第4章控制系统频域分析

从稳态响应中可得到频率响应的幅值和相位。
例
xo (t )
XiK 1 T 2 2
sin(t arctanT )
X o ( ) K A( ) Xi 1 T 2 2
() arctanT
2、 将传递函数中的s 换为jω（s=jω）来求取 将系统的传递函数G(s)中的s换为jω，即为 系统的频率特性。
若系统无重极点
Ai B B* X o ( s) ( ) s j s j i 1 s s i
n
xo (t ) Ai e
i 1
n
si t
( Be
jt
B*e
jt
)
稳态响应为
xo (t ) Be
jt
B*e
jt
t k e j ( j 1,2, k 1) 若系统含有k重极点，则输出含
Xi Xi jG ( j ) B* G ( j ) G ( j ) e 2j 2j
s j
e j[t G ( j )] e j[t G ( j )] x o (t ) G ( j ) X i 2j 则稳态响应为 G ( j ) X i sin[t G ( j )]
系统的稳态响应
xo (t )
XiK 1 T 2 2
sin(t arctanT )
系统输出的幅值
X o ( )
系统输出的相位
XiK 1 T
2 2
() arctanT
频率响应只是时间响应的一个特例。当谐
波频率不同时，其输出的幅值与相位也不同。
2 频率特性
第四章
频率特性分析
4.1 频率特性概述
一、频率响应与频率特性 1 、频率响应
线性定常系统对谐波输入的稳态响应，称为频率响应。
x(t) Xi Xo
0
xi(t)=Xisinωt xo(t)=Xo(ω)sin[ωt+φ(ω)]
φ(ω)
t
xo (t ) X o ( ) sin[t ( )]
2
Im 0 ω=∞ (1,j0) ω=0 ωn ω Re
|G(jω)|
1 0
|G(jωr)| ωr
r n 1 2
（5）一阶微分环节（导前环节）
G ( j ) 1 jT
G ( j ) 1 jT G ( j ) 2 1 2 T
2 2
G[(jω)] Im ω
j ) j arctanT G ( G ( ) arctanT
G ( j ) 1 T
Im
+90° 0 ω=0 Re
（4） 惯性环节
G[(jω)] Im K G ( j ) K K 1 G ( j ) jT ω=0 0 1 jT K ω=∞ Re -45° G ( j ) K 2 G ( j ) 1 T 2 2 2 1 T T ω=1/T ω G ( j ) arctan G ( j ) arctanT 0, G ( j ) K , G ( j ) 0 0, G ( j ) K , G ( j ) 0 1 / T , G ( j ) K / 2 , G ( j ) 45 1 / T , G ( j ) K / 2 , G ( j ) 45 , G ( j ) 0, G ( j ) 90 , G ( j ) 0, G ( j ) 90
例1 设传递函数为
K G( s) Ts 1
解：设输入信号为
xi (t ) X i sin t X i X i (s) 2 s 2
X i K 则输出为 X o ( s) G( s) X i ( s) Ts 1 s 2 2
X i KT t / T XiK xo (t ) e sin(t arctanT ) 2 2 1 T 1 T 2 2
xi (t ) X i sin t
X i X i (s) 2 2 s
即
系统的输出
bm s m bm 1 s m 1 b1 s bo X i X o ( s) G( s) X i ( s) 2 n n 1 a n s a n 1 s a1 s a o s 2
幅频特性和相频特性总称为频率特性。
二 频率特性与传递函数的关系
设系统的微分方程为
(n) o
an x
(t ) a
(m) i
( n 1) n 1 o
x
(t ) a1 xo (t ) a 0 xo (t ) (t ) b1 xi (t ) b0 xi (t )
n n
（6）振荡环节
j 2 n
2 2 n
2 s 2 2 n s n
2 2 G ( j ) arctan /( ) arctan G jn 2 1 2 1 1 0, 0, G ( j ) 1, G ( j ) G ( j ) 0, 0, G ( j ) 1, G ( j ) 0 (1 2 ) j 2 1, n , G ( j ) 1 / 2 , G ( 1, n , K ( j ) 1 / 2 ,, G ( ,jG ( ) 090G ( j G j ) , G ( j ) , (1 2, )G j2)2 0, G ( j ) 180 2 ( 4
幅频特性：线性系统在谐波输入作用下，其稳定 输出与输入的幅值比，即
Xo( ) A( ) Xi
相频特性：稳态输出信号与输入信号的相位差。 记作 A( ) ( ) 或
A( )e j ( )
相位逆时针为正，顺时针为负。
相位超前为正，相位滞后为负。 对物理系统相位一般都是滞后的。
