湖南省2020届高三数学六校联考试题 文(无答案)湘教版
湖南省六校2020届高三年级下学期4月联考文科数学试题
姓 名准考证号湖南省2020届高三六校联考试题数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合}1{A =，2，3，4，}5{14B =，，，C A B =I ，则C 的子集共有（ ）A.2个B.3个C.8个D.4个2.设复数z 满足246z z i -=+（z 是z 的共轭复数，i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.下面四个条件中，使m>n 成立的充分而不必要的条件是（ ）A.33m n >B.2m n >+C.22m n > D.2m n >-4.设3log 2a =，9log 3b =，2log 3c =，则（ ）A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a5.双曲线()222x ny n n R -=∈的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A.2B.1C.2D.与n 的值有关6.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容 积为（ ）A.3.4升B.2.4升C.2.3升D.3.6升7.函数2sin y x x π=-的大致图象是（ ）8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.53π+ B.23π+ C.43π D.43π+9.已知实数x ，y 满足约束条件2000x y x y x t +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，若2z x y =-的最大值为8，则z 的最小值为。
2020届湖南省六校高三下学期4月联考数学(文)试卷及解析
2020届湖南省六校高三下学期4月联考数学（文）试卷★祝考试顺利★（解析版）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟,满分150分.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 作答选择题,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净,再选涂其他答案标号.作答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束时,监考员将题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =,{}1,4,5B =,C A B =,则C 的子集共有（ ）A. 2个B. 3个C. 8个D. 4个 【答案】D【解析】首先求出集合C ,再求C 的子集个数即可.【详解】{1,4}C A B ==,C 的子集有{}1,{}4,{}1,4,∅,共4个.故选：D2.设复数z 满足246z z i -=+（z 是z共轭复数,i 是虚数单位）,则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】C【解析】首先设z a bi =+,根据246z z i -=+,求出42z i =-+,再求复数z 在复平面内所对应的点位于的象限即可.【详解】设z a bi =+,则22()346z z a bi a bi a bi i -=+--=-+=+.解得：4a =-,2b =.所以42z i =-+,在复平面内所对应的点(4,2)-位于第二象限.故答案为：C3.下面四个条件中,使m n >成立的充分而不必要的条件是（ ）A. 33m n >B. 2m n >+C. 22m n >D. 2m n >- 【答案】B【解析】选项A 是充要条件,故排除,选项C,D 都不能推出m n >,故排除,选项B 能推出m n >,但m n >不能推出选项B,即可得到答案.【详解】选项A,33m n m n >⇒>,33m n m n >⇒>,所以33m n >是m n >的充要条件,故排除A.选项C,22m n m n >⇒>/,故排除C.选项D,2m n m n >-⇒>/,故排除D.选项B,2m n m n >+⇒>,2m n m n >⇒>+/,所以2m n >-是m n >的充分不必要条件.故选：B4.设3log 2a =,9log 3b =,2log 3c =,则（ ）A. a c b >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】C【解析】根据与中间量的比较可得01a <<,1c >,根据对数的单调性可知b a <,即可得到答案.【详解】因为333log 1log 2log 3<<,所以01a <<.因为93331log 3log 3log log 22b ===<,所以b a <.。
湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考(一)数学试题(wd无答案)
湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考(一)数学试题一、单选题(★) 1. 已知全集，集合，则为（）A．B．C．D．(★) 2. 下列选项中正确的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则(★★★) 3. 已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A．2B．4C．16D．8(★★★) 4. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“ ”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（）．A．10个B．15个C．16个D．18个(★★★) 5. 的三内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足，则的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(★) 6. 设常数.若的二项展开式中项的系数为－15，则（）A．－2B．2C．3D．－3(★★★) 7. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．(★★★★)8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A．B．3C．6D．二、多选题(★★) 9. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数，则．B．复数满足，在复平面内对应的点为，则．C．若复数，满足，则．D．复数的虚部是3．(★★) 10. 下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大(★★★)11. 已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（）．A．该四棱台的高为B．C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为(★★★★) 12. 已知函数，以下结论正确的是（）A．在区间上是增函数B．C．若函数在上有6个零点，则D．若方程恰有3个实根，则三、填空题(★★★) 13. 已知，，，则向量与的夹角是____(★★) 14. 已知随机变量，若，则______.(★★★) 15. 如图，直四棱柱，底面是边长为的菱形，，，则直线与成角的余弦值为_____．四、双空题(★★★) 16. 已知函数，则的最大值为________，若在区间上是增函数，则的取值范围是________.五、解答题(★★★) 17. 已知函数，（，，）的最小正周期为. （1）从① ；② ；③ ，都有这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数的解析式；（2）求（1）中所求得的函数在区间上的最大值和最小值.(★★★) 18. 已知是数列的前 n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．(★★★) 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，为侧棱上一点，且，，，.（1）证明：平面. （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.(★★★★) 20. 已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数 t的最大值.(★★★) 21. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.求椭圆的方程；直线：与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程.(★★★) 22. 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了 A餐、 B餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时 A、 B两种餐盒的配餐比例为3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，（1）求抽取的5个餐盒中有三个 B餐的概率；（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑 B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个 B餐盒查看.如果抽出一个是 A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是 B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中 A、 B餐盒的比例.若抽样结束时抽到的 A餐盒数以随机变量 X表示，求 X的分布列与数学期望.。
湖南省六校联盟高三数学上学期12月联考试题文
六校联盟高三年级联考试卷文科数学试题时量：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数Z 满足1Z i i ⋅=+，则Z 的共轭复数Z 的虚部是 （ ） A ．1 B ．i - C ． i D ．1- 2．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}220B x x x =-<，则AB =( )A ．{}1x x > B. {}0x x > C. {}02x x << D. {}12x x << 3．已知向量()()1,2,,2a b x ==-，若a b +与a b -平行，则实数x 的值是（ ） A ．4 B ．1 C ．1- D ．4-4．设,a b R ∈，则“20a a b<-”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()1xf x xe x =--的零点的个数为（ ） A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列{}n a 为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝ 5a n ＋1，则数列{}n a 的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12 D ．-27．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则3cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为（ ） A ．118 B ．118- C ．1718 D ．1718- 8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．29．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。
特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
湖南省六校联考2020届高考数学模拟试卷2(4月份) (含答案解析)
