计算方法课 第五章数值积分

qn 1 ( x) bk x k 记 n 1 次多项式为
k 0 n 1
( qnn 1) ( x) (n 1)!bn 1 则 n 1次导数为 1
f ( n 1) ( ) ( x) 两边积分得： 对 f ( x) pn ( x) (n 1)!
b f ( n 1) ( ) a f ( x)dx a pn ( x)dx a (n 1)! ( x)dx b b
(n 1)!
定义：对牛顿一柯特斯公式，当 f ( x) Cna ,b , f ( n 1) ( x)
多项式，则
f ( n1) ( ) 0
， 因此 f ( x) pn ( x)
牛顿一柯特斯公式的代数精确度至少是n。
证明:当n为偶数时，牛顿一柯特斯公式的代数精确度至 少是n，可以达到 n 1
( x a)( x ab ) f (b)) 2
用 p2 ( x) 代替 f ( x) 则求得：

b
a
f ( x)dx p2 ( x)dx
b
ba ab ( f (a ) 4 f ( ) f (b)) 6 2
三、牛顿一柯特斯公式（Newton-Cotes） 区间分法：把区间 [a, b] n等分，其分点为
也就是说 H (u ) 是一个奇函数，故
n 0t (t 1) (t n)dt 0
即当n为偶数时，牛顿一柯特斯公式对 n 1 次多项式精确 度成立，因此代数精确度达到 n 1 ， ※ 抛物求积公式是 n 2 时的牛顿一柯特斯公式，代数 精确度至少是3,容易证明，抛物线求积公式对四次多项式 不能精确成立。取 f ( x) x 4
(a ih a)(a ih (a h))(a ih (a 2h))
(a ih (a (i 1)h))(a ih (a (i 1)h))
(a ih (a nh))
ih(i 1)h(i 2)h(i i h)(i i 1)h(i i 2)h
xi a ih, i 0,1, 2,, n, h ba n
过这 n 1个节点，构造一个n次多项式
pn ( x)
i 0 n
w( x) f ( xi ) ( x xi ) w( xi )
其中 w( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )，用 pn ( x) 代替被 积函数 f ( x) ，则有
(i n)h
hn (1)n i (i !)(n i)!
故 Ai a

b
w( x) dx ( x xi ) w( xi )
h n 1t (t 1) (t n) .hdt n i n (1) h (i !)(n i)!h(t i)
n t (t 1) (t n) (1)n i dt 0 n (i !)(n i )! (t i ) ·

b
a
f ( x)dx P( x)dx
a
b
一、梯形公式
过a,b两点，作直线方程
P ( x) 1 xa x b f (b) f (a) ba a b
用 P1 ( x) 代替 f ( x) ，得

b
a
f ( x)dx P ( x)dx ( 1
a a
b
b
xa x b f (b) f (a))dx ba a b
n
0
引进记号
Ci( n )
则
Ai (b a)C
(n) i
ba h n
计算牛顿一柯特斯系数 只要能给出n就能求出 例： n 11, , n)
1 (t 1)dt 0 2 1 1 (1) C1 tdt 0 2
(a th (a nh))
hn 1t (t 1)(t 2) (t n) w( xi ) w(a ih)
( xi x0 )( xi x1 )( xi x2 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )
( xi xn )

ba ( f (a) f (b)) 2
二、辛浦生（Simpson）公式（抛物线求积公式）
把 [a, b] 区间二等分，过a,b和
ab 三点，作抛物线： 2
2 ab P2 ( x) (( x )( x b) f (a) 2( x a)( x b) 2 (b a) 2
定义：对一个一般的求积公式

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
若求积公式 f ( x) 为任意一个次数不高于m次的代 数多项式时，等号成立，而对 f ( x)是m+1次多项式时， 公式不能精确成立，则我们说求积公式具有m次代数 精确度。 梯形求积公式具有一次代数精确度。 当 f ( x) C[a, b], f ( x) 在上存在 [a, b] ，用一 次多项式 P1 ( x) 逼近 f ( x) 有关系式：
(3)牛顿一柯特斯求积公式（取 n 4 ）

1
0.5
xdx
0.5 (7 0.5 32 0.625 12 0.75 32 0.875 7) 0.43096407 90
1
*积分的准确值 5.2
0.5
2 3 xdx x 2 3
1 0.5
0.43096441
梯形求积公式和抛物线求积公式的误差估计
f ( ) f ( x) P ( x) ( x a)( x b), a b 1 2!
根据假定 f ( x) 是一次多项式，则， f ''( x) 0 因此，( x) P ( x) 则 f 1

b
a
f ( x)dx P ( x)dx 1
a
b
ba ( f (a) f (b)) 2
但当 f ( x) x 时
2

b
a
f ( x)dx
b
a
b3 a 3 b a x dx ( f (a) f (b)) 3 2
2
梯形公式具有一次代数精确度
牛顿一柯特斯公式的代数精确度至少是n。
在 a, b 存在，用n次插值多项式 pn ( x) 逼近 f ( x) 有关系式： f ( n 1) ( ) f ( x) pn ( x) ( x), a x b() 假若 f ( x) 是n次
(x
ab )( x b) ( x a)( x b) a b 2 f (a) f( ) ab ab ab 2 (a )(a b) ( a)( b) 2 2 2 ab ) 2 f (b) ab (b a)(b ) 2 2 ab ab (( x )( x b) f (a) 2( x a)( x b) f ( ) 2 (b a) 2 2 ( x a)( x
相应的求积公式为

b
a
ba f ( x)dx [ f (a) f (b)] T 2
n 2 时有： C
(2) 0
1 2 1 (t 1)(t 2)dt 4 0 6
1 2 4 C t (t 2)dt 2 0 6 1 2 1 (2) C2 t (t 1)dt 4 0 6 N=4时，相应的求积公式为：
因为
4 1 5 ba 4 ab 4 5 4 ax dx 5 (b a ) 6 b 4 2 a
b
所以抛物线求积公式的代数精确度是3。
2 定理5.1若 f ( x) C [a, b] ，则梯形求积公式有误差估计
ba R( f ) f ( x)dx ( f (a) f (b)) a 2 (b a)3 f ( ) 2
(2) 1

b
a
ba f ( x)dx [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 90
32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] C
其中
xk a k .
ba (k 0,1, 2,3, 4) 4
n 4 *的 N C 公式，特别称为柯特斯公式。
*教材表5.1给出了n= 1至6的牛顿一柯特斯系数表。 例1．试用梯形求积公式，抛物线求积公式和牛顿一柯特 斯公式（取n=4）计算定积分

(1)梯形求积公式
1
1
0.5
xdx
0.5 0.5 xdx 2 ( 0.5 1) 0.4267767 (2)抛物线求积公式

1
0.5
xdx
0.5 ( 0.5 4 0.75 1) 0.43093403 6
f( ab ab ) ( x a)( x ) f (b) 2 2
构造 p2 ( x) 的过程：利用Lagrange插值法得公式：
p2 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2

( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
b
a b
证明：根据定理2.1有
f ( ) f ( x) P ( x) ( x a)( x b), a b 1 2
其中 是依赖于x的函数，两边积分得
R( f )
b a
f ( ) ( x a)( x b)dx 2
其中 Ai a
b
w( x) dx ( x xi ) w( xi )