数学模型第九章灰色系统方法建模--92灰色预测模型GM1,1及其应用.ppt
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灰色预测法GM(1,1)理论及应用
灰色预测法GM(1,1)理论及应用一、概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。
如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。
灰色系统模型.ppt
1.3.1灰色关联分析法的建模过 程和机理为
利用灰色关联分析进行综合评价的步骤 是： 1．根据评价目的确定评价指标体系，收 集评价数据。
设n个数据序列形成如下矩阵：
X 1,
X
2
,
X
n
x11 x12
x2 1
x2 2
xn xn
1 2
x1m x2 m xn m
其中m为指标的个数，X．i xi1 , xi2 , , xim T , i 1, 2 , , n
x11
x12
xn xn
1 2
x0 m x1m xn m
常用的无量纲化方法有均值化法（见
（12－3）式）、初值化法（见（12－4）
式）和 x x 变换等． s
xi k
1 m
xik
m
xik
k 1
xi k
xik xi1
i 0 , 1 , , n ； k 1 , 2 , , m.
解之得，即80%转化为7．
4．逐个计算每个被评价对象指标序列 （比较序列）与参考序列对应元素的绝 对差值
即 x0(k) xi (k) （ k 1,,m i 1,,n,n 为被
评价对象的个数）．
nm
5．确定
min i 1
min k 1
x0 (k)
xi (k)
nm
与
max max i 1 k 1
x0
(k)
xi
(k)
6．计算关联系数
由（12－5）式，分别计算每个比较序列 与参考序列对应元素的关联系数．
x0 (k)
0 (k )
xi (k)
max i
max k
xi (k)
《灰色系统建模》课件
灰色系统建模
这个PPT课件将介绍灰色系统建模及其在实践中的应用。你将了解灰色关联分 析、灰色预测模型以及与其他建模方法的比较。通过实际案例，了解灰色系 统建模的局限性和发展方向。
灰色关联分析
基本原理
探索变量之间的关联性，揭示隐藏信息。
发展趋势
结合神经网络和灰色关联分析进行建模。
实际应用
在融合数据中应用灰色关联分析。
基本原理
灰色模型GM(1,1)的数学基础和原理。
实际应用
灰色模型GM(1,1)在实际问题中的应用。
灰色关联度分析模型
基本概念
灰色关联度分析模型的核心概念。
实现方法
如何实现灰色关联度分析模型。
灰色预测模型
1
构建方法
基于灰色模型GM(1,1)进行预测。
2
实践应用
市场营销中的灰色预测模型应用案例。
3
优缺点分析灰色模型的优势和局源自性。灰色系统建模与其他方法比较
神经网络模型
与灰色模型的比较与对比。
经济评价和决策
发展趋势
灰色模型在经济领域的应用案例。 灰色模型的未来发展方向。
灰色系统建模在实际问题中的应用案例
1
财务预测
使用灰色系统建模进行企业财务预测的实际案例。
2
环境预测
探讨灰色系统建模在环境预测中的应用。
3
人口统计
灰色模型在人口统计领域的实际应用案例。
灰色理论的历史与发展
1 理论渊源
灰色理论的起源和发展。
3 新兴方法
探讨新兴的灰色系统建模方法。
2 经典模型
介绍经典的灰色模型。
灰色模型GM(1,1 )
这个PPT课件将介绍灰色系统建模及其在实践中的应用。你将了解灰色关联分 析、灰色预测模型以及与其他建模方法的比较。通过实际案例，了解灰色系 统建模的局限性和发展方向。
灰色关联分析
基本原理
探索变量之间的关联性，揭示隐藏信息。
发展趋势
结合神经网络和灰色关联分析进行建模。
实际应用
在融合数据中应用灰色关联分析。
基本原理
灰色模型GM(1,1)的数学基础和原理。
实际应用
灰色模型GM(1,1)在实际问题中的应用。
灰色关联度分析模型
基本概念
灰色关联度分析模型的核心概念。
实现方法
如何实现灰色关联度分析模型。
灰色预测模型
1
构建方法
基于灰色模型GM(1,1)进行预测。
2
实践应用
市场营销中的灰色预测模型应用案例。
3
优缺点分析灰色模型的优势和局源自性。灰色系统建模与其他方法比较
神经网络模型
与灰色模型的比较与对比。
经济评价和决策
发展趋势
灰色模型在经济领域的应用案例。 灰色模型的未来发展方向。
灰色系统建模在实际问题中的应用案例
1
财务预测
使用灰色系统建模进行企业财务预测的实际案例。
2
环境预测
探讨灰色系统建模在环境预测中的应用。
3
人口统计
