河北省唐山市2013届高三第一次模拟数学理试题(WORD解析版)
河北省唐山市2013届高三下学期第一次模拟考试(数学理)
试卷类型：A唐山市2008—2009学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案， 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式24R S π=)()()(B P A P B A P +=+ 其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么 球的体积公式334R V π=)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． (1)复数=+-3)2)(1(i i i （ ）(A)i +1 (B)i --1 (C)i 31+ (D)i 31--(2)已知),0(+∞=U ，}0sin |{>=x x A ，}1)1(log |{4>+=x x B ，则=)(B C A U （ ） (A) }0|{π≤<x x (B) }1|{π≤<-x x (C) }30|{≤<x x (D) }31|{≤<-x x(3)球的一个截面是半径为3的圆，球心到这个截面的距离是4，则该球的表面积是（ ） (A)π100 (B)π50 (C)π3500 (D) π3100(4)圆1)2()1(22=-+-y x 与圆4)1()3(22=-+-y x 的公切线共有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条(5)已知实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220201y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）(A)[]2,1 (B)[]3,2 (C) []3,0 (D) []3,1 (6)函数231+=-x y )1(>x 的反函数为（ ）(A)1)2(log 3--=x y )32(<<x (B) )2(log 13--=x y )32(<<x (C) 1)2(log 3--=x y )3(>x (D) )2(log 13--=x y )3(>x (7)已知椭圆的中心在原点，离心率22=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）(A)14822=+y x (B) 12422=+y x (C) 1422=+y x (D) 1222=+y x (8)若函数)(x f 的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ） (A))3sin(π+=x y (B) )3sin(π-=x y(C) )62sin(π+=x y (D) )62sin(π-=x y(9)设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，在 ①βα⊥，n =βα ，n m ⊥； ②m =γα ，βα⊥，γβ⊥； ③βα⊥，γα//，γ//m ； ④α⊥n ，β⊥n ，α⊥m 中，是β⊥m 的充分条件的为（ ） (A) ①② (B)②④ (C)②③ (D) ③④(10)已知函数|2||2|)(+--=x x x f ，则使得2)(0<<x f 的x 的取值范围是（ ） (A) )0,2(- (B) )0,1(- (C) )1,0( (D) )1,1(- (11)已知θ2是第一象限的角，且95cos sin 44=+θθ，那么=θtan （ ） (A)22 (B) 22- (C) 2 (D) 2-(10)从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图所示的6个不同区域（用数字表示）中拼盘，每个区域只放一种，且水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有（ ）(A) 2880种 (B) 2160种 (C) 1440种 (D) 720种二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．(13)随机变ξ量服从正态分布),50(2σN ，若3.0)40(=<ξP ，则=<<)6040(ξP 。
河北省唐山市2013届度高三上学期期末考试答案数学理 含答案
唐山市2012—2013学年度高三年级期末考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CCDAD ADCBB CA B 卷:ACDBC ADCAB DA二、填空题:（13）18 （14）错误! （15）错误! （16)－70错误!三、解答题： （17）解：（Ⅰ）sin A ＋错误!cos A ＝2sin B 即2sin （A ＋错误!)＝2sin B ，则sin (A ＋错误!)＝sin B ．…3分因为0＜A ，B ＜,又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ 3＝－B ,故A ＋B ＝23，C ＝错误!．…6分(Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得错误!＝错误!＝错误![sin A ＋sin (A ＋错误!）]＝错误!sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋错误!）．…10分当A ＝错误!时,错误!取最大值2． …12分（18)解：(Ⅰ）样本数据的平均数为：175×0.05＋225×0.15＋275×0。
55＋325×0。
15＋375×0.1＝280．因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天． …5分（Ⅱ）依题意，X ~B （3，110）．X 的可能值为0，1，2，3．P （X ＝0）＝（错误!）错误!＝错误!，P （X ＝1)＝C 错误!×错误!×（错误!)错误!＝错误!，P (X ＝2）＝C 2，3×（错误!）错误!×错误!＝错误!,P （X ＝3）＝（错误!)错误!＝错误!． …9分X 的分布列为X 0 1 2 3P错误! 错误! 错误! 错误!…10分数学期望E （X ）＝3×110＝错误!(件）．…12分 （19)解:（Ⅰ）由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1．又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1,所以AB ⊥平面BB 1C 1C , 又AB 平面AA 1B 1B ，所以平面AA 1B 1B ⊥BB 1C 1C ． …4分（Ⅱ)由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点,连结CO ,则CO ⊥BB 1．由（Ⅰ）知，CO ⊥平面AB 1B 1A ．建立如图所示的坐标系O -xyz ． 其中O 是BB 1的中点,Ox ∥AB ,OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2,则A （2，－1，0),B （0，－1,0）,C （0，0，错误!），A 1（2，1,0)．CB 1O C 1A 1z yxA错误!＝(－2，0，0），错误!＝（－2，1，错误!)，错误!＝(0,2，0）．…6分设n1＝(x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则n1·错误!＝0，n1·错误!＝0，即错误!取z1＝－1,得n1＝(0，错误!,－1)．…8分设n2＝（x2，y2，z2)为面ACA1的法向量，则n2·错误!＝0,n2·错误!＝0，即错误!取x2＝错误!，得n2＝(错误!，0，2）．…10分所以cos n1，n2＝错误!＝－错误!．因此二面角B-AC-A1的余弦值为－77．…12分（20）解：（Ⅰ)设圆F的方程为（x－1）2＋y2＝r2（r＞0）．将y2＝4x代入圆方程,得(x＋1）2＝r2，所以x＝－1－r（舍去)，或x＝－1＋r．圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r＝0,即r＝1．故所求圆F的方程为(x－1)2＋y2＝1． (4)分（Ⅱ）设过点M（－1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T．连结TF，则TF⊥MT，且TF＝1，MF＝2，所以∠TMF＝30°．…6分直线MT的方程为x＝错误!y－1，与y2＝4x联立，得y2－4错误!y ＋4＝0．记直线与抛物线的两个交点为A（x1,y1）、B(x2，y2），则y1＋y2＝4错误!,y1y2＝4，x1＋x2＝错误!（y1＋y2)－2＝10．…8分从而AB 的垂直平分线的方程为y －23＝－错误!（x －5）．令y ＝0得,x ＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E 的圆心为E (7，0）．…10分|AB ｜＝错误!＝错误!＝8错误!．又点E 到直线AB 的距离d ＝7－0＋12＝4，所以圆E 的半径R＝错误!＝4错误!．因此圆E 的方程为（x －7）2＋y 2＝48． …12分（21）解：（Ⅰ)f (x )的定义域为（0，＋∞)，f（x )＝2ax － 1x．（1）若a ≤0，则f (x )＜0,f (x ）在(0，＋∞)是减函数； …2分(2)若a ＞0，则当x ∈(0，错误!)时，f （x )＜0，f (x ）在(0,错误!）是减函数;当x ∈（错误!,＋∞)时，f (x )＞0，f （x ）在（错误!,＋∞)是增函数． …4分（Ⅱ）曲线y ＝f （x ）在P (t ，f （t )）处的切线方程为y ＝f （t ）(x －t )＋f （t ），且P 为它们的一个公共点．BCFA DMxyO T设g（x）＝f(x)－［f(t)（x－t）＋f（t）］，则g(x)＝f(x）－f（t)，有g（t)＝0，且g（t)＝0．…6分设h(x）＝g(x)＝－错误!x－错误!－f(t)，则当x∈（0，2)时，h（x）＝－ 14＋错误!＞0，于是g(x）在(0，2）是增函数，且g(t)＝0,所以当x∈(0，t)时，g(x）＜0，g（x)在（0，t）是减函数;当x∈(t，2)时，g（x）＞0，g(x)在（t，2)是增函数．故当x∈(0,t)或x∈（t，2］时，g（x)＞g(t)＝0．…9分若x∈(2,＋∞)，则g（x)＝－错误!x2－ln x－［f(t)(x－t)＋f（t)]＝－错误!x2＋(错误!t ＋错误!）x－错误!t2－1－ln错误!＜－错误!x2＋（错误!t＋错误!)x－错误!t2－1＝－错误!x（x－2t－错误!）－错误!t2－1．当x＞2t＋错误!时，g(x)＜－错误!t2－1＜0．所以在区间（2，2t＋错误!)至少存在一个实数x0＞2，使g（x0)＝0．因此曲线y＝f（x)与其在点P(t，f(t））处的切线至少有两个不同的公共点．…12分（22）解：（Ⅰ)∵∠ABD＝∠CBD，∠ABD＝∠ECD，∴∠CBD＝∠ECD,又∠CDB＝∠EDC，∴△BCD∽△CED，∴错误!＝错误!,∴CD2＝DE×DB,∵DE×DB＝DE×（DE＋BE)＝DE2＋DE×BE，DE×BE＝AE×EC，∴CD2－DE2＝AE×EC．…6分（Ⅱ）连结OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形,∴∠COD ＝60．∴∠CBD ＝错误!∠COD ＝30，∴∠ACD ＝∠CBD ＝30． (10)分（23）解：（Ⅰ）曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0． ①当α＝错误!时，曲线C 2的普通方程为y ＝x ． ②由①，②得曲线C 1与C 2公共点的直角坐标方程为(0，0)，(1，1)． …4分（Ⅱ)C 1是过极点的圆，C 2是过极点的直线．设M (ρ，θ)，不妨取A (0,θ)，B (2ρ，θ)，则2ρ＝2cos θ． …7分故点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ（θ≠错误!)．它表示以（错误!,0)为圆心，以错误!为半径的圆，去掉点（0,0）． …10分 （24）解:（Ⅰ）f (x )＝｜x －a |≤3，即a －3≤x ≤a ＋3． 依题意，错误!由此得a 的取值范围是[0，2］． …4分 (Ⅱ）f （x －a )＋f （x ＋a )＝｜x －2a ｜＋｜x ｜≥｜(x －2a ）－x ｜＝2|a |． …6分当且仅当（x －2a ）x ≤0时取等号．DEABO解不等式2|a|≥1－2a,得a≥错误!．故a的最小值为错误!．…10分。
河北省唐山市2013届高三第一次模拟考试数学理 扫描版含答案.pdf
（18）解： （Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X（元）． X的可能值为200，240，280，320，360．X的分布列为 X200240280320360P0.250.50.150.050.05X的均值为 E(X)＝200×0.25＋2400.5＋2800.15＋320＋360)×0.05＝246…5分 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 E(8000X)＝8000E(X)＝1968000（元）．…7分 （）60≤t≤100时，y＞300． 1名职工中路途补贴超过300元的概率p＝P(60≤t≤100)＝0.1，…8分 记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，则 P(A)＝C×0.12×0.92＋×0.13×0.9＋0.14＝0.0523…12分 （19）解： （Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA． 又∠APD＝⊥PD，而CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD． 因为PA(平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．…4分 （20）解： （Ⅰ）由得(1＋4k2x2＋＋m2－1＝0 由于l与C1有唯一的公共点A，故Δ1＝64k2m2－16(1＋4k2m2－1＝0 从而m2＝1＋4k2．①…2分 由得(1＋k2x2＋2＋m2－r2＝0 由于l与C2有唯一的公共点B，故Δ2＝4k2m2－4(1＋k2m2－r2＝ 从而m2＝r2(1＋k2)．②…4分 由①②）得k2＝． 由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2)．…6分 （注：由图形直接看出r取值范围而未做代数推理的只给1分A(x1，y1)，B(x2，y2)，由（Ⅰ）的解答可知 x1＝－＝－＝－ |AB|2＝1＋k2(x2－x12＝ (1＋k2)＝k2·(4－r22 ＝·(4－r2＝ 所以|AB|2＝－(r2＋)≤r＜2…10分 因为r2＋≥22＝＝ 所以当r＝2＋y2＝2．…12分 （23）解： （Ⅰ）依题意， |OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos(φ＋)，|OC|＝4(φ－)，…2分 则|OB|＋|OC|＝4(φ＋)＋4cos(φ－) ＝(cosφ－φ)＋(cosφ＋sinφ)＝4cosφ， ＝|OA|．…5分 （Ⅱ）当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为(2，)，(2，－)． 化为直角坐标为B(1，)，C(3，－)． …7分 C2是经过点(m，0)，倾斜角为α的直线， 又经过点B，C的直线方程为y＝－(x－2)…9分 所以m＝α＝．…10分。
河北省唐山一中2013届高三高考仿真测试(三)数学(理)试卷
数 学(理科)第Ⅰ卷一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合{}{}1,0,1,,x A B y y e x A =-==∈，则A B ⋂=（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z 的实部与虚部之和为（ ）A. 2-B. 2C. 1D. 03．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A.3160 B.160C.23264+D.2888+4. “a =2”是“1(0,),18x ax x ∀∈+∞+≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC 3=，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合） , 若 AC x AB x AO )1(-+=则x 的取值范围（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A.21 B.1- C.2 D.1 7．计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（ ）A.60种B.42种C.36种D.24种8．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ）A ．1B ． 2C ．2D ．49．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 折成直二面角A 一B D －C ，且4AB 2 +2BD 2=1，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．48πD10．假设你家订了一份早报，送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00—8：00之间，则你父亲在离开家前能得到报纸的概率为( )A ．31 B ．127 C ．87 D ．81 10. 11．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 74,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 43,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省唐山市2013届高三数学第一次模拟考试 理 新人教A版(含解析)
