(名师名校推荐)2020-2021最新年高中数学第四章导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值分层训练
高中数学：导数在研究函数中的应用
高中数学：导数在研究函数中的应用1．函数的单调性函数f (x )在区间(a ，b )内可导，f ′(x )在区间(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0. f ′(x )≥0⇔f (x )在区间(a ，b )上为________；f ′(x )≤0⇔f (x )在区间(a ，b )上为________．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫作函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫作函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫作函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫作函数y ＝f (x )的极大值．极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上图像连续不断的函数f (x )在区间[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．题组一 常识题1．[教材改编] 函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是______________．2．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－12x 的极小值是________，极大值是________．3．[教材改编] 一条长为2a 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是________，________．题组二 常错题◆ 索引：求单调区间忘记定义域；对存在和任意的不等关系理解不清；对求极值和最值过程中存在的分类情况考虑不全．4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为______________． 5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是____________．6．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．题组三 常考题7．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________________________________________________________________________．8．[2015·湖南卷改编] 函数f (x )＝x －ln x 在(2，＋∞)上的单调性是__________________．第1课时 导数与函数的单调性探究点一判断与证明函数的单调性1 已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时，f(x)为增函数；f′(x)<0时，f(x)为减函数．式题[2015·全国卷Ⅱ改编] 设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二求函数的单调区间2 [2016·北京朝阳区期末] 已知函数f (x )＝(2k －1)ln x ＋k x ＋2x ，k ∈R . (1)当k ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 求函数的单调区间的步骤：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．式题 [2016·吉安一中期中] 已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x . (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点三 已知函数的单调性求参数的范围3 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1. (1)若曲线y ＝f (x )在点(0，1)处切线的斜率为－3，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[－2，a ]上单调递增，求a 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 由函数单调性求参数的范围：(1)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．(2)f (x )为增函数的充要条件是“对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0”．式题 (1)[2016·九江三模] 若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax 在R 上不单调，则实数a 的取值范围是__________．第2课时 导数与函数的极值、最值探究点一 利用导数解决函数的极值问题考向1 由图判断函数极值 1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2-14-1所示，则下列结论中一定成立的是 ( )图2-14-1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 由图像判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图像与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图像可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性．两点结合可得极值点．式题 如图2-14-2是f (x )的导函数f ′(x )的图像，则f (x )的极小值点的个数为________．图2-14-2考向2 已知函数求极值2 [2016·河南许昌三模] 设函数f (x )＝ln x －14x 2－12x . (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝x ⎝⎛⎭⎫f （x ）＋14x 2＋1，当x >1时，g (x )在区间(n ，n ＋1)内存在极值，求整数n 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．特别注意：导数为零的点不一定是极值点．式题[2016·重庆巴蜀中学月考] 已知函数f(x)＝a ln x＋x2＋bx＋1的图像在点(1，f(1))处的切线方程为4x－y－12＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间和极值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 考向3 已知极值求参数3 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同交点，求m 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列出方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．式题 [2016·沈阳质检] 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ＋b (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －3＝0，求实数a ，b 的值；(2)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二 利用导数解决函数的最值问题4 已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x ＋1，其中a ＞0. (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值；(2)求函数f (x )在区间[1，2]上的最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，则一般要将极值与端点值进行比较，才能确定最值．式题 [2016·安徽名校联盟模拟] 已知函数f (x )＝1ax＋ln x .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求正实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值和最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点三利用导数研究生活中的优化问题5 [2016·江苏卷] 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A1B1C1D1(如图2-14-3所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？图2-14-3________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题并作答．式题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第3课时 导数与不等式探究点一 构建函数证明不等式 1 [2016·石家庄二模] 设函数f (x )＝(e x －1)(x －a )，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，证明：除切点(1，f (1))外，函数y ＝f (x )的图像恒在切线l 的上方；(2)当a ＝0时，证明：f (x )＋x ln x ＋1e>0. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 利用导数证明不等式的一般思路为：若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )．式题 [2016·广西钦州期末] 设函数f (x )＝e x ＋ax ＋b 的图像在点(0，f (0))处的切线方程为x ＋y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当x ≥0时，f (x )>x 2－4.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二 根据不等式确定参数范围2 [2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e ex ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 利用导数研究不等式中的参数问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离参数，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．式题 [2016·河北衡水四调] 已知函数f (x )＝－x 3＋x 2＋b ，g (x )＝a ln x .(1)若f (x )在⎣⎡⎭⎫－12，1上的最大值为38，求实数b 的值； (2)若对任意x ∈[]1，e ，都有g ()x ≥－x 2＋()a ＋2x 恒成立，求实数a 的取值范围． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点三构建不等式证明不等式3已知函数f(x)＝x2－ln x－x.(1)求f(x)的单调区间和最值；(2)证明：∀m∈N*，1ln（m＋1）＋1ln（m＋2）＋…＋1ln 2m>12m.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 式题[2016·云南玉溪三检] 已知函数f(x)＝ln x－kx＋1.(1)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；(2)证明：ln 54＋ln109＋ln1716＋…＋lnn2＋1n2<1(n∈N*，n≥2)．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第4课时导数与方程探究点一 判断函数零点的个数1 [2016·厦门质检] 已知函数f (x )＝(x －2)ln x ＋1.(1)判断f (x )的导函数f ′(x )在(1，2)上零点的个数；(2)求证：f (x )>0.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法：(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等；(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置；(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．式题 [2015·北京卷] 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二 根据零点个数确定参数2 [2016·北京卷] 设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；。
13《导数在研究函数中的应用》选修
13《导数在研究函数中的应用》选修导数是微积分中非常重要的概念，它被广泛应用在研究函数的各种性质中。
导数可以告诉我们函数在其中一点的变化速率，这对于理解函数的形态和性质非常有帮助。
在本文中，我们将介绍导数在研究函数中的应用，并探讨导数在不同领域中的重要性。
首先，导数在函数的极值问题中扮演着非常重要的角色。
通过求解函数的导数并找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
这些极值点可以告诉我们函数的最大值和最小值，帮助我们优化函数的性能。
在实际生活中，比如经济学中的成本函数和收益函数，通过求解导数我们可以找到最大利润的生产量或者最小成本的生产方式。
其次，导数在函数的连续性和光滑性的研究中也扮演着重要的角色。
通过求解函数的导数，我们可以判断函数在其中一点是否连续，或者函数是否具有一阶或者二阶导数。
这些信息对于理解函数的性态和特性非常有帮助。
在物理学中，速度和加速度分别是位移函数和速度函数的导数，通过求解导数我们可以得到精确的运动轨迹和加速度曲线。
另外，导数在函数的图像和曲线的绘制中也发挥着至关重要的作用。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的拐点和弯曲点，这些点对于绘制函数的准确曲线非常重要。
在工程学中，比如控制系统和信号处理中，求解导数可以帮助我们设计稳定和高效的系统。
最后，导数在函数的微分方程中也被广泛应用。
微分方程描述了函数和导数之间的关系，通过求解微分方程我们可以找到函数的解析解。
这对于预测和模拟函数的行为非常重要。
在生物学和医学中，通过建立生物系统的微分方程，我们可以模拟疾病的发展过程和治疗效果。
总之，导数在研究函数中的应用是非常广泛和重要的。
通过求解导数，我们可以研究函数的极值问题，连续性和光滑性，图像和曲线的绘制，以及微分方程的建模和求解。
导数不仅是微积分中的基本概念，也是现代科学和工程中不可或缺的工具。
希望本文可以帮助读者更好地理解导数在函数中的应用和重要性。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性课堂讲义配套课
∴a的取值范围为(－∞，0).
再见
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
(1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝x3－x2－x.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－1x，由f′(x)＝2x－1x＞0且x＞0，得x＞ 22， 所以函数f(x)的单调递增区间为 22，＋∞； 由f′(x)＜0得x＜ 22，又x∈(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为0， 22.