湖南省六校联考2020届高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x −1}，B ={x|−1<x <2}，则A ∪B =( )A. (1,2)B. [1,2)C. (−1,+∞)D. [−1,+∞)2. 已知复数z =1+ai i(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (−∞,0) 3. 已知p:x 2−x −6>0，q:4x +m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围( )A. (4,+∞)B. [8,+∞)C. (−∞,6]D. (−∞,6)4. 已知a =ln 34，b =5lg3，c =3−12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. b <c <a5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤6. 函数f(x)=e |x|3x 2+1+1的图象大致为 ( )A.B.C.D.7. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9B. 8C. 7D. 108. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，其棱长为2，P 为该正方体内随机一点，则满足|PA|≤1的概率是( )A. π48B. π24 C. π12 D. 189.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A. 12B. 56C. 76D. 71210.已知函数f(x)=√3sinωx−cosωx(ω>0)，且对于任意的x∈R，有f(x+π2)=f(x−π2)，设ω的最小值为ω0，记g(x)=|cos(ω0x+π6)|，则下列区间为函数g(x)的一个递减区间的是()A. B. C. D.11.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)+9e x，f(3)=27e3，则不等式f(x)9>xe x的解集是()A. (3,+∞)B. (−∞,3)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)12.已知某四棱锥的三视图如图所示(网格小正方形边长为1)，则该四棱锥的表面积为()A. √5+7B. 3√5+7C. 7+2√5D. 3√5+4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2−x)(1+2x)5的展开式中，x2的系数为________．14.已知数列{a n}的首项a1=2，且a n+1=12a n+12(n∈N∗)，则数列{1a n−1}的前10项的和为__________．15.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．16.点P是抛物线y2=x上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则|PQ|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，(Ⅰ)若sin(B+C)−√3cosA=0，求角A的大小；(Ⅱ)若A=π3，a=√3，b=2，求三角形ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱CC1⊥底面ABC，且CC1=2AC=2BC=4，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．(1)当M是棱CC1的中点时，求证：CD//平面MAB1；(2)当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为32时，求二面角A−MB1−C1的余弦值．19. 已知圆M:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线l:x −√3y +4=0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于B ，且动点N 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设动点N 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 1与曲线C 交于不同两点P,Q ，点P,Q 在直线x =4上的射影依次为D,E ，求证：直线PE 与直线QD 相交于一个定点，并求出这个定点．20. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=i ni=1i −nx·y ∑x 2n −nx2，a ̂=y −b ̂x ．21. 已知函数f(x)=xln x ．(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f(x)≥ax −1，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的方程f(x)=b 恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=|x +a|+2|x −1|(a >0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)−5<0的解集为(m,n)，且n −m =43，求a 的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x≥1}，B={x|−1<x<2}；∴A∪B=(−1,+∞)．故选：C．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及并集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数的基本运算和复数的几何意义，属于基础题．解：由z=a−i，又∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，有a>0．∴实数a的取值范围为(0,+∞)故选A．3.答案：B解析：本题考查充分必要条件的判定，考查数学转化思想方法，属于基础题．分别求出p和q的解集，由p是q的必要不充分条件列不等式即可得到答案．解：p：x2−x−6>0，对应的解集为A=(−∞,−2)∪(3,+∞)，)，q：4x+m<0的解集为B=(−∞,−m4由p是q的必要不充分条件，q能推出p，而p不能推出q，则B⫋A，≤−2，解得m≥8，∴−m4∴m的取值范围是[8,+∞),故选B．4.答案：B解析：a =ln 34<ln1=0，b =5lg3>50=1，0<3−12<30=1，∴a <c <b ，故选：B ．5.答案：B解析：本题考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．由题意可知，数列为等差数列，以第8个儿子为首项，公差为d =−17，n =8，S 8=996，即可求出答案．解：由题意可知，数列为等差数列，以第8个儿子为首项， 公差为d =−17，n =8，S 8=996， ∴8a 1+8×(8−1)2×(−17)=996，解得a 1=184， 故选B ．6.答案：D解析：本题考查了函数的奇偶性和函数图象的作法，善用排除法，是基础题． 函数f(x)为偶函数，故排除A ；又f(1)=e 4+1>32，故排除B ，C ． 解：因为f(−x)=e |−x|3(−x)2+1+1=e |x|3x 2+1+1=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除A ； 又f(1)=e4+1>32，故排除B ，C ． 故选D ．7.答案：A解析：解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9． 故选：A ．直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．8.答案：A解析：本题考查与体积有关的几何概型，属于一般题． 解：由题意，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，其棱长为2， 则正方体的体积为8，P为该正方体内随机一点，且满足|PA|≤1，则P点在以A为球心，1为半径的球内，又P为该正方体内随机一点，则满足条件的P点所占的体积为，所以由几何概型计算公式可知，满足|PA|≤1的概率为π48，故选A．9.答案：B解析：解：执行循环前：k=1，s=1，在执行第一次循环时，s=1−12=12，由于k=2<3，所以执行下一次循环，s=12+13=56，k=3，直接输出s=56，故选：B．根据题意，即可得解．本题考查程序框图和循环结构，属于基础题．10.答案：A解析：本题主要考查=Asin(ωx+φ)的图像与性质，考查了两角和与差公式，属于中档题．将原函数化简为f(x)=2sin(ωx−π3)，根据已知条件得到π为f(x)的一个周期，故|2πω|≤π，得ω≥2，所以ω0=2，所以g(x)=|cos(2x+π6)|，然后根据函数图像的对称性，即可得出函数g(x)的递减区间．解：f(x)=√3sinωx−cosωx=2sin(ωx−π3)，由f(x+π2)=f(x−π2)得f(x+π)=f(x)，∴π为f(x)的一个周期，∴|2πω|≤π，得|ω|≥2，∵ω>0，∴ω≥2，∴ω0=2，∴g(x)=|cos(2x+π6)|，其图象是将函数g(x)=cos(2x+π6)的图象在x轴下方的部分作关于x轴对称得到，∴令kπ<2x+π6<kπ+π2,k∈Z，∴kπ2−π12<x<kπ2+π6,k∈Z，。
2020年湖南省六校联考数学试卷(4月份)答案解析
2020年湖南省六校联考数学试卷（4月）答案解析一、选择题1．已知集合A＝{y|y＝2x﹣1}，，则A∪B＝（）A．（0，4）B．∅C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，∴A∪B＝（﹣2，+∞）．故选：C．2．若复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：因为复数z满足；∴z•i＝（1+i）（2i+1）＝1+2i2+3i＝﹣1+3i；∴z＝＝＝﹣（﹣i+3i2）＝3+i；在复平面内复数z对应的点为（3，1）在第一象限；故选：D．3．已知条件p：k＝1，条件q：直线y＝kx+1与圆相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线y＝kx+1与圆相切，则圆心到直线的距离d＝＝＝，得k2+1＝2，得k2＝1，得k＝±1，即q：k＝±1，则p是q的充分不必要条件，故选：A．4．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：在同一直角坐标系中画出各个函数的图象；①为y＝，②为y＝log3x，③为y＝x；④为y＝x3；故可得ABC的横坐标分别为c，b，a；故c＜b＜a；故选：B．5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝（）A．17B．29C．23D．35【解答】解：由题意可知，数列{a n}是以﹣3为公差的等差数列，因为S9＝9a1+＝207，解可得，a1＝35，则a3＝29，故选：B．6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；又，故排除BC；故选：D．7．已知非等向量与满足，且，则△ABC为（）A．等腰非等边三角形B．直角三角形C．等边三角形D．三边均不相等的三角形【解答】解：已知非等向量与满足，利用平行四边形法则：所以取BC的中点D，整理得，所以AD⊥BC，由于，所以：在Rt△ABD中，，整理得得到：．由于AD为△ABC的中垂线，所以．进一步整理得△ABC为等腰三角形．故选：A．8．在正方体内随机放入n个点，恰有m个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设正方体棱长为2，根据题意，棱长为2的正方体，其体积为8，而其内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为1，则这一点在球内的概率为：＝＝；由题可得：＝⇒π＝；故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输出的数S＝3，那么判断框内可以填写的是（）A．k≥6？B．k≤6？C．k≥7？D．k≤7？【解答】解：因为k＝1时，m＝2；k＝2时，m＝；k＝3时，m＝﹣1；k＝4时，m＝2；三项一个循环，所以S＝3＝2（）是前六项的和．这是一个直到型循环，故填k≥7？故选：C．10．已知函数f（x）＝cos x•|sin x|，给出下列四个说法：①，②函数f（x）的一个周期为2π；③f（x）在区间上单调递减；④f（x）的图象关于点（π，0）中心对称．其中正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．②③【解答】解：f（）＝f（﹣）＝cos（）•|sin（）|＝，①错，A错，f（π）＝cosπ•|sinπ|＝0，所以f（x）的图象关于点（π，0）中心对称，④对，D错，f（2π+x）＝cos（2π+x）•|sin（2π+x）|＝cos x•|sin x|＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为2π，②对，故选：C．11．定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x≤0时，恒有，若g（x）＝x3f（x），则不等式g（2x）＞g（1﹣3x）的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又g（x）＝x3f（x），∴g（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝x3f（x）＝g（x），∴g（x）为R上的偶函数；又当x≤0时，恒有，∴当x≤0时，g′（x）＝3x2f（x）+x3f′（x）＝3x2（f′（x）+f（x））≥0，∴g（x）在（﹣∞，0]上为增函数，而g（x）为R上的偶函数，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数．∴不等式g（2x）＞g（1﹣3x）⇔|2x|＜|1﹣3x|，两端平方，有5x2﹣6x+1＞0，解得：x＜或x＞1，∴原不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞），故选：D．12．如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图1，由正、侧视图得：当凳脚所在直线为PC时，过P作P A⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，则∠PDA＝∠PBA＝60°，设∠PCA＝α，则α为PC与底面所成角，∴P A＝，AC＝，PC＝，∴sinα＝，如图2，凳脚的切面为菱形PMEN，∠PCA＝α，∴sin，由题意知EC＝2，∴EP＝＝，∴切面的面积为S菱形PMEN＝＝＝（cm2）．故选：A．二、选择题13．在的展开式中x的系数为﹣85．【解答】解：∵＝（x+）[（2x）7﹣7（2x）6+•（2x）5﹣•（2x）4+•（2x）3﹣•（2x）2+•（2x）﹣1]＝﹣1﹣•4＝﹣85，故答案为：﹣85．14．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a n+1＝2S n+1（n∈N*），则a3+a4+a5+a6＝360．【解答】解：依题意，当n≥2时，由a n+1＝2S n+1，可得：a n＝2S n﹣1+1，两式相减，可得：a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1，即a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴S n＝＝．∴a3+a4+a5+a6＝S6﹣S2＝﹣＝360．故答案为：360．15．若实数x，y满足不等式，则的最大值为2．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC及内部），目标函数表示可行域内的点与点（﹣1，0）连线的斜率，⇒C（1，4）数形结合可知当直线经过点C（1，4）时，取最大值：＝2，故答案为：2．16．若点P是曲线C1：y2＝16x上的动点，点Q是曲线C2：（x﹣4）2+y2＝9上的动点，点O为坐标原点，则的最小值是．【解答】解：设P的坐标（x，y），由抛物线的方程y2＝16x，可得焦点F（4，0），恰好为圆：（x﹣4）2+y2＝9的圆心，因为P在抛物线上，所以|OP|＝＝，|PQ|的最小值为P到圆心的距离减半径3，即P到准线的距离减3，所以|PQ|＝x+4﹣3＝x+1，所以＝，设t＝x+1，x＝t﹣1，所以＝＝，令a＝，＝＝当a＝时，最小，且为，所以的最小值为．故答案为：．三、解答题17．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若时，求2b﹣c的取值范围．【解答】解：（1）因为．所以a cos C＝2b cos A﹣c cos A，由正弦定理可得，sin A cos C＝2sin B cos A﹣sin C cos A，所以sin（A+C）＝2sin B cos A＝sin B，所以cos A＝，因为0＜A＜π，故A＝；（2）由正弦定理可得，，所以b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（）＝，∴2b﹣c＝3sin B﹣cos B＝2（）＝2sin（B﹣），因为，∴﹣＜B﹣所以所以．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝CC1＝4，BC＝2，D为棱A1C1上的动点．（1）若D为A1C1的中点，求证：BC1∥平面ADB1；（2）若平面A1ACC1⊥平面ABC，且∠AA1C1＝60°．是否存在点D，使二面角B1﹣AD ﹣C1的平面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：连结A1B，交AB1于O，则O是A1B的中点，连结OD，∵D为A1C1的中点，∴OD∥BC1，∵OD⊂平面ADB1，BC1⊄平面ADB1，∴BC1∥平面ADB1．（2）∵AC＝CC1，∴平行四边形ACC1A1为菱形，即A1C⊥AC1，又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，过点C作C1A的平行线CP，即CA1，CP，CB两两垂直，如图，以C为坐标原点，CA1，CP，CB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵∠AA1C1＝60°，∴，故，，假设存在D，使得二面角B1﹣AD﹣C1的平面角的余弦值为，设，∴，易得平面ADC1的一个法向量为，设平面B1AD的一个法向量为，则，可取，由，解得或，∵D在棱A1C1上，∴，即．19．已知圆C：（x+2）2+y2＝32，点D（2，0），点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点A（0，2），M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）∵点Q在线段PD的垂直平分线上，∴|PQ|＝|PD|．又|CP|＝|CQ|+|QP|＝4，∴|CQ|+|QD|＝4＞|CD|＝4．∴Q的轨迹是以坐标原点为中心，C（﹣2，0）和D（2，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．设曲线的方程为＝1，（a＞b＞0）．∵c＝2，a＝2，∴b2＝8﹣4＝4．∴点Q的轨迹的方程为；（2）当直线MN的斜率不存在时，则M（，﹣），N（﹣，﹣），直线MN的方程为y＝﹣，当直线MN斜率存在时，设MN：y＝kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣8＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由AM⊥AN，则＝0，即（1+k2）x1x2+k（t﹣2）（x1+x2）+（t﹣2）2＝0，则（1+k2）×+k（t﹣2）（﹣）+（t﹣2）2＝0，整理得：3t2﹣4t﹣4＝0，解得：t＝2（舍去）或t＝﹣，则直线MN的方程y＝kx﹣，则直线MN恒过点（0，﹣），当直线MN的斜率不存在时，则M（，﹣），N（﹣，﹣），直线MN的方程为y ＝﹣，综上可知：直线MN过点（0，﹣）．20．自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护．以下是湖南省2020年1月23日一31日这9天的新增确诊人数．日期232425262728293031时间x123456789新增确诊人数y151926314378565557经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒．（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x，每天新增确诊人数作为变量y，通过回归分析，得到模型＝lnx+用于对疫情进行分析．对表中的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：＝5，＝42.2，，＝384，（y i ﹣）＝100.86，2＝60，，ln10＝2.3．根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数．（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X，求X＝k最有可能（即概率最大）的值是多少．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．【解答】解：（1）令u＝lnx，则＝u+，，∴，，∴y关于u的线性回归方程为，故该模型的回归方程为．当x＝10时，，∴预测第10天新增确诊人数为64人．（2）由题意可知，，化简得，，解得，2.6≤k≤3.6，∵k为整数，∴k＝3．故X最有可能的值是3．21．已知函数f（x）＝ae x﹣cos x．（1）证明：当a＝1时，f（x）有最小值，无最大值；（2）若在区间上方程f（x）＝0恰有一个实数根，求a的取值范围，【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝e x﹣cos x，f'（x）＝e x+sin x，f''（x）＝e x+cos x，当﹣＜x≤0，e x，＞0，cos x＞0，则f''（x）＞0；当0＜x，e x，＞1，cos x≥﹣1，则f''（x）＞0；即当﹣＜x，f''（x）＞0；∴f'（x）在﹣＜x时单调递增，∵＜0，f'（0）＝1＞0，存在，使得f'（x0）＝0，则当﹣＜x＜x0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x0＜x，f'（x）＞0，f（x）单调递增；故f（x）有最小值f（x0），无最大值；（2）若在区间上方程f（x）＝0恰有一个实数根，则a＝在区间上恰有一实根，则函数y＝a与g（x）＝在区间上恰有一交点，因为g'（x）＝，x∈，令g'（x）＝0，解之得x＝﹣，或，当x∈（﹣，﹣），（，π）时，g'（x）＞0；当x∈（﹣，）时，g'（x）＜0；则g（x）在（﹣，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，π）上单调递增，即极大值为g（﹣）＝，极小值g（）＝﹣，g（﹣）＝0，g （π）＝﹣，因为函数y＝a与g（x）＝在区间上恰有一交点，∴a∈{﹣}∪[﹣，0]∪{}．22．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t∈R），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（0≤θ≤2π）．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）射线l的极方程为θ＝α（0≤α≤π，ρ≥0），若射线l与曲线C1，C2分别交于异于原点的A，B两点，且|OA|＝4|OB|，求α的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数，t∈R），转换为和直角坐标方程为：x2＝2y，转换为极坐标方程为ρ2cos2θ＝2ρsinθ，整理得．（2）射线l的极方程为θ＝α（0≤α≤π，ρ≥0），若射线l与曲线C1，C2分别交于异于原点的A，B两点，所以，故，同理，故ρB＝2sinα，由于|OA|＝4|OB|，所以，所以4cos2α＝1，所以或．23．若不等式|x+m|+|x+1|≤3的解集非空．（1）求实数m的取值范围；（2）设m的最大值为M，若a、b∈R+，且a+b＝M，求的最小值．【解答】解：（1）∵|x+m|+|x+1|≥|（x+m）﹣（x+1）|＝|m﹣1|，∴|m﹣1|≤3，∴﹣3≤m﹣1≤3，即﹣2≤m≤4，故实数m的取值范围为[﹣2，4]；（2）由（1）知，a+b＝4，又a、b∈R+，∴＝≥a2+b2+2ab＝（a+b）2＝16，∴，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴的最小值为．。
2020届三湘名校联盟高三第六次模拟考试数学(文)试卷
2020届三湘名校联盟高三第六次模拟考试高三数学（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =A ．)0,1(-B ．)1,2(--C ．)0,2(-D ．)2,2(-2．设i 是虚数单位，若复数)()2(1R a i a a ∈-+-是纯虚数，则a = A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 3．等差数列{}n a 的前11项和8811=S ，则=+93a a A ．8B ．16C ．24D ．324．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为 AB ．2CD5．已知x 、y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为A ．-2B ．-1C ．1D ．26．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f 的值是A ．9B ．－9C ．91D ．－91 7．已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=， 则p 是q 的 A ．充分不必要条件 BC．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列正确命题的序号的选项是 ．(1)若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ， (2)若,m m n α⊥⊥则//n α (3)若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥； (4)若β⊂m ，βα//，则α//m A ．（1） （3） B （2）（4） C ． （2） （3） D （3） （4）9．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ．2日和11日 B ．6日和11日 C ． 5日和6日 D ．2日和5日 10．平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为A ．16B ．14C ． 12D ．1011．已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴12．已知不等式222y ax xy +≤对于[]3,2],2,1[∈∈y x 恒成立,则a 的取值范围是A ．[)+∞,1B ．[)4,1- ) D ．[]6,1-二、填空题：本大题共45分.13．函数()log (3)2,(01)a f x x a a =-+>≠且的图像恒过定点P,则P 的坐标为 . 14．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的表面积为________．16．已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则||||BF AF 的值等于__________.