整体化思想在数学解题中的应用及其教学对策
浅谈高中数学教学的思想方法渗透
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
整体化数学思想在高考试题中的应用
学 ¨科 教学
第２期
例２ ： （ １ ９ ９ ７年 全 国高 考 试
题 ）如 右 图 （ ２ ） ，在 正 方 体
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ — Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， Ｅ、 Ｆ分 另 ４ 是
判断切点 Ｐ （ １ ， ｅ ） 在 区域顶点 Ａ ， Ｂ之 间 ， 故易求 出卫 Ｘ
的范 围为【 ｅ ， ７ １ 。 评注 ： 线 性 规 划 是 高 中数 学 的重 要 内容 ， 它 是 整 体化 思想 与 数形 结 合 思想 的应 用 典 范 。线性 规 划 中不
第２ 期
学 科 教 学
Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｆ ｏ ｒ Ｐ ｒ ｉ ｍ ａ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ Ｍ ｉ ｄ ｄ ｌ ｅ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｓ
整体化数 学思想在 高考试题 中的应 用
刘 长伟
（ 苏 州市 高新 区吴 县 中学 ，江 苏 苏州 ２ １ ５ １ ５ １ ）
行 线之间的区域 。若从题的条件 出发 ， 用直接方法解
此 题 要 分 三 种 情 况 ，还 要 考 虑题 本 身 的隐 含 条 件 ， 情
利用补形法或补体法的关键 ， 是敢于挣脱思想上 无形 的牢 笼 ， 突破 思维定势 的束缚 ， 正确地 看待整体 与局部 的辩证关 系 ， 善于扩展思维 的空间 ， 通过恰 当 的补 形 、 补体， 从宏 观 、 整 体 的角度来思 索 和处 理 问
、 ／２
、 ／ ， 由图易知取 ｍ ＞ ２ ＋ 、 ／ ；
２ ｍ－ｌ ｌ ＞ Ｉ ｍＩ ｍ＞ ＿ ２ ＋ ｖＴ （ ２ ） １ ２ ＋ ０ －
一
，
ｍ ＜—
２－ｖ Ｔ
— 一
、 ／， ，
整体法在解题中应用
整体法在力学问题中的应用湖北大冶一中 刘汉洲将物体系统作为一个整体，或者从物体运动的全过程考虑，即用整体法解题，是解决问题的一种方法．它与隔离法、微元法相对应．用整体法解题，有时比用隔离法解决问题更方便．下面就两个方面略举几例加以说明。
一、研究对象的整体化1.整体原理在平衡态对象中的应用平衡态对象是指研究对象处于静止或匀速直线运动状态．例1、在粗糙水平面上有一个三角形木块abc ，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量m 1和m 2树木块，m 1＞m 2，如图所示．已知三角形木块和两物体均静止，则粗糙水平面对三角形木块的摩擦力大小和方向是 [ ]A ．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右B ．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左C 有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为m 1、m 2、θ1、θ2的数值并未给出 D ．以上结论都不对解析：此题若逐个物体分析，则要用到牛顿第二定律等，比较麻烦；若用整体原理分析，把m 1，m 2和三角形木块当作一个整体，这一整体在水平方向上无其他外力作用，因而不存在摩擦力，答案D ，显示整体原理可使解题简捷.例2、用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡，则表示平衡状态的图可能是图3中的哪一个？解析：将a 、b 视为一个整体隔离，其受力情况除上端绳对系统的拉力外，如图所示.由于F 与F '大小相等方向相反，其合力为零，因此系统可视为只受竖直向下的重力作用，大小为G a ＋G b根据已知，系统处于静止状态．由平衡条件可知．系统应须再受一个竖直向上的力，大小为G a +G b ．即绳的拉力应是竖直向上的．因此，本题正确答案为A ．例3、如图4所示，质量为m ＝5kg 的物体置于一粗糙的斜面体上，用一平行于斜面的大小为30N 的力F 推物体，使物体沿斜面向上匀速运动，斜面体质量为M ＝10kg ，且始终静止。
新课程下化归思想在解题中研究的反思
新课程下化归思想在解题中研究的反思《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法[1]”.而化归是解决数学问题常用的思想方法，它是许多其它数学思想方法的基础，所以数学教育家们常常把它称为数学中最基本的思想方法之一.化归的思路是“在解决数学问题的时候将这个问题通过一定的方式转变为另外的问题，通过对另外一个问题的求解来得到原问题的解答[2]”.它能够将一个原本困难的或复杂的数学问题转化成一个简单的或便于操作的数学问题，实现数学问题解决中的化难为易，化繁为简，有利于提高学生解决数学问题的能力.综上所述，笔者认为有必要对新课改十年来化归思想在解题中的研究进行反思，总结经验，思考不足，提升化归思想研究的水平.关于化归思想方法的研究文献资料较多，本研究使用的文献源基本为中国知网期刊全文数据库.1 国内化归思想在解题中的应用的研究国内近些年来很多工作在一线的教师、学者和专家对化归思想在数学解题中的应用进行了研究，取得了一些成果.其研究大致可分为以下3类：化归思想在数学解题中的应用、应用在解题的化归思想的分类、运用化归思想解题的原则和策略.1.1 化归思想在数学解题中的应用研究由于小学生的思维以具体形象思维为主，所以小学数学化归思想的研究集中在学生的计算技巧与几何形状的变换.例如：有的学者提出“在小学阶段，对于新图形的认识，最好的办法就是将它转化为已经学过的图形[3]”.在初中阶段，学生的数学思维开始向逻辑思维发展，虽然“这时期还是以学生的实践经验为基础，倾向于经验型逻辑思维[4]”；而到了高中阶段，数学思维逐渐向理论型逻辑思维和辩证逻辑思维发展.所以，整个中学阶段化归思想研究的深度与广度都要强于小学阶段.有的学者对中考数学试题进行研究，提出了初中数学解题转化的新路径：“把问题元素转化到新图形中解决；把原问题转化为新定义型问题解决；把问题元素转化到全等图形中解决；把问题元素适当作二次转化解决[5]”还有的学者经过中学数学教学实验得出“化归的关键是夯实基础知识[6]”.大学阶段，学者们则从高等数学及专业数学课程的角度出发研究化归思想对大学数学学习的影响.有学者[7]阐述了在微分方程教学中渗透化归思想的价值，探究了在解具体的微分方程时如何使用化归方法及其意义，以及大学数学专业课的教学中进行化归思想方法渗透的心得与体会，提出在实际教学过程中教师应不断反思化归教学的路径.有工作在一线的大学数学教师[8]就极限、微分学以及积分学三个方面的问题讨论了化归思想在数学分析解题中的广泛应用.1.2 应用在解题的化归思想分类研究对在解题中的化归思想的分类，一类是根据题目的类型及特点进行分类，例如将其分为代数化归思想、几何化归思想和综合问题的化归思想等.有学者将其细化为“主客转化、方程与函数、对立转化、局部与整体、动静转化[9]”.另外一种分类方式是根据化归思想的本质及特点进行分类：任爽[10]提出了中学数学解题的化归思想分为三种形式：化大为小、化繁为简；等价转化思想；不等价的转化思想.陈欣龙[11]指出数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归：数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化――以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.1.3 运用化归思想解题的原则和策略研究首先，根据学生成长的特点与思维发展的阶段性特征，不同的学者针对不同年龄阶段的学生提出了不同的化归思想解题的原则与策略.沈涛[12]根据小学数学教育的特点提出了化归思想的解题策略如下：1.模式识别，化生为熟；2.探寻规律，以退为进；3.数形结合，化难为易.董秋霞[13]则指出：转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，寻求简单方法从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略.常见有五条基本原则：1.熟悉化原则；2.简单化原则；3.和谐统一性原则；4.形象化原则；5.正难则反原则.其次，根据化归思想掌握的程度及其在实际教学中的影响因素，不同的学者也提出了不同的化归思想解题的原则与策略.吴艳丽[14]提出了关于化归思想掌握的三个阶段的策略.潜意识阶段的教学策略：1.使初中生明确学习化归思想方法的意义；2.引入数学史，渗透化归思想方法；3.鼓励学生进行观察和联想，培养化归思维的灵活性.明朗化阶段的教学策略：1.根据初中生特点、数学学科特点和教材内容设计化归思想方法的教学；2.通过具体案例的教学揭露化归的过程，采用螺旋深入的方法掌握化归思想方法；3.采用螺旋深入的方法掌握化归思想方法，精心设计练习，提高化归能力.深刻化阶段的教学策略：1.反思问题本质，指导学生整理化归过程，寻找关键所在；2.重视知识间的联系和综合，不断提高知识的结构化和网络化水平；3.通过专题讲座的形式深化对化归思想方法的认识.杨文华[15]根据实际教学总结了具体的化归原则（熟悉化原则、简单化原则、和谐化原则、直观化原则、标准化原则、低层次化原则、正难则反原则等）和化归策略（化陌生为熟悉、化困难为容易、化未知为已知、数与形的转化、特殊与一般的转化、高维与低维的转化、整体化方法、进与退的转化、反客为主等）.2 化归思想在解题中应用研究的几点思考综观化归思想在解题中的应用的研究，取得了不少的成果，但是有些不足之处也值得思考.其一，研究的局限性.一方面是视野面较窄.比如，新课改强调“从注重教法转向注重学法”和学生的因材施教，而国内关于化归思想在解题中的应用的研究主要集中在如何教学和题型的分类上，而对学生如何更好的学习化归思想在解题中的应用缺乏必要的探讨，对不同地区和不同类型的学生导致的化归思想在解题中的应用的差异性需要研究；国内许多老师和学者缺乏国际视角，尤其是国外化归思想在解题中的应用的研究与我国的相关研究的联系和启示缺乏分析与探讨.另一方面是研究的问题的层面较低.研究者所关心的是化归思想应用在哪些类型的题目上或是学生学习哪些内容或做的哪些题目体现了化归思想，而对学生在运用化归思想解题的过程（尤其是心理过程）和化归思想在解题中的应用的理论上缺乏有效的研究和深入的探讨；同时需要结合心理学进行研究数学化归能力与注意力、逻辑思维能力、空间想象能力、创新意识、还有自信心、意志力等非智力因素有什么关系、有多大关系？最后，就是研究内容的局限性.比如，缺乏对化归思想在解题中的反思的研究和化归思想在数学解题中应该注意的问题；化归思想在解题中的研究，无论小学、中学还是大学都有老师对其进行深入探讨，但是其化归思想在小学、中学、大学三个学生学习的阶段的不同和其衔接的问题却鲜有人对其研究；数学的思想方法有很多，比如数形结合、构造、数学归纳、几何变换、数学模型、极限等等，但是纵观所查阅的文献，当前国内的研究人员鲜有对多种思想方法在解题中相互之间的关系进行分析与研究.众所周知，在中学阶段，尤其是高年级，数学的许多题目都是综合性很强的，运用多种思想方法才能解决，所以对这个问题的研究有很强的现实意义[16]. 其二，概念界定混乱.化归思想方法在不同的文章和专著中表述不统一，主要出现了以下几种：“化归思想”“转化与化归”“转化的思想”“化归方法”等.