地球物理中的数值方法(第二讲之一)： 第二篇 线性方程组数值解法 第一章 高斯消元法

n 3 , a 11 1 0 m 21 a 21 / a 11 2 / 1 2 m 31 a 31 / a 11 1 / 1 1 1 , L Ax L b完 成 第 一 步 消 元 , 得 : L1 = 2 1 1 1 1 1
x2 x2 x3 3 x3
x4 5 x4 13 x 4 13 x 4

4 7 13 13
为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先 解出 xn=bn/ann, 然后按方程由后向前的顺序，从方 程中依次解出xn-1,xn-2,…,x1。这样就完成了上三角方 程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步 骤如下：
地球物理中的数值方法 第二篇 线性方程组数值解法 引言 第一章 高斯消元法及其计算机实现 第二章 用矩阵分解法求解线性方程组
n
第三章 大型稀疏线性方程组的迭代法简介 第四章 第五章 大型稀疏线性方程组的极小化方法 大型稀疏线性方程组的直接解法
引言 一、求解线性代数方程组的基本定理 线性代数方程组的一般形式
例1 用回代法求解线性方程组 x1
解: x4 1 x 3 (13 13 x 4 ) / 3 0 x 2 ( 7 5 x 4 x 3 ) ( 7 5 0) 2 x1 4 x 4 x 2 4 1 2 1 所以，解为（ x1 , x 2 , x 3 , x 4 )T (1 , 2, 0 ,1)T
A
( 3)
x1 2 x 2 3 x 3 6 3 6 1 2 x 2 2 x 3 3 0 1 2 3 3 x 3 3 0 0 3 3
回代求得
x3 3 / 3 1 x 2 ( 3 2 x 3 ) ( 3 2 1) 1 x1 6 2 x 2 3 x 3 6 2 1 3 1 1 故 所 求 解 为 x 1 1, x 2 1, x 3 1
常见是m n，称为欠定方程组（方程数少于未知数） 此时，从Ax b的无穷多个解中需求出2 范数最小的解。 即求 x , 使 || x ||2 min || x ||2 ，x满足Ax b。
)方程组 Ax b无解（即不相容）。 r ( A) r ( A 常见是 m n，称为超定方程组（又称矛盾方程组） 此时，向量 b不在 A的列空间 R ( A )之中，原方程组 无解，但可求出最小二乘意义下的解 x。 即求 x使 || b A x ||2 2 min
第一章 引言
高斯消元法及其计算机实现
第一节、三角形方程组的解法 第二节、高斯消元法 第三节、选主元高斯消元法
引言
求解 Ax b A R nn
将原方程组 Ax b 化为同解的上三角方程 组 Ux g 初等变换 Ax b Ux g 同解 用增广矩阵表示为
第二节、高斯消元法
高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到 的选主元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩 阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般 线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问 题。 高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段: 首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消 元”过程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组 (原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代”过 程. 高斯“消元”过程可通过矩阵运算来实现。具 体过程如下：
a11 x1 a12 x 2 .......... .......... .......... a1n x n b1 a 22 x 2 .......... .......... ......... a 2 n x n b2 .......... .......... .......... ......... .. a n 1n 1 x n 1 a n 1n x n bn 1 a nn x n bn 其中 a ii 0 ( i 1,2,......, n )
n
例 2、 用回代法求解线性 方程组 2 2 x1 2 x1 x 2 3 x 2 x 4 x 9 2 3 1
解: x1 2 / 2 1
x 2 (2 1) / 1 1 x 3 (9 3 1 2 1) / 4 1 所以，解为（ x1 , x 2 , x 3 ) (1 ,1 , 1)
X=zeros(n,1); xi (bi aik xk ) / aii k i 1 X(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 i n 1,,1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i); end
A的第i行、第i+1到n列元素 构成的行向量
(1) a 11

(1) a1 n (2) a2n


(n) a nn
b1( 1 ) (2) b2 (n) bn
第一节、三角形方程组的解法
三角形方程组包括上三角形方程组和下三 角形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三 角方程组的一般形式是：
二、数值求解方法有以下三条途径（三种框架）
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。 迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。 极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次 模函数的极小化问题，即变分法（经n 次运算，理论上得精确解） 要求A 对称正定
A
(1) (1) a11 a12 (1) (1) a 22 a 21 (1) (1) a n1 a n 2 (1) a1 n (1) a2n
b
(1) a nn
b1( 1 ) (1) b2 12 (2) a 22
MATLAB实现:

x=A\b
本章介绍求解 n阶线性方程组的数值方法 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(1) (1) (1) a11 ... a1 n b1 (1) (1) (1) (1) , , ..., , b 2 n 1 (1) (1) (1) an ... a nn bn 1
1 m (1) L1 A 21 m n1 (1) a11 (1) 0 L1 A 0
xn bn / ann xi (bi
i n 1,,1
k i 1
a
n
ik
xk ) / aii
返回变量
函数名
参数表
function X=backsub(A,b) %Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix %Output—X is the solution to the system AX=b xn bn / ann n=length(b);
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm 用矩阵形式表示为 Ax b R m( n 1) 其增广矩阵记为 A a 12 a 1 n a 11 a a 22 a 2 n 21 A A, b am 1 am 2 amn
例3 用Gauss消元法求解方程组 x1 2 x2 3 x3 6 2 x1 3 x2 4 x3 9 x 3x 2x 6 2 3 1
解： 增广矩阵： A
(1)
1 [ A b] 2 1
2 3 3
3 4 2
6 9 6
A
( 2)
a 22 ( 2 ) 1 0, m 32 a 32 ( 2 ) / a 22 ( 2 ) 1 /( 1) 1 1 L2 = 1 1 , L L Ax L L b完 成 第 二 步 消 元 , 得 2 1 2 1 1
3 6 1 2 0 1 2 3 0 1 1 0
求解一个三角形方程组需n次除法与 1 1 2 （i 1) n( n 1) n 次乘法。 2 2 i 1
n
下三角方程组的一般形式为： b1 a11 x1 b2 a 21 x1 a 22 x 2 a n 1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn 其 中 a ii 0, i 1, 2, , n
下三角形方程组可以参照上三角形方程组的解法来求解， 下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按从上到下 的顺序，依次解出： x1 , x2 , , xn , 其计算公式为： x1 b1 / a11 i 1 xi ( bi aik xk ) / aii ( i 2, 3, , n ) k 1 如上解三角形方程组的方法称为回代法.
b1 b2 bm
定理1 （线性代数方程组有解判别定理）线性方程组 ） Ax b有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A
定理2 线性方程组Ax b有解（即相容）时， ) r n, 则方程组Ax b存在唯一解。 (1)秩( A) 秩( A