10 课题：图形面积的最大值
北师大版九年级数学课件-图形面积的最大值
引例:從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度 h（單 位：m）與小球的運動時間 t（單位：s）之間的關係式 是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的運動時間是多少時， 小球最高？小球運動中的最大高度是多少？
h/m 可以看出，這個函數的圖像是
40 一條拋物線的一部分，這條拋物
h= 30t - 5t 2
知識要點
二次函數解決幾何面積最值問題的方法 1.求出函數解析式和引數的取值範圍； 2.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.檢查求得的最大值或最小值對應的引數的值必 須在引數的取值範圍內.
二 利用二次函數解決拱橋問題 例3 要使運動員坐著船從聖火的拱形橋下穿過入場，現
知拱形底座頂部離水面2 m,水面寬4 m,為了船能順利通 過，需要把水面下降1 m,問此時水面寬度增加多少?
5.公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直於水面處安裝一 個柱子OA，O點恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子頂端A處 的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落 下.為使水流較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1米處 達到距水面最大高度2.25米.如果不計其他因素，那麼水池的 半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不落到池外？
A 1.25米坐標系，設拋物線頂點 為B，水流落水處與x軸交於C點. 由題意可知A（ 0，1.25）、 B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
O
C x 設拋物線為y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把點A座標代入，得a= － 1； ∴拋物線為y=-(x-1)2+2.25. 當y= 0時， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5 ∴水池的半徑至少要2.5米.
（不與點C重合）.如果P、Q分別從A、B同時出發，那
数学矩形和(面积)的最值问题
数学矩形和(面积)的最值问题引言矩形是数学中常见的一种形状，而其面积则是矩形的重要属性之一。
在求解矩形面积的过程中，我们可能会遇到一些最值问题，即我们希望找到具有最大或最小面积的矩形。
本文将介绍一些解决数学矩形和面积的最值问题的简单策略。
寻找最大面积矩形要寻找具有最大面积的矩形，我们需要考虑矩形两个关键属性：长度和宽度。
我们将尝试寻找一个合适的长度和宽度组合，使得它们的乘积最大。
一种常见的方法是通过对矩形的属性进行系统化的分析来解决这个问题。
我们可以假设矩形的长度为L，宽度为W，根据题目给定的条件或约束，列出合适的方程。
然后，通过对方程进行求导或使用其他数学方法，找到给定条件下面积的最大值。
一个例子是，在给定总长P的情况下，我们如何找到面积最大的矩形。
我们可以假设矩形的长度为x，宽度为P-x。
根据矩形的面积公式，面积A等于长度L乘以宽度W，即A = x(P-x)。
我们可以通过求导的方法来求解这个方程，找到使得面积A最大的x值。
寻找最小面积矩形类似地，要寻找具有最小面积的矩形，我们需要考虑矩形的长度和宽度。
我们将尝试寻找一个合适的长度和宽度组合，使得它们的乘积最小。
同样，我们可以通过对矩形属性进行系统化的分析来解决这个问题。
我们可以假设矩形的长度为L，宽度为W，根据题目给定的条件或约束，列出合适的方程。
然后，通过对方程进行求导或使用其他数学方法，找到给定条件下面积的最小值。
一个例子是，在给定总长P的情况下，我们如何找到面积最小的矩形。
我们可以假设矩形的长度为x，宽度为P-x。
根据矩形的面积公式，面积A等于长度L乘以宽度W，即A = x(P-x)。
我们可以通过求导的方法来求解这个方程，找到使得面积A最小的x值。
结论数学矩形和面积的最值问题是数学中的重要问题之一。
通过系统化的分析和使用数学工具，我们可以找到具有最大或最小面积的矩形。
在解决这类问题时，我们可以根据题目给定的条件或约束，假设矩形的长度和宽度，并通过对方程进行求导或使用其他数学方法，找到面积的最大或最小值。
二次函数的应用《图形面积的最大值》
h= 30t - 5t 2
20
O 1 2 34 5 6
t/s
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的 最大高度是 45 m．
典例精析 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变 化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？
设垂直于墙的边长为x m，
60-2x
问题3 面积S的函数关系式是什么？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值最？值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个 矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取 值范围内.