通过查阅相关的文献，少数人认为化归是一种方法，一部分人认为化归是一种思想，大部分人认为应该把化归当作一种思想方法.笔者认为，化归应更侧重于思想方面，即使是方法，也属于抽象度非常高的一种方法.不仅如此，化归还是一般的科学思维方法，小学时期学生形成了化归意识，就为形成良好的数学思维方法打下了基础.关于化归思想在原则上的研究大家基本得到了共识，基本原则如下：1.熟悉化原则；2.简单化原则；3.和谐统一性原则；4.形象化原则；5.正难则反原则.但是关于化归思想在解题中的策略缺乏有效的整合与归类，这是值得研究者深思的.其三，研究方法单一.第一，很多教师根据自己多年的教学经验总结出了化归思想在教学中解题的题型、方法、策略等，缺乏有效的定量研究和思辨色彩，理论性不强.笔者认为对任何一个问题的研究都应该基于大量的资料上，一类是实验性资料，另一类是非实验性资料.我们对化归思想在数学解题中的研究应该综合以上两类资料，做出定量和定性的分析、判断.第二，现代信息技术的发展对各种研究化归思想在解题的研究所起的作用起到了深刻的影响，而纵观这几十篇相关的文献，发现很多作者缺乏运用相关的现代信息技术对课题进行分析与论证[17].例如；我们可以用计算机的SPSS程序来分析化归思想与解题的相关性分析及因素分析.其四，研究者比较单一.国内专业研究“化归思想方法”这一问题的学者较少，专著也不是很多.很多书中对化归思想方法只是以一章的篇幅作以概括性的论述.研究者主要以一线教师为主，虽然一线教师对此问题论述较多，但都缺乏从理论上去认识这个问题，更多的是经验之谈.而且大多是以“化归的定义”加“例题”的模式展开，实为解题方法的介绍，缺乏系统性的研究.其五，对化归思想方法在解题中作用的认识不全面.几乎所有文章中提到化归思想在数学解题中的积极意义，而回避了化归思想方法的消极面这个问题.马艳[18]系统性地提到了这一问题.化归思想方法在科学研究中取得了巨大成功，但这种成功恰恰掩盖了以旧方法处理新事物的化归思想在方法上的局限性和在观念上的保守性.在研究中如何认识化归思想方法的这种保守与创新，在问题解决中如何处理“化不归”的现象等等问题值得进一步思考.另外，我们为什么要在教学中渗透化归思想呢？那是因为化归思想在学生的后续学习和个人思维的发展方面起到了巨大的作用，所以我们对化归思想在解题中的研究应该高于解题的境界，从学生个人思维的发展、数学素养的提高来研究化归思想在解题中的作用.最后，笔者还想谈一谈化归的局限性.首先，并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决.例如，所说的“由难到易，由繁到简”的化归，显然就不可能永远无限的继续下去，即化归不可能永无止境.其次，尽管化归最终主要表现为一种解决问题的方法，但是，它的成功应用是以“数学发现”为前提，化归以“先知”为基础的.过多地强调化归，不利于数学的发展.哲学上告诉我们，任何事物的推广与发展都需要掌握一个“度”的问题.如果我们过多过重地强调化归，不利于学生思维的创新，当然数学在未来也就难以发展了.因此，就数学思想与方法论的研究而言，我们也就不能停留于化归的分析，而必须去从事新的研究.正如有的学者[19]提出，未来的化归思想研究将更加科学与多样，注重实践研究，立足本土，放眼世界，理论思辨加实践研究的充分结合，将促进新课程改革背景下数学化归思想的研究向更加深入、更加专业、更加科学的方向发展.参考文献[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.[2] 杨泽忠.数学思想方法导论[M].济南：黄河出版社，2006.[3] 马旭.小学数学化归思想研究述评[J].鸡西大学学报，2012（9）：7-9.[4] 傅海伦.数学教育发展概论[M].北京：科学出版社，2001.[5] 邱海敏.例析化归思想在解题中的运用[J].中学数学月刊，2008（9）：35-37.[6] 杨光.化归思想在中学数学教学中运用的实验研究[D].天津师范大学，2012.[7] 张亚图，王贝.常微分方程教学中化归思想的渗透[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2006（4）：53-55.[8] 林远华.化归思想在数学分析解题中的应用[J].河池师专学报（自然科学版），2002（2）：20-23.[9] 杜景昌.化归与类比思想方法巧解试题[J].中学生数理化，2007（11）：56-57.[10] 任爽.中学数学中化归思想的研究[D].天津师范大学，2009.[11] 陈欣龙.转化与化归思想在数学解题中的应用[J].数理化研究，2009（8）：50-51.[12] 沈涛.化归思想及解题策略[J].四川教育学院学报，2003（8）：46-48.[13] 董秋霞.转化与化归思想的五个原则[J].语数外，2011（11）：34-37.[14] 吴艳丽.初中数学化归思想方法的教学策略研究[D].天津师范大学，2009.[15] 杨文华.化归思想方法在高中数学教学中的渗透[D].华中师范大学，2012.[16] 于洋.新课程下“数列概念”的教材比较研究[J].中学数学杂志，2014（11）：10-14.[17] 于洋.数学直觉思维三十年研究的反思[J].中学数学教学参考（下旬），2015（1-2）：170-172.[18] 马艳.中学数学教学中化归思想方法的应用研究[D].西北师范大学，2009.[19] 于洋，傅海伦，陈梅.对数学高考研究的再认识[J].教学与管理，2015（10）：77-79.。
化归思想在初中数学教学中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用作者：王桂娟来源：《中国科教创新导刊》2013年第15期摘要：随着新课程改革的开展与推进，人们越来越重视数学思想方法的教学。
化归思想是初中数学中最基本、最重要的一种思想方法。
本文结合自己的教学，对初中数学教学中的化归思想方法的应用进行了探究。
关键词：化归思想初中数学应用中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）05（c）-0052-01初中数学教学在新课改以来，从教学方式以及教师教学思想方法上都有了很大的转变。
数学的教学一直是一个比较大的难题，数学学科概念简明难懂，公式繁多，而且数学思想方法是决定数学教学效果的重要因素。
我国当代数学教育专家郑毓信、张奠宙等人特别注重数学思想在初中数学教学中的渗透，多次著文要加强数学思想方法的教学。
在众多思想方法中化归思想是初中数学思想方法的核心。
数学中的一切问题的解决归根结底就是化归。
化归就是将要解决的数学问题，通过观察、寻找与熟悉知识的连接点，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，从而达到轻松解题的目的就是化归。
因此，这种思想对初中数学有着重要的作用，需要我们加强对化归思想的分析和探究，从而提高学生解决问题的能力。
化归思想无处不在，它在初中数学教学中具体应用的形式很多。
如以下几方面。
1 化多元为一元虽然各种方程或方程组的解法有所不同，但是万变不离其中。
可以说，在任何时候求解方程或方程组的解，均需要化归这把金钥匙打开答案之门。
当方程或方程组中所含字母较多，求解某些字母或字母的值或范围时，往往依据题目中字母之间的关系尽量减少字母的个数，最好能转化为同一个字母的形式，化归成较简单的方程，将未知转化为已知，便于问题的分析和解决。
分析：消去未知数是解方程或方程组常见的思路，常见的方法有代入消元法和加减消元法。
减元的目的是将多个字母之间的相互依赖关系转化为较少个字母之间的关系，有利于问题的分析。
但在实际操作中，应该消去哪些字母要依据题目中的已知条件来确定。
数学整体思维高中教案人教版
数学整体思维高中教案人教版
1.能够全面、系统地理解并掌握整体思维的概念及其在数学中的应用。
2.能够灵活运用整体思维的方法解决数学中的问题。
3.培养学生的综合思维能力和创新意识。
教学重点和难点：
重点：整体思维的概念和应用。
难点：运用整体思维解决实际数学问题。
教学过程：
一、引入
教师通过引入实际生活中的问题，引导学生思考如何用整体思维来解决问题，激发学生的学习兴趣。
二、讲解
1.讲解整体思维的概念和应用，让学生了解整体思维在数学中的重要性。
2.举例说明整体思维在数学中的应用，让学生理解整体思维的具体运用方法。
三、实践
1.教师设计一些练习题，让学生动手解决，培养学生的整体思维能力。
2.学生分组讨论，共同解决一些复杂的数学问题，培养学生的合作意识和团队精神。
四、总结
通过本节课的学习，让学生总结整体思维的特点和方法，并能够灵活运用到实际生活和学习中。
五、作业
布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
教学反思：
整体思维是一种综合性的思维方式，能够帮助学生更好地理解和解决数学中的问题。
在教学中，要注重培养学生的整体思维能力，引导学生从整体的角度思考问题，不断提高他们的创新意识和综合思维能力。
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整体思想数学论文3200字_整体思想数学毕业论文范文模板整体思想数学论文3200字(一)：整体思想在初中数学解题中的应用论文[摘要]新课改风向标下，数学思想的渗透始终是数学教学的核心，而整体思想在数学思想中占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一.因此，关注到整体思想在解题中的应用具有重要的现实意义.对此，文章的重点从求值问题、方程问题和应用问题入手，引导学生展开解题思维，渗透整体思想，最终让数学的核心素养在数学课堂落地生根.[关键词]整体思想；数学解题；思想方法；数学思维新课程改革推进下，明确提出了“四基”理念，体现了数学思想在数学学习中的重要意义.数学思想是数学学习中的核心内容，也是数学解题中最具生命力的存在，是遗忘数学知识或数学方法之后还需保留的思维方式.初中阶段常见数学思想众多，整体思想则占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一，对数学问题的解决有着意想不到的作用，也是后续高中数学解题中的基本内容之一，因此整体思想一直是中考命题的重心.整体思想就是对问题进行整体处理的解题方法，它的表现形式多种多样，有整体代换、整体变形、整体设元等.本文将以数学解题中的整体思想为主线进行全面梳理，充分挖掘其中蕴含的解题策略，以期在解题教学中能更充分地发挥数学思想的教育教学价值，有助于培养学生分析和解决问题的能力，提升学生的数学思维和数学学习水平.求值问题中运用整体思想可化繁为简用整体的观点认识数学公式和数学法则，用整体的观点分析和解决数学问题，进而培养学生思维的发散性、灵活性、敏捷性，从而提高解决问题的效率.初中数学中的代数式求值问题是初中数学“数与式”中的重点题型，往往在历年中考中扮演着极其重要的角色.这类题目呈现的是一个含有未知变量的等式，然若通过常规思维去求未知变量并代入求解，则会生成相当大的计算量，过程相当烦琐，有些甚至无法下手.但若运用整体思想灵活进行整体代换，则可以简化解题过程.例1已知4c2-c-6=0，试求出8c2-2c-5的值.分析该题涉及代数式的求值问题，而学生较为熟悉的常规解题思路则是求出具体的c的值，然后代入得出代数式的值.其一，观察求值式子可以看出所求的是一个关于c的多项式，自然就需要挖掘条件4c2-c-6=0去求出具体的值.而很显然条件4c2-c-6=0无法轻易进行因式分解，那么未知数c的值就很难得出了.再转换思路，从一元二次方程的求根公式着手进行求解，尽管理论上是可行的，但解题过程相当的烦琐，也极易出错.