高中数学《复数的基本概念及其运算》教案1新人教A版选修
2019-2020年高中数学 3.1《复数的概念》教案(1) 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 3.1《复数的概念》教案（1）新人教A版选修2-2教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程：学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数讲解新课：1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +dia =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i 是纯虚数.例2 复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是－2.易错为：实部是－2，虚部是3.14！例3（课本例1）实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.例4 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x =，y =4巩固练习：1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( )A.A ∪B =CB. A =BC.A ∩B =D.B ∪B =C2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A.x =－B.x =－2或－C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－23.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( )A.－1B.－1或4C.6D.6或－14.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.5.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______.6.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.7.若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值.8.已知m ∈R ，复数z =+(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =+4i .答案：1.D 2.D 3. 解析：由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴，∴∴m =－1，故选A.4. 解析：由题意知∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或 ∴点对有(3，)，(－1，)共有2个.答案：25. 解析：z 1=z 2a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 26.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m∴∴，∴m =－1.7. 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴，∴x =－，∴∴m 2=8，∴m =±2.8. 解：(1)m 须满足解之得：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解之得：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈ 课后作业：课本第106页 习题3.1 1 , 2 , 3教学反思：这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类.。
高中数学复数的概念的教案
高中数学复数的概念的教案课题：复数的概念教学目标：1. 了解复数的定义和性质。
2. 掌握复数的表示形式和运算法则。
3. 能够将复数与实际问题相联系，解决实际问题。
教学重点：1. 复数的定义和性质。
2. 复数的表示形式和运算法则。
教学难点：1. 复数的运算法则的灵活运用。
2. 将复数与实际问题相联系。
教学准备：1. 复数概念的教学PPT。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 复数的示意图。
4. 练习题目。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引导学生回顾实数的概念和性质。
2. 引入复数的概念，让学生思考：实数存在哪些问题？有什么不足之处？二、讲解复数的定义和性质（15分钟）1. 定义复数的概念：复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数。
2. 复数的基本形式：a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
3. 复数的加法和减法规则。
4. 复数的乘法规则。
5. 复数的除法规则。
三、练习与讲解（20分钟）1. 老师出示一些复数的运算题目，让学生尝试解答。
2. 学生解答完毕后，教师讲解解题思路和答案，重点讲解复数运算的注意事项。
四、应用拓展（15分钟）1. 老师出示一些实际问题，让学生将问题转化成复数形式，并解答。
2. 学生可以通过复数的计算，解决问题，并讨论解题过程。
五、总结与反思（5分钟）1. 老师与学生共同总结今天的学习内容，强调复数的重要性和应用。
2. 学生可以反思学习中的困难和收获，提出问题和建议。
六、作业布置（5分钟）1. 布置练习题目，巩固今天所学的内容。
2. 要求学生根据习题，练习复数的加减乘除运算。
教学反思：在复数的教学中，要注重激发学生的兴趣和思考能力，通过实际问题的引导让学生更好地理解复数的概念和运算法则。
同时，要关注学生的学习情况，及时检查并指导学生的习题练习，帮助学生提高解题能力和理解水平。
高中数学人教版a复数教案
