广东省东莞市2015届高三数学小综合专题练习概率统计理

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广东省东莞市2015届高三模拟考试数学理试题(二)

东莞市2015届高考数学模拟题（二）一.选择题:（本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．复数z ＝2+i 的共轭复数是( )A ．2+iB ．2－iC ．－1+i D2．已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（） A .2 B ．3 C ．4 D ．53．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.54．已知点(),P x y 的坐标满足条件4,,1.x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值为（）B . 8 C. 16 D. 10 5．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C则ABC ∆的面积S = （） A ．1 BCD ．26．等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 5+7．双曲线14922=-x y 的焦距为（）A ．13B ．26C ．132D ．528．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b =二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上)9．已知直线10x my +-=与420mx y +-=平行，则m =___________10．已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为120的等腰三角形,则该三棱锥的体积为____.11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是．12．在曲线y =x 3＋3x 2＋6x ＋10的切线中，斜率最小的切线方程是___________.13．若关于x 的不等式实数解，则实数a 的取值范围是___选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线l的参数方程（t 为参数）轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的，则直线l 被曲线C 所截得的弦长为15．是⊙O 的直径，PB，PE 分别切⊙O 于B ，C ，∠ACE=40°，则∠P=_____俯视图左视图主视图1223三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分1217．（本题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。

2015年高考理数专题复习---概率统计(解析版)

2015年高考理数专题复习---概率统计预测2013年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。

（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.母题一：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.母题二：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.母题三：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.母题四：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数的分布列.母题五:.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白2，服鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为31. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3用B有效的概率为2个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.7 8 99 4 4 6 4 7 3高考模拟1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4【答案】C2.右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4【答案】C 【解析】2580855x =+=,244 1.6.5s +== 3.如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( ) A .712π B.23π C .34π D.56π 【答案】B【答案】A6．右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约（） A ．523 B ．521 C ．519 D ．516 【答案】A 7．设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（） A ．964 B ．964π C ．916π D ．916【答案】B8．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为（）A B C D ．12【答案】B9.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A.12B.24C.36D.48【答案】C10．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．115B．112C．12D．23【答案】D【解析】32352180.33243 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为__ _天．【答案】16天（15.9天给满分）16．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

广东省13市高三数学分类汇编统计与概率

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编统计与概率一、选择题1、（潮州市2015届高三）高三()3班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A ．15B ．16C ．17D ．18 2、（佛山市2015届高三）某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成,其中有3名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为( )A ．0.35B ．0.4C ．0.6D ．0.73、（韶关市2015届高三）右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题1、（广州市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 . 2、（惠州市2015届高三）,,A B C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有20PA PB +=uu r uu r r，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则这粒黄豆落在PBC △内的概率为___________3、（清远市2015届高三）12、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：若用最小二乘法，计算得线性回归方程为4、（清远市2015届高三）在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点P ，使得点P 到正方形ABCD 各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿5、（汕头市2015届高三）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右图：根据右图可得这100名学生中体重在[]60.5,64.5的学生人数是．6、（深圳市2015届高三）将容量为n 的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图。

201515年广东高考理科数学概率统计考前训练题

A.B.C.D.
20.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足≤m的概率为，则m＝__________.
21.在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出数对(x，y)的概率．
22.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥”发生的概率为()
A.B.C.D.
23.甲袋中有2个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中随机地取出一球，则取出的球是白球的概率是________．
下列叙述最准确的一项是()
A．甲射的准B．乙射的准
C．甲更稳定D．乙更稳定
28.抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数X的均值是()
A.B.C.D．10
29.一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有橘子、苹果和香蕉各两个，
将这六个水果随机放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．
6．有6人被邀请参加一项活动，必然有人去，去几人自行决定，去法共有()
A．36种B．35种
C．63种D．64种
7．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是()
A．72B．60C．48D．12
8．架子上有不同的2个红球，不同的3个白球，不同的4个黑球．若从中取2个不同色的球，则取法种数为________．

2015学年度第二学期高三综合练习数学(理科)附答案

2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则=（）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H数列．（Ⅰ）写出满足的所有H数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．参考答案及评分标准高三数学（理科）一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A B B C A C D B二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为，则，，，，所以，，设平面的一个法向量．所以，即．令，则．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，，，，，．设，即．，则，，．若平面，则．即．．解得．则，．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．故离心率为，焦点坐标为，．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，则，．由得．判别式．所以，，因为直线与直线的斜率之积为，所以，所以．化简得，所以，化简得，即或．当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得．当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．故直线过定点．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．随着变化，和的变化情况如下：+ +极大值极小值所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，，即得数列．其中，．如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中））（Ⅲ）由题意知，，且．有解：①，，，则，这与是矛盾的．②时，与①类似可得不成立．③时，，则不可能成立．④时，若或，则或．若或，则，类似于③可知不成立．④时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；⑤时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或．。

广东省东莞市2015届高三上学期期末教学质量检查数学理试题含答案

2014—2015学年度第一学期教学质量检查高三理科数学（A 卷）参考答案BBDA DBAB 9. 24 10. ；623 11. 1- 12.26n n -+ 13. 7个 14.)43,2(π 15. 030（或)6π16.解:(1)因为函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>-=x x f 的最小正周期为π故2,2=∴=ωπωπ…………………………………2分)2sin(2)(ϕ-=∴x x f又6π是它的一个零点，即0)3sin(=-ϕπ …………………………………3分Z k k ∈=-∴,3πϕπ……………………………………4分Z k k ∈-=∴,3ππϕ，因为20πϕ<< ……………………………………5分3,0πϕ==∴k ……………………………………6分所以()f x 的解析式为)32sin(2)(π-=x x f ……………………………………7分(2)由(1))32sin(2)(π-=x x f又因为3)62(,2)1252(=+=+πβπαf f故23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分 22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈ 3,4πβπα==∴ ……………………………………10分βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分另解：23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈21cos ,22sin ==∴βα ……………………………………10分 βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分17.解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=，所以 0.03a =． …………………2分（2）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，成绩在[50,70)内的学生共有11人． ……………4分设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ，则3931128()55C P A C ==．所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855． ………6分（3）依题意，X 的可能取值是1，2，3． ………………7分21293113(1)55C C P X C ===； 122931124(2)55C C P X C ===； 28(3)()55P X P A ===． ……………10分所以X 的分布列为X1 2 3 P355 2455 2855324282712355555511EX =⨯+⨯+⨯=． …………………12分18.解（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥= ………………3分∴PC ABC ⊥平面，………………4分又∵PC PAC ⊂平面 ………………5分 ∴PAC ABC ⊥平面平面 ………………6分（2）解法一：在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31,,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)B 设()()000,0,0P z z >，则()()000330,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即22000132z z z =+，解得：01z = ………………8分∴3331,,0,,,12222AB AM ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MAB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则111113502233022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取13x =，得33(3,,)55n = …………………………10分平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = ……………………………………………………11分设m与n所成的角为θ，则93cos 31m n m nθ⋅==⋅ ………………………………………13分显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角余弦值为9331…………………………14分解法二：在平面PCBM 内，过点M 作BC MH ⊥于H ，则显然有PC MH //故ABC MH 面⊥ ………………………………7分过点M 作AB MG ⊥于G ，连接MG ，则MG 在平面ABC 内的摄影为HG 由三垂线定理的逆定理知AB HG ⊥MGH ∠∴为二面角M AB C --的平面角 …………………………10分因为直线AM 与直线PC 所成的角为︒60，即︒=∠60AMHH G在ACH ∆中，AC=CH=1，︒=∠120ACH ，则AH=3AHM Rt ∆中，23sin ==∠AM AH AMH ，故1,2==MG AM …………11分在ACB ∆中，由余弦定理7cos 2222=∠⋅⋅-+=ACB BC AC BC AC AB7=∴AB ……………………………………12分1421120sin 21=︒⋅⋅⋅=∴AB BC AC HG 31931692111421cos =+==∠∴MG HG MGH ………………………………13分故二面角M AC B --的平面角余弦值为9331…………………………14分19．解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则22232c a a b c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩∴222234,3a c c b ==……………………3分∴椭圆C 的方程为：22223314x y c c+= 代入1(3,)2P 得：3c = …………………………5分∴椭圆C 的方程为2214x y += …………………………6分（2）设[](,),2,2Q x y x ∈-，则222y x QO+=， ……………7分又：(1,0)A -， 222(1)QA x y =++ ……………8分2222222222221(1)1221QA x y x x y x x y x y x yQOλ-++-++====++++ ……………9分点),(y x P 满足2214x y +=，∴2214x y =-， …………10分22281133414x xx x λ=+=+++ …………11分当0≤x 时，1≤λ …………12分当0>x 时，(0,2]x ∈，288114343x x x xλ=+=+++ …………13分因为4432343x x x x+≥⋅=，所以2313λ≤+，当且仅当233x =时， λ取得最大值2313+．…………14分（说明：在求最大值部分若用导数求单调区间后再说明最值的，参考上述步骤给分） 20．解（1）：()()12323123 4 2=2n n a a a a log log log n log n +⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++ ……2分要123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数，需要()()22log n k k Z +=∈ ∴22k n =- ……3分由于n N +∈， ∴2k ≥，即21222b =-=，32226b =-=，…，122m m b +=- 根据题意，2015<m b ，得2015221<-+m ∴201721<+m ，则9m ≤…………4分∴区间)2015,1(内的所有“穿越数”的和为： ()2310922229421182026+++-⨯=⨯--= …………………………7分证明（2）：341123111111112222222m m b b b b +++++=++++---………8分当1m =时，111526b =<成立；当2m =时，121111252636b b +=+=<成立； …………………………10分当2m ≥时，由1111111122422322232m m m m m+---==≤-⋅-⋅+-⋅，…………………………12分 ∴211112311111111111511232323223262m m m m b b b b ---⎛⎫++++≤++++=+-=- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ …………………………13分又1102m -> ∴1211156m b b b +++< …………………………14分21.解: 由题有，22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩ …………………2分(2)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-. …………………3分当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+.因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, …………………4分即：121244()5x x x x =-+-222211212121212()4()4()5(2)1x x x x x x x x x x x x -=+-=++++=+++ (6)分当122x x +=-时，1234x x =，此时1231,22x x =-=-，21x x -取得最小值1. ………8分(3)当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<. ………9分当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =∙+-. ………10分两切线重合的充要条件是1222112 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② ………11分由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2211111ln1ln 22122a x x x x =+-=-+-+.设()()21111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, ………12分则()1111201h x x x '=-<+.- 11 - 所以()()1110h x x -<<是减函数.则()()10ln 21h x h >=--,所以ln 21a >--. ………13分又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞. 故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞ ……14分。

2015年高考数学概率统计专题试卷 11

2015年高考数学概率统计专题试卷1．下列问题属于超几何分布的有________．(填序号)①抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的概率分布列；②有一批种子的发芽率为70%，现任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的概率分布列；③一盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，现任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的概率分布列；④某班级有男生25人，女生20人，现选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的概率分布列． 2．设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝15k (k ＝1，2，3，4，5)，则P 1522x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭＝________.3．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．4．设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________．5．某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为________． 6．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________． 7．从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________． 8．现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．9．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．10．在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数(例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2)，求随机变量ξ的分布列．11．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X 为取出的次数，求X 的概率分布列． 12．一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布，并求P 1522x ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． (1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．14．黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠．某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生．但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证．(1)在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；(2)在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．15．如图，从A1(1，0，0)、A2(2，0，0)、B1(0，1，0)、B2(0，2，0)、C1(0，0，1)、C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．16．在一次面试中，每位考生从4道题a、b、c、d中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响．(1)若甲考生抽到a、b题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率；(2)设某两位考生抽到的题中恰好有X道相同，求随机变量X的概率分布．17．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的概率分布；(3)求甲取到白球的概率．18．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．四、新添加的题型参考答案1．③④【解析】注意超几何分布的特征，其中涉及三个参量，①、②属于独立重复试验问题． 2．15【解析】P 1522x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝115＋215＝153．1363【解析】数字之和小于2或大于3的对立事件为数字之和为2或者3，发生的概率为22355510C C C ，所以数字之和小于2或大于3的概率为1－22355510C C C ＝1363. 4．37【解析】N ＝50，M ＝15，n ＝2，r ＝1，P(X ＝1)＝H(1，2，15，50)＝111535250C C C ＝37. 5．103133【解析】把选出的4人中男生的人数记为X ，显然随机变量X 满足超几何分布，所求事件的概率可以表示为P(X≥2)．有P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝221210422C C C ＋311210422C C C ＋401210422C C C ＝103133. 6．19【解析】两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为545＝19. 7．8【解析】从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：(1，4)，(2，3)共2种情况；从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为2n C ，由古典概型概率计算公式，得从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为P ＝22nC .所以2n C ＝28，即12n n （－）＝28，解得n ＝8.8．20 63【解析】m可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，所以总共有7×9＝63种可能，符合题意的m可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n可以取1，3，5，7，9共5个，所以总共有4×5＝20种可能符合题意，所以符合题意的概率为20 63.9．3 5【解析】∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35.10．ξ的分布列为【解析】随机变量ξ11．X的概率分布列如下表【解析】P(X＝2)＝810·9＝45，P(X＝3)＝10·9·8＋10·89·78＝1445，P(X＝4)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)＝1 15，所以X12．27 110【解析】易知X的可能取值为0、1、2、3这四个数字，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的都是次品，第k＋1次才取得正品，其中k＝0、1、2、3.故X的分布列为P 1522x ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝944＋9220＝27110. 13．（1）15（2）715（3）ξ的分布列为【解析】(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A 、B 相互独立，且P(A)＝2324C C ＝12，P(B)＝2426C C ＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝12×25＝15. (2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C 、D 互斥，且P(C)＝2324C C ·112426C C C ＝415，P(D)＝12342246C C C C ＝15. 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C ＋D)＝P(C)＋P(D)＝415＋15＝715. (3)ξ可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(ξ＝0)＝15，P(ξ＝1)＝715，P(ξ＝3)＝1322461C C C ＝130.从而P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝310.ξ的分布列为14．（1）51154（2）ξ的分布列为【解析】(1)记事件A 为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，则该事件分为两个事件A 1和A 2，A 1为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”；A 2为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”．P(A)＝P(A 1)＋P(A 2)＝11112106610633222218155177154154C C C C C C C ⋅⋅⋅＋＝＋＝，∴在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率为51154. (2)由于8名学生中有6名学生有学生证，∴ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ＝1)＝126238C C C ⋅＝328，P(ξ＝2)＝216238C C C ⋅＝1528，P(ξ＝3)＝3638C C ＝514， ∴ξ的分布列为15．（1）35（2）9V 的分布列为【解析】(1)从6个点中随机选取3个点总共有36C ＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有13C 34C ＝12种，因此V ＝0的概率为P(V ＝0)＝1220＝35. (2)V 的所有可能取值为0、1、1、2、4，因此V 的分布列为则V 的数学期望E(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940 16．（1）23（2）X 的概率分布为【解析】(1)P ＝112224C C C＝23. (2)X 的可能取值为0、1、2，P(X ＝0)＝22422244C C C C ⋅＝16，P(X ＝2)＝2422441C C C ⋅＝16，P(X ＝1)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝2)＝23，所以随机变量X 的概率分布为17．（1）3（3）2235【解析】(1)设袋中原有n 个白球，由题意知2n 27n n 1C 1n n 12767C 762⨯⨯（－）（－）＝＝＝，∴n(n －1)＝6，得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1、2、3、4、5.P(ξ＝1)＝37；P(ξ＝2)＝4376⨯⨯＝27； P(ξ＝3)＝433765⨯⨯⨯⨯＝635；P(ξ＝4)＝43237654⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝335；P(ξ＝5)＝4321376543⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝135.所以ξ的分布列为：(3)件A ，则P(A)＝P(“ξ＝1”，或“ξ＝3”，或“ξ＝5”)． ∵事件“ξ＝1”，或“ξ＝3”，或“ξ＝5”两两互斥， ∴P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝2235. 18．（1）分布列如下：（2）0.667.【解析】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2即(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23≈0.667.。

