最新上海高考数列大题整理

（2012春）22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}{}{}n n n a b c 、　、　满足*11()()().n n n n n a a b b c n N ++--=∈ （1）设36,{}n n c n a =+是公差为3的等差数列.当11b =时，求23b b 、的值；（2）设32,8.n n c n a n n ==-求正整数,k 使得一切*,n N ∈均有;n k b b ≥（3）设1(1)2,.2nnn n c n a +-=+=当11b =时，求数列{}n b 的通项公式.22、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。

⑴ 求1234,,,c c c c ；⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；⑶ 求数列{}n c 的通项公式。

22、⑴ 12349,11,12,13c c c c ====； ⑵ ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉ ∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a 。

⑶ 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+∵ 63656667k k k k +<+<+<+∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分, 第3小题满分6分．对于给定首项)00x a >>，由递推式112n n x x +⎛=+ ⎝()n +∈N 得到数列{}n x ，且对于任意的n +∈N ,都有n x >，用数列{}n x(1) 取05x =，100a =，计算123,,x x x 的值（精确到0.01），归纳出n x ，1n x +的大小关系；(2) 当1n ≥时，证明()1112n n n n x x x x +--<-； (3) 当[]05,10x ∈时，用数列{}n x4110n n x x -+-<，请你估计n ，并说明理由．【解】(1) 1234.74, 4.67, 4.65x x x ===，猜想1n n x x +<； (2) ()1112n n n n x x x x +----1111222n n n n x x x x -⎛=-+-+ ⎝112n n x x -=111122n n x x --⎛=- ⎝==， ①因为n x ，所以11110222n n n n n x x x x x +⎛⎛-=-+=-=> ⎝⎝， 所以1n n x x +>． 由①式，()11102n n n n x x x x +----=<，所以()1112n n n n x x x x +--<-． (3) 由(2)()()()()1121120121111102222n n n n n n n n x x x x x x x x x x +----<-<-<-<<-<-, 所以只要()4011102n x x--<即可, 于是()401210n x x >-，因为01012x x x ⎛⎫-= ⎝，所以42log 1015.1n ⎛>≈ ⎝⎭． 所以16n =．20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由。

解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列； (2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N*)；解不等式S n <S n +1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n ≥15时，数列{S n }单调递增； 同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n =15时，S n 取得最小值．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。

（1） 若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由；（2） 找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,1n n na b a +=,并说明理由； （3） 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明。

23．[解法一]（1）由1m m k a a a ++=，得6531m k +=+， ．．．．．．2分 整理后，可得423k m -=，m 、k ∈N *，∴2k m -为整数，∴不存在m 、k ∈N *，使等式成立。

．．．．．．5分（2）若1n n a b a +=，即1111(1)n a ndb q a n d-+=+-， （*） （ⅰ）若0,d =则111n n b q b -==。

当{n a }为非零常数列，{n b }为恒等于1的常数列，满足要求。

．．．．．．7分 （ⅱ）若0d ≠，（*）式等号左边取极限得11lim1(1)n a nda n d →∞+=+-，（*）式等号右边的极限只有当1q =时，才能等于1。

此时等号左边是常数，0d ∴=，矛盾。

综上所述，只有当{n a }为非零常数列，{n b }为恒等于1的常数列，满足要求。

．．．．．．10分 【解法二】设{}1,,n n n n na a nd cb b a +=+=若且为等比数列 则*221211/,n n n n n n na a q n N a a qa a a +++++=∈=对都成立，即 2()(2)()dn c dn d c q dn d c ∴+++-++*22....7n N a qd ∈∴=对都成立，分（i ） 若d=0，则*0,1,n n a c b n N =≠∴=∈（ii ）若0,d ≠则q=1,n b m ∴=（常数）即dn d cm dn c++=+，则d=0，矛盾综上所述，有n nn n n b a a N b c a =∈=≠=+1*,n ,1,0使对一切， 10分 （3）*,3,14N n b n a nn n ∈=+=设N m N k p b a a k k p m m m ∈∈==+⋯⋯+++++,,3a *21、.k p p m m 321)(41)1(4=+++++，N s p N p pp m k∈=∴∈=++∴,3*,k ,33245、 . 13分取,03)14(2)14(33234,232222 --⨯--=-⨯-=+=++s s s s m s k 15分由二项展开式可得正整数M 1、M 2，使得（4-1）2s+2=4M 1+1,,2)1(8)14(22s s M -+=-⨯().,21)1()2(4421满足要求存在整数m M M m s ∴+---=∴故当且仅当p=3s ,s ∈N 时，命题成立.说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p 为偶数，则a m+1+a m+2+……+a m+p 为偶数，但3k 为奇数 故此等式不成立，所以，p 一定为奇数。

当p=1时，则a m+1=b k ,即4m+5=3k ， 而3k =(4-1)k=,,)1(4)1()1(4)1(4411110Z M M C C C C kk k k k k k k k k k ∈-+=-⋅+-⋅⋅+⋯⋯+-⋅⋅+⋅---当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k 成立 1分 当p=3时，则a m+1+a m+2+a m+3=b k ,即3a m+2-b k , 也即3（4m+9）=3k ,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k 为奇数时，存在m, 4m+9=3k 成立 2分 当p=5时，则a m+1+a m+2+……+a m+5=b k ,即5a m+3=b k也即5（4m+13）=3k ,而3k 不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记 ++++=n a a a S 21.若对任意正整数n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.解： （1） 3231=++n n S a ， ①∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系） 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 数学模式识别能力（)21--=≥n n n S S a n 时 311=∴+n n a a )2(≥n . 准备知识需求（等式的性质）又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . 能力需求（计算能力） ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 显现的知识与方法需求（等比数列的定义）11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数）. 显现的知识与方法需求（等比数列的通项公式）（2）由（1）知，23311111=-=-=qa S ， 显现的知识与方法需求（无穷等比数列各项和）()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=nnn n q q a S 31123311311111. 显现的知识与方法需求（等比数列前n 项和）由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤nk 3112323，解得 n k ⎪⎭⎫⎝⎛-≤311.准备知识（不等式性质）数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32，潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系）∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32. 数学模式识别能力（等式恒成立的条件）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。