安徽省滁州市全椒县襄河镇2016_2017学年高二数学下学期期中试题理

安徽省滁州市全椒县襄河镇2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、在复平面上，复数5(2i)i z =-+的对应点所在象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知集合A ＝{x|y ＝1－x 2，x ∈Z}，B ＝{y|y ＝x 2＋1，x ∈A}，则A∩B 为( ) A ．∅ B ．{1} C ．[0，＋∞)D ．{(0,1)}3、已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）A. （4π，2π）∪（π，45π） B.（2π，43π）∪（π，45π）C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π） 4、已知向量(1,1)m λ=+ ，(2,2)n λ=+ ，若()()m n m n +⊥-，则λ的值为（ ）.A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-5、91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是（）A ． -84B ．84C ．-36D ．366、某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（） A ．2 B ．92C ．32D ．3 7、从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.458、在∆ABC 中,tanA 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A.钝角三角形 B ．锐角三角形C.等腰直角三角形 D ．以上都不对9、偶函数f （x ）满足(1)(1)f x f x +=-，且在x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，则关于x 的方程f （x ）=x⎪⎭⎫⎝⎛101在10[0,]3上根的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个10、设x,y 满足约束条件32000,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2,则11a b+的最小值为( )A ．2B ．83C ．256D ．411、对于函数y ＝1＋3x －x 3来说，有 ( )．A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值为－2，极大值2D ．极小值为－1，极大值312、设F 是抛物线21:2(0)c y p x p =>的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:1(0,0)x y c a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡指定位置上． 13、1-1(2+)x x e dx ⎰＝ .14、用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a，a ≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是 .15、执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为2，则输出的P 值是________．16、若函数f(x)＝2x 2－lnx 在区间(k －1，k ＋1)内有定义且不是单调函数，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)（Ⅰ）将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.写出C 的参数方程；（Ⅱ）极坐标系下，求直线ρcos(θ－π4)＝2与圆ρ＝2的公共点个数。

18．(本小题12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝n 2＋n. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证T n <1.19．（本小题12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。

在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15. (Ⅰ)求甲获第一名且丙获第二名的概率；(Ⅱ)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 20．（本小题12分）如图,四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,且1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点,⊥1AA 平面ABCD .1A 1B 1C 1D(Ⅰ)证明:平面⊥AE A 1平面DE A 1;(Ⅱ)若E A DE 1=,试求二面角1--C A D E 的余弦值. 21．(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程以及点P 坐标；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.22. （本小题12分） 已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.高二年级数学理科试卷答案13.14. 1＋a 15.4 16 1≤k ＜32 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为 (t 为参数)． 1e e-cos x t=⎧⎨（Ⅱ）将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x ＋y ＝2，x 2＋y 2＝4，由于圆心到直线的距离d ＝2<2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个． 18（本小题满分12分）解：(Ⅰ)∵S n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n(n ∈N *)．(Ⅱ)证明：∵S n ＝n 2＋n ＝n(n ＋1)， ∴1S n ＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.∵n ∈N *，∴1n ＋1>0，即T n <1.19. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，所以甲获第一的概率为614132=⨯ 丙获第二，则丙胜乙，其概率为54511=-， 所以甲获第一名且丙获第二名的概率为1525461=⨯(Ⅱ)ξ可能取的值为0,3,6.41)411)(321()0(=--==ξP 127)321(41)411(32)3(=-+-==ξP614132)6(=⨯==ξP所以ξ的分布列为E ξ=46612340=⨯+⨯+⨯20. （本小题满分12分） 解(Ⅰ)依题意,CD AB BC EC BE ====21所以ABE ∆是正三角形,060=∠AEB 又00030)120180(21=-⨯=∠CED 所以090=∠AED ,AE DE ⊥ 因为⊥1AA 平面ABCD ,⊂DE 平面ABCD ,所以DE AA ⊥1 因为A AE AA = 1,所以⊥DE 平面AE A 1因为⊂DE 平面DE A 1,所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 (Ⅱ)因为3=DE =2211AE A A E A +=, 所以21=A A以A 为原点,过A 且垂直于BC 的直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立空间直角坐标系设平面1CA D 的法向量1(,,)n x y z =1=,02CD ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,)2 , 2 , 0(1-=D A 则11100A D n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1(1n =同理可得平面DE A 1的一个法向量为2n =设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ,且ϕ为锐角则121212cos cos ,n n n n n n ϕ⋅==5所以二面角1--C A D E21.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=由2222240,1,43x y x y c c +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切, 222221244(123)0,=13(1,),1243c c x y P ∆=-⨯-=+=解得所以点椭圆方程()222222(4)(4),+k 3264120143m m y k x y k x y x k x k x y =-=-⎧⎪-+-=⎨+=⎪⎩易知直线的斜率存在，可设直线的方程为由，消去整理得（34）Ⅱ()222222112212122211=4(34)64120,22326412+=,3434k k k k k k M x y N x y x x x x k k ∆-+-><<-=++由题意知（32）解得-设（,）（,）,则 则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4k =±.经检验成立. 所以直线m的方程为4)4y x =±-. 22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x a f x x x x-+=-=.当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. 当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. 当0a >时，（1） 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.（21>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ .。