高中数学第三章基本初等函数Ⅰ对数与对数函数指数函数与对数函数的关系课堂导学案新人教B版必修

3.2.3 指数函数与对数函数的关系

课堂导学

三点剖析

一、求函数的反函数问题

【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域. (1)y=2x -1(-1≤x≤0); (2)y=x 2

-4x+7(x≤2).

解析：(1)∵y=2x -1,∴x 2=1-y 2. 又-1≤x≤0,

∴0≤x 2≤1,0≤1-x 2≤1,0≤2x -1≤1,即0≤y≤1.

∴x=2y -1-(0≤y≤1).

∴所求反函数是y=-2x -1(0≤x≤1).

(2)∵y=(x -2)2

+3,x≤2,

∴y≥3,x -2≤0.

∴x -2=3-y -,x=3-y -+2(y≥3).

∴所求反函数是y=3-x -+2(x≥3).

温馨提示

(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x 在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x 时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y 的取值范围,即反函数的定义域.

(2)在交换x 、y 时,要将y 的限制条件换成x 的限制条件,并由此得到反函数的定义域.

(3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域.

二、指数函数与对数函数的图象关系

【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是下图中的( )

思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a 对图象的影响.

解法一:首先,曲线y=a x 只可能在上半平面,y=log a (-x)只可能在左半平面上,从而排除A 、C.

其次,从单调性着眼,y=a x 与y=log a (-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.

解法二:若0

图象均不符合这些条件.

若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x)下降且过点(-1,0),只有B 满足条

件.

解法三:如果注意到y=log a (-x)的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x,又y=log a x 与y=a x 互

为反函数(图象关于直线y=x 对称),则可直接选定B.

答案：B

温馨提示

(1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题.

(2)y=a x 与y=log a x 为互为反函数关系,其图象关于y=x 对称.

三、指数函数与对数函数性质的综合运用

【例3】设函数f(x)是函数g(x)=x 21的反函数,则f(4-x 2)的单调递增区间为( ) A.［0,+∞) B.(-∞,0］ C.［0,2) D.(-2,0］ 思路分析：f(x)=log 21x,f(4-x 2

)=log 21(4-x 2),利用复合函数的单调性求单调区间.

解：f(x)=log 2

1x,f(4-x 2)=log 21(4-x 2),它是由函数log 21u 和u=4-x 2(-2

当-2

的递增区间是［0,2).故选C.

答案：C

温馨提示

(1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便.

(2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性.

各个击破

类题演练1

求下列函数的反函数:

(1)y=7x ;(2)y=log 8x;(3)f(x)=lnx.

解析：(1)∵y=7x ,x∈R ,把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x=log 7y,y>0,通常自变量用x

表示,函数用y 表示,则y=log 7x,x>0.

∴y=7x 的反函数是y=log 7x(x>0).

(2)∵y=log 8x,∴8y =x.∴y=8x .

∴y=log 8x 的反函数是y=8x

(x∈R ).

(3)设y=f(x)=lnx,

∴x=e y .∴y=e x .

∴f(x)=lnx 的反函数是f -1(x)=e x (x∈R ).

变式提升1 求函数y=x x x x e e e e --+-的反函数. 解析：由y=x x x

x e e e e --+-得y=1122+-x x e e . ∴ye 2x +y=e 2x -1.

∴e 2x =y y -+11.∵e 2x >0,∴y

y -+11>0.∴-1

y y -+11(-1

x -+11(-1

当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )

解析：∵a>1,∴0<

a 1<1. ∴y=a -x =(a

1)x 是减函数. ∴选A 或D.而y=log a x 是增函数,

∴选A 或B.

∴选A.

答案：A

变式提升

已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的

图象可能是( )

解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a 3·log a 3<0.

又∵a>0,∴log a 3<0.∴0

∴f(x)与g(x)均为减函数.应选C.

答案：C

类题演练3

函数f(x)=a x +log a (x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( ) A.41 B.2

1 C.

2 D.4 解析：∵y=a x 与y=log a x 的单调性相同,

∴f(x)的最大值为f(1)或f(0),最小值为f(0)或f(1).

从而f(1)+f(0)=a,∴log a 2+1=0.∴a=2

1. 答案：B

变式提升3

定义在区间［2,4］上的函数f(x)=3x-m (m 是常数)的图象过点(2,1),则函数F(x)=［f -1(x)］

2-f -1(x 2)的值域为( )

A.［2,5］

B.［1,+∞)

C.［2,10］

D.［2,13］

解析：由条件可知,32-m =1,∴m=2.∴f(x)=3x-2.

∴f -1(x)=log 3x+2(1≤x≤9).

∴F(x)=(log 3x+2)2-(log 3x 2+2)

=log 32x+2log 3x+2

=(log 3x+1)2+1(1≤x≤3).故当x=1时,F(x)min =2;

当x=3时,F(x)max =5.

∴F(x)的值域为［2,5］.

答案：A