广东省东莞市2015届高三数学上学期期末试卷理(含解析)

某某省某某市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）A．+B．C．﹣+i D．2．（5分）抛物线y2=﹣4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣23．（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．B．C．D．4．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8 B．16 C．24 D．485．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=x+2y的取值X围是（）A．[﹣2，0] B．[0，+∞] C．[0，2] D．[﹣2，2]6．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：=a x（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，则实数a的值为（）A．3 B．C．3或D．27．（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角θ，设=λ+，=+μ，有下列四个命题：p1：|+|＞|﹣|⇔θ∈（0，）；p2：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π）；p3：若A，B，C共线⇔λ+μ=1；p4：若A，B，C共线⇔λ•μ=1．其中真命题的是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p48．（5分）在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“⊂”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，给出如下四个命题：①若⊂，则||≤||；②若⊂，⊂，则，则⊂；③若⊂，则对于任意，都有（+）⊂（+）成立；④对于实数λ≥0，若⊂，则λ⊂λ成立；其中所有命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）如图所示的流程图，输出的结果是10．（5分）设f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于．11．（5分）若（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），则+++…+的值为．12．（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．13．（5分）函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是．三、坐标系与参数方程选做题14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．四、几何证明选讲做题15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=．五、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且是它的一个零点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β∈[0，]，f（+）=，f（+）=，求cos（α+β）的值．17．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．18．（14分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）（1）求椭圆C的方程．（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（﹣1，0），记|QA|2=1+λ|QO|2，求λ的最大值．20．（14分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），把使得乘积a1•a2•a3…a n的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{b n}（m∈N+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：++…+＜．21．（14分）已知函数f（x）=•（x2+2x+a）+•ln|x|，其中a∈R，g（x）=．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，某某数a的取值X围．某某省某某市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）A．+B．C．﹣+i D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵z===，则|z|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．（5分）抛物线y2=﹣4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，则抛物线y2=﹣4x的准线方程即可得到．解答：解：由抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，则抛物线y2=﹣4x的准线方程为x=1．故选B．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．3．（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．B．C．D．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据选项中数据的波动情况，结合方差与标准差的定义，得出正确的结论．解答：解：根据题意，得；对于A，9个数据都是5，∴方差为0；对于B和C，数据的分布比较均匀，B的方差较小些，C的方差较大些；对于D，数据主要分布在2和8处，距离平均数5是最远的一组，∴D的数据方差最大，对应的标准差也最大．故选：D．点评：本题考查了频率分步直方图的应用问题，也考查了数据的方差与标准差的应用问题，是基础题目．4．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8 B．16 C．24 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，6，10，则该四面体的体积是V=Sh==8．故选A．点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=x+2y的取值X围是（）A．[﹣2，0] B．[0，+∞] C．[0，2] D．[﹣2，2]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化Z=x+2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z最小为﹣2；当直线过C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z最大为2．∴目标函数Z=x+2y的取值X围是[﹣2，2]．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：=a x（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，则实数a的值为（）A．3 B．C．3或D．2考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据=a x，结合题中等式建立关于a的方程：a+=，解之得a=3或．再根据f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可证出y=a x是R上的减函数，得a∈（0，1），由此可得a=．解答：解：∵=a x，∴=a，=，因此+=，即a+．解之得a=3或．设F（x）=，则F'（x）=，∵f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），∴F'（x）＜0在R上成立，故F（x）是R上的减函数．即y=a x是R上的减函数，故a∈（0，1）．∴实数a的值为．故选：B．点评：本题给出含有指数形式的函数，求解关于字母a的方程，着重考查了指数函数的单调性和导数的运算法则等知识，属于基础题．7．（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角θ，设=λ+，=+μ，有下列四个命题：p1：|+|＞|﹣|⇔θ∈（0，）；p2：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π）；p3：若A，B，C共线⇔λ+μ=1；p4：若A，B，C共线⇔λ•μ=1．其中真命题的是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：与为不共线的单位向量，其夹角θ，可得=1，=cosθ．θ∈（0，π）．p1：|+|＞|﹣|⇔＞0⇔θ∈（0，），即可判断出正误；p2：由命题p1正确即可判断出正误；p4：若A，B，C共线⇔存在实数k使得，即λ+=k（+μ），可得，即可判断出正误；p3：由命题p4正确，即可判断出正误．解答：解：∵与为不共线的单位向量，其夹角θ，∴=1，=cosθ．θ∈（0，π）．对于p1：|+|＞|﹣|⇔⇔＞0⇔θ∈（0，），因此正确；对于p2：由命题p1正确可知：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π），不正确；对于p4：若A，B，C共线⇔存在实数k使得，因此，λ+=k（+μ），∴，⇔λ•μ=1．因此是真命题；对于p3：由命题p4正确，可知命题p3不正确．综上可得：只有命题p1，p4正确．故选：A．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“⊂”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，给出如下四个命题：①若⊂，则||≤||；②若⊂，⊂，则，则⊂；③若⊂，则对于任意，都有（+）⊂（+）成立；④对于实数λ≥0，若⊂，则λ⊂λ成立；其中所有命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：新定义；平面向量及应用．分析：根据已知条件中，对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”．对于①若⊂，则“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”，||=，||=，不一定有||≤||，故①不正确；对于②，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若⊂，⊂，则有“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，“x2＜x3”或“x2=x3且y2＜y3”．故有“x1＜x3”或“x1=x3且y1＜y3”．故有⊂，故②正确；对于③，若⊂，则对于任意，设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由于“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，则“x+x1＜x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＜y+y2”，即有（+）⊂（+）成立，故③正确；对于④，对于实数λ≥0，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），若⊂，则有“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，即有“λx1≤λx2”或“λx1=λx2且λy1≤λy2”，则λ⊂λ不成立，故④不正确．综上正确的个数为2．故选B．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“⊂”，正确理解新定义“⊂”的实质，是解答的关键，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）如图所示的流程图，输出的结果是24考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=5时，不满足条件n≤4，退出循环，输出s的值为24．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，s=1满足条件n≤4，s=1，n=2满足条件n≤4，s=2，n=3满足条件n≤4，s=6，n=4满足条件n≤4，s=24，n=5不满足条件n≤4，退出循环，输出s的值为24．故答案为：24．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．10．（5分）设f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，可得mx m﹣1+a=2x+1，f（x）=x2+x．再利用微积分基本定理即可得出．解答：解：∵f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，∴mx m﹣1+a=2x+1，解得a=1，m=2．∴f（x）=x2+x．∴f（x）dx=（x2+x）dx===．故答案为：．点评：本题考查了导数的运算法则、微积分基本定理，属于基础题．11．（5分）若（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），则+++…+的值为﹣1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：由（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），到展开式的每一项的系数a r，代入到+++…+求值即可．