工业机器人位姿描述资料
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机器人的位姿描述与坐标变换
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣− sinθ 0 cosθ ⎥⎦
Zi Zj
θ
θ Xi
Xj
Yi Y j
⎡cosθ − sinθ 0⎤
j i
R(Zi
,θ
)
=
⎢⎢sinθ
cosθ
0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
Zi Zj
θ
Xi Xj
Yj
θ
Yi
⎡1 0
0⎤
j i
R(
X
i
,θ
)
=
⎢⎢0
cosθ
−
sinθ
⎥ ⎥
⎢⎣0 sinθ cosθ ⎥⎦
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
位置矢量
⎡x0 ⎤
P o '
o
=
⎢ ⎢
y0
⎥ ⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
Z b Z'
O' Y' t n X' O
X Y
姿态矢量
O' O
R
=
[
O' O
X
OO'Y
⎡cos(∠X ' X )
O' O
Z
]3×3
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y
)
⎢⎣cos(∠X ' Z )
单位主矢量
cos(∠Y ' X ) cos(∠Y 'Y ) cos(∠Z ' Z )
cos(∠Z ' X )⎤
cos(∠Z
'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦
姿态矩阵R的特点：
机器人位姿方程资料
轴i
杆i Zi
轴 i+1 Zi+1
Zi-1
杆 i－ 1
i－1
Oi Xi
i
Oi-1 Xi-1
i
di
D-H参数小结：
连杆的尺寸参数 连杆长度ai：Zi和Zi-1沿Xi的距离，总为正(可以为零）； 连杆扭角αi ：绕Xi ，Zi-1转至Zi的转角，符号根据右手 定则确定；（代数量）
相邻连杆的关系参数
T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
连杆坐标系的D-H变换
i-1坐标系经过下面四次有序的变换可得到i坐标系： （1）绕Zi-1轴转θi ；Rot(Zi-1,θi) i （2）沿Zi-1轴移动di ；Trans(Zi-1,di) （3）沿Xi轴移动ai ；Trans(Xi,ai) （4）绕Xi轴转αi ；Rot(Xi,αi)
连杆偏置di ： Xi-1沿Zi-1至Xi的距离，沿Zi-1正向时为正； 关节转角θi ：Xi-1绕Zi-1转至Xi的转角，符号根据右手定 则确定。
D-H参数确定了连杆i相对于连杆i-1的位姿
说明：
(1)基系：基座坐标系0系是固定不动的。Z0轴取关节1的 轴线，O0的设置任意，也可与O1重合。 (2)末杆（工具）n：由于末杆只有一个关节，约定n坐标 系与n-1坐标系平行。 手腕坐标系：参照前述 （3）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时： 坐标原点Oi取关节i轴线和关节i+1轴线交点，x轴的方 向为zn-1与zn构成的面的法线。 （4）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时： 坐标原点可取为关节i+1轴线与关节i+2轴线的公垂线 与关节i+1轴线的交点。
2.1 杆件坐标系建立
一、坐标系、连杆、关节编号
(优选)机器人位姿描述详解.
R
B
p
A B
R
B
p
A p C p A pCo
Ap
A B
R
B
p
A pBo
24
旋转部分 平移部分
三、齐次坐标和齐次变化
齐次坐标
a P b
c
直角坐标
x
P
y z
齐次坐标
非零的比例因子
a x
b y
c z
25
1）点的齐次坐标：
P x y z T
0
P 2 3 4 1T , P 4 6 8 2T
5
2、方位的描述
为了规定空间某刚体B的方位，设一坐标系{B}与此刚 体固连。用坐标系{B}的三个单位主矢量 , xB, y相B 对zB 于{A}的方向余弦组成的3x3矩阵来表示刚体B相对于 坐标系{A}的方位。
BAR AxB A yB AzB
r11 r12 r13
A B
R
r21
r22
r23
A p BAR B p cos( yA, xB )
cos( yA, yB )
cos(
yA
,
zB
)
pBy
18
cos(zA, xB ) cos(zA, yB ) cos(zA, zB ) pBz
绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
ZA ZB
q q
XA
X
B
1）RX
YB YA
ZA ZB
ZA ZB
q
已知点P在B坐标系的坐标：
B P [x B y B zB ]T
求点P在A坐标系的坐标：
AP [x A y A zA ]T
15
ZB
ZA
[课件](工业机器人)位姿描述与齐次变换PPT
位姿描述与齐次变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/711ba841caaedd3383c4d3c4.png)
六、齐次表达
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
机器人的位姿描述课件
意义
通过位姿描述，可以确定机器人 在空间中的位置、朝向和姿态， 对于机器人运动学、导航、遥控 等领域具有重要意义。
机器人位姿的表示方法
欧拉角表示法
以绕三个轴（横滚、俯仰、偏 航）的旋转角度为基础，描述
机器人的姿态和朝向。
方向余弦矩阵表示法
通过三个方向的单位向量和三 个方向的旋转角度，构建一个 方向余弦矩阵，描述机器人的 姿态和朝向。
总结词
精准、稳定、高效
详细描述
工业机器人通常需要高精度、稳定性和效率来提高生产效率、产品质量和降低生产成本。位姿控制策 略是实现这些目标的关键技术。通过对工业机器人的运动学和动力学模型进行分析和优化，可以实现 对机器人位姿的高精度控制。
全
详细描述
手术导航
医疗机器人在手术导航中通过位姿描述， 实现精确的手术定位和操作。
康复治疗
医疗机器人在康复治疗中，通过位姿描述 评估患者的运动功能和康复进展。
辅助行走
医疗机器人在辅助行走中，通过位姿描述 实现稳定、安全的行走辅助。
航空航天机器人
空间探索
航空航天机器人在空间探索中通过位姿描 述，实现精确的物体抓取和运输。
无人机配送
航空航天机器人在无人机配送中，通过位 姿描述实现准确、高效的配送服务。
机场跑道清扫
航空航天机器人在机场跑道清扫中，通过 位姿描述实现高效、安全的清扫作业。
04
机器人位姿描述的挑战与解决方案
传感器误差与位姿估计
传感器误差
机器人的传感器在获取自身及环境信息时存在误差，包括安装偏差、测量不准确 等问题，对位姿估计造成影响。
平移向量
平移向量是用于描述物体在空间中沿 某三个方向移动的向量，通常用三个 连续的数值表示。通过平移向量，可 以确定机器人在空间中的位置。
通过位姿描述，可以确定机器人 在空间中的位置、朝向和姿态， 对于机器人运动学、导航、遥控 等领域具有重要意义。
机器人位姿的表示方法
欧拉角表示法
以绕三个轴（横滚、俯仰、偏 航）的旋转角度为基础，描述
机器人的姿态和朝向。
方向余弦矩阵表示法
通过三个方向的单位向量和三 个方向的旋转角度，构建一个 方向余弦矩阵，描述机器人的 姿态和朝向。
总结词
精准、稳定、高效
详细描述
工业机器人通常需要高精度、稳定性和效率来提高生产效率、产品质量和降低生产成本。位姿控制策 略是实现这些目标的关键技术。通过对工业机器人的运动学和动力学模型进行分析和优化，可以实现 对机器人位姿的高精度控制。
全
详细描述
手术导航
医疗机器人在手术导航中通过位姿描述， 实现精确的手术定位和操作。
康复治疗
医疗机器人在康复治疗中，通过位姿描述 评估患者的运动功能和康复进展。
辅助行走
医疗机器人在辅助行走中，通过位姿描述 实现稳定、安全的行走辅助。
航空航天机器人
空间探索
航空航天机器人在空间探索中通过位姿描 述，实现精确的物体抓取和运输。
无人机配送
航空航天机器人在无人机配送中，通过位 姿描述实现准确、高效的配送服务。
机场跑道清扫
航空航天机器人在机场跑道清扫中，通过 位姿描述实现高效、安全的清扫作业。
04
机器人位姿描述的挑战与解决方案
传感器误差与位姿估计
传感器误差
机器人的传感器在获取自身及环境信息时存在误差，包括安装偏差、测量不准确 等问题，对位姿估计造成影响。
平移向量
平移向量是用于描述物体在空间中沿 某三个方向移动的向量，通常用三个 连续的数值表示。通过平移向量，可 以确定机器人在空间中的位置。
第1章位姿几何基础资料
0 0 0 1
c 表示 cos
s 表示 sin
点绕过原点任意轴的一般旋转变换
旋转算子为
kX kX vers c kY kX vers kZ s kZ kX vers kY s 0
Rot(k, ) kX kY vers kZ s kY kY vers c kZ kY vers kX s 0
u = [0 0.866 0.5 0]T
矢量 v：cos=0.866，cos=0，cos=0.5
v = [0.866 0 0.5 0]T
矢量 w：cos=0.866，cos=0.5，cos=0
w = [0.866 0.5 0 0]T
四、齐次变换
连杆的运动是由转动和平移组成的,引入齐次坐标变换矩阵描 述刚体运动。
算子左、右乘规则
若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；
若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。 已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x轴方 向平移10， 当相对基系和动系进行变换时，坐标 系C的位置？
已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x轴方向平移10 当以基系进行变换时 左乘坐标系C，得新坐标系位置为P=TC：
类似地，对三维空间中坐标点[x，y，z] 例如齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3） 取w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即
P = [PX PY PZ 1]T
━ w≠0时表示唯一点，点的坐标分别为 x＝a/w y＝b/w z＝c/w
机器人手部的位置和姿态 机器人手部的位置和姿态用固连于手部的动系 {B}的位姿来表示。 手部的中心点为动系原点OB
关节轴为ZB轴，单位矢量a为接近矢量指向朝外。 手指的连线为YB轴，单位矢量o为姿态矢量，指向可 任意选定。
c 表示 cos
s 表示 sin
点绕过原点任意轴的一般旋转变换
旋转算子为
kX kX vers c kY kX vers kZ s kZ kX vers kY s 0
Rot(k, ) kX kY vers kZ s kY kY vers c kZ kY vers kX s 0
u = [0 0.866 0.5 0]T
矢量 v：cos=0.866，cos=0，cos=0.5
v = [0.866 0 0.5 0]T
矢量 w：cos=0.866，cos=0.5，cos=0
w = [0.866 0.5 0 0]T
四、齐次变换
连杆的运动是由转动和平移组成的,引入齐次坐标变换矩阵描 述刚体运动。
算子左、右乘规则
若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；
若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。 已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x轴方 向平移10， 当相对基系和动系进行变换时，坐标 系C的位置？
已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x轴方向平移10 当以基系进行变换时 左乘坐标系C，得新坐标系位置为P=TC：
类似地，对三维空间中坐标点[x，y，z] 例如齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3） 取w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即
P = [PX PY PZ 1]T
━ w≠0时表示唯一点，点的坐标分别为 x＝a/w y＝b/w z＝c/w
机器人手部的位置和姿态 机器人手部的位置和姿态用固连于手部的动系 {B}的位姿来表示。 手部的中心点为动系原点OB
关节轴为ZB轴，单位矢量a为接近矢量指向朝外。 手指的连线为YB轴，单位矢量o为姿态矢量，指向可 任意选定。
第二章 2.3工业机器人运动学(一)
第二章机器人基础知识2.3工业机器人运动学(一)【内容提要】本课主要学习工业机器人技术的运动学基础知识，涉及机器人正逆运动学的概念、平面二连杆机器人的运动学、以及机器人一般运动学的数学基础（位姿描述、齐次变换及运算）。
知识要点：✓机器人正逆运动学概念✓平面二连杆机器人的正逆运动学✓机器人的位姿描述✓齐次变换及运算重点：✓掌握机器人正逆运动学概念✓掌握平面二连杆机器人的正逆运动学✓理解机器人的位姿描述和齐次变换✓掌握齐次变换及运算难点：✓机器人的位姿描述、齐次变换及运算关键字：✓机器人正逆运动学、平面二连杆机器人、位姿描述、齐次变换及运算【本课内容相关资料】2.3机器人运动学从机构学的角度看，机器人可以看成开式运动链结构，由一系列连杆通转动或移动关节串联而成。
机器人运动学研究的是机器人各关节运动的几何关系，具体而言是各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系。
本节仅研究位移关系，重点是研究手部相对于机座的位姿与各连杆之间的相互关系。
“位姿”是“位置和姿态”的简称。
工业机器人手部相对于机座的位姿与工业机器人各连杆之间的相互关系直接相关。
为了便于数学上的分析，一般将连杆和关节按空间顺序进行编号。
同时，选定一个与机座固联的坐标系，称为固定坐标系，并为每一个连杆（包括手部）选定一个与之固联的坐标系，称为连杆坐标系。
一般把机座也视为一个连杆，即零号连杆。
这样，连杆之间的相互关系可以用连杆坐标系之间的相互关系来描述。
工业机器人手部相对机座的位姿就是固联在手部的坐标系相对固定坐标系的位姿。
这样，就可以将“手部相对于机座的位姿”这样一个物理问题转化为一个数学问题，即，得到了工业机器人的运动学数学模型，便于用计算机进行分析计算。
工业机器人运动学主要包括正向运动学和反向运动学两类问题。
正向运动学是在已知各个关节变量的前提下，解决如何建立工业机器人运动学方程，以及如何求解手部相对固定坐标系位姿的问题。
反向运动学则是在已知手部要到达目标位姿的前提下，解决如何求出关节变量的问题。
第四讲 机器人的位姿描述 ppt课件
19
3.2 齐次变换及运算
• 绕任意轴的转动 设绕k轴转动θ 角，则旋转矩阵为：
其中：
ppt课件
20
3.2 齐次变换及运算
• 若给定一旋转矩阵:
r11 r12 r13
R K ( ) r21
r22
r23
r31 r32 r22
• 则可计算出：
ppt课件
21
3.2 齐次变换及运算
例如，点p在{A}坐标系中表示为：
px
A
P
py
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
pz
ｏ
{A}
ｙ
其中px，py，pz为P点的
坐标pp分t课件量。
ｘ
5
• 位置矢量不同于一般矢量，它的大小与坐 标原点的选择有关。
ppt课件
6
3.1 机器人的位姿描述
2、姿态（或称方向）的表示 我们知道：两个刚体的相对姿态可
16
2019年12月19日星期四
3.2 齐次变换及运算
②、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：
ｚi ｚj α
ｏi ｏj
ｙj
α
ｙi
ｘj
ppt课件
ｘi
17
3.2 齐次变换及运算
③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：
ｚi ｚj β
ppt课件
ｏi ｏj
β
ｘi
ｘj
ｙj ｙi
18
3.2 齐次变换及运算
复合转动:
ppt课件
9
3.1 机器人的位姿描述
•
A B
R
称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。
旋转矩阵的性质：
机器人技术 数学基础-位姿描述与齐次变换
nx ox ax Px
Fobject
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
Py
Pz 1
二、刚体位姿的数学描述
2. 约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知， 该矩阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由 度）就足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互 独立的，而是有约束的，约束条件为：
(O')
y
Pxyz Px ix Py jy Pz kz Puvw Pxyz u
x
三、刚体位姿的坐标变换
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz 中的位置
Puvw Pu iu Pv jv Pw kw
已知：
z w
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成
a= x , b= y , c= z ，w为比例系数 w ww
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
x
V
y z
x
y
z
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
wT 作为通用比例因子，它可取任意正值，但
w
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
一、点、向量和坐标系的齐次表示