a x
(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈
[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围． 解 f′(x)＝2x－xa2＝2x3x－2 a.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即2x3x－2 a≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x2>0，
∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
(4)f′(x)＝3x2－3t，令f′(x)≥0，得3x2－3t≥0， 即x2≥t. ∴当t≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋ ∞)． 当t>0时，解x2≥t得x≥ t或x≤－ t； 由f′(x)≤0解得－ t≤x≤ t. 函数的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)，减区间是(－ t，
(完整版)导数在研究函数中的应用(含标准答案)
导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． 3．函数的极大值在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值． 4．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．二、自我查验1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.函数ln xy x=的最大值为（ ） A ．1e - B ．e C ．2e D ．103【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．考点二 利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R . （1）当1a =时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间.【变式训练2】(2011·安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数.当a ＝43时，求f (x )的极值点；考点三 利用导函数求函数最值问题【例3】已知a 为实数，.（1）求导数； （2）若，求在[]2,2-上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数ln y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．](1,1- B ．)(0,+∞ C ．[)1,+∞ D ．](0,1()))(4(2a x x x f --=()xf '()01=-'f ()x f2.函数()e x f x x -=的单调递减区间是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞ 3.函数()()3e x f x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()0,3 B ．()1,4C ．()2,+∞D ．(),2-∞4.设函数()2ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为()f x 的极小值点5．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．5 D ．6【复习与巩固】A 组 夯实基础一、选择题1．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f c f d >>B ．()()()f b f a f e >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f e f d >>2.函数()2ln f x x a x =+在1x =处取得极值，则a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3.函数()e xf x x =-（e 为自然对数的底数）在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.1B.1C.e ＋1D.e －1二、填空题4.若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，则实数m 的取值范围是________________．5.若函数()23exx axf x +=在0x =处取得极值，则a 的值为_________. 6.函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是_____________. 三、解答题 7.已知函数()21ln ,2f x x x =-求函数()f x 的单调区间8.已知函数(),1ln xf x ax x x=+>． （1）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若2a =，求函数()f x 的极小值.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数()213ln 22f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1a a -+内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.若函数32y x ax a =-+在()0,1内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.若函数()3232f x x x a =-+在[]1,1-上有最大值3，则该函数在[]1,1-上的最小值是（ ） A ． B ．0 C ．D ．1二、填空题4．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题7．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )．(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围；(2)求g (x )的最大值．12-128．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(其中k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当k∈[0，＋∞)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点．《导数在研究函数中的应用》标准答案一．自主归纳1.（1）f ′(x )>0 （2）f ′(x )<0 （3）f ′(x )＝0 3. 小于 4. 大于 极值 5.不超过 不小于 二．自我查验1.解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2.解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞3.解析：导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，故选A.答案：A4.解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.答案：D5..A 当(0,e)x ∈时函数单调递增，当(e,)x ∈+∞时函数单调递减， A. 三．典型例题【例题1】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．【变式训练1】（1）当1a =时，()322f x x x x =+-+，∴()2321f x x x '=+-， ∴切线斜率为()14k f '==，又()13f =，∴切点坐标为()1,3，∴所求切线方程为()341y x -=-，即410x y --=．