解答：解：由题意得：a r=C2015r（﹣2）r，∴+++…+=﹣+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015=（1﹣1）2015∴+++…+=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法．12．（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+6．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：首先找出三角形数阵的规律，求出前n﹣1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n行第3个偶数．解答：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，则第n行（n≥3）前共有1+2+3+…+（n﹣1）=个数，所以第n行（n≥3）从左向右的第3个数为2[+3]=n2﹣n+6，故答案为：n2﹣n+6．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．13．（5分）函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是7．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得到交点的个数，即可得到函数零点的个数．解答：解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，由图得交点7个故函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是7．故答案为：7．点评：本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．三、坐标系与参数方程选做题14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把直线和圆的极坐标方程化为极坐标方程，利用直线和圆相交的性质得到×1=﹣1，解得m的值，可得中点A 的直角坐标，再化为极坐标．解答：解：直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0即 x﹣y+2=0，曲线C：ρ=2 即=2，即 x2+y2=4，表示以原点O为圆心，以2为半径的圆．设弦的中点为A（m，m+2），则由OA垂直于直线可得×1=﹣1，解得m=﹣1，故弦的中点为A（﹣1，1），它的极坐标为，故答案为．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的极坐标，直线和圆相交的性质，属于基础题．四、几何证明选讲做题15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．解答：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．点评：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．五、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且是它的一个零点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β∈[0，]，f（+）=，f（+）=，求cos（α+β）的值．考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的周期和零点求出ω，φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用两角和差的余弦公式进行求解即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，∴=π，解得ω=2，则f（x）=2sin（2x﹣φ）…（2分）又是它的一个零点，即2×﹣φ=kπ，…（4分）则φ=﹣kπ，k∈Z，∵0＜φ＜…（5分）∴当k=0时，φ=…（6分）故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣）…（7分）（2）由（1）f（x）=2sin（2x﹣）又∵f（+）=，f（+）=∴sin（α+）=，sinβ=…（9分）∴cosα=，又α，β∈[0，]，∴α=，β=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==…（12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．17．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：图表型；概率与统计．分析：（I）根据频率分布直方图，结合频率之和为1，看出小矩形的高的值即得a的值．（II）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A．先算出学生成绩在[50，60）内的和在[60，70）内的人数，根据成绩在[50，70）内的学生有11人，而且这些事件的可能性相同，根据概率公式计算，那么即可求得事件A的概率．（III）根据题意看出变量X的可能取值，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率．列出分布列和期望值．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，可得，所以 a=0.03．…（2分）（Ⅱ）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05=2人，在[60，70）内的共有40×0.225=9人，成绩在[50，70）内的学生共有11人．…（4分）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A，…（5分）则．…（7分）所以选取的3名学生成绩都在[60，70）内的概率为．（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3．…（8分）；；．…（10分）所以X的分布列为X 1 2 3P…（11分）．…（13分）点评：此题考查了对频率分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用等可能事件的概率公式做出变量对应的概率值．18．（14分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．解答：解（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B …（3分）∴PC⊥平面ABC，…（4分）又∵PC⊂平面PAC …（5分）∴平面PAC⊥平面ABC …（6分）（2）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）由题意有A（，﹣，0），B（0，2，0）设P（0，0，z），（z＞0），则M（0，1，z），=（﹣，，z），=（0，0，z），由直线AM与直线PC所成的解为60°，得•=||||cos60°，即z2=z，解得：z=1 …（8分）∴=（﹣，，0），=（，，1），设平面MAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（，，），…（10分）平面ABC的法向量取为=（0，0，1）…（11分）设与所成的角为θ，则cosθ=，…（13分）显然，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角余弦值为．…（14分）点评：本题主要考查空间面面垂直的判定依据二面角的求解，根据定义法以及向量法是解决空间二面角的常用方法，考查学生的运算和推理能力．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）（1）求椭圆C的方程．（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（﹣1，0），记|QA|2=1+λ|QO|2，求λ的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及P满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）设Q（x，y），x∈[﹣2，2]，代入椭圆方程，求得|QA|，|QO|，求得λ关于x的关系式，讨论x的符号，运用基本不等式即可得到最大值．解答：解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则=，又a2﹣b2=c2，∴3a2=4c2，c2=3b2，∴椭圆C的方程为：+=1，代入P（，）得c=，a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（2）设Q（x，y），x∈[﹣2，2]，则|QO|2=x2+y2，又A（﹣1，0），|QA|2=（x+1）2+y2，λ====1+，点P（x，y）满足+y2=1，即有y2=1﹣，λ=1+=1+，当x≤0时，λ≤1，当x＞0时，x∈（0，2]，λ=1+，因为3x+≥2=4，所以λ≤1+，当且仅当x=时，λ取得最大值1+，点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意点满足椭圆方程，同时考成绩基本不等式的运用：求最值，属于中档题．20．（14分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），把使得乘积a1•a2•a3…a n的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{b n}（m∈N+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：++…+＜．考点：数列的求和；对数函数的图像与性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）a1×a2×a3×…×a n=log23×log34×log45×…×log n+1（n+2）=log2（n+2），从而n=2k﹣2，根据题意，b m＜2015，得2m+1﹣2＜2015，由此能求出区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和．（2）++…+=++…+，当n＞2时，由≤，能证明++…+＜．解答：（1）解：由已知得a1×a2×a3×…×a n=log23×log34×log45×…×log n+1（n+2）=log2（n+2），…（2分）要a1×a2×a3×…×a n为整数，需要log2（n+2）=k，k∈Z，∴n=2k﹣2，…（3分）∵n∈N*，∴k≥2，即=2，=6，…，，根据题意，b m＜2015，得2m+1﹣2＜2015，∴2m+1＜2017，则m≤9．…（4分）∴区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和为：22+23+…+210﹣2×9=4（29﹣1）﹣18=2026．…（7分）（2）证明：++…+=++…+，…（8分）当n=1时，=成立，当n=2时，==成立，…（10分）当n＞2时，由==≤，…（12分）∴++…+≤==．…（13分）又，∴++…+＜．…（14分）点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．21．（14分）已知函数f（x）=•（x2+2x+a）+•ln|x|，其中a∈R，g（x）=．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，某某数a的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）讨论x＞0，x＜0，由g（x）即可得到f（x）；（2）求出函数的导数，求得切点A，B处的切线的斜率，再由两直线垂直的条件，化简整理，由二次函数的值域即可得到最小值；（3）求出f（x）的图象在点A，B处的切线方程，由两切线重合的条件，再由导数求得单调区间，运用单调性即可求得a的X围．解答：解：（1）由题意有，f（x）=，word（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′（x1），点B处的切线斜率为f′（x2），故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有f′（x1）•f′（x2）=﹣1当x＜0时，对函数f（x）求导，得f′（x）=2x+2．因为x1＜x2＜0，所以（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，即4x1x2=﹣4（x1+x2）﹣5，x2﹣x1===，当x1+x2=﹣2，时，x1x2=，此时x1=﹣，x2=﹣，x2﹣x1取得最小值1．（3）当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′（x1）≠f′（x 2），故x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）的图象在点（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x12+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1），即y=（2x1+2）x﹣x12+a当x2＞0时，函数f（x）的图象在点（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2），即y=•x+lnx2﹣1．两切线重合的充要条件是，由x1＜0＜x2知，﹣1＜x1＜0．a=x12+ln﹣1=x12﹣ln（2x1+2）﹣1．设h（x1）=x12﹣ln（2x1+2）﹣1（﹣1＜x1＜0），则h′（x1）=2x1﹣＜0．所以h（x1）（﹣1＜x1＜0）是减函数．则h（x1）＞h（0）=﹣ln2﹣1，所以a＞﹣ln2﹣1．又当x1∈（﹣1，0）且趋近于﹣1时，h（x1）无限增大，所以a的取值X围是（﹣ln2﹣1，+∞）．故当函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值X围是（﹣ln2﹣1，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件，考查化简运算的能力，属于中档题．- 21 - / 21。