高中数学人教版a复数教案
教材版本：人教版高中数学A
授课对象：高中学生
一、教学目标：
1.理解复数的概念，掌握复数的表示方法；
2.掌握复数的四则运算规则；
3.能够解决实际问题中的复数计算；
4.培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点：
1.复数的概念和表示方法；
2.复数的加减法和乘除法规则。
三、教学难点：
1.理解复数的概念；
2.掌握复数的乘除法规则。
四、教学准备：
1.课件及教材：人教版高中数学A教材；
2.复数相关的练习题和实例。
五、教学过程：
1.引入：通过展示虚数单位i和复数的引入，让学生了解复数的概念和表示方法。
2.讲解：讲解复数的加减法规则和乘除法规则，通过示例让学生掌握运算方法。
3.练习：让学生进行练习，巩固复数的四则运算规则，培养他们解决实际问题的能力。
4.拓展：引导学生思考复数的应用领域，如电路中的应用等。
5.总结：总结本节课的内容，强调复数的重要性和应用价值。
六、作业布置：
1.完成教材相关练习题；
2.思考复数在实际问题中的应用。
七、评价反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握复数的概念和运算规则，提高了他们的数学综合运用能力。
在未来的教学中，可以结合更多实际问题，培养学生的解决问题的能力。
复数的有关概念高中数学教案
复数的有关概念高中数学教案一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。
2. 让学生了解复数的运算规则，能够进行简单的复数运算。
3. 培养学生运用复数知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 复数的概念：引入复数的概念，讲解复数的组成及表示方法。
2. 复数的运算：讲解复数的加法、减法、乘法、除法运算规则。
3. 复数的性质：介绍复数的平方根、共轭复数等性质。
4. 复数在实际问题中的应用：通过实例讲解复数在几何、物理等方面的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：复数的概念、表示方法，复数的运算规则。
2. 难点：复数的运算规则，特别是乘除法运算。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解复数的基本概念、运算规则和性质。
2. 利用多媒体课件，展示复数的图形，增强直观感受。
3. 举实例分析，让学生了解复数在实际问题中的应用。
4. 开展课堂练习，巩固所学知识。
五、教学步骤1. 引入复数的概念，讲解复数的组成及表示方法。
2. 讲解复数的加法、减法运算规则，并进行课堂练习。
3. 讲解复数的乘法、除法运算规则，并进行课堂练习。
4. 介绍复数的平方根、共轭复数等性质，并进行课堂练习。
5. 举例分析复数在几何、物理等方面的应用，巩固所学知识。
6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对复数概念、运算规则的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生掌握复数运算的能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学拓展1. 讲解复数在数学其他领域中的应用，如复数与多项式、方程等的关系。
2. 介绍复数在科学研究、工程技术等领域的应用实例。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法是否恰当，学生掌握程度如何。
2. 根据学生的反馈，调整教学内容和方法，为下一节课做好准备。
九、课后作业1. 复习复数的概念、表示方法、运算规则和性质。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
高中数学复数的概念教案
高中数学复数的概念教案
一、教学目标：
1. 了解复数的概念和表示方法；
2. 学习复数的加减法和乘法；
3. 掌握复数的共轭和模；
4. 能够解决与复数相关的数学问题。
二、教学重点：
1. 复数的定义和表示；
2. 复数的加减法和乘法；
3. 复数的共轭和模。
三、教学步骤：
1. 复数的引入
- 引导学生回顾实数的概念，介绍实数无法解决的问题；
- 引入复数的概念，说明复数可以解决实数无法解决的问题。
2. 复数的定义和表示
- 介绍复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，bi为虚部；- 解释复数的表示方法：直角坐标系、极坐标系和三角形式。
3. 复数的加减法和乘法
- 介绍复数的加减法规则：实部相加，虚部相加；
- 讲解复数的乘法规则：根据分配律进行计算。
4. 复数的共轭和模
- 介绍复数的共轭定义：实部不变，虚部变号；
- 讲解复数的模定义：绝对值表示复数的距离。
5. 示例分析和练习
- 给出一些具体的复数问题，引导学生进行解题分析；
- 可以让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
四、课堂总结：
- 总结本节课的内容，强调复数的重要性和实际应用；
- 鼓励学生积极思考，提出问题。
五、课后作业：
- 完成课后习题，巩固所学知识；
- 思考如何将复数应用到实际问题中。
六、教学反思：
本节课着重介绍了复数的概念和基本运算规则，通过引导学生进行实际问题的解决，使学生能够深入理解复数的含义和作用。
在今后的教学中，可以适当增加实际应用的案例，引导学生更好地理解和掌握复数的相关知识。
人教A版高中数学选修高二新课程复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新
3.2.1 复数的代数形式的加减运算教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
高中数学备课教案复数的基本概念与运算
高中数学备课教案复数的基本概念与运算高中数学备课教案复数的基本概念与运算一、引言高中数学中，复数是一个重要的概念。
它既可以表示实数范围之外的数，也可以用于解决实数范围内的问题。
本教案旨在介绍复数的基本概念与运算，帮助学生理解复数的含义、性质，并能熟练运用复数进行计算。
