抛物线图像与系数关系精选练习题
初中数学 抛物线 练习题(含答案)
第十讲 抛物线一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；2．抛物线关于ab x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(ab 2-，a b ac 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式：①一般式：c bx ax y ++=2；②顶点式：k h x a y +-=2)(；③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根．确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0<y 时，对应x 的取值范围是 ．思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出b ，c 值，先求出0=y 时，对应x 的值．【例2】 已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1，0)，且满足024>++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4分米，抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M 、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x ，y )，建立含x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．【例4】 二次函数223212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于C 点，且∠ACB ＝90°．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与y 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的41，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．思路点拨 (1)A 、B 、C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m 的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．【例5】 已知函数1)1(2)2(22+--+=x a x a y ，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 何值时，函数值最小．思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为23)2(212++-=+-=a a a a x ，因1230≤+<a ，12122-≤+-<-a a a a ，故函数的最小值只可能在x 取2-a ，2-a ，212+-a a 时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．学历训练 1．如图，若抛物线2ax y =与四条直线1=x 、2=x 、1=y 、2=y 所围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ．2．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为 ．3．如图，抛物线的对称轴是直线1=x ，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(-l ，0)、(0，23)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P 为此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为 ．4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的式子①1442-=-ab ac ，②01=++b ac ，③0>abc ，④0>+-c b a ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．5．已知1-<a ，点(1-a ，1y )，(a ，2y )，(1+a ，3y )都在函数2x y =的图象上，则( )A ．321y y y <<B ．231y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<6．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532+-=x x y ，则有( )A ．3=b ，7=cB ．9-=b ，15-=cC ．3=b ，c ＝3D ．9-=b ，21=c7．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点(b a +，ac )所在的直角坐标系是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x (m)的函数图象大致是( )9．阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(0，a )，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线2=x ．题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?11．如图，抛物线和直线k kx y 4-= (0<k )与x 轴、y 轴都相交于A 、B 两点，已知抛物线的对称轴1-=x 与x 轴相交于C 点，且∠ABC ＝90°，求抛物线的解析式．12．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，则=ac ．13．如图，已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于 ．14．已知二次函数c bx ax y ++=2，一次函数4)1(2k x k y --=．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．15．如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式中不能总成立的是( )A ．b=0B ．S △ADC ＝c 2 C ．ac ＝一1D ．a+c ＝016．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )A ．过点(3，0)B ．顶点是(2，一2)C ．在x 轴上截得的线段长为2D ．与y 轴的交点是(0，3)17．已知A(x 1，2002)，B(x 2，2002)是二次函数52++=bx ax y (0≠a )的图象上两21x x x += 时，二次函数的值是( )A ．522+a bB ．542+-ab C ． 2002 D ．518．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．19．如图，已知二次函数222-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，直线：x ＝m(m>1)与x 轴交于点D ．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在直线x ＝m (m>1)上有一点P (点P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求P 点坐标(用含m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线222-=x y 上是否存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．20．已知二次函数22--=x x y 及实数2->a ，求(1)函数在一2<x ≤a 的最小值；(2)函数在a ≤x ≤a+2的最小值．21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，3-)，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．(1)求二次函数的解析式；(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小，并求P 点坐标；(3)在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a≠0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3的顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3上．(1)请你协助探求出当实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3的顶点．．所在直线的解析式； (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．参考答案。
(完整版)抛物线进阶练习题
(完整版)抛物线进阶练习题本文档提供了一系列的进阶级抛物线练题，旨在帮助您巩固抛物线的相关知识和技巧。
以下是题目详解：题目一：抛物线的焦点和准线已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，准线与$x$轴的交点为$(p,0)$，根据已知条件回答以下问题：1. 要求导出抛物线焦点的坐标。
2. 计算准线的方程。
题目二：求解抛物线与直线的交点已知一条直线的方程$y=ax+b$和抛物线的方程$y=cx^2+dx+e$，根据已知条件回答以下问题：1. 求出抛物线与直线的交点坐标。
2. 根据交点坐标，判断抛物线与直线是否相交。
题目三：抛物线的平移和缩放已知标准抛物线的方程$y=x^2$，根据已知条件回答以下问题：1. 若将抛物线平移至点$(a,b)$，求出平移后抛物线的方程。
2. 若将抛物线沿着$x$轴缩放$k$倍，求出缩放后抛物线的方程。
题目四：抛物线的最值已知抛物线的方程$y=ax^2+bx+c$，根据已知条件回答以下问题：1. 求抛物线的顶点坐标。
2. 根据顶点坐标，判断抛物线的开口方向和最值。
题目五：抛物线的面积和弧长已知抛物线的方程$y=ax^2+bx+c$，根据已知条件回答以下问题：1. 计算抛物线在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
2. 计算抛物线在区间$[x_1,x_2]$上的弧长。
题目六：实际应用根据实际问题回答以下问题：1. 小球从离地面为$h$的地方以初速度$v$沿着与地面垂直方向抛出，求解小球的抛物线轨迹方程。
2. 根据抛物线轨迹方程，计算小球在某个时刻$t$的高度。
以上是关于抛物线进阶练题的完整题目。
希望这些练题能够帮助您巩固和拓展抛物线的知识与技巧。
祝您练愉快，取得好成绩！> 注意：本文档所给题目仅为举例，实际练习中可根据需要进行调整和扩展。
解题技巧专题解决抛物线中与系数a,b,c有关的问题
解题技巧专题：解决抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置【方法5】1．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则直线y＝abx＋c的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限第2题图第3题图第4题图3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )4．★如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )◆类型二 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①4ac <b 2；②a ＋c >b ；③2a ＋b >0.其中正确的有( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc ＜0，b 2－4ac ＞0B ．abc ＞0，b 2－4ac ＞0C ．abc ＜0，b 2－4ac ＜0D ．abc ＞0，b 2－4ac ＜07．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出下列4个结论：①c >0；②若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2为函数图象上的两点，则y 1<y 2；③2a －b ＝0；④4ac －b 24a <0.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第7题图第8题图8．(2017·安顺中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列4个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中正确结论的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．★二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．参考答案与解析1．C 2.D 3.B4．A 解析：∵一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，∴方程ax2＋(b－1)x ＋c＝0有两个不相等的根，分别为点P，Q的横坐标x P，x Q.∴函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴有两个交点，分别为(x P ，0)，(x Q ，0)．∵x P ＞0，x Q ＞0，∴选项A 符合条件．故选A.5．B 6.B7．B 解析：由抛物线交y 轴于正半轴，可知c >0，故①正确；∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线开口向下，－52<－32<－1，∴y 1>y 2，故②错误；∵对称轴为直线x ＝－1，∴－b2a ＝－1，即2a －b ＝0，故③正确；由函数图象可知抛物线最高点的纵坐标大于0，∴4ac －b 24a >0，故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选B.8．C 解析：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，∴①正确；∵－b 2a ＝－1，∴b ＝2a .∵当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0，∴12b ＋b ＋c ＜0，∴3b ＋2c ＜0，∴②是正确；∵当x ＝－2时，y ＞0，∴4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，∴③错误；∵由图象可知当x ＝－1时该二次函数取得最大值，∴a －b ＋c ＞am 2＋bm ＋c (m ≠－1)，∴m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)，∴④正确．∴正确的结论有①②④.故选C.9．思路点拨：先根据图象判断出2a ＋b ，3b －2c ，2a －b ，3b ＋2c 的正负，然后将P ，Q 去绝对值，再用作差法来比较两数的大小．解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵－b 2a ＞0，∴b ＞0，∴2a －b ＜0.∵－b2a＝1，∴b ＋2a ＝0.当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴－12b －b ＋c ＜0，∴3b －2c ＞0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b ＋2c ＞0，∴P ＝3b －2c ，Q ＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b ＜0.∴P ＞Q .解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43第1题图第2题图2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )A．60°B．75°C．90°D．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为( )A．1 B. 2 C. 3 D．27．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为________．8．★如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．。
中考数学专项复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案
中考数学专项复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案一、单选题1．如图，是抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图象信息分析下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③b2−4ac>0；④4a+2b+c<0.其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．已知反比例函数y＝ab x的图象如图所示，则二次函数y =a x 2－2x和一次函数y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．二次函数y=(x−1m)(mx−4m)（其中m＞0），下列说法正确的()A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小C．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+ 12m D．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥ 12m 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a<0；②ax2+bx+c=0的两个根是x1=-2，x2=4；③9a+c>0；④b:c=1：4，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y1= 12(x+12)+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=23；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2. 其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=07．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．a+b+c＞0D．b2﹣4ac＞08．已知函数y=ax2+bx+c，当y>0时−12＜x＜13，则函数y=cx2−bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．9．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）个．①y=x；②y=-2x+1；③y=-1x；④y=3x2．A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），其部分图象如图所示，给出下列四个结论：①a＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b=0；④若点P（x0，y0）在抛物线上，则ax02+bx0+c≤a﹣b+c．其中结论正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．下列关于抛物线y=x2+4x−5的说法正确的是（）①开口方向向上；②对称轴是直线x=−4；③当x<−2时，y随x的增大而减小；④当x<−5或x>1时，y>0.A．①③B．①④C．①③④D．①②③④12．已知抛物线y=ax2+3x+(a−2)，a是常数且a<0，下列选项中可能是它大致图像的是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，4），则△ABC的面积可以等于4；③M（x1，y1），N （x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1＋x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为﹣1，3，其中正确结论的序号为.14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．有下列结论：①图象的对称轴为直线：x＝1；②a：b：c＝﹣1：2：3；③若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为﹣1和13，其中正确的结论有（填序号）．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a 、b、c为常数）中的x与y的部分对应值如下表：x－103my n33n时，则下列结论一定正确的是（填序号即可）①m=4；②abc<0；③x=3是方程αx2+bx+c=0的一个根；④不等式ax2+bx+c−3>0的解集为0<x<3.16．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0，c>0，b<0 ；②b2-4ac>0；③a+b>am2+bm(m为实数)；④b+2a=0；⑤-a+c>0 正确的有。
二次函数抛物线,与方程关系,例题及解析
练习：1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随xD. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.3、如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）5、在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点AB A ．B ．C ．(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D)A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④B. ①④C. ②③D. ①③11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)移），，对于旋转、对称变换也是一样。
抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1= 。
2.4(6)抛物线与系数a,b,c关系练习题及答案
2.4(6)二次函数图象位置与a ，b ，c 练习题及答案1. 如图抛物线的图象，以下结论：①0<abc ②当1x =时，函数有最大值；③当13x x =-=或时， y 的值都等于0. ④024<++c b a 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 3. 小明从图1所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 4如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ： ①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是．（填写的序号）5. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ）①a+b+c ＜0；②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a A.4 B.3 C.2 D.1x图1图16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，那么下列判断正确的是。
①abc＞0；②b2-4ac＞0，③2a+b＞0；④4a-2b+c＜07.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0其中正确结论的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个8上图3是抛物线y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③9抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a-3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（）A、0 B、1 C、2 D、310.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有(）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案1解：根据函数图象，：a＜0，c＞0，对称轴x=1，b＞0，与x轴交于（-1，0）（3，0）两点．①abc＜0，正确；②当x=1时，函数有最大值，正确；③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0，正确；④当x=2时，y=4a+2b+c＞0，错误；答案：C2 解：①：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=-b/2a＞0，又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；故本选项错误；②∵对称轴为x=-b/2a＜1，a＜0，∴-b＞2a，∴2a+b＜0；故本选项正确；③根据图示知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故本选项正确；④由图可知当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，∴a+c＜b＞0，即不确定a+c＜0；故本选项错误；综上所述，②③共有2个正确．故选C．②由对称轴x=-b/ 2a =－1，得 b=2a 所以②b＞2a错误。
抛物线与根与系数的关系-教师版
抛物线与根与系数的关系1．如图，如图2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()10-，，()30，，则ba=_______， ca=___________．【答案】2-，3-2．如图，抛物线24y ax ax m =-+与x 轴交于点()10A ，，()20B x ，，则2x =_______．【答案】33．二次函数()200ax bx c a ++=≠的图象如图所示，下列结论中：①20a b +=；②a c b +＞；③抛物线与x 轴的另一个交点为()30，；④0abc ＞．其中正确的结论是__________（填写序号）．【答案】①④4．如图，抛物线2y ax bx c =++，顶点为C ，与x 轴交于A 、B 两点，ABC △为直角三角形，求24b ac -的值．【答案】可得ABC △为等腰直角三角形，过C 作CD AB ⊥于D ，则2AB CD =； 抛物线与x 轴有两个交点，∴△0>，∴240b ac -＞ B b A =，∴CD =又24(0)4b acCD a a -=≠，∴244b ac a-=，242b ac -，222(4)44b ac b ac -∴-=， 240b ac -≠， 244b ac ∴-=．5．关于x 的二次函数222y x mx m m =-++的图象与关于x 的函数1y x =+的图象交于两点()11A x y ，、()22B x y ，，且12x x ＜，m 为何值时，猜想AB 的长是否不变，并证明你的猜想．【答案】解：不变，证明如下：联立两函数解析式消去y 可得：22(21)10x m x m m -+++-=， 1x ∴、2x 是该方程的两根，1221x x m ∴+=+，2121x x m m =+-，2222121212()()4(21)4(1)5x x x x x x m m m ∴-=+-=+-+-=，A 、B 又在一次函数图象上，111y x ∴=+，221y x =+， 1212y y x x ∴-=-，AB ∴AB ∴的长度不变．6．已知直线5y kx k =-（0k ≠）与抛物线()20y ax ak =＜交于A 、B 两点，AM x ⊥轴于M ，BN x ⊥轴于N ，点A 在点B 的左侧，求11ON OM-的值．【答案】解：函数的交点坐标1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 由25y ax y kx k ⎧=⎨=-⎩，即：250ax kx k -+=，则12k x x a +=，125kx x a=， 则2ON x =，1OM x =-，∴121212111115x x ON OM x x x x +-=+==． 答：11ON OM-的值为15． 7．已知直线2y kx =+与抛物线()20y ax a =＞交于A 、B 两点，AM y ⊥轴于M ，BN y ⊥轴于N ，求OM ON ⋅的值．【答案】解：直线2y kx =+与抛物线2(0)y ax a =>交于A 、B 两点，∴设点A 的坐标为1(x ，21)ax ，点B 的坐标为2(x ，22)ax ， 2212OM ON ax ax ∴⋅=⋅，令22ax kx =+，则220ax kx --=，122x x a-∴⋅=， 222222121224()4OM ON ax ax a x x a a ∴⋅=⋅=⋅⋅=⋅=， 即OM ON ⋅的值是4．。
2023年九年级中考数学复习练习 二次函数的图象与系数的关系
2023年九年级中考数学复习：二次函数的图象与系数的关系一、填空题1．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么abc ____________0（填“>”“<”或“=”）．2．平面直角坐标系中，点(),A m n 为抛物线2(1)5(0)y ax a x a =-+->上一动点，当13m -≤≤时，点A 关于x 轴的对称点始终在直线2y x =-的上方，则a 的取值范围是_________．3．已知x 轴上两点()2,0C ，()5,0D ，若抛物线28161(0)y mx mx m m =-+->与线段CD 有交点，则m 的取值范围是______．4．如果抛物线y ＝﹣m （x +1）2﹣m +1的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的开口方向 _____．5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a ＝0；①abc ＜0；①4a +2b +c ＜0；①8a +c ＞0．其中正确的有 _____（填序号）．6．已知()11,y ，()23,y 是函数226y x x c =-++图象上的点，则1y ，2y 的大小关系是______（用<号表示）7．在平面直角坐标系中，函数32(0)y x a a =-++≠和2y x ax =-的函数图象相交于点P ，Q ．若P ，Q 两点都在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是__________．8．如图，直线y ＝kx +b （k ≠0）与抛物线y ＝ax 2（a ≠0）交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是﹣2，点B 的横坐标为6则以下结论：①抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的图象的顶点一定是原点；①x ＜0时，直线y ＝kx +b （k ≠0）与抛物线y ＝ax ²（a ≠0）的函数值都随着x 的增大而减小；①AB 的长度可以等于8；①①OAB 不可能成为等边三角形；①当﹣6＜x ＜2时，ax 2+kx ＜b ，其中正确的结论是 _____．（填序号）二、单选题1．在数学课上，老师给出二次函数的四幅图像如下，根据二次函数的图像的性质可知，下列图像可能表示二次函数22y ax ax c =++（0a ≠，a ，c 是常数）的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则在①a<0；①0b >；①0c >；①240b ac ->中正确的判断是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①3．如图所示的抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，则下列结论错误的是（ ）A ．a<0B ．240b ac ->C ．20a b -=D ．0c >4．抛物线223y x x =+-的开口方向、对称轴分别是（ ）．A ．开口向上，对称轴为直线1x =B ．开口向下，对称轴为直线1x =C ．开口向上，对称轴为直线=1x -D ．开口向下，对称轴为直线=1x - 5．若抛物线2y ax =与231y x x =-+-的形状相同，则a 的值为( )A ．1-B ．1±C ．1D ．3±6．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0，且对称轴为直线=1x -，其部分图象如图所示，下面结论中正确的是（ ）A ．<0abcB ．20a b +=C ．930a b c -+=D ．420a b c ++> 7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，24b ac ∆=-，则下列四个选项正确的是（ ）A ．