典例精析
例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形， 制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户 通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精 确到0.01m2)
当 x b 时，
2a
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）
值
y
4ac b2 ．
4a
讲授新课
求二次函数的最大(或最小)值
典例精析 例1 写出下列抛物线的最值. （1）y=x2-4x-5;
北师版九下数学第二章图形面积的最大值课件
问题1 变式1与例1有什么不同？
x
x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 设垂直于墙的边长为x m，
60-2x
问题3 面积S的函数关系式是什么？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么
作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值？ 最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
拱桥问题
转化的关键
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值 必须在自变量的取值范围内.
典例精析
例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半
圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所
s
解:根据题意得
S=l(30-l),
200
即 S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l b 30 15 时， 100
2a 2 (1)
S有最大值
4ac b2 302 225
4a
4 (1)
O 5 10 15 20 25 30
l
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
h= 30t - 5t 2
线的顶点是这个函数的图象的最 20 高点.也就是说，当t取顶点的横
中考最大面积求解题技巧
中考最大面积求解题技巧中考最大面积求解题技巧中考数学中，有许多与面积有关的题目，而求解面积最大值是这些题目中常见的一种。
以下是一些求解最大面积题目的技巧和方法。
1. 确定变量及约束条件：首先，我们需要确定一个或多个变量来表示题目中的未知量，然后确定这些变量的取值范围或满足的条件。
这一步是解题的关键，需要根据题目的条件和要求来确定变量和约束条件。
2. 建立面积函数：根据问题的描述，将面积表示为一个函数。
这个函数可能是一个简单的二次函数，也可能是一个复杂的多项式函数，甚至可能是一个三角函数。
根据题目的要求和问题的性质，建立一个准确的面积函数是解决问题的关键。
3. 求解最大值：利用数学的方法求解面积函数的最大值。
常用的方法包括求导法、整式定理法、配方法、柯西不等式等。
这些方法可以根据面积函数的特点和问题的条件来选择使用。
4. 验证最大值：对于求解的最大值，需要进行验证，确保该值满足题目中的所有条件和要求。
如果最大值不满足条件，那么需要重新调整变量或约束条件，重新求解。
5. 给出最大值：先给出面积的表达式，再将问题中的条件代入到表达式中，最后求得最大值，给出答案。
在回答问题时，根据题目的要求给出准确的答案，并合理解释计算过程和结果的意义。
下面通过两个具体的例子来说明上述求解最大面积题目的技巧。
例一：一面墙的长和宽之和为16米，求这面墙与地面围成的矩形的最大面积。
解：设这面墙的长为x米，则宽为16-x米。
根据题目要求，面积函数为A=x(16-x)。
由此可得到面积函数A=f(x)=16x-x^2。
因为这是一个简单的二次函数，我们可以直接进行求解。
首先求解函数的最大值可以通过求导法。
对函数f(x)=16x-x^2求导，得到f'(x)=16-2x。
令f′(x)=0，解得x=8。
说明当长为8米时，面积取得最大值。
然后通过二阶导数判别法来验证最大值。
对f'(x)=16-2x再次求导，得到f′'(x)= -2。
三角形面积的最值
三角形面积的最值
三角形面积的最值（最大值或最小值）取决于所给定的条件和要求。
以下是几个常见的关于三角形面积最值的情况：
1.周长固定，求最大面积：当三角形的周长固定时，根据海
伦公式（Heron's formula），可以得出三角形的最大面积为
等边三角形。
也就是说，当三角形的三边长度相等时，其
面积最大。
2.两边长度固定，求最大面积：当三角形的两边长度固定时，
最大面积可以通过使得这两边夹角为90度的直角三角形
来实现。
这个结论可以由勾股定理得出。
3.给定一个顶点，求最大面积：当一个三角形的两边长度固
定，且有一个顶点固定时，最大面积通常发生在另外两个
顶点形成的直角三角形情况下。
也就是说，将固定顶点与
另外两个顶点连成的线段垂直时，所得的三角形面积最大。
需要注意的是，这些结果只是在特定条件下给出了三角形面积的最大或最小值。
在其他情况下，三角形的面积可能会有不同的取值。
因此，根据具体的条件和要求，解决三角形面积最值问题的方法和结果也会有所不同。
二次函数与几何图形面积的最大值PPT教学课件
A
D
（2）当x为何值时，S有最大值？
并求出其最大值.