2013年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）（2013•唐山一模）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据题目给出的集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，由并集的概念直接得到集合B的可能情况．解答：解：由集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，所以B={1，3，4}或B={2，3，4}或B={3，4}或B={1，2，3，4}共4种可能．所以满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是4．故选C．点评：本题考查了并集的概念，考查了子集与并集的运算转换，是基础题．2．（5分）（2013•唐山一模）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|=（）A．B．13 C．10 D．考点：复数求模．专题：计算题．分析：把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模．解答：解：由=．因为复数为纯虚数，所以，解得a=2．所以|3﹣ai|=|3﹣2i|=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）（2013•唐山一模）已知，则tan2α=（）C．D．﹣．A．B．﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：先根据α的范围和特殊角的三角函数求出α=，即可求出tan2α的值、解答：解：∵cos（α+）=α∈（0，π）∴α+=解得α=∴tan2α=tan=故选：A．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．4．（5分）（2013•唐山一模）求三个不相等的实数a，b，c最大值的程序框图如图所示，则空白判断框内应为（）A．a＞b？B．a＞c？C．d＞b 或 a＞c？D．a＞b 且 a＞c？考点：选择结构．专题：计算题；概率与统计．分析：分析题中的程序框图，可得在第1步比较大小时，如果条件成立输出a，说明此时a是3个数中的最大值，由此可得空白判断框内应填上“a＞b 且 a＞c？”，得到本题答案．解答：解：由题意，程序求a，b，c中的最大值第1步，比较a与b、c的大小，当a比b、c都大时，输出a的值；当a不能比b、c都大时，进入第2步；第2步，由于a不是最大值，所以比较b、c的大小当b＞c时，输出b；当b＜c时，输出c综上所述，空白判断框内应填上：a＞b 且 a＞c？故选：D点评：本题给出3个数比较大小的程序框图，求空白处应该填上的内容．着重考查了分段函数的对应法则和选择结构的理解等知识，属于基础题．5．（5分）（2013•唐山一模）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，根据=﹣6，求出cosθ 的值，即可求得与的夹角θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，由||=1，||=2，=+﹣2=1+1×2×cosθ﹣2×4=﹣6，可得cosθ=．再由0≤θ≤π可得θ=，故选C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．6．（5分）（2013•唐山一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移．个单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．解答：解：依题意，f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）（2013•唐山一模）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，可得结论．解答：解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为：=36﹣6=30故选B点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）（2013•唐山一模）不等式组，表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．1C．2D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．解答：解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为，设C（m，m+1），则S AODC﹣S ABO﹣A BCD=S△ABC，即（1+m+1）m﹣﹣=解得m=5，∴C的坐标为（5，6），代入ax﹣y﹣2a=0，得a=2．故选C．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．9．（5分）（2013•唐山一模）如图1，边长为2的d正方形ABCD中，E，F 分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF折起，使A，C，B二点重合于G，所得二棱锥G﹣DEF的俯视图如图2，则其正视图的面积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意知，所得三棱锥G﹣DEF的三个侧面两两垂直，它的正视图为一个等腰三角形，底边长为EF 的长，高是原三棱锥G﹣DEF的高，即可求出正视图的面积．解答：解：由题设条件，所得三棱锥G﹣DEF的三个侧面两两垂直，它的正视图为一个等腰三角形，底边长为EF的长，高是原三棱锥G﹣DEF的高，设正视图中三角形的高为h，由体积法得：=S△GEF×DG，即××××h=×1×1×2，∴h=，则其正视图的面积为==．故选B．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三视图中的正视图面积，解决本题的关键是由题设条件得出正视图的形状及正视图的几何特征．求解本题的关键是准确熟练理解三视图的投影规则，其规则是：主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．10．（5分）（2013•唐山一模）己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．解答：解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，即km＜1．，．由y2=4x得其焦点F（1，0）．由，得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2）．所以，由①得，x1+2x2=3 ③由②得，．所以m=﹣k．再由，得，所以x1+1=2（x2+1），即x1﹣2x2=1④联立③④得．所以=．把m=﹣k代入得，解得，满足mk=﹣8＜1．所以．故选A．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是利用向量关系得到两个交点A，B的坐标的关系，同时灵活运用了抛物线的定义，属中高档题．11．（5分）（2013•唐山一模）x0函数f（x）=2sinx﹣πlnx（x∈（O，π））的零点，x1＜x2，则①x0∈（1，e）；②x0∈（1，π）；③f（x1）﹣f（x2）＜0；④f（x1）﹣f（x2）＞0．其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．分析：根据端点函数值的正负，根据函数的零点判定定理判断是否存在零点，来判断①②是否正确；求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，来判断③④是否正确．解答：解：∵f（1）=2sin1﹣πln1=2sin1＞0，f（e）=2sine﹣π＜0，∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，又∵f′（x）=2cosx﹣，当x∈（0，]时，2cosx＜2，＞2，∴f′（x）＜0；当x∈（，π）时，cosx＜0，∴f′（x）＜0，∴函数在（0，π）上是减函数，故①④正确．故答案是①④．点评：本题借助考查命题的真假判断及应用，考查函数的零点判定及利用导数判定函数的单调性．12．（5分）（2013•唐山一模）三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分的体积等于（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：可得四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体GABC，由已知数据结合三棱锥的体积公式可得答案．解答：解：由题意三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，如图：连接AB1与A1B交于M，AC1与A1C交于N，连接CM，BN交与G，由已知数据可得A1M=MB=A1N=NC=3，GB=GC=CM==4，所以G到平面ABC的距离h==2四面体A1ABC，B1ABC的公共部分为四面体NABC，四面体B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体MABC可知四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体GABC，可得其体积为：V=S ABC×h=9×2=6故选D点评：本题考查三棱锥（四面体）的体积，得出公共部分为四面体GABC是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.13．（5分）（2013•唐山一模）不等式的解集为（1，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：化简所给的不等式可得 52x﹣4•5x﹣5＞0，即（5x﹣5）（5x+1）＞0，解得 5x＞5，由此求得不等式的解集．解答：解：由不等式，可得 25x﹣1＞4•5x+4，化简可得，52x﹣4•5x﹣5＞0，即（5x﹣5）（5x+1）＞0，解得 5x＞5，或5x＜﹣1 （舍去）．由5x＞5，可得 x＞1，故不等式的解集为（1，+∞），故答案为（1，+∞）．点评：本题主要考查分式不等式、指数不等式以及一元二次不等式的解法，属于中档题．14．（5分）（2013•唐山一模）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率其焦点到渐近线的距离为1，则C的方程为﹣y2=1 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的方程为，取其焦点F（c，0），一条渐近线方程．利用点到直线的距离公式可得，及c2=a2+b2，即可得出．解答：解：设双曲线的方程为，取其焦点F（c，0），一条渐近线方程．则，化为b=1．联立，解得故C的方程为．故答案为．点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式是解题的关键．15．（5分）（2013•唐山一模）1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N（100，100），则成绩在120分以上的考生人数约为23 ．（注：正态总体N（μ，σ2）在区．间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0，997）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：根据正态分布，求出μ=100，σ=10，在区间（80，120）的概率为0.954，由此可求成绩在120分以上的考生人数解答：解：由题意，μ=100，σ=10，在区间（80，120）的概率为0.954∴成绩在120分以上的概率为=0.023∴成绩在120分以上的考生人数约为1000×0.023=23故答案为：23点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2013•唐山一模）△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则 cosA+cosC= ．考点：等差数列的性质；解三角形．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得 2b=a+c，设C为最大角，则A为最小角，可得C=2A，且 0＜A＜．再由正弦定理可得2sin3A=sinA+sin2A，化简可得 2cosA=5﹣8sin2A=5﹣8（1﹣cos2A ），解得cosA 的值，即可得到cosA+cosC的值．解答：解：△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．设C为最大角，则A为最小角，再由最大角是最小角的2倍，可得C=2A，且 0＜A＜．再由正弦定理可得 2sinB=sinA+sin2A，∴2sin（π﹣3A）=sinA+sin2A，即2sin3A=sinA+sin2A，2（3sinA﹣4sin3A）=sinA+2sinAcosA，化简可得 2cosA=5﹣8sin2A=5﹣8（1﹣cos2A ），解得cosA=，cosA=﹣（舍去）．则 cosA+cosC=cosA+cos2A=cosA+2cos2A﹣1=+2×﹣1=，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，正弦定理、倍角公式的应用，属于中档题．三、解答题：其中（17）-（21）题为必考题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•唐山一模）已知等比数列{a n}满足（I）求{a n}的通项公式；（II）设，求数列的前n项的和．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等比数列的通项公式及已知即可解得a1及q，即可得到a n；（II）对于b n提取n+1，再利用裂项求和即可得出b n，即可得到=n•（﹣3）n﹣1．再利用错位相减法及等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设a n=a1q n﹣1，依题意，有解得a1=1，q=﹣．∴a n=（﹣）n﹣1．（Ⅱ）b n=++…+=（n+1）[++…+]=（n+1）[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=n．∴=n•（﹣3）n﹣1．记数列{}的前n项的和为S n，则S n=1+2×（﹣3）+3×（﹣3）2+…+n×（﹣3）n﹣1，﹣3S n=﹣3+2×（﹣3）2+3×（﹣3）3+…+n×（﹣3）n，两式相减，得4S n=1+（﹣3）+（﹣3）2+…+（﹣3）n﹣1﹣n×（﹣3）n=﹣n×（﹣3）n，故S n=．点评：熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和、错位相减法是解题的关键．18．（12分）（2013•唐山一模）某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：（I）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；（II）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少冇两名路途补贴超过300 元的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定一名职工所享受的路途补贴的可能取值，求出相应的概率与分布列，可得均值，即可估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；（II）求出1名职工中路途补贴超过300元的概率，利用互斥事件的概率公式，可求随机选取四名职工，至少有两名路途补贴超过300 元的概率．解答：解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X（元）．X的可能值为200，240，280，320，360．X的分布列为X 200 240 280 320 360P 0.25 0.5 0.15 0.05 0.05X的均值为E（X）=200×0.25+240×0.5+280×0.15+（320+360）×0.05=246．…（5分）该公司每月用于路途补贴的费用总额约为E（8000X）=8000E（X）=1968000（元）．…（7分）（Ⅱ）依题意，当60≤t≤100时，y＞300．1名职工中路途补贴超过300元的概率P=P（60≤t≤100）=0.1，…（8分）记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，则P（A）=×0.12×0.92+×0.13×0.9+0.14=0.0523．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列与均值，考查互斥事件的概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•唐山一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性质及侧面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，进而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可证明平面PAB⊥平面PCD．（II）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．又∠APD=，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．由PA⊥PD，=（0，﹣a，﹣b），=（0，2﹣a，﹣b），得﹣a（2﹣a）+b2=0．①因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2﹣a）2+b2．②由①，②得a=1，b=1．由（Ⅰ）知，=（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，又=（2，﹣1，﹣1），=（0，2，0），所以取=（1，0，2）．因为cos＜，＞=﹣，又二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值﹣．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求二面角的余弦值等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）（2013•唐山一模）已知椭圆C1：和动圆，直线l：y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．（I）求r的取值范围；（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，联立直线方程和圆的方程，由直线和椭圆及直线和圆都有唯一公共点，利用判别式等于0得到k与r的关系k2=，由k2≥0求解r的取值范围；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A，B两点的横坐标，写出AB两点间的距离，利用k，m，r之间的关系把两点间的距离转化为含有r的函数式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此时圆 C2的方程．解答：解：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0，从而m2=1+4k2 ①由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0，从而m2=r2（1+k2）②由①、②得k2=．