0b >，0c <，0∆>B ．0b >，0c >，0∆>C ．0b <，0c <，0∆>D ．0b <，0c >，Δ0<8．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x=-．下列结论：①0abc <；①2b 4ac >；①420a b c -+>；①30a c +>；①2242b a ac ->．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题1．已知二次函数y ＝x 2+ax +a ﹣2，求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；(2)若y ＝ax 2+bx ﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．3．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k ．(1)若该函数图象与x 轴的两个交点横坐标分别为﹣1和3，求函数的表达式；(2)若该函数与x 轴有两个交点，求k 的取值范围；(3)若在k ≤x ≤2k ﹣3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k 的值．4．如图，直线l ：2y x =-+与抛物线C ：2142y x x =--+相交于点A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标．(2)将直线l 向上移()0a a >个单位长度后，直线l 与抛物线C 仍有公共点，求a 的取值范围．(3)点P 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点，过点P 作直线AB 的垂线段，垂足为Q 点．当22PQ =时，求点P 的坐标．。
函数的实际应用--抛物线型问题(专题训练)(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
函数的实际应用-中考数学重难点题型专题汇总抛物线型问题（专题训练）1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE 表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：10m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A 、B 处分别安装照明灯．已知点A 、B 到OE 的距离均为6m ，求点A 、B 的坐标．【答案】(1)29(5)925y x =--+(2)(5(5A B +【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，再代入（0，0），求出a 的值即可；（2）根据题意知，A ，B 两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．(1)依题意，顶点(5,9)P ，设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，将(0,0)代入，得20(05)9a =-+．解之，得925a =-．∴抛物线的函数表达式为29(5)925y x =--+．(2)令6y =，得29(5)9625x --+=．解之，得125,5x x +=+．∴(5(5A B +．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【答案】（1）y=14-x 2+2x （0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x ，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x =1，代入y=14-x 2+2x ，得到对应的y 值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m 的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x ，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：14a =-，∴二次函数的解析式为：y=14-(x-8)x=14-x 2+2x （0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=14-x 2+2x ，得y=14-×12+2×1=74＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=14x 2-2x ，当x ＜0或x ＞8时，新函数表达式为：y=-14x 2+2x ，∴新函数表达式为：2212(08)41(08)4x x x y x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩或，∵将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，∴O '（m ，0），A '（m+8，0），B '（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小．本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【答案】（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．【分析】（1）根据题意可知：点A （0，4）点B （4，8），利用待定系数法代入抛物线221:8C y x bx c=-++即可求解；（2）高度差为1米可得21=1C C -可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线2117C :1126y x x =-++可知坡顶坐标为61(7,)12，此时即当7x =时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即2161773812y b c =-⨯++≥+，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A （0，4），点B （4，8）代入抛物线221:8C y x bx c =-++得，2=4144=88c b c ⎧⎪⎨-⨯++⎪⎩，解得：=43=2c b ⎧⎪⎨⎪⎩，∴抛物线2C 的函数解析式213482y x x =-++；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，∴221317(4)(1)182126x x x x -++--++=，解得：14x =-（不合题意，舍去），212x =，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A （0，4），∴抛物线221:48C y x bx =-++，∵抛物线2211761C :1=7)12612y x x x =-++-+，∴坡顶坐标为61(7,12，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，∴21617743812y b =-⨯++≥+，解得：3524b ≥．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．4.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且8AB =dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度8OC =dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．【答案】(1)296-；(2)20dm ；(3)能切得半径为3dm 的圆．【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m ，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m （2）如详解2中图所示，设矩形落在AB 上的边DE=2n ，利用函数解析式求解F 点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；（3）为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H 坐标为（0，3），表示出圆心H 到二次函数上个点之间的距离与半径3进行比较即可．(1)由题目可知A （-4，0），B （4，0），C （0，8）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c ，∵对称轴为y 轴，∴b=0，将A 、C 代入得，a=12-，c=8则二次函数解析式为2182y x =-+，如下图所示,正方形MNPQ 即为符合题意得正方形，设其边长为2m ，则P 点坐标可以表示为（m ，2m ）代入二次函数解析式得，21822m m -+=，解得122,2m m =-=-（舍去），∴2m=4，()()222496m =-=-则正方形的面积为296-；(2)如下如所示矩形DEFG ，设DE=2n ，则E （n ，0）将x=n 代入二次函数解析式，得2182y n =-+，则EF=2182n -+，矩形DEFG 的周长为：2（DE+EF ）=2（2n+2182n -+）=22416(2)20n n n -++=--+，当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm ；(3)如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H 坐标为（0，3），则圆心H 到二次函数上个点之间的距离为3≥，∴能切得半径为3dm 的圆．【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．5.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++．(1)c 的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时19,5010a b =-=，求基准点K 的高度h ；②若150a =-时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】(1)66(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞9 10；(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣150，b＝910，知y＝﹣150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣150×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．