三、解答题：（本题共70分，17~21每题12分，选做题每题10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，3π=A ,C B sin 5sin 3=．（1）求B tan ； （2）ABC ∆的面积4315=S ，求ABC ∆的边BC 的长． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD E -中，ABCD ED 平面⊥，CD AB //，AD AB ⊥，122AB AD CD ===．（1）求证：BDE BC 面⊥； （2）当几何体ABCE4求四棱锥ABCD E - 的表面积．19．为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15,75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：(1)求月收入在[35,45)内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标； (2)根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；(3)若从月收入（单位：百元）在[65,75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为C 与y 轴交于()()0,1,0,1A B -两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线3x =交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数()xf x xe =．（1）讨论函数()()x g x af x e =+（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值．请考生在第22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．A (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l 的参数方程为：24x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． B （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数|1|||)(--=x x x f ．(1)若|1|)(-≥m x f 的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数y x ,满足M y x =+22，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：xy y x 2≥+．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．二．填空题：13.(4,2) 14. 11615.9π 16. 3 三、解答题： 17．解：（1）由得，，由得，B B BC B sin 32cos 5cos 32sin 532sin 5sin 5sin 3πππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-==B B sin 25cos 235+=……4分，所以B B cos 235sin 21=，（2）设角、、所对边的长分别为、、 由和正弦定理得，由得解得（负值舍去）由余弦定理得，18．（本小题满分12分）（1）解：取CD 的中点F ，连结BF ，则直角梯形ABCD 中，BF CD ⊥，BF CF DF == 90CBD ∴∠=︒即：BD BC ⊥⊥DE 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCDDE BC ⊥∴又BD DE D ⋂= BDE BC 平面⊥∴ （2）解： 1112433233ABCE E ABC ABC V V DE S DE AB AD DE -∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯== 2DE ∴= 2222=+=∴AD DE EA ，3222=+=BD DE BE ，又2=AB 222AE AB BE +=∴ AE AB ⊥∴ ∴四棱锥ABCD E -的侧面积为6222621212121++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯CD DE BE BC AB AE AD DE +619．：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3………………………2分………………………4分（2）200.1300.2400.3500.2600.1700.143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元） …5分即这50人的平均月收入估计为4300元。
湖南省2020届高三年级下学期4月六校联考数学(文)试题含答案
湖南省2020届高三六校联考试题数学（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,4,5B =，C A B =I ，则C 的子集共有（ ） A. 2个B. 3个C. 8个D. 4个2. 设复数z 满足246z z i -=+（z 是z 的共轭复数，i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3. 下面四个条件中，使m n >成立的充分而不必要的条件是（ ） A. 33m n >B. 2m n >+C. 22m n >D. 2m n >-4. 设3log 2a =，9log 3b =，2log 3c =，则（ ） A. a c b >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>5. 双曲线()222x ny n n R -=∈的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A.B. 1C. 2D. 与n 的值有关6. “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（ ）A. 3.4升B. 2.4升C. 2.3升D. 3.6升7. 函数2sin y x x π=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 5π+B. 23π+C.43π D. 43π+9. 已知实数x ，y 满足约束条件2000x y x y x t +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，若2z x y =-的最大值为8，则z 的最小值为（ ） A. -6B. 6C. 3D. -410. 已知等边ABC △的边长为2，BD xBA =u u u r u u u r ，CE yCA =u u u r u u u r，0x >，0y >，且1x y +=，则CD BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.34B. 32-C. 98-D. -211. 函数()()()2261cos 22xf x x x x x R π=+-++∈的零点个数为（ ）A. 8B. 9C. 6D. 412. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面11DCC D （包括边界）上的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -体积的最大值是（ ） A. 123B. 36C. 24D. 183第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.已知过去10日，A 、B 、C 三地新增疑似病例数据信息如下：A 地：总体平均数为3，中位数为4；B 地：总体平均数为2，总体方差为3；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；则A 、B 、C 三地中，一定没有发生大规模群体感染的是 地. 14. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是158，则正整数a =______.15. 过抛物线C ：22x y =的焦点F 的直线l 交C 于两点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于两点P 、Q ，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为1，则AF =______. 16. 已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若4a b +=，且()()222sinsin sin cos cos sin sin A B C a B b A c A B +-⋅+=，则边c 的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题，共60分.17. 2020年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题.为了解“钉钉”软件的使用情况，“钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？（2）现从所抽取的35岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：18. 已知数列{}n a 前几项和为n S ，12a =，()1312n n n S S n a n +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. （1）若nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1n n c a n =++，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，点M 为PC 的中点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDM ； （2）求二面角C MD B --的正切值.20. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过左焦点1F 的最短弦长为3，离心率为12（1）求椭圆的标准方程；（2）过()2,0C 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与椭圆交于点H ，1HF x ⊥轴，过S 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，若16SMH SNC S S =△△，求直线MN 的方程. 21. 已知函数()22x t f x e x x =-+（t R ∈，e 为自然对数的底数），且()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为e ，函数()()21,2g x x ax b a R b R =++∈∈.（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若()()f x g x ≥，求()12b a +的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()27cos224ρθ⋅-=，直线l 过点()1,0P 倾斜角为α.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线l 的参数方程； （2）当34πα=时，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求11PA PB +.23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c R +∈，且234a b c m ++=，求证：1113234a b c++≥.湖南省2020届高三六校联考试题数学（文科）参考答案一、选择题 1-5：DCBCB6-10：ACBDB11-12：AA10. B 已知等边ABC △的边长为2，以线段AB 的中点为原点，线段AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()1,0B，(C ，由BD xBA =u u u r u u u r ，CE yCA =u u u r u u u r，得()12,0D x -，()E y -，且1x y +=，则221332222222CD BE y y y ⎛⎫⋅=-+-=---≤- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，最大值为32-.11. A 依题意1x =-显然不是函数的零点，所以1x ≠-时，由226(1)cos202xx x x π+-++=，得16cos121xx x π=+++，在同一坐标系内做出两个函数6cos 2xy π=和111y x x =+++的图象，知两函数有8个交点，所以原函数的零点个数为8.12. A 因为AD ⊥平面11D DCC ，则AD DP ⊥，同理BC ⊥平面11D DCC ，则BC CP ⊥，APD MPC ∠=∠，所以PAD PMC :△△，∵2AD MC =，∴2PD PC =，下面研究点P在面11D DCC 内的轨迹，在平面直角坐标系内，设()0,0D ，()6,0C ，()16,6C ，设(),P x y ，因为2PD PC =，=，化简得()22816x y -+=，该圆与1CC 的交点的纵坐标最大，交点坐标为(，三棱锥P BCD -的底面BCD 的面积为18， 要使三棱锥P BCD -的体积最大，只需高最大，当P 在1CC上时CP =所以最大体积为1183V =⨯⨯=二、填空题13. B 14. 7 15.5216. [)2,4 15. 52设2,(0)2t A t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由抛物线C ：22x y =得22x y =，'y x =，则点A 处的切线方程为2()2t y t x t -=-，与x 、y 轴分别交于两点,02t P ⎛⎫⎪⎝⎭、20,2t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若POQ △的面积为1，则211222t t -=，∴2t =，则15222AF =+=. 16. [)2,4ABC △中，由正弦定理得()222(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=， 由余弦定理可得：2cos (cos cos )ab C a B b A abc ⋅+=，∴2cosCsin()sin A B C +=， ∵sin 0C ≠，∴1cos 2C =，又∵()0,C π∈，∴3C π=， 方法一：依题意23B A π=-，由正弦定理2sin sin 32a b A A π==⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵4a b +=，∴2sin sin sin 36c A A A ππ==⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴[)2,4c ∈. 方法二：由余弦定理可得：22222cos 60()3c a b ab a b ab =+-︒=+-216316342a b ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭.∴2c ≥，又4c a b <+=，∴[)2,4c ∈. 三、解答题17.（1）由列联表可得，22200(70406030) 2.198 2.07213070100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. ∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关.（2）依题意可得，在每层中所抽取的比例为5110020=.所以从经常使用“钉钉”软件的人中抽取160320⨯=（人），从偶尔或不用“钉钉”软件的人中抽取140220⨯=（人）.设这5人中，经常使用“钉钉”软件的3人分别为a ，b ，c ；偶尔或不用“钉钉”软件的2人分别为d ，e ，则从5人中选出2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.选出的2人中没有1人经常使用“钉钉”软件的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率1911010P =-=. 18.（1）由题知113(1)2n n n n a a S S n n ++⎛⎫=-=++⎪⎝⎭，即1321n n a a n n +=⨯++，即11311n n a a n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，即()1131n n b b ++=+， ∵12a =，∴111130b a +=+=≠，∴110nn a b n+=+≠， ∴数列{}1n b +是首项为3，公比为3的等比数列，∴13n n b +=，即31nn b =-.（2）由（1）知，3n n a n n =⨯-，∴31nn c n =⨯+， ∴231323333nn T n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+，①∴23131323(1)333n n n T n n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯+，②①-②得，2312333332n n n T n n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯-()11313(12)33322132n n n n n n n++---=-⨯-=--，∴1(21)334n n n T n +-+=+. 19.（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为BD ⊂平面BDM ，所以平面PAC ⊥平面BDM .（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ，因为点M 为PC 的中点， 所以//OM PA ，所以OM AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面BDM ，OM 为两个面的交线，所以AC ⊥平面BDM ， 所以OC MD ⊥，过点O 作OH MD ⊥，连接HC ，则MD ⊥平面OHC ， 所以MD HC ⊥，则OHC ∠为二面角C MD B --的平面角.因为PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，PA ⊥平面ABCD ，所以2PA AD AB ===， 所以1OM =，3OD =，3OH =，1OC =， 所以23tan 3OC OHC OH ∠==，即二面角C MD B --的正切值为233.20.（1）由条件，得223b a =，∴223b a =，且12c a =，∴2a c =， 联立解得2a =，3b =1c =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）由已知可得，31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()2,00,1C S ⇒， （i ）直线MN 的斜率不存在时，MN 的方程为0x =， 此时312331SN SM+==- （ii ）直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.代入椭圆方程得()2234880k x kx ++-=，0∆>显然成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则有122834k x x k -+=+①，122834x x k-=+②， 因为2a c =，所以2SC SH =，由1sin 12126sin 2SMH SNC SM SH MSH SM S S SN SN SC NSC ∠===∠△△，所以13SM SN =，所以3SN SM =-u u u r u u u r ，所以213x x =-，代入①②得232k =，62k =±，所以直线MN 的方程为61y x =+或61y x =-+.21.（1）由已知得()'1xf x e tx =-+，()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为e ，∴()'1f e =，从而1t =，()212x e x f x x =-+. ∴()'1xf x e x =+-，又()'1xf x e x =+-在R 上递增，且()'00f =， ∴当0x <时，()'0f x <；0x >时，()'0f x >，()f x 的单调减区间为(),0-∞，单调增区间为()0,+∞，∴()()01f x f ==极小值，无极大值. （2）()()()21102x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()()'1x h x e a =-+， ①当10a +<时，()()'0h x y h x >⇔=在x R ∈上单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥相矛盾；②当10a +=时，()00x h x e b b =-≥⇒≤，此时()102b a +=； ③当10a +>时，()()'0ln 1h x x a >⇔>+，()()'0ln 1h x x a <⇔<+得， 当()ln 1x a =+时，()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥，即()()()11ln 1a a a b +-++≥，∴()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++（其中10a +>）.令()()22ln 0F x x x x x =->，则()()'12ln F x x x =-， ∴()'00F x x >⇔<<，()'0F x x <⇔>当x =()max 2e F x =，即当1a =，2b =时，()1a b +的最大值为2e ， ∴()12a b +的最大值为4e . 综上所述：()12a b +的最大值为4e . 22.（1）由()27cos224ρθ-=得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=， 由题知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）. （注：参数t 设为其他合理字母也可）（2）设直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，当34πα=时， 直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程22143x y +=中整理得，27180t --=，∴127t t +=，12187t t =-， ∴12t t -=247==， ∴121212114311t P t t t t t A PB -=+==+. 23.（1）()1636x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11226x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1236x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得22x -≤≤.即不等式()6f x ≤的解集为{}|22x x -≤≤.（2）()()12122g x f x x x x =++=-++21223x x ≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤时取等号，∴3m =.∴,,a b c R +∈，2343a b c ++=， ∴1111111(234)2343234a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭1232434333324243a b a c b c b a c a c b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当234a b c ==，即12a =，13b =，14c =时取等号. ∴1113234a b c++≥.。
2020年湖南省六校联考高考(文科)数学(4月份)模拟试卷 含解析
2020年高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，C＝A∩B，则C的子集共有（）A．2个B．3个C．8个D．4个2．设复数z满足（是z的共轭复数，i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．下面四个条件中，使m＞n成立的充分而不必要的条件是（）A．m3＞n3B．m＞n+2C．m2＞n2D．m＞n﹣24．设a＝log32，b＝log93，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．双曲线2x2﹣ny2＝n（n∈R）的右焦点到一条渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．与n的值有关6．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（）A．3.4升B．2.4升C．2.3升D．3.6升7．函数y＝x﹣2πsin x的大致图象是（）A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足约束条件，若z＝x﹣2y的最大值为8，则z的最小值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣410．已知等边△ABC的边长为2，，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最大值为（）A．B．C．D．﹣211．函数的零点个数为（）A．8B．9C．6D．412．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，M是BC的中点，点P是正方体的表面DCC1D1（包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值是（）A．B．36C．24D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．已知过去10日，A、B、C三地新增疑似病例数据信息如下：A地：总体平均数为3，中位数为4；B地：总体平均数为2，总体方差为3；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；则A、B、C三地中，一定没有发生大规模群体感染的是地．14．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则正整数a＝．