【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案：第5章 拓展资料：复数中的几个结论及共应用
北师大版数学选修2-2全套教案
第一章 推理与证明课题：合情推理（一）——归纳推理课时安排：一课时课型：新授课 教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程： 一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、 三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。
北师版数学高二-选修2-2教案5.1.1数的概念的扩展
1.1数的概念的扩展学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法．知识点一复数的概念及复数的表示思考为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？梳理复数及其表示(1)复数的定义①规定i2＝________，其中i叫作________；②若a∈R，b∈R，则形如________的数叫作复数．(2)复数的表示①复数通常表示为z＝a＋b i(a，b∈R)；②对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re z与Im z表示，即a＝Re z，b＝Im z.知识点二复数的分类(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：类型一 复数的概念例1 (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 下列命题：①1＋i 2＝0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 为纯虚数；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)类型二 复数的分类引申探究1．若本例条件不变，当m 为何值时，z 为实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数．例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．反思与感悟 当利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 当实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1B．±iC．±2i D．±2i2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．1B．－1C．±1D．以上都不对3．以i＋3i2的实部为虚部，以(－2i＋4)i2的虚部为实部的新复数为()A．2－3i B．－2－3iC．－2＋3i D．3－4i4．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．对复数分类的两点说明(1)0是实数，因此也是复数，写成z＝a＋b i(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都为0.(2)当a＝0，且b≠0时，z＝a＋b i(a，b∈R)才是纯虚数．答案精析问题导学知识点一思考 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理 (1)①－1 虚数单位 ②a ＋b i题型探究例1 (1)C (2)±2，5解析 (1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确；②中2i －1的虚部应是2，故②不正确；④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确；∴只有③⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5. 跟踪训练1 ①④例2 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3， 虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．3或－2跟踪训练2 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.当堂训练1．C 2.A 3.A 4.－2。
高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第5章 2.2
课 时
的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母
栏
目 与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只
开
关 需同时乘以 i)．
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
例 1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；(3)(11－＋ii)6＋
2＋ 3－
3i 2i.
填一填·知识要点、记下疑难点
填一填 研一研 练一练
1．复数的乘法法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
本
课 时
则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i
.
栏 2．复数乘法的运算律
目
开 关
对任意复数 z1、z2、z3∈C，有
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
课 时
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式
栏 目
的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，
开 关
类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第五章 §2 复数的四则运算
§复数的四则运算已知复数＝＋，＝＋(，，，∈)．问题：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(＋)±(＋)＝(±)＋(±).问题：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．．加(减)法法则设＋与＋(，，，∈)是任意复数，则(＋)±(＋)＝(±)＋(±).．运算律对任意的，，∈，有＋＝＋(交换律)(＋)＋＝＋(＋)(结合律).问题：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是．问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足．问题：试举例验证复数乘法的交换律．提示：若＝＋，＝＋(，，，∈)．＝(＋)(＋)＝(－)＋(＋)，＝(＋)(＋)＝(－)＋(＋).故＝.复数的乘法()定义：(＋)(＋)＝(－)＋(＋).()运算律：①对任意，，∈，有②复数的乘方：任意复数，，和正整数，，有＝＋，()＝，()＝.观察下列三组复数：()＝＋；＝－；()＝＋；＝－；()＝；＝－.问题：每组复数中的与有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数．问题：试计算每组中的，你发现有什么规律？提示：与的积等于的实部与虚部的平方和．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数的共轭复数用来表示，也就是当＝＋时，＝－.于是＝＋＝.我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数＋，＋(＋≠)．若(＋)(＋)＝＋，则＋＝叫做复数＋除以＋的商．问题：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用，，，表示出，.提示：由(＋)(＋)＝＋得－＋(＋)＝＋.即(\\(－＝，＋＝.))∴(\\(＝(＋＋)，＝(－＋).))。
北师大版高中数学选修2-2第五章1.1-1.2
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第五章 数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1．1 数的概念的扩展1．2 复数的有关概念 课时目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解用复平面来描述复数．1．把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作________，其中i 叫作____________，复数的全体组成的集合C 叫作__________．2．复数通常用z 表示，z ＝____________叫作复数的代数形式，其中________分别叫复数z 的实部与虚部．3．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当且仅当________时，z 为实数．当________时，z 为虚数，当____________时，z 为纯虚数．4．实数集R 是复数集C 的__________，即__________．这样复数包括实数和虚数．5．a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )的充要条件是_____________________________________．6．复数与点、向量间的对应如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点________或向量________表示．