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的 方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
机器人位姿描述基本术语
4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具 有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。 操作臂的组成部分之一。
手Z 腕
X
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作
3、机器人的位姿描述与坐标变换
Xi Xj Yi
3）RZ
Z
Zi
j
Yj Yi
Xi
Xj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z i , X j ) cos(Z i , Y j ) cos(Z i , Z j ) z j
yi
Yi
☺ 关于(Yi , X j )？
yi x j cos(Yi , X j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j )
Zj
Zi
zi
P
zj
yj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos( (X i , X j ) y j cos( (X i , Y j ) z j cos( (X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
Z2
Z i (Z1 )
R(Z i , )
j i
R(Y1 , )
R(Z 2 , )
Zj
R ( , , ) R ( Z , ) R (Y , ) R ( Z , )
4.2 位姿描述 4.3 坐标变换 4.4 轴和坐标系 4.5 工业机器人运动学分析
要加深理解 ➢学习了平移加旋转的综合坐标变换
主要内容
➢掌握关节机器人轴的概念和重要性。 ➢掌握机器人系统相关的坐标系以及它们的关系。
工业机器人的轴
U-3
➢工业机器人以6轴的关节式最常用， 以安川MA1400型号六自由度机器人 L-2 为例，从紧靠机座安装面开始将机 器人各轴取名为S轴、L轴、U轴、R S-1 轴、B轴与T轴。
sin
cos
cos 0 sin
R(Y
,
)
0
1
0
sin 0 cos
Yj
Yi
小结
➢学习了刚体位姿在坐标系中的描述方法 ➢要掌握用矩阵表示刚体上位置点和刚体姿态坐标系 ➢旋转矩阵用来表示刚体姿态，要掌握其使用方法
主要内容
➢学习坐标的平移变换 ➢学习旋转矩阵的使用和坐标的旋转变换
坐标平移变换
刚体姿态的直角坐标描述
➢旋转矩阵是研究机器人运动姿态的基础，它反映了刚体的定点旋转。
a o
n
a o
n
a n
o
刚体姿态的直角坐标描述
➢绕X轴、Y轴、Z轴旋转
Zi Zj
角--变换矩阵
Zi
Zj
Zi Zj
Yj
Yi
Xi Xj
Xi
Xj
Yi Yj
Xi
Xj
1
R(X , ) 0 0
0 cos sin
0
工具坐标系：工具坐标系是一个直角坐标系, 原点位于工具上。 基坐标系：基坐标系位于机器人基座。它是最便于机器人从一
个位置移动到另一个位置的坐标系。 工件坐标系：工件坐标系与工件相关，通常是最适于对机器人
进行编程的坐标系。 用户坐标系：用户坐标系在表示持有其他坐标系的设备（如工
主要内容
➢掌握关节机器人轴的概念和重要性。 ➢掌握机器人系统相关的坐标系以及它们的关系。
工业机器人的轴
U-3
➢工业机器人以6轴的关节式最常用， 以安川MA1400型号六自由度机器人 L-2 为例，从紧靠机座安装面开始将机 器人各轴取名为S轴、L轴、U轴、R S-1 轴、B轴与T轴。
sin
cos
cos 0 sin
R(Y
,
)
0
1
0
sin 0 cos
Yj
Yi
小结
➢学习了刚体位姿在坐标系中的描述方法 ➢要掌握用矩阵表示刚体上位置点和刚体姿态坐标系 ➢旋转矩阵用来表示刚体姿态，要掌握其使用方法
主要内容
➢学习坐标的平移变换 ➢学习旋转矩阵的使用和坐标的旋转变换
坐标平移变换
刚体姿态的直角坐标描述
➢旋转矩阵是研究机器人运动姿态的基础，它反映了刚体的定点旋转。
a o
n
a o
n
a n
o
刚体姿态的直角坐标描述
➢绕X轴、Y轴、Z轴旋转
Zi Zj
角--变换矩阵
Zi
Zj
Zi Zj
Yj
Yi
Xi Xj
Xi
Xj
Yi Yj
Xi
Xj
1
R(X , ) 0 0
0 cos sin
0
工具坐标系：工具坐标系是一个直角坐标系, 原点位于工具上。 基坐标系：基坐标系位于机器人基座。它是最便于机器人从一
个位置移动到另一个位置的坐标系。 工件坐标系：工件坐标系与工件相关，通常是最适于对机器人
进行编程的坐标系。 用户坐标系：用户坐标系在表示持有其他坐标系的设备（如工
工业机器人位姿描述
其中， n • n o • o a • a 1
n•a a•o o•n 0
故旋转矩阵是正交矩阵，并且满足条件
BAR1BART ;
A B
R
1.
