高一数学3月月考+有答案
2023-2024学年广东省广州大学附中高一(下)第三次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州大学附中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则()A.B.C. D.2.已知复数满足，则()A.B. C.D.3.某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”．某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为()A.B. C.D.4.已知平面向量，其中，且与和与的夹角相等，则()A. B.1C.D.25.若，则()A. B.C.D.6.已知的外接圆的圆心为O ，半径为1，，在上的投影向量为，则()A.B.C.1D.7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A.B.C.D.8.已知三棱锥的四个顶点在球O 的球面上，，是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，，则球O 的体积为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是()A.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9B.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是D.若样本数据，，⋯，的平均数为2，则，，⋯，的平均数为810.已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是()A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上的减区间为D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到11.如图，在菱形ABCD中，，，将沿对角线BD翻折到位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的()A.存在某个位置，使得B.存在某个位置，使得C.存在某个位置，使得P，B，C，D四点落在半径为的球面上D.存在某个位置，使得点B到平面PDC的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023—2024学年山西省运城市景胜中学高一下学期3月月考数学试卷
2023—2024学年山西省运城市景胜中学高一下学期3月月考数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知向量且与的夹角为，则A．B．C．D．(★★) 2. 已知向量，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 如图，已知两个单位向量和向量与的夹角为，且与的夹角为，若，则（）A．B．C．1D．(★★) 4. 如图，已知，，，用、表示为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 如图，△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（）A．B．C．6D．12(★★★) 7. 中，三边之比，则等于（）A．B．C．2D．(★★) 8. 国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为，，A．17米B．22米C．30米D．35米二、多选题(★★★) 9. 已知向量，且则下列选项正确的是（）A．B．C．向量与向量的夹角是45°D．向量在向量上的投影向量坐标是(★★★) 10. 设点是所在平面内任意一点，的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A．若点是的重心，则B．若点是的垂心，则C．若，则点是的外心D．若，则点是的内心(★★★) 11. 已知的角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．为等腰非等边三角形D．为等边三角形三、填空题(★★) 12. 已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 ______ .(★★) 13. 已知，则在方向上的投影为___________ .(★★)14. 已知为的边上的高，，，，则 ______ .四、解答题(★★) 15. .已知平行四边形ABCD中，，, M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点.(1)用基底，表示向量，；(2)求证：M、N、C三点共线.(★★)16. 已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．(★★★) 17. 如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，，.(1)若是的外心，求、的值；(2)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值. (★★★) 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，求B；(2)若D为AC中点，且，求．(★) 19. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，且，求△ABC的周长．。
数学高一月考试题及答案
数学高一月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x-5，则f(-2)的值为：A. 3B. -3C. -1D. 12. 在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 5D. 64. 若sinθ=1/3，且θ为第一象限角，则cosθ的值为：A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 2√6/35. 函数y=x^3-3x+2在x=1处的导数为：B. 1C. 2D. 36. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，那么a_5的值为：A. 162B. 486C. 729D. 9728. 若直线y=2x+1与圆x^2+y^2=25相切，则该直线与x轴的交点坐标为：A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)9. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值为：A. 2B. 1C. 0D. -110. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 6)，则向量a与向量b的夹角A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x_0，则f'(x_0)的值为________。
2. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_4的值为________。
3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为________。
4. 若sinα=3/5，且α为第二象限角，则cosα的值为________。
5. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值为________。
重庆知名中学2024年高一下学期3月月考数学答案
重庆南开中学校高2026级数学测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，1sin 4B =，则b =（ ）A.B.12C. 2D. 【答案】B 【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果. 【详解】根据正弦定理可得sin sin a bA B=， 即11124b=，解得12b =， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目. 2.已知向量1(2BA =,1),2BC则∠ABC = A. 30 B. 45C. 60D. 120【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意，得cos BA BC ABC BA BC⋅∠==，所以30ABC ∠=°，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤ ；（2）由向量的数量积的性质知|a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．△3. 下列各式中不能．．化简为PQ的是（ ） A. ()AB PA BQ ++B. PA AB BQ +−C. QC QP CQ −+D. ()()AB PC BA QC ++−【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.【详解】对于A ：()AB PA BQ PA AB BQ PQ ++=++=，故A 不合题意；对于B ：PA AB BQ PB BQ +−=−，故B 满足题意；对于C ：QC QP CQ QC CQ PQ PQ +++=−=，故C 不合题意；对于D ：()()AB PC BA QC BA AB PC CQ PQ ++−=+++=，故D 不合题意.故选：B4. 已知单位向量a ，b满足0a b ⋅= ，若向量c =+ ，则sin ,a c ＝（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】计算出a c ⋅ ，及c ，从而利用向量余弦夹角公式计算得到cos ,a c = ，再利用同角三角函数平方关系求出sin ,a c.【详解】因为a ，b是单位向量，所以1ab == ，又因为0a b ⋅= ，c =，所以3c = ，)2a c ab ⋅=⋅+=⋅=，所以cos ,a c a c a c⋅==⋅因为[],0,πa c ∈，所以sin ,a c 故选：B ．5. 若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+− 的最小值是（ ）A.B.C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】设向量,a b夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+− 的夹角为γ，利用1cos2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅= ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+−=，进而得到()1+−λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b夹角为θ，则1cos2ab a b θ==， ()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅= ，设()a b + 与(1)a b λλ+−的夹角为γ， ∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+−= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+− ，0,2πγ∈，(1)a b λλ+−≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos2ab a b θ==， 得到()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅=，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+−的夹角γ，得出()1+−λλa b 的最小值，难度属于中档题6. 如图，在平行四边形ABCD 中，12DE EC =，F 为BC 的中点，G 为EF 上的一点，且79AG AB mAD =+ ，则实数m 的值为A.23B.13C. 13−D. 23−【答案】A 【解析】 【分析】可根据条件得出11,32DE AB BF AD ==，并可设(1)AG AE AF λλ=+−，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出21(1)()322AG AB AD λλ=−++ ，从而根据平面向量基本定理即可得出27139122m λλ −= =+，解出m 即可． 【详解】解：12DE EC =，F 为BC 的中点， 1,3DE AB =∴ 12BF AD = ，设(1)AG AE AF λλ=+−()(1)()AD DE AB BF λλ++−+ 11(1)32AD AB AB AD λλ ++−+211322AB AD λλ =−++，又79AG AB mAD =+ ，27139122m λλ −= ∴ =+，解得23m =.