bm x
(t ) b
( m 1) m 1 i
x
系统传递函数为
X o ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s bo G( s) X i ( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a o
当输入信号为
G ( j G ) 0 0, 0, ) (j1, G ( j0,)G ( j ) 0
1 / 1GTj, G j , ( j ) 45 j ) 45 ω=0 T , / ( ) ( 2 ) G 2 , G(
(1,j0) 0 G ( j ) ( j )G ( ,)G ( j ) 90 , , G , j 90 ∠G[(jω)]
Re
G ( j )
n2 G ( j ) / n 2 2 n j 2 n 1 / n 2 G ( j ) n 2 1 (1 ) j 2 G ( j ) G (s) 2 2 s 2 n s n (1 2 ) j 2 K 2 G ( j ) 1 n 2 2 2 G ( j ) 2 G ( j ) (1 2 ) 4 2 (1 2 ) 2 4 2 2 j 2
系统的幅频和相频特性分别为
Xo( ) A( ) | G ( j ) | Xi ( ) G ( j )
故
G( j ) | G( j ) | e
jG ( j )
就是系统的频率特性。量纲同传递函数。 由于G(jω)是一个复变函数，可以写成实部和虚部之和， 即
0, G ( j ) , G ( j ) 90
-90°
Re
ω=0
（3） 微分环节
G ( j ) j G ( j ) G ( j ) 90
0, G ( j ) 0, G ( j ) 90 , G ( j ) , G ( j ) 90
（4）若线性系统的阶次较高，特别是对于不
能用分析法得出微分方程的系统，在时域中分
析系统的性能很困难，采用频率特性分析就很 容易。 （5）系统在输入信号的同时，在某些频带中 有着严重的噪声干扰，则对系统采用频率特性 分析法可设计出合适的通频带，以抑制噪声的 影响 。
4.2 频率特性的图示方法
一、频率特性的极坐标图
G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )] u() jv()
v( ) 虚频特性
u( ) 实频特性
三、频率特性的求法
1、根据系统的频率响应来求取 X i X i ( s) 2 s 2
X i xo (t ) L [G( s) 2 ] 2 s
1
1 典型环节的Nyquist图
（1）比例环节
Im
G[(jω)]
G ( j ) K G ( j ) K G ( j ) 0
0
K Re
（2）积分环节
1 G ( j ) j 1 G ( j ) G ( j ) 90
Im
G[(jω)]
0 ω=∞ , G ( j ) 0, G ( j ) 90
s t
对于稳定系统，由于sj的实部为负， t k 的增长没有 s t s t e j 的衰减快。所以 t k e j 随着 t 也趋于零。
X i X i B G(s) ( s j ) G ( s) ( s j )(s j ) ( s j ) s j Xi Xi jG ( j ) G ( j ) G ( j ) e 2j 2j
s
系统
传递函数 s
频率特性 jω
四、频率特性的特点和作用
(1) 由Xo(s)=G(s)Xi(s)有
Xo(jω)=G(jω)Xi(jω)
而当 xi(t)=δ(t)时，xo(t)=w(t)，
且 Xi(jω)=F[δ(t)]=1
故 Xo(jω)=G(jω)
F[w(t)]=G(jω) 这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数 w(t)的Fourier变换，即w(t)的频谱。
（2） 时间响应分析主要分析线性系统过渡过程， 获取系统的动态特性；而频率特性分析不同的谐波
输入时系统的稳态响应，获取系统的动态特性。
（3） 在研究系统的结构及参数的域中分析要容易得多。
特别是频率特性可方便地判别系统的稳定性和稳定 储备量，参数选择或系统校正，使系统尽可能达到 预期的性能指标。根据频率特性，易于确定系统频 率范围。
G ( j ) G ( s ) s j
K K j arctan T e 2 2 1 jT 1 T
X o ( ) K A( ) Xi 1 T 2 2
() arctanT
xo (t ) X i G ( s ) sin[t G ( s )] XiK 1 T
2 2
sin(t arctanT )
3 、用试验方法求取 首先，改变输入谐波信号Xiejωt的频率ω，并测出
与相应的输出幅值Xo(ω)与相位φ(ω)。然后，做出幅 作出相位φ(ω)对频率ω的函数曲线，即相频特性曲线。
微分方程
p
值比Xo(ω)/ Xi对频率ω的函数曲线，即幅频特性曲线；
p
jω