乘法与因式分解（学⽣加强版）⼀．整式的乘法【学习⽬标】1. 会进⾏单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律简化运算. 【要点梳理】要点⼀、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它们的指数作为积的⼀个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应⽤.（2）单项式的乘法⽅法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到⼀起进⾏有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进⾏计算；只在⼀个单项式⾥含有的字母，要连同它的指数写在积⾥作为积的⼀个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适⽤以上法则. 要点⼆、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算⽅法，实质是利⽤乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是⼀个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每⼀项包括它前⾯的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从⽽得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的⼆项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【加强版练习题】1类型⼀、单项式与单项式相乘1、计算：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-（2）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----．【答案与解析】解：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-()()()()121232n nx x x y y z +=-?-?- ???413n n x y z ++=-（2）322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----3222325936()16a b b a b ab ab a =+--333333334536167a b a b a b a b =--=-．【总结升华】凡是在单项式⾥出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型⼆、单项式与多项式相乘2、计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进⾏化简．【答案与解析】解：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--2222222315411x x x x x x x x =----+=-+．（2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---．【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从⽽得到最简结果．（2）单项式与多项式的每⼀项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每⼀项的符号时，⼀定要⼩⼼．举⼀反三：【变式】化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）．【答案】解：原式=x 2﹣x+2x 2+2x ﹣6x 2+15x=﹣3x 2+16x ．3、先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中a=﹣2．【思路点拨】⾸先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代⼊已知的数值计算即可．【答案与解析】解：3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4）=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2=﹣20a 2+9a ，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．举⼀反三：【变式】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．【答案】解：332()4x xy x y y +++3223224x x y xy y =+++ 22(2)2(2)x x y y x y =+++，当20x y +=时，原式＝220020x y +=．类型三、多项式与多项式相乘4、若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含3x 和x 项，也就是3 x 和x 项的系数为0，由此得⽅程组求解．【答案与解析】解：22(1)(231)ax bx x x ++-+4323222323231ax ax ax bx bx bx x x =-++-++-+ 4322(32)(32)(3)1ax a b x a b x b x =+-++-++-+∵乘积中不含3x 和x 项．∴ 32030a b b -+=??-=?，解得23a b =??=?．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解⽅程（组）求解．举⼀反三：【变式】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，求a 、b ．【答案】解：()()22231x ax b x x ++--因为3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，所以235a -=-，2316b a --=-，解得14a b =-=-，.⼆．因式分解（加强学习）1.提公因式法【学习⽬标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会⽤提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】要点⼀、因式分解把⼀个多项式化成⼏个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，⽽不是针对单项式，是对这个多项式的整体，⽽不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把⼀个多项式分解到每⼀个因式不能再分解为⽌.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，⼆者不能混淆.因式分解是⼀种恒等变形，⽽整式乘法是⼀种运算.要点⼆、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每⼀项中都含有的因式.（2）公因式可以是⼀个数，也可以是⼀个字母，还可以是⼀个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最⼤公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中⼀个因式是各项的公因式m ，另⼀个因式是，即，⽽正好是除以m 所得的商，这种因式分解的⽅法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆⽤乘法分配律，即.（2）⽤提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第⼀项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第⼀项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）⽤提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0⽽出现错误.【加强版练习题】2类型⼀、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =；（5）222112a a a a ??++=+．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成⼏个整式的积的形式，从对象和结果两⽅⾯去判断. 【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式⽽是⼀个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成⼏个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举⼀反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++ B.2244(2)x x x ++=+ C. 11(1)x x x+=+ D.2(1)(1)1x x x +-=- 【答案】B ；类型⼆、提公因式法分解因式2、下列因式分解变形中，正确的是（）A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+B ．()()()()262231m n m n m n m n +-+=+++ C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+ D ．()()()()2232x x y x y x y x y +-+=++【答案】A ；【解析】解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；D.()()()()223331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最⼤公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．举⼀反三：【变式】下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ） B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2） C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ） D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应⽤3、若a 、b 、c 为ABC ?的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ?按边分类，应是什么三⾓形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成⽴，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或∴ABC ?是等腰三⾓形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从⽽判定三⾓形的类型. 4、对任意⾃然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定⼀下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=?-=-=?∵n 为⼤于0的⾃然数，∴2n为偶数，15×2n为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式. 举⼀反三：【变式】说明200199198343103-?+?能被7整除.【答案】解：200199198343103-?+?()198219833431073=-?+=?所以200199198343103-?+?能被7整除.5、已知xy=﹣3，满⾜x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进⽽将已知代⼊求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2.完全平⽅公式【学习⽬标】1. 能运⽤完全平⽅公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——完全平⽅公式两个数的平⽅和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平⽅．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式⼦叫做完全平⽅式.要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平⽅公式的特点：左边是⼆次三项式，是这两数的平⽅和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平⽅.（3）完全平⽅公式有两个，⼆者不能互相代替，注意⼆者的使⽤条件. （4）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】3类型⼀、公式法——完全平⽅公式 1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-；（2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+；（4）4224816a a b b -+．【答案与解析】解：（1）222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--．（2）42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．（3）2222216(4)x y x y -+22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++-- 22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-．（4）4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的⾸选法．多项式中各项若有公因式，⼀定要先提公因式，常⽤思路是：①提公因式法；②运⽤公式法．（2）因式分解要分解到每⼀个因式不能再分解为⽌．举⼀反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++?+?+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-?+?-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．2、分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的⽅法，通过观察发现：将相同的部分23x x +作为⼀个整体，展开后再进⾏分解就容易了．【答案与解析】解：22(33)(35)1x x x x +++++ 22[(3)3][(3)5]1x x x x =+++++222(3)8(3)16x x x x =++++ 22(34)x x =++．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应⽤，对于式⼦较复杂的题⽬不要轻易去括号．举⼀反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是⼀个完全平⽅数. 【答案】解：()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++ 类型⼆、配⽅法分解因式3、⽤配⽅法来解决⼀部分⼆次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平⽅公式呢？我们先考虑⼆次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平⽅式？2222()2222b b b x bx x x x++=+??+=+ ? ?????因此添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅.那么⼆次项系数不是1的呢？当然是转化为⼆次项系数为1了.分解因式：2352x x +-. 【思路点拨】提出⼆次项的系数3，转化为⼆次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如2252352333x x x x ??+-=+- ??222555233663x x ??=++--?? ? ?25493636x =+-?? ???2257366x =+-?? ? ???575736666x x ?=+++- ?()1323x x ?=+-【总结升华】配⽅法，⼆次项系数为1的时候，添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅. ⼆次项系数不是1的时候，转化为⼆次项系数为1来解决. 类型三、完全平⽅公式的应⽤4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平⽅公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为⾮负数的特点在数学学习中有着⼴泛的应⽤，⽐如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最⼤（⼩）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为⽆论x 取什么数，都有（x+3）2的值为⾮负数所以（x+3）2的最⼩值为0，此时x=﹣3进⽽2（x+3）2﹣22的最⼩值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最⼩值是﹣22. 解决问题：请根据上⾯的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最⼩值是多少，并写出对应的x 的取值．【答案与解析】解：原式=3（x 2﹣2x+4）=3（x 2﹣2x+1﹣1+4）=3（x ﹣1）2+9，∵⽆论x 取什么数，都有（x ﹣1）2的值为⾮负数，∴（x ﹣1）2的最⼩值为0，此时x=1，∴3（x ﹣1）2+9的最⼩值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最⼩值是9．【总结升华】此题考查了完全平⽅公式，⾮负数的性质，以及配⽅法的应⽤，熟练掌握完全平⽅公式是解本题的关键．举⼀反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满⾜222166100a b c ab bc --++=，求证：2a c b +=. 【答案】解：22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--所以()()22350a b b c +--=()()2235a b b c +=-所以3(5)a b b c +=±-所以28a c b b c a +==-或因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c a b -<，所以8b c a b =-<，⽭盾，舍去.所以2a c b +=.4.平⽅差公式【学习⽬标】1. 能运⽤平⽅差公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和平⽅差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——平⽅差公式两个数的平⽅差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平⽅差公式的特点：左边是两个数（整式）的平⽅，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】4类型⼀、公式法——平⽅差公式 1、分解因式：（1）2()4x y +-；（2）2216()25()a b a b --+；（3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式⾥的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作⼀个整体进⾏分解．【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-．（2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套⽤公式时要注意字母的⼴泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举⼀反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--；（2）()22234x y x --（3）33x y xy -+；（4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+- 2、分解因式：（1）2128x -+；（2）33a b ab -；（3）516x x -；（4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-．（2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运⽤平⽅差公式分解．（2）因式分解必须进⾏到每⼀个多项式的因式都不能分解为⽌．举⼀反三：【变式】先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．【答案】解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）=4a×6b=24ab，当a=，即ab=时，原式=24ab=4．类型⼆、平⽅差公式的应⽤3、阅读下⾯的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算⽅法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣【总结升华】此题考查了平⽅差公式，熟练掌握平⽅差公式是解本题的关键．5.⼗字相乘法及分组分解法【学习⽬标】1. 熟练掌握⾸项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的⼆次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进⼀步掌握⾸项系数⾮1的简单的整系数⼆次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余⼒的学⽣可进⼀步掌握分数系数；实数系数；字母系数的⼆次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】要点⼀、⼗字相乘法利⽤⼗字交叉线来分解系数，把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做⼗字相乘法.