二、复数的定义与表示法1. 复数定义复数是由实部与虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且满足i² = -1。
2. 复数表示法复数可以用代数形式、几何形式和指数形式等方式进行表示。
三、复数的性质1. 加法性质复数的加法遵循实部相加、虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i。
2. 减法性质复数的减法可通过加负数实现，即(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i。
3. 乘法性质复数的乘法满足分配律、交换律和结合律，即(a+bi)·(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法性质复数的除法可通过乘以倒数实现，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
四、复数的运算规则与常用公式1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数为a-bi，表示为conjugate(a+bi)。
2. 模与幅角复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a²+b²)，即复数对应点到原点的距离；复数a+bi的幅角定义为arg(a+bi) = arctan(b/a)，即与实轴正半轴的夹角。
3. 乘方公式复数的乘方可通过将复数转化为指数形式，然后利用指数的运算法则进行计算。
4. 根式公式复数的根可通过将复数转化为指数形式，并利用指数的根式运算法则进行计算。
五、解决实际问题通过复数的基本概念与运算，我们可以解决一些实际问题，如以下两个例子：1. 电路问题当电路中存在交流电场时，复数可以用于表示电压和电流的相位差，从而帮助我们分析电路的行为。
复数的有关概念高中数学教案
复数的有关概念高中数学教案第一章：复数的基本概念1.1 复数的定义与表示介绍复数的概念，解释复数是由实数和虚数构成的数，形式为a + bi，其中a 和b 是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。
展示复数的表示方法，包括在坐标平面上的表示，即复平面上的点。
1.2 复数的分类介绍纯虚数、实数和虚数的概念。
解释纯虚数是实部为0的复数，形式为bi，实数是虚部为0的复数，形式为a，虚数是实部为0且虚部不为0的复数，形式为bi。
第二章：复数的运算2.1 复数的加法与减法介绍复数的加法和减法运算规则，即实部相加减，虚部相加减。
给出具体的例子，进行计算和解释。
2.2 复数的乘法与除法介绍复数的乘法和除法运算规则，即利用复数的代数形式进行计算。
给出具体的例子，进行计算和解释。
第三章：复数的三角形式3.1 复数的三角形式的定义与表示介绍复数的三角形式，即利用欧拉公式将复数表示为e^(iθ) 的形式。
解释欧拉公式的含义，即复数a + bi 可以表示为e^(iθ) 的形式，其中θ是复数的相位角。
3.2 复数的三角形式的运算介绍复数的三角形式的运算规则，即利用欧拉公式进行计算。
给出具体的例子，进行计算和解释。
第四章：复数的指数形式4.1 复数的指数形式的定义与表示介绍复数的指数形式，即利用指数函数将复数表示为z = re^(iθ) 的形式。
解释指数形式的含义，即复数z = a + bi 可以表示为re^(iθ) 的形式，其中r 是复数的模，θ是复数的相位角。
4.2 复数的指数形式的运算介绍复数的指数形式的运算规则，即利用指数函数进行计算。
给出具体的例子，进行计算和解释。
第五章：复数的几何意义5.1 复数的几何表示介绍复数的几何意义，即复数在复平面上的表示。
解释复数在复平面上的坐标与实部和虚部的关系。
5.2 复数的几何运算介绍复数的几何运算规则，即在复平面上的点之间的运算。
给出具体的例子，进行计算和解释。
第六章：复数的乘积与除法6.1 复数乘法复习复数乘法的基本规则，即(a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i通过具体例子演示复数乘法的过程，并解释其几何意义。
高中数学 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修1
数系的扩充与复数的引入目标认知学习目标：1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示法及其几何意义；3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充难点：对概念的准确理解以及复数的几种意义学习策略①复数是对数系的又一次扩充，对复数a bi +（,a b R ∈），既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部和虚部分解成两部分去认识它，这是理解复数问题的重要思路。
②复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题；③复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.知识要点梳理知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i :（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；2.概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