（2）()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-，由()0f x '=，得x a =-或3ax =.0,.3a a a >∴>-Q 由()0f x '>，得x a <-或3a x >，由()0f x '<，得.3aa x -<<∴函数()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【例题2】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()()1110xf x x x x-'=-=>， 令()0f x '>，解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增； 令()0f x '<，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减； 所以当1x =时取极大值，极大值为()12f =，无极小值. （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，1()0f x a x'=->在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，解得1x a >，所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【变式训练2】解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax 1＋ax 22. 当a ＝43时，若f ′(x )＝0， 则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x (－∞，12) 12 (12，32) 32 (32，＋∞) f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点.【例题3】1）.（2）由得，故， 则43x =或，由，，41641205504.39329627f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故，.【变式训练3】1）当0a ≥时，函数()e 20x f x a '=+>，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()e 2x f x a '=+，令e 20x a +=，得ln(2)x a =-，所以当(,ln(2))x a ∈-∞-()423)4()(2'22--=-+-=ax x x a x x x f ()01=-'f 21=a 2421)21)(4()(232+--=--=x x x x x x f ()34,143'2=-=⇒--=x x x x x f 或0)2()2(==-f f 29)1(=-f 29)(max =x f 2750)(min -=x f时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()e 20x f x ax =+>，不符合题意. 当0a <时，()f x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增.①当ln(2)1a -≤()f x 最小值为(1)2e f a =+.解2e 0a +=，得.②当ln(2)1a ->()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-，解22ln(2)0a a a -+-=，得2ea =-，不符合题意.应用体验： 1.D【解析】函数的定义域为)(0,+∞，令1110x y x x-'=-=≤，解得](0,1x ∈，又0x >，所以](0,1x ∈，故选D. 考点：求函数的单调区间. 2.A【解析】导数为()()()e e 1e x x x f x x x ---'=+⋅-=-，令()0f x '<，得1x >，所以减区间为()1,+∞.考点：利用导数求函数的单调区间． 3.C【解析】()()()e 3e e 2x x x f x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． 4.【解析】()22212x f x x x x-'=-+=，由()0f x '=得2x =，又函数定义域为()0,+∞，当02x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，()f x 递增，因此2x =是函数()f x 的极小值点．故选D ． 考点：函数的极值点． 5.D【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-Q ，令()0,f x '= 可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==. 考点：函数的导数与极值. 复习与巩固 A 组 1.C【解析】由()f x '图象可知函数()f x 在(),c -∞上单调递增，在(),c e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，又(),,,a b c c ∈-∞，且a b c <<，故()()()f c f b f a >>． 考点：利用导数求函数单调性并比较大小． 2.B【解析】()2a f x x x '=+，由题意可得()121201af a '=⨯+=+=，2a ∴=-.故选B.考点：极值点问题. 3.D【解析】()e 1x f x '=-，令()0,f x '=得0x =.又()()()010e 01,1e 11,111,e f f f =-==->-=+>且11e 11e 2e e ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭＝2e 2e 10e--=>，所以()()max 1e 1,f x f ==-故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得()0f x '≥在R 上恒成立，则()2320f x x x m '=++≥，即232m x x ≥--恒成立.令()232g x x x =--，则()max m g x ≥⎡⎤⎣⎦，因为()g x232x x =--为R 上的二次函数，所以()2max11333g x g ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭11233⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.5.0【解析】()()()()()2226e 3e 36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==， 由题意得()00f a '==． 考点：导数与极值． 6.1【解析】因为()e 1x f x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=.考点：函数的最值与导数.7.【解析】()21ln 2f x x x =-的定义域为()0,+∞，()211x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，则1x =或1-（舍去）.∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 递增， ∴()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,+∞．考点：利用导数求函数的单调区间． 8.（1）14a ≤-（2）【解析】（1）函数(),1ln x f x ax x x =+>，则()2ln 1ln x f x a x-'=+，由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立，∴2211111ln ln ln 24a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭， ∵()1,x ∈+∞，()ln 0,,x ∴∈+∞021ln 1=-∴x 时，函数2111ln 24t x ⎛⎫=--⎪⎝⎭取最小值41-，41-≤∴a ，（2）当2a =时，()2ln x f x x x =+，()22ln 12ln ln x x f x x -+'=， 令()0f x '=，得22ln ln 10x x +-=，解得21ln =x 或ln 1x =-（舍去），即x =当1x <<()0f x '<，当x >()0f x '>， ∴()f x的极小值为f =.B 组 1.D【解析】因为函数()213ln 22f x x x =-+在区间()1,1a a -+上不单调，所以()2141222x f x x x x-'=-=在区间()1,1a a -+上有零点，由()0f x '=，得12x =，则10,111,2a a a -≥⎧⎪⎨-<<+⎪⎩得312a ≤<，故选D ． 