对于⼆次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=??+=? ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负⼊⼿，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据⼀次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为⽌.要点⼆、⾸项系数不为1的⼗字相乘法在⼆次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果⼆次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于⼆次三项式2ax bx c ++的⼀次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么⼆次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）⼆次项系数a ⼀般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号⾥⾯的⼆次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于⼀个多项式的整体，若不能直接运⽤提公因式法和公式法进⾏因式分解时，可考虑分步处理的⽅法，即把这个多项式分成⼏组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题⽬进⾏分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常⽤的思路有：⽅法分组⽅法特点分组分解法四项⼆项、⼆项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、⼀项先完全平⽅公式后平⽅差公式五项三项、⼆项各组之间有公因式六项三项、三项⼆项、⼆项、⼆项各组之间有公因式三项、⼆项、⼀项可化为⼆次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某⼀项拆开或填补上互为相反数的两项（或⼏项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进⾏分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进⾏变形.添、拆项法分解因式需要⼀定的技巧性，在仔细观察题⽬后可先尝试进⾏添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和⽅法.【加强版练习题】5类型⼀、⼗字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+ 【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++---()()()()23322332x a x a x a x a =--+-=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元⼗字相乘可解决.举⼀反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++-- 【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作⼀个整体进⾏⼗字相乘法分解，接着再套⽤⼀次⼗字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][－12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】⼗字相乘法对于⼆次三项式的分解因式⼗分⽅便，⼤家⼀定要熟练掌握. 举⼀反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+-- 3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++- 【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道⼩题结构都⾮常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式⼦中都存在⼤量相同的因式→整体性想法.整体性思路⼜称换元法，这与我们⽣活中搬家有些类似，要先将⼀些碎东西找包，会省许多事. 类型⼆、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平⽅公式熟悉的同学，⼀看见该式，⾸先想到的肯定是式⼦中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -. 【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前⾯练习中⽆论公式、配⽅、⼗字相乘⼀般都只涉及单⼀字母，其实代数式学习是⼀个结构的学习，其中任⼀个字母均可被⼀个复杂代数式来替代，故有时要有⼀些整体性认识的想法. 举⼀反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+ （3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-. 【变式2】因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、阅读理解：对于⼆次三项式x 2+2ax+a 2可以直接⽤公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接⽤公式法了．我们可以在⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上⼀项a 2，使其成为完全平⽅式，再减去a 2这项，使整个式⼦的值不变，于是⼜： x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并⽤上述⽅法将⼆次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请⽤上述的添项法将⽅程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）?（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满⾜xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利⽤（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。
湘教版七年级数学下册第二章--整式的乘法知识点
湘教版七年级数学下册第二章--整式的乘法知识点(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除七年级下册第二章整式的乘法1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a n a m=a m+n(m,n是正整数)例：2.幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a n)m=a mn(m,n是正整数)例：3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n(m,n是正整数)例：4.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。
例：5.单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
a（m+n）=am+an6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn例：7.平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
（a+b）（a-b）=a2-b2 (公式右边：符号相同项的平方-符号相反项的平方) 例：8.完全平方公式口诀：头平方和尾平方，头尾两倍在中央，中间符号是一样。
（a+b）2=a2+2ab+b2 =a2+b2+2ab （a-b）2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab例：9.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=（a2+2ab+b2）+（a2-2ab+b2）=2a2+2b2，（a+b）2-（a-b）2=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2）=2ab+2ab=4ab，a2+b2=（a+b）2-2ab，④a2+b2= （a-b）2+2ab，⑤（a+b）2=（a-b）2+4ab,⑥（a-b）2=（a+b）2-4ab01各个击破命题点1幂的运算【例1】若a m＋n·a m＋1＝a6，且m＋2n＝4，求m，n的值．【思路点拨】已知m＋2n＝4，只要再找到一个关于m，n的二元一次方程即可组成方程组求解．可根据同底数幂的乘法法则，由等式左右两边a的指数相等即可得到．【解答】【方法归纳】对于乘方结果相等的两个数，如果底数相等，那么指数也相等．1．(徐州中考)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．若2x＝3，4y＝2，则2x＋2y的值为________．命题点2多项式的乘法【例2】化简：2(x－1)(x＋2)－3(3x－2)(2x－3)．【解答】【方法归纳】在计算多项式乘法时，要注意不漏项，不重项．多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．3．(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( )A．1 B．－2C．－1 D．24．下列各式中，正确的是( )A．(－x＋y)(－x－y)＝－x2－y2B．(x2－1)(x－2y2)＝x3－2x2y2－x＋2y2C．(x＋3)(x－7)＝x2－4x－4D．(x－3y)(x＋3y)＝x2－6xy－9y2命题点3适用乘法公式运算的式子的特点【例3】下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是( )A．(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)C．(x－2y)(x＋2y) D．(－x－y)(x＋y)【方法归纳】能用平方差公式进行计算的两个多项式，其中一定有完全相同的项，剩下的是互为相反数的项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．5．下列多项式相乘，不能用平方差公式的是( )A．(－2y－x)(x＋2y)B．(x－2y)(－x－2y)C．(x－2y)(2y＋x)D．(2y－x)(－x－2y)6．下列各式：①(3a－b)2；②(－3a－b)2；③(－3a＋b)2；④(3a＋b)2，适用两数和的完全平方公式计算的有________(填序号)．命题点4利用乘法公式计算【例4】先化简，再求值：(2a－b)(b＋2a)－(a－2b)2＋5b2.其中a＝－1，b＝2.【思路点拨】把式子的前两部分分别运用平方差公式和完全平方公式化简．【解答】【方法归纳】运用平方差公式时，要看清两个因式中的相同项和相反数项，其结果是相同项的平方减去相反数项的平方．7．下列等式成立的是( )A．(－a－b)2＋(a－b)2＝－4abB．(－a－b)2＋(a－b)2＝a2＋b2C．(－a－b)(a－b)＝(a－b)2D．(－a－b)(a－b)＝b2－a28．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝15，那么a2＋b2的值是________．9．计算：(1)(a＋b)2－(a－b)2－4ab；(2)[(x＋2)(x－2)]2；(3)(a＋3)(a－3)(a2－9)．命题点5乘法公式的几何背景【例5】(1)如图，请用两种不同的方式表示图中的大正方形的面积；(2)你根据上述结果可以得到一个什么公式？(3)利用这个公式计算：1022.【思路点拨】根据图形可以得到：图形的面积有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中两个长方形面积与两个正方形的面积的和，即可得到公式；然后利用公式计算即可．【解答】【方法归纳】根据同一个图形的面积的两种表示，所得到的代数式的值相等，由此可得到对应的代数恒等式．10．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为( )图 1 图2A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2D．a(a－b)＝a2－ab11．(枣庄中考)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A．2ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b202整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(钦州中考)计算(a3)2的结果是( )A．a9B．a6C．a5D．a2．(巴彦淖尔中考)下列运算正确的是( )A．x3·x2＝x5B．(x3)2＝x5C．(x＋1)2＝x2＋1 D．(2x)2＝2x23．如果a2n－1·a n＋5＝a16，那么n的值为( )A．3 B．4C ．5D ．64．下列各式中，与(1－a)(－a －1)相等的是( )A ．a 2－1B ．a 2－2a ＋1C ．a 2－2a －1D ．a 2＋15．如果(x －2)(x ＋3)＝x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值为( )A ．p ＝5，q ＝6B ．p ＝－1，q ＝6C ．p ＝1，q ＝－6D ．p ＝5，q ＝－66．(－x ＋y)( )＝x 2－y 2，其中括号内的是( )A ．－x －yB ．－x ＋yC ．x －yD ．x ＋y7．一个长方体的长、宽、高分别是3a －4、2a 、a ，它的体积等于( )A ．3a 3－4a 2B ．a 2C ．6a 3－8aD ．6a 3－8a 28．已知a ＝814，b ＝275，c ＝97，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a 二、填空题(每小题4分，共16分)9．若a x ＝2，a y ＝3，则a 2x ＋y＝________．10．计算：3m 2·(－2mn 2)2＝________．11．(福州中考)已知有理数a ，b 满足a ＋b ＝2，a －b ＝5，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是________．12．多项式4x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，请写出所有可能的单项式为________． 三、解答题(共60分) 13．(12分)计算：(1)(－2a 2b)3＋8(a 2)2·(－a)2·(－b)3； (2)a(a ＋4b)－(a ＋2b)(a －2b)－4ab ； (3)(2x －3y ＋1)(2x ＋3y －1)．14．(8分)已知a ＋b ＝1，ab ＝－6，求下列各式的值．(1)a 2＋b 2；(2)a 2－ab ＋b 2.15．(10分)先化简，再求值：(1)(常州中考)(x ＋1)2－x(2－x)，其中x ＝2； (2)(南宁中考)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12.16．(10分)四个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，这个记号就叫做2阶行列式. 例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝1×4－2×3＝－2 . 若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 x ＋1＝10，求x 的值．17．(10分)如图，某校有一块长为(3a ＋b)米，宽为(2a ＋b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含a 、b 的代数式表示绿化面积并化简； (2)求出当a ＝5米，b ＝2米时的绿化面积．18．(10分)小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x ＋a)(3x ＋b)．小华把第一个多项式中的“a”抄成了－a ，得到结果为6x 2＋11x －10；小明把第二个多项式中的3x 抄成了x ，得到结果为2x 2－9x ＋10.(1)你知道式子中a ，b 的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．参考答案各个击破【例1】 由已知得a 2m ＋n ＋1＝a 6，所以2m ＋n ＋1＝6，即2m ＋n ＝5.又因为m ＋2n ＝4，所以m ＝2，n ＝1.【例2】 原式＝2(x 2＋2x －x －2)－3(6x 2－9x －4x ＋6)＝－16x 2＋41x －22. 【例3】 C【例4】 原式＝(4a 2－b 2)－(a 2－4ab ＋4b 2)＋5b 2＝3a 2＋4ab.当a ＝－1，b ＝2时，原式＝3×(－1)2＋4×(－1)×2＝－5.【例5】 (1)方法一：(a ＋b)2.方法二：a 2＋2ab ＋b 2.(2)(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2.(3)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404. 题组训练1．C 2.6 3.C 4.B 5.A 6.②④ 7.D 8.49.(1)原式＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2－4ab ＝0.(2)原式＝(x 2－4)2＝x 4－8x 2＋16.(3)原式＝(a 2－9)(a 2－9)＝a 4－18a 2＋81. 10.C 11.C 整合集训1．B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.12 10.12m 4n 411.1 000 12.±4x 或4x 413.(1)原式＝－8a 6b 3－8a 6b 3＝－16a 6b 3.(2)原式＝a 2＋4ab －(a 2－4b 2)－4ab ＝a 2＋4ab －a 2＋4b 2－4ab ＝4b 2.(3)原式＝[2x －(3y －1)][2x ＋(3y －1)]＝4x 2－(3y －1)2＝4x 2－(9y 2－6y ＋1)＝4x 2－9y 2＋6y －1.14.(1)原式＝(a ＋b)2－2ab ＝1＋12＝13.(2)原式＝(a ＋b)2－3ab ＝12－3×(－6)＝1＋18＝19.15.(1)原式＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1.当x ＝2时，原式＝8＋1＝9. (2)原式＝1－x 2＋x 2＋2x －1＝2x.当x ＝12时，原式＝2×12＝1.16.(x ＋1)2－(x －2)(x ＋2)＝2x ＋5＝10，解得x ＝2.5. 17.(1)S 阴影＝(3a ＋b)(2a ＋b)－(a ＋b)2＝6a 2＋3ab ＋2ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab(平方米)．(2)当a ＝5，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×25＋3×5×2＝125＋30＝155(平方米)．18.(1)根据题意，得(2x －a)(3x ＋b)＝6x 2＋(2b －3a)x －ab ＝6x 2＋11x －10；(2x ＋a)(x ＋b)＝2x 2＋(a ＋2b)x ＋ab ＝2x 2－9x ＋10，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b －3a ＝11，a ＋2b ＝－9. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－2.(2)正确的算式为：(2x －5)(3x －2)＝6x 2－19x ＋10.。
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算习题课件新版湘教版
一、平方差公式 1.公式表示：(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 2.说明：字母a,b不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个 单项式或一个_多__项__式__. 3.特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项 _完__全__相__同__，另一部分项互为相反数.右边等于_完__全__相__同__的__项__的 平方减去_互__为__相__反__数__的__项__的平方.
4.计算：(1)592=_____.(2)712=_____. 【解析】(1)592=(60-1)2=3 600-120+1=3 481. (2)712=(70+1)2=4 900+140+1=5 041. 答案：(1)3 481 (2)5 041
乘法公式的综合运用 【例2】(6分)计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t). 【规范解答】原式=［m-(2n-3t)］［m+(2n-3t)］ ……………………………………………………………………1分 =m2-(2n-3t)2 ……………………………………………………4 分 =m2-(4n212nt+9t2) ……………………………………………5分 =m2-4n2+12nt-9t2. ……………………………………………6
【规律总结】 完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全平
方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几项 结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公式 的特征时，才可使用.
【跟踪训练】 1.(2012·白银中考)如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一 个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形(不重 叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.1.3 积的乘方教学课件
(2) (–a3b6)2＋(–a2b4)3.
