a01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷Ⅰ

2005年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（全国卷Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式
)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
33
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一．选择题
（1）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是
（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I
（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I
（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）
（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为
（A ）π28
（B ）π8
（C ）π24
（D ）π4
（3）函数93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
（4）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为
（A ）
32 （B ）33 （C ）
3
4
（D ）
2
3 （5）已知双曲线)0( 12
22>=-a y a
x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为
（A ）
2
3
（B ）
2
3 （C ）
2
6 （D ）
3
3
2 （6）当20π
<<x 时，函数x
x
x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为
（A ）2
（B ）32
（C ）4
（D ）34
（7）)21( 22≤≤-=
x x x y 反函数是
（A ）)11( 112≤≤--+=x x y
（B ）)10( 112≤≤-+=x x y （C ）)11( 112≤≤---=x x y
（D ）)10( 112≤≤--=x x y
（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是
（A ）)0,(-∞
（B ）),0(+∞
（C ）)3log ,(a -∞
（D ）),3(log +∞a
（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨
⎧+-≤-≥1
31x y x y 所表示的平面区域的面积为
（A ）2
（B ）
2
3 （C ）
2
2
3 （D ）2
（10）在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan
=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A
②2sin sin 0≤
+<B A
③1cos sin 2
2=+B A
④C B A 2
22sin cos cos =+
其中正确的是 （A ）①③
（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③
（11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的
（A ）三个内角的角平分线的交点
（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点
（D ）三条高的交点
（12）设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是
（A ）1±
（B ）2
1±
（C ）3
3±
（D ）3±
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）若正整数m 满足m m 10210
5121
<<-，则m = 。

)3010.02(lg ≈
（14）8
)1
(x
x -的展开式中，常数项为 。

（用数字作答）
（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种。

（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'
AA 于E ，交'
CC 于F ，
① 四边形E BFD '
一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '
有可能是正方形
③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '
有可能垂直于平面D BB '
以上结论正确的为 。

（写出所有正确结论的编号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本大题满分12分） 设函数)(),0( )2
sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8
π
=x 。

（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。

已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，
AB ∥DC ，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且
PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。

（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。

9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。

（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。

.0）
（精确到01
设正项等比数列{}n a 的首项2
1
1=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。

（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值。