15．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交C于两点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于两点P、Q，若△POQ（O为坐标原点）的面积为1，则|AF|＝．16．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a+b＝4，且（sin2A+sin2B﹣sin2C）•（a cos B+b cos A）＝c sin A sin B，则边c的取值范围为．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题，共60分．17．2020年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题．为了解“钉钉”软件的使用情况，“钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计35岁及以下703010035岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？（2）现从所抽取的35岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18．已知数列{a n}前n项和为S n，a1＝2，．（1）若，求数列{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n+n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PD与平面ABCD所成的角为45°，点M为PC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面BDM；（2）求二面角C﹣MD﹣B的正切值．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过左焦点F1的最短弦长为3，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过C（2，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，HF1⊥x轴，过S 的另一直线与椭圆交于M、N两点，若，求直线MN的方程．21．已知函数（t∈R，e为自然对数的底数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为e，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥g（x），求的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2•（7﹣cos2θ）＝24，直线l过点P（1，0）倾斜角为α．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线l的参数方程；（2）当时，直线l交曲线C于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）记函数g（x）＝f（x）+|x+1|的最小值为m，若a，b，c∈R+，且2a+3b+4c＝m，求证：．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，C＝A∩B，则C的子集共有（）A．2个B．3个C．8个D．4个【分析】进行交集的运算即可求出C＝{1，4}，然后即可得出C的子集的个数．解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，∴C＝A∩B＝{1，4}，∴C的子集共有22＝4个．故选：D．2．设复数z满足（是z的共轭复数，i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入，利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得a+bi﹣2（a﹣bi）＝﹣a+3bi＝4+6i，即a＝﹣4，b＝2．∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（﹣4，2），位于第二象限．故选：C．3．下面四个条件中，使m＞n成立的充分而不必要的条件是（）A．m3＞n3B．m＞n+2C．m2＞n2D．m＞n﹣2【分析】利用充分而不必要的条件即可判断出结论．解：使m＞n成立的充分而不必要的条件是：m＞n+2，故选：B．4．设a＝log32，b＝log93，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】根据对数函数的单调性及对数的换底公式即可得出，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵，，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：C．5．双曲线2x2﹣ny2＝n（n∈R）的右焦点到一条渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．与n的值有关【分析】确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．解：双曲线2x2﹣ny2＝n的右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程x﹣y＝0∴双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为＝1．故选：B．6．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（）A．3.4升B．2.4升C．2.3升D．3.6升【分析】由题意结合等差数列的通项公式可求首项及公差，进而可求．解：设从下至上各节容积分别为a1，a2••a9为等差数列，公差d，则由题意可知，，故，解可得，d＝﹣0.2，a1＝2.4，所以中间节a4+a5＝1.8+1.6＝3.4故选：A．7．函数y＝x﹣2πsin x的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性，可排除BD；由，可排除A．解：f（﹣x）＝﹣x﹣2πsin（﹣x）＝﹣x+2πsin x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，可排除BD；又，f（π）＝π＞0，可排除A；故选：C．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面是一个圆柱，上面为一个三棱锥体组成的组合体．如图所示：故：＝．故选：B．9．已知实数x，y满足约束条件，若z＝x﹣2y的最大值为8，则z的最小值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣4【分析】由题意作出其平面区域，直线x＝t，x﹣2y＝8，x+2y＝0三线相交于一点，联立x﹣2y＝8，x+2y＝0解出交点坐标，代入求t，再求最小值．解：由题意作出其平面区域：则直线x＝t，y＝﹣x，x﹣2y＝8三线相交于一点B，由x﹣2y＝8，y＝﹣x联立可解得，x＝4，y＝﹣2，则t＝4．z＝x﹣2y经过可行域的A时，z取得最小值，由，解得A（4，4），z的最小值为：4﹣2×4＝﹣4．故选：D．10．已知等边△ABC的边长为2，，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最大值为（）A．B．C．D．﹣2【分析】建立平面直角坐标系，确定A，B，C的坐标，设点D，E坐标，由，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，计算的值即可．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，）；设点D（x1，0），E（x2，y2），∵，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，∴（x1﹣1，0）＝x（﹣2，0），∴x1＝﹣2x+1；（x2，y2﹣）＝y（﹣1，﹣），∴x2＝﹣y，y2＝y；∴＝（x1，﹣）•（x2﹣1，y2）＝x1（x2﹣1）﹣y2＝（﹣2x+1）•（﹣y ﹣1）﹣（y）＝2xy+2（x+y）﹣4≤2+2（x+y）﹣4＝﹣，当且仅当x＝y＝时取“＝”；即的最大值为：﹣．故选：B．11．函数的零点个数为（）A．8B．9C．6D．4【分析】把已知函数解析式变形，把问题转化为函数y＝6cos与y＝（x+1）+的图象的交点个数，作出两函数的图象，数形结合得答案．解：f（x）＝＝，x＝﹣1不是函数的零点，当x≠﹣1时，由f（x）＝0，可得，即6cos＝（x+1）+．问题等价于函数y＝6cos与y＝（x+1）+的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图：由图可知，两个函数的图象的交点个数为6．故选：C．12．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，M是BC的中点，点P是正方体的表面DCC1D1（包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值是（）A．B．36C．24D．【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD＝2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股定理得出3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，再由二次函数的单调性求PO的最大值，代入棱锥体积公式得答案．解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴＝2，即PD＝2PC，设DO＝x，PO＝h，作PO⊥CD，∴，化简得：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，根据函数单调性判断：x＝6时，3h2最大值为36，h最大值＝2，∵在正方体中PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：××6×6×2＝12．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．已知过去10日，A、B、C三地新增疑似病例数据信息如下：A地：总体平均数为3，中位数为4；B地：总体平均数为2，总体方差为3；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；则A、B、C三地中，一定没有发生大规模群体感染的是B地．【分析】根据平均数、中位数、方差的定义和性质，判断即可．解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，不是A地，当总体平均数是2，根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差大于3，是B 地；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，每天新增疑似病例可以超过7人，因此不能确定数据的波动大小，不是C地；故答案为：B．14．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则正整数a＝6．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．解：由程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的值是S＝1+++…+＝1+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＝，k＝7，所以正整数a＝6．故答案为：6．15．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交C于两点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于两点P、Q，若△POQ（O为坐标原点）的面积为1，则|AF|＝．【分析】求得抛物线的焦点坐标，设A为左交点，A（x0，y0），求得y＝x2的导数，可得切线的斜率和方程，分别令y＝0，x＝0可得P，Q的坐标，以及三角形POQ的面积，解得A的坐标，即可得到所求值．解：由题意，抛物线C：x2＝2y的焦点F（0，），不妨设A为左交点，A（x0，y0），由y＝x2的导数为y′＝x，切线的斜率为k＝x0，切线方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），又x02＝2y0，则M（x0，0），N（0，﹣x02）所以S＝•|x0|•|x02|＝1，解得x0＝，y0＝，所以|AF|＝．故答案为：．16．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a+b＝4，且（sin2A+sin2B﹣sin2C）•（a cos B+b cos A）＝c sin A sin B，则边c的取值范围为[2，4）．【分析】本题考查正余弦定理应用，由正弦定理和余弦定理可得c2≥4，最后得出答案．解：在△ABC中，由三角函数的定义可知a cos B+b cos A＝c，结合正弦定理和已知，得＝，即a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C＝＝，则C＝60°，所以c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3×（）2＝＝4，所以c ≥2，又c＜a+b＝4，所以c的取值范围为[2，4）．