故选：A.【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．7. ABC ∆所在平面内一点P 满足22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅ ，若2PA BP =，则cos 2θ=（ ）A.B. C.13D. 13−【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，用,CA CB 作为基底表示出CP.即可求得22sin ,cos θθ，由余弦二倍角公式即可求得cos 2θ.【详解】ABC ∆所在平面内一点P ，2PA BP =所以CP CB BP =+13CB BA =+()13CB CA CB =+−2133CB CA +=因为22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅所以2212sin ,cos 33θθ== 由余弦二倍角公式可得cos 2θ=22211cos sin 333θθ−=−= 故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的简单应用，属于基础题.8. 已知函数()22sin cos 4cos 1f x x x x =+−，若实数a 、b 、c 使得()()3af x bf x c −+=对任意的实数x 恒成立，则2cos a b c +−的值为（ ）A.12B.32C. 2D.52【答案】B 【解析】【分析】设()()21f x x ϕ=++，得到()()221f x c x c ϕ+=+++，根据题意转化为)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ−+++−−=，由此得出方程组cos 20sin 2030a b c b c a b −== −−=①②③，分0b =和sin 20c =，两种情况讨论，即可求解. 【详解】设()()22sin cos 4cos 1sin 22cos 2121f x x x x x x x ϕ=+−=++=++，可得()()221f x c x c ϕ+=+++，其中02πϕ<<，且tan 2ϕ=，因为实数,,a b c 使得()()3af x bf x c −+=对任意的实数x 恒成立，()()sin 2sin 223x x c a b ϕϕ+−+++−=恒成立，()()()sin 2sin 2230x x c a b ϕϕ+−+++−−=恒成立，)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ−+−++−−=由上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 20sin 2030a b c b c a b −== −−=①②③， 若0b =，则由式①知0a =，显然不满足式③，所以0b ≠， 所以，由式②知sin 20c =，则cos 21c =±， 当cos 21c =时，则式①，③矛盾.所以cos 21c =−，由式①，③知32a b =−=，所以32cos 2a b c +−=. 故选：B.【点睛】知识方法：有关三角函数综合问题的求解策略：1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 已知a 、b 、c均为非零向量，下列命题错误的是（ ）A. R λ∃∈，()a b a b λ+=⋅B. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 可能成立 C. 若a b b c ⋅=⋅，则a c =D. 若1a b ⋅=，则1a = 或1b =【答案】ACD 【解析】【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项.【详解】()+a b λ 仍是向量，a b ⋅不是向量，A 错；不妨取()1,1a =，()2,2b = ，()3,3c = ，则()()()43,312,12a b c ⋅⋅== ，()()1212,12a b c a ⋅⋅==，此时()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，B 对；若()1,0b = ，()3,2a = ，()3,3c = ，则3a b b c ⋅=⋅= ，但a c ≠，C 错；若()2,1a = ，()1,1b=− ，则1a b ⋅=，但1a > ，1b > ，D 错.故选：ACD. 10. 若直线()00x ky k +=≠与函数()()()22112sin 21xx x f x −−=+图象交于不同的两点A ，B ，已知点()9,3C ，O 为坐标原点，点(),D m n 满足DA DB CD +=，则下列结论正确的是（ ）A. ()()11f x f x +=−−B. 3CO OD =C. 3n m =D. 80CA CB DA DB ⋅−⋅=【答案】CD 【解析】【分析】首先判断()f x 的奇偶性，即可判断A ，从而得到A 、B 两点关于原点对称，再根据平面向量的坐标运算求出m 、n ，即可判断B 、C ，设()00,A x y ()00x ≠，则()00,B x y −−，根据数量积的坐标运算判断D.【详解】对A ，因为()()()()22112sin 21cos 22121xxxxx x f x −−−==++定义域为R ，则()()()1121cos 22121x x x f x ++−++=+，()()()()()()111121cos 2221cos 22112121xx xx x x f x f x −−+−−+−−−−+−−==−=−+++，故A 错误；对B ，由()()110f x f x ++−−=，所以()()0f x f x +−=，所以()f x 为奇函数， 又直线()00x ky k +=≠与函数()f x 图象交于不同的两点A ，B ， 则A 、B 两点关于原点对称，且A 、B 的中点为坐标原点O ，所以()22,2DA DB DO m n +==−− ，又()9,3CD m n =−− ，DA DB CD += ， 所以2923m m n n −=− −=−，解得31m n ==，所以()3,1D ，则()3,1OD = ，又()9,3CO =−− ，所以3CO OD =−，故B 错误；对C ，又133n m ==，故C 正确；对D ，不妨设()00,A x y ()00x ≠，则()00,B x y −−，所以()009,3CA x y =−− ，()009,3CB x y =−−−− ， ()003,1DA x y =−− ，()03,1CB x y =−−−− ，所以CA CB DA DB ⋅−⋅ ()()()()()()()()0000000099333311x x y y x x y y −−−+−−−−−−−−−−−222200008199180x y x y =−+−−+−+=，故D 正确.故选：CD11. 已知()()20f x ax bx c a ++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题正确的是（ ）A. 方程()f f x x = 也一定没有实数根B. 若0a >，则不等式()f f x x > 对一切实数都成立C. 若a<0，则必存在实数0x ，使()00f f x x > 成立D. 若0a b c ++=，则不等式()f f x x < 对一切实数都成立 【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得函数()f x 的图象与直线y x =没有交点，所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立，从而得到()()f f x f x x >> 或()()f f x f x x << 恒成立，然后再逐一判断即可得出答案. 【详解】因为方程()f x x =无实数根，即函数()f x 的图象与直线y x =没有交点， 所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立.因为()()f f x f x x >> 或()()f f x f x x << 恒成立， 所以()f f x x = 没有实数根，故A 正确；若0a >，则不等式()()f f x f x x >> 对一切实数x 都成立，故B 正确； 若a<0，则不等式()f f x x < 对一切实数x 都成立， 所以不存在实数0x ，使()00f f x x > ，故C 错误；若0a b c ++=，则()101f =< ，可得a<0 ，因此不等式()f f x x < 对一切实数都成立，故D 正确； 故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a ，b 满足4a = ，()1,2b = ，a 与b 的夹角为π3，则a 在b 上的投影向量为_____（用坐标表示）．【答案】 【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量是)π1cos 41,232b a b ⋅⋅=⋅=，故答案为：. 13. 如图，在ABC 和AEF △中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CACB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于______.【答案】13【解析】【分析】由题设得27AB AB AC BE AB C BF A +=+⋅+⋅⋅，由AC AB BC −=求AC AB ⋅ ，又()AB BE AB BF ⋅=⋅− ，即可得112EF BC ⋅=，进而求EF 与BC 的夹角的余弦值. 【详解】由图知： AE AB BE =+ ，AF AB BF =+，∴2()()7AB AE AC AF AB AB BE AB B AC A F BE AB B B A F B AC AC ⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅++++=⋅⋅，又2222()29AC AB AC AC AB AB BC −=−⋅+== ，且3CA =，2AB =， ∴2AC AB ⋅=，∴1AB A F C BE B =⋅+⋅，而()AB BE AB BF ⋅=⋅− ，即1()12BF AC AB EF BC ⋅−=⋅= ， 又2EF =，3CB =∴1cos ,3EF BC <>= .故答案为：13. 【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到1()12BE BF BF AC AB AB A E C F BC =⋅−=⋅=⋅+⋅，进而求向量夹角余弦值.14. 已知平面向量1e ，2e ，3e ，p ，满足1231e e e === ，120e e ⋅= ，1p ≤ ，则()()12p e p e −⋅−+ ()()()()2331p e p e p e p e −⋅−+−⋅−的最大值为______.【答案】5+【解析】【分析】先将所求向量式转化变形，参变向量分离，再由变形向量式的几何意义判断最值状态，最后坐标运算求解最值.【详解】设()()()()()()122331M p e p e p e p e p e p e =−⋅−+−⋅−+−⋅−，则()()()()21223311231233M p e e p e e p e e p e e e e e e =−+⋅++⋅++⋅+ ⋅+⋅+⋅()()212312323132e e e e e p e e e p e ⋅+⋅+=−++⋅+⋅()()22123123123231333e e e e e e e e e e p e e ++ ++=−−+⋅+⋅+⋅()()23222212312311231231232333e e e e e e e e e e e e e e e e e e p ⋅+⋅++++ ++=−−+ ⋅⋅+⋅+⋅21213132323133e e e e e e e e e p ++=−+− ⋅+⋅+⋅设(,)OP p x y ==，120e e ⋅= ，不妨设11(1,0)OE e == ，22(0,1)OE e == ， 33(cos ,sin )OE e θθ== ，[0,2)θπ∈，1233e e e OG ++=，即G 为123E E E 的重心. 则221233e e e p PG ++−=， 点P 位于圆上或圆内，故当P 在射线GO 与圆周交点时，2PG 最大，即()21OG +最大时.()22123312(1cos ,1sin )sin cos 311311333e e e e M e OG e θθθθ⋅+ +++∴≤++−=++− +⋅ ⋅2sin cos 3113θθ+ =+−由sin cos θθ≤+≤23115M ≤−=+. 当且仅当4πθ=时，M取到最大值5+.故答案为：5+.