图论有向图

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chap14 有向图

19
有向H图的应用
任务的最佳排序问题：假设有任务t1, t2, …tn需在
同一设备上串行执行，从任务ti转到任务tj所需的设备调整时间是aij，如何排任务执行次序，使设备调整需时间最少？
1、建图：建立有向图D, 顶点对应于要执行的任务，
vivjA(D)当且仅当aijaji。边vivj带权aij。
T的高度为3 ;
T中的蓝色结点及弧构成 T的一个以v2为根的子树.
27
有序树
定义14.3.3：若对一个树T的结点(弧)从
上至下，同一层结点(弧)从左至右规定了一个次序，则称T为有序树。 v0 有序树的编号：
v1 v2 v3
v21
v211 v212
v22
v213
v31
28
m元(有序)树
定义14.3.4：设T是(有序)树，m 1。
3 v3
D D’
17
竞赛图
竞赛图：完全图的定向图称为竞赛图。
n阶竞赛图可用来表示n个选手之间进行
循环赛的胜负状态。
有一人全胜，其余各胜一场：有一人全输，其余各胜两场：
18
竞赛图都含有向H通路
有向图D的有向H通路是指一条包含D的所有顶
点的有向通路（有向哈密尔顿通路）。推论14.2.1：每个竞赛图都含有向H通路。证明：设D是竞赛图， D的基础图G是完全图，于是， (G) = |V(D)| =p , 由定理14.2.1知，D中含长为p–1的有向通路，也就是说，该通路上包含了所有的p个顶点，即为有向H通路。
3(a). D 中任何一条有向(u, v)-通路(u≠v)P均满足 (u)≠(v) 3(b). D 中的任何弧(u,v) v 1 的首尾不同色 2 4. 总之，基础图G的任何两个邻接的顶点在下均不同色， 4 即是G的正常(k+1) v2 着色。故k≥ (G) –1

图论第二章(1)

12
m=|E1|+|E2| ≤ n1(n1-1)/2+ n2(n2-1)/2 ≤(n-1)(n1-1)/2+(n-1)(n2-1)/2 ≤(n-1)(n-2)/2，，
2.2
道路与回路的判定
1.判定各点对间是否有道路相通:邻接矩阵方法 1.判定各点对间是否有道路相通: 判定各点对间是否有道路相通
有向图或无向图)的设A＝(aij)n×n是图有向图或无向图的＝ × 是图G(有向图或无向图邻接矩阵，的长度为1的道路邻接矩阵，则aij是vi到vj的长度为的道路 (边)的条数。的条数。边的条数一般地，一般地，设Ak＝( aij(k) )n×n ，则aij(k)是vi到 × vj的长度恰为的道路的条数 k=1,2,…。的长度恰为k的道路的条数的道路的条数, 。这可用数学归纳法予以证明：这可用数学归纳法予以证明：因为 Ak＝ Ak-1A, 所以
16
定义道路矩阵定义道路矩阵P=(pij) n×n ，其中道路矩阵 × , v 路通 1 若 i , v j 有相 pij = , v 路通 0 若 i , v j无相则 P=A∨A(2)∨A (3)∨…∨A (n) ∨ ∨ (布尔运算布尔运算) 布尔运算
17
v1
例 v2
命题：若简单 1 命题：图G的每个结点的每个结点的度数≥ ，的度数≥3，则G 中必含带弦的回路。 5
3
4
6
证明：证明：设 P=(e1,e2,…,ek)是G的一条最长是的一条最长的初级道路，的初级道路，e1=(v0,v1)。由于为最长的。由于P为最长的初级道路，所以与v 初级道路，所以与 0有边相边的结点都在 P上。( 否则与是最长的假设矛盾否则与P是最长的假设矛盾是最长的假设矛盾) 上 v0至少有三个相邻结点 1, vi, vj,它们与 1 至少有三个相邻结点v 它们与v 它们与相连的边e 中最多有两个在P中即相连的边 1, e’, e”中最多有两个在中,即中最多有两个在其中至少有一边不在P上此边就是C的其中至少有一边不在上，此边就是的一条弦一条弦。 v1 e2 e1 v0 e” e’

图论及其应用

Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中这条边的端点删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机，他从一个点出发，最后偷完之后需要到一个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点和终点，用通过中间点的最短路径更新起点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序