解：(1)原式= –4xy2·x2y4·(–8x6)
=[–4×(–8)]x1+2+6y2+4
方法总结：涉及积的
乘方的混合运算，一
般先算积的乘方，再
算乘法，最后算加减，
然后合并同类项．
=32x9y6;
(2)原式=a6b12+(–a6b12) =[1+(–1)]a6b12 =0;
人教版 数学 八年级 上册
14.1 整式的乘法
14.1.3 积的乘方
导入新知
若已知一个正方体的棱长为2×103 cm,你能计算出
它的体积是多少吗？
是幂的乘方
形式吗？
底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，
它是积的乘方.积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运
算法则？
素养目标
3. 掌握转化的数学思想，提高学生应用数
= (0.04)2004 ×(25)2004
=(0.04×25)2004
=12004
=1.
探究新知
方法点拨
①逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，
对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转
化为公式的形式．
②一般转化为底数乘积是一个正整数幂的计算
较简便.
巩固练习
4
1
10
2
.
3.计算: 4
解：原式=2x6·x3–27x9+25x2·x7
= 2x9–27x9+25x9 = 0;
(2)(3xy2)2+(–4xy3) ·(–xy) ;
解：原式=9x2y4 +4x2y4
七年级数学下册第3章整式的乘除 乘法公式1第2课时教案新版浙教版
3.4乘法公式(1)教学目标：1．经历探索平方差公式的过程,会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识,进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式,解决数字运算问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力. 3．了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心. 教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能． 教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆,我以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主,为学生创造一个良好的学习情境,指导学生深刻思考,细心观察,在解题时,一切从习题特点出发,根据习题特点寻找最佳解题方法,具体在运用公式计算时,要认清结构,找准a 、b ． 课前准备：多媒体课件,一张正方形纸板,剪刀． 教学过程:一、速算王的绝招师：在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2. 10397?⨯=主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399,第二题等于9991。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
同学们,你知道他是如何计算的吗？（学生讨论,部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理,仍有部分学生很困惑．）师：这其中的奥秘,其实我们已经接触过了,通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明,能够迅速得到结果,我们开始今天的学习吧．【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心和求知欲,顺利引入新课。
二、一起来热身师：为了更好地解决本节课的内容,大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容,哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况. （多媒体出示习题） 利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --； （3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++． （学生独立做题,师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】 师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数,也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过习题训练功过上节课所学知识,为下面教学的展开做好铺垫． 三、数学是什么师：有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义！请问数学真的没有什么实际意义吗？ 请看下面的问题：师：请表示右图中阴影部分的面积. 生：a 2－b 2．师：你能将将阴影部分通过裁剪拼成一个长方形吗？如果能这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（学生动手操作,教师巡视指导,指定同学演示）生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),上面的大长方形宽是(a －b ),长是a ；下面的小长方形长是(a －b ),宽是b ．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a －b ),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分）,它的长和宽分别为(a +b )、(a －b )．师：比较前两问的结果,你有什么发现? （学生思考交流）生：这两部分面积应该是相等的,即(a +b )(a －b )=a 2－b 2．生：通过裁剪拼凑我们验证了上节课所学的平方差公式：(a +b )、(a －b )= a 2－b 2． 生：用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证． 师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：设计几何解释,目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系,是看得见摸得着的,纠正 “数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际的意义。
整式的乘法公式与因式分解方法
整式的乘法公式与因式分解方法整式是由数、字母和运算符号（仅限于加法、减法、乘法和乘方）组成的代数表达式。
在代数学中，整式的乘法公式和因式分解是非常重要的概念和方法。
一、整式的乘法公式在解决整式的乘法运算时，乘法公式起到了关键的作用，它能够帮助我们简化计算过程，提高效率。
1. 二项式的乘法公式二项式的乘法公式是指两个二项式相乘时的简化方法。
设有两个二项式$(a + b)$和$(c + d)$，它们的乘积可以通过使用FOIL法则来计算。
FOIL法则指的是先相乘、外乘再相加、内乘再相加、最后相加的步骤。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积：首先，先相乘：$2x \cdot 4x = 8x^2$；然后，外乘再相加：$2x \cdot 5 + 3 \cdot 4x = 10x + 12x = 22x$；接着，内乘再相加：$3 \cdot 5 = 15$；最后，相加结果：$8x^2 + 22x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积为$8x^2 + 22x + 15$。
2. 三项式的乘法公式三项式的乘法公式是指两个三项式相乘时的简化方法。
与二项式的乘法公式类似，计算过程同样采用FOIL法则。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积：首先，先计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积，结果为$8x^2 + 22x + 15$；然后，再乘以$(x + 1)$，使用FOIL法则，计算过程如下：一次相乘：$(8x^2 + 22x + 15)(x) = 8x^3 + 22x^2 + 15x$；外乘再相加：$(8x^2 + 22x + 15)(1) + (8x^3 + 22x^2 + 15x) = 8x^2 + 22x + 15 + 8x^3 + 22x^2 + 15x = 8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积为$8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(教师版)
A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（A）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ A ）A．–6B．6C．–9D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（D）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A）A．25B．20C．15D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（D）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝19 ．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ 3 ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝-2022 ．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15 ．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 3 ．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是124 ．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（B）A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（B）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（C）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是a3-b3．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是等边三角形三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．18．阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．（1）填空T（15，345）＝．（2）求证：当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．四、课堂小结重难点：多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。
整式的乘法和乘法公式最新版
择 (2) 如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全
B 平方式，则k=( )
(A) 3y 2 (B) 9y 2 (C) y
(D) 36y 2
如果4x2+kxy +9y2是一个关于x、y的完全平 方式，则k=(+ 12)
A （3）如果a+
1
a
=3,则a2+
1
a2
=(
)
选 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
口答练习一
(1) (x-2y)(x+2y) =x2-4y 2
(2)
(x-1y)(2源自x-1 2y
) =x2-xy +
1 4
y2
(3)
( 3x-
1 2
y
)
(
9x2+
23xy+
1
4
y
2
) =27x3-
y1 3
8
(4) (-x-2y)(-x+2y) =x2-4y2
整式的乘复法习和乘法公
式
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
=[4 ( -3)](a2a3) (x5x2)b
=-12a5bx7
a a a 同底数幂的乘法
动手做
（1） 已知x=a+2b,y=a-2b，
求:x2+xy+y 2
2022年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解教案 整式的乘法(第3课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.1.4 整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师:课件、直尺、计算器等。
学生:练习本、钢笔或圆珠笔。
六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想:上面的式子该如何计算?（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.学生回答:（1）28；（2）x10；（3）2m+n.教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变，指数相加.教师问3:思考下面的题该如何计算？(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10(3)( )( )×2n=2m+n学生回答:可以把乘法法则反过来利用.教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答:（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5:你是如何计算的呢？学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.教师问6:能不能试着完成下列各题:计算:(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n学生回答:(1) 28÷23=25；(2) x10÷x6=x4；(3) 2 m+n÷2n =2m教师问7:观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6；(3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n学生回答:底数不变，指数相减.教师总结:同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8:以上法则能用字母表示吗？学生总结:a m÷a n＝a m－n.教师问9:对指数有何要求吗？学生回答:m，n都是正整数，且m>n.教师总结:a m ÷a n=a m–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10:如何验证其正确性呢？学生回答:验证:因为a m–n·a n=a m–n+n=a m，所以a m ÷a n=a m–n.教师问11:对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答:对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12:计算:a m÷a m学生计算a m÷a m时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳:从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定:a0＝1(a≠0).教师问13:为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答:因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.总结点拨:（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有a m÷a n=a m–n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定:a0=1(a ≠0)这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1:计算:（出示课件7）(1)x8÷x2；(2) (ab)5÷(ab)2.师生共同解答如下:解:(1)x8 ÷x2=x8–2=x6；(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.总结点拨:计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．例2:已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下:解:∵a m＝12，a n＝2，a＝3，∴a m–n–1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.总结点拨:解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m–n–1进行变形，再代入数值进行计算．2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则教师问14:计算:4a2x3·3ab2学生回答:4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15:计算:12a3b2x3÷ 3ab2学生讨论回答:（出示课件11）解法1: 12a3b2x3÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.由(1)可知括号里应填4a2x3.解法2:原式=4a2x3· 3ab2÷ 3ab2=4a2x3.理解:上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.