2019年高考数学一轮复习课时分层训练37归纳与类比
近年年高考数学一轮复习课时分层训练39数学归纳法理北师大版(2021学年)
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课时分层训练（三十九) 数学归纳法Ａ组基础达标一、选择题１.用数学归纳法证明2ｎ>２ｎ＋1,n的第一个取值应是( )Ａ．1 ﻩ B.２C．3ﻩD．4Ｃ[∵n=1时，２1=2,2×1+1=3,2ｎ〉2ｎ+1不成立;ｎ＝２时,22＝4,2×２+１＝5,２ｎ>2n+1不成立;ｎ＝3时,23＝8，2×３＋1=7,2ｎ>２n＋1成立.∴n的第一个取值应是3．］２．一个关于自然数n的命题,如果验证当n=１时命题成立，并在假设当n=k（ｋ≥1且k∈N＋)时命题成立的基础上,证明了当n=k＋2时命题成立,那么综合上述，对于（）Ａ．一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D.以上都不对B [本题证的是对n=1,３，5,７,…命题成立,即命题对一切正奇数成立．]3.在数列｛aｎ}中,a１=13，且Ｓn＝n(2n－1)a n,通过求a２,ａ3,a4,猜想aｎ的表达式为( ）【导学号：79１4０216】A.＼f(1，（n－1)(n＋１)）B.错误!C.错误!ﻩD．错误!C［由a１＝错误!，S n＝n(２n-1)a n求得a2=错误!=错误!,a3＝错误!=错误!，a4=错误!＝错误!。
猜想ａn=＼f（1,(2n－1)(2n＋１）).]4.对于不等式错误!＜ｎ＋1（n∈N＋），某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n＝1时,＼ｒ（1２+１)<1+1,不等式成立．（２）假设当ｎ=k（k∈N＋)时，不等式＼r(k2+k)<ｋ+1成立,当ｎ=k+1时,错误!=错误!＜错误!=错误!=（k+1)+1.所以当n＝ｋ+1时，不等式成立,则上述证法( )A.过程全部正确B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确D.从n＝k到n＝ｋ＋１的推理不正确D [当n＝k+1时,没有应用n＝ｋ时的假设,不是数学归纳法.]5.平面内有n条直线,最多可将平面分成ｆ(n)个区域,则f(n)的表达式为( ）A.n+１B．2ｎC。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版
课时分层训练(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用A 组 基础达标一、选择题1．(2017·沈阳三十一中月考)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A [令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.]2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图像的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )【导学号：79140118】A ．－ 3 B.33C ．1D.3D [由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N ＋，所以ωmin ＝2.]5．(2018·云南二检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将其图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3D.π2 B [由题意，得平移后的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2φ，则要使此函数为奇函数，则π3－2φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝－k π2＋π6(k ∈Z )，由φ＞0，得φ的最小值为π6，故选B.]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.]7．(2018·武汉调研)如图346，某地一天6—14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (|φ|＜π)，则这段曲线的函数解析式可以为________．图346y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20(6≤x ≤14) [由图知A ＝10，b ＝20，T ＝2(14－6)＝16，所以ω＝2πT ＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，把点(10,20)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，因为|φ|＜π，则φ可以取3π4，所以这段曲线的函数解析式可以为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．]8．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图像如图347所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安.【导学号：79140119】图347－5 [由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图像过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5(安)．] 三、解答题9．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像． [解] (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表：描点画图：10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．B 组 能力提升11．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24A [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2， 得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.]12．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]13．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.【导学号：79140120】－45 [由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.又根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.]14．(2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。
【2020】高考数学一轮复习课时分层训练37归纳与类比理北师大版
请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
[解]在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．
则 ＋ ＋ ＋ ＝1.
证明：在四面体OBCD与ABCD中，
＝ ＝ ＝ .
同理有 ＝ ； ＝ ； ＝ .
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【导学号：79140208】
[解](1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°
＝ － cos 2α＋ ＋ (cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－ sinαcosα－ sin2α
＝ － cos 2α＋ ＋ cos 2α＋ sin 2α－ sin 2α－ (1－cos 2α)
＝1－ cos 2α－ ＋ cos 2α＝ .
A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]
2．如图6 4 3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )
图6 4 3
A．12
B．48
C．60
D．144
D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]
＝sin2α＋ cos2α＋ sinαcosα＋ sin2α－ sinαcosα－ sin2α
2019高三数学(北师大版理科)一轮课件7.3 归纳与类比精选ppt版本
关键能力
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考点1 考点2 考点3 考点4
对点训练 2(1)已知在等差数列{an}中,有������11+������121+0…+������20 =
������1+������2+30…+������30,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:
.
(2)设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为 (r别1,)则1为0 S������11r,1S=���2������1,���S2+23…���,������S���+;���4类������,���2四0比=面这体30个A������结1B���C���论2D…可的������3知体0 ,积四为面V体,内AB切C球D的半四径个为面R,则的面积分 关闭 由R=等比数列的性质知 b1b3.0=b2b29=…=b11b20,所以10 b11b12…b20 =
好;乙看到丙的成绩则知道自己的成绩.又丁看到甲的成绩,所以丁也知道 关闭
自D 己的成绩,故选D.
解析 答案
必备知识
-9-
知识梳 理
考点自 测
12345
5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比
为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它
们的体积比为
.