8
上海电机学院
2个常用的公式：
a b axbx ayby azbz
i jk
a b ax a y az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
引言
1
多自由度 单自由度
上海电机学院
引言
机器人运 动学问题
运动学正 已知机器人中各运动副的运动
问题
参数，求末端执行器位姿。
运动学逆 已知末端执行器位姿，求各
问题
运动副的运动参数。
2
上海电机学院
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
bx by b z
9
上海电机学院
位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
位置矢量 旋转矩阵
刚体的位姿
齐次坐标
10
非方阵
nx ox ax px
A ny
oy
ay
p
y
nz oz az pz
上海电机学院
位姿描述——齐次坐标
将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即 为n维坐标的齐次坐标。
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
3
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第3章 工业机器人运动学和动力学
2、机器人的位姿描述与坐标变换
机器人学第二章机器人的位姿描述与坐标变换战强北京航空航天大学机器人研究所第二章 机器人的位姿描述与坐标变换 机器人的位姿连杆I 的位姿YX ZYi XiZi YwXwZw2-1、基本概念1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个点或一个物体运动的方式，或一个动态系统的变化方式。
每个自由度可表示一个独立的变量，而利用所有的自由度，就可完全规定所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。
也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空间需要6个自由度。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm)相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它操作的机电装置。
----Arm3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕部的末端，直接执行工作要求的装置。
如灵巧手、夹持器。
----Hand/Gripper4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。
操作臂的组成部分之一。
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作手的动力关节和连杆等组成的组件。
能支撑手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器位置的功能。
操作臂的组成部分。
Outdated！6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参照地球的直角坐标系。
7)机座坐标系、基坐标系(Base reference coordinate system)：参照机器人基座的坐标系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
8)坐标变换(Coordinate Transformation)：将一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一个坐标系下描述的过程。
手腕机座手臂Yw XwZw9)位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器在指定坐标系中的位置和姿态。
10)工作空间(Working Space)：机器人在执行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。
由连杆尺寸和构形决定。
工业机器人运动学
T6=A1A2A3A4A5A6
(2.23)
第2章 工业机器人运动学
分析该矩阵: 前三列表示手部的姿态; 第四列表示手部 中心点的位置。 可写成如下形式:
(2.24)
第2章 工业机器人运动学
二. 正向运动学及实例
1、 平面关节型机器人运动学方程
如图2-12所示,SCARA装配机器人。
图 2-11 连杆的关系参数
第2章 工业机器人运动学
这样, 每个连杆可以由四个参数来描述,其中两个是连杆 尺寸, 两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。