说明：这里,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. z a bi =+（,a b R ∈）(0)0(0)0b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数纯虚数（）虚数非纯虚数（）N Z Q R C5.复数与实数、虚数、纯虚数、0的关系：对于复数z a bi =+（,a b R ∈）①当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；②当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；③当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；④当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.6.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.说明：（1）.a bi c di a c b d +≠+⇐≠≠或 （2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.（4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.6.共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数.复数z 的共轭复数用z 表示。
复数的概念教案高中数学
复数的概念教案高中数学一、教学目标1.了解复数的定义和性质；2.掌握复数的加减乘除运算方法；3.能够将复数化成标准形式；4.能够解决与复数相关的实际问题。
二、教学重点和难点1.掌握复数的基本概念和运算法则；2.理解复数的乘法和除法规则；3.解决与复数相关的问题。
三、教学内容1.复数的定义和形式；2.复数的加减法规则；3.复数的乘法和除法规则；4.复数的实际应用。
四、教学过程（一）复数的定义和形式1.复数的定义：形如a+bi(a,b为实数，i为虚数单位)的数称为复数。
2.实部和虚部：复数a+bi中的a称为实部，bi称为虚部。
3.复数的表示方式：a+bi表示复数的通用形式，也可以使用复平面来表示复数。
（二）复数的加减法规则1.同类项相加减：将实部相加减，虚部相加减。
2.举例：(3+2i)+(1-4i)=4-2i，(5-3i)-(2+4i)=3-7i。
（三）复数的乘法和除法规则1.复数的乘法：按照分配律，进行实部和虚部的运算，最终化成标准形式。
2.复数的除法：乘以共轭复数，分母合并虚部并化简。
3.举例：(3+2i)(1-4i)=11-10i，(3+2i)/(1-4i)=(-5/17)+(10/17)i。
（四）复数的实际应用1.解决实际问题：如电路中的交流电流计算等。
2.举例：已知复数(3+4i)(2-i)，求该复数的平方根。
五、教学反馈1.作业批改：检查学生课后练习的答案。
2.提问讨论：与学生互动讨论复数运算中的问题。
3.小组讨论：让学生分组讨论并分享解决复数问题的方法。
六、教学总结1.复数是数学中的一种扩展概念，用于解决实际问题；2.学会了复数的基本定义和运算规则，能够灵活运用；3.复数是数学领域的重要概念，需要不断巩固和实践。
以上就是本次教学内容，希望同学们能够认真学习，掌握复数的相关知识。
如果对复数还有疑问，欢迎随时提问。
谢谢！。
复数的有关概念高中数学教案
复数的有关概念高中数学教案一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。
2. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握复数的运算规则，提高学生的数学运算能力。
二、教学内容1. 复数的概念：引入复数的概念，解释实数和虚数的概念。
2. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。
3. 复数的运算规则：讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。
4. 复数的几何意义：介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。
5. 复数的应用：举例说明复数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：复数的概念、表示方法、运算规则和几何意义。
2. 难点：复数的运算规则和几何意义。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解复数的有关概念和运算规则。
2. 利用图形和实例，直观地展示复数的几何意义。
3. 引导学生运用复数解决实际问题，提高学生的应用能力。
4. 组织课堂讨论，让学生提问、交流和分享。
五、教学准备1. 教案、教材、多媒体教学设备。
2. 复数的相关图形和实例。
3. 练习题和课后作业。
六、教学过程1. 导入：通过复习实数的概念，引导学生自然过渡到复数的概念。
2. 新课导入：讲解复数的概念，解释实数和虚数的概念。
3. 案例分析：分析一些实际的例子，让学生更好地理解复数的概念。
4. 复数的表示方法：用代数形式表示复数，介绍复数的标准形式。
5. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数表示的练习题。
七、复数的运算规则1. 讲解复数的加法、减法、乘法和除法运算规则。
2. 利用具体例子，让学生理解和掌握复数的运算规则。
3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数运算的练习题。
八、复数的几何意义1. 介绍复数的几何表示，解释复平面的概念。
2. 利用图形，直观地展示复数的几何意义。
3. 课堂练习：让学生独立完成一些关于复数几何意义的练习题。
九、复数的应用1. 举例说明复数在实际问题中的应用，如信号处理、控制系统等。
高中数学复数讲解教案
高中数学复数讲解教案一、导入：复数的引入（5分钟）1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的表示形式：直角坐标形式、极坐标形式及指数形式。
3. 复数的基本运算：加法、减法、乘法、除法的规则。
二、概念理解（10分钟）1. 实部和虚部的概念：实部为复数的实数部分，虚部为复数的虚数部分。
2. 复数的相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，则两个复数相等。
3. 复数的共轭概念：如果一个复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi。
