高三第一轮复习 集合与充要条件学生

高三第一轮复习 集合与充要条件【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。

2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。

【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如∈、∉、⊆、、=、S C A 、∪，∩等等；2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与⊆、a 与{a }、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n④区分集合中元素的形式：如}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xyz x x y z G =++==。

⑤空集是指不含任何元素的集合。

}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

⑥符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“,⊄Ø”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

【典例解析】 题型1：集合的概念某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___例1．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )U R ={212}M x x =-≤-≤{21,1,2,}N x x k k ==-=A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个题型2：集合的性质例2．集合,,若,则的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4随堂练习1.设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3} 2. 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，则实数a 的取值范围为 ．例4．已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由变式题：已知集合2{,,2},{,,}A m m d m dB m m q m q =++=，0m ≠其中,A B =且,求q 的值。

{}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16A B = a题型3：集合的运算 例5．已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B （1）求集合A 、B（2）若A U B=B,求实数的取值范围．例6．已知集合,则( ) A. B. C. D. 题型4：图解法解集合问题例7． 设全集R =⋃，函数)1)(1|1lg(|)(<-++=a a x x f 的定义域为A ，集合}1cos |{==x x B π，若B A C ⋂⋃)(恰好有2个元素，求a 的取值集合。

例9．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。

问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？()f x =22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++a }{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==N A C B =I }{1,5,7}{3,5,7}{1,3,9}{1,2,3例10．设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围。

例12．已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41x 2－y 2=1,x ,y ∈R }。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（1）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A ∩B 至多有一个元素；变式题：解答下述问题：（Ⅰ）设集合},0|{},0422|{2<==++-=x x B m x x x A ，φ≠⋂B A 若,求实数m 的取值范围.分析：关键是准确理解≠⋂B A 的具体意义，首先要从数学意义上解释≠⋂B A 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

题型6：集合的子交并补及空集的运算 10．已知集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9}，B=，则集合A ∩B= ．11．已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于．12．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．13．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是．14．若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）=15．已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．16．设集合A={x|log2x＜1}，B={x|＜0}，则A∩B=．17．若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有个元素．18．若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=．19．已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是．20．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m=．21．下列命题正确的个数（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）1，，这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．22．设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=．逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。