确定连杆的运动类型, 同时根据关节变量即可设计关节
运动副,从而进行整个机器人的结构设计。 已知各个关节变量的值, 便可从基座固定坐标系通过连 杆坐标系的传递, 推导出手部坐标系的位姿形态。
第2章 工业机器人运动学
同理,
(2.19)
(2.20)
第2章 工业机器人运动学
图2-9所示为点 A绕任意过原点的单位矢量 k旋转 θ角的
情况。 kx 、 k y 、 k z分别为 k矢量在固定参考坐标轴 X 、 Y 、 Z
上的三个分量,且k2x+k2y+k2z=1。可以证明, 其旋转齐次变换
图 2-9 点的一般旋转变换
第2章 工业机器人运动学
解：动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为
{A’}坐标系是动系{A}沿固定坐标系作平移变换得来
的，因此算子左乘，{A’}的矩阵表达式为
-1 2 2 2
第2章 工业机器人运动学
{A”}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得
来的，因此算子右乘，{A”}的矩阵表达式为
经过平移坐标变换后，坐标{A’}、{A”}的实际情 况已图解在图2-7中。
机器人位姿几何基础
z0
z0 A
“A”表示被描述 系的编号 x0
O0
x0 A
pA
y
0 A
A y0
2、单位向量方向的矩阵描述
设当前向量iA是单位向量，与参考系轴x0的单位向量i0的夹角为α； 与轴y0的单位向量j0的夹角为β ；与轴z0的单位向量k0的夹角为γ ： 表示轴iA与轴 i0 的夹角 z0
cos
O0 cos i A i0 cos cos i j ＝ cos cos A 0 cos cos i k A 0 x0
是齐次矩阵
（1）齐次矩阵的相关术语：
1）齐次坐标 齐次坐标
●用4个数表示空间点的坐标：A（x1 x2 x3 x4 ) ●齐次坐标的几何含义：
X4为比例因子， 在《机器人学》 里取1。
━ x4≠0时表示唯一点，点的坐标分别为 x＝x1/x4 y＝x2/x4 z＝x3/x4
━ x4＝0时表示从坐标原点到点（x y z）的方向； x＝x1 y＝x2 z＝x3
齐次矩阵
x2 x3 x4
T
3）齐次变换
点在坐标系Sj的齐次矩阵表示
i x1 n x i x2 n y i x 3 nz i x4 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
p x x1j j p y x2 pz x 3j j 1 x4
0 10 0 0 1 0 0 1
从坐标系运动的角度叙述：
T10表示S1先与S0完全重合，再绕x0旋转90°再沿x0移动20
z0 z1 z0 y1 y1 O0 y0 O1 z1 O1 x1 z0 y0
机器人的位姿运动学
z
PAB (Bx Ax )i ( By Ay ) j ( Bz Az )k
ax P b y cz
x
P
cz by ax
y
【空间向量的表示】
Application of a scale factor
Makes the matrix 4 by 1 Allows for introducing directional vectors
S 1 0 0 C 0
Representation of Combined Transformations
【复合变换的表示】
1. 2.
Example:
Rotation of degrees about the x-axis, Followed by a translation of [l1,l2,l3] (relative to the x-, y-, and z-axes respectively), Followed by a rotation of degrees about the y-axis.
nx n F y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
【齐次变换矩阵】
3. 变换的表示 Representation of Transformations
当空间的坐标系（向量、物体或运动坐标系）相对于固定的参考坐 标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。
z
Axis
px pn p y l1 l2 po cos pa sin pz l3 l4 po sin pa cos
PAB (Bx Ax )i ( By Ay ) j ( Bz Az )k
ax P b y cz
x
P
cz by ax
y
【空间向量的表示】
Application of a scale factor
Makes the matrix 4 by 1 Allows for introducing directional vectors
S 1 0 0 C 0
Representation of Combined Transformations
【复合变换的表示】
1. 2.