由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知x1=﹣=﹣，x2=﹣=﹣．|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）•=•k2•（4﹣r2）2=•（4﹣r2）2=，所以|AB|2=5﹣（r2+）（1≤r＜2）．因为r2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了数学转化思想方法及整体带代换能力，训练了学生的计算能力，考查了利用基本不等式求最值，属难题．21．（12分）（2013•唐山一模）己知函数f（x）=（mx+n）e﹣x在x=1处取得极值e﹣1（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；（II ）当．x∈（a，+∞）时，f（2x﹣a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由函数f（x）=（mx+n）e﹣x在x=1处取得极值e﹣1，得到f（1）=e﹣1，f′（1）=0，联立后求得m和n的值，则函数解析式可求，代入导函数后由导函数大于0和导函数小于0求得原函数的单调区间；（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x），求导后分析f′（x）的单调性，然后对a分类讨论，根据a的范围得到g′（x）的符号并判断g（x）的单调性，由单调性得到a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e﹣x，得f′（x）=﹣（mx+n﹣m）e﹣x．依题意，f（1）=e﹣1，f′（1）=0，即，解得m=1，n=0．所以f（x）=xe﹣x．f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x．当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以，函数f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；（Ⅱ）设g（x）=f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x），则g′（x）=2[f′（2x﹣a）﹣f′（x）]．设h（x）=f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x，则h′（x）=（x﹣2）e﹣x．当x∈（﹣∞，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．（1）若a≥2，则当x∈（a，+∞）时，2x﹣a＞x，h（2x﹣a）＞h（x），即f′（2x﹣a）＞2f′（x），所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）单调递增，此时g（x）＞g（a）=0，即f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x）＞0．（2）若a＜2，则当x∈（a，）时，2x﹣a＞x，h（2x﹣a）＜h（x），即f′（2x﹣a）＜2f′（x），所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）单调递减，此时g（x）＜g（a）=0．综上，a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．四、选做题：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．（10分）（2013•唐山一模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAMM，交圆0于点D，过D作DE上MN于E．（I）求证：DE是圆O的切线：（II）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．考点：综合法与分析法(选修）．专题：计算题；证明题．分析：（I）连结OD，易证∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD，从而可证DE是圆O的切线；（II）由DE是圆O的切线，可得DE2=EA•EB，而DE=6，AE=3，从而可求得AB；又O到MN的距离等于D到MN的距离等于|BC|，从而可求得△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．因为∠EAD=∠OAD，所以∠ODA=∠EAD．…（2分）因为∠EAD+∠EDA=90°，所以∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD．所以DE是圆O的切线．…（4分）（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2=EA•EB，即62=3（3+AB），所以AB=9．…（6分）因为OD∥MN，所以O到MN的距离等于D到MN的距离，即为6；又因为O为AC的中点，C到MN的距离等于12 …（8分）故△ABC的面积S=AB•BC=54．…（10分）点评：本题考查综合法在证明中的应用，考查辅助线的添加，考查作图、推理与分析、运算的能力，属于中档题．23．（2013•唐山一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．己知曲线C1的极坐标方程为p=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤a＜π），射线与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（I ）求证：；（II ）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与a的值．考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答：解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．24．（2013•唐山一模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=丨x﹣a丨+|x﹣1丨，a∈R．（I ）当a=3时，解不等式 f（x）≤4；（II）当x∈（﹣2，1））时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．求 a 的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（I ）当a=3时，f（x）=丨x﹣3丨+|x﹣1丨=，由 f（x）≤4即可求得不等式 f（x）≤4的解集；（II）由双绝对值的几何意义可得f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，分（x﹣1）（x﹣a）≥0与（x﹣1）（x﹣a）＜0讨论，即可求得当x∈（﹣2，1）时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|的 a 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵a=3时，f（x）=丨x﹣3丨+|x﹣1丨=，∴当x＜1时，由f（x）≤4得4﹣2x≤4，解得x≥0；∴0≤x＜1；当1≤x≤3时，f（x）≤4恒成立；当x＞3时，由f（x）≤4得2x﹣4≤4，解得x≤4．∴3＜x≤4…（4分）所以不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，当（x﹣1）（x﹣a）≥0时，f（x）=|2x﹣a﹣1|；当（x﹣1）（x﹣a）＜0时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．…（7分）记不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为A，则（﹣2，1）⊆A，故a≤﹣2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围的“分类讨论”，去掉绝对值符号是关键，考查等价转化思想与方程思想的综合运用，属于中档题．附：高考各科的答题技巧解题方法1：调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
【KS5U首发】河北省唐山市2013届高三摸底考试(数学理)答案
唐山市2012—2013学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ADCBD AABCC DBB 卷：CDABD ADBCB AC 二、填空题：（13）(－1，0)∪(0，2] （14）17 （15）6（16）－272三、解答题： （17）解：（Ⅰ）a 1＝S 1＝ 27(81－1)＝2．…1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ 2 7(8n －1)－ 2 7(8n －1－1)＝23n －2．当n ＝1时上式也成立，所以a n ＝23n －2（n ∈N *）． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n ＝log 223n －2＝3n －2， …7分 所以 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝ 1 3[(1－ 1 4)＋( 1 4－ 1 7)＋…＋(13n －2－13n ＋1)]＝ 1 3(1－13n ＋1)＝n 3n ＋1． …12分（18）解：（Ⅰ）如图，以A 为原点，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系． 设AA 1＝a （a ＞0），依题意得B 1(32，－ 12，a )，A (0，0，0)，C (0，1，0)．B 1C →＝(－32， 32，－a )，A 1C 1→＝AC →＝(0，1，0)，由异面直线B 1C 与A 1C 1所成的角为60︒，知 |cos 〈B 1C →，A 1C 1→〉|＝|B 1C →·A 1C 1→|___________|B 1C →||A 1C 1→|＝323＋a 2＝ 12，解得a ＝6． …4分 所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝ 1 2AB ·AC sin 120︒·AA 1＝ 1 2×1×1×32×6＝324．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B 1C →＝(－32， 32，－6)．设n ＝(x ，y ，z )为面ACB 1的法向量，则n ·AC →＝0，n ·B 1C →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－32x ＋ 3 2y －6z ＝0． 取z ＝1，得x ＝－22，于是n ＝(－22，0，1)． …9分又m ＝(0，0，1)为面ACB 的一个法向量，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝ 13．因此二面角B 1-AC -B 的余弦值为 13． …12分 （19）解：（Ⅰ）依题意，⎩⎨⎧0.5＋a ＋b ＝1，0.5＋2a ＋3b ＝1.7．解得a ＝0.3，b ＝0.2． …4分 （Ⅱ）Y 的所有可能取值为0，100，200，300，400，600． P (Y ＝0)＝0.22＝0.04，P (Y ＝100)＝C 120.2×0.3＝0.12，P (Y ＝200)＝0.32＝0.09，P (Y ＝300)＝C 120.2×0.5＝0.2，P (Y ＝400)＝C 120.3×0.5＝0.3，P (Y ＝600)＝0.52＝0.25． …8分 Y 的分布列为…10分E (Y )＝0×0.04＋＝360（元）． …12分（20）解：（Ⅰ）根据题意，|y －3|＝3·x 2＋(y －1)2． 化简，得曲线E 的方程为3x 2＋2y 2＝6． …4分 （Ⅱ）直线l 方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (2k 2＋3)x 2＋4kx －4＝0． …6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k2k 2＋3， ①x 1x 2＝－42k 2＋3． ②AF →＝λFB →即(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝－λx 2．③ 由①②③，得 1 2＋34k 2＝λ(λ－1)2＝1(λ－1λ)2．…9分因为2≤λ≤3，所以22≤λ－1λ≤233，从而 34≤1(λ－1λ)2≤2， 解不等式 3 4≤ 1 2＋34k 2≤2，得 12≤k 2≤3．故k 的取值范围是[－3，－22]∪[22，3]． …12分（21）解：（Ⅰ）当b ＝0时，f (x )＝x 3＋cx ＋d ，f '(x )＝3x 2＋c ． f (0)＝d ，f '(0)＝c ． …2分曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线为y ＝cx ＋d ． 由⎩⎨⎧y ＝x 3＋cx ＋d ，y ＝cx ＋d ，消去y ，得x 3＝0，x ＝0． 所以曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线只有一个公共点即切点． …5分（Ⅱ）由已知，切点为(1，1)． 又f '(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，于是 ⎩⎨⎧f (1)＝1，f '(1)＝－12，即⎩⎨⎧1＋b ＋c ＋d ＝1，3＋2b ＋c ＝－12，得c ＝－2b －15，d ＝b ＋15．从而f (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15． …8分 由⎩⎨⎧y ＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15，12x ＋y －13＝0，消去y ，得x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝0． 因直线12x ＋y －13＝0与曲线y ＝f (x )只有一个公共点(1，1)， 则方程x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝(x －1)[x 2＋(b ＋1)x －b －2] ＝(x －1) (x －1) (x ＋b ＋2) 故b ＝－3． …10分于是f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋12，f '(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x分 （22）解：（Ⅰ）由已知及由切割线定理，有AB 2＝AD ·AE ＝ 1 3AC · 23AC ，所以AC 2＝ 92AB 2． …3分由勾股定理得，BC ＝AC 2－AB 2＝7．…5分（Ⅱ）设圆O 与BC 的交点为F ，圆O 的半径为r ．由割线定理，得CF ·CB ＝CE ·CD ＝ 1 3AC · 23AC ＝AB 2，…8分 即(7－2r )×7＝14，解得r ＝ 52．…10分（23）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程化为ρ＝sin θ＋3cos θ， 两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsin θ＋3ρcos θ，则曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋3x ，即x 2＋y 2－3x －y ＝0． …3分曲线C 2的极坐标方程化为 1 2ρsin θ＋32ρcos θ＝4，则曲线C 2的的直角坐标方程为 1 2y ＋32x ＝4，即3x ＋y －8＝0． …6分（Ⅱ）将曲线C 1的直角坐标方程化为(x －32)2＋(y － 12)2＝1，它表示以(32， 12)为圆心，以1为半径的圆． 该圆圆心到曲线C 2即直线3x ＋y －8＝0的距离d ＝|3×32＋ 12－8|2＝3， …8分 所以|AB |的最小值为2．…10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ≥2．其图象如下：…3分当x ＝ 12时，f (x )＝0．当x＜12时，f(x)＜0；当x＞12时，f(x)＞0．所以a＝0．…6分（Ⅱ）不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m．因为f(x)的最小值为－3，所以问题等价于－3＜m2－4m．解得m＜1，或m＞3．故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．…10分。
河北省唐山市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试数学（理）试题说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷，第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分，二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案， 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回． 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1=ABC iD i2．下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是 A ．()ln f x x = B ．()|1|f x x =+ C ．3()f x x =D ．()xf x e =3．执行右边的程序框图，输出的结果为A ． 15B ． 16C ． 64D ． 654．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以FA 为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆韵离心率为 ABCD 3 5．设x ，y 满足4,21,21,x y x y z x y x +≤⎧⎪-≤-=+⎨⎪≥⎩则的最大值为A ．3B ．5C ．163D ．1936．一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为 A ．13 B ．12C ．23D ．167．等比数列132423{},17,68,n a a a a a a a +=+=中则= A ． 32B ． 256C ． 128D ． 648．已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是A ．（—∞，-2]B ．[2，+∞）C ．（—∞，-2）D ．（2，+∞）9．△ABC 中，点P 满足(),AP t AB AC BP AP CP AP =+⋅=⋅，则△ABC 一定是 A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形10．函数x x e x y e x+=-）的一段图象是11．已如点M （1，0）及双曲线2213x y -=的右支上两动点A ，B ，当∠AMB 最大时，它的余弦值为A ．12B ．—12C ．13D ．—1312．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，则该球的表面积为 A ．14π B ．15πC ．16πD ．18π第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有 种． 14．已知tan()2,cos 24παα+=则= 。