考点：函数的单调性与导数的关系．2.C【解析】232y x a '=-，①当0a ≤时，0y '≥，所以32y x ax a =-+在()0,1上单调递增，在()0,1内无极值，所以0a ≤符合题意；②当0a >时，令0y '=，即2320x a -=，解得12,33x x =-=，当,x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，0y '>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<，所以32y x ax a =-+的单调递增区间为,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为⎛ ⎝⎭，当x =数取得极大值，当x =原函数取得极小值，要满足原函数在()0,1内无极值，1≥，解得32a ≥.综合①②得，a 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U ，故选C.考点：导函数，分类讨论思想. 3.C【解析】()()23331f x x x x x '=-=-，当()0f x '>时，1>x 或0<x ，当()0f x '<时，10<<x ，所以()f x 在区间[]1,0-上函数递增，在区间[]1,0上函数递减，所以当0=x 时，函数取得最大值()30==a f ，则()32332f x x x =-+，所以()211=-f ，()251=f ，所以最小值是()211=-f ． 考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0得x 1＝a3，x 2＝a .又∵x 1<2<x 2，∴⎩⎨⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)6.解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)7.解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)．因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)g ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋2ln x －x ，由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.8.解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：0]，[ln 2，＋∞)．f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①若k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e 2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．②若k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞，则f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上单调递增．f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ，g ″(t )＝e t －2，∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g(t)>g(2)＝e2－4>0.∴f(k＋1)>0.∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．。
高三数学导数在研究函数中的应用
六、课后作业
P78习题3.3第1、2题
就脸皮厚壹些，自己来讨弟妹の这盏茶来喝。”婉然晓得这是福晋在为她打圆场，她感谢地望咯排字琦壹眼，然后赶快从红莲手中の茶盘上端起咯另壹盏茶，恭恭敬敬地递咯上去： “请四嫂喝茶。”“多谢弟妹咯。”壹边说着，排字琦壹边轻轻地抿咯壹口茶，就将茶盏放回咯茶盘，然后赶快又细心地将王爷手中の茶盏也接咯过来，壹并放回茶盘。敬过茶之后， 意味着最艰难、最紧张、最尴尬の时刻已经过去，壹屋子所有の人都大大地松咯壹口气，排字琦作为女主人，当仁不让地担当起缓和紧张气氛，调节众人情绪の重要角色。于是刚刚 将茶盏放回去，她马上主动而又不露痕迹地拉上咯婉然の胳膊，真心实意地说道：“小弟妹，喝咯这改口茶，咱们可就是壹家人咯，壹家人不能说两家话，所以呢，你以后千万不要 跟四嫂客气，有啥啊事情需要四嫂帮忙の，就算不跟你家爷说，也得跟四嫂说，听见没有？”“听见咯，多谢四嫂。”“这就对咯，以后要是跟四嫂见外、生分，四嫂可是不答应。 来来，大家赶快就座吧，两位爷也真是，壹聊起来就那么长时间，把我们这些姐妹们都晾在壹边，这肚子可是咕咕叫呢。”在排字琦这壹番活跃气氛话语の调节下，众人也渐渐地放 松下紧绷の神经，面含笑容地壹边相互谦让壹边赶快落咯座。婉然自从进咯霞光苑，壹双眼睛就不停地在找水清。可是除咯福晋，另外两位女眷她都不认识。按理说，水清可是第壹 侧福晋，没有不坐陪の道理啊！在等两位爷入席の漫长时间里，她更是心急如焚，好不容易可以不用单独请求就能看到凝儿，多么难得の机会啊！可是怎么就是见不到凝儿呢？难道 凝儿不晓得今天の拜访吗？这么大の事情她怎么可能不晓得。难道是凝儿还在怨恨自己？假设还在怨恨自己の话，她为啥啊会送来那么贵重の贺礼？可是假设凝儿原谅咯自己，她为 啥啊没有来这里呢，她难道再也不想见到姐姐咯吗？永远都不会原谅姐姐吗？凝儿，你告诉姐姐，这是为啥啊，好吗？直到二十三小格壹行离开王府，婉然都没有见到水清，她是那 么の心不甘情不愿，她想看到凝儿，亲耳听到凝儿对她说：姐姐，凝儿原谅你，凝儿不恨你。排字琦当然晓得婉然频频望向她の充满咯探寻の目光意味着啥啊，那副欲言又止、楚楚 可怜の样子，看着着实令人心酸。可是当着那么多の人，她能说啥啊呢？天仙妹妹の腿跪伤咯，况且前天又挨咯爷の训斥，她倒是想来呢，可是身子没有养好也来不咯！第壹卷 第 439章 专宠婉然带着无尽の遗憾，随自家爷和福晋回到咯二十三贝子府。壹进府门，穆哲立即开口说道：“爷，今天晚上，您是回书院？”其实穆哲这番话是说给婉然听の。自从二 十三小格与婉然成亲以来，壹连七天，他都是歇在婉然の院子里，这可是自穆哲嫁入二十三府以来，从来都没有遇见过の情况！二十三小格是啥啊人？他既不会哄诸人，也不会费心 费力地去讨好诸人，因此也就更不会专宠壹各诸人，诸人对于他而言，只是可有可无の壹件衣裳而已。而且他不止壹次地对穆哲说过，婉然可是壹各他最需要の诸人，办好咯差事， 少不咯她这各嫡福晋の好处。当初二十三小格让她托媒人上年府提亲の时候，可是红口白牙地承诺咯她：“你乖乖地把爷の事情办漂亮咯，有你の好处。”可是，这就是她得到の好 处？壹连七天都专宠这各婉然？还是说爷只是图新鲜，头几天热乎气儿过去咯，就完咯？刚刚从王府回来，估计二十三小格对婉然也没啥啊好心情，因此穆哲打算趁热打铁，直接问 向咯自家爷，希望尽早改变婉然壹人专宠の局面。谁想到二十三小格直接就给她来咯壹各下不来台：“爷为啥啊要回书院？”“不去书院？那您要去哪里？”“当然是去婉然那 里。”“啊？爷，您怎么还？这都第八天咯，您怎么……”“爷要去哪里，需要福晋の准许？”“不是，不是，爷，您就是给妾身十各胆子，妾身也不敢。可是，您怎么能对婉然这 么好？”“爷对谁好也要福晋准许？”“爷！您当初让妾身去提亲の时候，可是许诺过妾身の啊！”“爷当然记得。”“难道，这就是爷の许诺？对婉然妹妹の专宠？”“妇道人 家！”不仅是穆哲，就是婉然，晚上见到二十三小格进咯她の院子，简直就是惊愕不已！他这是要做啥啊？假意让她独得专宠，然后在二十三贝子府里四面树敌？因为她晓得，不管 是她对二十三小格，还是二十三小格对她，都没有真情真意。她呢，只是二十三小格与年二公子之间の壹块跳板，而二十三小格呢，则是为咯得到年家の势力和打击他の四哥，她只 是还有那么壹点儿剩余价值可供二十三小格利用而已。可就是这么壹各利用の关系，居然令他夜夜留宿她の院子，婉然实在是想不明白二十三小格这葫芦里卖の是啥啊药。“给爷请 安。”“起来吧。”今天晚膳前敬茶の那壹幕，仍然深深地印在二十三小格の脑海，他不但没有生气、愤怒，相反，心中却是兴灾乐祸，欣喜异常。原本他就没有喜欢过婉然，他娶 她不过是为咯拉拢年二和报复四哥，这两各原因，连他自己也搞不清楚，哪壹各占の份量更重。既然不是心中所爱，又乐见四哥几乎要被活活气死，二十三小格の心中真是痛快淋 漓！可是，这只是片刻の欢愉，转瞬即逝，因为他壹直没有见到水清。这种场合，小四嫂怎么没有出席呢？是因为生病咯吗？还是又被四哥处罚咯？第壹卷 第440章 陌生丹桂飘香 の八月空余花香满地，遍插茱萸の九月寄尽乡思离愁，转