【点睛】向量式的最值问题求解，要重视三个方面的分析：一是其本质上与函数的最值求解一致，变形时要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利用几何意义求解最值；三是坐标应用，向量坐标化将问题转化为函数最值问题求解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在△OAB 中，G 为中线OM 上一点，且2OG GM =，过点G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q .（1）用向量OA ，OB 表示OG；（2）设向量43OA OP = ，OB nOQ =，求n 的值.【答案】（1）1133OA OB +；（2）53【解析】【分析】（1）根据23OG OM = ，结合向量线性运算，再用OA ，OB表达OM 即可；（2）用OP ，OQ 表达OG ，结合,,P G Q 三点共线即可求得n .【小问1详解】∵G 中线OM 上一点，且2OG GM =，.的为∴()22213333OG OM OA AM OA AB ==×+=+()21113333OA OB OAOA OB =+×−=+； 小问2详解】∵43OA OP = ，OB nOQ = ，1133OG OA OB =+， ∴111443333393n n OG OA OB OP OQ OP OQ =+=×+=+，又G ，P ，Q 三点共线， ∴4193n +=，解得53n =，故n 的值为53. 16. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+.（1）求ACCB的值； （2）已知(1,cos )A x ，(1cos ,cos )B x x +，[,0]3x π∈−，若函数2()(2)3f x OA OC m AB =⋅−+最大值为3，求实数m 的值.【答案】（1）2；（2）12−. 【解析】【分析】(1) 化简得2BC CA =，即得AC CB的值；（2）先求出2()cos 2cos 1f x x m x =−+，再换元利用二次函数的图像和性质求实数m 的值.【详解】（1）由题意知，32OC OA OB =+ ，即2()OC OB OA OC −=−，所以2BC CA =，即2AC CB=. （2）易知(1,cos )OA x = ，(1cos ,cos )OB x x =+ ，(cos ,0)AB x =，则2(1cos ,cos )3OCx x =+ ，cos AB x = ， 所以2()cos 2cos 1f x x m x =−+， 令cos t x =，则2()21g t t mt =−+，1[,1]2t ∈，其对称轴方程是t m =. 当34m ≤时，()g t 的最大值为(1)1213g m =−+=，解得12m =−；【的当34m >时，()g t 的最大值为11()1324g m =−+=，解得74m =−（舍去）. 综上可知，实数m 的值为12−.【点睛】本题主要考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，60ABC ∠= ，E 是AD 的中点.（1）记BD m = ，BA n =且228m n −=，求m ，n 值；（2）记()12BC AD λλ=<< ，F 是线段CD 上一动点，且CD CF λ=，求22BE BF λ⋅− 的取值范围.【答案】（1）2n =，m =（2）15,2 −【解析】【分析】（1）由BD BA AD =+，将两边平方，结合数量积的运算律及定义得到方程，解得即可； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】依题意BD BA AD =+，所以()22222BD BA ADBA BA AD AD =+=+⋅+，即2222cos 60BD BA BA AD AD =+⋅°+ ，即2224m n n =++，又228m n −=，解得2n =，m =（负值舍去）； 【小问2详解】过点A 作AO BC ⊥，如图建立平面直角坐标系，因为()12BC AD λλ=<<，2AD =， 所以()1,0B λ−，()1,0C λ+，)()1A λ−，)()1E λ−，)()1D λ−，所以)()1BEλλ=−，)()11CD λλ=−−，()2,0BC λ=，因为CD CF λ=，所以1CF CD λ=所以()21122,0BF BC CF λλλλλλ −−+=+=+= ，所以2221222BE BF λλλλ⋅−+=−−()2313125λλλλλ−=−+=+−，令()32f x x x=+，()1,2x ∈， 设()12,1,2x x ∈且12x x <，则()()()121212121212233322x x f x f x x x x x x x x x −−=+−+=− ，当12,x x ∈ 时，12312x x <<，则12230x x −<，又120x x −<， 所以()()120f x f x −>；当12,2x x ∈时，12342x x <<，则12230x x −>，又120x x −<， 所以()()120f x f x −<；所以()f x在上单调递减，在上单调递增， 又()15f =，()1122f =，f =1152<<， 所以()112f x∈，所以31255,2λλ+−∈−，即22BE BF λ⋅−的取值范围为15,2 .18. 如图，A ､B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且AOB θ∠=（θ为锐角）.点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .（1）求OA AB ⋅（结果用θ表示）； （2）若60θ=①求CA CB ⋅的取值范围：②设(01)OM tOB t <<= ，记()COMBMA S f t S = ，求函数()f t 的值域. 【答案】（1）22sin 2OA AB θ⋅=− （2）①[]0,3；②()0,2 【解析】【分析】（1）根据数量积的定义以及几何意义结合图形分析运算； （2）①根据数量积结合三角函数运算求解；②结合图形分析可得⋅=⋅COMBMAS OM CMS MB AM，根据向量的相关知识运算整理，再结合函数单调性与最值，运算求解.【小问1详解】2()1cos 12sin 2OA AB OA OB OA OA OB θθ⋅=⋅−=⋅−=−=−【小问2详解】①()()2⋅=−⋅−=⋅−⋅−⋅+ CA CB OA OC OB OC OA OB OA OC OC OB OC .设BOC α∠=.由题意得2π0,3α∈，则2πc 1,=os cos ,3,12αα +⋅= ⋅⋅==OA OB OA OC OC OB OC所以3π31cos cos cos cos 2322ααααα⋅=−+−=−+−CA CB33313πcos sin .222226ααααα=−+=−−=+ 因为2π0,3α∈，则ππ5π,666α +∈所以πcos 6α+∈ ，则[]0,3CA CB ⋅∈ ；（2）设(01)AM AC λλ=<<，则()1OM OA AM OA AC OA OC tOB λλλ=+=+=−+=， 所以1t OC OB OA λλλ−=− ，由1OC = 得11t OB OA λλλ−−=， 即221121OA t t OB λλλλλλ−−+−×××⋅=，整理得212t t t λ−+=−， 所以22111CM t AM t t λλ−−==−+， 所以22221111COM BMA OM CM S t t t tS t t t t t MB AM⋅−+==×=−−+−+⋅. 即()()2222221(01),1111t t t t t f t t f t t t t t t t ++−=<<==+−+−+−+.()22421(11),11,311122aat a a g a a a a −=−<<=+=++++ −+令()12,1,1∀∈−a a ，令12<a a()()()()()()1212121222221212434411=,3333−− −=+−+ ++++a a a a a a g a g a a a a a ∵()()22121212330,0,30++>−<−>a a a a a a ，则()()120g a g a −<，即()()12g a g a <∴()2413=++ag a a 在()1,1−上单调递增，则()()0,2∈g a 所以函数()22(01)1t tf t t t t +=<<−+值域是()0,2.19. 如图所示，ABC 为等边三角形，AB =I 为ABC 的内心，点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动.（1）求出()()()222PA PB PC ++ 的值.（2）求PA PB ⋅的范围.（3）若()0,,xPA yPB z C x y z P ∈++=R ，当x y最大时，求zx y +的值.【答案】（1）51 （2）[]11,3−− （3）35【解析】【分析】（1）以I 为原点，IA 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点P 在圆221x y +=上，设()cos ,sin P θθ，即可表示PA ，PB，PC ，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）由（1）知π4sin 73PA PB θ⋅=−−−，根据正弦函数的性质计算可得；（3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到cos 422sin x y z x y z θθ = −− = ++，再根据同角三角函数的基本关系，得到2225556660x y z xy xz yz ++−−−=，又0y ≠，两边同除2y ，令x m y =，zn y=，将原式化为()225665650n m n m m −++−+=，再根据0∆≥求出m 的取值范围，即可得解；【小问1详解】以I 为原点，IA 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示． 由正弦定理得ABC 外接圆半径142R ==，则()0,4A，进而可得()2B −−，()2C −．因为点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动，故设()cos ,sin P θθ，则()cos ,4sin PA θθ=−−，)cos ,2sin PB θθ=−−−，()cos ,2sin PCθθ=−−− ，所以()()()222PA PB PC ++()()()()()222222cos 4sin cos 2sin cos 2sin θθθθθθ+−++++++()223cos sin 4851θθ++=． 【小问2详解】由（1）知π2sin 74sin 73PA PB θθθ⋅−−=−−−，又因为[]πsin 1,13θ −∈−，所以π114sin 733θ−≤−−−≤−， 即[]11,3PA PB ⋅∈−−.【小问3详解】因为0xPA yPB zPC =++)()()()cos ,422sin z y x y z x y z x y z θθ−−++−−−++，所以cos 422sin x y z x y z θθ =−− = ++， 代入22sin cos 1θθ+=整理得2225556660x y z xy xz yz ++−−−=，(),,x y z ∈R ， 显然0y ≠，两边同时除以2y ，得222225556660x z x xz zy y y y y++−−−=， 令x m y =，zn y=，则225556660m n m mn n ++−−−=， 即()225665650n m n m m −++−+=， 所以()()22Δ66455650m m m =+−××−+≥，即2310m m −+≤，m ≤≤，所以x y （即m此时Δ0=，所以335m n +=， 所以335m z y +=，x my =，所以33355m yz x ymy y +==++. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题.。
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
2023-2024学年湖南省长沙一中高一(下)第三次月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数a +3i2+i 是纯虚数，则实数a =( )A. −32B. 32C. −23D. 232.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下： 班级12345678得分2834343026282832则下列说法正确的是( )A. 得分的众数为34 B. 得分的中位数为28C. 得分的75%分位数为33D. 得分的极差为63.已知平面α、β，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是( )A. 若α//β，m//β，则l//m B. 若α//β，m ⊥β，则l ⊥m C. 若l//m ，α//β，则m//βD. 若l ⊥m ，m//β，则α⊥β4.已知a >0，b >0，则“a +b >1”是“ab >14”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知正六棱柱ABCDEF−A 1B 1C 1D 1E 1F 1的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角的余弦值为( )A. 12B.64C. 14D. 06.已知cos (α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan (2α+π4)=( )A. 12B. 43C. −1D. −437.已知m ∈R ，若函数f(x)=1x +1−mx−m−3(−1<x ≤0)在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (−94,−2)B. (−94,−2]C. (−114,−2)D. (−114,−2]8.已知集合I ⊆{a|a =(x,y)，x ，y ∈R}，若对于任意m ，n ∈I ，以及任意λ∈[0,1]，满足λm +(1−λ)n ∈I ，则称集合I 为“类圆集”.下列说法正确的是( )A. 集合A ={a|a =(x,y)，y ≥x 3}为“类圆集”B. 集合B ={a|a =(x,y)，y ≤lnx}为“类圆集”C. 集合C ={a|a =(x,y)，y ≥x 2}不为“类圆集”D. 若A ，B 都是“类圆集”，则A ∪B 也一定是“类圆集”二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023北京首都师大附中高一3月月考数学(教师版)