B
C
2020/12/10
5
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/10
6
2020/12/10
3
（2）当L是多少米时，场地的面积S 最大？最大值是多少？
2020/12/10
4
随堂演练
1.张大爷要围城一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长 的墙，另一边用总长为32m的篱笆恰好围成.围成的 花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形 ABCD的面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式
与几何图形最大面 积问题
2020/12/10
1
问题 从地面竖直向上抛出一个小球，小球 的高度h（单位：m）与小球的运动时间t （单位：s）之间的关系是h=30t-5t² （0≤t≤6）.小球运动的时间是多少时，小球
最高？小球运动中的最大高度是多少？
2020/12/10
2
探究题1 用总长为60m的篱笆围城一个矩 形场地，矩形面积S随矩形一边长L的变 化而变化. （1）你能求出S与L之间的函数关系吗？
高中数学大题难题专题26 图形面积求最值
【题型综述】1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形如果底和高不便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”,寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点,从而可将面积的关系转化为线段的关系,使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数,再求解函数的最值,在寻底找高的过程中,优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单,便于分析【典例指引】例1已知椭圆错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
）的一个顶点为错误！未找到引用源。
,离心率为错误！未找到引用源。
,直线错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
）与椭圆错误！未找到引用源。
交于错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
两点,若存在关于过点错误！未找到引用源。
的直线,使得点错误！未找到引用源。
与点错误！未找到引用源。
关于该直线对称．（I）求椭圆错误！未找到引用源。
的方程;（II）求实数错误！未找到引用源。
的取值范围;（III）用错误！未找到引用源。
表示错误！未找到引用源。
的面积错误！未找到引用源。
,并判断错误！未找到引用源。
是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,说明理由．错误！未找到引用源。
,可得：错误！未找到引用源。
,则有：错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
）,故错误！未找到引用源。
（III）法一（面积转化为弦长）：错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
到错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
的距离错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,设错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题
![[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/fe4d68aa970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed429.png)
利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。
2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当 的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。
例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图1），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积.简析 设矩形PNDM 的边DN ＝x ，NP ＝y ，则矩形PNDM 的面积S ＝xy （2≤x ≤4）， 易知CN ＝4－x ，EM ＝4－y .且有NP BC CN-＝BFAF（作辅助线构造相似三角形），即34y x --＝12，所以y ＝－12x +5，S ＝xy ＝－12x 2+5x （2≤x ≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝5，所以当x ≤5时，函数的值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x ＝4时，S 有最大值S 最大＝－12×42+5×4＝12.说明 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.例2（2006年南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？简析 因为矩形MFGN ∽矩形ABCD ，所以MNAD＝MF AB，因为AB ＝2AD ，MN ＝x ，所以MF ＝2x ，所以EM ＝EF －MF ＝10－2x ，所以S ＝x (10－2x )＝－2x 2+10x ＝－2(x －52)2+252，所以当x ＝52时，S 有最大值为252.说明 本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例3（2006年泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD .（1）当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米.①求隧道截面的面积S （米）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值.（π取3.14，结果精确到0.1米）简析（1）当AD ＝4米时，S半圆=12π×22AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12π×22＝2π(米2).（2）①因为AD ＝2r ，AD +CD ＝8，所以CD ＝8－AD ＝8－2r ，所以S ＝12πr 2+AD ·CD ＝12πr 2+2r (8－2r )＝(12π－4)r 2+16r ；②由①知CD ＝8－2r ，又因为2米≤CD ≤3米，所以2≤8－2r ≤3，图 2 图1所以 2.5≤r ≤3，由①知S ＝(12π－4)r 2+16r ＝(12×3.14-4)r 2+16r ＝－2.43r 2+16r ＝－2.43(r －82.43)2+642.43，因为－2.43＜0，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴r ＝82.43≈3.3.又2.5≤r ≤3＜3.3，由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值，S最大值＝(12π－4)×32+16×3≈(12×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2).即隧道截面面积S 的最大值约为26.1米2.说明 本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力.例4（2006年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子；另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点.（1）求FC 的长；（2）利用如图5求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x (cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？图3（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.简析（1）由题意，得△DEF ∽△CGF ，FC DF ＝CGDE，即603060=-FC FC ， 所以FC ＝40(cm).（2）如图5，设矩形顶点B 所对顶点为P ，则①当顶点P 在AE 上时，x ＝60，y 的最大值为60×30＝1800(cm 2)；②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN ⊥BG 于点N ，PM ⊥AB 于点M .根据题意，得△GFC ∽△GPN ，所以CGFG NG DF =，所以NG ＝23x ，所以BN ＝120－23x ，所以y ＝x (120－23x )＝－23(x －40)2+2400，所以当x ＝40时，y 的最大值为2400(cm 2)；③当顶点P 在FC 上时，y 的最大值为60×40＝2400(cm 2).综合①②③，得x ＝40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm 2.（3）根据题意，正方形的面积y (cm 2)与边长x (cm)满足的函数表达式为： y ＝－23x 2+120x .当y ＝x 2时，正方形的面积最大，所以x 2＝－23x 2+120x .解之，得 x 1＝0（舍去），x 2＝48(cm).图4图5所以面积最大得正方形得边长为48 cm.说明本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.。