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )与点Z (a ，b )和向量OZ →的一一对应关系如下：7．复数的模 复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模，记作|z |，且|z |＝__________.一、选择题1．“a ＝0”是“复数a ＋b i (a ，b ∈R )为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a ，b ∈R ，若(a ＋b )＋i ＝－10＋ab i (i 为虚数单位)，则(a －b )2等于( )A ．－12B ．－8C ．8D ．103．若z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或14．下列命题中：①两个复数不能比较大小；②若z ＝a ＋b i ，则当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；③x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；④若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．06．在复平面内，若z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)二、填空题7．已知复数z 1＝(3m ＋1)＋(2n －1)i ，z 2＝(n ＋7)－(m －1)i ，若z 1＝z 2，实数m 、n 的值分别为________、________.8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根；⑤若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．9．在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，将P 向左平移一个单位后得向量P 0，则点P 0对应的复数是________．三、解答题10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．11．(1)求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小； (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【能力提升12．已知集合P ＝{5，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，Q ＝{4i,5}，若P ∩Q ＝P ∪Q ，求实数m 的值．13．已知复数z 表示的点在直线y ＝12x 上，且|z |＝35，求复数z .1．对于复数z ＝x ＋y i 只有当x ，y ∈R 时，才能得出实部为x ，虚部为y (不是y i)，进而讨论复数z 的性质．2．复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据．3．复数与复平面上点一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．4．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模为非负实数，利用模的定义，可以将复数问题实数化．答 案知识梳理1．复数 虚数单位 复数集2．a ＋b i(a ，b ∈R ) a 与b3．b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠04．真子集 R C5．a ＝c 且b ＝d6．Z (a ，b ) OZ →7.a 2＋b 2作业设计1．B [复数a ＋b i (a ，b ∈R )为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.]2．A [由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－10ab ＝1， 可得(a －b )2＝a ＋b －2ab ＝－12.]3．A [∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.] 4．A5．D [由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0；m 2－2m ＝0.解得m ＝0.故选D.] 6．D [z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]7．2 0解析 两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＝n ＋72n －1＝－(m －1)，解得m ＝2，n ＝0.8．2解析 因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为±i ，故④错；当a ＝－1时，(a ＋1)i 是实数0，故⑤错；⑥正确．故答案为2.9．－i解析 P (1，－1)向左平移一个单位至P 0(0，－1)，对应复数为－i.10．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 11．解 (1)|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32， ∵5>32，∴|z 1|>|z 2|. (2)∵z ＝3＋a i (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．12．解 由题知P ＝Q ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 13．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝12a 且a 2＋b 2＝35， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6b ＝－3. 因此z ＝6＋3i 或z ＝－6－3i.。
高中数学北师大版选修2-2教案-§2 微积分基本定理_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
了解牛顿-莱布尼兹公式
2. 教学重点/难点
了解牛顿-莱布尼兹公式
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
（一）、复习：定积分的概念及计算
（二）、探究新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
后,汽车需走过21.90米才能停住.
（三）、小结：本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. （四）、课堂练习：
（五）、课后作业：五、教后反思：。
高中数学 第五章数系的扩充与复数教案 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》全部教案§1数系的扩充与复数的引入第一课时数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i ；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2、复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数。
高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第5章 1
确定两个独立参数．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 已知x2－x＋x－1 6＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求 x 的值．
填一填 研一研 练一练
本
课 时
解
栏
目
开
关
由复数相等的定义得x2－x＋x－1 6＝0. x2－2x－3＝0.
所以 x＝3 为所求．
解得：x＝3，
填一填 研一研 练一练
(3)由于 i2＜0 与实数集中 a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很
本 多结论在复数集中不再成立．
课 时
(4)若 i2＝－1，那么 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
栏 目
问题 3
什么叫复数？怎样表示一个复数？
开 关
答 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，复数通常用字母 z 表
的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，
它所确定的复数是 z＝0＋0i＝0 表示的是实数，故除了原点外，
虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题．
研一研·问题探究、课堂更高效
填一填 研一研 练一练
问题 3 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从
怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？
开 关
答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝
－1，方程 x2＋1＝0 有解，同时得到一些新数．
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 如何理解虚数单位 i? 答 (1)i2＝－1.
(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章至第5章 章末复习课
归纳推理【例1】 (1)观察式子：1＋22<2，1＋22＋32<3，1＋22＋32＋42<4，……，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．思路探究：(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．(1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0 [(1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.]归纳推理的特点及一般步骤1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x(x∈R)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6x ＋cos 6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2nx ＋cos 2nx(n∈N ＋)的值域是__________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1] [(1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x)(sin 4x －sin 2 xcos 2 x ＋cos 4 x)＝sin 4x －sin 2xcos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x)2－3sin 2xcos 2x ＝1－34sin 2(2x)＝1－38(1－cos 4x)＝58＋38cos 4x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2nx ＋cos 2nx 的值域是[21－n,1]．]类比推理【例2】 类比三角形内角平分线定理：设△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点M ，则AC ＝MC .若在四面体PABC 中，二面角BPAC 的平分面PAD 交BC 于点D ，你可得到什么结论？并加以证明．思路探究：此题是平面图形与立体图形作类比，因为平面图形中得出的结论是线段的比，所以立体图形中可想到面积的比．S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA. [解] 画出相应图形，如图所示．由题意类比推理所探索结论为证明如下：由于平面PAD 是二面角BPAC 的平分面，所以点D 到平面BPA 与它到平面CPA 的距离相等．所以V DBPA V DCPA ＝S △BPA S △CPA.①又因为V DBPA V DCPA ＝V ABDP V ACDP ＝S △BDPS △CDP ，②由①②知S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA成立．类比推理的特点及一般步骤2．在Rt△ABC 中，若∠C＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体相应结论的猜想． [解] 直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体；直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角，分别设为α，β，γ； 类比直角三角形中相应的结论猜想cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1．综合法与分析法【例3】 设a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．思路探究：(1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值．(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证．[证明] 法一：(综合法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b≥2ab ，ab ≤12，ab≤14，∴1ab≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二：(分析法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4，即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时， b a ＋ab≥2成立，所以原不等式成立．分析法和综合法的证明特点1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．3．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数， 求证：a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin (2α－β)sin α＝sin βsin α.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc，a 2＋c 2≥2ac，又因为a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以上面三个式子中都不能取“＝”， 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，因为ab ＋bc≥2ab 2c ，bc ＋ac≥2abc 2， ab ＋ac≥2a 2bc ，又a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以ab ＋bc ＋ac>abc(a ＋b ＋c)， 所以a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)． (2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法n (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．思路探究：(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n，②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1(1－q n)1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k＋2a 1q k＝a 1qk －1·a 1qk ＋1＋a 1q k －1＋a 1qk ＋1，∵a 1≠0，∴2q k＝qk －1＋qk ＋1．∵q≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．反证法证题思路反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．4．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c 时，f(x)>0.(1)证明：1a 是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小．[解] (1)证明：∵f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2． ∵f(c)＝0，∴x 1＝c 是f(x)＝0的根． 又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f(x)＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x<c 时，f(x)>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c.又∵1a ≠c，∴1a>c.数学归纳法【例5】 已知正数数列{a n }(n∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋a n，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1， 所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k(k≥1，k∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k(a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n∈N ＋都有a n ＝n －n －1.数学归纳法使用的两个关注点关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．5．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a n ＋1)2(n∈N ＋)，a 2＝2．(1)求a 1，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明．[解] (1)由S n ＝n (a n ＋1)2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n.证明如下：①当n ＝1时，猜想成立．②假设当n ＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (a k ＋1)2＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，都有a n＝n.导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y′＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx→0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx→02x·Δx＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx→02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f(x)在点x ＝x 0处的导数是f(x)在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f(x)在x 处可导，则lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h ＝( )A ．2f′(x)B ．12f′(x) C ．f′(x) D ．4f′(x)C [lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh→0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh→0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh→0 f (x )－f (x －h )h ＝f′(x)．]导数的几何意义的应用【例2】 已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f(x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1， y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P(x 0，y 0)得y 0－y 1＝f′(x 1)(x 0－x 1)， ① 又y 1＝f(x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P(x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y＝1x ，∴y′＝－1x 2.(1)∵点P(1,1)在y ＝1x 上，∴k＝y′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P(1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q(1,0)不在曲线y ＝1x 上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， ∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q(1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4. (3)设切点坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数【例3】 求下列函数的导数． (1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x －2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx.思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y＝(1＋x 2)cos x ， ∴y′＝2xcos x ＋(1＋x 2)(－sin x) ＝2xcos x －sin x －x 2sin x. (2)∵y＝ln x x－2x ，∴y′＝(ln x )′x－x′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x 2－2xln 2． (3)y ＝e u，u ＝－ax 2＋bx.y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·(－ax 2＋bx)′ ＝e u·(－2ax ＋b)＝(－2ax ＋b)e －ax 2＋bx.运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x ；(3)y ＝1＋ln 2x.[解] (1)∵y＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y′＝3x 2－2x3.(2)∵y＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y′＝3(x 32)′－x′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x. y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f(x)＝ax ＋x ＋b(a ，b∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f(x)的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f′(x)＝a －1(x ＋b )2，则依题意f′(2)＝0，f(2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b∈Z，故f(x)＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，即切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P(x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB|为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上＝12x，由题平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y′意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P(1,1)．利用导数研究函数的单调性【例1】 设函数f(x)＝x －1x －aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．思路探究：求出导函数的表达式→根据a 的取值情况对导数符号的影响进行分类讨论[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x2. 令g(x)＝x 2－ax ＋1，则对于方程x 2－ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当－2≤a≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，只有当a ＝2，x ＝1或a ＝－2，x ＝－1时，等号成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝1，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当0<x<x 1时，f′(x)>0；当x 1<x<x 2时，f′(x)<0；当x>x 2时，f′(x)>0.故函数f(x)在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减．利用导数研究单调性的步骤利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间．在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等．1．已知函数f(x)＝x 3－ax －1，讨论f(x)的单调区间． [解] f′(x)＝3x 2－a.(1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a>0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当x>3a 3或x<－3a 3时，f′(x)>0； 当－3a 3<x<3a 3时，f′(x)<0. 因此f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a≤0时，f(x)在R 上为增函数． 当a>0时， f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值32行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；思路探究：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t≤2与2<t<3两种情况求最值．[解] (1)因为f′(x)＝3x 2＋2ax ，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2． 所以a ＝－3，b ＝2，f(x)＝x 3－3x 2＋2． (2)由f(x)＝x 3－3x 2＋2，得f′(x)＝3x 2－6x. 由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2．①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t 3－3t 2＋2．②当2<t<3时，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2) 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋ ＋ f(x)2单调递减↘极小值－2单调递增↗t 3－3t 2＋2f(x)min ＝f(2)＝－2，f(x)max 为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f(x)max ＝f(0)＝2．本例在(1)的结论下，关于x 的方程f(x)＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[解] 令g(x)＝f(x)－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c≤0.利用导数求极值和最值的步骤导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可．2．已知函数f(x)＝－x 3＋12x ＋m.(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f(x)有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋12． 当f′(x)＝0时，x ＝－2或x ＝2． 当f′(x)＞0时，－2＜x ＜2． 当f′(x)＜0时，x ＜－2或x ＞2．∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m. f(x)极大值＝f(2)＝16＋m. ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32．(2)由(1)知要使函数y ＝f(x)有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．又f(－1)＝－11＋m ，f(3)＝m ＋9， ∴f(－1)＜f(3)，∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m＝9.∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为 f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.导数的实际应用【例3】 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．思路探究：根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x 的函数，利用配方法或导数法求出最值． [解] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解] 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)．h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x≤120)，令h′(x)＝0，得x ＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11．25(升)． 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升.导数在最值中应用【例4】 已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2,1)内x ＝－1时取极小值，x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f(x)在x ＝－2时的对应点的切线方程； (2)求函数y ＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．思路探究：先求出a ，b 的值，然后求出对应点(即切点)的坐标和切线斜率，即可得出(1)的结论，列出x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况，从而得出(2)的结论．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋2ax ＋b.又x ＝－1，x ＝23分别在f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 上取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以23a ＝－1＋23，－b 3＝(－1)×23.于是a ＝－12，b ＝2，则f(x)＝－x 3－12x 2＋2x.x ＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f′(x)＝－3x 2－x ＋2， f′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表所示： x －2 (－2，－1)－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)2↘极小值－32↗极大值2227↘12则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.导数是求函数极值与最值的最有力工具，函数y ＝f (x )的极值是其定义域内的一个局部概念，用f′(x )＝0的根，将f (x )的定义域分成若干个小区间，并列成表格，结合每个小区间内f′(x )的正负号来判定f (x )在相应区间上的增减性来确定f (x )的极值.f′(x )＝0的根x 不一定是函数的极值点.对于求函数的最值问题，只需将极值与区间端点函数值比较即可.4．设函数f(x)＝ae x＋1ae x ＋b(a>0)．求f(x)在[0，＋∞)内的最小值．[解] f′(x)＝ae x－1ae x ，令f′(x)＝0，得x ＝－ln a.当x>－ln a 时，f′(x)>0； 当x<－ln a 时，f′(x)<0.当0<a<1时，－ln a>0，所以f(x)在(0，－ln a)上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；当a≥1时，－ln a≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a ＋1a＋b.导数的综合应用(1)若函数f(x)在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k∈Z 时，不等式k(x －1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值． 思路探究：(1)转化为f′(x)≥0恒成立，分离参数求解． (2)分离参数中，转化为求函数最值． [解] (1)f′(x)＝a ＋ln x ＋1，由题意知f′(x)≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即a≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立， 而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2， ∴a≥－2，即a 的取值范围为[－2，＋∞)． (2)当a ＝1时，f(x)＝x ＋xln x ， ∵x∈(1，＋∞)，∴原不等式可化为k<f (x )x －1，即k<x ＋xln x x －1对任意x>1恒成立．令g(x)＝x ＋xln x x －1，则g′(x)＝x －ln x －2(x －1)2. 令h(x)＝x －ln x －2(x>1)， 则h′(x)＝1－1x ＝x －1x >0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，∴存在x 0∈(3,4)使h(x 0)＝0，即g′(x 0)＝0. 即当1<x<x 0时，h(x)<0，即g′(x)<0. 当x>x 0时，h(x)>0，即g′(x)>0.∴g(x)在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． 由h(x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2， g(x)min ＝g(x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，∴k<g(x)min ＝x 0且k∈Z，即k max ＝3.恒成立问题的处理策略恒成立问题是导数的常见题型，往往靠分离参数后，转化为用导数求函数的最值问题，在函数中，导数与不等式紧密结合，要注意分类讨论和数形结合的思想．5．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线． [解] (1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝1x ＋2(x －1)2＞0，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－e ＋1e －1＜0，f(e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x 1，即f(x 1)＝0. 又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f(x 1)＝0，故f(x)在(0,1)有唯一零点1x 1. 综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)因为1x 0＝e －ln x 0，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x上．由题设知f(x 0)＝0， 即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．定积分的计算【例1】 求下列定积分．.思路探究：(1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解． [解] (1)⎠⎛－224－x 2dx 表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积．其面积为12×π×22＝2π，∴⎠⎛－224－x 2dx ＝2π.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 3x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln 3x x ，1e≤x≤1，ln 3xx，1≤x≤e，求定积分的三种方法1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即F′(x)＝f(x)，则有⎠⎛abf (x )dx ＝F(b)－F(a)．1．计算下列定积分． (1)⎠⎛121x (x ＋1)dx ；(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx. [解] (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]| 21＝ln 43.(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋2xln 2⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2＋1ln 2(2π2－2-π2).用定积分求平面图形的面积【例2】 求由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成的平面图形的面积． 思路探究：画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分[解] 画出草图，如图所示． 所求平面图形为图中阴影部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝5x ，得交点A(1,5)，B(4,20)．故所求平面图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x)dx ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x ⎪⎪⎪41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.定积分在求平面图形面积中的应用及注意由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．2．求由曲线y ＝1x及直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积．[解] 画出曲线y ＝1x (在第一象限)，直线y ＝x ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．画⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B ()1，1；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C ()3，3.用定积分求几何体的体积【例3】 求曲线y ＝sin x ，x∈[0，π]与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得到旋转体的体积．[解] 由体积公式V ＝⎠⎛0ππy 2dx ＝⎠⎛0ππ(sin x)2dx＝π⎠⎛0πsin 2xdx ＝π⎠⎛0π1－cos 2x 2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π12dx －⎠⎛0πcos 2x 2dx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π1dx －⎠⎛0πcos 2xdx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⎪⎪⎪π－12sin 2x ⎪⎪⎪π＝π2(π－0)＝π22.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积．如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．计算由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f (x )]2dx.3．半椭圆x 24＋y22＝1(y≥0)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为( )A ．16π3B ．173πC ．5πD ．6πA [V ＝⎠⎛-22π·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24dx＝2π·⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33×4-22＝163π.]数形结合思想的应用【例4】 如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．思路探究：确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．[解] S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t·t 2－⎠⎛0t x 2dx ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t 1x 2dx －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.数形结合在求定积分中的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围成图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S 2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1－k＝16(1－k)3，又知S ＝16， 所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.复数的概念【例1】 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z∈R；(2)z 为虚数． 思路探究：根据复数的分类列方程求解．[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x>3＋212或x<3－212.由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>3＋212且x≠4时，z 为虚数．解决复数问题的三点注意1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．1．(1)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则i(z ＋1)＝i(a ＋bi ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1．法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1．]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则i ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i思路探究：(1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴zi＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·z 为实数．2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( )A ．35＋45i B ．35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45iA [因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z ＝2＋i2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数1＋i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i 对应的点的坐标为( )A ．(0，－1)B ．(0,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35思路探究：先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)A (2)A [(1)复数i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. ∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i 5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.]复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)可以用复平面内的点Z(a ，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]转化与化归思想【例4】 设z∈C，满足z ＋z ∈R，且z －4是纯虚数，求z.思路探究：本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z. [解] 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，则z ＋1z ＝x ＋yi ＋1x ＋yi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ，。
高中高中数学北师大版选修2-2同步配套课件第五章 章末小结 知识整合与阶段检测精选ppt课件
3．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0. 4．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0； (2)z 是纯虚数⇔z＋ z ＝0(z≠0)； (3)z 是纯虚数⇔z2<0.