2023北京首都师大附中高一3月月考数 学（2023年03月）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目的一项）1. 四边形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BC ＝c ，则DC ＝( )A. a －b ＋cB. b －(a ＋c )C. a ＋b ＋cD. b －a ＋c2. 将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A. 5212y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭B. 5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.212y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭D. 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =A. 1324AB AD −+ B. 1223AB AD + C.1132AB AD − D.1324AB AD −4. 若θ ） A. 2tan θB.2tan θC. 2tan θ−D. 2tan θ−5. 如果函数()f x 是定义在()3,3−上的奇函数，当03x <<时，函数()f x 的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是A. (3,)(0,1)(,3)22ππ−−⋃⋃ B. (,1)(0,1)(,3)22ππ−−⋃⋃C. (3,1)(0,1)(1,3)−−⋃⋃D. (3,)(0,1)(1,3)2π−−⋃⋃6. 已知函数()()2sin()06f x x ωωπ=−>，若R x ∀∈，()()3f x f π≤，则ω的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 87. 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对任意的12,x x I ∈，()0,1t ∈，当12x x <时，都有()()()()121211f t x tx t f x tf x ⎡⎤−+>−+⎣⎦，则称()y f x =在区间I 上是“n −函数”下列函数中是区间()0,2π上是“n −函数”的是（ ）A. sin 2y x =B. cos 2y x =C. sin2xy = D. cos2x y = 8. 如图，A ，B ，C 三点在半径为l 的圆O 上运动，M 是圆O 外一点，且AC BC ⊥，2OM =，则MA MB MC ++的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知扇形的面积为9，圆心角为2rad ，则扇形的弧长为______． 10. 设向量()3,1OA =−，()1,2OB =−，()3,OC t =−. （1）若A ，B ，C 三点共线，则t =________；（2）2OB OC AB +=，则t =_______.11.πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为_______，对称轴为_______.12. 已知,a b 是两个平面向量，||22b =，且对任意t R ∈，恒有||||b ta b a −−，则||||a b a −+的最大值是__________．13. 已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线1110x π=对称，且()f x 在,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则m 的最大值为_____.14. 已知π()2sin(2)3f x x =+，若123,,x x x ∃∈3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使得123()()()f x f x f x ==，若123x x x ++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=___________.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 化简求值.（1）计算：14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）化简：()()()3sin 2πcos 3πcos π21sin πsin πααααα⎛⎫−++ ⎪⎝⎭⎛⎫−++ ⎪⎝⎭16. 某港口的水深y （单位：m ）是时间t （024t ≤≤，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深表：经过长时间的观察，描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数sin y A x B =++的图象.（1）试根据数据表和曲线，求出函数()sin y A x B ωϕ=++的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多少小时?（忽略离港所用的时间）17. 如图所示，L ，M ，N 分别为ABC ∆的边BC ，CA ，AB 上的点，且BLl BC =，CM m CA=，ANn AB=，若0AL BM CN ++=．求证：l m n ==．18. 已知函数()ππ2sin 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数()f x 在[]0,6上的图像；（2）求()y f x =，x ∈R 的单调递增区间；（3）当[]0,x m ∈时，()f x 的取值范围为[]1,2，直接写出m 的取值范围.19. 如图，在OAB 中，3OA OC =，2OB OD =，AD 与BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点.（1）用OA ，OB 表示OM ；（2）设OE OA λ=，OF OB μ=.①求证：125λμ+=；②求λμ+的最小值.参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目的一项）1. 【答案】A 【解析】【分析】在四边形ABCD 中, 观察图形知+DC +=b a c ,由此能可得答案. 【详解】解：在四边形ABCD 中,AB ＝a ，AD ＝b ，BC ＝c ,∴ +DC +=b a c , ∴ DC =+−a b c ,故选A.【点睛】本题主要考查向量的加减混合运算及其几何意义，得出+DC +=b a c ,是解题的关键. 2. 【答案】D 【解析】【分析】先将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2()124y x ππ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭化解为212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 3. 【答案】D 【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =−，，1=2AF AE ，，=AE AB BE +，，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =−，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=−−+−− 又=BC AD1324DF AB AD ∴=−.故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 4. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简可求出. 【详解】θ为第二象限角，sin 0θ∴>，==1cos 1+cos sin sin θθθθ−=−1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ−=−=−=−.故选：D. 5. 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx 图象，要求得()cos 0f x x <的解集，只需转化为在(3,3)−寻找满足如下两个关系的区间即可：()0()0{{cos 0cos 0f x f x x x ><<>或，结合图象易知当(,1)2x π∈−−时，()0,cos 0f x x ，当(0,1)x ∈时，()0,cos 0f x x ，当(,3)2x π∈时，()0,cos 0f x x ><，故选B.考点：奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想. 6. 【答案】A 【解析】【分析】由题意可得函数()f x 在3x π=时取最大值，再利用正弦型函数的性质列式求解作答.【详解】因()R,()3x f x f π∀∈≤，则有max ()()23f x f π==，即()2Z 362k k ωππππ−=+∈，解得()26Z k k ω=+∈，而0ω>，则N k ∈，即当0k =时，min 2ω=， 所以ω的最小值为2 故选：A 7. 【答案】C 【解析】【分析】当12t =时，如果对任意的()12,0,2πx x ∈，当12x x <时，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数为凸函数，进而分析各选项即可得答案. 【详解】解：由题知，当12t =时，如果对任意的()12,0,2πx x ∈，当12x x <时，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，故函数为凸函数；对于A 选项，sin 2y x =的最小正周期为π，由于正弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数性质，所以sin 2y x =在()0,2π不具有始终为凸函数的性质，故错误；对于B 选项，cos 2y x =的最小正周期为π，由于余弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数性质，所以cos 2y x =在()0,2π不具有始终为凸函数的性质，故错误； 对于C 选项，sin 2xy =的最小正周期为4π，其函数图像在()0,2π始终具有为凸函数的性质，故正确； 对于D 选项，cos 2xy =的最小正周期为4π，其函数图像在()0,2π上即具有凸函数性质，又有凹函数性质，故错误； 故选：C 8. 【答案】D 【解析】【分析】连接AB ，结合题意得到O 为AB 的中点，再利用向量的运算即可求解. 【详解】连接AB ，由题意可知AB 为圆O 的直径，所以O 为AB 的中点，则2247MA MB MC MO MC MO MC MC ++=+≤+≤+=，当且仅当,MO OC 同向时取等号， 故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 【答案】6 【解析】【分析】联立公式12S lr =和l r α=⋅，即可得到本题答案. 【详解】设半径为r ，弧长为l ， 由题得，192S lr ==①，2l r =②， ②代入①得，29r =，所以3r =，则26l r ==. 故答案为：6 10. 【答案】 ①. 72##3.5 ②. 4− 【解析】【分析】（1）若A ，B ，C 三点共线，则//AB AC ，由平行向量的坐标表示即可得出答案；（2）由向量的模长公式可求出225OB OC +=，5AB =，则5=，解方程即可得出答案.【详解】（1）()4,3AB OB OA =−=−，()6,1AC OC OA t =−=−+， 若A ，B ，C 三点共线，则//AB AC ，()()41360t −⨯+−⨯−=，解得：72t =.