三、复数运算（15分钟）1. 复数的加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 复数的除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i四、练习与应用（20分钟）1. 练习：根据给定的复数，进行加减乘除运算。
2. 应用：解决实际问题，如电路中的复数阻抗计算、空间向量的表示等。
五、实例分析（10分钟）1. 根据实际问题，通过复数形式进行分析和解决。
2. 引导学生发现复数在实际应用中的重要性和实用性。
六、总结与反思（5分钟）1. 复习复数的基本概念和运算规则。
2. 总结本节课的重点内容，并思考如何更好地运用复数解决实际问题。
七、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，巩固本节课的知识点。
2. 要求学生独立完成一道实际应用题，并写出解题思路和过程。
注：以上教案可根据具体课堂情况和学生的理解水平进行调整和修改。
高中数学《复数的概念及运算》教案 新人教A版必修2
某某省民勤县第五中学高中数学《复数的概念及运算》教案 新人教A 版必修2授课类型：复习课教学目标：1. 知识与技能：复习复数的概念，掌握复数代数形式的四则运算。
2. 过程与方法：通过复习知识点和讲解典型例题，使学生建立这一章的知识体系， 并能运用所学知识解决高考中的复数问题。
3. 情感态度与价值观：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是的科学态度。
教学重点：复数的概念及四则运算。
教学难点：复数的几何意义及乘方，除法运算。
教学方法：讲授教学过程：一、 知识点梳理1、 复数的概念：⑴ 形如z=a+bi （R b R a ∈∈,）的数叫做复数，其中a 叫复数的实部，b 叫虚部。
① 当且仅当b=0时,z 为实数。
② 当且仅当a=0,b ≠0时，z 为纯虚数。
③ 当且仅当a=b=0时，z=0.（2）复数相等的条件a+bi=c+di 当且仅当 a=c,b=d2 复数的四则运算（a+bi ）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（a+bi ）-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（a+bi ）(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)ii d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ 乘方,14=n i i i n =+14,124-=+n i ,34i i n -=+(Z n ∈)4. 复数的几何意义复数的模 |z|=|oz |=22b a +，共轭复数：a+bi 与a-bi 互为共轭复数二．例题讲解例1：已知z=(652+-m m )+)103(2-+m m i, (m R ∈),求满足下列条件的m 的值 （1） z 是实数。
（2） z 是虚数。
（3） z 是纯虚数分析：（1）本题主要是巩固学生对复数中实数，虚数，纯虚数的概念的掌握。
（2）教学中可以提问学生，由学生解答，教师板书解答过程（3）学生易出现逻辑错误，通过提问和分析引起学生注意。
人教A版高中数学选修数系的扩充和复数的概念教案(1)
3.1.1 数系的扩充和复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：62P（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。
人教A版高中数学选修高二新课程复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新
§3.2复数代数形式的四则运算§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z =a +bi (a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 b Z(a ，b)a o y x实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =u u u r9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲解新课：一．复数代数形式的加减运算１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R).∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ，(3－4i )+(－4+5i )=－1+i ，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ u u u r 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =u u u u r u u u r ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R)，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为A.32B.22C.2D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.例2图7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R)分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1. 10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设D （x ,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i 。
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复数的基本概念及其运算
一、目标要求：
(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数
的代数表示与向量表示。
(2) 掌握复数的表示方法。
（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法
与除法）
二、思想方法
(1)化归思想—将复数问题实数化。
(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。
三、教学进程
1。
引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根
吗？
2．复数的有关概念和性质：
(1)i 称为虚数单位，规定2
1i =-，形如a+bi 的数称为复数，其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)
(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．
(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．
复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)
向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)． (6)复数与实数不同处:
①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．
②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．
3．复数的代数运算
（1）i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ；
（2）i n · i 1n +· i 2n +·i 3n +=-1， i n ＋i 1n +＋i 2n +＋i 3n +=0；
；
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21212
1≠+-+++=-+-+=++=+==
•∈+=++-=•±+±=±∈+=+=z i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z b a z z z R b a bi a z i ad bc bd ac z z i d b c a z z R d c b a di c z bi a z ；
，则，；特别，若；
，，，，，
四、典型例题分析
①实数？②虚数？③纯虚数？④在复平面上对应的点第三象限?
①复数z 是实数的充要条件是：
∴当m ＝-2时复数z 为实数． ②复数z 是虚数的充要条件：
∴当m ≠-3且m ≠-2时复数z 为虚数 ③复数z 是纯虚数的充要条件是：
∴当m ＝1时复数z 为纯虚数．
【说明】 要注意复数z 实部的定义域是m ≠-3，它是考虑复数z 是实数，虚数纯虚数的必要条件．
要特别注意复数z ＝a+bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0．
例2 (1).若__________723=∈++∈x R i
i
x R x ，则，
(2).复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数的充要条件是（ ） A ． 0=-bd ac Ｂ．0=+bc ad Ｃ．00=+≠-bc ad bd ac 且
Ｄ．00≠+=-bc ad bd ac 且
（3）已知3
3
333-+∈++=m m C m i m z ，且，其中为纯虚数 求m 的对应点的轨迹.
例3.设复数()i b az z i
i i z +=+++-++=
1213122
，若）
（,求实数b a ，的值.
例4:计算:
()22
1521232132⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++++-i i i i
(2)1+i+32
i +…+1000999
i
【说明】 计算时要注意提取公因式，要注意利用i 的幂的周期性，
(2 ) 法 1：原式=(1+2i -3-4i)+(5+6i -7-8i)+…+(997+998i -999-1000i)
=250(-2-2i)=-500-500i 法2：设 S ＝1+2i+32
i +…+1000999
i ，则iS ＝i+22i +33i +…+999999
i
+10001000
i
，
∴(1-i)S ＝1+i+2
i +…+999i
-10001000i
【说明】 充分利用i 的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法． 例5 （2004上海市普通高校春季高考数学试卷18） 已知实数p 满足不等式02
1
2<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.
【解】由0212<++x x ，解得212-<<-x ，2
12-<<-∴p .方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 2
12-<<-p Θ，4241
<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根.
课后训练
1、下列说法正确的是 ( )
A ．0i 是纯虚数
B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点
C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数
D ．2
i 是虚数 2、下列命题中，假命题是 ( )
A ．两个复数不可以比较大小
B ．两个实数可以比较大小
C ．两个虚数不可以比较大小
D ．一虚数和一实数不可以比较大小 3、复数1+i+2
i +…+10
i 等于 ( )
A ．i
B ．-I
C ．2i
D ．-2i
4、下列命题中: (1) 两个复数不能比较大小;
(2) 若z=a+bi, 则当且仅当a ＝0且b ≠0时,z 为纯虚数;
(3) (z 1-z 2)2+(z 2-z 3)2
=0 则z 1=z 2=z 3;
(4)x+yi=1+i 1==⇔y x。