广东省东莞市高三数学小综合专题练习概率统计文

图174321098782015届高三文科数学小综合专题练习——概率统计一、选择题1. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是 A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.52.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为（）.A ．101B ．808C ．1212D ．20123.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”。

现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）.A ．19B ．29C ．718D ．494．在区间[]0,2之间随机抽取一个数x ,则x 满足210x -≥的概率为( ).A ．34.B ．12 C.14 D.135.已知正棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得21<-ABC P V ABC S V -的概率是（）.A ．43B ．87C ．21D ．41二、填空题6.以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程错误！未找到引用源。

中，当解释变量错0.031000.0250.0150.010.005908070605040分数频率组距误！未找到引用源。

每增加1个单位时，则预报变量错误！未找到引用源。

减少0.4个单位； ④对分类变量X 与Y 来说，它们的随机变量错误！未找到引用源。

的观测值错误！未找到引用源。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试卷分类汇编：统计与概率

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编统计与概率一、选择题1、（揭阳市2015届高三）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100) 的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为A ．82B ．70C ．48D ．30二、填空题1、（佛山市2015届高三）某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为__________.2、（广州市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是3、（惠州市2015届高三）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．4、（惠州市2015届高三）某,,A B C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有230P A P B P C++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为_________5、（揭阳市2015届高三）在区域02,0 4.xyπ≤≤⎧⎨≤≤⎩中随机取一点(,)P a b,则满足sin1b a≥+的概率为6、（清远市2015届高三）在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD 各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿7、（汕头市2015届高三）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为_____________.8、（珠海市2015届高三）三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是三、解答题1、（潮州市2015届高三）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．()1将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；()2从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．2、（佛山市2015届高三）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?3、（广州市2015届高三）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频率分布直方图（如图3）．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求1a ，3a 的值.（2）求在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50 个的概率；（3）用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．4、（惠州市2015届高三）惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：()()()P AB P A P B =+（事件A 与事件B 互斥）．独立事件乘法公式：()()()P A B P A P B =⋅（事件A 与事件B 相互独立）．条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =．5、（揭阳市2015届高三）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩n x70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．6、（清远市2015届高三）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：（1）估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；（2）从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190 cm 之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。

2015年高考真题概率与统计(理科)

2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）1．（2015•广东理）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？2．（2015•新课标二卷理）（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．3．（（2015•新课标一卷理）本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望 4．（2015•重庆理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =，w =1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：5．（2015•天津理）（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.7．（2015•陕西理）本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．8．【2015高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；分；若能被10整除，得1分.若能被5整除，但不能被10整除，得1（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.9．（2015•湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．11．（2015•安徽理）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．13．（2015•北京理）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅱ）如果25（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）参考答案1．（1）44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）平均值40；方差：（3）23人．63.89%．【解析】试题分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．2．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.48．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”； 2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B PC 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 3．（1）14；（2）分布列见解析，期望为35．【解析】试题分析：（1）本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为310C ，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为111235C C C ，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此X 的可能值分别为0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为35．试题解析：（1）令A 表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101(A)4C C C P C ==；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，且383107(X 0),15C P C ===12283107(X 1),15C C P C ===21283101(X 2),15C C P C ===故7713E(X)0121515155=???．考点：古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力． 4．（Ⅰ）y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）100.6y =+46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w 先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()()ii i ii w wy ydw w ==--=-∑∑=108.8=6816， ∴ cy dw =- =563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为 100.668y w =+， ∴y 关于x 的回归方程为100.6y =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.6y =+， 576.60.24966.32z=⨯-= . （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.620.12zx x =+-=-+ ，13.6=6.82，即46.24x =时，z取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识5．（Ⅰ）635;()52E X =【解析】（Ⅰ）由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以事件A 发生的概率为635. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k k C C P X k k C -===所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 6．（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99100p =. （2）X 的分布列为：X 的期望为()2E X =.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=.（2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力. 7．（Ⅰ）分布列见解析，32；（Ⅱ）0.91．【解析】试题分析：（Ⅰ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（Ⅱ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）（Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=．考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率． 8．（Ⅰ）有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）X 的分布列为21EX =【解析】试题分析：（Ⅰ）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；（Ⅱ）试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X 的分布列和数学期望EX . 解：（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C =随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此()3839203C P X C === ()24391114C P X C =-== ,()12111114342P X ==--=,因此0(1)13144221EX =⨯+-⨯+⨯= 考点：1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.9．（1）107；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X 的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴1(3,)5X B ，于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()P X C ===，故X 的分布列为X 的数学期望为 13()355E X =⨯=.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.10．（Ⅰ）Z 的分布列为：()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为第20题解答第20题解答第20题解答因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=考点：线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布． 11．（Ⅰ）310；（Ⅱ）350. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .得出1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.依此求出各自的概率136,,101010，列出分布列，求出期望136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=.试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.22251(200)10A P X A ===.31123232353(300)10A C C A P X A +===. 136(400)1(200)(300)1101010P X P X P X ==-=-==--=.136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. 考点：1.概率；2.随机变量的分布列与期望.12．（Ⅰ）12；（Ⅱ）分布列见解析，期望为52．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P =创（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==?=创所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632=???．考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望． 13．（Ⅰ）37，（Ⅱ）1049，（Ⅲ）11a =或18 【解析】试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为37；如果25a =，甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为1049，由于A 组数据为10，11，12，13，14，15，16；B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，由于A ，B 两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以11a =或18.试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率37P =； (Ⅱ) 如果25a =，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率1049P =. (Ⅲ)把B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当11a =或18a =时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)考点：1、古典概型；2、样本的方差。

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)1.一个口袋中有2个白球和$n$个红球($n\geq2$，且$n\in\mathbb{N}^*$)，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

1)试用含$n$的代数式表示一次摸球中奖的概率$p$；2)若$n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为$f(p)$，当$n$为何值时，$f(p)$取最大值。

2.一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生 | S1.| S2.| S3.| S4.| S5.|语文 | 87.| 90.| 91.| 92.| 95.|英语 | 86.| 89.| 89.| 92.| 94.|1)根据表中数据，求英语分$y$对语文分$x$的线性回归方程；2)要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以$\xi$表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。

3.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动。

为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为$n$）进行统计。

按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[90,100]$的数据）。

1)求样本容量$n$和频率分布直方图中$x$，$y$的值；2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设$\xi$表示所抽取的3名同学中得分在$[80,90)$的学生个数，求$\xi$的分布列及其数学期望。

4.某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B。

【专题典型题】2015届广东数学高考复习专题汇编：概率统计(2007-2014年试题,含解析)