关闭
由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间内,若两个正四面体 的棱长的比为1∶2,则它们的底面积之比为1∶4,对应高之比为1∶2,所以
论:B具有属性d'.(a,b,c,d与a',b',c',d'相似或相同)
必备知识
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2019年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第4节归纳与类比学案理北师大版
第四节 归纳与类比［考纲传真］（教师用书独具）1. 了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理， 体会合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联 系和差异.（对应学生用书第99页）［基础知识填充］1. 归纳推理* Y 根据一类事物中部分事物具有某种属性, 推断该类事物中每一个都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理. 2. 类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征， 推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理. 3. 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确.［基本能力自测］1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.（ ）（2） 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适.（） （3）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.（ ）y/XZTk At（4）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. （ ）［答案］⑴ X （2） X （3） X （4） V2. （教材改编）已知数列｛刘中，a 1= 1，n 》2时，a n = a n — 1+ 2n - 1，依次计算a 2，a 3，a 4后,猜想a n 的表达式是（）RA . a n = 3n — 1 /V. jb B. a n = 4n —3C .2a n = nD. n —1 a n = 3C [ a 1 = 1， a 2= 4， a 3= 9， a 4 = 16, 猜想a = n 2.]3.数列 2,5,11,20，x, 47，- •冲的x 等于（ )A .28B. 32C .33D. 27B ［5 — 2= 3,11 — 5 = 6,20 — 11 = 9,推出 x — 20= 12,所以 x = 32.］4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2，则它们的面积比为1 : 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 : 2，则它们的体积比为 _________ .双基自主测评I理自测巩固基础知识1S 1 h 1 V T 3"h 1: 3S2h2 =S/ 瓦5.观察下列不等式 ,131 +22<2,11171 +夕+ 32 +产 4，照此规律，第五个不等式为1 ：8 ［这两个正四面体的体积比为=1 : 8.]1 1 1 1 1 11 1 + 22+ 32 + 42+ 52+62< 6［先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为 4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右 边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数，故应填111111+22+壬+孑+尹左v11 6」 题型分类突破I 典钢剖析槨（对应学生用TWiT归纳推理◎角度1与数字有关的.■ EB] (2018 •兰州实战模拟)观察下列式子：1,1 + 2 + 1,1 + 2 + 3+ 2 + 1,1 + 2 + 3+ 4 + 3 + 2 + 1,…，由以上可推测出一个一般性结论： — ________.n 2 [因为 1 — 1 — 12'1 + 2+ 1 — 4— 22,1 + 2 + 3+ 2 + 1 — 9— 32,1 + 2+ 3 + 4 + 3+ 2+ 12 2对于 n € N +,则 1 + 2 + •••+ n +•••+ 2 + 1◎角度2与式子有关的推理X已知 f (x ) — = , x >0,若 f 1(X )— f (x ) , f n + 1( x ) — f ( f n ( x )), n € N+,贝Uf (X )的表达式为 ________ .【导学号：79140205】◎角度3与图形有关的推理写出第n 个图形中小正方形的个数是 __________Eb⑴ (2) ⑶图 6-4-1总个数为 n( n + 1) (n € N+).]［规律方法］归纳推理问题的常见类型及解题策略1与数字有关的等式的推理•观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 •2与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解 3与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论， 并用赋值检验法验证其真伪性.14 x x 427 x⑵已知x €(0,2),观察下列各式：X +->2, X +£=2+ 2+x 2>3, x +卫=3+x x 27a 小二+二 + 飞＞4,…，类比得 X +FA n +1(n € N+),贝U a = .3 3 x x(3)(2018 •郑州第二次质量预测 )平面内凸四边形有 2条对角线，凸五边形有5条对 角线，f 2 019( x )=x1 +2 019x[f i (X )=xi +x ，f 2(x ) x ^1+ xx,f 3(x)=1 + 2x x 1+ 2xx1 + 3x ，…， f n + 1(x ) = f ( f n ( x ))x1 +nx ，归纳可得f 2 019 (x )=x1 +2 019x.]的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图⑷ 的规律，并依此规律,n ( n + 1)2(n € N +) ［由题图知第n 个图形的小正方形个数为1+ 2+ 3 +•••+ n .所以［跟踪训练］1(1)数列2， 12 12 3 3, 3, 4, 4, 4，1 2 m + 1，m + 1…，活，…的第20项是(535 A.- B- C~ 8 47如图6-4-1 (4)6依次类推，凸十三边形的对角线条数为() A. 42 B. 65C. 143D. 169nm(1) C (2) n (n € N +)(3) B [(1)数列 在数列中是第 1 + 2 + 3 + …+ m =17+ 1m ( rm i i)5 5项，当m = 5时，即三是数列中第15叽则第20项是y 故选C.2 6 7⑵ 第一个式子是n = 1的情况，此时a = 11= 1；第二个式子是 n = 2的情况，此时a =22= 4；第三个式子是 n = 3的情况，此时 a = 33 = 27,归纳可知a = n n .IW2Jfa i + a 2 +••:+ a n I(1)若数列｛a n ｝是等差数列，则数列｛b n ｝ b n= ----------------------- -」一性质可知，若正项数列｛6｝是等比数列，且｛d n ｝也是等比数列,凸多边形 4 5 6 7 8对角线条数22+ 32+ 3 + 42+ 3+ 4 + 52 +3 + 4+ 5+ 6•…(3)可以通过列表归纳分析得到. 所以凸13边形有2 + 3 + 4+-+ 11= 笃10= 65条对角线.故选 B.]也是等差数列，类比这则d n 的表达式应为(A. C l + C 2+，・・+C n d n =C.n nn nC l+ C 2+-+ Cnd n=------------------B.,C 1 • C 2 • d n =nCnD. d n = -C 2 .................. C n⑵ 在平面几何中，△ ABC 的/ C 的平分线 .J'A T J论类比到空间：在三棱锥 A -BCD 中 (如图 AB 相交于E ,则得到类比的结论是ZM/JAC AECE 分 AB 所成线段的比为茁匪把这个结6-4-2)，平面DEC 平分二面角 ACDB 且与AE S\ ACD⑴ D (2)EB =S BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为 d n =• C 2 .......... C n .•类比推理法二：若｛a n｝是等差数列，则a1 + a2+…+ a n = na1 + ~~2 d,（n — 1） d d•••b n = a i + （2丿 d =@n + a i — @ ,即｛b n ｝为等差数列；若｛G ｝是等比数列，则 n (n — 1)为等比数列，故选 D.AE S ^ACD⑵ 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得——.］EB BCD［规律方法］类比推理的常见情形与处理方法1常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比 和与积、乘与乘方，差与除，除与开方 I 数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等•2处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提 出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键［跟踪训练］给出下面类比推理（其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集）:① “若 a, b €R,则 a — b = 0? a = b ” 类比推出“若 a , c € C ,则 a — c = 0? a = c ”； ② “若 a , b ,c ,d € R,则复数 a + b i = c + d i ? a = c , b = d ” 类比推出“若 a , b ,c ,d € Q 贝U a + b 2 = c + d 2? a = c , b = d ”；③ “若 a , b €R ,贝U a — b >0? a >b ” 类比推出“若 a , b € C,贝U a — b >0? a >b ”； ④ “若 x € R,则 |x |<1? — 1<x <1 ” 类比推出“若 z € C,则 |z |<1 ? — 1<z <1”. 其中类比结论正确的个数为（ ）A. 1 B . 2C. 3D. 4n —1n 1 +2 +…+ ( n —1)C n = c i ・ q,•- d n =寸。
最新高考数学一轮复习分层训练归纳与类比北师大版