于是这两种常规的解题思路自然是不可行的.再深入观察并分析，可关注到未知式中的部分“8c2-2c”刚好是已知式中的部分“4c2-c”的两倍，那么这里就很显然考查了学生的整体思想.不难想到进行恒等變形，将已知式变形为4c2-c=6，未知式中的8c2-2c变形为2（4c2-c），那么问题便迎刃而解了.例2已知x2-3x=6，试求出6x-2x2的值.分析本例题乍一看已知式与未知式之间似乎毫无关联，而深入观察则可发现之间存在着密切的内在联系.事实上，未知式是已知式相反数的2倍，有了这一思路，我们便可以将已知式x2-3x=6变形为3x-x2=-6，再将式子两边同时乘以2，即可快速求得未知式的值.上述两道例题关注到了整体思想的合理运用，同时也是对学生数学学习方法和解题能力的一种考查，对学生数学思维的提升有一定助推作用.由此可以看出，不少代数求值类问题若拘泥于常规解法，则很难进行突破，易形成举步维艰的局势.而用整体思想进行解题，则可以快速而准确地把握解题的方法和策略，则可以达到柳暗花明、一举成功的效果，让问题解决得清晰明了，使复杂的问题简单化.解方程问题中运用整体思想可曲径通幽在初中阶段的数学代数学习中，整体换元法是时常会用到的一种数学思想方法，一般运用于解方程或方程组问题中，掌握并应用好这一思想方法可以提高解题能力.所谓的整体换元法，就是在解题过程中，将某个式子视为一个整体，以一个变量取而代之，从而使问题简化解决.事实上，整体换元法的运用不仅可以培养学生的数学思维，帮助学生减少不必要的运算量，达到提升运算速度，掌握速算技巧的目的，还有助于学生创新思维的培养，从而为学生在中考取得较好的成绩谋求最大利益.例3已知12x2-4x+1=，试求出x的值.分析该题涉及方程问题的解决，若从一般思路出发谋求解题路径，则需去除等式右侧的分母，那么式子两侧就需同时乘以6x2-2x，并整理.很显然，此时式子的未知数的最高次项为四次，等式的复杂不言而喻，对下一步的计算造成了较大的压力.而从式子的整体着手，认真观察方程的结构可以看出6x2-2x是12x2-4x 的一半，那么只需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化简式子可得2y+1=，等式两侧同时乘以y，整理可得2y2+y-3=0，这样一来，y的值即可快速求出.而又因为y=6x2-2x，那么再求出x的值就十分简捷了.例4解方程组2x+3y=12①，7x-17y=97②.分析本题若从常规换元出发进行求解，则可设2x=6+t，3y=6-t，则有x=3 +，y=2-.很显然，这样一来分式也随之出现了，为进一步运算带来了很大的麻烦.而我们换一种换元思路，去设2x=6+6t，3y=6-6t，则有x=3+3t，y=2-2t，这样一来则可以达到化繁为简的解题效果.以上题型熟悉且不常见，较易入手且又富有一定的思考价值，重点考查了学生整体思想的运用，并与新课标理念相融合，这样的题型指引为后面的中考复习指明了正确的方向.由此可见，整体换元法具有广泛的应用性和普遍性，熟练掌握换元法可以为数学解题创造更多的契机.合理应用整体换元法可化难为易、化繁为简，为解决复杂的方程和方程组问题供给重要的解题工具.应用问题中运用整体思想可另辟蹊径数学解题推崇的就是简捷，因此在解决一些数学应用题时若能着眼于整体深入观察，则可以触及问题本质，获得简捷的解法.在应用问题中运用整体思想，不仅达到另辟蹊径、出奇制胜的效果，还有助于学生思维敏捷性的培养.例5小明、小红和小刚是好朋友，小红和小明从各自的家中出发，并朝着对方家的方向前进，小红与小明两家相距30km，小红的步行速度为1km/h，小明的步行速度为2km/h.而小刚与他们不同，三人同时出发，但它在小红与小明相遇前骑着自行车以5km/h的速度在二人之间进行往返运动，直至两人相遇.那么，小刚从小红和小明出发直至相遇共骑行路程为多少？分析通过反复解读不难得出这里要求的是小刚一共所骑行的距离，那么就需得出小刚在遇到小红与小明二人其中之一时所走的路程，然后将各段所行路程相加即为所求距离.这一方法进行解题则是源于小刚在不断往返中与小红和小明多次遇见，若逐个分析并累计计算路程，不少学生会因为次数繁多而造成疏忽，显然计算错误是无法避免的.若此处利用整体思想进行解决，根本不需经历烦琐的计算，只需根据公式“路程=速度×时间”计算即可.因为小刚的行驶速度是已知的，时间即为小红与小明两人相遇所用时间，这样一来，解题思路清晰明了，解题策略也甚是巧妙，更不可能出现计算上的错误，真是一举两得.解题的目标就是为了达到思维和能力提升的目的，此处通过整体思想对该问题进行“再创造”即达到培养数学思维的目的.通过以上例题可以看出整体思想在应用问题中的作用，这一方法应用所取得的效果是其他解题策略所无法达到的，从而体现了“整体思想”的重要性.总之，数学思想是形成数学能力的催化剂，是促进数学解题的灵魂.在中考中，几乎每一个把关题和探究题都蕴含着一种以上的数学思想.我们只有在教学中不断渗透整体、转化、数形结合等多种数学思想，引导学生勤于总结，勇于反思，从解题策略中反复提炼理论精华，促进数学思想的灵活运用，达到提升数学思维的目的，最终让数学的核心素养在数学课堂落地生根.整体思想数学毕业论文范文模板(二)：例谈整体思想在高中数学解题中的应用论文摘要：伴随着国内教育改革进程的不断深化，现阶段我国的高中数学教学水平也得到了显著提高。
专题04 整体代换法-高考数学解题方法和数学思想专练
专题04 整体代换法【方法指导】整体代换思想就是在研究和解决数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简，同时又能培养学生思维的灵活性。
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
【例题解读】【典例1】 （2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N ，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）． A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【典例2】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知函数())222sin cos sin cos f x x x x x =-，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个.①对任意的x ∈R ，都有()23f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ②将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，得到偶函数()g x ；③函数()y f x =在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ④“函数()y f x =取得最大值”的一个充分条件是“12x π=” A ．0B ．1C ．2D ．3【典例3】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知{}n a 是等差数列，满足()()153693218a a a a a ++++=，则该数列前8项和为（ ）A ．36B ．24C ．16D ．12【典例4】（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx k =≠与双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，F 是该双曲线的焦点，且满足2AB OF =，若ABF 的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．5C ．22D ．3【专题训练】一、单选题1．（2021·江西高三月考（理））已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为3ω，则实数ω的取值个数最多为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2021·全国高三专题练习）设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ）A ．2e -B ．11e -+ C ．1e -+ D ．1e --3．（2021·天津和平区·高三一模）设函数()sin 2cos2f x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 在区间,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增； ③将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位长度，可得到函数cos 2y x =的图象.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．（2021·全国高三其他模拟）已知sin 2cos 0αα+=，则2cos2sin 2cos ααα=-（ ）A ．1-B ．2C ．23D ．355．（2021·全国高三专题练习）若数列{}n a 满足1120n na a +-=，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且1231b b b ++=，则678b b b ++=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．326．（2021·全国高三专题练习）n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，3579a a a tS ++=，则t =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．237．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线C 存在点M ，使得122OM F F =，设12F MF ∆的面积为S .若()21216MF S MF +=，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D8．（2021·广东湛江市·高三一模）已知椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若2BA BF ⋅=0，且｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ） A．2B．2C．3D ．129.（2021·全国高三专题练习）已知函数3()log (91)xf x x =-++，则使得()2311log 10f x x -++<成立的x 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．0,1D ．(),1-∞二、多选题10.（2021·山东烟台市·高三一模）已知双曲线()22:17x y C m R m m -=∈+的一条渐近线方程为430x y -=，则（ ） A．为C 的一个焦点 B ．双曲线C 的离心率为53C ．过点()5,0作直线与C 交于,A B 两点，则满足15AB =的直线有且只有两条D ．设,,A B M 为C 上三点且,A B 关于原点对称，则,MA MB 斜率存在时其乘积为16911．（2021·山东青岛市·高三一模）若实数a b <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．