教师问15:类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答:（1）2x2；（2）4n教师问16:通过计算，你又发现什么规律？学生回答:单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨:（出示课件12）单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3:计算:（出示课件13）(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.师生共同解答如下:解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c=- 1ab2c.3总结点拨:单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问17:一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答:面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18:若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？学生回答:长为(ma+mb)÷m.教师问19:如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）学生讨论后回答:计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，教师问20:（）填什么呢？学生回答:a+b教师问21:am ÷m+bm ÷m=？学生回答:a+b教师问22:观察上边的问题，你发现了什么？学生回答:(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m教师问23:计算下列各式:(1)(ax＋bx)÷x；(2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答:(1) a+b；(2) a+b；(3) 2x+y.教师问24:说你是怎样计算的？学生回答:多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问25:它们的项数之间有什么发现吗？师生共同解答如下:在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同.教师问26:你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问27:你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答:(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.关键:应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例4:计算:(12a3–6a2+3a) ÷3a. （出示课件19）师生共同解答如下:解: (12a3–6a2+3a) ÷3a=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a=4a2+(–2a)+1=4a2–2a+1.总结点拨:多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.例5:先化简，后求值:[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）师生共同解答如下:解:原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得原式＝x–y＝2015–2014＝1.（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是( )A．(π–3.14)0没有意义B．任何数的0次幂都等于1C．(8×106)÷(2×109)＝4×103D．若(x＋4)0＝1，则x≠–42.下列算式中，不正确的是( )A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4B．9x m y n–1÷3x m–2y n–3＝3x2y2C. 4a2b3÷2ab＝2ab2D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)3.已知28a3b m÷28a n b2=b2，那么m，n的取值为( )A．m=4，n=3 B．m=4，n=1C．m=1，n=3 D．m=2，n=34.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.6.计算: (1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；(3)–21a2b3c÷3ab；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m.7. 先化简，再求值:(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值；（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值；（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．参考答案:1.D2.D3.A4.a+25. –3y3+4xy6. 解:(1) 6a3÷2a2=(6÷2)(a3÷a2)=3a.(2) 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2–1b3–1=8ab2.(3)–21a2b3c÷3ab=(–21÷3)a2–1b3–1c= –7ab2c；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m= 2m2–m+2.7. 解:原式＝x2–y2–2x2＋4y2＝–x2＋3y2.当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8. 解:(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习预习下节课（14.2）的相关内容。
整式的乘法乘法公式
先算乘方，再算乘除，最后算 加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用 分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果 。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平 方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数 式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式 的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两 个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高 运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力 和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广 泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的 指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。
初中数学.乘法公式.第12讲.教师版
考试内容A （基本要求）B （略高要求）C （较高要求）平方差公式、完全平方公式 理解平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景 能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算 能根据需要，运用公式进行相应的代数式的变形模块一 平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
（1） 左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2） 右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
注意：（1）公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(3=9x y x y x y +--）；22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-。
（2）不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。
如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-。
模块二 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。
注意：（1）公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
（2）一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，如：22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc =+++++板块一：公式的几何意义【例1】 如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.例题精讲乘法公式【解析】 如图，左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为()()a b a b +-，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)【答案】见解析【巩固】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.a bb a【解析】 略【答案】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--【巩固】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.【解析】 左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为1(22)()()()2b a a b a b a b +-=+-，故验证了公式22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)【答案】见解析【巩固】 请设计一个几何图形，验证222()2a b a ab b -=-+.ba-bb 2a-bb 【解析】 换汤不换药，图形同上，将其中的字母修改即可，如图整个大正方形的面积为2a ，两个小正方形的面积分别为2()a b -、2b ，另外两个长方形的面积均为()b a b -，故22222()2()2a b a b a b b a ab b -=---=-+，这就是差的完全平方公式的几何意义.【答案】见解析板块二：平方差公式【例2】 运用平方差公式计算：⑴ 2211()()22x y x y -+⑵(41)(41)a a ---+⑶()()m n m n a b a b +-【解析】 ⑴22222421111()()()()2224x y x y x y x y -+=-=-⑵222(41)(41)(4)1161a a a a ---+=--=-⑶2222()()()()m n m n m n m n a b a b a b a b +-=-=-【答案】见解析【巩固】 利用平方差公式简化计算：⑴59.860.2⨯ ⑵10298⨯⑶2123461234512347-⨯ 2(4)2008⑷11411515⨯【解析】 ⑴2259.860.2(600.2)(600.2)600.23599.96⨯=-+=-=⑵2210298(1002)(1002)10029996⨯=+-=-=⑶2222212346123451234712346(123461)(123461)12346(123461)1-⨯=--+=--=⑷1141111241(1)(1)115151515125125⨯=+-=-=【答案】见解析【例3】 如果(221)(221)63a b a b +++-=，那么a b +的值是 【解析】 ∵(221)(221)63a b a b +++-=，∴[]222()163a b +-=，∴4a b +=± 【答案】见解析【例4】 9621-有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数． 【解析】 ()()964848212121-=-+()()()()()661224482121212121=-++++()()()1224486365212121=⨯⨯+++，这两个数是63和65．【答案】见解析【巩固】 已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．【解析】 ()()241212313131-=+-()()()()1263331313131=+++-()()12631312826=++⨯⨯所求二整数为28、26．【答案】见解析板块三：完全平方公式【例5】 计算：⑴2(811)a b -+⑵2(23)x y --【解析】 ⑴原式222(118)12117664b a b ab a =-=-+；⑵原式222(23)4129x y x xy y =+=++. 【答案】见解析【巩固】 计算：⑴2(4)m n + ⑵21()2x - ⑶2(32)x y - ⑷21(4)4y --【解析】 ⑴22222(4)(4)24168m n m mn n m mn n +=+⨯+=++⑵22221111()2()2224x x x x x -=-+=-+⑶22222(32)(3)232(2)9124x y x x y y x xy y -=-⨯⨯+=-+⑷222222111111(4)(4)(4)(4)24()1624444416y y y y y y y ⎡⎤--=-+=+=+⨯⨯+=++⎢⎥⎣⎦【答案】见解析【巩固】 计算：⑴222(30.5)a b ab + ⑵2(1113)m n a b - ⑶2(25)(52)(25)x x x ---- 【解析】 ⑴222423324(30.5)930.25a b ab a b a b a b +=++；⑵222(1113)121286169m n m m n n a b a a n b -=-+；⑶22222(25)(52)(25)(25)(25)2(25)84050x x x x x x x x ----=----=--=-+-. 【答案】见解析【例6】 计算：⑴2()a b c ++ ⑵2()a b c -- ⑶2(23)a b c -+ 【解析】 ⑴原式222222a b c ab ac bc =+++++⑵原式222222a b c ab ac bc =++--+ ⑶原式232234618a b c ab ac bc =++-+-【答案】见解析【例7】 计算：⑴ 22(2)(2)x x +-； ⑵(59)(59)x y x y +--+；⑶()()a b c a b c ++--；⑷先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-【解析】 ⑴[]2222242(2)(2)(2)(2)(4)816x x x x x x x +-=+-=-=-+；⑵ 22(59)(59)(59)x y x y x y +--+=--2222(259081)259081x y y x y y =--+=-+-.⑶原式[][]22222()()()2a b c a b c a b c a b c bc =++-+=-+=---⑷2222(32)(32)5(1)(21)9455(441)95x x x x x x x x x x x +-----=--+--+=-又13x =-，故原式=1959()583x -=⨯--=-【答案】见解析【巩固】 ⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.【解析】 ⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y ⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦又3x =，1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-【答案】见解析【例8】 填空：⑴222()______a b a b +=+-； ⑵222()______a b a b +=-+； ⑶[]221______________2a b +=+ ⑷22()()_______a b a b -=+-； ⑸_________________________ab ===.【解析】 ⑴2ab ；⑵2ab ；⑶22221()()2a b a b a b ⎡⎤+=++-⎣⎦； ⑷4ab ；⑸2221()2a b a b ⎡⎤+--⎣⎦，2221()2a b a b ⎡⎤+--⎣⎦， 221()()4a b a b ⎡⎤+--⎣⎦ 【答案】见解析【例9】 已知3a b +=，2230a b ab +=-，则2211a ab b -++= ．【解析】22()330a b ab ab a b ab +=+==- 所以10ab =-，22211()31150a ab b a b ab -++=+-+=．【答案】见解析【巩固】 如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值是【解析】 ∵()()22122163a b a b +++-=，∴()222163a b +-=⎡⎤⎣⎦，∴4a b +=±【答案】见解析【巩固】 如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )A ．a 是b 的相反数B ．a 是b -的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b -的倒数【解析】 将原式展开，合并后得到1ab =，选择C ． 【答案】见解析【例10】 已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【解析】 2222()()132a b a b a b ++-+==，22()()64a b a b ab +--==-，227a b ab ++=．