课时分层训练(三十四) 归纳与类比A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图643，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )图643A．12 B．48C．60 D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a ＝12×12＝144.]3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )【导学号：00090214】A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D 都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．] 4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图644他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A ．45 B ．55 C ．65D ．66B [第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B ．]5．如图645所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( ) 【导学号：00090215】图645A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)． 在“黄金双曲线”中， 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．所以b 2＝aC ．而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝aC ． 在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12.]最新高考数学一轮复习 分层训练二、填空题6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22[函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点A ，B ，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sinx 1＋x 22.]7．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为__________．1＋122＋132＋142＋152＋162<116 [左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1n ＋2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.]8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙 [如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．] 三、解答题小学+初中+高中9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.【导学号：00090216】[解] 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.10．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． [解] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，2分 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时， 均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.6分证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝x 1＋3＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为( )最新高考数学一轮复习 分层训练A ．42B ．65C ．143D ．169B [可以通过列表归纳分析得到．∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝2＝65条对角线．故选B ．]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法． 故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.] 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【导学号：00090217】[解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.5分(2)法一：三角恒等式为小学+初中+高中sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 12分法二：三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋－2α2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.12分。
2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题课时规范练34 归纳与类比 Word版含解析
课时规范练归纳与类比基础巩固组.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是°,归纳出所有三角形的内角和都是°;③某次考试张军成绩是分,由此推出全班同学成绩都是分;④三角形的内角和是°,四边形的内角和是°,五边形的内角和是°,由此得出边形的内角和是()·°..①②.①③.①②④.②④.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是().使用了归纳推理.使用了类比推理.使用了“三段论”,但推理形式错误.使用了“三段论”,但小前提错误.(北京市丰台一模,理)在一次猜奖游戏中四扇门里摆放了四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说号门里是号门里是;乙同学说号门里是号门里是;丙同学说号门里是号门里是;丁同学说号门里是号门里是.如果他们每人都猜对了一半,那么号门里是()〚导学号〛.①已知是三角形一边的长是该边上的高,则三角形的面积是,如果把扇形的弧长,半径分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为;②由,可得到…,则①②两个推理过程分别属于().类比推理、归纳推理.类比推理、演绎推理.归纳推理、类比推理.归纳推理、演绎推理.(河北石家庄质检)某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行车昨天限行,从今天算起两车连续四天都能上路行驶车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是().今天是周六.今天是周四车周三限行车周五限行.从开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为().下列推理是归纳推理的是()为定点,动点满足>,得的轨迹为椭圆.由,求出,猜想出数列的前项和的表达式.由圆的面积π,猜想出椭圆的面积π.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇。
2019版高考数学文一轮新题AB卷全国：课时分层作业 三
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课时分层作业三十七合情推理与演绎推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列结论正确的个数为( )(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.(3)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.(4)在平面内,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.A.0B.1C.2D.3【解析】选D.(1)不正确,(2)(3)(4)正确.2.(2018·武汉模拟)演绎推理“因为对数函数y=log a x(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=lo x是对数函数,所以y=lo x是增函数”所得结论错误的原因是( ) A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误【解析】选A.因为当a>1时,y=log a x在定义域内单调递增,当0<a<1时,y=log a x在定义域内单调递减,所以大前提错误.【变式备选】(2018·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班;丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( )A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日【解析】选C.1～12日期之和为78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26,甲在1日和3日都有值班,故甲余下的两天只能是10日和12日;而乙在8日和9日都有值班,8+9=17,所以11日只能是丙去值班了.余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天,显然,6日只能是丙去值班了.3.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i行,第j列的数记为a i,j,比如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=23,若a i,j=2 017,则i+j= ( )13 511 9 713 15 17 1929 27 25 23 21……A.64B.65C.71D.72【解析】选D.奇数数列a n=2n-1=2017⇒n=1 009,按照蛇形排列,第1行到第i行末共有1+2+…+i=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数;第1行到第45行末共有1 035个奇数;则2 017位于第45行;而第45行是从右到左依次递增,且共有45个奇数;故2 017位于第45行,从右到左第19列,则i=45,j=27⇒i+j=72.4.在平面几何中,有如下结论:正△ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P-ABC 的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则等于( )A. B. C. D.【解析】选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,所以体积之比为=.5.(2018·合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,a i ∈{0,1}(i=0,1,2),信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是 ( )A.11 010B.01 100C.10 111D.00 011【解析】选C.对于选项C,传输信息是10 111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是10 110.【变式备选】(2018·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b,c,d∈N*),则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令<π<,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( )A. B. C. D.【解析】选A.由题意:第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,第二次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值,即<π<,第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,第四次用“调日法”后得=是π的更为精确的过剩近似值,即<π<.二、填空题(每小题5分,共15分)6.观察如图,可推断出“x”处应该填的数字是________.【解析】由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,所以“x”处应填的数字是32+52+72+102=183.答案:1837.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0,{a n}的通项公式是________.【解析】a1=2,a2=2λ+λ2+(2-λ)〃2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)〃22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)〃23=3λ4+24.由此猜想出数列{a n}的通项公式为a n=(n-1)λn+2n.答案:a n=(n-1)λn+2n8. (2018·沈阳模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n级分形图.则n级分形图中共有________条线段.【解析】由题图知,一级分形图有3=3×2-3条线段,二级分形图有9=3×22-3条线段,三级分形图中有21=3×23-3条线段,按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n-3(n∈N*).答案:3×2n-3(n∈N*)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·广州模拟)已知点P n(a n,b n)满足a n+1=a n·b n+1,b n+1=(n ∈N*)且点P1的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点P n都在(1)中的直线l上. 