1
=
40
20人
2
70-80 段数学成绩的的人数为
4
=
30
40人
3
80-90 段数学成绩的的人数为 = 5 20 25人 4
90-100 段数学成绩的的人数为 =100 5 20 40 25 10人
(2013 年高考广东卷第 17 小题 ) （本小题满分 12 分）
从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
(3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数
x 与数学成绩相应分数段的人数 y
之比如下表所示，求数学成绩在 50,90 之外的人数．
分数段 50,60 60,70 70,80 80,90
x ：y
1： 1
2：1
3： 4
4： 5
解
10 (a 0.04 0.03 0.02 a) 1
(1):
a 0.005
分组（重量）
80,85
85,90
90,95
95,100
频数（个）
11
(2009 年高考广东卷第 12 小题 )
某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，
将全体职工随机按 1－200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（ 1－ 5 号， 6－ 10 号…， 196
－200 号）. 若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是
(2008 年高考广东卷第 19 小题 ) 某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19 。（ 1）求 x 的值；（ 2）现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？（ 3）已知 y≥ 245， z≥ 245，求初三年级中女生比男生多的概率。

广东省东莞市2015届高三理科数学模拟试题(一)

东莞市2015届高三理科数学模拟试题(一)（满分150分）考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A .{}2,3B .{}1,4C .{}5D .{}62.已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（） A .()p q ⌝∨B .p q ∨C .p q ∧D .()()p q ⌝∧⌝3.已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（） A .()23,12--B .()23,12C .()7,0D .()7,0-4.下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（） A .xxy e e -=+ B.y =C .tan y x =D .1ln1xy x+=- 5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（） A .263 B .83π+ C .143π D .73π 6.已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（）A .44S T >B .44S T <C .44S T =D .44S T ≤7.已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（） A .2或12B .13或1- C .13D .1-8.已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数：①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞U AB主视图侧视图俯视图③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（） A .②④B .②③④C .①③D .①③④二、填空题：（本大题共7小题，其中9~13题为必做题，14，15为选做题，每小题5分，总分30分.）（必做题部分）9. 函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________. 10.在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________. 11.已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________.12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为45，以其焦点为顶点，左右顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为____ __.13.如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,PAQ PBA ∠=∠,60PBQ =∠=︒，可求得P 、Q 两点间的距离为米.（选做题部分）14.（参数方程极坐标选做题）在极坐标系中，过点)4π作圆2cos ρθ=的切线，切线的极坐标方程是 .15.（平面几何选讲选做题）如图，AB 为O 的直径，AC 切O 于点A，且AC =过C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，若CM MN ND ==,则BD= .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. ⑴ 求ω的值； ⑵ 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值.AB C DONM某工厂从一批产品中随机抽取40件进行检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[]96,106，样本数据分组为[)[)[)96,98,98,100,100,102，[)[]102,104,104,106.⑴ 求图中x 的值；⑵ 若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至少有2件产品的净重在[)98,100中的概率；⑶ 若产品净重在[)98,104为合格产品，其余为不合格产品.从这40件抽样产品中任取2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B ,A 1C ,A 1D .⑴ 当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；⑵ 线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.C 1A BCD A 1B 1D 10.075 x已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. ⑴ 求数列{}n b 的通项公式； ⑵ 证明：222121117nb b b +++<.20.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ，动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤.⑴ 求动点P 的轨迹C 方程；⑵ 若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. ⑴ 求函数()f x 的单调区间和极值；⑵ 若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，且()g x 的图像在此两点处的切线互相垂直，求a 的取值范围.东莞市2015届高三理科数学模拟试题(一)参考答案一、选择题： CBAD DABC 二、填空题：9.20x y e --=； 10.3； 11.2n 12.34y x =±； 13. 900；14.sin 10ρθ-=；三、解答题：16. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α=………………………………………………………………7分 ()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β=…………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分 17.解：⑴ 由频率分布直方图知：()0.050.0750.1250.1521x ++++⨯=，解得：0.1x =……………………2分⑵ 由⑴知，这批产品中净重在[)98,100中的频率为0.2，根据题意概率为0.2，记从这批产品中有放回地随机抽取3件时，净重在[)98,100中的产品件数为η，则()~3,0.2B η，故()()()2233332230.20.80.20.104P P P C C ηηη≥==+==⨯⨯+⨯=……………………5分⑶ 40件抽样产品中不合格品的件数为()400.050.075210⨯+⨯=件，合格品件数为401030-=件………………………………6分ξ的可能取值为0,1,2 三种情况()()()21123010301022240404029530,1,2521352C C C C P P P C C C ξξξ=========………………9分所以ξ的分布列为2950125213522E ξ∴=⨯+⨯+⨯=……………12分 18.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分因为四边形ABCD为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM ⊥A1C ，所以BMD∠即为所求二面角的平面角……6分因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以1A BC ∆为直角三角形又11AB AC =113A B BC BM AC ⨯===，同理可得，DM = 在∆BMD 中，根据余弦定理有：6621cos 2BMD +-∠==- ………………8分因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A 1C-D 的值是120︒. ……………………………………………………9分AB CDA 1B 1C 1DM⑵若线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则A1C⊥BD ………………10分又A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥BD，所以BD⊥平面A1AC所以BD⊥AC ……………………………………………………………………12分底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P即为BM⊥A1C的垂足M此时，2111A BA PAC===……………………………………………………14分法二：根据题意可知，AA1, AB,AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t tV t t t t+-⎛⎫=-⨯=-≤=⎪⎝⎭………………………2分当且仅当2t t=-，即1t=时体积V有最大值为1 …………………………………3分所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形……4分则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC=-=，设平面A1BC的法向量(),,m x y z=，则x zy-=⎧⎨=⎩取1x z==，得：()1,0,1m =………………6分同理可得平面A1CD的法向量()0,1,1n =……7分所以，1cos,2m nm nm n⋅==⋅………………8分又二面角B-A1C-D为钝角，故值是120︒.…………9分（也可以通过证明B1A⊥平面A1BC写出平面A1BC的法向量）⑵根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B tC t tD t--，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨11A P ACλ=，可得()(),2,1P t tλλλ--()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t tλλλ=---=--11BP ACBD AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即：()()()()22221020t t t tt tλλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分解得：21,3t λ==…………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分19.解：⑴ 12241233nn n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n nb = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下： ① 当1n =时，112b =符合通项公式2n nb =；② 假设当n k =时猜想成立，即112k k kb a ==+，21k a k =-那么当1n k =+时1211113113k k k a k k a a k k +----===++-+，1111111211k k k b k a k+++===-+++ 即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n n b =. ⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分20.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩ 消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r ，r ≤ …………………………………………………………9分整理得：()()()22222221683444t t rt t r +--≤+-即()()22222816281690t t rtt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2m a x281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r≤≤……………………………………………………13分特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r ≤成立 ……9分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2m a x281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤……………………………………………………13分特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠r的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分21.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ ……1分当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- ………………………………3分当1(,)x a a a ∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭………………………………5分 ⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a ag x a f x a a a x a a x a x a a ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩……………………6分函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a<<--<<，得：13a -<<-+ ………………………………………………………………………8分当1(,)x a a a∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121a k x a =-+；当1(,)x a a ∈--+∞时，()2a g x a x a =--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+； ………………………………………………………………10分函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aa x a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分因为121016a x a x a a a <+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分所以()()1116a a a a a a ⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：2a -<< 综合得：所求a的取值范围是1(1,2a ∈-. ………………………………14分。

2015年高考数学—概率(解答+答案)

2015年高考数学—概率（解答+答案）1.（2015新课标Ⅰ文数（19）（本小题满分12分））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x ry u r w u r821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w y y =--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w 1 x 1, ，w u r =1881i w =∑1（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 。