高中数学论文例说用二次函数求图形面积的最值
例说用二次函数求图形面积的最值二次函数常用来解决最优化问题这类问题。
而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。
下面分类予以说明。
一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=；又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
解三角形面积最值问题
解三角形面积最值问题一、问题描述解三角形面积最值问题是指在所有满足条件的三角形中，找到面积最大或最小的三角形。
通常情况下，给定三角形的边长或角度，需要求出其面积，并在所有可能的情况中找到最大或最小值。
二、解法分类解决三角形面积最值问题有多种方法，可以根据不同的条件和要求进行分类。
1. 基于边长或高度当已知三角形的边长或高度时，可以通过海伦公式、正弦定理、余弦定理等方法求得其面积，并比较不同情况下的面积大小来确定最大或最小值。
2. 基于夹角当已知三角形夹角时，可以通过正弦函数和余弦函数求得其高度，并进而计算出面积。
此时需要注意夹角所在的位置（锐角、直角、钝角），以及是否为等腰三角形等特殊情况。
3. 基于坐标当已知三个顶点在平面直角坐标系中的坐标时，可以利用向量叉乘公式计算出其面积。
此方法适用于任意形状的三角形，但需要进行向量运算和矩阵求逆等复杂计算。
三、具体实现以下以基于边长或高度的方法为例，介绍解决三角形面积最值问题的具体实现。
1. 求解最大面积（1）已知三角形三边a、b、c，可以通过海伦公式计算出其半周长s=(a+b+c)/2，进而得到面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
为了求得最大面积，需要考虑以下情况：① a+b>c，b+c>a，c+a>b，即任意两边之和大于第三边；② a>0，b>0，c>0，即三边长度均为正数。
在满足以上条件的前提下，可以比较不同情况下的面积大小来确定最大值。
例如，在已知三角形周长P=a+b+c固定的情况下，当两条边相等时（即等腰三角形），其面积最大。
（2）已知三角形两边a、b和夹角C（余弦值cosC），可以通过余弦定理计算出第三边c=sqrt(a^2+b^2-2abcosC)，进而得到半周长s=(a+b+c)/2和面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
在满足 a+b>c 和cosC<=1 的前提下，可以比较不同情况下的面积大小来确定最大值。
【北师大版】九年级数学下册：2.4 第1课时 图形面积的最大值1教案
2.4 二次函数的应用第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为x m，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．解：(1)∵AB ＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB ·BC ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.所以，当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )A ．1350B ．1300C ．1250D ．1200解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 12(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若y ＝12m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－xm ，解得y ＝8x －x 2m；(2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－18(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2； (3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2m ，得x ＝6，或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ ＝PR ，∴QE ＝RE ＝12QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE ＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴SS △QEP ＝(34)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝278(cm 2)；(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝94，∴S △RCG ＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝698(cm 2)；图③(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t －5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH ＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －1718.当t ＝－3942×（－34）＝132时，S 最大，S 的最大值＝4ac －b 24a ＝16516(cm 2)．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题 一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知A ，B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F 点的坐标为(5，y F )，求出y F ，即可求出支柱EF 的长度；(3)设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．作GH ⊥AB 交抛物线于点H ，求出点H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，将B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝100a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，c ＝6.所以抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋6；(2)可设F 点的坐标为(5，y F )，于是y F ＝－350×52＋6＝4.5，从而支柱EF 的长度是10－4.5＝5.5(米)；(3)如图②，设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7，0)．过G 点作GH ⊥AB 交抛物线于H 点，则y H ＝－350×72＋6＝3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1．求函数的最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.。
《图形面积的最大值》人教版九年级数学(下册)
整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4.故选C.