【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.所以b2==,a2=a1〃b2=.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2x+y=1.(2)①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时,2a k+b k=1成立,则2a k+1+b k+1=2a k〃b k+1+b k+1=(2a k+1)===1,所以当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对n∈N*,都有2a n+b n=1,即点P n都在直线l上.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 【证明】因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,即A>-B,又因为y=sin x在上是增函数,所以sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,故sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.10.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D,求证:=+,那么在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.【解析】如图所示,由射影定理得AD2=BD〃DC,AB2=BD〃BC,AC2=BC〃DC,所以===.又BC2=AB2+AC2,所以==+.猜想,四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则=++.证明:如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.因为AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,AC⊂平面ACD,AD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因为AF⊂平面ACD,所以AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,所以=+.在Rt△ACD中,AF⊥CD,所以=+,所以=++.1.(5分)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在( )A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于0,是不正确的.2.(5分)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是 ( )【解析】选 A.依照该五角星连续呈现阴影的两个角按逆时针方向旋转的规律性知,下一个呈现出来的图形是A.【变式备选】如图所示是由长为1的小木棒拼成的图形,其中第n个图形由n个正方形组成:观察图形,根据第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数,得出第n个图形中,小木棒的根数为______.【解析】观察题干中图形可得,第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数分别为4,7,10,13,而4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,13=3×4+1,由归纳推理得,第n个图形中,小木棒的根数为3n+1. 答案:3n+13.(5分)(2018·合肥模拟)已知点A(x1,),B(x2,)是函数y=a x(a>1)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论>成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,sin x1), B(x2,sin x2)是函数y=sinx(x∈(0,π))的图象上的不同两点,则类似地有________成立.【解析】运用类比思想与数形结合思想,可知y=sin x(x∈(0,π))的图象是上凸的,因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y=sin x(x∈(0,π))图象上的点(,sin )的纵坐标,即<sin 成立.答案:<sin4.(12分)设f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.世纪金榜导学号37680576【解析】f(0)+f(1)=+=+=+=,同理可得f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明:f(x)+f(1-x)=+=+=+==.5.(13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)选择②式(也可选择其他式子),计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α〃cos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin α〃cos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α〃(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=.【一题多解】解答本题(2)还有如下解法:三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α〃cos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin α〃cos(30°-α)=+-sin α〃(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=-cos 2α++(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-sin αcos α-sin2α=-cos 2α++cos2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)=1-cos 2α-+cos2α=.关闭Word文档返回原板块。
高考数学一轮复习课时规范练34归纳与类比理北师大版
课时规范练34 归纳与类比基础巩固组1.(2019河北衡水枣强中学期中,7)下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①2.(2018安徽合肥一中冲刺,7)观察下图:123 43456745678910……则第()行的各数之和等于2 0172.A.2 010B.2 018C.1 005D.1 0093.(2018河北辛集中学月考,10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n},那么a10的值为()A.45B.55C.65D.664.(2018吉林梅河口五中期中,9)在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就座,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是()A.小方B.小张C.小周D.小马5.(2018黑龙江哈尔滨二模,9)对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n=()A.10B.11C.12D.136.(2018河南信阳一中模拟,9)若“*”表示一种运算,满足如下关系:(1)1*1=1;(2)(n+1)*1=3(n*1)(n∈N+),则n*1=()A.3n-2B.3n+1C.3nD.3n-17.(2018河北衡水中学五模,8)下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的个数是()①“数轴上两点间距离公式为|AB|=,平面上两点间距离公式为|AB|=”,类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|=”;②“代数运算中的完全平方公式(a+b)2=a2+2a·b+b2”类比推出“向量中的运算(a+b)2=a2+2a·b+b2仍成立”;③“平面内两条不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两条不重合的直线不平行就相交”也成立;④“圆x2+y2=1上点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=1”,类比推出“椭圆=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为=1”.A.1B.2C.3D.48.(2018福建三明一中期末,11)观察图形:…则第30个图形比第27个图形中的“☆”多()A.59颗B.60颗C.87颗D.89颗9.(2018河北衡水一模,14)已知自主招生考试中,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学,三人分别给出了以下说法:甲说:“我报考了清华大学,乙也报考了清华大学,丙报考了北京大学.”乙说:“我报考了清华大学,甲说得不完全对.”丙说:“我报考了北京大学,乙说得对.”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则报考了北京大学的是.10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R=.11.(2018中山模拟,14)在△ABC中,不等式成立;在凸四边形ABCD中,不等式成立;在凸五边形ABCDE 中,不等式成立…依此类推,在凸n边形A1A2…A n中,不等式+…+≥成立.12.(2018河北保定模拟,17)数列{a n}的前n项和记为S n,已知a1=1,a n+1=S n(n∈N+).证明:(1)数列是等比数列;(2)S n+1=4a n.综合提升组13.(2018河南中原名校五联,10)老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测:小明说:第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;小红说:第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里放的是黑桃A;小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;小李说:第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A;老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是() A.红桃A或黑桃A B.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A14.(2018湖南岳阳一模,9)将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,…,则第2 018层正方体的个数共有()A.2 018B.4 028C.2 037 171D.2 009 01015.如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是.创新应用组16.(2018河北衡水模拟,14)将给定的一个数列{a n}:a1,a2,a3,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将a1作为第一组,将a2,a3作为第二组,将a4,a5,a6作为第三组,…,依次类推,第n组有n个元素(n∈N+),即可得到以组为单位的序列:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第n个括号称为第n群,从而数列{a n}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群中,且从第m个括号的左端起是第k个,则称这个元素为第m群中的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,32),…,以此类推.设该数列前n项和N=a1+a2+…+a n,若使得N>14 900成立的最小a n位于第m群,则m=()A.11B.10C.9D.817. (2018黑龙江仿真模拟四,14)已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),双曲线的离心率为e,则有.