223555b a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．若1a >，则log 2a ab >C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若53m >，a ，()1,3b ∈，则()()3322103a b m a b a b ---+-> 三、填空题12．（2021·天津南开区·高三一模）已知0a >，0b >，1a b c ++=，则2221a b c ++-的最大值是______．13．（2021·全国高三专题练习（文））已知311()(1)22x x f x x x e e --=--++-，其中e 是自然对数的底数，若(ln )(1)0f a f a ++<，则实数a 的取值范围是_________．整体代换法解析【典例1】 （2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N ，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）．A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】A 【分析】 由()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()12f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】由题已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数， 故()()g x g x -=-， 代入得：11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-， 则112x t +=-， 得到()()12f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+， 即()1=+n a n ， 故选：A ． 【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到()()12f t f t +-=，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式．【典例2】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知函数())222sin cos sin cos f x x x x x =-，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个.①对任意的x ∈R ，都有()23f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ②将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，得到偶函数()g x ；③函数()y f x =在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ④“函数()y f x =取得最大值”的一个充分条件是“12x π=” A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】根据题意，求得()f x 的解析式，根据正弦型函数的性质，逐一分析①②③④，即可求得答案. 【详解】由题意得())222sin cos sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+⎪⎝⎭对于①：对任意的x ∈R ，225sin 2sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin 22sin 2()33x x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故①正确；对于②：将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，可得()sin 2sin 21236g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，不是偶函数，故②错误；对于③：因为7,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以32,232x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，故③正确 对于④：当12x π=时，232x ππ+=， 所以2sin 2122f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()y f x =在12x π=处取得最大值，充分性成立， 所以函数()y f x =取得最大值的一个充分条件是12x π=，故④正确. 所以错误的命题为②，共1个. 故选：B 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质、二倍角公式、辅助角公式，并灵活应用，考查分析理解，计算求值的能力，整体性的思想，属中档题.【典例3】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知{}n a 是等差数列，满足()()153693218a a a a a ++++=，则该数列前8项和为（ ）A ．36B ．24C ．16D ．12【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，可得369615332,a a a a a a a ++==+，化简整理，结合等差数列前n 项和公式，即可求得答案. 【详解】由等差数列性质可得369615332,a a a a a a a ++==+， 所以36331822a a +⨯⨯=，即363a a +=， 所以886138()8()1222a a a a S ===++. 故选：D【典例4】（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx k =≠与双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，F 是该双曲线的焦点，且满足2AB OF =，若ABF 的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．5C ．22D ．3【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为1F ，则可得四边形1AF BF 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率. 【详解】不妨设F 是该双曲线的右焦点，设左焦点为1F ，则F ，1F 在以AB 为直径的圆上，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接11,AF BF ，则四边形1AF BF 为矩形，则可得12AF AF a -=，()2222112AF AF F F c +==，所以()222211111||22AF AF AF AF AF AF F F AF AF -=-⋅+=-⋅， 又因为121142ABFAF FSSAF AF a ==⋅=， 所以222(2)(2)16a c a =-，得5c a =， 所以5ce a==故选：B.【专题训练】一、单选题1．（2021·江西高三月考（理））已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为3ω，则实数ω的取值个数最多为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】 根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到6646x ππππωω-≤-≤-，再由03ω<≤，分462πππω-≤， 462πππω->，由最大值为3ω求解.【详解】因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为3ω，所以013ω<≤，解得03ω<≤，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以6646x ππππωω-≤-≤-，当462πππω-≤，即803ω<≤时，()max sin 463f x ππωω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，令()()sin ,463g h ππωωωω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出图象：令()sin 463F ππωωω⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为()188100,102399F F ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一ω，使得sin 463ππωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当462πππω->，即833ω<≤时，()max 1f x =，即13ω=， 解得 3ω=，所以实数ω的取值个数最多为2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据()f x 的最大值为3ω，由013ω<≤，得到03ω<≤，从而7(,]46612ππππω-∈-，才能分462πππω-≤，462πππω->讨论求解.2．（2021·全国高三专题练习）设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ）A ．2e -B ．11e -+ C ．1e -+ D ．1e --【答案】C 【分析】令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 【详解】令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥.①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=----⎪⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----， 设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减， 当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.3．（2021·天津和平区·高三一模）设函数()sin 2cos2f x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 在区间,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增； ③将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位长度，可得到函数cos 2y x =的图象. 