【答案】见解析【巩固】 已知2(1)()5a a a b ---=-，求222a b ab +-的值． 【解析】 由条件得5a b -=，222()25222a b a b ab +--==【答案】见解析【巩固】 设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m n += ．【解析】 222222()()120()22a b a b a b a b ++-⎡⎤+==+-⎣⎦， 因为2()0a b -≥，所以22a b +最小值200m =；222()()1400()44a b a b ab a b +--⎡⎤==--⎣⎦，所以ab 的最大值100n =，故300m n +=． 【答案】见解析【巩固】 若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= .【解析】 22(2)(3)x x ++-22(2)(3)x x =++-[]2(2)(3)2(2)(3)x x x x =++--+-252(2)(3)13x x =-+-=， 所以2(2)(3)12x x +-=，(2)(3)6x x +-=. 【答案】见解析板块三：配方思想【例11】 填空：⑴222_____4(2)x y x y ++=+；⑵2229_____121(3___)a b a -+=-；⑶2244____(2___)m mn m ++=+；⑷2_____6______(3)xy x y ++=+.【解析】 ⑴4xy ；⑵66ab ，11b ；⑶2n ，n ；⑷29x ，2y . 【答案】见解析【例12】 ⑴如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为⑵如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为【解析】 完全平方：2222()a ab b a b ±+=±，⑴参看公式我们可以发现23k =±，学生在此极易少答案；⑵4k =±．【答案】见解析【巩固】 如果2249x axy y ++是完全平方式，试求a 的值.【解析】2222249(2)(3)(23)x axy y x axy y x y ++=±++±=±±，故12a =±. 【答案】见解析【例13】 若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 【解析】 若把Q 视为2ab 这一项，22241(2)1x Q x Q ++=++，那么单项式Q 可以是2214x x ±⨯⨯=±；若把24x +视为2ab 这一项，222412211x Q x Q ++=⨯⨯++，那么单项式Q 可以是44x ；若把1+视为2ab 这一项，22141(2)224x Q x x Q x++=+⨯⨯+，那么Q 可以是2116x，但它不是单项式，所以此答案不符合题意．Q 还可以是24x -、1-． 【答案】见解析【例14】 甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用1万元购粮，则两次平均价格较低的是 公司．【解析】 设两次购粮的价格分别为x 元／千克和y 元／千克(x y =/)，则甲公司两次购粮的平均价格为1000010000200002x y x y++=(元／千克) 乙公司两次购粮的平均价格为2000022100001000011xyx yx y x y==+++(元／千克) 因为222()4()02()22()x y xy x y xy x y x y x y x y ++---=>+++所以两次平均价格较低的是乙公司．【答案】见解析【例15】 若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ． 【解析】 222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=， 所以2a b ==-，则2216a b ab +=-． 【答案】见解析【巩固】 若a ，b 为有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab = ． 【解析】 ()()()222222248240a ab b a a b a -+++=-++=， 所以4a =-，122b a ==-，(4)(2)8ab =-⨯-=．【答案】见解析【例16】 求224243a b a b +--+的最值．【解析】22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1． 【答案】见解析【巩固】 求下列式子的最值：⑴当x 为何值时，249x x -+有最小值；⑵当x 为何值时，2615x x -+-有最大值.【解析】 ⑴2249(2)55x x x -+=-+≥，故最小值为5；⑵222615(69)6(3)66x x x x x -+-=--+-=----≤，故最小值为6-. 【答案】见解析【巩固】 设225P a b =+，224Q ab a a =--，若P Q >，则实数a ，b 满足的条件是 ． 【解析】 由于22(1)(2)0P Q ab a -=-++>，所以实数a ，b 满足的条件是1ab ≠或2a ≠-． 【答案】见解析【习题1】如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________.b 2a 2ab ab a b ba【解析】 如图，整个大正方形的面积为2()a b +，而四个小图形的面积之和为222a ab b ++，因此验证的公式为：222()2a b a ab b +=++ 【答案】见解析【习题2】计算：⑴7373()()2424x y x y -+ ⑵(35)(35)x y x y ---+【解析】 ⑴原式222273499()()24416x y x y =-=-； ⑵原式2222(3)(5)925x y x y =--=-；【答案】见解析【习题3】（1）2(23)x y -+ （2）(2)(2)a b b a --（3）2222()()a ab b a ab b ++-+ （4）(22)(22)x y y x -+-+【解析】 （1）原式222(23)4129x y x xy y =-=-+（2）原式22222(2)(44)44a b a ab b a ab b =--=--+=-+-（3）原始22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦（4）原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-【答案】见解析【习题4】⑴计算：2()()()x y x y x y --+-；⑵计算：3131(2)(2)5353x y z y z x ---+；⑶计算：2222()()a ab b a ab b ++-+；课后作业【解析】 ⑴222222()()()2()22x y x y x y x xy y x y y xy --+-=-+--=-；⑵22222313113419(2)(2)(2)()45353353925x y z y z x x z y x xz z y ---+=--=-+-⑶原始22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦ 【答案】见解析【习题5】已知3a b +=，12ab =，求下列各式的值：⑴22a b +；⑵22a ab b -+；⑶2()a b - 【解析】 ⑴22222222()232(12)33a b a ab b ab a b ab +=++-=+-=-⨯-=⑵2222223()345a ab b a ab b ab a b ab -+=++-=+-=⑶222222()224()457a b a ab b a ab b ab a b ab -=-+=++-=+-=【答案】见解析【习题6】⑴若2414039x x -+=，则x =____ ____⑵若228x xy k ++是一个完全平方式，则k =______ __⑶若224m kmn n ++是一个完全平方式，则k =_____ ___【解析】 略 【答案】（1）16（2）4y ±（3）4±【习题7】求多项式222451213x xy y y -+-+的最值． 【解析】 原式22224231213x xy y y y =-++-+()()222223441x xy y y y =-++-++()()222321x y y =-+-+由2()x y -，2(2)y -的非负性知原式的最小值为1． 【答案】见解析【习题8】计算：⑴2(35)x y z -+； ⑵2(59)x y --；填空：⑶2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++；⑷22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+ 【解析】 ⑴2222(35)92561030x y z x y z xy yz zx -+=++--+；⑵222(59)2581109018x y x y xy y x --=++-+-.⑶13a ，14b ，12c ；⑷2m ，n . 【答案】见解析【习题9】填空：⑴6()______________________________________________a b +=；⑵6()______________________________________________a b -=.【解析】 ⑴654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++；⑵ 654233245661520156a a b a b a b a b ab b -+-+-+.【答案】见解析【习题10】若1990a =，1991b =，1992c =，则222a b c ab bc ac ++---= ．【解析】 222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b a c b c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦2221(1)(2)(1)32⎡⎤=-+-+-=⎣⎦ 【答案】见解析。
初中数学-：整式的乘除法综合-教师版
整式的乘除法综合在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充.整式的乘除法的基础是同底数籍的乘法和除法，籍的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算.通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础.P［整式的乘法整式的乘除法1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数籍分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法的顺序进行例如•2xv2 23X2v 4X2v43X2v 12X4v51XA H J //」乂 L |」•\/ .4/'H •c x y u x y *t x y u x y ic x y.2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项.再把所得的积相加.例如：m a b c=ma mb mc.3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用公式表示为: (m n)(a b) (m n)a (m n)b ma na mb nb .4、同底数籍的除法法则：同底数籍相除，底数不变，指数相减.用式子表不■为：a m a n a m n (m、n都是正整数且m n , a 0).5、规定a0 1 a 0 ; a p $ (a 0 , p是正整数).6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数籍分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.(1)多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项.(2)要求学生说出式子每步变形的依据.(3)让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对.一、选择题1.下列运算中结果正确的是( ).- - - 一一一 3 _A 336D 224八 2 5 cx x x ； B、3x 2x 5x ； C、x x ； D 、2 2 2x y x y .【难度】★【答案】A【解析】B正确答案为：3x2 2x2 5x2；C正确答案为x23 x6；D正确答案为x y 2x22xy y2 .【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.2.在下列的计算中正确的是（).A 2x 5y 5xy B、a a 2 a2 4G a2 ab a3b 2x 6x 9【答案】C【解析】A的两个单项式不能合并; 正确答案为D正确答案为x 32 x2 6x 9【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.3.下列运算中正确的是（).A 6 c 3 c 2 A、6x 3x 2x B、8x8,2 c 64x 2x2xy xyC、3xy 23x yA 、 abB. abC. D.b【解析】A 正确答案为6x 6 3x 3 2x 3 ;C 正确答案为223xy 3x 3xy ;D 正确答案为x 2y 2 xy 2 1.【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用.5.如果4a 2 3ab M 4a 3b ，那么单项式M 等于（）.4.计算 4ab 的结果是（).A 、4B 、A 2ab【答案】C【解析】原式=a 2 b 22ab a 2 b 2 2ab 4ab4ab 4ab 1【难度】【答案】C【解析】4a 2 3ab a 4a 3b a 4a 3b , /. M a .【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.6.设M 是一个多项式，且M 5 x 2y2x 2y 4 —x ，那么M 等于（）.32【难度】★★【答案】Cf 皿 士匚 1…2 43 5 2 2 45 23 5 2 104 55 3M 2x y — x -x y 2xy — xy-x-xy— x y -x y2332332【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.645943x y —x y B 、6 3 -y 55 2xy10 4 5 3xy2xy10 4 5i xy2xy7.已知x2 kxy 64y2是一个完全平方式，贝U k的值是（）.【难度】★★【答案】D【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.8.如下图（1）,边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形, 小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）.这一过程 可以验证（）.【解析】图1中，阴影部分的面积为a 2 b 2,图2中，阴影部分为长方形，长为a b ,宽为a b ,A 、8B 、±8C 、16【解析】X 2 kxy 64 y 2 x 2 kxy228y =x 28 xy28yA a 2 b 2 2abB 、a 2 b 2 2ab a b 2 ;G 2a 2 3ab b 22a b a- bDk a 2 b 2 a b a b【难度】★★【答案】D面积为【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解.9.如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式:b n 2a b ；④ 2am 2an bm bn ,你认为其中正确的有（）A、①②B、③④C、①②③ D>①②③④【难度】★★【答案】D【解析】图中①②③④中各个代数中表示图中长方形的面积.【总结】本题主要是通过图形的面积加强对整式乘法的理解.10.已知P — m 1 , Q m2—m （m为任意实数），则P、Q的大小关系15 15Dk不能确B、P Q【难度】★★★【答案】C【解析】Q P m28 —m 7 —m 1 m2m 1 m 1 2 3 015 15 2 4【总结】本题主要考查通过作差法来比较两个数的大小.二、填空题11.若5x 3y 2 0 , I05x 103y .【难度】★【答案】100【解析】；5x 3y 2 0 , 5x 3y 2 , /. 105x 103y=105x3y 102【总结】本题主要考查对同底数籍相除的法则的逆用.12.已知m n 2, mn 2，贝!j 1 m 1 n .【难度】★【答案】-3【解析】1 m 1 n 1 m n mn 1 mn 1 2 2【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用.13.若m2 n2 6 ,且m n 3 ,贝!J m n .【难度】★【答案】2.【解析］•/ m2 n2 m n m n 6 , m n 3 , m n 2 .【总结】本题主要考查对平方差公式的运用.14.方程x 3 2x 5 2x 1 x 8 41 的解是.【难度】★【答案】x 3.【解析】x 3 2x 5 2x 1 x 8 41 ,二2x2 5x 6x 15 2x2 16x x 8 41 ,即16x 48【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解.15.已知x2 5x 1，那么x2 W x【难度】★★【答案】272【解析】x2 5x 1 , x 1 5 . x 125,x xx2二 2 25 . x2 4 27 .x x【总结】当两个数互为倒数时，已知它们的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它们的平方和.16.设4x2 2 m 3 x 121是一个完全平方式，贝m=.【难度】【答案】19或-25【解析】•/ 4x2 2 m 3 x 121 2x 2 2 m 3 x 11 2 ,. 2m 3 44 , m为19 或-25 .【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.17.计算2x 3xy 2 x2y ‘的结果是.【难度】★★【答案】18x9y5f础居，c c 223CC22 6 3 . o 9 5I用牛忻1 2x 3xy x y 2x 9x y x y 18x y .【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用.18.已知5x与一个整式的积是25x2 15x3y 20x4 ,则这个整式= ______________________【难度】★★【答案】5x 3x2y 4x3 .x 3和 x 1 满足 4x 3 9x 2 mx n 0 .