第7章图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无向图
b
f
e

2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或结束顶点(endpoint)。在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)

13级离散数学(3-1图论)

【作业6】在一个部门的25个人中间，由于意见不
同，是否可能每个人恰好与其他5个人意见一致？分析：考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是5度。解：令 25 个人分别为 v1 v2 …v25 . 则 degv1 = degv2 =…= degv25 =5 degv1 + degv2 +…+degv25 =125 是奇数但在任何图中, 度数为奇数的结点必定是偶数，所以是不可能的。
【作业5】求出下列各图的补图？
测试题
【测试题1】
a)画出无向完全图K4 和K6 并求出它们的边数。 b)画出完全二部图K4,2 ,和K3,3 并求出它们的边数。
【测试题2】
a)判断下列各图是否是（1）图的生成图、导出图或补图？ b)画出（1）图的补图，并求出完全图K5的边数。
例：G1是无向图，deg(v1)=3，deg(v2)=1
G2是有向图，deg+(v1)=3，deg-(v1)=2，
deg(v1)=5，
v1 v2 v1
G2
v2
v3
G1
d(v1)＝3(注意，环提供2
度)， v2是悬挂顶点，
v4
【作业4】求下列各图顶点的度数
【注意】d-(a)＝4，d+(a)＝1
(环e1提供出度1，提供入度1) d(a)＝4+1＝5。
【说明】无向完全图：每一条边都是无向边不
含有平行边和环，每一对顶点间都有边相连。
完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶有向完全图
n阶无向完全图的边数为：
n(n-1)/2
【作业2】画出无向完全图K3 ,K4 和K6 并求出
它们的边数。

《离散数学》第6章图的基本概念

E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集，以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻相邻边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。环——一条边关联的两个顶点重合，称此边为环 (即两顶点重合的边)。悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边称为平行边。平行边的条数称为重数。多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章图的基本概念第一节无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图，补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。

第8章_有向图

图论及其应用
5
8.1 有向图——习题

10.1.1. 一个简单图有多少个定向图？ 10.1.2. 证明： = = 。 10.1.3. 设有向图D中无有向圈，则 d (v ) d (v ) v V v (a) = 0V； (b) 存在一个顶点排序v1，……，v ，使对1 i ，每条以vi为头的弧其尾都在{v1，……，vi-1} 中。 10.1.4. 证明：D是双向连通的 D是连通的，且D的每个块是双向连通的。 10.1.5. D的逆图是把D中每弧的方向都改为其反向所得的有向图。试用逆图慨念及习题10.1.3.(a) 来证明：若有向图D中无有向圈，则+ = D 。 0 10.1.6. 证明：严格有向图包含长 max{ ，+}的有向路。 10.1.7. 证明：严格有向图中若max{ ，+} = k 1，则 D包含长 k+1 的有向圈。
图论及其应用
第8章有向图
8.1 有向图
有向图（directed graph；digraph） D =（V，A） V(D) —— 顶点集。 a u v A(D) —— 弧集。弧a = (u,v)：其头为v，其尾为u；弧a从u连到(join to)v。有向子图（subdigraph）有向图D的基础图（underlying graph）对应于D的无向图G（称D为G的一个定向（orientation）图）
8.1 有向图

易见，有向图D = (V, A)中顶点间的双向连通性是V上的一个等价关系，它的等价类确定了V的一个划分（V1，……，Vm），使顶点u与v双向连通 u与v 同属某等价类Vi 。称每个导出子图D[V1]，……，D[Vm]为有向图D的一个双向分支（dicomponent；strong component）。当D只有一个双向分支时，称D为双向连通的。易见，D的任二双向分支之间的弧都是同一个方向的。例

《离散数学》图论 (上)

12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章图论
第八章图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图所有顶点的度数均相等的无向图称为正则图（regular graph），所有顶点的度数均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶数。