知
识 核心要点
整
归纳
合
与
阶
段 阶段质量
检
检测
测
一、复数的基本概念 1．复数
实数b＝0 a＋bi虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0 2．复数的相等 两个复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当且仅当 a＝c 且 b＝d 时，z1＝z2.特别地，当且仅当 a＝b＝0 时，a＋bi＝0.
阶段质量检测见阶段质量检测（五）
再见
二、复数的运算 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除的 运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法， 除法类比分式的分子、分母有理化，注意 i2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有： (1)i 的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈N＋)． (2)(1±i)2＝±2i. (3)作复数除法运算时，有如下技巧： ab＋ －baii＝ab＋－baiiii＝aa＋＋bbiii＝i，利用此结论可使一些特殊的计 算过程简化．
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第5章复数复数的乘法与除法参考教案2
复数复数的乘法与除法一、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重难点重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念难点：乘除运算三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯（2）()()a b c d +⨯+（类比多项式的乘法引入复数的乘法）（二）、探析新课1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯-（2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯-（2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
北师大版高中数学选修2-2第五章2.1-2.2
§2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法2．2 复数的乘法与除法 课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.3.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．1．复数加法与减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝____________，z 1－z 2＝____________.2．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.3．复数的除法a ＋b ic ＋d i＝____________________________ (c ＋d i ≠0)．一、选择题1．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3 C.12D ．－1或3 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i3．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－344．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i5．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z z －1等于( ) A ．2i B ．－2iC ．2D ．－26．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题7．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝________.8．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.。
高中数学北师大版选修2-2学案第5章 章末分层突破 Word版含解析
章末分层突破
[自我校对]
①－②＝，＝
③＝－
④(，) ⑤⑥＋
⑦(＋)
⑧(－)＋(－)
数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
复数＝(－－)＋(－)，当为何实数时，
()∈；()为虚数.
【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解.
【规范解答】()因为一个复数是实数的充要条件是虚部为，
所以
由②得＝，经验证满足①③式.
所以当＝时，∈.
()因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为，
所以
由①得>或<.
由②得≠，由③得>.
所以当>且≠时，为虚数.
[再练一题]
.()设是虚数单位，若复数－(∈)是纯虚数，则的值为( )
.－.－
()设复数满足(＋)＝－＋(是虚数单位)，则复数的实部是.
【解析】()因为－＝－＝－＝(－)－，由纯虚数的定义，知－＝，所以＝.
()法一：设＝＋(，∈)，
则(＋)＝(＋＋)＝－＋(＋)＝－＋.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数的实部是.
法二：由(＋)＝－＋，得＋＝＝＋，故＝＋，即复数的实部是.
【答案】() ()
(＝－)，除法运算注意应用共轭的性质·为实数.