（2）()()()221,23,5,4OB OC t t +=−+−=−+，()4,3AB OB OA =−=− 因为2OB OC AB +=，则225OB OC +=5AB =，5=，解得：4t =−.11. 【答案】 ①. π ②. ππ,62k x k =−+∈Z 【解析】【分析】根据题意，由余弦型函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则其最小正周期为2ππ2T ==，令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ,62k x k =−+∈Z ， 所以其对称轴为: ππ,62k x k =−+∈Z 故答案为:π; ππ,62k x k =−+∈Z 12. 【答案】4 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律及不等式恒成立，得到222220t a tb a b a a −⋅+⋅−≥恒成立，即可得到()2240b a a ⋅−≤，从而得到()a b a ⊥−，设||a x =，||b a y −=，则228x y +=，再利用基本不等式计算可得．【详解】解：对任意t R ∈，恒有||||b ta b a −−，所以()()22b tab a −−，即2222222b tb a t a b b a a −⋅+−⋅+即222220t a tb a b a a −⋅+⋅−≥()()2222420b a a b a a−⋅−⋅−≤，即()2240b a a ⋅−≤所以20b a a ⋅−=，即()0b a a −⋅=∴()a b a ⊥−．设||a x =，||b a y −=，则2228x y +==，∴2||||2884a b a x y xy xy x −+=+==+=++，当且仅当“x y =”时“=”成立．∴||||a b a −+的最大值为4． 故答案为：4． 13. 【答案】3π5【解析】【分析】根据函数的对称性求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据x 的取值范围，求出2π5x −的取值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线11π10x =对称， 所以11π210k ϕπ⨯+=，Z k ∈，即511πk ϕπ=−，Z k ∈， 又2πϕ<，所以π5ϕ=−，从而()2π5cos f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22π2ππ,5155x m ⎡⎤−−⎢⎣∈⎥⎦，因为函数cos y x =在[]0,π上单调递减，在[],2ππ上单调递增， 所以2ππ2155m π<−≤，即π3π65m <≤，故m 的最大值为3π5. 故答案为：3π514. 【答案】23π6【解析】【分析】作出()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，123,,x x x 为()f x 的图象与直线y =m 交点的横坐标， 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒【详解】作出π()2sin(2)3f x x =+在3π[0,]2上的图象（如图所示）因为π(0)2sin3f ==3ππ()2sin(π)23f =+=所以当()f x 的图象与直线y =设前三个交点横坐标依次为1x 、2x 、3x ，此时和最小为N ，由π2sin(2)3x +=πsin(2)32x +=， 则10x =，2π6x =，3πx =，7π6N =；当()f x的图象与直线y =设三个交点横坐标依次为1x 、2x 、3x ，此时和最大为M ，由π2sin(2)3x +=，得πsin(2)3x +=， 则127π6x x +=，33π2x =，8π3M =；所以23π6M N +=. 故答案为：23π6. 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 【答案】（1）3（2）sin α 【解析】【分析】（1）（2）根据诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【小问1详解】14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()14π29π53π19πsin 4πcos tan 8πsin 8πcos 25π24π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−++−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π29π5π3πsin cos 4πtan sin cos π=13662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−+−+−−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】()()()()()()()31sin 2πcos 3πcos πsin cos πcos πsin cos sin 22sin 11sin cos sin πsin πsin πsin π22αααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫−++−+−+ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭===−−⎛⎫⎛⎫−++−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 【答案】（1）π3sin 106y t =+（2）16 【解析】【分析】（1）由图象求出函数的最大值和最小值以及周期进行求解即可． （2）根据条件解不等式7 4.5y −≥，然后进行求解即可． 【小问1详解】由图象知最大值13A B +=，最小值7A B −+=，得3A =，10B =， 得15312T =−=，即2π12ω=，得π6ω=，此时π3sin 106y t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又当3t =时，πππ3sin 310132π,Z 2π,Z 622y k k k k ϕϕϕ⎛⎫=⨯++=⇒+=+∈⇒=∈ ⎪⎝⎭,故π3sin 106y t =+．【小问2详解】由7 4.5y −≥，得11.5y ≥，即π3sin 1011.56t +≥，得π1sin 62t ≥， 得ππ5π2π+2π+666k t k ≤≤，Z k ∈，解得121125k t k +≤≤+，Z k ∈， 024t ≤≤，0k ∴=时，15t ≤≤，1k =时，13317t ≤≤，故当1时至5时，或13时至17时，能够安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间为17116−=小时． 17. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】令BC a =，CA b =为一组基底，根据已知有BL la =，CM mb =．根据向量的三角形法则以及平面向量的基本定理把,,AL BM CN 用向量,a b 表示出来即可。
浙江省嘉兴市第一中学高一下学期3月月考数学试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！嘉兴一中高一第二学期阶段性测试数学一、选择题（本大题共l2小题，每小题3分，共36分）1．下列转化结果错误的是 （ ） A ． 0367'化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度 C ． 150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么2α是 （ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．10012.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ ） A. βα> B. 0>+βα C. βα< D. 22βα> 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________15.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf16.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________. 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.18.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin > 其中正确命题的序号是________________________________ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值(2) 已知c os(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.22. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.O-226π1211πyx yP(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围.x嘉兴一中高一第二学期阶段性测试数学一、选择题（本大题共l2小题，每小题3分，共36分）1．下列转化结果错误的是 （ C ） A ． 0367'化成弧度是π83rad B. π310-化成度是-600度 C ． 150-化成弧度是π67rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么2α是 （ D ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ B ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ A ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( A ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ D ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( D ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ D ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ B ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ B ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( C )．A ．16B ．72C ．86D ．100 12.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ D ）A. βα>B. 0>+βαC. βα<D. 22βα>二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________()2sin(2)23f x x π=--14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________11015.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf 116.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________.2 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.1018.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________599605,66ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >其中正确命题的序号是________________________________③④ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 (2) 已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：（1）34-（2）-4 21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：（1）38 （2）1116 （3）233222. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数O-226π1211πyx yP)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q 是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.