(1)解：∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；(2)解：①∵a＝﹣150，b＝910，∴y＝﹣150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣1 50，∴y＝﹣150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴当x＝75时，y＞21，即﹣150×752+75b+66＞21，解得b＞9 10，故答案为：b＞9 10；(3)解：他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣2 125，∴抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣2125×（75﹣）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．6.根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，2120y x =-；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-；66x -≤≤；任务三：两种方案，见解析【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m ，根据题意求得任意一种方案即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且经过点(10,5)-．设该抛物线函数表达式为2(0)y ax a =≠，则5100a -=，∴120a =-，∴该抛物线的函数表达式是2120y x =-．任务二：∵水位再上涨1.8m 1m ，灯笼长0.4m ，∴悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-，∴悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-．当 1.8y =-时，211.820x -=-，解得16x =或26x =-，∴悬挂点的横坐标的取值范围是66x -≤≤．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵66x -≤≤，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.646⨯>，⨯<，若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.636∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．-．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 4.8方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，+⨯->，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8 1.6(51)6+⨯-<，若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8 1.6(41)6∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．-．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 5.6【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．7.公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m ；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t ，代入求出s 即可；（2）分析得出当v=10m/s 时，两车之间距离最小，代入计算即可．【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为2s at bt =+，一次函数表达式为v kt c =+，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则8816k c c =+⎧⎨=⎩，解得：116k c =-⎧⎨=⎩，∴一次函数表达式为16v t =-+，令v=9，则t=7，∴当t=7时，速度为9m/s ，∵二次函数经过（2，30），（4，56），则423016456a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1216a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数表达式为21162s t t =-+，令t=7，则s=491672-+⨯=87.5，∴当甲车减速至9m/s 时，它行驶的路程是87.5m ；（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s ，∴当10＜v ＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当0＜v ＜10时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v=10m/s 时，两车之间距离最小，将v=10代入16v t =-+中，得t=6，将t=6代入21162s t t =-+中，得78s =，此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m ，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提．8.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【答案】（1）76b =，1c =；（2）7324米；（3）352【分析】（1）根据题意，可直接写出点A 点B 坐标，代入216y x bx c =-++，求出b 、c 即可；（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；（3根据2173716624y x x =-++=，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．【详解】解：（1）由题意知点A 坐标为(0)1，，点B 坐标为(6)2，，将A 、B 坐标代入216y x bx c =-++得：21=12666c b c ⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩解得：761b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故76b =，1c =；（2）由221717731666224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可得当72x =时，y 有最大值7324，即大棚最高处到地面的距离为7324米；（3）由2173716624y x x =-++=，解得112x =，2132x =，又因为06x ≤≤，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为111622-=（米），又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为1116882⨯=（平方米）共需要884352⨯=（根）竹竿．【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．9.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【答案】（1）6m ；（2）①21'(6)112y x =++；②2m 【分析】（1）设211y a x =，由题意得(6,1.5)F -，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y 1的值即可；（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，设222(6)1y a x =-+，将点H 代入求值即可；②设彩带长度为h ，则12h y y =-，代入求值即可．【详解】解（1）设211y a x =，由题意得(6,1.5)F -，11.536a ∴-=，1124a ∴=-，21124y x ∴=-，∴当12x =时，21112624y =-⨯=-，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，∴设222(6)1y a x =-+，(0,4)H ，224(06)1a ∴=-+，2112a ∴=，221(6)112y x ∴=-+，(左边抛物线表达式：21'(6)112y x =++)②设彩带长度为h ，则22221111(6)1()412248h y y x x x x =-=-+--=-+，∴当4x =时，2min h =，答：彩带长度的最小值是2m ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．。
九年级上数学专题复习二：二次函数图象与系数的关系(含答案)
专题复习二 二次函数图象与系数的关系(1)系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.(2)对称轴在y 轴的左侧，a ，b 同号；对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号.(3)c>0时，图象与y 轴交点在x 轴上方；c=0时，图象过原点；c<0时，图象与y 轴交点在x 轴下方.(4)b 2-4ac 的符号决定抛物线与坐标轴的交点个数.1.已知二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么a ，b 的符号为(C ).A.a ＞0，b ＞0B.a ＜0，b ＞0C.a ＞0，b ＜0D.a ＜0，b ＜0(第1题) (第2题) (第5题)2.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，对称轴是直线x=1，则下列结论错误的是(D ).A.c ＞0B.2a+b=0C.b 2-4ac ＞0D.a-b+c ＞03.二次函数y=ax 2-a 与反比例函数y=xa (a ≠0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为(A ).A. B. C. D.4.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D ).A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)5.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b 2-4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c-a=2；④方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有(C ).A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M(a ，c)在第 三 象限.7.