唐山一模 唐山市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学答案
唐山市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：ABDCC DBAAB DC 二、填空题：（13）(－∞，1]（14）6（15）163（16）(－∞， 1 2] 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74． …4分 （Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin A ＋sin C ＝72． ① 设cos A －cos C ＝x ， ②①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝ 7 4＋x 2． ③ …7分 又a ＜b ＜c ，A ＜B ＜C ，所以0︒＜B ＜90︒，cos A ＞cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－ 3 4． …10分 代入③式得x 2＝ 7 4． 因此cos A －cos C ＝72． …12分 （18）解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为A ，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B ，则P (A )＝C 25C 26，P (AB )＝C 25－C 23C 26， 所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 25－C 23C 25＝0.7． …5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝i )＝C i 2C 3－i 4C 36，i ＝0，1，2． X 的分布列为…10分X 的期望为E (x )＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1． …12分（19）解：（Ⅰ）因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC ．又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，所以AC 1⊥BC ． …2分因为AA 1＝AC ，所以四边形A 1ACC 1是菱形，所以AC 1⊥A 1C ．所以AC 1⊥平面A 1BC ，所以A 1B ⊥AC 1． …5分（Ⅱ）以OC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)．AB C A O BCx y zAB →＝(2，2，0)，BB 1→＝CC 1→＝(0，1，3)，设m ＝(x ，y ，z )是面ABB 1的一个法向量，则m ·AB →＝m ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取m ＝(3，－3，1)． 同理面CBC 1的一个法向量为n ＝(0，－3，1)．…10分 因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277． 所以二面角A -BB 1-C 的余弦值277． …12分（20）解：（Ⅰ）圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于22．由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1，曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1． …5分 （Ⅱ）由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ( 5 3，223)． …8分 于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24(x ＋1)，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－ 7 5． 由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为(1，22)． …12分 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝－x e x ．当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )的最大值为f (0)＝0． …4分（Ⅱ）g (x )＝(1－x )e x －1x ，g '(x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1x 2． 设h (x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1，则h '(x )＝－x (x ＋1)e x ．当x ∈(－∞，－1)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(－1，0)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． …7分又h (－2)＝1－7e 2＞0，h (－1)＝1－ 3 e＜0，h (0)＝0， 所以h (x )在(－2，－1)有一零点t ．当x ∈(－∞，t )时，g '(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(t ，0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． …10分 由（Ⅰ）知，当x ∈(－∞，0)时，g (x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＜0．因此g (x )有最大值g (t )，且－2＜t ＜－1． …12分（22）解：（Ⅰ）连结OA ，则OA ⊥EA ．由射影定理得EA 2＝ED ·EO ．由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC ，即ED BD ＝EC EO， 又∠OEC ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ．因此O ，D ，B ，C 四点共圆． …6分（Ⅱ）连结OB ．因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180︒，结合（Ⅰ）得∠OEC ＝180︒－∠OCB －∠COE ＝180︒－∠OBC －∠DBE＝180︒－∠OBC －(180︒－∠DBC )＝∠DBC －∠ODC ＝20︒． …10分（23）解：（Ⅰ）因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＋2＝0． …4分（Ⅱ）平移直线l 后，所得直线l '的⎩⎨⎧x ＝h －10＋t ，y ＝t（t 为参数）． 2t 2＋2(h －12)t ＋(h －10)2＋2＝0．因为l '与圆C 相切，所以Δ＝4(h －12)2－8[(h －10)2＋2]＝0，即h 2－16h ＋60＝0，解得h ＝6或h ＝10． …10分（24）解：（Ⅰ）g (x )≤5⇔|2x －1|≤5⇔－5≤2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3．依题意有，a －3≤－2，a ≤1．故a 的最大值为1． …6分 （Ⅱ）f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ≥|a －1|＋a ，当且仅当(2x －a )(2x －1)≥0时等号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)． …10分 AB CD EO。
河北省唐山市开滦二中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
开滦二中2013届高三上学期期中考试数学（理）试题说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分.时间为120分钟.二、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案. 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()RC AB 等于（）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅2. 若复数iia 21-+是纯虚数,则实数a 的值为（ ） A.2 B.21- C.51 D.52-3．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（ ）A. 21-B. 23-C. 21D. 234.已知120201,cos 15sin 15M x dx N -==-⎰,则 ( )A. M N <B. M N >C. M N =D. 以上都有可能 6．已知cos ,sin ,(sin ,cos )()a x x b x x f x a b ===∙记，要得到函数22cos sin y x x =-的图像，只需将函数()y f x =的图像（ ） A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度7.已知ABC ∆中，4,AB AC BC ===，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+满足（ ）A.最大值为16B.最小值为4C.为定值8D.与P 的位置有关8. . 二项式102)2(xx +的展开式中的常数项是（ )第12题图A.第10项 B .第9项 C .第8项 D :第7项 9.若函数3()63f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则实数b 的取值范围是A ．()0,1B ．(),1-∞C ．()0,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A.168B.96C.72D.14411.已知正项等比数列{}n a 满足:1232a a a +=,若存在两项n m a a ,,使得14a a a n m =,则nm 41+的最小值为 （ ）A ．23B ．35C ．625D ．不存在12.已知函数()f x 的定义域为[3,)-+∞，且(6)(3)2f f =-=，'()f x 为()f x 的导函数，函数'()f x 的图象如右图所示.若正数a ,b 满足(2)2f a b +<,则32b a +-的取值范围是 A ．3(,3)2- B ． 9(,)(3,)2-∞-+∞ C ．9(,3)2-D ．3(,)(3,)2-∞-+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上.）13．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=- 14.)1(+x f 是偶函数,则函数)2(x f y =的图象的对称轴为__________. 15. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项为1，若1233,2,a a a 成等差数列，则数列1{}na 的前5项和为__________ 16．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝ln x －2＋x 在区间（1 , e ）上存在零点；②若0()0f x '=，则函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处取得极值；③若m ≥－1，则函数212log (2)y x x m =--的值域为R ；④“a=1”是“函数xxaee a xf +-=1)(在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。
河北省唐山市2013届高三第一次模拟考试理综试题 Word版含答案.pdf
河北省唐山一中2013届高三第一次月考数学(理)试题(附答案)
唐山一中2013届高三第一次月考数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且AB =R ，那么m 的值可以是（ ）A.1-B. 0C. 1D. 22.若0sin2<θ，则角θ是 （ ）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角3．在ABC ∆中，6A π=，1,a b ==B = ( )A.4π B. 43π C.4π或43π D.6π 或65π4.为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（ ）A.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 5.“3πθ≠”是“21cos ≠θ”的 （ ） A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设12log 3a =，3.031⎪⎭⎫⎝⎛=b ，πln =c ，则 （ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b a c << 7.设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,, D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥ 8. 已知函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的简图如下图，则ωϕ的值为 ( )A.6π B. 6π C. 3π D. 3π9．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间 (k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范 围是 ( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32) C ．[1,2) D ．[32，2) 3，D 、E10.如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0x f x f x x ->，且(2)0f -=，则不等式()0f x x>的解集是 ( ) A .(2,0)-∪(0,2) B. (,2)-∞-∪(2,)+∞ C. (2,0)-∪(2,)+∞ D. (,2)-∞-∪(0,2) 12.点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是 A.１ B.２ C.３ D.０ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省唐山一中2013届高三1月调研考试数学(理)试题(扫描版).pdf
18．解：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形． 因为为的中点，所以． 又，因此． 因为平面，平面，所以． 而平面，平面且， 所以平面．又平面，所以． （Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接． 由（Ⅰ）知平面， 则为与平面所成的角． 在中，， 所以当最短时，最大， 即当时，最大． 此时， 因此．又，所以，所以． 解法一：因为平面，平面，所以平面平面． 过作于，则平面， 过作于，连接，则为二面角的平面角， 19.【解（Ⅰ）cm. ………..2分 （Ⅱ）根据茎叶图，有“”12人，“”18人， Ⅰ）由题意：一条切线方程为：，设另一条切线方程为：.2分 则：，解得：，此时切线方程为： 切线方程与圆方程联立得：，则直线的方程为 …….4分 令，解得，∴；令,得,∴ 故所求椭圆方程为 ……….6分 （Ⅱ）整理得， 令，，则，， ，即： ………..8分 21．【解析】：Ⅰ），，． 当时，．又． ………..2分 则在处的切线方程为． ………..4分 （Ⅱ）函数的定义域为． 当时，，所以． 即在区间上没有零点． ………..6分 当时，， 令． ………7分 只要讨论的零点即可．，． 当时，，是减函数； 当时，，是增函数． 所以在区间最小值为． ………..9分 显然，当时，，所以是的唯一的零点； 当时，，所以没有零点； ………..12分 23．【解析】： 的直角坐标方程为． ………..2分 将代入上式并整理得． 解得．∴点的坐标为． ………..4分 其极坐标为 ………5分 （Ⅱ）设直线的方程为． ………..7分 由（Ⅰ）得曲线是以为圆心的圆，且圆心到直线的距离为． 则，．解得，或． 直线的方程为，或． ………..9分 其极坐标方程为．……………………10分 24．【解析】： ………..4分 则当时，为常函数. ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数的最小值为4， ………..8分 则实数的取值范围为. …..10分 高考学习网： 高考学习网： S O H A F D C E B P。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=. 当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.而F(x1)＝2x1＋2－21故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
河北省唐山市2013届高三第一次模拟考试数学(理)(附答案)