二 几何图形面积的最大面积
引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的 运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的 运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
S 60 x • x 1 x2 30x
2
2
问题4 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确.
问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最 大值是378.
方法总结
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要 根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理 解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取 端点处才有符合实际的最值.
O 5 10 15 20 25 30
l
4ac b2
302
225
4a
4 (1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这 个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式1与例1有什么不同？
x
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值 范围内.
典例精析
例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是 矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于 多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面 积是多少？(结果精确到0.01m2)
北师大版九年级数学下 2.4 第1课时 图形面积的最大值1 教案
2.4 二次函数的应用第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为x m，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；(2)S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，∵0＜x＜6，∴当x＝3时，S有最大值为36；(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x≤8，24－4x＞0，∴4≤x＜6.所以，当x＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )A ．1350B ．1300C ．1250D ．1200 解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 12(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若y ＝12m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－xm ，解得y ＝8x －x 2m；(2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－18(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2； (3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2m，得x ＝6，或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ ＝PR ，∴QE ＝RE ＝12QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE ＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴SS △QEP ＝(34)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝278(cm 2)；(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝94，∴S △RCG ＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝698(cm 2)；图③(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t－5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH ＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －1718.当t ＝－3942×（－34）＝132时，S 最大，S 的最大值＝4ac －b 24a ＝16516(cm 2)．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知A ，B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F 点的坐标为(5，y F )，求出y F ，即可求出支柱EF 的长度；(3)设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．作GH ⊥AB 交抛物线于点H ，求出点H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，将B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝100a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，c ＝6.所以抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋6；(2)可设F 点的坐标为(5，y F )，于是y F ＝－350×52＋6＝4.5，从而支柱EF 的长度是10－4.5＝5.5(米)；(3)如图②，设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7，0)．过G 点作GH ⊥AB 交抛物线于H 点，则y H ＝－350×72＋6＝3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1．求函数的最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.。
中考复习 2.4 第1课时 图形面积的最大值1