参考答案课时规范练34 归纳与类比1.B根据“三段论”:“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知:①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.2.D由图形知,第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72,…,∴第n行个数之和为(2n-1)2,令(2n-1)2=2 0172⇒2n-1=2 017,解得n=1 009,故选D.3.B a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,故a10=1+2+3+4+…+10=55,故选B.4.A依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张,则4号位置上坐的是小方,故选A.5.B∵m2=1+3+5+…+11=×6=36,∴m=6,∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,∵n3的分解中最小的数是21,∴n3=53,n=5.∴m+n=6+5=11,故选B.6.D由题设:①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1=3((n-1)*1)=3×3((n-2)*1)=…=3n-1(1*1)=3n-1.故选D.7.C对于①,根据空间内两点间距离公式可知,类比正确;对于②,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+a·b+b·a+b2=a2+2a·b+b2,类比正确;对于③,在空间内不平行的两条直线,有相交和异面两种情况,类比错误;对于④,椭圆+=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为+=1,为真命题,综合上述,可知正确个数为3个,故选C.8.C设第n个图形“☆”的个数为a n,则a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,a n=1+2+…+n=,∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多的个数为:-=87.故选C.9.甲、丙若甲说得不对,则乙、丙说得对,即乙一定报考了清华大学,丙一定报考了北京大学,甲只可能报考了北京大学.若乙、丙说得不对,则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙.所以填甲、丙.10. 三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面的面积,内切圆半径类比内切球的半径,二维图形中的“2”类比三维图形中的“3”,得R=.11.(n∈N+,n≥3)∵++≥=,+++≥=,++++≥=,…,∴++…+≥(n∈N+,n≥3).12.证明 (1)∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n,∴(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.∴=2·,又=1≠0,(小前提)故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(2)由(1)可知=4·(n≥2),∴S n+1=4(n+1)·=4··S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)∴对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)13.A因为四个人都只猜对了一半,故有以下两种可能:(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A,则小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;(2)若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子只能是红桃A,故选A.14.C设第n层正方体的个数为a n,则a1=1,a n-a n-1=n,所以a n-a1=2+3+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,n≥2,故a2 018=1 009×2 019=2 037 171,故选C.15.2π2r2d 平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知:平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径、圆的周长2πd 为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.16.B由题意得到该数列的前r组共有1+2+3+4…+r=个元素,其和为S=1+(1+3)+(1+3+32)+…+(1+3+32+…+3r-1)=,则r=9时,S(45)==14 757,r=10,S(55)=44 281>14 900,故使得N>14 900成立的最小值a位于第10群.故答案为B.点睛这个题目考查的是新定义题型,属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目,可以先找一些特殊情况,总结一下规律,再进行推广,得到递推关系,或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.17.= 将该命题类比到双曲线中,因为△ABC的顶点B在双曲线-=1(a>0,b>0)上,顶点A、C分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA|-|BC|=2a,所以==,由正弦定理可得==,所以=,故答案为=.。
高考数学高考必会题型专题三函数与导数第37练归纳与类比推理
第37练 归纳与类比推理题型一 利用归纳推理求解相关问题例1 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴…，则第2 014个图形用的火柴根数为________．破题切入点 观察图形的规律，写成代数式归纳可得． 答案 3 021×2 015解析 由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1； 第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)； 第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)； ……由此，可以推出，第n 个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)． 所以第2 014个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2 014) ＝3×2 014×(1＋2 014)2＝3 021×2 015. 题型二 利用类比推理求解相关问题例2 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积别离为S1，S2，S3，截面面积为S ，类比平面中的结论有________．破题切入点 由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比． 答案 S2＝S21＋S22＋S23解析 成立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质．所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S21＋S22＋S23. 总结提高 (1)归纳推理的三个特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所取得的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围；②由归纳推理取得的结论具有猜想的性质，结论是不是准确，还需要通过逻辑推理和实践查验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理取得的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮忙发现问题和提出问题． (2)类比推理的一般步骤①定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③查验，即查验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推应当中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．1．已知x>0，观察不等式x ＋1x ≥2x·1x ＝2，x ＋4x2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N*)，则a 的值为________． 答案 nn解析 按照已知，续写一个不等式：x ＋33x3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x3≥44x 3·x 3·x 3·33x3＝4，由此可得a ＝nn.2．在平面内点O 是直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝1；类似地，若是点O 是空间内任一点，点A ，B ，C ，D 中任意三点均不共线，而且这四点在同一平面内，若DO →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 －1解析 在平面内，由三角形法则，得AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →. 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数t ，使AB →＝tBC →， 即OB →－OA →＝t(OC →－OB →)， 所以OC →＝－1t OA →＋(1t ＋1)OB →. 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以λ＝－1t ，μ＝1t ＋1， 所以λ＋μ＝1.类似地，在空间内可得OD →＝λOA →＋μOB →＋ηOC →，λ＋μ＋η＝1. 因为DO →＝－OD →，所以x ＋y ＋z ＝－1.3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 014的末四位数字为________． 答案 5625解析 由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T ＝4.又由于2 014＝503×4＋2，因此52 014的末四位数字是5625.4．观察下列各式：a ＋b ＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________. 答案 123解析 记an ＋bn ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11； f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123，即a10＋b10＝123.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推行到空间正四面体，类似的结论是________．答案 正四面体的内切球的半径是其高的14解析 设正四面体的每一个面的面积是S ，高是h ，内切球半径为R ， 由体积分割可得：13SR×4＝13Sh ， 所以R ＝14h.6．观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)解析 由已知的三个等式左侧的转变规律，得第n 个等式左侧为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)，由已知的三个等式右边的转变规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n －1)． 7．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各类多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n2＋12n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k≥3)，以下列出了部份k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n,3)＝12n2＋12n ， 正方形数 N(n,4)＝n2， 五边形数 N(n,5)＝32n2－12n ， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n ………………………………………可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________________________________________________________________________. 