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1，给出以下结论：（第7题）①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③4b+c ＜0；④若B （-25，y 1），C （-21，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ⑤当-3≤x ≤1时，y ≥0.其中正确的结论有 ②③⑤ (填序号).8.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，顶点落在第二象限．(1)试确定a ，b ，b 2-4ac 的符号，并简述理由．(2)若此二次函数的图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为32，求抛物线的二次函数的表达式．【答案】(1)∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵顶点在第二象限，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-044022ab ac a b ，∴b ＜0，b 2-4ac ＞0.(2)由题意可得c=0，此时顶点坐标为（-a b 2，-a b 42）.∵顶点在直线x+y=0上，∴-a b 2-a b 42=0. ∴b=-2.此时顶点坐标为（a 1，-a 1）.∴21a +21a =(32)2.∴a=-31或a=31 (舍去).∴抛物线的函数表达式为y=-31x 2-2x. 9.已知函数y=x 2-2mx 的顶点为点D.(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示).(2)求函数y=x 2-2mx 的图象与x 轴的交点坐标.(3)若函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围.【答案】(1)y=x 2-2mx=(x-m)2-m 2，∴顶点D(m ，-m 2).(2)令y=0，得x 2-2mx=0，解得x 1=0，x 2=2m.∴函数的图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2m ，0).(3)∵函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方.∴-m 2＞m ，即m 2+m ＜0.∴m 的取值范围是-1＜m ＜0.10.已知抛物线y=ax 2+3x+(a-2)，a 是常数且a ＜0，下列选项中，可能是它大致图象的是(B).A.B.C.D.11.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①4ac-b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m(am+b)+b ＜a(m ≠-1).其中正确的结论有(B ).A.4个B.3个C.2个D.1个(第11题) (第12题) （第14题）(第15题)12.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，则下列结论：①b 2-4c ＜0；②c-b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+(b-1)x+c ＜0．其中正确结论的个数为(C ).A.1B.2C.3D.413.二次函数y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(-1，0).设t=a+b+1，则t 的取值范围是 0＜t ＜2 ．14.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a b 的值为 -2 ，a c 的取值范围是 -8＜ac ＜-3 . 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=-a b 2=1，即a b =-2.由图象知当x=-2时，y ＞0，即4a-2b+c ＞0①，当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0②，将b=-2a 代入①②，得c ＞-8a ，c ＜-3a. 又∵a ＞0，∴-8＜ca ＜-3.15.如图所示为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A ，B ，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则a ，b 之间满足的关系式为 a-b+1=0 ．(第16题)16.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象.(1)判断a ，b ，c 及b 2-4ac 的符号．(2)若OA=OB ，求证：ac+b+1=0．【答案】(1)a>0,b<0,c<0,b 2-4ac>0.(2)∵OA=OB ，且OB=|c|=-c ，∴ax 2+bx+c=0有一根为x=c.∴ac 2+bc+c=0.∴ac+b+1=0.17.对于二次函数y=ax 2+bx+c ，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2+2x+2)．(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的函数表达式： y=21x 2+21x .(不必证明) (2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=21x 2+21x (2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=c;当x=1时,y=a+b+c. 由整点抛物线定义知：c 为整数，a+b+c 为整数，∴a+b 必为整数.又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b ）+c 是整数，∴2a 必为整数.∴|a|≥21.∴不存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线.（第18题）18.【攀枝花】二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D ).A.a ＞b ＞cB.一次函数y=ax+c 的图象不经过第四象限C.m(am+b)+b ＜a(m 是任意实数)D.3b+2c ＞0【解析】由二次函数的图象可知a ＞0，c ＜0；由x=-1得-ab 2=-1，故b ＞0，b=2a ，则b ＞a ＞c ，故A 错误.∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y=ax+c 的图象经过第一、三、四象限，故B 错误.当x=-1时，y 最小，即a-b+c 最小，故a-b+c ＜am 2+bm+c ，即m(am+b)+b ＞a ，故C 错误. 由图象可知当x=1时y ＞0,即a+b+c ＞0，∵b=2a ，∴a=21b.∴21b+b+c ＞0.∴3b+2c ＞0，故D 正确.故选D.19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=(x+a)(x-a-1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，-2)，求函数y 1的表达式.(2)若一次函数y 2=ax+b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的表达式.(3)已知点P(x 0，m)和点Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围.【答案】(1)函数y 1的图象经过点(1，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得a 1=-2，a 2=1.当a1=-2时，y1=(x-2)(x+2-1)=x 2-x-2；当a2=1时，y1=(x+1)(x-2)=x 2-x-2.综上所述，函数y1的表达式为y=x 2-x-2.(2)当y=0时，(x+a)(x-a-1)=0，解得x 1=-a ，x 2=a+1.∴y 1的图象与x 轴的交点是(-a ，0)，(a+1，0).当y2=ax+b 经过(-a ，0)时，-a 2+b=0，即b=a 2；当y2=ax+b 经过(a+1，0)时，a 2+a+b=0，即b=-a 2-a.(3)由题意知，函数y 1的对称轴为直线x=21.当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤21；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得21＜x 0＜1.综上所述，m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1.20.如图所示，二次函数y=ax 2+2ax-3a(a ≠0)图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 右侧)，点H ，B 关于直线l:y=33x+3对称．(1)求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于点K,M,N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN,NM,MK ，求HN+NM+MK 的最小值．(第20题)图1图2（第20题答图）【答案】(1)由题意得ax 2+2ax-3a=0(a ≠0)，解得x 1=-3,x 2=1.∴点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(1,0).∵直线y=33x+3,当x=-3时,y=33×(-3)+ 3=0,∴点A 在直线l 上.(2)∵点H ，B 关于过点A 的直线y=33x+3对称,∴AH=AB=4.∵AH=BH ，∴△ABH 为正三角形.如答图1所示，过顶点H 作HC ⊥AB 于点C ，则AC=21AB=2,HC=23,∴顶点H(-1,23)，代入二次函数表达式,解得a=-23.∴二次函数表达式为y=-23x 2-3x+233. (3)易求得直线AH 的函数表达式为y=3x+33，直线BK 的函数表达式为y=3x-3.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=33333x y x y ,解得⎩⎨⎧==323y x ,即K(3,23).∴BK=4.∵点H ，B 关于直线AK 对称,∴HN+MN 的最小值是MB.如答图2所示，过点K 作直线AH 的对称点Q,连结QK,交直线AH 于点E ，则QM=MK,QE=EK=KD=23,则QK=43,AE ⊥QK.∴BM+MK 的最小值是BQ,即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值.∵BK ∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°.由勾股定理可求得QB=8.∴HN+NM+MK 和的最小值为8.。
8.2.9抛物线位置与系数a-b-c的关系以及与x轴交点问题(共40张)
x
y
B
o x Do
x
第25页，共40页。
2.若函数(hánshù) 是(1，-2)，则b=
的顶点坐标
，c= 。
3.已知二次函数 象如图所示，则一次函数
的图象不经过第 象限。
的图
y
o
x
第26页，共40页。
4.若抛物线 y (m 1)x2 2mx m 3
位于(wèiyú)x轴上方,求m的取值范围.