试卷类型：A唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试理科数学说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷.第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如 需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求.(1)设集合A= {1，2},则满足A B={1，2, 3, 4}的集合B 的个数是 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5(2) 若复数)(12R a iia ∈+-为纯虚数，则|3-ai| = (A)13 (B) 13 (C) 10(D)10(3) 已知22)6co s(),,0(=+∈ππa a ，则 tan2α= (A)33 (B)- 33 (C) 13 (D)- 13. (4)求三个不相等的实数a, b, c 最大值的程序框图如图所示，则空白判断框内应为 (A) a>b?(B) a >c ?(C) d>b 或 a>c? (D) a>b 且 a>c?(5)已知向量a, b 满足：(a+2b)•(a －b)=-6,且 |a|=1，|b|=2,则 a 与b 的夹角为(A)6π (B) 3π (C) 32π (D) 65π(6)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的图象如图所示，为了得到函数)6cos(ωω+=x y 的图 象，只需将y=f(x)的图象(A)向左平移3π个单位 (B)向右平移3π个单位(C)向左平移6π个单位(D)向心平移6π.个单位(7) 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安 排方法共有(A) 36 种（B) 30 种（C) 24 种（D) 6 种(8)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-++-0202201a y ax y x y x 表示的平面区域的面积为. 215，则a=（A)74 (B) 1 (C) 2 (D) 3(9) 如图I,边长为2的d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB,BC 的中点，将ΔADE ，ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C,B 二点重合于G,所 得二棱锥G-DEF 的俯视图如图2,则其正视 图的面积为(A)21 (B) 32(C) 322 (D) 22(10) (10)己知直线l 的斜率为k,它勾抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若2=，则|k|=(A) 22 (B) 3 (C)42(D) (11)x 0函数f(x)=2sinx —πlnx(x ∈ (O, π))的零点，x 1<x 2 ,则 ①x 0∈(1,e) ②x 0∈(1,π)： ③f(x1)-f(x2)<0 ④f(x1)-f(x2)>0.其中正确的命题为 (A) ①③ (B) ①④(C) ②③)(D)②④(12)三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6,则四 面体A 1ABC, B 1ABC, C 1ABC 的公共部分的体积等于(A )318 (B ) 312 (C )39 (D ) 36第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.(13)不等式4125125>+-x x 的解集为______.(14)双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率26=e 其焦点到渐近线的距离为l ，则C 的方程为_______.(15)1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，100)，则成绩在120分以上的考生人数约为 ____________. (注：正态总体N(μ,σ2)在区.间(μ-σ, μ+σ), (μ-2σ, μ+2σ) , (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0,997)(16)ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边a, b, c 成等差数列，且最大角是最小角的2倍， 则 cos A +cos C=_____.三、解答题：本大题共70分，其中（17) — (2丨）题为必考题，（22)，（23)，（24)题 为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分）已知等比数列{a n }满足91,31321=-=a a a ((I)求{a n }的通项公式； (II)设)1(1...321211++++⨯++⨯+=n n n n n b n ，求数列}{nn a b 的前n 项的和.(18)(本小题满分12分）某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，得 下表：公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y (元）与乘市时 间t (分钟）的关系是]20[40200t y +=，其中]20[t 表示不超过]20[t的最大整数.以样本频率为概率：(I)估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元)；(II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过300 元的概率.(19)(本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 丄底面ABCD ，2[π=∠APD(I )求证：平面PAB 丄平面PCD;(II)如果AB=BC, PB=PC,求 二面角B-PC-D 的余弦值.(20)(本小题满分丨2分）已知椭圆C 1：1422=+y x 和动圆)0(:2222>=+r r y x C ，直线l:y=kx+m 与C 1和C 2分别有唯一的公共点A 和B.(I)求r 的取值范围；(II )求|AB|的最大值，并求此时圆 C 2的方程.(21)(本小题满分12分）己知函数f(x)=(mx + n)e _x 在x=1处取得极值e -1(I )求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调区间； (II )当. ),(+∞∈a x 时，f (2x -a )+f (a )>2f (x ),求 a 的取值范围.请考生在第（22)，（23), (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22)(本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，直线MN 交圆O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM ∠M ，交圆0于点D, 过D 作DE 上MN 于E.(I)求证：DE 是圆O 的切线：(II)若 DE=6，AE=3,求ΔABC 的面积(23)(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.己知曲线C 1的极坐标方程为p=4cos θ曲线C 2的参数方程是⎩⎨⎧=+=a t y at m x sin cos （t 为参数，π<≤a 0），射线4,4,πϕθπϕθϕθ-=+==与曲线C 1交于极点O 外的三点A,B,C.(I)求证：||2||||OA OC OB =+；(II)当12πϕ=时，B, C 两点在曲线C 2上，求m 与a 的值.(24)(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=丨x —a 丨+ |x —1丨，a ∈R. (I )当a=3时，解不等式 4)(≤x f ;(II)当)1,2(-∈x )时，f(x)>|2x-a-1|.求 a 的取值范围唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CAADBCBCBABDB 卷：BBADC DCCAB BA二、填空题：（13）(1，＋∞) （14）x 22－y 2＝1（15）23（16） 78三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设a n ＝a 1q n －1，依题意，有⎩⎨⎧a 1a 2＝a 21q ＝－ 13，a 3＝a 1q 2＝ 19，解得a 1＝1，q ＝－ 13．…4分所以a n ＝(－ 1 3)n －1．…5分（Ⅱ）b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n(n ＋1)＝(n ＋1)[11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1)]＝(n ＋1)[(1－ 1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋…＋( 1 n －1n ＋1)]＝n ．…7分记数列{b na n}的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n＝1－(－3)n 4－n ×(－3)n， 故S n ＝1－(4n ＋1)(－3)n16．…12分（18）解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X （元）．X 的可能值为200，240，280，320，360．X 的分布列为X 的均值为E(X)＝200×0.25＋240×0.5＋280×0.15＋(320＋360)×0.05＝246． …5分 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为E(8000X)＝8000E(X)＝1968000（元）． …7分（Ⅱ）依题意，当60≤t ≤100时，y ＞300．1名职工中路途补贴超过300元的概率p ＝P(60≤t ≤100)＝0.1， …8分记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A ，则P(A)＝C 24×0.12×0.92＋C 34×0.13×0.9＋0.14＝0.0523．…12分（19）解：（Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，所以CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA ．又∠APD ＝ π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．…4分（Ⅱ）如图，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A-xyz ． 设AB ＝2，P(0，a ，b)（a ＞0，b ＞0），则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)． 由PA ⊥PD ，PA →＝(0，－a ，－b)，PD →＝(0，2－a ，－b)， 得－a(2－a)＋b 2＝0．①因为PB ＝PC ，所以22＋a 2＋b 2＝22＋(2－a)2＋b 2． ② 由①，②得a ＝1，b ＝1．…7分 由（Ⅰ）知，PA→＝(0，－1，－1)是面PCD 的一个法向量．…8分 设面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ·PB →＝0，n ·BC →＝0， 又PB→＝(2，－1，－1)，BC →＝(0，2，0)， 所以⎩⎨⎧2x －y －z ＝0，2y ＝0，取n ＝(1，0，2)．…10分因为cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n __________|PA →|·|n|＝－105，又二面角B-PC-D 为钝角，所以二面角B-PC-D 的余弦值－105．…12分（20）解：（Ⅰ）由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0．由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故Δ1＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0， 从而m 2＝1＋4k 2．① …2分由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝kx ＋m ，得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0． 由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故Δ2＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－r 2)＝0， 从而m 2＝r 2(1＋k 2)．② …4分由①、②）得k 2＝r 2－14－r 2．由k 2≥0，得1≤r 2＜4，所以r 的取值范围是[1，2)．…6分（注：由图形直接看出r 取值范围而未做代数推理的只给1分） （Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由（Ⅰ）的解答可知 x 1＝－4km 1＋4k 2＝－4k m ，x 2＝－km 1＋k 2＝－kr 2m ．|AB|2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·k 2(4－r 2)2m 2＝1＋k 2m 2·k 2·(4－r 2)2＝1r 2·r 2－14－r 2·(4－r 2)2＝(r 2－1)(4－r 2)r 2， 所以|AB|2＝5－(r 2＋4r2)（1≤r ＜2）．…10分因为r 2＋4r2≥2×2＝4，当且仅当r ＝2时取等号，所以当r ＝2时，|AB|取最大值1，此时C 2的方程为x 2＋y 2＝2． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－(mx ＋n －m)e －x ．依题意，f(1)＝e －1，f '(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n)e －1＝e －1，－ne －1＝0，解得m ＝1，n ＝0．所以f(x)＝xe －x ．…4分f '(x)＝－(x －1)e －x ．当x ∈(－∞，1)时，f '(x)＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f '(x)＜0． 函数f(x)在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减．…6分（Ⅱ）设g(x)＝f(2x －a)＋f(a)－2f(x)，则g '(x)＝2[f '(2x －a)－f '(x)]． …7分 设h(x)＝f '(x)＝－(x －1)e －x ，则h '(x)＝(x －2)e －x ．当x ∈(－∞，2)时，h '(x)＜0，h(x)单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，h '(x)＞0，h(x)单调递增．…8分（1）若a ≥2，则当x ∈(a ，＋∞)时，2x －a ＞x ，h(2x －a)＞h(x)，即f '(2x －a)＞2f '(x)， 所以g '(x)＞0，g(x)在(a ，＋∞)单调递增，此时g(x)＞g(a)＝0， 即f(2x －a)＋f(a)－2f(x)＞0．…10分（2）若a ＜2，则当x ∈(a ，a+22)时，2x －a ＞x ，h(2x －a)＜h(x)，即f '(2x －a)＜2f '(x)， 所以g '(x)＜0，g(x)在(a ，2)单调递减，此时g(x)＜g(a)＝0． …11分 综上，a 的取值范围是[2，＋∞)．…12分（22）解：（Ⅰ）连结OD ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ． 因为∠EAD ＝∠OAD ，所以∠ODA ＝∠EAD ．…2分因为∠EAD ＋∠EDA ＝90︒，所以∠EDA ＋∠ODA ＝90︒，即DE ⊥OD ． 所以DE 是圆O 的切线．…4分（Ⅱ）因为DE 是圆O 的切线，所以DE 2＝EA ·EB ，即62＝3(3＋AB)，所以AB ＝9． …6分 因为OD ∥MN ， 所以O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离，即为6又因为O 为AC 的中点，C 到MN 的距离等于12 …8分 故△ABC 的面积S ＝ 12AB ·BC ＝54．…10分（23）解：（Ⅰ）依题意，ABCDE OM N|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos (φ＋ π 4)，|OC|＝4cos (φ－ π 4)， …2分 则|OB|＋|OC|＝4cos (φ＋ π 4)＋4cos (φ－ π 4) ＝22(cosφ－sin φ)＋22(cosφ＋sinφ)＝42cosφ， ＝2|OA|． …5分（Ⅱ）当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2， π 3)，(23，－ π 6)．化为直角坐标为B(1，3)，C(3，－3)．…7分C 2是经过点(m ，0)，倾斜角为α的直线，又经过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)，…9分 所以m ＝2，α＝2π3． …10分 （24）解： （Ⅰ）当a ＝3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≤1，2，1≤x ≤3，2x －4，x ≥3． 当x ＜2时，由f(x)≤4得4－2x ≤4，解得x ≥0；当1≤x ≤3时，f(x)≤4恒成立；当x ＞3时，由f(x)≤4得2x －4≤4，解得x ≤4．…4分 所以不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x ≤4}． …5分 （Ⅱ）因为f(x)＝|x －a|＋|x －1|≥|x －a ＋x －1|＝|2x －a －1|，当(x －1)(x －a)≥0时，f(x)＝|2x －a －1|；当(x －1)(x －a)＜0时，f(x)＞|2x －a －1|． …7分 记不等式(x －1)(x －a)＜0的解集为A ，则(－2，1)⊆A ，故a ≤－2，所以a 的取值范围是(－∞，－2]． …10分。
河北省唐山一中2013届高三第一次月考数学(文)试题(附答案)
唐山一中2013届高三第一次月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合}111|{≥-+=x x x M ，集合}032|{>+=x x N ，则=⋂N M C R )(( ) A.(-1,23) B.(-1,23] C.[-1,23) D.[-1,23] 2.已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为( ) A.54B.723-C.724D.724-3.下列函数中，在其定义域是减函数的是( ) A.12)(2++-=x x x f B.xx f 1)(=C.||)41()(x x f = D.)2ln()(x x f -=4. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的函数是( )A.)32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. )32sin(2π+=x y D. )32sin(2π-=x y 5. 函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） A.（3，4） B .（2，e ） C.（1，2） D .（0，1）6.已知二次函数4)(2+-=ax x x f ，若)1(+x f 是偶函数，则实数a 的值为( ) A. -1B.1C.-2D.27. 已知,是非零向量且满足⊥-)(2，⊥-)(2，则与的夹角是（ ）A.6πB.3πC.32π D.65π8. 各项均为正数的等比数列{}n a 中，21431,9a a a a =-=-，则54a a +等于（ ）A.16B.27C.36D.－27 9. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A ． ]3,0[πB ． ]127,12[ππC ． ]65,3[ππD ． ],65[ππ10.已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=)10(1)01(1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,-21)∪(0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.[-1,-21]∪(0,1) 11.若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n n )32)(4(中的最大项是第k 项，则=k （ ）A.3B.4C.5D.6 12.已知函数2()e 1,()43x f x g x x x =-=-+-,若有()()f a g b =,则b 的取值范围为 （ ）A.2⎡+⎣B.(2C.[]1,3D.()1,3第Ⅱ卷二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分。
2013-2014年河北省唐山市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2013-2014学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则（）A．A∪B=U B．A∩B=∅C．∁U B⊆A D．∁U A⊆B2．（5分）设复数Z=+i，则=（）A．﹣z B．﹣C．z D．3．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值是（）A．3B．4C．5D．64．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x3﹣ln（1﹣x）B．﹣x3+ln（1﹣x）C．x3﹣ln（1﹣x）D．﹣x3+ln（1﹣x）5．（5分）执行下边的程序框图，则输出的n是（）A．4B．5C．6D．76．（5分）在公比大于1的等比数列{a n}中，a3a7=72，a2+a8=27，则a12=（）A．96B．64C．72D．487．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8π+16B．8π﹣16C．8π+8D．16π﹣8 8．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（）A．2B．1C．D．9．（5分）如图，△ABC和△DEF都是圆内接正三角形，且BC∥EF，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在△ABC内”，B表示事件“豆子落在△DEF内”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．10．（5分）f（x）=2sinπx﹣x+1的零点个数为（）A．4B．5C．6D．711．（5分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A，B 是C上两点，=3，∠BAF2=90°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）C是以原点O为中心，焦点在y轴上的等轴双曲线在第一象限部分，曲线C在点P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）A．|OP|＜|AB|B．|OP|=|AB|C．|AB|＜|OP|＜|AB|D．|OP|=|AB|二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为．14．（5分）在（x+）10的展开式中，x9项的系数为．15．（5分）已知a＞0，函数f（x）=x3+ax2+bx+c在区间[﹣2，2]单调递减，则4a+b的最大值为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=3，a n=2S n﹣1+3n（n≥2），则该数列的通项公式为a n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2﹣cos2A=．（1）求角A的大小；（2）若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值？18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC 的中点，AB⊥PD．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）据民生所望，相关部门对所属单位进行整治性核查，标准如下表：查验类别甲乙所含指标项42每项初查合格率每项复查合格率每项核查合格权重分数21每项核查不合格权重分数00规定初查累计权重分数为10分或9分的不需要复查并给予奖励，10分的奖励18万元；9分的奖励8万元；初查累计权重分数为7分及其以下的停下运营并罚款1万元；初查累计权重分数为8分的要对不合格指标进行复查，最终累计权重得分等于初查合格部分与复查部分得分的和，最终累计权重分数为10分方可继续运营，否则停业运营并罚款1万元．（1）求一家单位既没获奖励又没被罚款的概率；（2）求一家单位在这次整治性核查中所获金额X（万元）的分布列和数学期望（奖励为正数，罚款为负数）．20．（12分）已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）证明：0＜f（x）≤1；（2）当x＞0时，f（x）＞，求a的取值范围．四、请考生在第（22）（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE，求证：（Ⅰ）BF是⊙O的切线；（Ⅱ）BE2=AE•DF．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．已知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）将圆C和直线l方程化为极坐标方程；（2）P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知x，y，z∈R+，x+y+z=3．（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．2013-2014学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则（）A．A∪B=U B．A∩B=∅C．∁U B⊆A D．∁U A⊆B【解答】解：由B中的不等式解得：﹣2＜x＜1，即B={x|﹣2＜x＜1}，∵A={x|x≥1}，全集U=R，∴A∪B={x|x＞﹣2}；A∩B=∅；∁U B={x|x≤﹣2或x≥1}；∁U A={x|x＜1}，故选：B．2．（5分）设复数Z=+i，则=（）A．﹣z B．﹣C．z D．【解答】解：∵复数Z=+i，∴=．∴===1，==．∴==﹣．故选：B．3．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，2），此时z的最大值为z=2+2×2=6，故选：D．4．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x3﹣ln（1﹣x）B．﹣x3+ln（1﹣x）C．x3﹣ln（1﹣x）D．﹣x3+ln（1﹣x）【解答】解：令x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），∴f（﹣x）=（﹣x）3+ln（1﹣x），又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣ln（1﹣x），∴当x＜0时，f（x）=x3﹣ln（1﹣x）．故选：C．5．（5分）执行下边的程序框图，则输出的n是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，x=1﹣0=1，a=1，b=1；第二次循环n=2，x=0，a=1，b=0；第三次循环n=3，x=﹣1，a=0，b=﹣1；第四次循环n=4，x=﹣1，a=﹣1，b=﹣1；第五次循环n=5，x=0，a=﹣1，b=0；第六次循环n=6，x=1，a=0，b=1．满足条件a=0且b=1，退出循环，输出n=6．故选：C．6．（5分）在公比大于1的等比数列{a n}中，a3a7=72，a2+a8=27，则a12=（）A．96B．64C．72D．48【解答】解：在公比大于1的等比数列{a n}中，∵a 3a7=72=，a2+a8=27，∴a2，a8是方程x2﹣27x+72=0的两个根，且a2＜a8，解得a2=3，a8=24，∴，解得q2=2，∴=3×25=96．故选：A．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8π+16B．8π﹣16C．8π+8D．16π﹣8【解答】解：由三视图知：几何体是一半圆柱挖去一个同高的三棱柱，且半圆柱的底面半径为2，高为4，三棱柱的底面是底边长为4，高为2的等腰三角形，∴几何体的体积V=V半圆柱﹣V三棱柱=×π×22×4﹣×4×2×4=8π﹣16．故选：B．8．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（）A．2B．1C．D．【解答】解：球心在平面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC=90°，底面外接圆的圆心N位于BC的中点，△A1B1C1的外心M在B1C1中点上，设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM=，，OC1=R=1，∴，即x=，则AB=AC=1，∴故选：C．9．（5分）如图，△ABC和△DEF都是圆内接正三角形，且BC∥EF，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在△ABC内”，B表示事件“豆子落在△DEF内”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以P==，故选：D．10．（5分）f（x）=2sinπx﹣x+1的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=2sinπx与y=x﹣1的图象，由图得交点5个，故函数f（x）=2sinπx﹣x+1的零点的个数是5，故选：B．11．（5分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A，B 是C上两点，=3，∠BAF2=90°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是C上两点，=3，∠BAF2=90°，∴设||=x，则||=3x，在△ABF2中，（4x）2+（2a﹣3x）2=（2a﹣x）2，整理，得x（3x﹣a）=0，即3x=a，即x=，∴在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2c，（3x）2+（2a﹣3x）2=4c2，将x=代入，得a2+（2a﹣a）2=4c2，∴=，即，∴e=．故选：D．12．（5分）C是以原点O为中心，焦点在y轴上的等轴双曲线在第一象限部分，曲线C在点P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）A．|OP|＜|AB|B．|OP|=|AB|C．|AB|＜|OP|＜|AB|D．|OP|=|AB|【解答】解：设过点P的切线方程为y=kx+m，∴，消去y，得（kx+m）2﹣x2=a2，即（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣a2=0，∴，∴P（，），∵，∴B（），∵，∴A（），∴，y P=，∴P为AB中点，∠AOB=90°，∴|OP|=|AB|．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为8．【解答】解：设抽取男运动员的人数为x，则，解得x=8，故答案为：814．（5分）在（x+）10的展开式中，x9项的系数为45．=•x10﹣r•=•，【解答】解：（x+）10的展开式的通项公式为T r+1令10﹣=9，求得r=2，故x9项的系数为=45，故答案为：45．15．（5分）已知a＞0，函数f（x）=x3+ax2+bx+c在区间[﹣2，2]单调递减，则4a+b的最大值为﹣12．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c，∴f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在区间[﹣2，2]单调递减，∴f′（x）≤0在[﹣2，2]上恒成立，则，即，即4a+b≤﹣12，∴4a+b的最大值为﹣12，故答案为：﹣12．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=3，a n=2S n﹣1+3n（n≥2），则该数列的通项公式为a n=（2n+1）•3n﹣1．【解答】解：∵a1=3，a n=2S n﹣1+3n（n≥2），∴（n≥3），相减得a n﹣a n=2a n﹣1+2×3n﹣1，﹣1∴a n=3a n﹣1+2×3n﹣1，∴，∴数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×，∴．故答案为：（2n+1）•3n﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2﹣cos2A=．（1）求角A的大小；（2）若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值？【解答】解：（1）∵A+B+C=π，∴sin=sin=cos，∵4sin2﹣cos2A=．∴4cos2﹣cos2A=．∴2（1+cosA）﹣（2cos2A﹣1）=，整理得（2cosA﹣1）2=0，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）过点A作AD⊥BC，在Rt△ABD，Rt△ACD中，sinB=，sinC=，S△ABC=bcsinA=×××=，设y=4sinBsinC，则y=4sinBsin（﹣B）=2sinBcosB+2sin2B=sin2B+1﹣cos2B=2sin（2B﹣）+1，∵0＜B＜，0＜＜，∴＜B＜，＜2B﹣＜，∴当2B﹣=，即B=时，y有最大值为3，∴此时S有最小值，为．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC 的中点，AB⊥PD．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：取AB中点为O，连结OD、OP，∵PA=PB，∴AB⊥OP，又AB⊥PD，OP∩PD=P，∴AB⊥平面POD，∵OD⊂平面POD，∴AB⊥OD，由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，∴OD⊥PB，∵AB∩PB=B，∴OD⊥平面PAB，又OD⊂平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OB、OD、OP两两垂直，以O为坐标原点，以OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设OB=1，则B（1，0，0），P（0，0，），D（0，1，0），C（1，2，0），则，，，设=（x，y，z），是平面PDB的法向量，则，取z=1，得，设平面PDC的法向量，则，取，得，∴cos＜＞==，由图形知二面角B﹣PD﹣C是钝二面角，∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）据民生所望，相关部门对所属单位进行整治性核查，标准如下表：查验类别甲乙所含指标项42每项初查合格率每项复查合格率每项核查合格权重分数21每项核查不合格权重分数00规定初查累计权重分数为10分或9分的不需要复查并给予奖励，10分的奖励18万元；9分的奖励8万元；初查累计权重分数为7分及其以下的停下运营并罚款1万元；初查累计权重分数为8分的要对不合格指标进行复查，最终累计权重得分等于初查合格部分与复查部分得分的和，最终累计权重分数为10分方可继续运营，否则停业运营并罚款1万元．（1）求一家单位既没获奖励又没被罚款的概率；（2）求一家单位在这次整治性核查中所获金额X（万元）的分布列和数学期望（奖励为正数，罚款为负数）．【解答】解：记“初查阶段甲类的一个指标项合格”为事件A，“初查阶段乙类的一个指标项合格”为事件B，“复查阶段一个指标项合格”为事件C，则P（A）=，P（B）=P（C）=．（Ⅰ）记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件D，则P（D）=[P（A）]4[P（）]2[P（C）]2+[P（A）]3[P（B）]2[P（C）]=（Ⅱ）X的可能取值为﹣1，0，8，18．P（X=18）=[P（A）]4[P（B）]2=，P（X=8）=[P（A）]4[P（B）][P（）]=，P（X=0）=P（1）=，P（X=﹣1）=1﹣P（X=18）﹣P（X=8）﹣P（X=0）=．X的分布列为X﹣10818PX的数学期望EX=﹣1×+0×+8×+18×=（万元）．20．（12分）已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，其中△=4p2k2+16p＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，∴===﹣4p+4，由已知，﹣4p+4=2，解得p=，∴抛物线E的方程为x2=y．