答案 1 000解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N(n ，k)＝k －22n2＋4－k2n ， ∴N(10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.8．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋sin(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________．答案 sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝0解析 由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．9．(2013·陕西)观察下列等式 12＝1，12－22＝－3， 12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左侧的式子，每次增加一项，故第n 个等式左侧有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左侧的通项为(－1)n ＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值别离为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an －an －1＝n ，各式相加得an －a1＝2＋3＋4＋…＋n ，即an ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.10．如图1是一个边长为1的正三角形，别离连结这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再别离连结图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推．设第n 个图中原三角形被剖分成an 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a100＝________.答案 18 298解析 由三角形的生成规律得，后面的每一个图形中小三角形的边长均等于前一个图形中小三角形边长的12，即最小三角形的边长是以1为首项，12为公比的等比数列，则第4个图中最小三角形的边长等于1×123＝18，由a2－a1＝a3－a2＝…＝an －an －1＝3可得，数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，则a100＝a1＋99×3＝1＋297＝298. 11．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________． 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子组成等差数列． ∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 12．(2014·陕西)多面体 面数(F)顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所知足的等式是____________． 答案 F ＋V －E ＝2解析 观察F ，V ，E 的转变得F ＋V －E ＝2.。
高考数学(北师大版)· 一轮精品课时(基础+提升)训练第
第十篇推理证明、算法、复数第1讲归纳与类比基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()．A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．答案 C2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()．A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案 D3．(2012·江西卷)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()．A．28 B．76C．123 D．199解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C4．(2014·西安模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝a x－a－x，C(x)＝a x＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是()．①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )． A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．综上所述，选B. 答案 B5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①②正确；③④⑤⑥错误． 答案 B 二、填空题6．(2014·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：________.解析 各等式的左边是第n 个自然数到第3n －2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 7．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________．答案数列{nT n}为等比数列，且通项为nT n＝b1(q)n－18．给出下列等式：2＝2cos π4，2＋2＝2cosπ8，2＋2＋2＝2cosπ16，请从中归纳出第n个等式：2＋…＋2＋2＝________.答案2cosπ2n＋1三、解答题9．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．10．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3 3.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3(3＋3x)＝3＋3x3(3＋3x)＝33.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2012·江西卷)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()．A．76 B．80]C．86 D．92解析由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()．A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n}，则a1＝1，a 2＝a 1＋2， a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C 二、填空题3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析 (1)四边形DEFG 是一个直角梯形，观察图形可知：S ＝(2＋22)×2×12＝3，N ＝1，L ＝6.(2)由(1)知，S 四边形DEFG ＝a ＋6b ＋c ＝3. S △ABC ＝4b ＋c ＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S ＝4，N ＝1，L ＝8.则S ＝a ＋8b ＋c ＝4.联立解得a ＝1，b ＝12.c ＝ －1. ∴S ＝N ＋12L －1，∴若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝71＋12×18－1＝79.答案 (1)3,1,6 (2)79 三、解答题4．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。
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课时规范练34 归纳与类比基础巩固组1.(2018河北衡水枣强中学期中,7)下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①2.(2018安徽合肥一中冲刺,7)观察下图123 43456745678910……则第()行的各数之和等于2 0172.A.2 010B.2 018C.1 005D.1 0093.(2018河北辛集中学月考,10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数,例如他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n},那么a10的值为()A.45B.55C.65D.664.(2018吉林梅河口五中期中,9)在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就座,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6人的体A.小方B.小张C.小周D.小马5.(2018黑龙江哈尔滨二模,9)对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n=()A.10B.11C.12D.136.(2018河南信阳一中模拟,9)若“*”表示一种运算,满足如下关系(1)1*1=1;(2)(n+1)*1=3(n*1)(n∈N+),则n*1=()A.3n-2B.3n+1C.3nD.3n-17.(2018河北衡水中学五模,8)下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的个数是()①“数轴上两点间距离公式为|AB|=,平面上两点间距离公式为|AB|=”,类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|=”;②“代数运算中的完全平方公式(a+b)2=a2+2a·b+b2”类比推出“向量中的运算(a+b)2=a2+2a·b+b2仍成立”;③“平面内两条不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两条不重合的直线不平行就相交”也成立;④“圆x2+y2=1上点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=1”,类比推出“椭圆=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为=1”.A.1B.2C.3D.48.(2018福建三明一中期末,11)观察图形…则第30个图形比第27个图形中的“☆”多()A.59颗B.60颗C.87颗D.89颗9.(2018河北衡水一模,14)已知自主招生考试中,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学,三人分别给出了以下说法甲说“我报考了清华大学,乙也报考了清华大学,丙报考了北京大学.”乙说“我报考了清华大学,甲说得不完全对.”丙说“我报考了北京大学,乙说得对.”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则报考了北京大学的是.10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R= .11.(2018中山模拟,14)在△ABC中,不等式成立;在凸四边形ABCD中,不等式成立;在凸五边形ABCDE 中,不等式成立…依此类推,在凸n边形A1A2…A n中,不等式+…+≥成立.12.(2018河北保定模拟,17)数列{a n}的前n项和记为S n,已知a1=1,a n+1=S n(n∈N+).证明(1)数列是等比数列;(2)S n+1=4a n.综合提升组13.(2018河南中原名校五联,10)老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测小明说第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;小红说第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里放的是黑桃A;小张说第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;小李说第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A;老师说“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是() A.