()设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若＝＋，则＋·＝( ) .－.－
()设复数满足(－)(－)＝，则＝( )。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第5章 拓展资料：复数性质的妙用
复数性质的妙用复数有很多特殊的性质，如果能在解题的过程中灵活地加以运用，就会收到事半功倍的效果.一、虚数i 的性质及其应用与虚数单位i 相关的性质有：①21i =-（即1-的平方根是i ±）；②若n *∈N ，则41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =；③2(1)2i i ±=±；④11i i i+=-； ⑤1230n n n n i i i i ++++++=，1231()nn n n i i i i n +++*=-∈N ···． 例1 计算1998131i i i +⎛⎫- ⎪-⎝⎭·． 解析：9991998299921(1)(1)11(1)i i i i ⎡⎤++⎛⎫==-=-⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦，1998133(1)31i i i i i +⎛⎫-=--= ⎪-⎝⎭∴．二、共轭复数的性质及其应用设复数z 的共轭复数为z ，则有如下性质：①z z =；②1212z z z z ±=±；③1212z z z z =··； ④11222(0)z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭； ⑤z 为实数z z ⇔=，z 为纯虚数z z =-．例2 设复数12z z ，满足12120z z A z A z ++=···，其中5A =，求12z A z A ++·的值． 解析：121212z A z A z A z A z A z A ++=++=++···121212()()z A z A z z A z A z A A =++=+++····， 把12120z z A z A z ++=···代入上式，得2125z A z A A A A ++===··． 三、22z z z z ==·的应用例3 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．解析：由题意，24z zz ==，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．设(2222)z a bi a b =+--，≤≤≤≤，则2421221z z a bi a bi a -+=+-+-=-． ∴ 当12a =时，2min 40z z -+=；当2a =-时，2max 410z z -+=． 四、纯虚数的性质及其应用命题 设z 为非零复数，若z 为纯虚数，则对任意非零实数a ，有z a z a +=-成立．反之，若a 是非零实数，且z a z a +=-，则z 为纯虚数． 证明：由两复数差的模的几何意义可知，复数z 对应点的轨迹为复平面上复数a 与a -对应点连线的中垂线.显然其中垂线为虚轴.因而复数z 为纯虚数，反之亦然. 例4 解方程4465z i z i z i +--=+．解析：原方程可化为6(445)z z z i =+---，若4450z z +---=，则0z =，原方程不成立，4450z z +---≠∴．z ∴为纯虚数．由命题知，44z z +=-，65z i =-∴，即56z i =-．。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第5章 拓展资料：复数与平行四边形家族
复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考． 一、复数式与长方形的转化例1 复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．解析：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ u u u u r，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ∴，故可设12(0)zki k k z =∈≠R ，，所以222212210z k k z ==-<． 例2 已知复数1z ，2z 满足171z =，271z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．解析：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由于222(71)(71)4+=，故2222112z z z z +=-，故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，则12714771z z ++==-；12124z z z z +=-=． 二、复数式与正方形的转化例3 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z += 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222z z -==，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122z z +=．点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．三、复数式与菱形的转化例4 已知12z z ，∈C ，121z z ==，123z z +=，求12z z -．解析：设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形是菱形，22z a =∴，z a =∴，考虑到z a =±时，22220z a z a -=+；z ai =±时，2222z a z a -+无意义，故使2222z a z a -+(0)a >为纯虚数的充要条件是z a =，且z a ≠±，z ai ≠±．复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．。
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：5.1数系的扩充与负数的引入5.1.1 .pdf
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
解(1)2+3i 的实部为 2,虚部为 3,它是虚数,但不是纯虚数. (2)-3+12i 的实部为-3,虚部为12,它是虚数,但不是纯虚数. (3) 2+i 的实部为 2,虚部为 1,它是虚数,但不是纯虚数. (4)π 的实部为 π,虚部为 0,它是实数.
lg(������2 + 2������ + 1) = 0, ������2 + 3������ + 2 ≠ 0,
即
������2 ������2
+ +
2������ 3������
+ +
1 2
= ≠
1, 0,
即
������ = 0 或������ = -2, ������ ≠ -1,且������ ≠ -2.
+ +
2������ 3������
+1 +2
> =
0, 0,
即
������ ������
≠ =
-1, -2 或������
=
解得 -1,
m=-2.
所以当 m=-2 时,z 为实数.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1 2 3 4 56
复数通常表示为z=a+bi(a,b∈R). (3)复数的实部与虚部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),a与b分别叫作复
数z的实部与虚部,并且分别用Re z与Im z表示,即a=Re z,b=Im z. (4)复数集:复数的全体组成的集合叫作复数集,记作C,显然R⫋C.