解：（1）56πϕ= （2）15A =23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.解：（2）3sin ,42()cos ,4x x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩（3）当21-12a a =-≤或<时，2a M π= 当2a =34a M π= 当22a <--1<时，a M π=（1）O 1-12π23π2π-ππ-yx24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围. 解：（1）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解 换sin t x = 则2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π=故 (1,5)a ∈或12a =（2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8- 当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0k >时，2()g x 值域为1[,]2k k -②当0k <时，2()g x 值域为1[,]2k k -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则0101182k k k⎧⎪>⎪≤⎨⎪⎪-≥-⎩ 或 0110218k k k ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩∴10k ≥或20k ≤-。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题含解析
2024年上学期3月阶段考试高一年级数学试卷（答案在最后）2024年3月时量：120分钟满分150命题：高一数学备课组审定：高一数学备课组一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b λ=.若a b + 与a 平行，则λ=（）A.5-B.52C.7D.12-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和向量共线的充要条件得到方程，解出即可.【详解】(1,2)(,1)(1,3)a b λλ+=-+=-，由a b + 与a平行，可得132(1)0λ-⨯-⨯-=，解得12λ=-.故选：D.2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin sin30sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+= ．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++ ，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．4.设集合{}(){}221,ln 1M y x y N x y x ==-==-，则M N ⋂=（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】对集合,M N 化简，然后利用集合的交集运算求M N ⋂.【详解】由题意得{}{}21212102M y x y y y y y ⎧⎫==-=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，(){}{}{}ln 1101N x y x x x x x ==-=->=<，所以112M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：C.5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,=AO AB AC OA AB =+ ，则向量AC 在向量BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC uu u r C.14BC-D.34BC-【答案】B 【解析】【分析】根据条件作图可得ABO 为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为2AO AB AC =+，所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又||||AB AO =，所以ABO 为等边三角形，则30ACB ∠=︒，故||||cos30AC BC =︒，所以向量AC 在向量BC上的投影向量为22cos30cos 3034AC BC BC AC BC BCBCBC BC BCBC BC BC BCBC︒︒⋅⋅=⋅=⋅=．故选：B ．6.已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =(其中12)x x ≠，则12116x x +的最小值（）A.34B.32C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得1216x x =，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为()()()()2222222log log log 1log 3log 4log 328x x f x x x x x =⋅=--=-+，所以由()()12f x f x =可得()()2221212222log 4log 3log 4log 3x x x x -+=-+，化简可得2122log log 4x x +=，即1216x x =，因为1121122111611x x x x x x x x +=+=+，120,0x x >>，所以112111612x x x x +=+≥=，当且仅当111x x =，即121,16x x ==时，等号成立.故选：C7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A.()()()()23ff f f > B.()()()()23fg f g <C.()()()()23g g g g > D.()()()()23g f g f <【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.【详解】因为()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，对于A 中，由()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，所以A 不正确；对于B 中，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，可得()00g =，又因为()g x 在[)0,∞+上单调递减，可得()()023g g >>，因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()()()()23f g f g >，所以B 不正确；对于C 中，由()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()23g g g g <，所以C 不正确；对于D 中，由()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()23g f g f <，所以D 正确.故选：D.8.在ABC 中，()2221sin ,224B A a c b -=+=，则sin C =（）A.23B.32C.12D.1【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理的边角变换得到2cos 2cos a B b A c -=-，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解.【详解】因为22222a c b +=，所以22222a b c -=-，因为2222222cos ,2cos a c b ac B b c a bc A +-=+-=，两式相减，得222222cos 2cos ,2cos 2cos a b ac B bc A c a B b A c -=-=-∴-=-，由正弦定理，得2sin cos 2sin cos sin A B B A C -=-，即()2sin sin B A C --=-，因为()1sin 4B A -=，所以1sin 2C =.故选：C.二､多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分．在每个小题给出的选项中，有多个选项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，a 的值可以为（）A.134B.72C.174D.5【答案】CD 【解析】【分析】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立转换为2230x x a ++->恒成立，然后应用一元二次函数的性质解题即可.【详解】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，即2230x x a ++->恒成立，所以Δ0<，即()4430a --<，解得4a >，故选：CD ．10.已知函数π()cos()(0,)20,||f x A x A ωωϕϕ>>=+<的部分图象如图所示，则（）A.0.5A =B.2ω=C.π3ϕ=-D.()204f =【答案】AB 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出ϕ的值，可得函数的解析式，【详解】由图可知πππ0.5,2362T A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则2ππ||T ω==，因为0ω>，所以2ω=．由π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，得π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-，所以ππ3()0.5cos 2,(0)0.5cos 664f x x f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：AB11.如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，23CD =，E 为线段CD 的中点，F 为线段AB 上一动点（包括端点），EF CD BA λμ=+，则下列说法正确的是（）A.4AB =B.若F 为线段AB 的中点，则1λμ+=C.32λ=-D.FC FD ⋅的最小值为6【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A ，过B 作AD 的垂直，再根据条件即可求出AB ，从而判断出选项A 的正误；对于选项BCD ，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD 分析判断即可得出结果.【详解】选项A ，过B 作AD 的垂直，交AD 于G ，所以//BG CD ，又//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，CD =所以4AB =，故选项A 正确；建立如图所示平面直角坐标系，则(4,0)A，(2,B，C，E ，选项B ，因为F 为线段AB的中点，则F ，(3,0)EF =，(0,CD =-(2,BA =-，所以(2,)CD BA λμμ=-+- ，由EF CD BA λμ=+，得到0--=，所以0λμ+=，故选项B 错误；设(01)AF t AB t =≤≤，则(42,)F t -，(42,EF t =--，选项C ，由EF CD BA λμ=+，得到422t μ-=⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得32λ=-，故选项C 正确；选项D，(24,)FC t =-，(24,)FD t =--，所以22(24))162816FC FD t t t ⋅=--=-+，令2162816y t t +=-，对称轴为78t =，又[]0,1t ∈，当78t =时，所以FC FD ⋅ 的最小值为154，故选项D错误；故选：AC.三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin ,2A B a b c =+=，则cos C =_______________．【答案】1116##0.6875【解析】【分析】由已知结合正弦定理角化边可得2a b =，从而可得三边之间的关系，利用余弦定理化简求值，即得答案.【详解】因为sin 2sin A B =，所以2a b =，又2a b c +=，所以32b c =，则222222294114cos 2416b b b a b c C ab b +-+-===．