红桃A或黑桃A B.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A14.(2018湖南岳阳一模,9)将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,…,则第2 018层正方体的个数共有()A.2 018B.4 028C.2 037 171D.2 009 01015.如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是.创新应用组16.(2018河北衡水模拟,14)将给定的一个数列{a n}a1,a2,a3,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将a1作为第一组,将a2,a3作为第二组,将a4,a5,a6作为第三组,…,依次类推,第n组有n个元素(n∈N+),即可得到以组为单位的序列(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第n个括号称为第n群,从而数列{a n}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群中,且从第m个括号的左端起是第k个,则称这个元素为第m 群中的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,32),…,以此类推.设该数列前n项和N=a1+a2+…+a n,若使得N>14 900成立的最小a n位于第m群,则m=()A.11B.10C.9D.817. (2018黑龙江仿真模拟四,14)已知命题在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),双曲线的离心率为e,则有.参考答案课时规范练34 归纳与类比1.B根据“三段论”“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.2.D由图形知,第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72,…,∴第n行个数之和为(2n-1)2,令(2n-1)2=2 0172⇒2n-1=2 017,解得n=1 009,故选D.3.B a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,故a10=1+2+3+4+…+10=55,故选B.4.A依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张,则4号位置上坐的是小方,故选A.5.B∵m2=1+3+5+…+11=×6=36,∴m=6,∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,∵n3的分解中最小的数是21,∴n3=53,n=5.∴m+n=6+5=11,故选B.6.D由题设①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1=3((n-1)*1)=3×3((n-2)*1)=…=3n-1(1*1)=3n-1.故选D.7.C对于①,根据空间内两点间距离公式可知,类比正确;对于②,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+a·b+b·a+b2=a2+2a·b+b2,类比正确;对于③,在空间内不平行的两条直线,有相交和异面两种情况,类比错误;对于④,椭圆+=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为+=1,为真命题,综合上述,可知正确个数为3个,故选C.8.C设第n个图形“☆”的个数为a n,则a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,a n=1+2+…+n=,∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多的个数为-=87.故选C.9.甲、丙若甲说得不对,则乙、丙说得对,即乙一定报考了清华大学,丙一定报考了北京大学,甲只可能报考了北京大学.若乙、丙说得不对,则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙.所以填甲、丙.10. 三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面的面积,内切圆半径类比内切球的半径,二维图形中的“2”类比三维图形中的“3”,得R=.11.(n∈N+,n≥3)∵++≥=,+++≥=,++++≥=,…,∴++…+≥(n∈N+,n≥3).12.证明 (1)∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n,∴(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.∴=2·,又=1≠0,(小前提)故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(2)由(1)可知=4·(n≥2),∴S n+1=4(n+1)·=4··S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)∴对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)13.A因为四个人都只猜对了一半,故有以下两种可能(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A,则小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;(2)若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子只能是红桃A,故选A.14.C设第n层正方体的个数为a n,则a1=1,a n-a n-1=n,所以a n-a1=2+3+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,n≥2,故a2 018=1 009×2 019=2 037 171,故选C.15.2π2r2d 平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径、圆的周长2πd为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.16.B由题意得到该数列的前r组共有1+2+3+4…+r=个元素,其和为S=1+(1+3)+(1+3+32)+…+(1+3+32+…+3r-1)=,则r=9时,S(45)==14 757,r=10,S(55)=44 281>14 900,故使得N>14 900成立的最小值a位于第10群.故答案为B.点睛这个题目考查的是新定义题型,属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目,可以先找一些特殊情况,总结一下规律,再进行推广,得到递推关系,或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.17.= 将该命题类比到双曲线中,因为△ABC的顶点B在双曲线-=1(a>0,b>0)上,顶点A、C分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA|-|BC|=2a,所以==,由正弦定理可得==,所以=,故答案为=.。
最新高考数学一轮复习课时规范练归纳与类比理北师大版
课时规范练34 归纳与类比基础巩固组1.(2018河北衡水枣强中学期中,7)下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①2.(2018安徽合肥一中冲刺,7)观察下图:123 43456745678910……则第()行的各数之和等于2 0172.A.2 010B.2 018C.1 005D.1 0093.(2018河北辛集中学月考,10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n},那么a10的值为()A.45B.55C.65D.664.(2018吉林梅河口五中期中,9)在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就座,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6()A.小方B.小张C.小周D.小马5.(2018黑龙江哈尔滨二模,9)对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n=()A.10B.11C.12D.136.(2018河南信阳一中模拟,9)若“*”表示一种运算,满足如下关系:(1)1*1=1;(2)(n+1)*1=3(n*1)(n∈N+),则n*1=()A.3n-2B.3n+1C.3nD.3n-17.(2018河北衡水中学五模,8)下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的个数是()①“数轴上两点间距离公式为|AB|=,平面上两点间距离公式为|AB|=”,类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|=”;②“代数运算中的完全平方公式(a+b)2=a2+2a·b+b2”类比推出“向量中的运算(a+b)2=a2+2a·b+b2仍成立”;③“平面内两条不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两条不重合的直线不平行就相交”也成立;④“圆x2+y2=1上点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=1”,类比推出“椭圆=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为=1”.A.1B.2C.3D.48.(2018福建三明一中期末,11)观察图形:…则第30个图形比第27个图形中的“☆”多()A.59颗B.60颗C.87颗D.89颗9.(2018河北衡水一模,14)已知自主招生考试中,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学,三人分别给出了以下说法:甲说:“我报考了清华大学,乙也报考了清华大学,丙报考了北京大学.”乙说:“我报考了清华大学,甲说得不完全对.”丙说:“我报考了北京大学,乙说得对.”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则报考了北京大学的是.10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R= .11.(2018中山模拟,14)在△ABC中,不等式成立;在凸四边形ABCD中,不等式成立;在凸五边形ABCDE中,不等式成立…依此类推,在凸n边形A1A2…A n中,不等式+…+≥成立.12.(2018河北保定模拟,17)数列{a n}的前n项和记为S n,已知a1=1,a n+1=S n(n∈N+).证明:(1)数列是等比数列;(2)S n+1=4a n.综合提升组13.(2018河南中原名校五联,10)老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测:小明说:第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;小红说:第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里放的是黑桃A;小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;小李说:第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A;老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是()A.红桃A或黑桃AB.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A14.(2018湖南岳阳一模,9)将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,…,则第2 018层正方体的个数共有()A.2 018B.4 028C.2 037 171D.2 009 01015.如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是.创新应用组16.