（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，===x1﹣x2，同理k2=x2﹣x1，∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）证明：0＜f（x）≤1；（2）当x＞0时，f（x）＞，求a的取值范围．【解答】（1）证明：设g（x）=xe x+1，则g′（x）=（x+1）e x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）≥g（﹣1）=1﹣e﹣1＞0．又e x＞0，故f（x）＞0．f′（x）=，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（x）≤f（0）=1．综上，有0＜f（x）≤1．（2）解：①若a=0，则x＞0时，f（x）＜1=，不等式不成立．②若a＜0，则当0＜x＜时，＞1，不等式不成立．③若a＞0，则f（x）＞等价于（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0．（*）设h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，则h′（x）=x（ax+2a﹣1）e x．若a，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．若0＜a＜，则当x，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h （0）=0．于是，若a＞0，不等式（*）成立当且仅当a．综上，a的取值范围是[，+∞）．四、请考生在第（22）（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE，求证：（Ⅰ）BF是⊙O的切线；（Ⅱ）BE2=AE•DF．【解答】证明：（1）连接BD，则∵AD⊥AB，∴BD是⊙O的直径，∵AF=AE，∴∠FBA=∠EBA，∵AB=AC，∴∠FBA=∠C，∵∠C=∠D，∠D+∠ABD=90°，∴∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°，∴BF是⊙O的切线；（2）由切割线定理可得BF2=AF•DF，∵AF=AE，BE=BF，∴BE2=AE•DF．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．已知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）将圆C和直线l方程化为极坐标方程；（2）P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．【解答】解：（1）把x=ρcosθ、y=ρsinθ 代入圆C：x2+y2=4可得ρ=2，即圆C的极坐标方程为ρ=2．把x=ρcosθ、y=ρsinθ 代入直线l：x+y=2，可得l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=2．（2）设P、Q、R的坐标分别为（ρ1，θ）、（ρ，θ）、（ρ2，θ），则由|OQ|•|OP|=|OR|2，可得ρρ1=．又ρ2=2，ρ1=，∴=4，ρ≠0，即点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知x，y，z∈R+，x+y+z=3．（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．，x+y+z=3．【解答】（1）解：∵x，y，z∈R+∴++===3，当且仅当x=y=z=1时取等号，∴++的最小值是3．（2）证明：∵（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，∴2（x2+y2+z2）≥2xy+2xz+2yz，∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=32，∴x 2+y 2+z 2≥3；又x 2+y 2+z 2﹣9=x 2+y 2+z 2﹣（x +y +z ）2=﹣2（xy +yz +xz ）＜0． 综上可得：3≤x 2+y 2+z 2＜9．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=单调性在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。
河北省唐山市开滦二中2013届高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案
开滦二中2013届高三12月月考数学（理）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是对的，每小题5分，共60分.）1．已知U ＝{y |y ＝x 2log }，P ＝{y |y ＝1x，x ＞2}，则∁U P ＝（ ） A ．[12，＋∞）B ．（0，12） C ．（0，＋∞） D ．（－∞，0]∪[12，＋∞）2．i 是虚数单位=（ ） A．14 B．14 C．12 D．12 3．已知递减的等差数列错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，则数列错误！未找到引用源。
的前错误！未找到引用源。
项和错误！未找到引用源。
取最大值时， 错误！未找到引用源。
=（ ）A. 3B. 4C. 4或5D. 5或64．设函数⎩⎨⎧>-≤=-2,ln 12,)(1x x x e x f x ，则满足1)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）A ．]2,1[B ．]2,0[C ．),1[+∞D ．),0[+∞5.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，同时从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差绝对值为2或4的概率是（ ） A.101 B.103 C ．52 D.416.已知+∈R y x ,）ABCD7.设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13= （ ）A ．120B ． 105C ．90D ．758.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )ABC ．D ．9.若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[,]32ππ上单调递减，则ω取值范围是（ ）A ．203ω≤≤B ．302ω≤≤C ．233ω≤≤ D．332ω≤≤10.曲线C ：xe y =在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C 、直线l 、y 轴围成的图形面积为 （ ） A ．312e - B ． 12e + C ． 2e D ．12e - 11.在ABC ∆中，D 为BC 中点，若 120=∠A ，，则AD 的最小值是 （ ）(A) 21 (B) 23 (C) 2 (D) 2212.如果函数错误！未找到引用源。
河北省唐山市2013届高三9月摸底考试(数学理)
试卷类型：B唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试理科数学第I 卷 一、选择题（共60分）（1）复数3322i i ii+---+的虚部为(A ）2i （B ）－2i （C ）2 （D ）－2 （2）设集合U ＝AUB, A=｛1,2，3｝， A B={1}，则UC B ＝ （A ）｛2} (B) {3} (C) ｛1，2，3｝ （D) {2,3｝(3）已知x ，y满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z=2x －y 的最大值为lax —Y ｝-3，（A ） 2 （B ）1 （C ） －1 (D) 3（4）已知双曲22212x y a -＝1的离心串为2，则该双曲线的实轴长为（A)2 （B ）4 （C ） 23 (D) 43 (5)若tnn θ=2，则cos2θ＝（A ）45（B)－45（C ）35（D ）－35（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0. 3)内是增函数的是 （A) y=22xx-+ (B) y=coss(C ）y=0.5log ||x （D) y=x ＋x －1（7)在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB=PC=3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（A ）2π (B) 3π (C ）4π （D) 43π(8） 要得到函数sin()3y x π=-的图象,只需将函数sin()6y x π=-的图象 (A)向左平移6π个单位 （B ）向右平移6π单位(C)向左平移2π个单位 （D 向右平移2π个单位(9）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A ）6＋25 （B ）8＋23 （C ）8＋25 (B)6＋23(10）一名小学生的年龄和身高(单位:cm ） 的数据如下: 年6 7 8 9 身118 126 136 144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8y x a =+，预测该学生10岁时的身高为（A) 154 。
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2013年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）（2013•唐山一模）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据题目给出的集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，由并集的概念直接得到集合B 的可能情况．解答：解：由集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，所以B={1，3，4}或B={2，3，4}或B={3，4}或B={1，2，3，4}共4种可能．所以满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是4．故选C．点评：本题考查了并集的概念，考查了子集与并集的运算转换，是基础题．2．（5分）（2013•唐山一模）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|=（）A．B．13 C．10 D．考点：复数求模．专题：计算题．分析：把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模．解答：解：由=．因为复数为纯虚数，所以，解得a=2．所以|3﹣ai|=|3﹣2i|=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）（2013•唐山一模）已知，则tan2α=（）C．D．﹣．A．B．﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：先根据α的范围和特殊角的三角函数求出α=，即可求出tan2α的值、解答：解：∵cos（α+）=α∈（0，π）∴α+=解得α=∴tan2α=tan=故选：A．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．4．（5分）（2013•唐山一模）求三个不相等的实数a，b，c最大值的程序框图如图所示，则空白判断框内应为（）A．a＞b？B．a＞c？C．d＞b 或a＞c？D．a＞b 且a＞c？考点：选择结构．专题：计算题；概率与统计．分析：分析题中的程序框图，可得在第1步比较大小时，如果条件成立输出a，说明此时a是3个数中的最大值，由此可得空白判断框内应填上“a＞b 且a＞c？”，得到本题答案．解答：解：由题意，程序求a，b，c中的最大值第1步，比较a与b、c的大小，当a比b、c都大时，输出a的值；当a不能比b、c都大时，进入第2步；第2步，由于a不是最大值，所以比较b、c的大小当b＞c时，输出b；当b＜c时，输出c综上所述，空白判断框内应填上：a＞b 且a＞c？故选：D点评：本题给出3个数比较大小的程序框图，求空白处应该填上的内容．着重考查了分段函数的对应法则和选择结构的理解等知识，属于基础题．5．（5分）（2013•唐山一模）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，根据=﹣6，求出cosθ的值，即可求得与的夹角θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，由||=1，||=2，=+﹣2=1+1×2×cosθ﹣2×4=﹣6，可得cosθ=．再由0≤θ≤π可得θ=，故选C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．6．（5分）（2013•唐山一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移．个单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．解答：解：依题意，f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）（2013•唐山一模）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，可得结论．解答：解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为：=36﹣6=30故选B点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）（2013•唐山一模）不等式组，表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．1C．2D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．解答：解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为，设C（m，m+1），则S AODC﹣S ABO﹣A BCD=S△ABC，即（1+m+1）m﹣﹣=解得m=5，∴C的坐标为（5，6），代入ax﹣y﹣2a=0，得a=2．故选C．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．9．（5分）（2013•唐山一模）如图1，边长为2的d正方形ABCD中，E，F 分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF折起，使A，C，B二点重合于G，所得二棱锥G﹣DEF的俯视图如图2，则其正视图的面积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意知，所得三棱锥G﹣DEF的三个侧面两两垂直，它的正视图为一个等腰三角形，底边长为EF的长，高是原三棱锥G﹣DEF的高，即可求出正视图的面积．解答：解：由题设条件，所得三棱锥G﹣DEF的三个侧面两两垂直，它的正视图为一个等腰三角形，底边长为EF的长，高是原三棱锥G﹣DEF的高，设正视图中三角形的高为h，由体积法得：=S△GEF×DG，即××××h=×1×1×2，∴h=，则其正视图的面积为==．故选B．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三视图中的正视图面积，解决本题的关键是由题设条件得出正视图的形状及正视图的几何特征．求解本题的关键是准确熟练理解三视图的投影规则，其规则是：主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．10．（5分）（2013•唐山一模）己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．解答：解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，即km＜1．，．由y2=4x得其焦点F（1，0）．由，得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2）．所以，由①得，x1+2x2=3 ③由②得，．所以m=﹣k．再由，得，所以x1+1=2（x2+1），即x1﹣2x2=1④联立③④得．所以=．把m=﹣k代入得，解得，满足mk=﹣8＜1．所以．故选A．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是利用向量关系得到两个交点A，B的坐标的关系，同时灵活运用了抛物线的定义，属中高档题．11．（5分）（2013•唐山一模）x0函数f（x）=2sinx﹣πlnx（x∈（O，π））的零点，x1＜x2 ，则①x0∈（1，e）；②x0∈（1，π）；③f（x1）﹣f（x2）＜0；④f（x1）﹣f（x2）＞0．其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．分析：根据端点函数值的正负，根据函数的零点判定定理判断是否存在零点，来判断①②是否正确；求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，来判断③④是否正确．解答：解：∵f（1）=2sin1﹣πln1=2sin1＞0，f（e）=2sine﹣π＜0，∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，又∵f′（x）=2cosx﹣，当x∈（0，]时，2cosx＜2，＞2，∴f′（x）＜0；当x∈（，π）时，cosx＜0，∴f′（x）＜0，∴函数在（0，π）上是减函数，故①④正确．故答案是①④．点评：本题借助考查命题的真假判断及应用，考查函数的零点判定及利用导数判定函数的单调性．12．（5分）（2013•唐山一模）三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分的体积等于（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：可得四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体GABC，由已知数据结合三棱锥的体积公式可得答案．