灰色模型在人口统计领域的实际应用案例。
灰色理论的历史与发展
1 理论渊源
灰色理论的起源和发展。
3 新兴方法
探讨新兴的灰色系统建模方法。
2 经典模型
介绍经典的灰色模型。
灰色模型GM(1,1 )
《数学建模灰色模型》PPT课件
第一步：级比检验，建模可行性分析。 第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型检验。
精选ppt
35
灰建模实例： 北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号 年份
Leq 序号
年份
Leq
1
1986
71.1 5
1990
71.4
2
1987
72.4 6
1991
72.0
精选ppt
6
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
精选ppt
7
Байду номын сангаас
树高在20米至30米
精选ppt
8
表1.1 三种不确定性方法的比较
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统
概率统计
模糊数学
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
灰色朦胧集 康托集
模糊集
信息覆盖
映射
精选ppt
13
二、灰色系统模型
通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分 预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描 述，是模糊预测领域中理论、方法较为完善的预 测学分支之一。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定 幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机 过程看成灰色过程。
精选ppt
14
灰色模型的优点:
映射
灰序列生成 频率分布
截集
任意分布
典型分布
隶属度可知
内涵
内涵
外延
现实规律
历史统计规律 认知表达
小样本
大样本
凭借经验
精选ppt
9
灰色预测模型PPT课件
Y=x(2:n)'; B(:,1)=-x2'; B(:,2)=1; alph=(B'*B)^(-1)*B'*Y;
4. 给出灰度系统的预测值，并将之后2个预测值给出；
X1end(1)=x1(1); for i=2:(n+5)
X1end(i)=(X1end(1)-alph(2)/alph(1))*exp(-alph(1)*(i-1)) +alph(2)/alph(1); end
xx((00))((32))1212[[xx((11))((32))xx((11))((21))]] x(0)(N) 12[x(1)(N)x(1)(N1)]
1 11ua. 1
令
y (x (0 )(2 ),x (0 )(3 ), ,x (0 )(N ))T .
(7.6)
这里，T表示转置.令
2021
7.2 灰色系统的模型
xˆ(1)(k1)x(1)(1)u a ˆˆea ˆku aˆˆ
(7.8)
当 k1,2, ,N1时 ， 由(7.8)式算得的 xˆ(1)(k1) 是拟合值；
当k N时，xˆ(1)(k 1) 为预报值.这是相对于一次累加序列
x (1) 的拟合值，用后减运算还原，当 k1,2, ,N1时 ，
就可得原始序列 x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
2021
附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
发来回执的代表数量
发来回执但未与会的代表数 量
未发回执而与会的代表数量
第一届 315 89 57
第二届 第三届 第四届
356
408
711
115
121
213
69
75
4. 给出灰度系统的预测值，并将之后2个预测值给出；
X1end(1)=x1(1); for i=2:(n+5)
X1end(i)=(X1end(1)-alph(2)/alph(1))*exp(-alph(1)*(i-1)) +alph(2)/alph(1); end
xx((00))((32))1212[[xx((11))((32))xx((11))((21))]] x(0)(N) 12[x(1)(N)x(1)(N1)]
1 11ua. 1
令
y (x (0 )(2 ),x (0 )(3 ), ,x (0 )(N ))T .