2.4 二次函数的应用第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为x m，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；(2)S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，∵0＜x＜6，∴当x＝3时，S有最大值为36；(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x≤8，24－4x＞0，∴4≤x＜6.所以，当x＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )A ．1350B ．1300C ．1250D ．1200 解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 12(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若y ＝12m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－xm ，解得y ＝8x －x 2m；(2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－18(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2； (3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2m，得x ＝6，或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ ＝PR ，∴QE ＝RE ＝12QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE ＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴SS △QEP ＝(34)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝278(cm 2)；(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝94，∴S △RCG ＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝698(cm 2)；图③(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t－5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH ＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －1718.当t ＝－3942×（－34）＝132时，S 最大，S 的最大值＝4ac －b 24a ＝16516(cm 2)．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知A ，B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F 点的坐标为(5，y F )，求出y F ，即可求出支柱EF 的长度；(3)设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．作GH ⊥AB 交抛物线于点H ，求出点H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，将B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝100a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，c ＝6.所以抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋6；(2)可设F 点的坐标为(5，y F )，于是y F ＝－350×52＋6＝4.5，从而支柱EF 的长度是10－4.5＝5.5(米)；(3)如图②，设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7，0)．过G 点作GH ⊥AB 交抛物线于H 点，则y H ＝－350×72＋6＝3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1．求函数的最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.。
矩形面积最大值公式
矩形面积最大值公式矩形是一种常见的几何形状，在日常生活和工作中经常会遇到。
我们常常需要求解一个问题：给定一个固定的周长，如何确定矩形的长和宽，使得其面积最大？这个问题可以通过矩形面积最大值公式来解决。
让我们设矩形的长为x，宽为y。
由于矩形的周长是固定的，我们可以得到一个方程：2x + 2y = P，其中P表示矩形的周长。
通过这个方程，我们可以将y表示为x的函数：y = (P - 2x) / 2。
接下来，我们需要根据矩形的面积公式来表达矩形的面积S。
矩形的面积等于长乘以宽，即S = xy。
将y表示为x的函数后，我们可以将面积公式改写为S = x(P - 2x) / 2。
为了求解矩形面积的最大值，我们需要找到使得面积达到最大的x 值。
为了实现这一目标，我们可以将面积函数S关于x进行求导。
求导后，我们可以得到S的导数关于x的表达式：dS/dx = (P - 4x) / 2。
当导数等于零时，即dS/dx = 0，我们可以得到最大值点。
将导数表达式设为零并求解x，我们可以得到x = P / 4。
将这个x值代入面积函数S，我们可以得到最大面积S的表达式：S = (P^2) / 16。
通过上述推导，我们得到了矩形面积最大值公式：S = (P^2) / 16。
这个公式告诉我们，当矩形的周长固定时，其面积的最大值等于周长的平方除以16。
让我们通过一个具体的例子来应用这个公式。
假设一个矩形的周长为20，根据公式，我们可以计算出最大面积为25。
也就是说，在周长为20的条件下，一个矩形的面积最大为25平方单位。
这个公式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，当我们需要建造一个围栏围住一个长方形区域时，我们可以使用这个公式来确定围栏的最佳尺寸，以使得围栏所围的面积最大。
总结一下，矩形面积最大值公式是一个能够帮助我们求解矩形面积最大值的公式。
通过这个公式，我们可以在给定矩形周长的情况下，确定矩形的长和宽，使得其面积达到最大。
这个公式在实际问题中有着广泛的应用，帮助我们解决了许多与矩形面积相关的问题。
等腰三角形面积最大值
等腰三角形面积最大值以等腰三角形面积最大值为题，我们来探讨一下如何构造一个面积最大的等腰三角形。
我们需要了解等腰三角形的性质。
等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
根据等腰三角形的性质，我们知道等腰三角形的底角和顶角是相等的，而底边上的中线也是等腰三角形的高。
现在，我们来考虑如何构造一个面积最大的等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们可以知道，等腰三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