第七章第一讲无向图及有向图

完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶竞赛图
子图(subgraph)
定义8 设G＝<V,E>，G＝<V ,E>为两个图(同为无向图或同为有向图)，若V V且E E，则称G 是G的子图，G为G 的母图，记作G G。若V V或E E，则称G 为G的真子图。
若et∈E，使得et＝<vi，vj>，则称vi为et的始点，vj为 et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。
若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻(adjacent)。 el ek vi vj
定义3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
3
欧拉：传奇的一生
年少时，听从父亲的安排，巴塞尔大学，学习神学和希伯来语，结果被约翰· 伯努利欣赏，17岁获得硕士学位之后，才开始专供数学。
为获得圣彼得堡科学院的医学部的职位空缺，欧拉在巴塞尔便全力投入生理学的研究，并出席医学报告会。1727年，等他到达俄罗斯时，叶卡捷琳娜一世女皇去世，他进入数学部。 1733年，欧拉回到瑞士，并结婚，一生共生育13个孩子，5个存活。为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了。可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了。欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60 4 至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了 47年。
解： (3,3,2,1)，(3,2,2,1,1) 不可以图化
(3,3,2,2)可以图化
(3,2,2,2,1)可以图化

图论讲义第8章-有向图

A = {< v1 , v2 >, < v2 , v3 >, < v2 , v3 >, < v3 , v4 >, < v3 , v5 >, < v1 , v5 >, < v1 , v5 >, < v5 , v5 >} 。
这便定义出一个有向图。注：（1）相应地，前面所说的边不带有方向的图称为无向图。（2）一个无向图 G 可以对应若干个有向图，它称为所对应的有向图的基础图或底图。（3）将有向图的顶点可用平面上的一个点来表示，弧可用平面上的有向线段来表示（直的或曲的），这样画出的平面图形称为图（有向图）的图示。（4）对一条弧 e=<u, v>，其第二分量顶点 v（即箭头指向的顶点）称为它的首顶点，另一顶点称为它的尾顶点。一条首尾顶点相同的弧称为环弧（如下图中 e8），两条具有相同首顶点和相同尾顶点的弧称为并行弧（如下图中 e2 和 e3）。既无环弧又无并行弧的有向图称为简单有向图（或严格有向图）。例如，例 8.1.1 中有向图的一个图示为 e1 v2 e2 e3 v3 v1 e6 e5 e4 e7 v5 v4
§8.4 Euler 有向图和 Hamilton 有向图
定义 8.4.1 经过有向图 G 的所有弧恰一次的有向迹称为 G 的一条 Euler 有向迹。经过有向图
G 的所有弧恰一次的有向闭迹称为 G 的一条 Euler 有向闭迹。存在 Euler 有向迹的有向图称
为 Euler 有向图。经过有向图 G 的所有顶点恰一次的有向路称为 G 的一条 Hamilton 有向路；经过有向图 G 的所有顶点恰一次的有向圈称为 G 的一个 Hamilton 有向圈。存在 Hamilton 有向圈的有向图称为 Hamilton 有向图。定理 8.4.1 非平凡弱连通有向图 G 是 Euler 有向图的充分必要条件是对任何 v ∈ V (G ) ，都有 d (v ) = d (v ) 。

第八章图论

3. 图的结点与边之间的关系定义如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。没有与边关联的结点称为孤立点。关联于同一结点的相异边称为邻接的。不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重图。最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义图G中关联于结点vi的边的总数称为结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图的非连通图。结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义定义设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图，则称S是G的一个边割集。注：割边是边割集的一个特例。

图的基本概念无向图及有向图

d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中，最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中，最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ

i 1
i
证明必要性。由握手定理显然得证。充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数度点。奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为什么？解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数，由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序，度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1

5.图论

注意:在无向图中,无向边(a,b)是从顶点a到顶点b的线段,无方向.在有向图中,有向边<a,b>是有方向的, 且箭头必须从a指向b.也常用e=<vi,vj>表示边.有时用G泛指无向图或有向图,而D只能表示有向图. 几个概念: 设G=<V,E>为一无向图或有向图, (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若|V|=n,则称G为n阶图.(此处|V|表示V中元素个数;这里n≥1) (3)若E=,则称G为零图(仅包含孤立结点的图).特别的,若此时又有|V|=1,则称G为平凡图(只有一个结点的图).
第三部分图论
在计算机科学领域,如开关理论,逻辑设计,形式语言,操作系统,编译程序,数据结构和信息检索等,都以图论为工具来解决实际问题和理论问题,图论有着广泛的应用. 图论的内容十分丰富,涉及面也比较广, 本部分所涉及的只是图论中最基本的,但在实际中经常用到的知识.
第7章图的基本概念
7.1 无向图和有向图
定义一个无向图G是一个二元组<V,E>, 即 G=<V,E>,其中
(1)V是一个非空的集合(在图的运算中,有时产生顶点集合为的结果,因而规定顶点集为的图是无意义的),称为G的顶点集,V中元素称为顶点或结点. (2)E是无序积V&V的一个多重子集(元素可重复出现的集合为多重集),E中元素称为无向边,也简称边. 在一个图G=<V,E>中,为了表示V和E分别为G的顶点集和边集,常将V记成V(G),E记成E(G).
在上图中,(2),(3)均为(1)的子图,(3)是生成图,(2) 是顶点集{v1,v2}的导出子图,也是边子集{e4,e5}的导出子图.(3)是边子集{e1,e3,e4}的导出子图. (5),(6)是(4)的子图,(5)是生成子图,也是边子集 {e1,e2}的导出子图.(6)边子集{e1}的导出子图.