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A 【分析】先将()sin 2cos2f x x x =+，变形为())4f x x π=+，再根据函数的性质，三角函数的周期性，单调性，诱导公式可以直接判断． 【详解】由()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，所以()f x 的最小正周期为22ππ=，故①正确；要求()f x 的单调增区间，即3222()42288k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈，而3,[,]()8888k k k Z ππππππ⎛⎫-⊆-++∈ ⎪⎝⎭故②正确；将()sin 2cos2))]48y f x x x x x ππ==+=++的图象向左平移4π个单位长度，得到)]))84cos 4422y x x x x πππππ=++=++=+≠，故③错误．故选：A ．4．（2021·全国高三其他模拟）已知sin 2cos 0αα+=，则2cos2sin 2cos ααα=-（ ）A ．1-B ．2C ．23D ．35【答案】D 【分析】根据三角函数的基本关系式，求得tan 2α，再结合余弦的倍角公式和基本关系式，化简为“齐次式”，即可求解. 【详解】由题意值sin 2cos 0αα+=，即sin 2cos αα=-，可得tan 2α，又由22222cos2cos sin 1tan 3sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15αααααααααα--===---. 故选：D.5．（2021·全国高三专题练习）若数列{}n a 满足1120n na a +-=，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且1231b b b ++=，则678b b b ++=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】D 【分析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列，进而结合题意可知数列{}n b 是公比为2的等比数列，由此可得()56781232b b b b b b ++=++，即可得解. 【详解】由题意可知，若数列{}n a 为“梦想数列”，则1120n n a a +-=，可得112n n a a +=， 所以，“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列， 若正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，则1112n nb b +=，所以，12n n b b +=， 即正项数列{}n b 是公比为2的等比数列，因为1231b b b ++=，因此，()5678123232b b b b b b ++=++=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为12的等比数列，解题要将这种定义应用到数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，推导出数列{}n b 为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解.6．（2021·全国高三专题练习）n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，3579a a a tS ++=，则t =（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．23【答案】B 【分析】根据数列{}n a 为正项等差数列，且3579a a a tS ++=，利用等差数列的性质求解. 【详解】因为数列{}n a 为正项等差数列，且3579a a a tS ++=， 所以()19553992a a a t ta +==， 解得13t =， 故选：B7．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线C 存在点M ，使得122OM F F =，设12F MF ∆的面积为S .若()21216MF S MF +=，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．32D 【答案】A 【分析】由122OM F F =，得122F MF π∠=，再利用勾股定理和结合已知条件及双曲线的定义可得222424a a c +=，从而可求出双曲线的离心率 【详解】由122OM F F =，得122F MF π∠=.设1MF m =，2MF n =. 由()21216MF S MF +=，得()()2228444mn m n m n mn a mn =+=-+=+，即2mn a =.又2224m n c +=，即()2224m n mn c -+=，所以222424a a c +=，所以6ce a ， 故选：A.8．（2021·广东湛江市·高三一模）已知椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若2BA BF ⋅=0，且｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】A 【分析】由向量知识得出290ABF ∠=︒，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出a =，最后由离心率公式得出答案. 【详解】因为2BA BF ⋅，所以290ABF ∠=︒由｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，设22,||,2BF x AB x d AF x d ==+=+ 在2Rt ABF 中，222()(2)x x d x d ++=+，解得3x d =即223,||4,5BF d AB d AF d ===由椭圆的定义得2ABF 的周长为1212224BF BF AF AF a a a +++=+= 即3454,3d d d a a d ++==在直角三角形12BF F 中，21BF a BF ==，122FF c =，则222(2)a a c +=，故2a c =即22c e a ==故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出,a c 的齐次方程，进而得出离心率.9.（2021·全国高三专题练习）已知函数3()log (91)xf x x =-++，则使得()2311log 10f x x -++<成立的x 的取值范围是（ ）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．0,1D ．(),1-∞【答案】C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t +<，从而33log (91)1log 10tt -+++<，即可133log (91)log (91)1t t +-<+-，然后构造函数3()log (91)t g t t =+-，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】解：令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t +<，所以33log (91)1log 10tt -+++<， 所以133log (91)log (91)1tt +-<+-，令3()log (91)tg t t =+-，则'9ln92991()11(91)ln39191t t t t t t g t ⨯-=-+=-+=+++，因为34t ≥，所以910t ->，所以'()0g t >， 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<，所以23114x x ≤-+<，解得01x <<，故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t +-<+-，再构造函数3()log (91)tg t t =+-，利用函数的单调性解不等式二、多选题10.（2021·山东烟台市·高三一模）已知双曲线()22:17x y C m R m m -=∈+的一条渐近线方程为430x y -=，则（ ）A ．为C 的一个焦点B ．双曲线C 的离心率为53C ．过点()5,0作直线与C 交于,A B 两点，则满足15AB =的直线有且只有两条D ．设,,A B M 为C 上三点且,A B 关于原点对称，则,MA MB 斜率存在时其乘积为169【答案】BD 【分析】依题意求出双曲线方程，即可判断AB ；再由双曲线的对称性判断C ；设()11,A x y ，()11,B x y --，()00,M x y 利用点差法求出MA MB k k ⋅；【详解】解：因为双曲线()22:17x y C m R m m -=∈+的一条渐近线方程为430x y -=，所以2743m m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得9m =，所以双曲线22:1916x y C -=，所以3a =，4b =，5c ==，所以则其焦点为()5,0-、()5,0，离心率53c e a ==，故A 错误，B 正确；过点()5,0作直线与C 交于,A B 两点，因为()5,0为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时2232153b AB a ==<，当直线的斜率为0时，2615AB a ==<，所以由双曲线的对称性得，满足15AB =的直线有4条，故C 错误； 设()11,A x y ，()11,B x y --，()00,M x y ，所以1010MA y y k x x -=-，10101010MB y y y y k x x x x --+==--+，因为,,A B M 在双曲线上，所以22111916x y -=，22001916x y -=，两式相减得222210100916x x y y ---=，所以()()()()2210101022101010169MA MB y y y y y y k k x x x x x x -+-===⋅--+，故D 正确； 故选：BD11．（2021·山东青岛市·高三一模）若实数a b <，则下列不等关系正确的是（ ）A ．223555b a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．若1a >，则log 2a ab >C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若53m >，a ，()1,3b ∈，则()()3322103a b m a b a b ---+-> 【答案】BCD 【分析】对A ，由指数函数以及幂函数的单调性即可判断；对B ，由对数的运算以及对数函数的单调性即可判断；对C ，利用做差法即可比较大小；对D ，利用分析法即可证明. 