要使面积最大，我们需要尽量增大底边和高。
我们来考虑底边的长度。
假设底边的长度为x，那么根据等腰三角形的性质，两个等边的边长也为x。
由于我们要尽量增大底边和高，我们可以假设底边的长度为无穷大。
这样一来，等边的边长也会趋近无穷大。
但是，在实际情况中，我们无法构造出无穷大长度的线段，所以我们需要在实际范围内选择一个较大的底边长度。
接下来，我们来考虑高的长度。
由于底边长度已经确定，我们可以通过调整顶角的大小来改变高的长度。
根据三角函数的性质，我们知道正弦函数的取值范围在-1到1之间。
所以，我们可以通过改变顶角的大小，使得正弦函数的值尽量接近1，从而使得高的长度尽量大。
要构造一个面积最大的等腰三角形，我们需要选择一个较大的底边长度，并通过调整顶角的大小使得高的长度尽量大。
当底边长度趋近无穷大时，等腰三角形的面积也会趋近无穷大。
在实际应用中，等腰三角形的面积最大值有着重要的意义。
例如，在建筑设计中，我们希望减少材料的使用量，同时又要满足结构的稳定性和美观性。
此时，我们可以考虑采用等腰三角形的结构，以达到最大化利用材料的效果。
等腰三角形面积的最大值取决于底边的长度和顶角的大小。
通过选择较大的底边长度和调整顶角的大小，我们可以构造出一个面积最大的等腰三角形。
这对于解决一些实际问题具有重要的意义。
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课题：图形面积的最大值
【学习目标】
1．让学生用函数知识解决最值问题(本节主要是面积问题)．
2．让学生能根据实际问题构建二次函数模型．
【学习重点】
掌握用二次函数求最值来解决实际应用问题．
【学习难点】
将实际问题转化为数学问题是本节的难点．
【导学流程】
一、情景导入 感受新知
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
本节课我们学习利用二次函数解决几何问题．
二、自学互研 生成新知
【自主探究】
阅读教材P 49～P 50“探究1”，解决下面的问题：
1．①求h ＝30t －5t 2
(0≤t ≤6)的图象的顶点坐标．
h ＝－5(t －3)2＋45，其顶点为(3，45)．
②由a ＝－5可得，图象的开口向下．
③结合自变量t 的取值范围0≤t ≤6，画函数图象的草图如图．
④根据图象可得，当t ＝3时，h 有最大值45．
2．①已知矩形场地的周长是60 m ，一边长是l m ，则另一边长是(30－l)m ，场地面积S ＝l(30－l)m 2.
②由一边长l 及另一边长30－l 都是正数，可列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧l ＞0，30－l ＞0.解不等式组得l 的范围是0＜l ＜30． ③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口向下，对称轴是直线l ＝15，顶点坐标是(15，225)，与横坐标的交点坐标是(0，0)，(30，0)，与纵轴的交点坐标是(0，0)．
④根据l 的取值范围及③画出函数图象的草图，由图象知：点(15，225)是图象的最高点，即当l ＝15时，S 有最大(选填“大”或“小”)值．
师生活动：
①明了学情：明了学生是否会求实际问题中的最值．
②差异指导：根据学情分类指导．
③生生互助：同桌间相互交流、改正．
三、典例剖析 运用新知
【合作探究】
典例：如图，用长20 m 的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x m ，园子面积为S m 2，由题意得
S ＝x(20－2x)＝－2x 2＋20x ＝－2(x －5)2＋50(0<x<10)．
∵a<0，∴当x ＝5(在0<x<10的范围内)时，园子面积S 的最大值为50 m 2.
变式1：如图是一块长80 m 、宽60 m 的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直、宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
解：由题意可得y ＝(80－x)(60－x)＝x 2
－140x ＋4800，且⎩⎨⎧0≤x ≤60，0≤x ≤80，∴0≤x ≤60.
变式2：如图，有长为30 m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m )，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB 为x m ，面积为y m 2.
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)y 是否有最大值？如果有，请求出y 的最大值．
解：(1)由题意得：y ＝x(30－3x)，即y ＝－3x 2＋30x.
(2)由题意：0<30－3x ≤10，即203≤x<10.对称轴为x ＝b －2a ＝－302×（－3）
＝5，又当x>5时，y 随x 的增大而减小，
∴当x ＝203m 时面积最大，最大面积为2003m 2.
师生活动：
①明了学情：实际问题中二次函数图象草图的画法．
②差异指导：根据学情指导学生画图象草图和识图．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
四、课堂小结 回顾新知
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
第一，根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
第二，确定自变量的取值范围；
第三，根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
第四，根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值．
五、检测反馈 落实新知
1．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm /s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间t 为2 s .
2．将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面
积之和的最小值是252 cm 2.
3．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示)，墙长为18 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形的长为x m ，面积为y m 2，则矩形的宽为⎝
⎛⎭⎫15－x 2m. ∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫15－x 2＝－12x 2＋15x.又⎩
⎪⎨⎪⎧0＜x ≤18，15－x 2＞0，∴0＜x ≤18.∴当x ＝15时，y 有最大值2252.即当矩形的长为15 m 、宽为152 m 时，菜园的面积最大，为2252
m 2. 六、课后作业 巩固新知
(见学生用书)。