故答案为：111613.在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ （其中1e ，2e分别为x ，y 轴方向相同的单位向量），则P 的坐标为(),x y ，若P 关于斜坐标系xOy 的坐标为()2,1-，则OP =______【解析】【分析】由斜坐标定义用1e ，2e 表示OP，然后平方转化为数量积求得模．【详解】由题意122OP e e =-，122OP e e =-===14.定义在R 上的两个函数()f x 和()g x ，已知()()13f x g x +-=，()()33g x f x +-=．若()y g x =图象关于点()1,0对称，则()0f =___，()()()()1231000g g g g ++++= ___________．【答案】①.3②.0【解析】【分析】①根据题意，利用方程法得到()()2f x f x =--，通过赋值得到()()02f f =-，根据()y g x =的图象关于点()1,0对称得到()()110g x g x -++=，即可得到()()13f x g x -+=，再利用方程法得到()()26f x f x +-=，令0x =，得到()()026f f +-=，然后求()0f 即可；②利用方程法得到()()2g x g x =--，整理可得()()4g x g x =-，得到4是()g x 的一个周期，然后根据()()2g x g x =--得到()()()()12340g g g g +++=，最后再利用周期求()()()()1231000g g g g ++++ 即可.【详解】由()()33g x f x +-=可得()()123g x f x -+--=，又()()13f x g x +-=，所以()()2f x f x =--，令0x =，所以()()02f f =-；因为()y g x =的图象关于点()1,0对称，所以()()110g x g x -++=，又()()13f x g x +-=，所以()()13f x g x -+=，因为()()33g x f x +-=，所以()()123g x f x ++-=，()()26f x f x +-=，令0x =，所以()()026f f +-=，则()03f =；因为()()13f x g x -+=，所以()()323f x g x ---=，又()()33g x f x +-=，所以()()2g x g x =--，()()24g x g x -=--，则()()4g x g x =-，4是()g x 的一个周期，因为()()31g g =-，()()42g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，因为()g x 周期是4，所以()()()()12310000g g g g ++++= .故答案为：3，0.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．）15.已知平面向量,a b满足=4,8,a b a = 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-．【答案】（1）（2）32k -=【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；（2）根据条件得()()0a kb ka b +⋅-=，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.【小问1详解】因为=48a b a = ，，与b 的夹角为2π3，所以2π1cos481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以a b -===【小问2详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()2221a kb ka b ka k a b kb+⋅-=+-⋅- ()216161640k k k =---=，化为2310k k +-=，解得32k -±=.16.已知函数()25sin cos 2f x x x x =-+；（1）确定函数()f x 的单调增区间；（2）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的集合．【答案】16.()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 17.5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；（2）借助正弦型函数的性质计算即可得.【小问1详解】55()sin 2(1cos 2)sin 2cos 222222f x x x x x=-++=-1π5sin 225sin 2223x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()ππππ5π2π22πππ2321212k x k k k x k k -≤-≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z ，∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】当ππ22π32x k -=+，即5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时，()f x 有最大值5．17.如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.（1）若BC =AD =，求ACD 的面积；（2）若2π3D =，求BC AD -的最大值.【答案】（1）4；（2）833.【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中，根据正弦定理求得,AC CAB ∠，再在三角形ADC 中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DAC ∠θ=，在三角形,ADC ABC 中分别用正弦定理表示,BC AD ，从而建立BC AD -关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【小问1详解】因为π6B =，ABC 的外接圆半径为4，所以8sin AC B=，解得4AC =.在ABC 中，BC =428sin sin BC CAB CAB ==∠∠，解得2sin 2CAB ∠=.又π0,2CAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4CAB ∠=；在ACD 中，4AC =，ππ24DAC CAB ∠=-∠=，AD =，所以14422ACDS∆=⨯⨯=.【小问2详解】设DAC∠θ=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又2π3D=，所以π3ACDθ∠=-.因为π2DAB∠=，所以π2CABθ∠=-.在DAC△中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC ADD ACD=∠，πsin32ADθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π1sin sin33322ADθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos3θθ=-.在ABC中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC BCB CAB=∠，即41πsin22BCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π8sin8cos2BCθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以4cos3BC ADθθ⎛⎫-=+⎪⎪⎝⎭πsin33θ⎛⎫=+⎪⎝⎭.又π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin3θ⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1，所以BC AD-的最大值为3.18.对于函数1()f x，2()f x，()h x，如果存在实数a，b，使得12()()()h x a f x b f x=⋅+⋅，那么称函数()h x 为1()f x与2()f x的生成函数．（1）已知1()sinf x x=，2()cosf x x=，π()sin6h x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，是否存在实数a，b，使得()h x为1()f x与2()f x 的生成函数？若不存在，试说明理由；（2）当1a b ==，()e x h x =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（3）设函数()21()ln 65f x x x =++，2()ln(2)f x x m =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）102[,)33--【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦化简()h x 后可得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数；（2）根据奇函数和偶函数的性质可求1()f x 与2()f x 的解析式；（3）根据生成函数的定义可求()h x ，利用对数的运算性质可求得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩有且只有一个实数解，结合二次函数的图象可求参数的取值范围.【小问1详解】因为πππ1()sin sin cos cos sin sin cos 66622h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭()()12122f x f x =-，取1,22a b ==-，故()()()12h x af x bf x =+，故存在实数1,22a b ==-，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数.【小问2详解】若存在，则()()12e x f x f x +=，故()()12e xf x f x -+-=，所以()()12e xf x f x -+=，故()()12e e e e ,22x x x xf x f x ---+==.【小问3详解】依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--，令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453x x a ++=-（5x <-或1x >-），令2()45g x x x =++（5x <-或1x >-），结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点，所以，实数a 的取值范围为102[,33--.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）33-（3）223+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
高一3月第一次月考数学试题(解析版)
【答案】（1） 或 （2） 的最大值为 此时
【解析】
【分析】（1）利用向量共线得到三角方程转化为三角函数求值问题易解；
（2）把数量积转化为三角函数利用角的范围结合单调性即可得到最大值．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∴cosx＝0或
即cosx＝0 或tanx
对于D选项：
所以点 满足方程 如下图所示：点
设 的方程为： 所以 与 夹角即为射线 与 的夹角
当 分别 相切时得到夹角的最小值和最大值即夹角的范围.
则 可得 设 与 夹角为
则 解得
所以 的取值范围为 故D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ卷非选择题
三填空题（本题共5小题共20分）
13.在 中若 则 ______________
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）先表示出 和 用分离参数法把m分离出来利用函数求最值求出m的范围；
（2）先把 表示出来利用换元法转化为 在 上有解利用分离参数法求出t的范围.
【详解】解：
．
设
．
即实数 的取值范围是
设
．
取
设 易知 在 上单增
∴实数 的取值范围 ．
【点睛】（1）分离参数法是求参数范围的常用方法之一；
小问2详解】
解：由（1）得 又
所以 所以
因为 所以 所以 .
因为 所以
所以
.
21. 的角ABC的对边分别为abc已知 .
（1）求角A；
（2）从三个条件：① ；② ；③ 的面积为 中任选一个作为已知条件求 周长的取值范围.
【答案】（1） ；（2）答案不唯一具体见解析.