根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？+u的斜率和附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （u n v n）,其回归线v=αβ截距的最小二乘估计分别为：2.（2015新课标II文数18．（本小题满分12分））某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。

A地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表（1）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由频率/5060708090100 满意度评分405060708090满意度评分100 频率/3.（2015安徽文数17.（本小题满分12分））某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（Ⅰ）求频率分布图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.4.（2015北京文数（17）（本小题13分））某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

广东省东莞市高三数学小综合专题练习概率统计理

图174321098782015届高三理科数学小综合专题练习——概率统计一．选择题1. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 922. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（）A ． 49B ．13C ．29 D ．193. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板：从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。

如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。

把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，通过多次试验，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对称的古钟型）。

通过测试可知小球落在距中轴2个单位外的概率为0.15，现随意从入口处放进一个小球，则该小球落在中轴左侧2个单位内的概率为（） A ．0.15 B.0.3 C.0.35 D.0.74.学校为了解学生每周在校费用情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[50,130]（单位：元），其中支出在[)50,70（单位：元）的同学有40人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在[110,130]（单位：元）的同学人数是（） A.100 B.120 C.30 D.3005.通过随机询问110名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的2×2列联表:（）507090110 130 费用A.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关” 二．填空题6.某公司在年末进行抽奖活动，纸箱中有外形一样的5个黄色和5个白色乒乓球。

广东省东莞市2015高考数学数列复习题理

2015届高三理科数学小综合专题练习——数列一．选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项的代号填涂到答题卡上）1．数列1，－3，5，－7，9，……的一个通项公式为（）A 、12-=nan B、)21()1(na nn--=C 、)12()1(--=na nn D 、)12()1(+-=na nn2．在等差数列{}na中，621118+=aa，则数列{}na前9项的和9S等于（）A. 24B. 48C. 72D. 1083．已知等比数列{}na中，11=a，公比≠||q1，若54321aaaaaam=，则=m（）A. 9B. 10C. 11D. 124．等差数列{}na的公差不为零，首项11a=，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10项之和是（）A.90B.100C.145D.1905．各项为正数的等比数列{}na的公比1q≠，且2a，321a，1a成等差数列，则3445a aa a++值是（）A．B．C．D．或二．填空题（请将正确答案填在答卷上）6．设数列{an},{bn}都是等差数列，若711=+b a ，2133=+b a ，则=+55b a _________7．某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n ∈N*)等于_____________.8．数列{}n a 的通项公式，211+++=n n a n 其前n 项和，23=n S ，则n =_____.9．已知数列中，，，则数列通项__________10．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，f(x)＝211x x -+，an ＝log2()()1f n f n +，则S2 013＝________.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)11． (1)等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值.(2)在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．12．已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==（1）求{}n a 的通项;（2）数列{}n a 从哪一项开始小于0?（3）求13519a a a a ++++值.13．已知数列an 的前n 项和公式为Sn=n2-23n-2(n ∈N*). (1)写出该数列的第3项; (2)判断74是否在该数列中;(3)确定Sn 何时取最小值,最小值是多少? 14．数列{}n a 中，，（1）证明：数列{}n a 是递增数列.（2）求数列{}n a 的最小项.15．已知等比数列{}n a 为正项递增数列，且482=a a ，32064=+a a ，数列={}n a 11=-11n n n n a a a a ++⋅=-22+-=n n a n*3log ()2nn a b n N =∈．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）211222n n T b b b b -=++++，求nT .16．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为nS ，{}n b 为等比数列,11b =，且2264,b S =33960b S =．（Ⅰ）求na 与nb ；（Ⅱ）求和：12111n S S S +++．17．假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元.请你选择.（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？18．我们用部分自然数构造如下的数表：用aij(i ≥j)表示第i 行第j 个数(i 、j 为正整数)，使ail=aii=i ；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第n(n 为正整数)行中各数之和为bn ．（1）试写出b2一2b1；，b3-2b2，b4-2b3,b5-2b4，并推测bn+1和bn 的关系(无需证明)；（2）证明数列{bn+2}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式bn ；19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*)(122N n n S a n n∈++=.（1）求321a a a ，，（2）求证：数列{}2+n a 是等比数列；（3）求数列{}n a n •的前n 项和n T .20.已知数列的前n 项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，且，求证：；（3）求证：.1(1)4,2,(2,2n n n n a S na n n -==+-≥∈N *n S }n a {}n b 14b =21(1)2,()n n n b b n b n +=---∈N *,(2,)n n b a n n >≥∈N *23344511111(1)(1)(1)(1)n n b b b b b b b b +++++<2015届高三数学小综合（数列）专题练习参考答案一、选择题：二、填空题： 6.35 7.6 8.30 9. 10.log240272015＋1三、解答题：11.解：（1）因为2554a a d +=+=111(a +d)+(a +4d)=2a ，13=1a所以23d =，121(1)33n a a n d n =+-=-由33n a =得：213333n -=，解得n=50（2）因为5162a =，公比3q =所以由451a a q =得：411623a =，解得12a =所以1(1)311n n n a q S q -==--因为242n S =，所以31242n n S =-=解得5n = 12.解：（1）4133a a d d =+∴=-283n a n∴=-（2） 1283093n n -<∴> ∴数列{}n a 从第10项开始小于0（3）13519a a a a ++++是首项为25，公差为6-的等差数列，共有10项其和1091025(6)202S ⨯=⨯+⨯-=-13.解: (1)a3=S3-S2=-18.(2)n=1时,a1=S1=-24,n ≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-24,即⎩⎨⎧≥---,2,242,1,24n n n1n-由题设得2n-24=74(n ≥2),得n=49. ∴74在该数列中.(3)Sn=(n-223)2-4232-2,∴当n=11或n=12时,(Sn)min=-134.14.解，又，∴，数列{}n a 是递增数列∴数列{}n a 的最小项为.15.解：(1)∵{an}是正项等比数列，2285544,2a a a a ∴===由　得　又46203a a +=∴23110q q=+. ∴3q =或13q =，∵{}n a 为增数列∴1151232381n n n n a a q ---==⋅=⋅，3log 52nn a b n ∴==-.(2)n T =211222.......n b b b b -++++21(15)(25)(25)(25)n -=-+-+-++-＝1212n--5n -=2n51n --16.解:（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -= 依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=（Ⅱ）35(21)(2)n S n n n =++++=+12)1(1222)(122221<++++++=+-++-+=+n n n n n n n n a n n 022<+-=n n a n 1+<n n a a 311-=∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++17.解：设方案一第n 年年末加薪an ，因为每年末加薪1000元，则an=1000n ；设方案二第n 个半年加薪bn ，因为每半年加薪300元，则bn=300n ；在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元.方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋3002)120(20⨯-⨯=63000元； (2)设在该公司干n 年，两种方案共加薪分别为：Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n ＋10002)1(⨯-n n =500n2＋500nT2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n ×300＋3002)12(2⨯-⨯n n =600n2＋300n令T2n ≥Sn 即：600n2＋300n>500n2＋500n ，解得：n ≥2，当n=2时等号成立.∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.18.解:（1）bl=1,；b2=4；b3=10；b4=22；b5=46：可见：b2-2 bl=2；b3-2 b2=2；b4-2 b3=2；b5-2 b4=2猜测：bn+1-2 bn=2 (或bn+1=2 bn+2或bn+1- bn=3×2n-1)（2）由（1）2221=+++n n b b所以{bn+2}，是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列， ∴ bn+2=3×2n-1 ,即bn =3×2n-1-2..-19.解：(1)由题意，当n=1时，得2a1=a1+3,解得a1=3 当n=2时，得2a2=(a1+a2)+5,解得a2=8当n=3时，得2a3=(a1+a2+a3)+7,解得a3=18 所以a1=3,a2=8,a3=18为所求.(2)因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立两式相减得：2an+1-2an=an+1+2所以an+1=2an+2(n ∈N*)，即an+1+2=2(an+2)所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列 (3)由(2)得：an+2=5×2n-1,即an=5×2n-1-2(n ∈N*) 则nan=5n ·2n-1-2n(n ∈N*)设数列{5n ·2n-1}的前n 项和为Pn,则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×(n-1)·2n-2+5×n ·2n-1,所以2Pn=5×2×21+5×3×22+5×3×23+…+5(n-1)·2n-1+5×n ·2n, 所以-Pn=5(1+21+22+…+2n-1)-5n ·2n, 即Pn=(5n-5)·2n+5(n ∈N*) 所以数列{n ·an}的前n 项和Tn=(5n-5)·2n+5-2×2)1(+n n ,整理得，Tn=(5n-5)·2n-n2-n+5(n ∈N*)20.解:（1）当时，，，可得：.可得，（2）当时，，不等式成立.假设当时，不等式成立，即那么，当时，所以当时，不等式也成立. 根据（），（）可知，当时，（3）设在上单调递减，∵当时，，111111ln(1)(1)(2)2n n n n b b n n n ++∴+<<=+++2334111)1(1)ln(1n n n b b ++++++11111341232n n n <-++-=-<+++32334111(1)(1)(1).n n e bb b b b b ++++<3≥(1)22n nn n S na -=+-11(1)(2)(1)22n n S n a ---=+-11(1)22n n n n a na n a --=---⨯11(3,)n n a a n n -∴-=≥∈N *122221,a a a +=+-2 3.∴=4,(1))n n a ⎧=⎨∈⎩N *n 2=22122143b b a =->=(2,)k k =≥∈N 1.k b k >+21(1)2(1)22(1)222,k k k k k k b k b b b k k k k +=---=-+-->+-=≥+1k +1︒2︒.n na 1()1(1),()111f x n x x f x x -'=+-=-=+()f x ∴(0,+∞()(0),1(1).x f n x x <∴+<2,n n ≥∈N 111,1n nb a n <=+。