Example:
Rotation of degrees about the x-axis, Followed by a translation of [l1,l2,l3] (relative to the x-, y-, and z-axes respectively), Followed by a rotation of degrees about the y-axis.
nx n F y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
【齐次变换矩阵】
3. 变换的表示 Representation of Transformations
当空间的坐标系（向量、物体或运动坐标系）相对于固定的参考坐 标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。
z
Axis
px pn p y l1 l2 po cos pa sin pz l3 l4 po sin pa cos
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齐次变换法 矢量法
位姿描述
旋量法 四元数法
5
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位姿描述——点的位置描述
1.点的位置描述{位置矢量}
对于直角坐标系{A}，空间任一点P的位置可用3×1的列矢量 表示。
px
A
P
p
y
pz
AP的上标A代表参考坐标系｛A｝。
6
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位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
姿态可由某个固连于此物体的坐标系描述。 BAR [AxB ,AyB, A zB ]
nx ox ax
A B
R
ny
oy
a
y
nz oz az
旋转矩阵
7
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位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
nx ox ax cos(n, x) cos(o, x) cos(a, x)
A B
R
ny
oy
a
y
cos(n,
y)
cos(o, y)
cos(a, y)
nz oz az cos(n, z) cos(o, z) cos(a, z)
(1)点的齐次坐标
px
AP
py
pz
齐次坐标
px
p
y
pz
1
注意： 齐次坐标的表示不是惟一的。
P px py pz 1 T px py pz T a b c T
11
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位姿描述——齐次坐标
规定：
(1) (4×1)列阵[a b c ω]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的 位置；
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位姿描述——动坐标系位姿的描述
静系
在机器人坐标系中，运动时相对 于连杆不动的坐标系称为静坐标
概
系，简称静系；
念
跟随连杆运动的坐标系称为动坐
动系 标系，简称为动系。
15
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位姿描述——动坐标系位姿的描述
例题：图中表示固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XB = 2， YB = 1，ZB = 0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A} 有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的44矩
空间任意矢量v的方向可用4*1列阵 表达为
a b c 0T
a cos,b cos , c cos
矢量所坐落的点O为坐标原点，可 用4*1列阵表示为
O 0 0 0 1T
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位姿描述——齐次坐标
有一个向量P=3i+5j+2k,按如下要求将其表示成矩阵形式： （1）比例因子为2。 （2）将它表示为方向的单位向量。
引言
1
多自由度 单自由度
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引言
机器人运 动学问题
运动学正 已知机器人中各运动副的运动
问题
参数，求末端执行器位姿。
运动学逆 已知末端执行器位姿，求各
问题
运动副的运动参数。
2
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运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
阵表达式。
0.866 0.500 0.000 2.0
T 0.500
0.866
0.000
1.0
0.000 0.000 1.000 0.0
0
0
0 1
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位姿描述——手部位姿的描述
(1)原点：取手部中心点为原点OB； (2)接近矢量:手指接近物体方向的单位矢量a； (3)姿态矢量：手指连线方向的单位矢量o； (4)法向矢量：n同时垂直与a、o。
bx by b z
9
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位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
位置矢量 旋转矩阵
刚体的位姿
齐次坐标
10
非方阵
nx ox ax px
A ny
oy
ay
pyBiblioteka nz oz az pz 上海电机学院
位姿描述——齐次坐标
将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即 为n维坐标的齐次坐标。
nX oX aX PX
T n
o
a
P
nY
oY
aY
PY
nZ oZ aZ PZ
0 0 0 1
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人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
(2) (4×1)列阵[a b c 0]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1，则表示 某轴(矢量)的方向；
(2)矢量(坐标轴)方向的齐次坐标
X、Y、Z三个坐标轴方向的齐次坐 标为：
X [1 0 0 0]T Y [0 1 0 0]T Z [0 0 1 0]T
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位姿描述——齐次坐标
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
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第3章 工业机器人运动学和动力学
1
位姿描述
2
齐次变换及运算
3
机器人连杆参数及运动学方程
4
动力学方程及轨迹规划
4
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位姿描述
• 刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
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其中， n • n o • o a • a 1
n•a a•o o•n 0
故旋转矩阵是正交矩阵，并且满足条件
BAR1BART ;
A B
R
1.
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2个常用的公式：
a b axbx ayby azbz
i jk
a b ax a y az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k