安徽省皖北县中联盟2023-2024学年高一下学期3月月考试题 数学含答案
2023~2024学年第二学期安徽县中联盟高一3月联考数学试题（答案在最后）考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册第六章结束．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1244x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2B =，则A B = （）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设向量()sin 2,cos a θθ= ，()cos ,1b θ= ，则“a b∥”是“1tan 2θ=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何?”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少?”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．1205．将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数为奇函数，则ϕ的值为（）A ．π12B ．5π12C ．π6D ．π36．已知函数()221e 11ex f x x +=-+，若tan171a =︒，sin188b =︒，sin 365c =︒，则（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f a f c <<C ．()()()f b f c f a <<D ．()()()f c f b f a <<7．在矩形ABCD中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AE BF ⋅= ，则AB AF⋅的值为（）A ．33B ．1C ．2D8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O的内接四边形，且AC =，2ADC BAD ∠=∠．若AB CD BC AD ⋅+⋅=，则圆O 的半径为（）A ．4B ．2CD．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关系式成立的有（）A ．()()sin 11tan 1-<-<-B ．3cos π1sin12⎛⎫-=-⎪⎝⎭Csin1cos1=+D ．sin1cos1<10．已知函数()cos 2xf x =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．若()f x m ≥恒成立，则m 的最大值为1C ．()1f x =在[]10,10-上共有6个解D ．()f x 在[]π,0-上单调递增11．点O 为ABC △所在平面内一点，则（）A ．若0OA OB OC ++=，则点O 为ABC △的重心B ．若0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 为ABC △的内心C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 为ABC △的垂心D ．在ABC △中，设222AC AB AO BC -=⋅，那么动点O 的轨迹必通过ABC △的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若()4,3PA = ，()1,5PQ = ，则AQ = ______，BC =______．13．设a ，b 为正实数，且满足2a b +=，则221111a b+++的最小值是______．14．窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD 是边长为50cm 的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm 的小正方形EFGH 拼接而成，则tan HAB ∠=______．第14题图四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知2323tan log 3log 40.125α-=⋅-．（1）若α是第一象限角，求sin α的值；（2）求()()()222sin πcos 2π3πsin sin 2αααα+--⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值．16．（本小题满分15分）已知向量()sin ,cos a αα=，(b =，()cos ,sin c ββ=-，()0,απ∈，（1）若a b∥，求α的值；（2）若a b ⊥ ，35a c ⋅= ，ππ,62β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．17．（本小题满分15分）给出以下三个条件：①直线x =x 1，x =x 2是函数f (x )图象的任意两条对称轴，且12x x -∣∣的最小值为π4，②π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，③对任意的x ∈R ，()π24f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．请从这三个条件中任选个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数()23sin cos 2f x x x x ωωω=⋅+-，03ω<<，______．（1）求()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x k -=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分17分）在ABC △中，已知2AB =，6AC =，60BAC ∠=︒，AC 边上的中线为BN ，M 为BC 边上靠近B 的四等分点，连接AM 交BN 于点P ．（1）用AB 与AC 表示AM，并计算AM 的长；（2）求∠NPM 的余弦值．19．（本小题满分17分）如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，且AP AQ PQ ⋅= ；（1）求∠PAQ 的大小；（2）求APQ △面积的最小值；（3）某同学在探求过程中发现PQ 的长也有最小值，结合（2）他猜想“APQ △中PQ 边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．2023～2024学年第二学期安徽县中联盟高一3月联考·数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BCDABACB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。
2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一(下)第三次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a，，复数满足，则()A. B. C. D.2.设D为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是()A. B.C. D.3.设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是()①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则A.①②B.②③C.③④D.①④4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A.9：4B.4：3C.3：1D.3：25.如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若，则四边形ABCD周长为()A.B.4C.D.86.已知a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，且满足，则的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形7.在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1、圆心在线段含端点上运动，点P是圆Q 上及其内部的动点，则的取值范围是()A. B. C. D.8.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知i是虚数单位，以下四个说法中正确的是()A.B.复数的虚部为iC.若复数，满足，则D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆10.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是()A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为11.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P，使得直线PM与直线为异面直线B.存在点P，使得C.若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等D.过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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博罗华侨中学2011-2012学年度高一第二学期质量检测一
数 学（理科） 命题人：邱国兰
本试卷共20小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、向量)5,2(-=→
a 的起点坐标为（2,1）则它的终点坐标为（ ）
A 、（0,6）
B 、（6,4）
C 、（7,1）
D 、（1,7）
2、下面对数列的理解有四种：
①数列可以看成一个定义在*N 上的函数； ②数列的项数是无限的；
③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的。
其中说法正确的序号是（ ）
A 、①②③
B 、②③④
C 、①③
D 、①②③④
3、在△ABC 中，B=45°，C=45°，C=60°，c=1,则最短的边长等于（ ）
A 、
3
6 B 、
2
6 C 、
2
1 D 、
2
3
4、设向量)15sin ,15(cos ),15cos ,15(sin
==→
→b a ，则→
→
b a 、的夹角为（ ）
A 、90°
B 、60°
C 、45°
D 、30° 5、在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法判定 6、一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．不确定
7、平面向量→
→
b a 与的夹角为60°，=+==→
→
→
→
b a b a 2,1),0,2(则（ ）
A 、3
B 、23
C 、4
D 、12
8、已知2
2cos sin =
+θθ，且32
4
θππ≤≤
，则cos 2θ的值是（ ）
A 、 2
3- B 、
2
3 C 、2
1 D 、2
1-
9、在等差数列{a n }中，已知23-=n a n ，则该数列前20项之和是（ ） A ．295 B ．590 C ．390 D ．780 10、在ABC ∆中，若=++=A c bc b a 则,222( ) A 、︒45 B 、︒60
C 、︒150
D 、︒120
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 11、已知数列：,5,2,11,22…，则52是这个数列的第_ ______项。
12、若{a n }为等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8=____________。
13、函数y=1-sinxcosx 的最大值是
14、已知O （0,0）和A(6,3)，若点P 在线段OA 上，→
→
=
PA
OP 2
1，又点P 是线段
OB 的中点，则点B 的坐标是
博罗华侨中学2011-2012学年度第二学期质量检测一
答题卡 数 学（理科）
二．填空题（每小题5分，共20分）
11. 12.
13.
14.
三、解答题：（本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15、（12分）数列{a n }的通项公式是1102
+-=n n a n
（1）依次写出该数列的前三项；
（2）判断25是不是该数列中的某项； （3）求该数列的最小项
16、（12分）如图，测量河对岸的塔高A B时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高A B．
．
17、（14分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2 3 x+2=0的两根，角A、B满足：
2sin(A+B)－ 3 =0，求角C的度数及边c的长度。
18、（14分）已知角(0,)απ∈,向量(2,cos )m α=
，
2
(cos ,1)n α=
，且1m n ⋅= ，()cos f x x x =+。
（Ⅰ）求角α的大小；
（Ⅱ）求函数()f x α+ 的单调递减区间。
19、（14分）已知32)(2--=x x x f ，等差数列{a n }中，)(,2
3),1(321m f a a m f a =-=-=
（1）求实数m ； （2）求此数列的通项公式。
20、（14分）用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
华侨中学2011-2012学年度第二学期质量检测一答案
二．填空题（每小题5分，共20分） 11. 7 12. 3 13. 2
3 14.（4,2）
三.解答题 15、解：（1）20;15;8321
-=-=-=a a a
（2）解关于n 的方程110252+-=n n 得n=12或n=-2，所以25是该数列的第12项,。
（3）由24)5(11022--=+-=n n n a n 得该数列的最小项是第五项-24。
16、解：在B C D △中，∠CBD=180°-（15°+30°）．
由正弦定理得sin sin B C C D B D C
C B D
=
∠∠．
所以）
3015sin(30
sin 30sin sin +=
∠∠=
CBD
BDC CD BC ．
在A B C R t △中，)
(615)
3015sin(30sin 60tan 30tan 米=+=
∠=
ACB BC AB
17、解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=3
2
, ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°,
又∵a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 , a ·b=2, ∴c 2=a 2+b 2－2a ·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6, ∴c= 6 。
18、解：（Ⅰ）∵(2,cos )m α= ，2(cos ,1)
n α=
，且1m n ⋅=
，
∴22cos cos 1αα+= 即22cos cos 10αα+-= ∴1cos 2
α=
或cos 1α=-，
∵角(0,)απ∈，∴1cos 2
3
π
αα=
⇒=
，
（Ⅱ）∵1()cos 2(
sin cos )2sin()
2
2
6
f x x x x x x π
=+=+
=+
∴()()2sin()2sin()2cos 3
6
32
f x f x x x x
π
π
π
π
α+=+=+
+
=+
=
∴函数
()f x α+ 的单调递减区间为[2,2]k k πππ+ k Z
∈
19、解：（1）m m m m a 43)1(2)1(221-=----=，3223--=m m a 又3`122a a a +=303623-2==--=m m m m 或解得即 （2）当m=0时，,01=a 公差d=23-，n a n 2
32
3-
=
；
当m=3时，2
92
3,2
3,31-
=
=
-=n a d a n 公差
20、解：购买时付了150元，欠款1000元。
每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{a n },则 a 1=50+1000×0.01=60
a 2=50+(1000-50) ×0.01=60-0.5
a 3=50+(1000-50×2) ×0.01=60-0.5×2 类推,得
a 10=60-0.5×9=55.5
a n =60-0.5(n-1)(1≤n ≤20)。
∴ 付款数{a n }组成等差数列，公差d=-0.5,全部贷款付清后，付款总数为 S 20+150=125515010)192(1502
)
(201201=+⨯+=++d a a a （元）。