高三复习：导数在研究函数中的应用
名师大讲堂 名师大讲堂高考总复习
第四章 导数
练习: 练习:
1 函数 f ( x)=x3 +ax 2 +3 x-9 则a等于 等于( ) 等于 A. 2 B. 3 ,已知 f ( x ) 在 x =-3 时取得极值, 时取得极值, C. 4 D. 5
2 已知函数 f ( x)=x 3 +ax 2 +bx +1 ,当且仅当 当且仅当x=-1,x=1时取得极值. 时取得极值. 时取得极值 的值. (1)求a,b的值. ) 的值 (2)求函数的极大值和极小值. )求函数的极大值和极小值.
a = ______ .
和
1 4.(湖南卷) 4.(湖南卷)曲线 y = x
y =x 2
.
在它们交点处的两条切线
与轴所围成的三角形面积是
新课标
新高考
新理念
�
2
y
-3 -2 - 1 2
O
2
3 4 5 x
新课标
新高考
新理念
名师大讲堂 名师大讲堂高考总复习
第四章 导数
2.(浙江卷) 2.(浙江卷) f ( x)=x 3 +3x 2 -2 在区间上 (A)(A)-2 (B)0 (C)2
[-1,1]的最大值是
(D)4
3.(福建卷) 3.(福建卷)已知直线 x +y -1=0 与抛物线 y =ax 2 相切, 相切,则
1 在区间(- (-3 内单调递增; ①函数y=f(x)在区间(-3,- )内单调递增; 2 1 在区间(- 内单调递减; ②函数y=f(x)在区间(- ,3)内单调递减; 2
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; 在区间( 内单调递增; =2时 有极小值; ④当x=2时,函数y=f(x)有极小值; 有极大值. ⑤当x=- 1 时,函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是________. 则上述判断中正确的是________.
高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值课堂讲义配套课件 湘
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)知f(x)＝12x3－32x， ∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)， 当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0， 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数， ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1， 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
要使函数f(x)只有一个零点， 只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)
或
即k＜－4或k＞4. ∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
再见
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间
分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在
方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么
f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号， 那么f(x)在这个根处无极值．
跟踪演练1 求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值． 解 函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1. 令f′(x)＝0，得x＝1.
当 a ＝ 1 ， b ＝ 3 时 ， f′(x) ＝ 3x2 ＋ 6x ＋ 3 ＝ 3(x ＋
导数在函数研究中的应用
导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。
如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。
通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。
3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。
如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。
4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。
例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。
5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。
例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。
6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。
例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。
7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。
总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值课件湘教版选修2_2
(7)函数f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值点的
分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间
必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间
必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b] 上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内
的极大值点和极小值点是交替出现的．
2．求可导函数极值的步骤
4.3.2 函数的极大值和极小值
【课标要求】 1．了解极大(小)值的概念；结合图象，了解函数在 某点取
得极值的必要条件和充分条件； 2．能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大 值，极
小值．
自学导引
1．如 v)成果立不，等就式f说(c)函≥f(数x)(在或fx(c＝)≤cf(处x))取得极大(小对)一值切，x称∈c(为u， f(x)的一个极大(小)值点， 为f(x)的一个极大
(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其
左、右邻域都有意义．
(不2)会按是定端义点，a极，值b.点xi是区间[a，b]内部的点(如图)，
(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝
不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值 不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
解得
a＝1， b＝3
或
a＝2， b＝9.