离散数学第七章图的基本概念

4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.

第8章有向图

有向图 D
D 的双向分支
图论及其应用 4
8.1 有向图
− 入度（indegree）d D (v ) 。入度 d+ 出度（outdegree） D (v ) 。出度记号 δ+，δ− ：最小出、入度； ∆+ ， ∆- ：最大出、入度。称有向图D为严格的严格的（strict）严格的 ⇔ 无环、且不存在两弧其端点及方向相同。
定理10.1 (Roy,1967; Gallai,1968) 有向图包含一有向图D包含一定理长为 χ - 1 的有向路。的有向路
证明：令D’ 为D的极大极大无有向圈、有向生成子图（注：D’ 可由空生成子极大图作为开始，在保持无有向圈的条件下，通过逐步加弧而得）。令k为D’ 中最长有向路的长。今用色1，2，……，k+1对D’ 进行顶点着色如下：将v着以色i ⇔ D’ 中以v为起点的最长有向路的长为i 1。来证这是D的正常(k+1)-顶点着色：先证，D’ 中任一有向(u,v)-路P的起、终点u与v一定不同色：设v被着以色 i 。则由着色法知，在 D’ 中以v为起点的一最长有向路，设为，Q的长为i - 1 。由于D’ 中无有向圈，PQ为一有向路，起点为u，长 ≥ i 。从而u上的色j > i。只要再证，D中任一弧(u,v)的两端一定不同色：当 (u,v)为D’ 中的弧时，它就是D’ 中的一有向(u,v)-路，从而u与v不同色。 9 图论及其应用
10.2 有向路
当 (u,v)不是D’ 中的弧时，由D′ 之极大性知 D’ + (u,v) 包含一有向圈C。于是， C - (u,v) 是 D’ 中的有向(v,u)-路，从而u与v也不同色。由上述知，D为(k+1)-可着色的，因此 χ ≤ k+1 ，得k ≥ χ - 1 ，故D中有长为χ - 1 的有向路。 #

与图论相关的算法

if map[q^.v].visited=false then dfs(q^.v); q:=q^.nextarc; end; end;
广度优先搜索
procedure bfs(i:integer); var p:arcptr;
closed,open:integer; q:array[1..maxn] of integer; begin 访问并处理顶点i; map[i].visited:=true; 顶点i进入队列q; closed:=0; open:=1; repeat
编号都不超过k的路径。递推公式：
t(k)[i,j]= t(k-1)[i,j] or (t(k-1)[i,k] and t(k-1)[k,j])
Johnson算法
Johnson算法常用于求顶点个数较多的稀疏图的每对点间最短路问题。
感兴趣的同学请参阅《国际信息学奥林匹克竞赛指导——实用算法的分析与程序设计》
inc(closed); v:=q[closed]; p:=map[v].firstarc; while p<>nil do begin
if map[p^.v].visited=false then begin 访问并处理顶点q^.v; map[q^.v].visited=true; inc(open); q[open]:=q^.v; end;
q:=q^.nextarc; end; until closed=open; end;
计算连通分支数
count:=0; for i:=1 to n do
map[i].visited:=false; for i:=1 to n do
if map[i].visited=false do begin inc(count); dfs(i); end;

总结-图论

生成树
设 T 为无向连通图 G 中一棵生成树，e 为 T 的任意一条弦，则 T ∪e 中含 G 中只含一条弦其余边均为树枝的圈，而且不同的弦对应的圈也不同。
设 T 是连通图 G 的一棵生成树，e 为 T 的树枝，则G 中存在只含树枝 e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同。
r 叉完全正则树——树叶的层数均为树高的 r 叉正则树
r 叉完全正则有序树——r 叉完全正则树是有序的的
平面图
G 是可平面图或平面图——如果能将无向图 G 画在平面上，使得除顶点处外无边相交。
G 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。非平面图——无平面嵌入的图。
K5 和 K3,3 都不是平面图。
平面图
(1)设 T 为根树，若将 T 中层数相同的顶点都标定次序，
则称 T 为有序树。 (2)分类：根据根树 T 中每个分支点儿子数以及是否有序 r 叉树——每个分支点至多有 r 个儿子
r 叉有序树——r 叉树是有序的
r 叉正则树——每个分支点恰有 r 个儿子 r 叉正则有序树——r 叉正则树是有序的
T 是 n (n≥2) 阶有向树， (1) T 为根树— T 中有一个顶点入度为 0，其余顶点的入度均为 1
(2) 树根——入度为 0 的顶点
(3) 树叶——入度为 1，出度为 0 的顶点 (4) 内点——入度为 1，出度不为 0 的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 根树——平凡树(规定)
d
i 1
n
i
0( mod 2)
图的基本概念
图同构、子图、生成子图、导出子图等。

图论：有向图和无向图，有环和无环

图论：有向图和⽆向图，有环和⽆环
有向⽆环图：为什么不能有环，有环会导致死循环。

检查⼀个有向图是否存在环要⽐⽆向图复杂。

(有向图为什么⽐⽆向图检查环复杂呢？)
现实中管⽹会存在环吗？管⽹是有⽅向的，理论上也是⽆环的。

arcgis有向⽆环图最短路径。

有向⽆环图和⼆叉树的关系：如何确定⽗节点和⼦节点[没有⽗节点的就是⽗节点，没有⼦节点的就是叶⼦节点] 有向⽆环图并不⼀定能转化成树【那能不能把有向⽆环图劈开成多棵树】
⼀个⽆环的有向图称做有向⽆环图（Directed Acyclic Graph）。

简称DAG 图。

DAG 图是⼀类较有向树更⼀般的特殊有向图，如图给出了有向树、DAG 图和有向图的例⼦。

虽然DAG图是更⼀般的有向图，但是依然可以使⽤树的判断公式来判断复杂度。

判断是否有环：
1. 起点编码和终点编码是否相等
从OBJECTID为1的开始遍历：下⼀个点是否与OBJECTID为1的相等。

如果相等，则回到起点，为环。

>>性质：有向⽆环图的⽣成树个数等于⼊度⾮零的节点的⼊度积。

有向⽆环图⽣成树：
（百度百科上不是说有向⽆环图不⼀定能转换成树吗？严格意义上，树的叶⼦节点只有⼀个⽗节点）
DAG(有向⽆环图）能否转化为树？：
如果说⼀个叶⼦节点有两个⽗节点，会怎么样
有向⽆环图不⼀定能只⽣成⼀棵树，但是可以⽣成多棵树。