a>0
向 下
x<-
b 2a
x<-
b 2a
x>-
b 2a
x>-
b 2a
第40页，共40页。
当x=
-
b 2a
时，
y有最小值：
4ac-b2 4a
当x= -
b 2a
时，
y有最大值：
4ac-b2 4a
其中正确的是
（填序号，并说明理由）
y
x=1
o1
(a+c)2 b2
(a b c)(a b c) x 1时，a+b+c 0
x 1时，a-b+c 0 x (a b c)(a b c) 0
即(a+c)2 b2 0 (a+c)2 b2
第33页，共40页。
10. 二次函数(hánshù)y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它 的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
对称轴是直线x =
b
2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
中考数学抛物线与系数a,b,c的关系
抛物线与系数a,b,c的关系1.(万唯原创)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点(－3，0)，顶点为(－1，m)，则下列结论：①abc＜0；②b＝2a；③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过点(c3a，0)；④a－b＝b＋c，其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. (2022梧州改编)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴是直线x＝－1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，下列结论错误．．的是()A. b2＞－8aB. y的最小值为－2－aC. 3a－2＞0D. 当y＞－2时，x1·x2＜0第2题图3. (2022朝阳)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a为常数，且a≠0)的图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是()第3题图A. abc＞0B. 3a＋c＞0C. a2m2＋abm≤a2＋ab(m为任意实数)D. －1＜a ＜－234. (2022随州)如图，已知开口向下的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x ＝1.则下列结论正确的有( )第4题图①abc ＞0；②2a ＋b ＝0；③函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为－4a ；④若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝a ＋1无实数根，则－15＜a ＜0. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5. (2022齐齐哈尔)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与y 轴的交点在(0，1)与(0，2)之间，对称轴为x ＝－1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：第5题图①b ＝2a ；②－3＜a ＜－2；③4ac －b 2＜0；④若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋a ＝m －4(a ≠0)有两个不相等的实数根，则m ＞4；⑤当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6. (2022武汉)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)开口向下，过A (－1，0)，B (m ，0)两点，且1＜m＜2.下列四个结论：①b ＞0；②若m ＝32，则3a ＋2c ＜0；③若点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，x1＜x2，且x1＋x2＞1，则y1＞y2；④当a≤－1时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是________(填写序号).。
九年级数学 系数符号与抛物线的图像特征
九年级数学 系数符号与抛物线的图像特征例、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则：1已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个2．已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（ ）A ．042>-ac bB ．042=-ac bC ．042<-ac bD ．042≤-ac b3在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致为( )4、函数bax y+=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab5、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）6、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；1、（2007天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、（2007南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④（B ）①④（C ）②③（D ）①③3（2007湖北孝感）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图8所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |， 则P 、Q 的大小关系为 . P<Q4、（2007广西南宁）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()P a bc ，在第 象限． 三5 （2006·浙江省） 如右图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴．第（1）问：给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0,其中正确的结论的序号是 ．第（２）问：给出四个结论：①abc ＜0；②2a+b ＞0；③a+c=1； ④a ＞1．其中正确的结论的序号是 ．（1）①，④；（2）②，③，④6. (2006·广安市)二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示, 则点 A(a, b)在(B ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A第4题。
抛物线图像与系数关系精选练习题
抛物线图像与系数的关系练习题知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．一．选择题（共9小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）m的取值范围是（）四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4．10），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（ ）10、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤12、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4练习题：1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（ ）A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b（1） （2） （3） 2、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）A ．a ＜0B.abc ＞0C.c b a ++＞0D.ac b 42-＞03、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、已知二次函数21y ax bx =++的大致图象如图所示，那么函数y ax b =+的图象不经过（ ） A ．一象限B ．二象限C ．三象限D ．四象限（4） （5） （6）5、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6、小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个7、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（7） （8） （9） 8、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ， 4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2B 3C 、4D 、59、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤10、已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，）， 关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限； ③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311、小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12、下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．13、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定（11）（13）14、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 2＜y 1＜y 3 C.y 3＜y 1＜y 2 D.y 1＜y 3＜y 215、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 16、( 湖北 天门)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论： ①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0，其中正确结论的个数为_________．（16） （17）17、二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，则点2(4)b A b ac a--，在第 象限． 18、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 19、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）（19）（20）20、如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．21、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）。
九年级数学全册 解题技巧专题 抛物线中与系数a,b,c有关的问题练习-人教版初中九年级全册数学试题
word解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a ＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·某某中考)已知二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·某某中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值X围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·某某中考)如图是抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c ＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个8．(2016·某某中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b ＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确结论的序号是____________.答案：。
初三数学 二次函数图像与系数的关系