因此常数a＝1时，b＝3；a＝2
时，b＝9.
错因分析 根据极值定义，函数先减后增为极小值，
先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧导数 f′(x)的符号，故求错．
[正解] ∵f(x)在x＝－1处有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
题型二 求含参数的函数的极值
[推荐学习]高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值基础
![[推荐学习]高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值基础](https://img.taocdn.com/s3/m/b93c8c2cb52acfc788ebc922.png)
4.3.2 函数的极大值和极小值基础达标限时20分钟1．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( )．A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在解析 ∵f ′(x )＝1－1x2，由f ′(x )>0，得x >1或x <－1，又∵x >0，∴x >1. 由⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，x >0.得0<x <1，即在(0,1)内f ′(x )<0，在(1，＋∞)内f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)有极小值f (1)，但无极大值． 答案 A2．函数y ＝1＋3x －x 3有( )．A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析 y ′＝3－3x 2，令y ′＝0，解得x ＝±1.x <－1或x >1时，y ′<0；－1<x <1时，y ′>0.可得f (1)＝3是极大值，f (－1)＝－1是极小值．答案 D3．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 f (x )的极小值点左边有f ′(x )<0，极小值点右边有f ′(x )>0，因此f ′(x )的图象在原点O 左侧第一个与x 轴的交点符合条件，且只有1个极小值点，故选A. 答案 A4．已知函数y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b＝________.解析 ∵f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，由于f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，12a ＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16.答案 －23 －165．函数y ＝cos 2x 在(0，π)内的极______值是______．解析 y ′＝(cos 2x )′＝－2sin 2x ，令y ′＝0，得x ＝π2，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )＞0.故y ＝cos 2x 在(0，π)内的极小值是－1.答案 小 －16．(2011·四川)已知f (x )＝23x ＋12，h (x )＝x ，设F (x )＝f (x )－h (x )，求F (x )的单调区间与极值．解 F (x )＝f (x )－h (x )＝23x ＋12－x (x ≥0)．F ′(x )＝23－12x －12＝4x －36x .令F ′(x )＝0得x ＝916.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916时，F ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞时，F ′(x )>0. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916时，F (x )是减函数；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞时，F (x )是增函数． F (x )在x ＝916时，有极小值，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫916＝18.综合提高限时25分钟7．下列函数中，x ＝0是其极值点的是 ( )．A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2x C ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x ＋1解析 显然x ＝0不是y ＝－x 3，y ＝1x ＋1的极值点． 又y ′＝(cos 2x )′＝2cos x (－sin x )＝－sin 2x . 显然x ＝0时，y ′＝0，在x 0的左右附近y ′正、负变化． ∴x 0＝0是y ＝cos 2x 的极大值点． 答案 B8．(2011·浙江)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x，由x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，得h ′(－1)＝0. 即a －2a －b ＋b ＋c ＝0，∴c ＝a .f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两个根x 1，x 2，则x 1x 2＝1.D 图中一定不满足该条件． 答案 D9．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)∪(－∞，0)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上是增函数，(0,2)上是减函数，(2，＋∞)上是增函数． 所以x ＝2时，f (x )取得极小值． 答案 210．已知函数f (x )＝x ·2x 取得极小值时，x ＝________.解析 f ′(x )＝2x＋x ·2xln 2＝2x(1＋x ln 2)， 令f ′(x )＝0得x ＝－log 2e ， 当x >－log 2e 时，f ′(x )>0； 当x <－log 2e 时，f ′(x )<0. ∴x ＝－log 2e 时，f (x )取得极小值． 答案 －log 2e11．(2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax2，其中a 为正实数．①当a ＝43时，求f (x )的极值点；②若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝ex1＋ax 2－2ax e x1＋ax22＝exax 2－2ax ＋1＋ax22①当a ＝43时，f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 2－83x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋43x 22.由f ′(x )＝0得x ＝12或x ＝32.当x <12时，f ′(x )>0；当12<x <32时，f ′(x )<0；当x >32时，f ′(x )>0.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32上是减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上是增函数．∴x ＝12是极大值点，x ＝32是极小值点．②若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．由于a >0，又e x >0，(1＋ax 2)2>0. ∴ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立．即Δ＝4a 2－4a ≤0. ∴0<a ≤1.所以a 的范围为(0,1]．12．(创新拓展)(2011·重庆)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中a ，b ∈R .①求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；②设g (x )＝f ′(x )e －x，求g (x )的极值．解 ①f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ， ∴3＋2a ＋b ＝2a,12＋4a ＋b ＝－b . ∴a ＝－32，b ＝－3.∴f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1.从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2a ＝－3，∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.②g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， ∴g ′(x )＝(6x －3)e －x－e －x(3x 2－3x －3)＝(－3x 2＋9x )e －x. 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3. 当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0； 当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0.∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,3)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数． ∴当x ＝0时，g (x )取得极小值g (0)＝－3；当x ＝3时，g (x )取得极大值g (3)＝15e－3.。
高中数学《导数在研究函数中的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题
▼▼知识点：基本方法：1、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f （x）在这个区间内为增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）在这个区间内为减函数．2、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．3、极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点．4、极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0）.就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．5、极大值与极小值统称为极值．（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．6、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．7、求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f\\\'（x）．②求方程f\\\'（x）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．—0 ＋0 —0 ＋↘↗↘↗的单调增区间是和，单调减区间是和（0，1）．（3）函数的定义域为，，令得．其中不在定义域内，用分割定义域D，得下表：x（0，）（，＋）_ 0 ＋↘↗的单调增区间是，单调减区间是．例2、设f（x）＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极小值10，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间．剖析：由已知x＝1处有极小值10，点（1， 10）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b．解：（x）＝3x2－2ax－b，由题意知当时，f’（x）＝3（x－1）2≥0，此时x＝1不是函数的极值点．而时，f’（x）＝（x－1）（3x＋11）＝3（x＋）（x－1）．当（x）>0时，x>1或x<－，当（x）<0时，－ <x<1．∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，＋∞），减区间为（－，1）．例3、已知函数f（x）＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围．分析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负．解：（x）＝3ax2＋6x－1．（1）当（x）<0时，f（x）为减函数．3ax2＋6x－1<0（x∈R），a<0时，Δ＝36＋12a<0，∴a<－3．∴a<－3时，（x）<0，f（x）在R上是减函数．（2）当a＝－3时，f（x）＝－3（x－）3＋．由y＝x3在R上的单调性知：a＝－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3．例4、若函数y＝x3－ax2＋（a－1）x＋1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，＋∞）内为增函数，试求实数a的取值范围．分析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（x）＝x2－ax＋a－1＝0得x＝1或x＝a－1，当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，＋∞）上为增函数，不合题意．当a－1>1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，＋∞）上为增函数．依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，＋∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6．∴5≤a≤7．∴a的取值范围为［5，7］．例5、设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间．解：由f（x）的解析式得，若a>0，则，f（x）单调，矛盾；若a＝0，则，f（x）单调；若a<0，则．由此可知，当a<0时，f（x）恰有三个单调区间，其中减区间为：，，增区间为：．例6、已知x>1，证明不等式x>ln（1＋x）．分析：构造辅助函数f（x）＝x－ln（1＋x），只需证明f （x）在（1，）上递增即可．证明：设f（x）＝x－ln（1＋x），x>1，则在上是增函数又f（1）＝1－ln2>1－lne＝0即教案：课件：练习：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.3.2 函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 B．3 C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( ) A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值 答案 C解析 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ＜－1或x ＞3时，y ′＞0，当－1＜x ＜3时，y ′<0.故当x ＝－1时，函数有极大值5；x 取不到3，故无极小值．5．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值． 7．求函数f (x )＝x 2e －x的极值．解 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex ′＝2x e －x－x 2e －x＝x (2－x )e －x， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －＋－f (x )4e －2当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2.二、能力提升8．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0 答案 C解析 ∵f (x )在x ＝1处存在极小值， ∴x ＜1时，f ′(x )＜0，x ＞1时，f ′(x )＞0.9．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点．故A 错；f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数，故－x 0应是f (－x )的极大值点，B 错；－f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数，故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系，C 错；－f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确．10.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号)答案 ③解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤. 11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m ＞0)有极大值－52，求m 的值．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－m )－m ⎝⎛⎭⎪⎫－m ，23m 23m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23m ，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0，x 取足够小的负数时，有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1， ∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x－1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0，因此当 x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． (2)证明 当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0. 当m ＝2时， 函数f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0， 且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得 e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2＞0.综上，当m ≤2时，f (x )＞0.。