【解析】 - 2 3 4 - 2 325x 15x y 20x 5x 5x 3x y 4x .【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用.19.若一三角形的底为4a 2 ［，高为16a 4 2a 2【，则此三角形的面积为2 4【难度】★★★ 【答案】 6 132a16 【解析】 1 4a 2 - 16a 4 2a 2 1 1 64a 6 8a 4 a 2 8a 4 a 2 -32a 6 — 2 2 4 2 816【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解几何图形的面积.20.已知x 2 2x 3能整除4x 3 9x 2 mx n,求n\ n 的值.【难度】★★★【答案】m 10, n 3.1【解析】..• 4x39x2mx n x22x 3 A x 3 x 1 A, x 3和x 1 满足4x3 9x2 mx n 0 .4 3 3 93 2 3m n 0 则 』c 』2 c '4191 m n 0 【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择.三、简答题21.计算：x2y 2【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用.22.计算:32 2x y 2xy 1m 10 n 3 【解析】原式 =x 2y 2 2xy x 2 y 2 2y 2 2xy . 2x 3y 3(2) 6m 2n 6m 2n 23m 2 3m 2【难度】【答案】(1) 6x7y3 ; (2) 2n 2n2 1 .2 3T角贫*斥】＜1、百7^ —2X3V2XV2X3V2X24X6V22xvRx'v32x2L用牛仙1 V 1 / 赛工J —2x y 2xy 2x y 2x4x y 2x y 8x y2x73 73 732x y 4x y 6x y -(2)原式—6m2n 3m26m2n23m23m23m22n 2n2 1 .【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用.23.计算: x25x 6 x 6【难度】★【答案】x 1【解析】x 6 x 1 x 6 x 1 .【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算.24.计算：(1)x 4y 2x 3y (xy) ；(2) 6a b c 3a b c 2a b c .【难度】★【答案】(1) 6x7y3 ; (2) 2n 2n2 1 .【答案】(1) 2x25xy 12y2x y; (2) -1 .【解析】(1)原式—2x23xy 8xy 12y2x y 2x2 5xy 12y2x y；(2)原式=2a3b3c3 2a3b3c31.【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.25.计算：2 2 2(1) a 2b 1 ; (2) 2x 3x 4x 1 3x 2x 3 ;2 2(3)2a 3b 2a b 2a b ; (4) x y y 2x y 8x 2x【难度】★【答案】(1) a2 4ab 4b2 2a 4b 1 ; (2) x2 2x ;1(3)10b212ab ; (4) §x 4 .【解析】(1)原式=a 2b2 2 a 2b 1 a2 4ab 4b2 2a 4b 1 ;(2)原式=6x38x2 2x 6x39x2 6x3 8x2 2x 6x3 9x2x22x;(3)原式=4a2 9b2 12ab 4a2 b210b2 12ab ;(4)原式=x2y22xy 2xy y28x 2x x2 8x 2x —x 4 .2【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.26.计算下列各题:(1) m na3m 2namn 5a(2)2 3 2 5xy37xy2 3 3y2 2 3y【难度】 ★★【答案】(1)2mn .a ，(2)3x 3 521 —xy 2y •【解析］(1)原式=a mn a 6mn a 5mn a 2mn ;【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.27.若 3m 6,9n 2 求 32m4n1 的值.【难度】★★【答案】27【解析】32m 4n 132m 34n 3 3m 2 9n 2 3 62 22 3 27 .【总结】本题是对籍的运算的综合运用.(2)原式斗y27xy 32 3 2 23 3 21-y -y -x 3 —xy y .3 3 5 228.解不等式: x 1 x 3 8x x 5 x 5 2【难度】★★【答案】x 52【解析】x2 x 3x 3 8x x2 25 2 ,512x 30 , x 5 .2【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集.29.已知：2x 3 0 ,求代数式x x2 x +x25 x 9的值.【难度】★★【答案】0【解析】... 2x 3 0 . •，.原式=x3 x2 5x2 x3 9 4x2 9 (2x 3)(2x 3) 0 .【总结】本题主要是对整体代入思想的运用.30.先化简，再求值：xy 2 xy 2 2x 2y 2 4 xy （其中 X =10, y —）.25【难度】★★【答案】z5【解析】原式=x 2y 2 4 2x 2 y 2 4 xy x 2y 2 xy xy .1 2当X =10, y 云时，原式=1025 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准 确运用.【答案】1331.先化简，再求值：2a b 2 a 1 ba 1b a 1 2 其中 a - , b 2 .2【解析】原式=4a2 b2 4ab a 1 2 b2 a 1 2 4a2 2b2 4ab)2当 a ! , b 2 时，原式=4 1 2 2 2 4 1 2 13.【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.32.先化简，再求值：a -b 2 b a -b ,其中a 2 , b -.2【难度】★★【答案】5【解析】原式=a2 2ab b2 ab b2 a2 ab ,当 a 2 , b ；时，原式=22 2 2 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.33.先化简，再求值: 3x 2 3x 2 5x x 1 2x 1 2,其中x【难度】★★【答案】-8【解析】原式=9x2 4 5x2 5x 4x2 4x 1 9x 5 ,1当x:时，原式=9o 5 8 .3 3【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.2 c3 »34.先化简，再求值：2x y 2x y y 2x ,其中x 2, y 1【难度】★★【答案】5【解析】原式=2x y13 2x y6 2x y 6 2x y ,当x 2,y 1时，原式=2 2 1 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.35. 一个多项式除以x2 2x 3,得商为x 1,余式为2x 5,求这个多项式.【难度】★★【答案】x3 x2 3x 2 .，左刀2 3 2 2 3 2【解初J x22x 3 x 1 2x 5 x3x22x2 2x 3x 3 2x 5 x3x23x 2 . 【总结】本题主要是考查对题目的理解能力.36.已知一个三角形的面积是4a3b 6a2b212ab3, 一边长为2ab ,求该边上的高. 【难度】★★【答案】4a2 6ab 12b2 .224a 6ab 12b .即该边上的高为4a2 6ab 12b2 .，左刀3223 3 2 23【角牛析】2 4a3b 6a2b212ab32ab 8a3b 2ab 12a2b2 2ab 24ab32ab【总结】本题主要是考查对题目的理解能力.37.若3x 2y 10 0无意义，且2x y 5 ,求x,y的值.【难度】★★【答案】x 0, y 5.【解析】由题意可知：3x 2y 10 0.又2x y 5 , x 0 , y 5 .【总结】本题主要考查a0有意义的条件.38.若x2mx 8 x23x n的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值.【难度】★★【答案】m 3, n 17.【解析】原式=x4 3x3 nx2 mx3 3mx2 mnx 8x2 24x 8n 4 3 2x m 3 x n 3m 8 x mn 24 x 8n .,展开式中不含x2和x3项，m 3 0 , n 3m 8 0 , m3, n 17.【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.39.若a=2005, b=2006, c=2007,求a2 b2 c2 ab bc ac 的值.【难度】★★【答案】3【解析】原式=1 a b2 a c2 c b2 1 6 3.2 2【总结】本题主要是对完全平方公式的综合运用.40.说明代效式(x y)2 x y x y 2y y的值，与y的值无关.【难度】★★【答案】见解析.【解析】原式x2 y2 2xy x2 y22y y 2y2 2xy 2y y y x y x ,. ••此代数式的值与y的值无关.【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.41.一个正方形的边长增加3cm,它的面积增加了45cm2.求这个正方形原来的边长.若边长减少3cmi它的面积减少了45cm,这时原来边长是多少呢【难度】★★【答案】6cm 6cm【解析】设原来正方形的边长为x cm则x 3 2 x2 45 ,解得：x 6 .正方形原来的边长为6 cm.设原来正方形的边长为ycm则y 32 y2 45 ,解得：y 6 .正方形原来的边长为6 cm.【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用.42.如图所示，长方形ABCDT阳光小区”内一块空地，已知AB=2a,BG3b,且E为AB边的中点，CF 1BC ,现打算在阴影部分种植一3片草坪，求这片草坪的面积.【难度】★★【答案】2ab .【解析】1 2a 3b 1 a 2b 2ab .2 2【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用.43.如图，某市有一块长为3a b米，宽为2a b米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化, 的面积是多少平方米并求出当a 的绿化面积. 【难度】★★【答案】5a2 3ab; 63.【解析】3a b 2a b a b 2_2_ 2 2 26a23ab 2ab b2a22ab b2_ 2 —5a 3ab .当a 3 , b 2时，原式=5 32 3 3【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.2 63.44.“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽.【难度】★★★【答案】场地的长为12米，宽为10米.【解析】设正方形的边长为X,则场地的长为X 8米，宽为x 6米.则x 8 x 6 x2 104 ?解得：x 4场地的长为12米，宽为10米.【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.45.某城市为了鼓励居民节约用水，对白来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过a吨，每吨m元；若超过a吨，则超过的部分以每吨2 m元计算.现有一居民本月用水x吨，则应交水费多少元【难度】★★★【答案】见解析.【解析】当x a ,应交水费为am ；当x a ,应交水费为am x a 2m 2mx am .【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.46.求证：无论x、y为何值，4x2 12x 9y2 3 30y 35的值恒为正.21 1 2n2 n34 2n 1 n 1 〔222 1 3 2 3侦牛忻 1 - 一xyz m -x y z 5x y z , - - -xyz m 一x y z .3 3 9 15【难度】★★★【答案】见解析.v A-i-t r w 2 2 2 2【命军析］•/ 4x 12x 9y 30 y 35= 2x 3 3y+5 1 0,无论x、y为何值，4x2 12x 9y2 30y 35的值恒为正.【总结】本题主要利用配方来说明代数式的正负性.四、解答题1 12n2 n34 2n1n1 口、，甲._.x z 147.U 大口 : - xyz m - x y z 5x yz , F. I「.修钗x、z 7两人E: 2 372 ,3 3求m的值.【难度】★★【答案】玄.5m -1x3y2z3 1x2y2z2 2xz15 9 5..•正整数x、z 满足：2x 3z 1 72 , x 3 , z 1 2 .x 3, z 3, m § 3 3 27 .5 5【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.48. 已知f x 5 39x 8x 12x2 , g x 5 6 -x64—x9求: f x 3x g x5 2一x的值.57 4一x12【答案】8 3 143 -x x5 30 2 4x【解析】f x 3x g x 5 2 —x189x58x3 12x23x 5x66 4 5—x93x48 2x2 4x33x48x35L108x3 5 143 2 』——x4x .305 2 —x 187 —x12【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.49.已知关于x的三次多项式除以x2 1时，余式是2x 5 ；除以x2 4时，余式是3x 4,求这个三次多项式.【难度】★★【答案】5x3 3x2 ^x 8.3 3【解析】设关于x的三次多项式为：f (x) ax3 bx2 cx d(a 0),且f (x)除以x2 1与除以x2 4后，所得的商式分别为：ax m与ax n .贝(J ax3bx2cx d x21 (ax m) 2x 5 ①ax3bx2cx d x24 (ax n) 3x 4 ②. ••把x 1代入①可得：a b c d 3 , a b c d 7 .JE x 2 代入②可得:8a 4b 2c d 2 , 8a 4b 2c d 10 .解得：a - , b 3 , c 11 , d 8 .3 3关于x的三次多项式为5x3 3x2 11x 8.3 3【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择.50.阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足2 2 2 2 4 4 二-fx业业匕 "一八c a c b a b ,试判断ABC日勺形状.22 22 4 4用牛. c a c b a bc2(a2b2) (a2b2)(a2b2) (B)c2a2b2(C)ABC是直角三角形问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误请写出该步的代号:(2)错误的原因为：________________________________________________(3)本题正确的结论为:【答案】见解析.【解析】(1) (C);(2)因为a4 b2不能确定能不能为零.(3) AABC为直角三角形或等腰三角形.・ 2 2.2 2.2 2.2• •ca b a b a b 0 .a2 b2或a b或a b . .'a、b、c为ABC的三边,c2a2 b20 或a2 b22 2 .2caba2 b20 .. 3BC为直角三角形或等腰三角形.【总结】本题主要是对等式的基本性质的考查，等式两边同除的数一定不为零.。
第一章整式乘法-乘法公式拓展提升(教案)
3.注重个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导和指导；
4.定期对学生们进行评价，了解他们在整式乘法方面的掌握程度，以便调整教学策略。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对整式乘法的基础知识掌握得相对扎实，但在乘法公式的运用上还存在一些问题。尤其是在完全平方公式、平方差公式等拓展提升部分，学生们在理解上还有一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重乘法公式的推导过程和实际应用。
课堂上，我尽量用生动的语言和具体的例子来解释乘法公式的来源和运用，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然难以消化。我想，在下一节课中，可以尝试通过更多的互动和实际操作，让学生们亲自参与到公式的推导和应用中来，以提高他们的理解和记忆。
（3）各类乘法公式在实际问题中的综合运用。
举例：
-多项式乘法法则：要求学生掌握(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的展开方法；
-完全平方公式：熟练运用a²±2ab+b²=(a±b)²解决实际问题；
-平方差公式：掌握a²-b²=(a+b)(a-b)，并能应用于求解相关问题；
-立方和与立方差公式：熟练运用a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)解决具体问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、乘法公式的重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第一章整式的运算(教师版)