(7.6)
这里，T表示转置.令
2021
7.2 灰色系统的模型
xˆ(1)(k1)x(1)(1)u a ˆˆea ˆku aˆˆ
(7.8)
当 k1,2, ,N1时 ， 由(7.8)式算得的 xˆ(1)(k1) 是拟合值；
当k N时，xˆ(1)(k 1) 为预报值.这是相对于一次累加序列
x (1) 的拟合值，用后减运算还原，当 k1,2, ,N1时 ，
就可得原始序列 x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
2021
附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
发来回执的代表数量
发来回执但未与会的代表数 量
未发回执而与会的代表数量
第一届 315 89 57
第二届 第三届 第四届
356
408
711
115
121
213
69
75
新编数学建模灰色模型-资料精选文档PPT课件
13
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
■ 特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不 完全系统的建模与分析，具有独特的功效。
3
4
灰色系统理论是研究灰色系统分析、建 模、预测、决策和控制的理论。它把一般系 统论、信息论及控制论的观点和方法延伸到 社会、经济和生态等抽象系统，并结合数学 方法，发展出一套解决信息不完全系统（灰 色系统）的理论和方法。
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率分布 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
模糊数学 认知不确定 模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭借经验
6
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信 息未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题， 并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物 运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着 重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
7
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
8
树高在20米至30米
9
表1.1 三种不确定性方法的比较
灰色系统及在建模中的应用
1
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总体概述
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
■ 特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不 完全系统的建模与分析，具有独特的功效。
3
4
灰色系统理论是研究灰色系统分析、建 模、预测、决策和控制的理论。它把一般系 统论、信息论及控制论的观点和方法延伸到 社会、经济和生态等抽象系统，并结合数学 方法，发展出一套解决信息不完全系统（灰 色系统）的理论和方法。
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率分布 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
模糊数学 认知不确定 模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭借经验
6
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信 息未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题， 并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物 运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着 重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
7
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
8
树高在20米至30米
9
表1.1 三种不确定性方法的比较
灰色系统及在建模中的应用
1
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总体概述
灰色预测模型ppt课件
.
灰色建模实例
北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号
1 2 3 4
年份
1986 1987 1988 1989
Leq 序号
年份
Leq
71.1 5
1990
71.4
72.4 6
1991
72.0
72.4 7
1992
71.6
72.1
表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]
.
第一步：级比检验，建模可行性分析
.
4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
(k2,3,L,7)，故可以用X ( 0 ) 作满意的GM(1, 1)
建模。
.
第二步： 用GM(1,1)建模
1. 对原始数据 X ( 0 )作一次累加：
k
x(1)(k) x(0)(m) (k1,2,L,7) m1
得：
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )7
.
例2 令原始序列X ( 0 )为
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3 , x ( 0 ) 4 , x ( 0 ) 5
(1,1,1,1,1) A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
数学建模讲义之灰色模型GM(1,1)
13
（5）系数b的置信区间 当回归效果显著时， b的置信度 为1-α的置信区间是
bˆ t 2 (n 2)ˆ / Sxx
(7)
（6）预测 设y0是在 x=x0处对随机变量y的观测结果，我们可以取x0
处的回归值：
yˆ0 aˆ bˆx0
(8)
作为y0的预测值，且y0的置信度为1-α的预测区间为：
A~ (a1, a2 ,, an ) U
是实际问题中各因素的权数分配(归一化), 则
A~ R~ B~ (b1,b2 ,,bm )
称为各因素的模糊综合决策,并且
7
max{ b1, b2 ,, bm} bk
表示综合决策的最大可能是 bk 例 脑出血与蛛网下腔出血的鉴别，设要求鉴别的疾病
集（论域）U={u1, u2}={脑出血, 蛛网下腔出血}。症状集为 V={v1, v2，v3, v4, v5}={头痛, 呕吐,偏瘫, 脑膜刺激症, 瞳孔不 等大} 。根据医学知识得出V→U的模糊矩阵
29
对埃尔切事件的思考
30