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如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。

通过测试可知小球落在距中轴2个单位外的概率为0.15，现随意从入口处放进一个小球，则该小球落在中轴左侧2个单位内的概率为（） A ．0.15 B.0.3 C.0.35 D.0.74.学校为了解学生每周在校费用情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[50,130]（单位：元），其中支出在[)50,70（单位：元）的同学有40人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在[110,130]（单位：元）的同学人数是（） A.100 B.120 C.30 D.3005.通过随机询问110名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的2×2列联表:男女总计走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计6050110则以下结论正确的是（）507090110 130 费用频率/组距0.0050.008 0.022m A.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关” 二．填空题6.某公司在年末进行抽奖活动，纸箱中有外形一样的5个黄色和5个白色乒乓球。

规定：每次取一个球，取后放回再取。

前三次连续抽中的颜色是同色为一等奖，第四次恰好抽了3个黄色或白色乒乓球为二等奖，轮到小丁抽奖了，他能获二等奖以上的概率为________.7. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．8. 如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．]9.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是．10.某种商品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得y 出与x 的线性回归方程为，则表中的m 的值为．三．解答11. 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个。

若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为12.（1）求n 的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为a ，第二次取出的小球的标号为b .①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数,x y ，求事件“222()x y a b +>-恒成立”的概率.x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 70 ˆ 6.517.5yx =+12. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.13. 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下: 甲乙男 3 2 女5 2现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测. （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.14. 某企业招聘中，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。

甲参加招聘，已知他每次考A 科合格的概率均为32，每次考B 科合格的概率均为21。

假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响。

(I)求甲恰好3次考试通过的概率；(II)记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.15. 甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：甲运动员乙运动员射击环数频数频率组别性别若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求表中x ，y ，z 的值及甲运动员击中10环的概率；（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率．（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E ξ.2015届高三理科数学小综合专题练习——概率统计参考答案一．选择1.【考查知识点】茎叶图【难度】较易【答案】C2. 【考查知识点】排列组合与古典概型【难度】较易【答案】D3.【考查知识点】正态分布曲线的性质【难度】容易【答案】C4.【考查知识点】频率分布直方图【难度】容易【答案】B5.【考查知识点】回归分析【难度】容易【答案】A 二．填空6.587. 22e8. 54 9.6 10.60三．解答7 10 0.1 8 100.1 9 x0.4510 35 y合计 1001射击环数频数频率 78 0.1 812 0.15 9z 100.35 合计80111. 【解】（1）由题意得：1112n n =++，∴2n =（2）○1将标号为2的小球记为12,a a ，两次不放回地取出小球的基本事件有244362C ⨯==种，事件A 共有2种，∴21()63P A ==○2∵2()a b -的最大值为4，∴事件B 等价于224x y +>，即22{(,)|4,,}B x y x y x y R =+>∈ 而(,)x y 所组成的平面区域为{(,)|02,02,,}x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈∴224()224B S P B S ππΩ⨯--===⨯12. 【解】（Ⅰ）由已知可知4, 4.3t y ==，故(3)( 1.4))2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.60.59410149b-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯==++++++4.30.54 2.3a y bt =-=-⨯= ，所以所求的线性回归方程为 0.5 2.3y t =+。

（Ⅱ）有（Ⅰ）可知0b >，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元；当9t =时，0.59 2.3 6.8y =⨯+=，所以预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。

13. 【解】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为()()35:222:1++=所以,从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ，则113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．（Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3,且21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅ 所以,X 的分布列为:X0 1 2 3 P528 2556 928 3565259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．14. 【解】设甲“第一次考A 科成绩合格”为事件1A ，“ A 科补考后成绩合格”为事件2A ，“第一次考B 科成绩合格”为事件1B ，“B 科补考后成绩合格”为事件2B 。

………… 1分（Ⅰ）甲参加3次考试通过的概率为：1121212111215()()32233218P P A B B P A A B =+=⨯⨯+⨯⨯=（Ⅱ）由题意知，ξ可能取得的值为：2，3，4111221114(2)()().32339P P A B P A A ξ==+=⨯+⨯=1121211122111212114(3)()()()3223323229P P A B B P A A B P A B B ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 12121212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+121112111.332233229=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=ξ的分布列为：故44182349993E ξ=⨯+⨯+⨯=915. 【解】（1）由题意可得x ＝100-(10＋10＋35)＝45，y ＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35，因为乙运动员的射击环数为9时的频率为1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z ＝0.4×80＝32，ξ234P494919由上可得表中x 处填45，y 处填0.35，z 处填32.设“甲运动员击中10环”为事件A ，则()0.35P A =，即甲运动员击中10环的概率为0.35. （2）设甲运动员击中9环为事件1A ，击中10环为事件2A ，则甲运动员在一次射击中击中9环以上(含9环)的概率为1212()()()0.450.350.8P A A P A P A +=+=+=，故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率3121[1()]P P A A =--+310.20.992=-=（3）ξ的可能取值是0,1,2,3，则2(0)0.20.250.01P ξ==⨯= 122(1)0.20.80.250.20.750.11P C ξ==⨯⨯⨯+⨯=，212(2)0.80.250.80.20.750.4P C ξ==⨯+⨯⨯⨯=(3)0.820.750.48P ξ==⨯=所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3 P0.010.110.40.48E ξ＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35.。