第一章 整式的运算1 整式新知识记 1.整式及有关知识（1）定义：单项式和多项式统称整式. （2）单项式①定义：数字与字母的乘积.②次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.③系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数. （3）多项式①定义：几个单项式的和叫做多项式. ②次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数. ③项数：一个多项式中有几个单项式就有几项. 典例精析例1：下列整式中，次数与项数相同的有哪些？①7 ②-x ③1-s 2+3t ④πx +1 ⑤53a 2b -2bc +3 ⑥6xy【点拨】先分别找出每小题的次数与项数，再判断它们是否一致.①单项式，次数是0. ②单项式，次数是1（一致.） ③多项式，二次三项式. ④多项式，一次二项式.注意：πx 是第一项，是一次的.π只能出现在某一个单项式或项的系数中. ⑤多项式，三次三项式（一致）. ⑥单项式，次数是2. 解：次数与项数相同的②⑤. 例2 ：若12n axy+-是关于x 、y 的单项式， 且系数为-6，次数为3， 则a =________,m =________.【点拨】 “关于x 、y 的单项式”说明只有课前热身 前课之鉴1.某校学生总数为x,其中女生人数占总数的25，女生人数为25x ； 2.一个长方体的底面是边长为a 的正方形，高是h ，表面积是 224a ah +课内过关 练习精选3. 下列说法正确的是（ D ）A.单项式A 的系数是0B.单项式a 的次数是0C.a1是单项式 D.1是单项式 4. 下列代数式中整式有( B )x1, 2x +y ,31a 2b , πy x -,xy45, 0.5, a A.4个B.5个C.6D.7个5.多项式a 2－21ab 2－b 2有__3___项，其中－21ab 2的次数是___3__.6.小明家去年结余6000元，估计今年可结余10000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%.(1)若去年支出x 元，求去年收入多少元？今年的收入和支出各多少？ (2)若今年支出x 元，则今年收入多少元，去年的收入和支出各多少？ 解：（1）去年收入(6000+x)元,今年收入(1+15%)(6000+x)元,今年支出0.9x 元; (2) 今年收入(10000+x)元, 去年的收入10000+x 115%+元，去年支出110%x -元课外闯关 能力拓展7.下面说法中正确的是（ B ）A.一个代数式不是单项式，就是多项式B.单项式是整式C.整式是单项式D.以上说法都不对8. 下列说法错误的是（ D ）A ．单项式a 的系数和次数都是1 B.数字0也是单项式 C ．23xy-是系数为23-的二次单项式 D.2x x+是多项式 9.若-3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为-6，次数为4，则a =___2_____,m =__3_ .10.有一个多项式876253...x x y x y x y -+-+，按照此规律些写下去，则这个多项式的第八项是 7xy - .11.已知多项式222312akab b a +-+-不含ab 的项，求113k -（）的值。
七年级同步第8讲：乘法公式(一)-教师版
平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．()()22a b a b a b+-=-．乘法公式（一）知识结构模块一：平方差公式内容分析知识精讲（1）a ．b 可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：如：()()()()()22a b c b a c b a c b a c b a c +--+=+---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差．【例1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()11x x ++B ．1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()a b a b -+- D ．()()x y x y --+【难度】★ 【答案】B【解析】A :完全平方公式； C ：原式2()a b =--； D ：原式2()x y =-+．【总结】对平方差公式概念的考查．【例2】 计算： （1）()()3535x x +-；（2）11112323x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()22x y x y +-．【难度】★【答案】（1）2925x -；（2）21149x -；（3）224x y -．【解析】（1）()()2223535(3)x x x +-=例题解析（2）22211111111()(23232349x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222222(2)4x y x y x y x y +-=-=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【例3】 计算：（1）2211112525x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()2323x y x y -+--； （3）()()2323a b a b ---．【难度】★【答案】（1）411425x -；（2）2249x y -；（3）2294b a -【解析】（1）22222411111111()()252525425x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()22222323(2)(3)49x y x y x y x y -+--=--=-；（3）()()22222323(3)(2)94a b a b b a b a ---=--=-．【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例4】 计算：（1）()()()2232349a a a -++；（2）22111224a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）41681a -；（2）42116a b -． 【解析】（1）原式224(49)(49)1681a a a =-+=-；（2）原式222242111()()4416a b a b a b =-+=-．【总结】平方差公式的连续运用．【例5】 计算：111111253253x y z x y z ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】222111145259x xy y z -+-+．【解析】原式22222111111()()253253111111[()][()]2532531111111[()]25945259x y z x y z x y z x y z x y z x xy y z=----+=----+=---=-+-+【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例6】 计算：（1）()()()()33a b a b a b a b +--+-；（2）()()()()2222y x y x x y x y -+++---+； （3）22111133222233x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）28b ；（2）2255x y -；（3）4211549x x --【解析】 （1）原式 2222298a b a b b =--+=；（2）原式2222224455x y x y x y =-+-=-；5 / 20（3）原式424211119454949x x x x =--+=--． 【总结】平方差公式以及合并同类项的运用．【例7】 计算：()()()()()2221212245a a a a a a ⎡⎤-+++--+⎣⎦．【难度】★★ 【答案】425a -【解析】原式2222224(4144)(5)(5)(5)25a a a a a a a =-+--+=-+=-【总结】平方差公式的连续运用．【例8】 简便运算： （1）10298⨯；（2）30.229.8⨯；（3）12252433⨯．【难度】★★【答案】（1）9996；（2）899.96；（3）86249【解析】 （1）原式2(1002)(1002)10049996=+-=-=；（2）原式(300.2)(300.2)9000.04899.96=+-=-=（3）原式1118(25)(256256243399=+-=-=【总结】平方差公式在简便运算中的运用．模块二：完全平方公式1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．()2222a b a ab b +=++、()2222a b a ab b -=-+．2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘；（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．【例9】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．()()4774x y y x ---B ．()()4774x y x y --+C ．()()4774x y y x --+D ．()()4747x y x y -+【难度】★ 【答案】C【解析】A ：(47)(47)x y x y --+；B ：()()4774x y x y -++；D ：()()4747x y x y -+【总结】运用时，注意完全平方公式与平方差公式的区别． 【例10】 下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+2222x xy y =--例题解析知识精讲C ．()2225225420a b a b ab +=++D ．2221111132364m n m mn n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【难度】★ 【答案】C【解析】A ：正确答案为：222a ab b ++； B ：正确答案为：222x xy y -+；D ：正确答案为：22111934m mn n ++．【总结】本题注意考查学生对完全平方公式的理解和准确运用．【例11】 计算：（1）()239x +；（2）223x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()22xyz --．【难度】★【答案】（1）295481x x ++；（2）22111439x xy y -+；（3）22244x y z xyz ++；【解析】（1）()222239(3)239995481x x x x x +=+⋅⋅+=++：（2）22222111(2()232233439x y x x y y x xy y ⎛⎫-=-⋅⋅+=-+ ⎪⎝⎭；（3）()222222(2)44xyz xyz x y z xyz --=+=++．【总结】本题主要是利用完全平方公式直接进行计算．【例12】 计算：（1）()()()2343x x x -+-+；（2）()()()2232222x x x +----+；（3）()()()2212121a a a +-+-．【难度】★★【答案】（1）521x --； （2）1213x +；（3）42a +；【解析】 （1）原式221269521x x x x x =+----=--；（2）原式224129441213x x x x =+++-=+； （3）原式224414142a a a a =++-+=+．【总结】完全平方公式与合并同类项的运用．【例13】 计算：（1）2211113232x y x y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2213133434a b a b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）23xy -；（2）0．【解析】 （1）原式222211111129349343x xy y x xy y xy =-+---=-；（2）原式222211111909249216a ab b a ab b =++---=．【总结】完全平方公式的直接运用，在运用时注意中间项是“积的2倍”．【例14】 计算：（1）()()()229163434a b a b a b --+；（2）22111111323294a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）422481288256a a b b -+；（2）4224111811816a ab b -+． 【解析】（1）原式22224224(916)(916)81288256a b a b a a b b =--=-+；（2）原式222242*********()()9494811816a b a b a a b b =--=-+．【总结】平方差公式与完全平方公式的综合运用，运用时注意两个公式的区别． 【例15】 计算： （1）()22a b c --+；（2）()2324x y ++；（3）()()22x y x y +---．【难度】★★【答案】（1）2224424a ab b ac bc c ++--+；（2）229124241616x xy y x y +++++；（3）222444x xy y x y ---++-．【解析】（1）原式222[(2)](2)2(2)a b c a b c a b c =--+=--+⋅--+2224424a ab b ac bc c =++--+；（2）原式2(32)8(32)16x y x y =++++229124241616x xy y x y =+++++；（3）原式22(2)()4()4x y x y x y =-+-=-+++-222444x xy y x y =---++-．【总结】三项完全平方的综合运用，注：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．【例16】 简便计算： （1）299.8；（2）22005．【难度】★★【答案】（1）9960.04；（2）4020025．【解析】 （1）2299.8(1000.2)10000400.049960.04=-=-+=；（2）222005(20005)400000020000254020025=+=++=．【总结】完全平方公式在简便运算中的运用．【例17】 设8,15m n mn +==，求（1）22m n + ；（2）m n -．【难度】★★ 【答案】（1）34；（2）±2．【解析】 （1）222()2643034m n m n mn +=+-=-=；（2）2m n -===±．【总结】完全平方公式的变形及其应用．常用的变形还有：①2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+；②22()()4a b a b ab +=-+等．【例18】 如图，已知ABE ∆和DCE ∆都为等腰直角三角形，AB BE a ==，DC EC b ==． 求ADE ∆的面积．（用含a 、b 的代数式表示） 【难度】★★ 【答案】ab 【解析】ADE ABE DCEABCD SS SS=--梯形222111()222a b a b ab =+--=． 【总结】运用完全平方公式求几何图形的面积．【例19】 已知16x x -=，求221x x+的值． 【难度】★★ 【答案】38 【解析】222111(236238x x x x x x+=-+⋅=+=． 【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：22211()2a a a a +=+-或22211()2a a a a +=-+．【例20】 已知：2221440x y x xy y --+++=，则2x y +=___________．【难度】★★ 【答案】34【解析】 ∵2221440x y x xy y --+++=，221(2)0x y x y --++=，∴21020x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得：1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴324x y +=．【总结】当几个非负数的和为零时，则它们分别为零．【例21】已知26-+是完全平方式，求k的值．x x k【难度】★★【答案】9k=【解析】解：∵22222-+=-⋅+-+=--+，x x k x x k x k623(3)(3)(3)9且26-+是完全平方式，∴9x x kk=．【总结】考察如何配方成完全平方式．师生总结随堂检测【习题1】 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()2a b a b --B ．()()22a b a b -+-C ．()()22a b a b +--D ．()()22a b a b ---+【难度】★ 【答案】D【解析】D 选项为(2)(2)a b b a -+-． 【总结】对平方差公式概念的考查．【习题2】 计算： （1）()()2525x x +-；（2）()()1212a a -+；（3）11113232a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2425x -；（2）214a -；（3）221194a b -．【解析】（1）原式=222(2)5425x x -=-； （2）原式=2221(2)14a a -=-；（3）原式=22221111()()3294a b a b -=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【习题3】 计算：（1）23233535x y x y ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()2323a b a b --+．【难度】★【答案】（1）2249925x y -；（2）224129a ab b ---．【解析】（1）原式=22232349()()3535925x y x y x y +-=-；（2）原式=222(23)4129a b a ab b -+=---．【总结】平方差公式与完全平方公式的运用，运用时注意两个公式的区别． 【习题4】 解方程：()()1156322354233x x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+----+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★ 【答案】4x =【解析】()()22221156322354233156(94)54()2955424654252004x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+----+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+-+-=+-+-=-==【总结】平方差公式在解方程中的运用．【习题5】 化简求值：()23(32)(23)(23)b a a b b a b a +---+，其中1,2a b =-=．【难度】★ 【答案】-14【解析】原式2222229449188183214a b b a a b =--+=-=-=-【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【习题6】 计算： （1）10496⨯；（2）30.729.3⨯；（3）1610977⨯．