(2018河北衡水模拟,14)将给定的一个数列{a n}:a1,a2,a3,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将a1作为第一组,将a2,a3作为第二组,将a4,a5,a6作为第三组,…,依次类推,第n组有n个元素(n∈N+),即可得到以组为单位的序列:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第n个括号称为第n群,从而数列{a n}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群中,且从第m个括号的左端起是第k个,则称这个元素为第m群中的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,32),…,以此类推.设该数列前n项和N=a1+a2+…+a n,若使得N>14 900成立的最小a n位于第m群,则m=()A.11B.10C.9D.817. (2018黑龙江仿真模拟四,14)已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),双曲线的离心率为e,则有.参考答案课时规范练34 归纳与类比1.B根据“三段论”:“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知:①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.2.D由图形知,第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72,…,∴第n行个数之和为(2n-1)2,令(2n-1)2=2 0172⇒2n-1=2 017,解得n=1 009,故选D.3.B a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,故a10=1+2+3+4+…+10=55,故选B.4.A依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张,则4号位置上坐的是小方,故选A.5.B∵m2=1+3+5+…+11=×6=36,∴m=6,∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,∵n3的分解中最小的数是21,∴n3=53,n=5.∴m+n=6+5=11,故选B.6.D由题设:①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1=3((n-1)*1)=3×3((n-2)*1)=…=3n-1(1*1)=3n-1.故选D.7.C对于①,根据空间内两点间距离公式可知,类比正确;对于②,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+a·b+b·a+b2=a2+2a·b+b2,类比正确;对于③,在空间内不平行的两条直线,有相交和异面两种情况,类比错误;对于④,椭圆+=1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为+=1,为真命题,综合上述,可知正确个数为3个,故选C.8.C设第n个图形“☆”的个数为a n,则a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,a n=1+2+…+n=,∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多的个数为:-=87.故选C.9.甲、丙若甲说得不对,则乙、丙说得对,即乙一定报考了清华大学,丙一定报考了北京大学,甲只可能报考了北京大学.若乙、丙说得不对,则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙.所以填甲、丙.10. 三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面的面积,内切圆半径类比内切球的半径,二维图形中的“2”类比三维图形中的“3”,得R=.11.(n∈N+,n≥3)∵++≥=,+++≥=,++++≥=,…,∴++…+≥(n∈N+,n≥3).12.证明 (1)∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n,∴(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.∴=2·,又=1≠0,(小前提)故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(2)由(1)可知=4·(n≥2),∴S n+1=4(n+1)·=4··S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)∴对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)13.A因为四个人都只猜对了一半,故有以下两种可能:(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,第3个盒子里面放的不是方片A,则小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;(2)若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子只能是红桃A,故选A.14.C设第n层正方体的个数为a n,则a1=1,a n-a n-1=n,所以a n-a1=2+3+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,n≥2,故a2 018=1 009×2 019=2 037 171,故选C.15.2π2r2d 平面区域M的面积为πr2,由类比知识可知:平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以O为圆心、d为半径、圆的周长2πd为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.16.B由题意得到该数列的前r组共有1+2+3+4…+r=个元素,其和为S=1+(1+3)+(1+3+32)+…+(1+3+32+…+3r-1)=,则r=9时,S(45)==14 757,r=10,S(55)=44 281>14 900,故使得N>14 900成立的最小值a位于第10群.故答案为B.点睛这个题目考查的是新定义题型,属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目,可以先找一些特殊情况,总结一下规律,再进行推广,得到递推关系,或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.17.= 将该命题类比到双曲线中,因为△ABC的顶点B在双曲线-=1(a>0,b>0)上,顶点A、C分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA|-|BC|=2a,所以==,由正弦定理可得==,所以=,故答案为=.。
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课时分层训练(三十七) 归纳与类比A组基础达标一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图643，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )图643A．12B．48C．60D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a ＝12×12＝144.]3．(2017·陕西渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如(如图644)：图644他们研究过图中的3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a9的值为( )【导学号：79140206】A．45 B．55C．65 D．66B [第1个图中，小石子有3＝1＋2个， 第2个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第3个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， …故第9个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 9＝55，故选B.]4．如图645所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图645A.5＋12B ．5－12C.5－1 D ．5＋1A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)． 在“黄金双曲线”中， 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12.] 5．(2018·南昌一模)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有( ) A ．28钱B ．32钱C ．56钱D ．70钱B[设甲、乙、丙手上各有钱x ，y ，z ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z2＝90，y ＋x ＋z2＝70，z ＋x ＋y 2＝56，三式相加得x ＋y ＋z ＝108，则y ＋108－y2＝70，解得y ＝32，故选B.]二、填空题6．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．x 0x a 2－y 0y b 2＝1 [类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.] 7．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …照此规律，第n 个等式为________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [由前4个等式可知，第n 个等式的左边第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.]8．(2018·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书.【导学号：79140207】丙 [因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．] 三、解答题9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时， 均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.10．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．[解] 在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝1. 证明：在四面体O BCD 与A BCD 中， OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h113S △BCD ·h ＝V O BCDV A BCD. 同理有OF DF ＝V O ABC V D ABC ；OG BG ＝V O ACD V B ACD ；OH CH ＝V O ABDV C ABD. 所以OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O BCD ＋V O ABC ＋V O ACD ＋V O ABD V A BCD＝V A BCD V A BCD＝1. B 组 能力提升11．给出以下数对序列：(1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； …记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( ) A ．(m ，n －m ＋1) B ．(m －1，n －m ) C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )A [由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，所以a nm ＝(m ，12．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.] 13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－si n13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【导学号：79140208】[解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－1＝3.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－3sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。