北师版数学高二选修2-2教案 章末复习课
学习目标 1.梳理构建本章知识网络.2.进一步熟练掌握用导数研究函数性质的方法.3.能求函数的单调区间、极值及最值.4.进一步体会导数的应用．1．函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )f ′(x )的正负 f (x )的单调性f ′(x )>0 在这个区间内，函数y ＝f (x )是________的 f ′(x )<0在这个区间内，函数y ＝f (x )是________的2.求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． 3．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．类型一 构造法的应用例1 已知定义在(0，π2)上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )成立，则( ) A.2f (π6)>f (π4)B.3f (π6)>f (π3)C.6f (π6)>2f (π4)D.3f (π6)<f (π3)反思与感悟 此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小． 跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x <0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <a <b类型二 利用导数研究函数的极值与最值例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像上一点P (1，0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练2 已知a ，b 为常数且a >0，f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋b .(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0，3]上的最小值为－232，求a ，b 的值．类型三 数形结合思想的应用例3 已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增加的； ②函数f (x )在区间(－1，1)上是增加的； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法是________．反思与感悟 解决函数极值与函数、导函数图像的关系时，应注意(1)对于导函数的图像，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图像，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练3 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )1．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图像如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.43 B.73 C.83D.1632．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．bf (b )≤af (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤bf (b )D ．af (b )≤bf (a )3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝1，对任意的x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x ＋4的解集为________．4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．答案精析知识梳理1．增加减少2．(1)f′(x)>0f′(x)<0(2)f′(x)<0f′(x)>03．(2)极值f(a)，f(b)最大最小题型探究例1D跟踪训练1B例2解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a ＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘↗f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.跟踪训练2 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ， 因为a >0，所以x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以当x ＝－1时，f (x )有极大值2， 即3a ＋2b ＝3.(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在(a,3]上为增函数， 所以f (a )为最小值， f (a )＝－12a 3－32a 2＋b .即－12a 3－32a 2＋b ＝－232.又由b ＝3－3a 2，于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0， 即(a ＋1)3＝27，所以a ＝2，b ＝－32.当a >3时，由(1)知，f (x )在[0,3]上为减函数，即f (3)为最小值，f (3)＝－232，从而求得a ＝10748，不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－32.例3 ①④ 跟踪训练3 A 当堂训练1．C 2.A 3.(－1，＋∞) 4.[1，32)。
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复数中的几个结论及共应用
数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.
一、中点公式：
A 点对应的复数为1111()a b i a b +∈∈R R ，，
B 点对应的复数为
2222()a b i a b +∈∈R R ，，C 点为A B ，两点的中点，则C 点对应的复数为11222a b i a b i +++，即1
21222
a a
b b i +++． 例1 四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A B C ，，三点对应的复数分别
为132i i i +-+，
，，求D 点对应的复数． 解：由已知应用中点公式可得A C ，的中点对应的复数为322
i +，所以D 点对应的复数为32[22(1)]352i i ⨯+⨯--=+．
二、根与系数的关系：
若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠的两复根为11a b i +，22a b i +，则有
1122b a b i a b i a +++=-，1122()()c a b i a b i a ++=·． 推论：若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有两虚数根，则这两个虚数根共轭． 例2 方程20x ax b ++=的一个根为1i +，求实数a ，b 的值．
解：已知实系数方程的一个根为1i +，由推论知方程的另一根为1i -，由根与
系数的关系可知(11)2a i i =-++-=-，(1)(1)2b i i =+-=·
． 三、相关运算性质：
①z 为实数2
220z z z z z ⇔=⇔>⇔=，z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠； ②对任意复数有z z =； ③1212z z z z ±=±； ④1212z z z z =··，特别地有22()z z =；
⑤1122
z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑥2z z z =·． 例3 设1z =，且z i ≠±，求证2
1z z +为实数． 证明：由条件可知0z ≠，则21z z z ==·，
所以11z z z -==，1212222211()11()11z z z z z z z z z z z z
--⎛⎫=-=== ⎪++++⎝⎭++， 所以2
1z z +为实数． 四、两则几何意义： ①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离； ②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．
例4 若z C ∈，且221z i +-=，则22z i --的最小值为 ． 解：221z i +-=即(22)1z i --+=，z 对应的点为到点(22)-，
的距离为定值1的所有的点，即以(22)-，
为圆心，1为半径的圆O 上的点．22z i --即(22)z i -+，为圆O 上的点与点(22)，
之间的距离减去圆O 的半径，可得结果为3．。