【难度】★★【答案】（1）9984；（2）899.51；（3）489949． 【解析】 （1）(1004)(1004)10000169984=+-=-=；（2）原式(300.7)(300.7)9000.49899.51=+-=-=；（3）原式11148(10)(10)10099774949=+-=-=．【总结】平方差公在简便运算中的运用．【习题7】 计算： （1）()22243m n -；（2）()()()22339x y x y x y -+-．【难度】★★【答案】（1）422416249m m n n -+；（2）42241881x x y y -+．【解析】 （1）原式422416249m m n n =-+；（2）原式22224224(9)(9)1881x y x y x x y y =--=-+．【总结】完全平方公式的直接运用．【习题8】 计算：（1）()()3434x y x y --++-；（2）()()2332x y x y ++--．【难度】★★【答案】（1）226982416x xy y x y ---++-；（2）229444x xy y ---．【解析】 （1）原式22(34)[(3)8(3)16]x y x y x y =-+-=-+-++226982416x xy y x y =---++-；（2）原式222[3(2)][3(2)]9(2)9444x y x y x y x xy y =++-+=-+=---．【总结】平方差公式和完全平方公式的运用，注意二个公式的区别．【习题9】 如图，是一个机器零件，大圆的半径为r +2，小圆的半径为r －2，求阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】8r π【解析】22(2)(2)8S r r r πππ=+--=【总结】考察圆的面积公式以及完全平方公式．【作业1】）课后作业A ．()()22x y x y -+B ．()()a b a b ---C ．()()2222c d d c --+D ．()()22x y xy -+【难度】★ 【答案】B【解析】B 选项可以变为()()a b a b -+-． 【总结】本题主要考查对平方差公式的理解．【作业2】 计算： （1）211510x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）212cd ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】（1）221112525100x xy y ++； （2）2214c d cd -+． 【解析】直接使用完全平方公式进行计算．【作业3】 用简便方法计算： （1）403397⨯；（2）31293044⨯；（3）9910110001⨯⨯；（4）224952+．【难度】★★【答案】（1）159991；（2）1589916；（3）9999999；（4）5105．【解析】（1）403397(4003)(4003)1600009159991⨯=+-=-=；（2）31111152930(30)(30)90089944441616⨯=-+=-=；（3）999910001(100001)(100001)9999999⨯=-+=； （4）22224952(501)(502)5105+=-++=．【总结】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用． 【作业4】 计算：（1）()()()2222x y x y x y +-+-；（2）()()()2x y x y x y ---++；（3）()()()()22253x y x y x y x y +-+-+-．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式2222244442x xy y x y xy y =++-+=+；（2）原式22222()222x y x xy y xy y =--+++=+；（3）原式222222224255363102x xy y x y x xy y y xy =++-++-+=-．【总结】平方差公式和完全平方公式的综合运用．【作业5】 计算：（1）()()2323x y z x y z +--+；（2）()()2121a b a b -+--．【难度】★★【答案】（1）222469x y yz z -+-；（2）22441a ab b -+-．【解析】 （1）22222[2(3)][2(3)]4(3)469x y z x y z x y z x y yz z =+---=--=-+-；（2）222[(2)1][(2)1](2)1441a b a b a b a ab b =-+--=--=-+-．【总结】完全平方公式的多次运用，注意在运用的过程中符号的确定．【作业6】 求值：（1）已知6x y +=-，2xy =，求代数式()2x y -的值．（2）已知4x y +=-，8x y -=，求代数式22x y -的值．（3）已知3a b +=，225a b +=，求ab 的值． 【难度】★★【答案】（1）28；（2）-32；（3）2． 【解析】 （1）22()()428x y x y xy -=+-=；（2）22()()32x y x y x y -=+-=-；（3）2222()4ab a b a b =+--=，2ab =．【总结】完全平方公式和平方差公式的综合运用．【作业7】 计算：2311322428x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★★ 【答案】431264x -【解析】原式22241111133(2()2()12()()124416161664x x x x x x =-⋅+⋅+=-+=-．【总结】通过提取公因数构成平方差公式．。
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教学课题整式的乘法与乘法公式教学目标1.掌握整式的乘法、除法法则，会进行单项式与多项式的乘除运算，并熟练地进行整式的计算与化简；2.认识平方差公式与完全平方公式，并了解公式的意义并用其简化计算和解决简单的实际问题；教学重难点重点：掌握整式乘除的乘法、除法法则，理解并运用乘法公式；难点：迅速准确地进行整式的乘法运算及运算过程中的系数与符号问题，理解乘法公式中字母的广泛含义；知识网络归纳：22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mb m n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩知识点一：整式乘法的简单运用注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等；例一：一样大 0例二：下列各式计算正确的是（ D ） A 、()66322b a b a =- B 、()5252b a b a -=-C 、124341b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛- D 、462239131b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛- 例三：()()1333--⋅+-m m的值是（ C ）A 、1B 、－1C 、0D 、()13+-m例四：化简下列结果 (1)()()x y b a y x a ---233整式的乘法(2)()()()737355322+---a a a(3)_____________)2)(2(=---y x x y(4)______________________)2(_________,__________)3(22=+-=-b a b a (5)_________________________)2(__,__________)()(222=--+-=+y x b a b a (6)(－4x －y)(－5x ＋2y)(7)(x ＋2)(x ＋3)－(x ＋6)(x －1)(8)求(a ＋b)2－(a －b)2－4ab 的值，其中a ＝2002，b ＝2001； 0（9）化简()()()a b c b c a c a b ---+-的结果是（2ab-2bc ）知识点二：巧用幂的运算和乘法公式简化运算方法1：逆用幂的三条运算法则简化计算 例一：(1) 计算：1996199631()(3)103-⋅； 1 (1)3131031103103⨯=⨯=，只有逆用积的乘方的运算性质，才能使运算简便。
(2)已知3×9m×27 m＝321，求m 的值； N=4(2)相等的两个幂，如果其底数相同，则其指数相等，据此可列方程求解。
(3) 已知x 2n＝4，求(3x 3n )2－4(x 2) 2n的值；512(3)此题关键在于将待求式(3x 3n )2－4(x 2) 2n 用含x 2n 的代数式表示，利用(x m )n ＝(x n )m 这一性质加以转化。
（4）已知：693273=⋅m m，求m ；M=0.5方法2：巧用乘法公式简化计算 例二：计算2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++思路分析：在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。
观察本题容易发现缺少因式1(1)2-，如果能通过恒等变形构造一个因式1(1)2-，则运用平方差公式就会迎刃而解。
解：原式＝248151111112(1)(1)(1)(1)(1)222222-+++++ ＝224815111112(1)(1)(1)(1)22222-++++＝4481511112(1)(1)(1)2222-+++＝88151112(1)(1)222-++＝1615112(1)22-+＝16151515111122222222-⨯+=-+=.方法3：将条件或结论巧妙变形简化计算 例三：计算20030022－2003021×2003023 原式＝20030022－(2003002－1)(2003002＋1) ＝20030022－(20030022－1) ＝20030022－20030022＋1＝1点评：此例通过把2003021化成(2003023－1)，把2003023化成(2003022＋1)，从而可以运用平方差公式得到(20030222－1)，使计算大大简化。
由此可见乘法公式与因式分解在数值计算中有很重要的巧妙作用，注意不断总结积累经验。
例四：已知(x ＋y)2＝1，(x －y)2＝49，求x 2＋y 2与xy 的值。
解法1：x 2＋y 2＝22()()1492522x y x y ++-+==.22()()1491244x y x y xy +---===-.解法2：由(x ＋y)2＝1得x 2＋2xy ＋y 2＝1. ① 由(x －y)2＝49得x 2＋y 2－2xy ＝49.②①－②得4xy ＝－48，所以xy ＝－12.点评：解决本题关键是如何由(x ＋y)2、(x －y)2表示出x 2＋y 2和xy ，显然都要从完全平方公式中找突破口。
以上两种解法，解法1更简单。
知识点三：整式乘法在求代数式值中的应用方法1：先将求值式化简，再代入求值 例一：先化简，再求值(a －2b)2＋(a －b)(a ＋b)－2(a －3b)(a －b)，其中a ＝12，b ＝－3 思路分析：本题是一个含有整式乘方、乘法、加减混合运算的代数式，根据特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键。
解：原式＝a 2－4ab ＋4b 2＋a 2－b 2－2(a 2－4ab ＋3b 2)＝2a 2－4ab ＋3b 2－2a 2＋8ab －6b 2＝4ab －3b 2。
当a ＝12，b ＝－3时，原式＝4×12×(－3)－3×(－3)2＝－6－27＝－33.方法2：整体代入求值例二：当代数式a ＋b 的值为3时，代数式2a ＋2b ＋1的值是（ C ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8例三：若代数式1322++a a 的值为6，则代数式5962++a a 的值为 20 .例四：已知;，012=-+a a 求1999223++a a 的值 2000例五：已知3)()1(2-=+-+y x x x ，求xy y x -+222的值 x-y=-3知识点四：学科内综合运用（数学思想方法简介）1.从特殊到一般的认识规律和方法在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。
如：从以下几个特殊的例子a 2·a 3＝23a a a a a ⋅⋅⋅⋅个个＝a 5＝a2＋3，a 4·a 6＝46a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个＝a 10＝a4＋6，推广到a m ·a n＝m n a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个＝a m+n 。
从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”。
2.化归思想即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多×多−−−→转化多×单−−−→转化单×单。
还有：如比较420与1510的大小，通常也是将要比较的两个数化为．．底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即420＝(42)10＝1610，1610＞1510，所以420＞1510。
3.逆向变换的方法在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。
这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。
例：200220035()1.47⨯=4.整体代换的方法此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母a 、b 不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，在因式分解3a(m －2)＋4b(m －2)中，可把m －2看作一个整体，提公因式m －2，即原式＝(m －2)(3a ＋4b)。
例一：（与方程综合）一个长方形的长增加4 cm ，宽减少1 cm ，面积保持不变；长减少2 cm ，宽增加1 cm ，面积仍保持不变。
求这个长方形的面积。
解：设这个长方形的长为a cm ，宽为b cm ，由题意得(4)(1),(2)(1),a b ab a b ab +-=⎧⎨-+=⎩ 即440,220.a b a b -+=⎧⎨--=⎩ 解得8,3.a b =⎧⎨=⎩因为ab ＝8×3＝24，所以这个长方形面积为24 cm 2。
例二：解不等式1)3)(3()2(2<-+-+y y y Y<-3例三：生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共50千克，分别含氮23%、磷11%、钾6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？解：50×23%＋50×11%＋50×6%＝50（23%＋11%＋6%）＝50×40%＝20. 答：复合肥共含有肥料20千克。
例四：（整除问题）248－1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数。
思路分析：由248－1＝(224)2－1＝(224＋1)( 224－1)＝(224＋1)(212＋1) (212－1) ＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1) ＝(224＋1)(212＋1)×(64＋1)(64－1)＝(224＋1)(212＋1)×65×63，所以这两个数是65和63。
知识点五：解题方法、技巧技巧1：构造求值型 例一：已知x +y =1，那么221122x xy y ++的值为_______. 分析：通过已知条件，不能分别求出x 、y 的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x +y 的整体形式.在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的.221122x xy y ++=12（x 2+2xy+y 2）=12(x+y)2 = 12⨯12 = 12⨯1 = 12. 在此过程中，我们先提取公因式12，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x +y 的整体形式，最后将x +y =1代入求出最终结果.例二：计算：=+--⋅⋅⋅---20191832222222___________.分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即 原式 = 22222223181920+--⋅⋅⋅---= 2222)12(2231819+--⋅⋅⋅---= 22222231819+--⋅⋅⋅--= 222)12(22318+--⋅⋅⋅--= 22222318+--⋅⋅⋅- = …… = 22 + 2 = 4+2 = 6.此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来. 此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题.设M = 20191832222222+--⋅⋅⋅---，则-M = 20191832222222-++⋅⋅⋅+++-62)]222-4M (1[2)]2222(1[2)22221(2M 20191918219182-=+⨯+--=-+⋅⋅⋅++-=+-⋅⋅⋅---=M即6-2M M =.解得M = 6.技巧2：探索规律型例三：观察下列各式：l 2+1=1×2，22+2=2×3，32+3＝3×4，……请你将猜想到的规律用自然数n(n ≥1)表示出来 n 2+n=n(n+1) . 例四：请先观察下列算式，再填空：181322⨯=-，283522⨯=-．（1）=-22578× 3 ； （2）29－（ 7 ）2＝8×4； （3）（ 11 ）2－92＝8×5；（4）213－（11 ）2＝8× 7 ；……通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论(2n+1)2 – (2n-1)2 = [(2n+1)+(2n-1)] [(2n+1)-(2n-1)] = 4n ×2 = 8n.例五：你能很快算出 21995吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字是5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成，510+n 即求()2510+n 的值（n 为正整数），你分析n=1、n=2，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论（在下面的空格内填上你探索的结果）。