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题，共60分．17．2020年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题．为了解“钉钉”软件的使用情况，“钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计35岁及以下703010035岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？（2）现从所抽取的35岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】（1）利用2×2列联表中的数据，代入公式K2＝求值，从而查表可得；（2）先求出5人中“经常使用”钉钉软件的人数和“偶尔或不用”钉钉软件的人数，编号后，利用古典概型的概率公式即可求解．解：（1）由2×2列联表可知：＝≈2.198＞2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关；（2）抽取的5人中“经常使用”钉钉软件的人数为：＝3人，编号为A，B，C，“偶尔或不用”钉钉软件的人数为：＝2人，编号为①，②，从这5人中，随机选出2人所有可能的结果为：AB，AC，A①，A②，BC，B①，B②，C①，C②，①②，共10种，2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的有9种，所以2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率为：．18．已知数列{a n}前n项和为S n，a1＝2，．（1）若，求数列{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n+n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）由整理可得＝3×+2；进而得到{b n+1}的通项，即可求得结论；（2）利用第一问的结论，求得数列{c n}的通项，再结合错位相减法即可求得结论．解：（1）因为a1＝2，．∴S n+1﹣S n＝（n+1）（a n+2）⇒＝3×+2；∴b n+1＝3b n+2⇒b n+1+1＝3（b n+1）；∵b1＝＝2，∴{b n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列；∴b n+1＝3n；∴数列{b n}的通项公式：b n＝3n﹣1；（2）∵b n＝3n﹣1；∴a n＝n•（3n﹣1）；∴c n＝a n+n+1＝n•3n+1；∴T n＝1×31+2×32+3×33+…+n•3n+n；①∴3T n＝1×32+2×33+3×34+…+n•3n+1+3n；②①﹣②可得：﹣2T n＝31+32+33+…+3n﹣n•3n+1﹣2n＝﹣n•3n+1﹣2n＝﹣n•3n+1﹣2n；∴T n＝n++•3n+1．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PD与平面ABCD所成的角为45°，点M为PC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面BDM；（2）求二面角C﹣MD﹣B的正切值．【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，推导出AC⊥BD，OM∥PA，从而OM⊥平面ABCD，进而OM⊥AC，AC⊥平面BDM，由此能证明平面PAC⊥平面BDM．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣MD﹣B的正切值．解：（1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OM，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC中点，∵M是PC中点，∴OM∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴OM⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴OM⊥AC，∵BD∩OM＝O，∴AC⊥平面BDM，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDM．（2）解：∵∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PD与平面ABCD所成的角为45°，点M为PC的中点．∴PA＝AD＝AC＝2，BO＝DO＝，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），M（0，0，2），＝（2，0，0），＝（，1，0），＝（，0，2），设平面MCD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，﹣），设平面MBD的法向量＝（0，1，0），设二面角C﹣MD﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝，∴二面角C﹣MD﹣B的正切值为＝＝．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过左焦点F1的最短弦长为3，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过C（2，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，HF1⊥x轴，过S 的另一直线与椭圆交于M、N两点，若，求直线MN的方程．【分析】（1）由题意可得过焦点的最短的弦为垂直于x轴的直线与椭圆的交点弦，由弦长及离心率和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得C为椭圆的右顶点，及左焦点F1的坐标，由题意可得H的横坐标为﹣1，代入椭圆求出H的纵坐标，进而求出S的坐标，设直线MN的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再求的表达式，由题意可得SM，SN之比，进而可得向量的关系，求出M，N的横坐标的关系，代入两根之和及两根之积中，求出直线MN的斜率，进而求出直线MN的方程．解：（1）由题意可得：＝，＝3，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为+＝1；（2）由（1）可得C为椭圆的右顶点，左焦点F1（﹣1，0），因为HF1⊥x轴，所以x H ＝﹣1，因为S在y轴的正半轴，所以H在x轴上方，所以y H＝＝，即H（﹣1，），∴HF1＝，因为＝＝＝，∴OS＝＝1，＝，所以S（0，1），设直线MN的方程为：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线MN与椭圆的方程：，整理可得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，*因为，而＝＝＝，所以3SM＝SN，即＝3，即（﹣x2，1﹣y1）＝3（x1，y1﹣1）所以x2＝﹣3x1，代入*中可得：，解得k2＝，即k＝，所以直线MN的方程为：y＝x+1．21．已知函数（t∈R，e为自然对数的底数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为e，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥g（x），求的最大值．【分析】（1）求出f′（x）＝e x﹣1+tx，由f′（1）＝e，求出t，得到函数的解析式及导函数，从而可求f（x）的单调区间和极值；（2）令h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b≥0，求出函数的导数，通过讨论a+1的范围，得到a+1＞0时，h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，再构造函数F（x）＝x2﹣x2lnx（x＞0），由该函数的单调性求得最值，从而可求出的最大值．解：（1），f′（x）＝e x﹣1+tx，所以f′（1）＝e﹣1+t＝e，解得t＝1；所以，f′（x）＝e x﹣1+x，又f″（x）＝e x+1＞1＞0，故f′（x）＝e x﹣1+x为R上的增函数，而f（0）＝0，所以当x≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上为增函数，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，所以x＝0时，f（x）取得极小值1，无极大值．（2）f（x）≥g（x）⇔e x﹣（a+1）x﹣b≥0，令h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则h′（x）＝e x﹣（a+1），①当a+1≤0时，h′（x）＞0，故y＝h（x）在R上递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾；②当a+1＞0时，由h′（x）＞0，得：x＞ln（a+1），由h′（x）＜0，得x＜ln（a+1），故x＝ln（a+1）时，h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b，∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1）（a+1＞0），令F（x）＝x2﹣x2lnx（x＞0），则F′（x）＝x（1﹣2lnx），∴F′（x）＞0，解得：0＜x＜，F′（x）＜0，解得：x＞，x＝时，F（x）max＝，即当a＝﹣1，b＝时，（a+1）b的最大值为，∴的最大值为：．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2•（7﹣cos2θ）＝24，直线l过点P（1，0）倾斜角为α．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线l的参数方程；（2）当时，直线l交曲线C于A，B两点，求．【分析】（1）根据极坐标，参数方程，直角坐标方程的相互转化公式进行转化，（2）将直线化为参数方程，联立曲线的直角坐标方程，可得参数的关系，代入，即可．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2•（7﹣cos2θ）＝24，化简得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，∴曲线C的直角坐标方程为，∵直线l过点P（1，0）倾斜角为α，∴直线l的参数方程为，t为参数，（2）由，可知直线l的参数方程为，t为参数，联立，和，解之得，所以，，则＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）记函数g（x）＝f（x）+|x+1|的最小值为m，若a，b，c∈R+，且2a+3b+4c＝m，求证：．【分析】（1）取绝对值，然后分段求解．（2）通过绝对值不等式性质，求出最小值，然后转化，利用基本不等式求证．解：（1）f（x）＝，当x≤﹣1，令f（x）≤6，解之得﹣2≤x，则﹣2≤x≤﹣1，当﹣1＜x≤，令f（x）≤6，解之得﹣4≤x，则﹣1＜x≤，当﹣＜x，令f（x）≤6，解之得x≤2，则﹣＜x≤2，综上所述：﹣2≤x≤2，（2）证明：g（x）＝f（x）+|x+1|＝|2x﹣1|+2|x+1|＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣（2x+2）|＝3，∴m＝3，∴2a+3b+4c＝3，∴＝（）（2a+3b+4c）•＝（3+++）≥（3+2+2+2）＝3，当且仅当4a2＝9b2＝16c2．即证．。
2020年湖南省永州市潇湘学园高三数学文联考试卷含解析
2020年湖南省永州市潇湘学园高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为A． B．C． D．参考答案：A2. 在抛物线（）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（A）（B）1 （C）2 （D）4参考答案：C3. 设集合，则A∩B=（）A. (0,4)B. (1,4)C. (3,4)D. (1,3)参考答案：D【分析】求出集合A，直接进行交集运算即可.【详解】，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.4. 已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A、B、Ｃ、D、。
参考答案：C略5. 已知′是函数的导函数，如果′是二次函数，′的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线上任一点处的切线的倾斜角的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：B由题意知，所以，即，所以，选B.6. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．1 B． C ．D．参考答案：D略7. 已知等差数列的前项和是,若三点共线, 为坐标原点，且(直线不过点)，则等于（）A. B. C. D.参考答案：B8.已知函数在区间(，1)上有最小值，则函数在区间(1，上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数参考答案：答案：D9. 复数z=在复平面上对应的点位于( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：A【KS5U解析】z=，所以复数对应的点为，在第一象限。