则认为回归效果是显著的。
例 某种产品每件单价y(元)与批量x(件)之间的关系的一 组数据如下表
x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90 y 1.81 1.70 1.65 1.55 1.48 1.40 1.30 1.26 1.24 1.21 1.20 1.18
19
求y对x 的回归方程。
称为残差平方和。由（3）、（4）得 Qe S yy bˆSxy
于是得到 2 的估计（残差分析）为
ˆ 2 Qe
(5)
n2
（4）回归效果显著性检验 检验假设H0：b=0。若
| t | | bˆ |
相关主题
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（3）
2021/3/17
数学建模
（4）作最小二乘估计，求参数 a,u
ˆ ua (BT B)1 BTYN
（4）
（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为
Xˆ (1) (t 1) ( X (0) (1) u )eat u
a
a
（5）
这就是要建立的灰色预测模型。
2021/3/17
数学建模
就更有实际意义了。
轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少
则几天，多则几年。在重载荷的基础上减轻 1 公斤，试
验时间将相应增加几百甚至几千小时。根据已有重载
荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要
了。2021/3/17
数学建模
下面，我们根据（6）式来预测载荷 32 kg/mm2 的 断裂时间。它对应的序数为 6，也就是要求出 X (1) (6) 和 X (0) (6) 。 由 （ 6 ） 式 得 X (1) (6) 51.4 ， 从 表 中 查 得 X (1) (5) 27.58 再由 X (0) (6) = X (1) (6) X (1) (5) 23.82，这说 明，在载荷 32 kg/mm2 下，此种材料大约经过 2382 小 时断裂。
2021/3/17
数学建模
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下， 预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很 重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。 而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使 通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而 言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果 将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某 一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
由公式（2）得到的。按（3）构造矩阵
3.78 1
B
7.30 12.8 21.9
1
11 ，YN [2.80,4.25,6.85,11.3]T ，
代入（4），可得
ˆ
0.5 0.97
2021/3/17
数学建模
按（5）可得到模型（1）的解为
Xˆ (1) (t 1) 4.4e0.5t 2.2
理论的特点之一。
2021ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3/17
数学建模
（3）对 GM（1,1），其数据矩阵为
向量
0.5 [ X (1) (1) X (1) (2)] 1
B
0.5 [ X (1) (2) X (1) (3)]
0.5 [ X (1) (N 1) X (1) (N
)]
1 1
YN [ X (0) (2), X (0) (3),, X (0) (N )]T
取 t 为应力序数 k 时，由
Xˆ (1) (k 1) 4.4e0.5k 2.2
即可得到生成累加数列 Xˆ (1) (k 1) (k 1,2,) 。
（6）
2021/3/17
数学建模
2、检验 当 k 1,2,3,4 时，由（6）式得出
Xˆ (1) (k 1) [5.05,9.76,17.52,30.3]
数学建模
（2）将同一数据列的前 k 项元素累加后生成新数据列
的第 k 项元素，这就是数据处理。表示为：
k
X (1) (k) X (0) (n) n1
（2）
不直接采用原始数据 X (0) 建模，而是将原始的、
无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然
后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温
状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低， 并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但 在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至 会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发 动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏， 可能造成很大的事故。
2021/3/17
数学建模
§2 灰色预测模型 GM(1,1)及其应用
一、灰色预测模型 GM（1,1）
建模步骤如下：
（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：
dX (1) aX (1) u dt
（1）
式中，a,u 是需要通过建模来求得的参数；X (1) 是
原始数据 X (0) 的累加生成（AGO）值。
2021/3/17
断裂时间
2.38 2.80 4.25 6.85 11.30
（100 X (0) (K ) 小时）
一次累加数列 X (1) (K ) 2.38 5.18 9.43 16.28 27.58
2021/3/17
数学建模
1、建立 GM（1,1）模型
表中一次累加数列 X (1) (k) 是根据断裂时间数列 X (0) (k
而由表中得出
X (1) (k 1) [5.18,9.43,16.28,27.58]
计算出平均相对误差为 0.04，这一精度是相当理 想的。
2021/3/17
数学建模
3、预测
由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加
生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生
成数列中的各个数据。特别是估计序数 5 以后的数据，
2021/3/17
数学建模
下面是对 Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况 利用灰色系统理论进行研究。在 500℃的高温下，已测得 此铸件在载荷分别为 37，36，35，34，33（kg/mm2）情 况下的蠕变断裂时间见下表。
数列
序 数K
1
2
3
4
5
载荷应力（kg/mm2） 37 36 35 34 33