初三数学二次函数图像与系数的关系一．选择题（共25小题）1．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．a+b+c＜02．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，交x轴于（3，0），下列说法正确的是（）A．b＜0B．b2＜4ac C．a+c＝b D．2a﹣b＝03．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＝0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＜04．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法不正确的是（）A．abc＜0B．a+b+c＝2C．b2﹣4ac＞0D．当x＞﹣1时，y随x增大而减小5．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为直线x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2﹣4ac＜0，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．a﹣b＝0C．3a﹣c＝0D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（）A．①②③B．②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（）①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②b2＝4ac；③4a﹣2b+c＜0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（）A．3B．2C．5D．613．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＜0；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有如下结论：①c＜1；②2a+b＝0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②④D．③④15．能确定二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④a+b+c＝0；⑤b+2a＝0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），给出下列结论：①abc＜0；②b＝2a；③4a﹣2b+c＞0；④a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数），正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．A．4个B．3个C．2个D．1个18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c ＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④b2＜4ac；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，0＜x1＜1，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．x1+x2＝﹣1C．4a﹣2b+c＞0D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c ＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．523．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴x＝﹣1，且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间．则下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③a﹣b＜m（am+b），其中m≠﹣1；④一元二次方程ax2+bx+c ＝0必有一个根x1，且2＜x1＜3．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②④D．③④24．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．425．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．②④D．③④二．填空题（共10小题）26．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点为（﹣3，0），现有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③b2＞4ac；④a+b+c＝0．其中正确结论的序号是：．27．函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）与y＝x的图象如图所示，给出下面4个结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c ＜1；③3a+b＝0；④当1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＜0．上述结论中，所有正确结论的序号是．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④当﹣1＜x ＜3时，y＞0；⑤4a+c＞0．其中正确的有.（填序号）29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，经过点A（5，0），对于下列结论，其中正确的为．①b＞0；②对任意实数m，满足am2+bm≤4a+2b；③c﹣3a＜0；④多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）．30．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是．（填序号）①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＝0．31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是．（填序号）32．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④9a+3b+2c＜0；⑤点C（x1，y1）、D（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2；⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣3，x2＝5．其中正确的有（填序号）．33．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正确结论的序号为．34．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③5a+b+c＜0；④对于任意实数m （m≠1），都有a+b＞m（am+b）．其中正确结论的序号是．35．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b﹣a ＞c；④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论是．（写序号）。
抛物线各系数对图象影响练习
抛物线2(0)y ax bx c a =++≠各系数对图象影响抛物线2(0)y ax bx c a =++≠各系数对图象影响：1. 已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则：（1） a____0 ，b____0 ，c______0，2b a-____0，24b ac -____0。
（2） a____0 ，b____0 ，c______0，2b a-____0，24b ac -____0。
（3） a____0 ，b____0 ，c______0，2b a -____0，24b ac -____0。
第1）题 第（2）题 第（3）题 2. 如图所示，A 、B 、C 是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）上的三点，根据图中给出的三点位置情况，可得a 、c 、△（△=b 2-4ac ）与零的大小关系是a____0,b_____0, △____0。
第2题 第3题3．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是（）A、a＞b＞c＞dB、a＞b＞d＞cC、b＞a＞c＞dD、b＞a＞d＞c4．已知二次函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，则它的大致图象应是（）A、B、C、D、5．如图所示，当b＜0时，函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）A、B、C、D、6．函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A、ab＞0，c＞0B、ab＜0，c＞0C、ab＞0，c＜0D、ab＜0，c＜0 7．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（）A、开口向上，对称轴是y轴B、开口向下，对称轴是y轴C、开口向下，对称轴平行于y轴D、开口向上，对称轴平行于y轴8、函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象可能是（）A、B、C、D、。
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抛物线图像与系数的关系练习题
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．
（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．
一．选择题（共9小题）
1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（）
③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）
①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）
①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的个数为（）
①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（）
m的取值范围是（）
四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4．
10），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（ ）
10、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A 、a ＞0
B 、b ＜0
C 、c ＜0
D 、a+b+c ＞0
11、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤
12、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
练习题：
1、二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是
（ ）
A ．0<a
B ．0<b
C ．0<c
D ．042
<-ac b
（1） （2） （3） 2、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A ．a ＜0
B.abc ＞0
C.c b a ++＞0
D.ac b 42-＞0
3、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：2
0040b c b ac <>->①②③④
0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、已知二次函数2
1y ax bx =++的大致图象如图所示，那么函数y ax b =+的图象不经过（ ） A ．一象限
B ．二象限
C ．三象限
D ．四象限
（4） （5） （6）
5、已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程2
0ax bx c ++=的两根
之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
6、小强从如图所示的二次函数2
y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）
0b >；
（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
7、已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③
420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
（7） （8） （9） 8、已知=次函数y ＝ax 2
+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ， 4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2
B 3
C 、4
D 、5
9、已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④
420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ． ①③④
C ．①②③⑤
D ．①②③④⑤
10、已知二次函数2
y ax bx c =++（其中000a b c >><，，）， 关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限； ③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11、小明从图所示的二次函数
2
y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
12、下列命题：
①若0a b c ++=，则2
40b ac -≥；
②若b a c >+，则一元二次方程2
0ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程2
0ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若2
40b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（ ）．
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．
13、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（
）
A ．21y y <
B ．21y y =
C ．21y y >
D ．不能确定
（11）
（13）
14、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2
+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 2＜y 1＜y 3 C.y 3＜y 1＜y 2 D.y 1＜y 3＜y 2
15、若A （1,413y -
），B （2,45y -），C （3,4
1y ）为二次函数2
45y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．132y y y << 16、( 湖北 天门)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论： ①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0，其中正确结论的个数为_________．
（16） （17）
17、二次函数2
y ax bx c =++图象如图所示，则点2
(4)b A b ac a
--，
在第 象限． 18、已知二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，
的下方．下列结论：①420a b c -+=；
②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 19、如图为二次函数2
y ax bx c =++的图象，给出下列说法：
①0ab <；②方程2
0ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增
大；⑤当0y >时，13x -<<．
其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
（19）
（20）
20、如图所示，抛物线2
y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．
21、已知抛物线2
y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()
212y y -1，，，，
试比较1y 和2y 的大
小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）。