【详解】解：对A ，25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减， 又a b <，2255ab⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， y x α=，当0α>时，y x α=在()0,∞+上单调递增； 当0α<时，y x α=在()0,∞+单调递减；故无法判断25a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与35a⎛⎫ ⎪⎝⎭大小，故A 错误； 对B ，当1a >时，1a b <<，log log 1a a b a ∴>=，log log log 2a a a ab a b =+>，故B 正确；对C ，当0a >时，0a b <<，()()()()()()33222232320111111b a b a b a b b a b a b a b a b -+-+---==>++++++ 2211b a a b∴>++，故C 正确； 对D ，要证()()3322103a b m a b a b ---+->， 即证()()()3322330a b m a b a b ---+->，即证()()()()()2233a ab ba b a b m a b a b ++-+->+-，a b <，即证2233a ab b m a b+++<+，a ，()1,3b ∈，令()2,6t a b =+∈，223a ab b a b++++()()223a a t a t a t+-+-+=223a at t t-++=232331136662a a t a a a a t ++=+-<+-=-+11396562<⨯-+=，又53m >， ()2233a ab b m a b ∴+++<+，即2233a ab b m a b+++<+，即原式得证，故D 正确. 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性比较大小，对于D 项可以利用分析法找出突破点. 三、填空题12．（2021·天津南开区·高三一模）已知0a >，0b >，1a b c ++=，则2221a b c ++-的最大值是______． 【答案】2- 【分析】根据已知的等式得出1()c a b -=-+代入等式2221a b c ++-中，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为1a b c ++=，所以1()c a b -=-+，代入2221a b c ++-中，得222222()a b a b a b a b++++=--++， 由22222222212222()2a b ab a b ab a b a b a b +≥⇒+≥++⇒+≥+（当且仅当a b =时取等号）， 于是有22212()22a b a b ++≥++（当且仅当a b =时取等号）， 因为0a >，0b >，所以0a b +>， 因此有2221()222a b a b a b a b++++≥++（当且仅当a b =时取等号），21()2122()22a b a b a b a b ++=++≥=++，（当12()2a b a b +=+时取等号，即2a b +=时，取等号）， 所以有2221()2222a b a b a b a b ++++≥≥++（当且仅当1a b ==时取等号）， 即2222a b a b ++≥+（当且仅当1a b ==时取等号），因此有2222a b a b++-≤-+（当且仅当1a b ==时取等号），所以2221a b c ++-的最大值是2-. 故答案为：2-【点睛】 关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式2221a b c ++-进行消元变形；二是通过重要不等式222a b ab +≥，得到2221()2a b a b +≥+，进而应用基本不等式进行解题. 13．（2021·全国高三专题练习（文））已知311()(1)22x x f x x x e e --=--++-，其中e 是自然对数的底数，若(ln )(1)0f a f a ++<，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,1)【分析】由已知可得()f x 关于点()1,0对称，即(ln )(2ln )f a f a =--，由导数可得()f x 为增函数，利用单调性可得答案.【详解】1111222()3(1)23(1)223(1)x x x x f x x e e x e e x ----'=--++--+-≥⨯=，当且仅当11x x e e --=，即1x =时等号成立，此时23(1)0x -=，所以()0f x '≥， 所以()f x 是单调递增函数，令()1t x t R =-∈，则3()2t t g t t t e e -=-+-，3()2()t t g e g t t t e t --=-++=--，所以()g t 是R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，得()()2f x f x =--，由(ln )(1)0f a f a ++<得(ln )(1)f a f a <-+，又(ln )(2ln )f a f a =--，所以(2ln )(1)f a f a --<-+，即(2ln )(1)f a f a ->+，所以02ln 1a a a >⎧⎨->+⎩即01ln a a a >⎧⎨->⎩， 由图得01a <<.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，关键点是利用函数的性质解不等式，属中档题.。
整体化思想在数学解题中的应用及其教学对策
标 。整 体 化 思 想 在 很 多类 型 的 题 目中都 有 广 泛 的 应 用 。如
置 换 ，这 样 就 可 以 减 少 参 数 ，从 而 解 决 问 题 。
ｍ
—
一
Ｋ厂
一 Ｋ
＝ （ｉ 一 ） ２ ｓ １ ｎ
一
我 １ 知 道 一 ≤２ （ｉ 一 ） 『 ］ ２ 一ｓ ｎ １ ≤２
例 １ ０ ４年 全 国竞 赛题 ：已知实数 ａ 、Ｘ ．０ ２ 、ｂ 、Ｙ满 足
ａ ｂ ｘ ｙ ２ ｘ ｂ ＝ ，则 （２ｂ）ｙ ａ （２ｙ） ＋ ＝ ＋ ＝ ，ａ＋ ｙ ５ ａ 。ｘ＋ｂ ｘ 的值 为多少？ ＋ ＋
思考 与分析 ：
所 ≤ 舌 ≤ ２
所 以一 ≤ｋ １ ６ ≤ 即 选 择 Ａ。
此题 突出 了对 问题 整体结构 的分 析和改 造 ，发现 问题 的整体结构特 征 ，减少 未知数 ，在解题 过程 中需 要善 于用 “ 成 ”的眼光 ，把某 些式子 或 图形 看成 一个 整体 ，把 握 集 它们之 间的关联 ，并利 用这个 “ 整体 ”对 问题 实施 调节与 转化 ，这样 就能使 问题 变得简单 ，从而 实现快速解答 。
解整体 与局部的关系 。合 理处理两 者之间 的联 系 ，这样 往
往就能在 解题过程 中收到事半功倍 的效果 。
Ａ ［６ 】 Ｂ ４ 】 Ｃ ＿ ，１ Ｄ． － ，６ ‘ ． － ，Ｉ ．［，８ ．［Ｉ 】 ［Ｉ 】
思 考 与 分 析 ：这 里 出 现 了 ，ｍ， 三 个 参 数 ， 唯 一
＝
论述高中物理中整体法的解题技巧与应用
论述高中物理中整体法的解题技巧与应用【摘要】高中物理中整体法是一种重要的解题方法，在解题过程中起着关键作用。
本文首先介绍了整体法的基本原理和特点，然后详细讨论了在动力学、热力学、电磁学和光学等问题中的应用技巧。
通过分析实例，我们可以看到整体法在不同领域的问题解决中具有很高的实用性和灵活性。
文章总结了整体法的解题技巧与应用的重要性，并展望了整体法在未来高中物理教学中的发展前景。
整体法不仅是一种解题工具，更是培养学生综合思维和解决问题能力的有效途径。
随着物理教学的不断深化和发展，整体法将在教学实践中得到更广泛的应用和推广。
【关键词】高中物理，整体法，解题技巧，应用，动力学，热力学，电磁学，光学，原理，特点，重要性，发展前景。
1. 引言1.1 介绍高中物理中整体法的重要性在高中物理学习中，整体法是一种非常重要的解题方法，它在解决各类物理问题时具有独特的优势和实用性。
整体法不仅能够帮助我们更好地理解物理学中的各种概念和原理，还可以有效提高我们的问题解决能力和思维深度。
通过整体法，我们可以更全面地考虑问题，从整体的角度去思考和分析，找出问题的本质，使解题过程更加简洁和有效。
整体法在高中物理教学中有着重要的作用，它能够帮助学生培养系统思维和逻辑推理能力，提高他们的问题分析和解决能力。
通过运用整体法，学生能够更好地理解物理学中的各种现象和规律，提高他们的物理学知识水平和学习兴趣。
整体法也可以激发学生的学习积极性和创造性思维，促进他们在物理学习中的全面发展。
在高中物理学习中，掌握整体法是至关重要的，它不仅可以帮助我们更好地理解和应用物理学知识，还有助于培养我们的问题解决能力和科学思维。
1.2 说明整体法在解题过程中的作用整体法是高中物理中一种重要的解题方法，其在解题过程中具有重要的作用。
整体法的应用能够帮助学生更加全面地理解物理问题，从整体上把握问题的本质，准确把握物理规律。
在解动力学问题时，整体法可以帮助学生分析物体的受力情况，通过整体的思维方式考虑物体运动的规律，更容易解决复杂的运动问题。
实施“四化” 上好数学课
数学探究SHUXUETANJIU教师•TEACHER2021年4月Apr.2021实施“四化”上好数学课杨洪青(德州经济技术开发区付庄小学，山东德州253000)摘要：文章结合教学实践，提出了 “四化”策略，即教师成长目标化、课堂教学整体化、教学形式活动化、教学手段信息化。
教师成长目标化要做到提高师德修养，立足课堂提升教学水平。
课堂教学整体化要做到创设 优良的育人环境，注重思维能力的培养，分层教学分类指导，注重课堂信息反馈。
教学形式活动化要做到让学 生记课堂笔记，手脑耳口并用等。
教学手段信息化要做到利用现代化信息技术，课堂省时高效。
关键词：成长目标化；课堂教学整体化；形式活动化；手段信息化中图分类号：G623.5文献标识码：A收稿日期：2020-12-07文章编号：1674-120X (2021 ) 12-0047-02为发挥数学学科的基础作用，提高数学课堂教学效果，培养学生的数学能力和数学思维，笔者进行了多年的探索与 实践，认为数学教师应做到成长目标化，数学课堂应该做到 教学整体化、教学形式活动化、教学手段信息化，s r四化'_。
_、教师成长目标化学习是永恒的主题，数学教师也要不断加强学习，学习 不是空洞的，要提出自己的成长目标，这样可以督促自己学 习和成长。
例如,确立自己的目标为四步走，目卩"雏鹰展翅_’“大 雁领航”"鹰击长空”“鲲鹏展翅”，分别对应的是校级学 科带头人、县区级学科带头人、市级学科带头人或教学能手、省级教学名师。
有了奋斗的目标，就有了前进的动力。
一是加强政治理论学习，提高师德修养。
作为教师，不 论教授什么学科，都要贯彻党的路线、方针和政策，努力学 习政治理论，积极落实学校的重大决策和工作部署，积极参 加学校组织的各项政治学习及培训活动，并写下笔记。
在学 习过程中，不断加强自身修养，尊重自己的人格，珍惜自己 的名誉，以高度的政治责任感和高尚的道德情操，正确对待 自己的工作。
初中数学整体问题教案
初中数学整体问题教案教学目标：1. 理解整体思想在数学中的应用；2. 学会运用整体思想解决数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 整体思想的定义和意义；2. 整体思想在数学中的应用案例；3. 运用整体思想解决实际问题。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考：什么是整体思想？2. 学生分享对整体思想的理解。
二、讲解整体思想（15分钟）1. 讲解整体思想的定义和意义；2. 通过案例展示整体思想在数学中的应用，如解方程组、求函数最值等；3. 引导学生理解整体思想的核心：从整体出发，把握问题的本质，寻找解决问题的方法。