解答：解：由题意三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，如图：连接AB1与A1B交于M，AC1与A1C交于N，连接CM，BN交与G，由已知数据可得A1M=MB=A1N=NC=3，GB=GC=CM==4，所以G到平面ABC的距离h==2四面体A1ABC，B1ABC的公共部分为四面体NABC，四面体B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体MABC可知四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体GABC，可得其体积为：V=S ABC×h=9×2=6故选D点评：本题考查三棱锥（四面体）的体积，得出公共部分为四面体GABC是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.13．（5分）（2013•唐山一模）不等式的解集为（1，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：化简所给的不等式可得52x﹣4•5x﹣5＞0，即（5x﹣5）（5x+1）＞0，解得5x＞5，由此求得不等式的解集．解答：解：由不等式，可得25x﹣1＞4•5x+4，化简可得，52x﹣4•5x﹣5＞0，即（5x﹣5）（5x+1）＞0，解得5x＞5，或5x＜﹣1 （舍去）．由5x＞5，可得x＞1，故不等式的解集为（1，+∞），故答案为（1，+∞）．点评：本题主要考查分式不等式、指数不等式以及一元二次不等式的解法，属于中档题．14．（5分）（2013•唐山一模）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率其焦点到渐近线的距离为1，则C的方程为﹣y2=1．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的方程为，取其焦点F（c，0），一条渐近线方程．利用点到直线的距离公式可得，及c2=a2+b2，即可得出．解答：解：设双曲线的方程为，取其焦点F（c，0），一条渐近线方程．则，化为b=1．联立，解得故C的方程为．故答案为．点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式是解题的关键．15．（5分）（2013•唐山一模）1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N（100，100），则成绩在120分以上的考生人数约为23．（注：正态总体N（μ，σ2）在区．间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0，997）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：根据正态分布，求出μ=100，σ=10，在区间（80，120）的概率为0.954，由此可求成绩在120分以上的考生人数解答：解：由题意，μ=100，σ=10，在区间（80，120）的概率为0.954∴成绩在120分以上的概率为=0.023∴成绩在120分以上的考生人数约为1000×0.023=23故答案为：23点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2013•唐山一模）△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC=．考点：等差数列的性质；解三角形．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得2b=a+c，设C为最大角，则A为最小角，可得C=2A，且0＜A＜．再由正弦定理可得2sin3A=sinA+sin2A，化简可得2cosA=5﹣8sin2A=5﹣8（1﹣cos2A ），解得cosA 的值，即可得到cosA+cosC的值．解答：解：△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．设C为最大角，则A为最小角，再由最大角是最小角的2倍，可得C=2A，且0＜A＜．再由正弦定理可得2sinB=sinA+sin2A，∴2sin（π﹣3A）=sinA+sin2A，即2sin3A=sinA+sin2A，2（3sinA﹣4sin3A）=sinA+2sinAcosA，化简可得2cosA=5﹣8sin2A=5﹣8（1﹣cos2A ），解得cosA=，cosA=﹣（舍去）．则cosA+cosC=cosA+cos2A=cosA+2cos2A﹣1=+2×﹣1=，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，正弦定理、倍角公式的应用，属于中档题．三、解答题：其中（17）-（21）题为必考题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2013•唐山一模）已知等比数列{a n}满足（I）求{a n}的通项公式；（II）设，求数列的前n项的和．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等比数列的通项公式及已知即可解得a1及q，即可得到a n；（II）对于b n提取n+1，再利用裂项求和即可得出b n，即可得到=n•（﹣3）n﹣1．再利用错位相减法及等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设a n=a1q n﹣1，依题意，有解得a1=1，q=﹣．∴a n=（﹣）n﹣1．（Ⅱ）b n=++…+=（n+1）[++…+]=（n+1）[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=n．∴=n•（﹣3）n﹣1．记数列{}的前n项的和为S n，则S n=1+2×（﹣3）+3×（﹣3）2+…+n×（﹣3）n﹣1，﹣3S n=﹣3+2×（﹣3）2+3×（﹣3）3+…+n×（﹣3）n，两式相减，得4S n=1+（﹣3）+（﹣3）2+…+（﹣3）n﹣1﹣n×（﹣3）n=﹣n×（﹣3）n，故S n=．点评：熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和、错位相减法是解题的关键．18．（12分）（2013•唐山一模）某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：（I）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；（II）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少冇两名路途补贴超过300 元的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定一名职工所享受的路途补贴的可能取值，求出相应的概率与分布列，可得均值，即可估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；（II）求出1名职工中路途补贴超过300元的概率，利用互斥事件的概率公式，可求随机选取四名职工，至少有两名路途补贴超过300 元的概率．解答：解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X（元）．X的可能值为200，240，280，320，360．X的分布列为X 200 240 280 320 360P 0.25 0.5 0.15 0.05 0.05X的均值为E（X）=200×0.25+240×0.5+280×0.15+（320+360）×0.05=246．…（5分）该公司每月用于路途补贴的费用总额约为E（8000X）=8000E（X）=1968000（元）．…（7分）（Ⅱ）依题意，当60≤t≤100时，y＞300．1名职工中路途补贴超过300元的概率P=P（60≤t≤100）=0.1，…（8分）记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，则P（A）=×0.12×0.92+×0.13×0.9+0.14=0.0523．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列与均值，考查互斥事件的概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•唐山一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性质及侧面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，进而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可证明平面PAB⊥平面PCD．（II）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．又∠APD=，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．由PA⊥PD，=（0，﹣a，﹣b），=（0，2﹣a，﹣b），得﹣a（2﹣a）+b2=0．①因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2﹣a）2+b2．②由①，②得a=1，b=1．由（Ⅰ）知，=（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，又=（2，﹣1，﹣1），=（0，2，0），所以取=（1，0，2）．因为cos ＜，＞ =﹣，又二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值﹣．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求二面角的余弦值等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）（2013•唐山一模）已知椭圆C1：和动圆，直线l：y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．（I）求r的取值范围；（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，联立直线方程和圆的方程，由直线和椭圆及直线和圆都有唯一公共点，利用判别式等于0得到k与r的关系k2=，由k2≥0求解r的取值范围；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A，B两点的横坐标，写出AB两点间的距离，利用k，m，r之间的关系把两点间的距离转化为含有r的函数式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此时圆C2的方程．解答：解：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0，从而m2=1+4k2 ①由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0，从而m2=r2（1+k2）②由①、②得k2=．由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知x1=﹣=﹣，x2=﹣=﹣．|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）•=•k2•（4﹣r2）2=•（4﹣r2）2=，所以|AB|2=5﹣（r2+）（1≤r＜2）．因为r2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了数学转化思想方法及整体带代换能力，训练了学生的计算能力，考查了利用基本不等式求最值，属难题．21．（12分）（2013•唐山一模）己知函数f（x）=（mx+n）e﹣x在x=1处取得极值e﹣1（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；（II ）当．x∈（a，+∞）时，f（2x﹣a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由函数f（x）=（mx+n）e﹣x在x=1处取得极值e﹣1，得到f（1）=e﹣1，f′（1）=0，联立后求得m和n的值，则函数解析式可求，代入导函数后由导函数大于0和导函数小于0求得原函数的单调区间；（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x），求导后分析f′（x）的单调性，然后对a分类讨论，根据a的范围得到g′（x）的符号并判断g（x）的单调性，由单调性得到a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e﹣x，得f′（x）=﹣（mx+n﹣m）e﹣x．依题意，f（1）=e﹣1，f′（1）=0，即，解得m=1，n=0．所以f（x）=xe﹣x．f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x．当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以，函数f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；（Ⅱ）设g（x）=f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x），则g′（x）=2[f′（2x﹣a）﹣f′（x）]．设h（x）=f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x，则h′（x）=（x﹣2）e﹣x．当x∈（﹣∞，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．（1）若a≥2，则当x∈（a，+∞）时，2x﹣a＞x，h（2x﹣a）＞h（x），即f′（2x﹣a）＞2f′（x），所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）单调递增，此时g（x）＞g（a）=0，即f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x）＞0．（2）若a＜2，则当x∈（a，）时，2x﹣a＞x，h（2x﹣a）＜h（x），即f′（2x﹣a）＜2f′（x），所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）单调递减，此时g（x）＜g（a）=0．综上，a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．四、选做题：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．（10分）（2013•唐山一模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAMM，交圆0于点D，过D作DE 上MN于E．（I）求证：DE是圆O的切线：（II）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．考点：综合法与分析法(选修）．专题：计算题；证明题．分析：（I）连结OD，易证∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD，从而可证DE是圆O的切线；（II）由DE是圆O的切线，可得DE2=EA•EB，而DE=6，AE=3，从而可求得AB；又O到MN的距离等于D到MN的距离等于|BC|，从而可求得△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．因为∠EAD=∠OAD，所以∠ODA=∠EAD．…（2分）因为∠EAD+∠EDA=90°，所以∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD．所以DE是圆O的切线．…（4分）（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2=EA•EB，即62=3（3+AB），所以AB=9．…（6分）因为OD∥MN，所以O到MN的距离等于D到MN的距离，即为6；又因为O为AC的中点，C到MN的距离等于12 …（8分）故△ABC的面积S=AB•BC=54．…（10分）点评：本题考查综合法在证明中的应用，考查辅助线的添加，考查作图、推理与分析、运算的能力，属于中档题．23．（2013•唐山一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．己知曲线C1的极坐标方程为p=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤a＜π），射线与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（I ）求证：；（II ）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与a的值．考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答：解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．24．（2013•唐山一模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=丨x﹣a丨+|x﹣1丨，a∈R．（I ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（II）当x∈（﹣2，1））时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．求a 的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（I ）当a=3时，f（x）=丨x﹣3丨+|x﹣1丨=，由f（x）≤4即可求得不等式f（x）≤4的解集；（II）由双绝对值的几何意义可得f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，分（x﹣1）（x﹣a）≥0与（x﹣1）（x﹣a）＜0讨论，即可求得当x∈（﹣2，1）时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|的a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵a=3时，f（x）=丨x﹣3丨+|x﹣1丨=，∴当x＜1时，由f（x）≤4得4﹣2x≤4，解得x≥0；∴0≤x＜1；当1≤x≤3时，f（x）≤4恒成立；当x＞3时，由f（x）≤4得2x﹣4≤4，解得x≤4．∴3＜x≤4…（4分）所以不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，当（x﹣1）（x﹣a）≥0时，f（x）=|2x﹣a﹣1|；当（x﹣1）（x﹣a）＜0时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．…（7分）记不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为A，则（﹣2，1）⊆A，故a≤﹣2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围的“分类讨论”，去掉绝对值符号是关键，考查等价转化思想与方程思想的综合运用，属于中档题．。