但是这样就破坏了什么信息呢？。

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点v的出度与入度之和称为点v的度，记为d(v)。
d (v4 ) 2 d (v4 ) 2 d (v4 ) 4
v1
e4 v4
e7 e6
e5
v2 e1
e2
v3
有向图D
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1 一个简单图有多少个定向图？答：因为每条边有2种定向方式，所以共有2 m(G)种定向。例2 求证：G存在一个定向图D，使得对 v V (D) ，有
例如：
v1 e4
e7 e6
v2
v4
e5
e3
e1
e2
v3
有向图D
e1 v3, v2
v3与v2分别是e1 的起点与终点。定义2 在一个有向图D中，具有相同起点和终点的边称为平行边。两点间平行边的条数称为该两点间的重数。
例如，在上图中，e6与e7是平行边。
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
如果e是D的一条边，而u与v是使得фD(u,v)=e的顶点，那么称e是由u连接到v，记为e=<u, v>。同时，称u为e的弧尾(起点), v为e的弧头(终点)。
注：有向图可以简单地理解为“边有方向的图”。
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
d (v) d (v) 1
证明：不失一般性，设G是连通图。G中奇度顶点个数必然为偶数个，将偶数个奇数度顶点配对，然后在每一对配对顶点间连一条边得到欧拉图G1。在G1中用Fluery算法求出G 的一欧拉环游C,然后顺次地在C上标上方向，由此得到C的定向图C1。
在C1中，去掉添加的边后，得到G的定向图D.显然：
3) 若D的中任意两点是双向连通的，称D是强连通图；
D1
D2
D3
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
在上面三图中，D1是强连通的，D2是单向连通的，而D3 仅为弱连通图。
关于强连通图，我们有如下结论：定理1：有向图D=(V,E)是强连通的，当且仅当D中存在包含D中所有顶点的回路。
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义3 在一个有向图D中，如果没有有向环和平行边，则称该图为简单有向图。
v1 e4
e7 e6
v2
v4
e5
e3
e1
e2
v3
非简单有向图D
v1 e4 v4
e2
e6
v2
e5 e1
v3
简单有向图D
定义4 设D是有向图，去掉D中边的方向后得到的无向图G，称为D的基础图。又若G是无向图，给G的每条边加上方向后得到的有向图D称为G的一个定向图。
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
应用数学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容有向图
(一)、有向图的概念与性质 (二)、有向图的连通性 (三)、图的定向问题 (四)、有向路与有向圈
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义5 设D是有向图，v是D中顶点。以v为始点的边的条数称为点v的出度，以v为端点的一个自环算1度。点v的出度记为d+(v);以v为终点的边的条数称为点v的入度，以v为端点的一个自环算1度。点v的入度记为d-(v);
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
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0.6 0.4 x 0.2
对 v V (D) ，有
d (v) d (v) 1
2、性质
定理1 设D=(V, E)是有向图，则：
d (v) d (v) m(D)
vV (D)
vV (D)
证明：由出度与入度的定义立即可得上面等式。
v2
v1
v2
e1
v1
e2
e4
e3
v3 D1
v4
v3
e5
v4
D2
0 1 0 0
A(
D1
)
0 0
2 0
1 0
2
0
0 0 1 0
1 0 0 0 0
M
(
D2
)
1 0
1 1
1 1
1 0
0
1
0 0 0 1 1
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0.5 n 0
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1 2 1.5 t1
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3) 若D中存在一条(u，v)路和一条(v, u)路，则称u与v是双向连通的或强连通的。
定义8 设D=(V, E)是有向图。 1) 若D的基础图是连通的，称D是弱连通图； 2) 若D的中任意两点是单向连通的，称D是单向连通图；
(二)、有向图的连通性
1、相关概念
(1) 有向途径(闭途径)、迹(闭迹)和路(圈) 上面概念与无向图中相关概念类似。
(2) 有向图中顶点间的连通性
定义7 设D=(V, E)是有向图，u与v是D中两个顶点。
1) 若D中存在一条(u，v)路，则称u可达v,记为u→v。规定u →u。
2) 若D中存在一条(u，v)路或(v, u)路，则称u与v是单向连通的。
3、有向图的矩阵表示
8Leabharlann 10.5 n 00.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义6 设D=(V,E)是有向图，其中V=｛v1,v2,…,vn｝
E=｛e1,e2,…,em｝
(1) 称A(D)=(aij) n×n是D的邻接矩阵，其中aij是vi为始点， vj为终点的边的条数，1≦i≦n,1≦j≦n。
(2) 若D无环。称矩阵M=(mij)n×m是D的关联矩阵，其中
1,
vi是e
的始点，
j
mij -1，vi是边ej的终点，(1 i n,1 j m),
0, 其它.
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0.5
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例1 写出下面有向图D1的邻接阵和D2的关联阵。
证明：“必要性”
设V(D)=｛v1,v2,…,vn｝。由于D是强连通图，所以，对任意两点vi与vj, 都存在(vi, vj)路，同时也存在(vj ,vi)路。所以存在如下闭途径：v1→v2→…→vn→v1。这是一条包含D的所有顶点的回路。
2
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0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、有向图的概念与性质
1、概念
定义1 一个有向图D是指一个三元组(V(D) , E(D), фD)。其中，V(D)是非空的顶点集合，E(D)是不与V(D)相交的边集合，而фD是关联函数，它使D的每条边对应D的有序顶点对(不必相异)。