三、实践操作（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求运用整体思想解决实际问题；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和分析。
四、总结与反思（5分钟）1. 学生分享自己在解决实际问题时运用整体思想的体验；2. 教师总结整体思想在数学中的应用及其重要性；3. 引导学生思考如何将整体思想应用到其他学科或生活中。
五、作业布置（5分钟）1. 让学生课后总结整体思想在数学中的应用案例，并发给家长；2. 布置一道运用整体思想的数学作业，要求学生在下周课堂上展示解题过程。
教学评价：1. 学生对整体思想的掌握程度；2. 学生在解决实际问题时运用整体思想的准确性；3. 学生对整体思想在数学及其他领域应用的认识。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生了解了整体思想在数学中的应用。
在实践操作环节，学生能够运用整体思想解决实际问题，但在解题过程中仍存在一些不足，如对整体思想的运用不够灵活、解题方法不够多样化等。
在今后的教学中，应加强对学生解题方法的指导，提高学生运用整体思想的准确性和灵活性。
同时，将整体思想与其他学科相结合，引导学生将其应用到实际生活中，提高学生的综合素质。
整体化思想在高中数学教学中的含义和应用
整体化思想在高中数学教学中的含义和应用【摘要】大部份中学生在解题时缺乏一种“整体意识”，数学的整体意识上升到数学思想层次来说就是一种“整体化思想”。
而整体化思想在中学数学中起着非常重要的作用。
本文通过实例来阐述“整体化思想”的含义及其实质，并且结合具体的教材分析来说明教学中如何渗透整体化的数学思想。
【关键词】整体化思想解题教材分析渗透绪论数学意识常指推理意识、符号意识、抽象意识、整体意识等，而“数学的整体意识”上升到数学思想层次来说就是一种“整体化思想”。
要培养学生在学习数学过程中有“整体意识”，那么教师在中学数学教学中就要重视“整体化思想”的渗透与应用，这对培养学生分析问题、解决问题的能力是大有益处的。
1．问题的提出在这几年的教学中，我发现大部分中学生在解题时缺乏一种“整体意识”。
我们知道，意识是人脑对客观世界的某种反映。
数学意识是指用数学的方式去思考问题、处理问题的自觉行为或思维倾向。
数学意识是低层次数学思想的升华，又是高层次数学思想的准备。
数学意识影响着人的思考方式，所以数学意识影响着人的接受、加工、处理信息的方式，从而影响认知结构的形成。
整体意识上升到数学思想层次来说就是一种“整体化思想”，要培养学生在学习数学过程中有“整体意识”，那么教师在中学数学教学中就要重视“整体化思想”的渗透与应用，这对培养学生分析问题，解决问题的能力是大有益处的。
下面我们用整体化思想来解这道题目。
这个解题过程就是渗透了“整体化思想”，把所要解决的问题视为一个整体，用一个抽象字母来代替之。
2．整体化思想的含义及其实质2.1含义与实质先看几个例题非特殊角的三角函数式求值是一个难点，本题解题过程不仅应用了“整体化思想”，同时还应用了“方程思想”。
2.2含义与实质。
从上述三个例子解答过程可以看出如果不用“整体化思想”来指导解题过程，有些问题得不到解决，比如例3，有些问题用到其他方法得以解决但过程比较烦琐，比如例1与例2。
小学数学课堂“教、学、评”一体化研究
小学数学课堂“教、学、评”一体化研究作者：刘加勒来源：《家长》2024年第01期随着新课改的进一步深入，关于教学评一体化的研究越来越多，它是关于教师“教”、学生“学”和课堂评价之间的有效配合，且具有评价性质的新型教学理念，对于增强教学的实效性、提高学生学习的主动性有着不可低估的作用。
但是目前还有部分教师在数学课上对于教学评一体化理念的落实存在问题，比如教学目标设计不明确、问题提出缺乏时效性等，阻碍了教学效率的提升。
因此，笔者立足于自身的教学实践探索，在本文探讨了以“问题提出”促进小学数学课堂“教、学、评”一体化的对策和建议。
一、“教、学、评”一体化的应用现状与价值分析（一）“教、学、评”一体化的应用现状1.“教、学、评”脱节的模式。
在具体的教学中，教师对于“教、学、评”一体化这一理念的落实还存在一些问题，比如在教学设计环节缺乏对本班学生学情的整体分析，因没有进行学前检测，对小学生的数学基础、已有经验和实际的认知能力掌握不充足，导致制定的课堂目标与学生的学情难以契合。
在教学实施环境未能及时检测学生完成目标的情况，对于学生们的评价也是在教学结束之后，通常以课后作业、完成练习册，以及考试的方式来评价学生的数学学习情况，会造成评价不当的问题，没有充分发挥评价的反馈作用，这样的评价方式太过单一。
可以说，教师的“教”和学生的学情、评价存在着相互脱节的问题，要试图改变这一现状，必须把教学、学习、评价三者有机结合。
2.师生问答占主流的课堂教学。
在现阶段的教学中，很多教师还是以突出自身的“讲”为主，单向给学生传输本学科的知识，忽视了学生的主体体验，这种“我讲你听”的机械模式将学生置于“被动接受”的地位，不利于促进学生主体意识的萌生与强化。
在落实“教、学、评”一体化的过程中，教师通常以“师生问答”为主要方式，教学活动主要在提问上，学习活动体现在回答问题上，这样就造成出现以下问题：第一，回答问题的学生并非全体学生，教师不可能让班里每一位学生站起来回答一遍问题，所以课堂提问这种评价方式只能检测部分学生的学习情况，难以发挥反馈、指导的作用；第二，教师提问的频率太多，问题一个接着一个，学生没有充足的时间对问题进行深度分析，导致学生对问题的理解停留在浅层，他们的数学思维能力无法获得提升。
小学数学主题单元教学的整合对策分析
小学数学主题单元教学的整合对策分析摘要：伴随着素质教育的不断发展，教师在课程讲解的过程中要更加关注学生的综合素养，尤其是在课程改革以及信息化技术应用在课程教学中后，学科教学内容才得以整合。
本文简要分析了小学数学主题单元教学的优势，并结合教学案例从主题单元课的具体流程入手，分析课程整合对策，仅供参考。
关键词：小学数学；主题单元；教学对策在小学数学课堂中利用主题单元教学模式能有效提升学生的学习兴趣，节省课时，并且为学生提高数学问题解决能力提供了良好的辅助作用，教师引导学生发现问题、提出问题的同时顺利解决问题，为优化整体教学质量提供了帮助。
一、小学数学主题单元教学的优势在课程改革的教学发展背景下，借助数学主题单元课程讲解能有效提高小学数学教学水平，减少形式化造成的不良影响，为学生打造更加完整且高效的课堂模式，具有突出的教学优势。
第一，小学数学主题单元课能一定程度上提升学生的数学意识，确保学生能在提出问题后借助教师的辅助顺利找到解决问题的方法。
并且，多数主题单元和生活实际较为接近，这对于发挥数学教学的现实意义具有重要的推动作用，培养学生逐渐形成应用数学的思维和学习意识。
第二，小学数学单元课能更好地展示系统化数学知识，将知识进行全面整合处理，强调书本和现实生活之间的联系，从而提升学生的数学素养，引导学生挖掘知识内在联系[1]。
第三，教师借助小学数学单元课能更好地促进师生之间的交流将教学活动作为核心，提升学生的课堂参与度，确保教师和学生之间能建立更好的学习互动。
并且在小学阶段教师适当的利用权威性的教学指令，也能搭建更加有效的教学互动平台，实现全面教学指导，优化教学质量。
综上所述，小学数学单元课能有效借助实际生活的内容提高数学知识的实用价值，优化学生的课堂学习效果，确保教师和学生之间形成更加高效的教学指导关系，发挥教学优势，提高学生发散思维和抽象逻辑思维，为教学综合水平的全面进步奠定坚实基础[2]。
二、小学数学主题单元教学的整合对策在全面分析小学数学单元课教学优势后，教师就要在具体课程实施的过程中针对具体问题开展相应的教学活动，从而保证教学模式能发挥其作用，将教学分析、学习者情景分析、行为目标处理等连贯起来，搭建完整的小学数学课堂体系，确保能助力学生更好地掌握知识点，同时培养学生的数学综合素养以及数学逻辑思维水平。
整体思维在小学数学中的应用
整体思维在小学数学中的应用1. 引言1.1 整体思维在小学数学中的重要性在小学数学教育中，整体思维的重要性不言而喻。
整体思维是指以整体为基础，全面而系统地分析问题，把握问题的本质和关键，从整体上把握事物的结构和规律。
在小学数学中，培养学生整体思维能力是非常重要的，因为数学是一门具有整体性和系统性特点的学科，在学习过程中需要学生不断地综合运用各种知识和技能来解决问题。
整体思维在小学数学中的重要性主要体现在以下几个方面：整体思维能够帮助学生建立系统性的数学知识结构，使其能够更好地理解数学的概念和原理。
整体思维能够帮助学生在解决数学问题时进行全面的思考，避免片面性和零碎性的思维方式。
整体思维也能够提高学生的抽象思维能力，使其能够更深入地理解数学的规律和定理。
整体思维对于小学生的数学学习具有重要的指导意义，能够提高他们的数学学习效果和探索能力。
2. 正文2.1 整体思维的定义整体思维是一种综合性的思维方式，强调整体与局部之间的关系，注重对事物整体结构的把握和理解。
它不是片面地将事物拆分成各个部分进行独立思考，而是将问题放在一个整体的框架下进行综合考虑。
整体思维强调整体性、系统性和综合性。
在解决数学问题时，整体思维能够帮助孩子建立起一个全面的、系统性的认识框架，把握问题的全貌，从整体上思考问题的本质，找到解决问题的关键点。
整体思维还能够促进孩子们的综合运用各种数学知识解决问题的能力，培养他们的逻辑思维和创新能力。
通过整体思维，孩子们能够更好地理解数学知识之间的内在联系，提高他们对数学知识的整体把握能力。
整体思维在小学数学中的定义是将问题放在整体的框架下进行综合考虑，强调整体性、系统性和综合性，能够帮助孩子们更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力。
2.2 整体思维在解决数学问题中的应用1. 综合分析：整体思维能够帮助学生从整体的角度去分析问题，而不是只注重局部细节。
通过综合分析，学生可以更好地理解问题的本质，找到解决问题的关键点。
解题教学的导向
甘肃教育1999年6期41☆☆中学数学教学☆解题教学的导向□兰州市九中于虹解题教学的宗旨是通过有序化、系列化、整体化的解题实践,培养学生的数学素养。
所以,研究解题教学的导向及其功能,尤其是提高解题效率,显得十分重要,笔者认为,要抓好以下四点。
一、苦练审题功审题的目的在于把握问题的实质。
因为数学题本身是“怎样解这道题”的信息源,但其中的信息往往通过语言文字、公式符号,以及它们之间的关系间接告诉学生。
所以审题一定要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等各方面真正看懂题意,以便尽可能多地获得题目所包含的各种信息(已知条件、允许运算、终结目标),弄清条件是什么(告诉学生从何处入手)?结论是什么(告诉学生向何方前进)?它们分别与哪些知识有联系?凡是题目未明显写出来的,所需条件一定是隐蔽给予的。
解题实践表明,条件预示着可知并启发解题手段,结论预告着需知并诱导解题方向。
因此,审题首先要强调“仔细”;其次要抓住“关键词”;第三要善于进行“挖掘”与“化简”;最后要注意“转化”与“识别”,以求圆满解决问题。
二、解透基础题复杂题往往都有题中题,是由若干个基础题(简单题)综合而成。
因此,解透基础题是解题教学的关键。
它的第一层涵义是完整、规范地解答常规题,这就要求教师在教学中,高度重视课本,把主要精力放在课本的落实上,放在教材中例题与习题所揭示的数学方法上,做到“一懂、二会、三熟、四化(规范化)”,特别是对一些“一望而解”的不上档次的易题,越要在解题规范化、秩序化上化大力气,真正落实一个“透”字。
另外,在以课本为主的同时,还要注意把课本与资料有机地结合起来,使二者互为补充,相得益彰。
做到从课本中获得基础知识、基本方法;从资料中训练技能技巧,使“双基”得到巩固与运用。