【答案】略10. 已知函数，其中，则的值为（）A．6 B．7C．8 D．9参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则__________．参考答案：12. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则?的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴?=（+）?（+）=（+）?（+）=?+?+?+?=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．13. 若函数，则 .参考答案：14. 定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数y=f(x)是上的“平均值函数”，是它的一个均值点。
2020年湖南省株洲市潇湘双语学校高三数学文联考试卷含解析
2020年湖南省株洲市潇湘双语学校高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行下面的程序框图，如果输入a=1，b=1，则输出的S=（）A．54 B．33 C. 20 D．7参考答案：C执行程序框图，；；，结束循环，输出，故选C.2. 双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线右支上一点，若双曲线的一条渐近线垂直平分，则该双曲线的离心率是A．B．2 C．D．5参考答案：C3. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A．5 B．6C．7 D．8参考答案：C4. 已知数集，设函数f（x）是从A到B的函数，则函数f（x）的值域的可能情况的个数为（）A．1 B．3 C．8 D．7参考答案：D5. 设是由直线和所围成的矩形区域，是内函数图象上方的点构成的区域，向中随机投一点，则该点落入（阴影部分）中的概率为（）A． B． C．D．参考答案：C6. 函数的图象A．关于原点对称 B．关于直线对称C．关于轴对称 D．关于轴对称参考答案：D略7. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B8. 已知则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C.充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A9. 已知命题有成立；命题，恒有成立，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．参考答案：C10. 对于R上可导的任意函数，若满足，则必有A． B．C． D．参考答案：A当时，，此时函数递减。
当时，，此时函数递增，即当，函数取得极小值同时也是最小值，所以，即，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知垂直，则λ等于．参考答案：考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．3794729解答：解：∵∴①∵即②即12λ﹣18=0解得故答案为：．12. 已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是参考答案：因为直线与圆相切，所以．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得或．13. 设x ，y 满足，则z=2x ﹣y 的最大值为3，则m=．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x ﹣y 的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答： 解：由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=2x ﹣z ，由平移可知当直线y=2x ﹣z ，经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最小，此时z 取得最大值3，由，解得，即A （，）．将A 的坐标代入x ﹣y+m=0，得m=y ﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14. 在平行四边形中， ， ，，则参考答案：15. 若△ABC 的边满足且C =60°，则的值为 .参考答案：16. 已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y+1）2=1交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为 ．参考答案：x ﹣y ﹣1=0考点：圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程． 专题：直线与圆．分析：将两个方程相减，即可得到公共弦AB 的方程，然后根据半弦长与弦心距及圆半径，构成直角三角形，满足勾股定理，易求出公共弦AB 的长．解答： 解：圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y+1）2=1交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为： x 2+y 2﹣1﹣[（x ﹣1）2+（y+1）2﹣1]=0即x ﹣y ﹣1=0故答案为：x ﹣y ﹣1=0．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，其中将两个圆方程相减，直接得到公共弦AB 的方程可以简化解题过程． 17. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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湖南省2020届高三六校联考
数 学（文科）试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有 一
项是符合题目要求的 1．已知全集{}{}2,3,4,|(1)(4)0,U U A x x x x Z A ==--<∈=集合则ð ( )
A ．{}4
B ．{}2,3,4
C ．{}2,3 D.{}1,4
2.已知i 为虚数单位,则212i
i
+=-+ ( )
A ．1． B.i D ．-I
D.
2355
i + 3.“m=2”是2
"3)m
x -函数f(x)=(m 为幂函数"的
( )
． A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．已知向量a,b 满足a ⊥b,|a|=2,|b|=1,则|a-2b|= ( )
B.
C.0
D.4
5．函数f (x )=1n x 2
-2的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6．已知一工厂生产某原料的生产成本y (万元)为产量x (千吨)之间的关系为y=x+400
x+1
,则生产成本最少 时该
工厂的产量x 为
( ) A.17千吨 B.18千吨 C.19千吨 C.20千吨
7.如果执行下面的程序框图,那么输出的s=
A.96
B.120 C,144
D.300
8.若直线mx+ny=16和圆x 2
+y 2
=64没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆22
194
y x +=的交点个数为
A.0个
B.2个
C.1个
D.不确定
9.对x ,y ∈R,记max {},x y =,,x x y
y x y
≥⎧⎨
<⎩,已知方程max {},x x -=a x +1仅有一负根,则a 的取值
范围是 A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡．．．中对应题号
后的横线上.
(一)选做题(请考生在第10,11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)
10.(极坐标与参数方程选做题)已知极坐标系的原点和极轴分别与直角坐标系的原点和x 轴正半轴重
合,圆C 的参数方程为cos (1sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=+⎩
为参数),直线l 的极坐标方程为
sin()24
π
ρθ⋅+=则l
被圆C 所截得的弦所对应的(小于π)的圆心角为 .
11.(优选法选做题)白油膏是生产擦字橡皮的主要原料,对产品质量起着决定作用,它是蓖麻油、胚芽油、
7JHJ 机油、重体C a CO 3、S 2Cl 2和H 2O 在一定温度下反应而成的，根据经验和分析，可以
确定油
类、重体C a CO3的配比，现在需要对S2Cl2T和H2O的用量进行优选，则下列方法不适合选用的是
（填序号）.
①0.618法; ②从好点出发法; ③平行线法; ④盲人爬山法⑤纵横对折法.
(二)必做题(12～16题)
12.某几何体的三视图如下,则该几何的体积 .
13.已知
3
cos,(0,)
52
π
θθ
=∈,则tan(π-2θ)= .
14.已知x,y满足不等式组
220
40
240
x x
x y
x y
-+≤
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪-+≥
⎩
,z=2x y
+,则z取最大值的最优解是 .
15.已知
221(0)
()
(3)(60)
x x x
f x
f x x
⎧-+≥
=⎨
+-≤<
⎩
,则()1
f x>的解集
是 .
16.如图,将菱形ABCD的每条边1,2,3,…,n,…等分,并按图1, 图2,图3,;图4,…的方式连结等分点
,将每个点依图示规律填上1,2,3,4,5,6,,…,例如图3中菱形ABCD的四个顶点上所填数字之和为
34.
(2)图n 中,菱形ABCD 的四个顶点上所填数字之和是 .
三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
(1)角θ的终边过点(4,－3),{}n a θθ是以sin 为首项,si n 为公差的等差数列，试求
{}n a 的前n
项和n S ； （2
）若1
(cos ,(,sin )22
m x n x ωω==-，函数()f x m n =⋅的最小正周期为π，将()f x 的
；图像向左平移
12
π
个单位，得()y g x =的图象，求()y g x =的对称轴方程及单调增区间.
18.(本小题满分12分)
某同学做了五次试验,其试验结果分别为－1 ,－2,2,4,7. (1)求五次试验结果的平均数与方差;
(2)从五次试验结果中任取两个不同的数分别作为点的横坐标与纵坐标,试求这些点
落在区域0040x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪--≥⎩
的概率.
19.(本小题满分12分)
如图, 已知△BCD 中，∠BCD=900
，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，
∠ADB=600
，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
(01).AE AF
AC AD
λλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC ； （2）若1
2
λ=
，求三棱锥A －BEF 的体积.
20．（本小题满分13分）
某校学生社团心理研究小组在对学生上课注意力集中情况 的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的 关系满足如图所示的曲线.当t ∈（0，14）时，曲线是二 次函数图象的一部分，当[14,40]t ∈时，曲线是函数 1(5)83(01)a p og T a a =-+>≠且图象的一部分。
根据专 家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳. (1) 试求()p f t =R 的函数关系式;
(2) 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.
21.(本小题满分13分)
已知椭圆C 中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y=3
2
x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M,点M 在
X 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2,椭圆C 另一个焦点是F 1,且129
4
MF MF ⋅=u u u u r u u u u r .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)直线l 过点(-1,0),且与椭圆C 交于P,Q 两点,求△F 2PQ 的内切圆面积的最大值.
22.(本小题满分13分)
设函数3
2(),()2f x x ax g x x b =+=+,已知它们的图像在1x =处有相同的切线. (1)求函数()()f x g x 和的解析式; (2)若函数()()()F x f x mg x =-在区间[1
2
,3]上是单调函数,求实数m 的取值范围.。