抓课本要“全”———不放过任何一个知识点;抓资料要“精”———教师要对资料自我消化后精选,避免重复劳动,尽量减轻学生负担。
解透基础题的第二层涵义是钻研基础知识,苦练基本技能,反复揣摸,深入探索一题多解。
整体把握———从整体情况考虑(讲义)
整体把握———从整体情况考虑在数学解题中，有时候我们不能仅仅从部分考虑，也要从整体上把握各种关系。
比如综合考虑题中的各个已知条件，综合考虑选择题的各个备选结论，综合考虑题中的已知条件和结论，这样的策略在数学上叫做“整体化思想”。
将需解决的问题看作一个整体，由整体入手，对问题进行全面的、整体的感知和分析，摆脱常规解法和思维定势的束缚，直接洞察问题的实质及内在规律，从而找出简捷的解题方法。
例1 一条马路长2000米，小张和小李分别从这条马路的两端同时出发，相向而行。
小张每分钟走60米，小李每分钟走40米，小张带着一条狗，狗每分钟跑100米。
这条狗与小张一同出发，碰到小李时就立刻回头向小张跑，碰到小张时，又立即回头向小李跑，直到小张、小李相遇。
从小张、小李出发到相遇这条狗一共跑了多少米？例2甲、乙两辆汽车分别以不同的速度，同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地80千米处相遇；各自到达目的地后立即返回，第二次在离A地50千米处相遇。
A、B两地相距多少千米？例3 如图1所示，A、B是圆的直径的两个端点，腾腾在A点，萍萍在B点。
两人同时出发相向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B 点60米，求这个圆的周长。
B图1例4 五班与六班学生同时从学校出发去相距150千米的博物馆，他们的步行速度都是每小时4千米。
学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。
这辆汽车先接五班，途中将五班同学放下，返回去接六班，两个班的学生同时到达博物馆。
五班和六班学生需要步行的距离各是多少千米？例5 有甲、乙、丙、丁4个数，每次取3个求平均值，这样计算4次，依次得到甲、乙、丙的平均数为23，乙、丙、丁的平均数为26，丙、丁、甲的平均数为30，丁、甲、乙的平均数为33。
求这四个数的平均值，并求出甲、乙、丙、丁的值。
例6 张老师借来一台秤，要给五个学生称体重。
这台秤只能称100斤以上的重量，可是五个学生都不够100斤，只好两个学生一起称。
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整体化思想在数学解题中的应用及其教学对策
作者：徐高龙
来源：《新课程研究·基础教育》2011年第08期
摘要：数学的整体化思想方法要求教师在数学解题过程中把所研究的对象作为一个整体来对待，从全局看问题，从整体去思考，整体地把握条件和结论的联系。
整体化思想是解决数学问题的思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质。
作为教师，在教学过程中，应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题。
关键词：数学解题；整体化思想；问题解决
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671-0568（2011）22-0166-02
一、问题的提出
“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，一个数学问题一般总表现为一个系统。
所谓数学的整体化思想，就是暂时不注重于系统的某些元素的分析，暂时忽略或模糊系统的某些细节，而重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上考虑命题的题设、题断及其相互关系，从整体上把握解决问题的方向，并做出决策。
整体化思想需要注意分析问题的整体结构，从整体角度思考，从宏观上理解和认识问题的实质，以达到解决问题的目的。
在数学解题过程中，学生需要了解整体与局部的关系，合理处理两者之间的联系，这样往往就能在解题过程中收到事半功倍的效果。
寻求需解问题与已知条件整体的联系，是整体化思想解题的实质。
“整体观察”、“整体代入”、“整体换元”、“整体构造”等在解题过程中起着重要作用，能将复杂的代数式转化成学生熟悉的式子，从而达到解题的最终目标。
整体化思想在很多类型的题目中都有广泛的应用，如代数式的化简与求值，解无解方程及不定方程，二次根式的运算及几何解证等。
二、整体化思想在解题中的应用
1.整体代入法。
例1.2004年全国竞赛题：已知实数a、b、x、y 满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为多少？
思考与分析：
（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=a2xy+b2xy+abx2+aby2
=ax（ay+bx）+by（ay+bx）
=（ax+by）（ay+bx）将ax+by=5整体代入
=5（ay+bx）
而（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4 将ax+by=5整体代入
所以ay+bx=-1，所以原式=-5
此题通过两次整体代入，可以培养学生全面地、从全局上考虑问题的习惯，不仅看到数学问题的每个局部，更能看到整体和局部的关系。
整体意识有助于学生在处理其他问题时，形成全局观念，化繁为简，从而实现顺利解题。
2.利用整体结构特征，寻找整体化解题的途径。
例2.设两个向量a=（?姿+2，?姿2－cos2 ?琢）和b=（m，■+sin ?琢），其中?姿，m，?琢为实数，若a=2b，则■的取值范围是（）
A．[-6，1] B．[4，8]C．[-1，1] D．[-1，6]
思考与分析：这里出现了?姿，m，?琢三个参数，唯一的已知条件是a=2b，那么，在含有三个未知数的两个方程中，如何得出所要求的■？对此，不妨将■进行整体置换，这样就可以减少参数，从而解决问题。
因为a =2b，
所以?姿+2=2m，?姿2-cos2 ?琢=■+sin ?琢。
令■=k，消去?姿，m得到■-■=2-（sin ?琢-1）2
我们知道-2≤2-（sin ?琢-1）2 ≤2
所以-2≤■-■≤2
所以-6≤k≤1 即选择A。
此题突出了对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，减少未知数，在解题过程中需要善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，并利用这个“整体”对问题实施调节与转化，这样就能使问题变得简单，从而实现快速解答。
3.化局部为整体，寻找解题途径。
在解题时，学生往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之，这是一种常见的有效方法。
但这种方法也存在许多的问题，用这种“只见树木、不见森林”的思考方法，会导致解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废。
此时，不能束手无策，学生应考虑如果能将局部的问题补充成整体，从全局考虑，或许可以收到意想不到的效果。
例3．如图，平面六边形的六个内角均为120°，且相邻四条边长为1、3、3、2，求此六边形的周长和面积。
思考与分析：对于这道题目，在求周长时，如果要把每条边都求出来肯定是不现实的，但是如果能抓住六个内角均为120°，那就可以从整体考虑：满足条件的六边形可能为某正三角形的一部分，即可将所讨论图形放到另一个整体结构中加以考虑。
所以，可以设FA=x，AB=y，将六边形补成一个正三角形。
则有1+x+y=1+3+3，即x+y=6。
又由y+2+3=7可以知道y=2。
所以六边形的周长c=x+y+2+3+3+1=15。
六边形的面积S=S?荭PQR-S?荭APB-S?荭CDQ-S?荭ERF=■（72-22-32-12）=■
此题是几何解题中典型的化零为整、化分散为集中的习题，这样的整体策略是数学解题的重要方法。
实践证明，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且还有助于培养学生的创造性思维能力。
三、教学对策
1.深入挖掘教材内在的整体化思想和方法。
整体化思维作为数学思想方法，是前人探索数学真理过程的积累，但数学教材并不是探索过程的真实记录。
数学思想是教材体系的灵魂，它支配着整个教材，使数学概念、命题、问题的解决相互紧扣，从而组成一个完整的联合体系。
整体化思想在九年制义务教材中出现的频数相当大，渗透在代数、平面几何的教学中。
在教学过程中，教师要深入分析教材，以挖掘和领会整体化思维。
分析教材时，既要有逻辑的，又要历史的；制定教学目的时，既要体现知识，又要体现化归思维方法。
具体备课时，既要抓住重要的知识点，又要排出知识与思想方法结合的交叉点。
对教材进行逻辑分析时，除了要把握教材的体系与脉络、地位与作用、重点与难点之外，还要按照知识—方法—思想的顺序，从知识中挖掘方法，从方法中提炼出思想，使教材分析具有较高的观点。
对课本材料进行历史分析，就是要使教材内容与教学设计充分体现数学史的作用，要引导学生合乎规律地掌握整体化思想方法。
2.重视教学过程，培养研究意识，优化学生的认知结构。
随着数学教育改革的不断深入，数学大众化已经逐渐被人们所接受。
数学教育的最终目的是全面培养学生的数学素质，培养学生形成各种数学能力是提高数学素质的根本途径。
因此，必须改变重结果、重知识链的教学方式，建立起重视教学过程的教学方式。
在教学过程中的每一个环节上都必须有意识地引导学生掌握数学思想方法，引导学生积极参与课堂教学，充分发挥学生学习数学的积极性、主动性，不断完善学生的认知结构，培养他们的创新能力和学习数学的意识。
3.加强解题研究，突出数学思想方法的指导作用，培养学生的学习兴趣。
波利亚曾经强调指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。
”然而，他所大力提倡的“解题”完全不同于“题海战术”，他主张：与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一道有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，如同通过一道大门而进入崭新的天地。
他认为，解题应作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
总之，在整体化思想的指导下，常常可以使得一些生疏、复杂或非常规的问题转化为较简单或学生较熟悉、较容易解决的问题。
学生只有在学习过程中不断揣摩与领会，并做到灵活运用，才有可能把握其精髓。
整体化思想方法不仅是解决数学问题的思维方法，还是认识客观事物规律的思想方法。
作为教师，应该将其贯穿于数学教学过程的始终，让学生从整体的角度理解数学的思想和精髓，从整体的角度掌握和运用数学的知识和方法，从整体的角度分析和解决问题，从而提高学生的数学素养。
当然，在运用整体化思想解决数学问题时，并不是要淡化局部化思想的作用，其实，这两种思想既辩证又统一，在解题时需要合理利用，才能收到最好的效果。
参考文献：
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[4]冯光庭,余启波.整体化思想方法的功能及教学[J].湖北教育学院学报,2005,22(2).
[5]陈受真.谈数学解题中的整体意识[J].现代中小学教育,1995,(3):40.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。