北师大版 2010届高三数学步步高(理)总复习不等式

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【步步高】届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案任意角的三角函数

第四章三角函数与三角恒等变换学案17 任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.课前准备区回扣载材夯实基础_______________________________________________【自主梳理】1. 任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置0B所成的图形•旋转开始时的射线OA叫做角的____________ ，射线的端点0叫做角的__________ ，旋转终止位置的射线0B叫做角的__________ ，按_______ 时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______ 时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________ 角.(1) 象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是___________ 角.(2) 象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为________________________ ；终边在y轴上的角表示为________________________________________________ ;终边落在坐标轴上的角可表示为_________________________________ .(3) 终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合_________________________ 或____________________________ ，前者a用角度制表示，后者a用弧度制表示.(4) 弧度制把长度等于_________ 长的弧所对的 ____________ 叫1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_________ ，它的单位符号是 ________ ，读作_________ ，通常略去不写.(5) 度与弧度的换算关系360 °=______ r ad; 180 °=___ rad; 1°= _________ rad;1rad = ________________ ~ 57.30 °(6) 弧长公式与扇形面积公式1 = ________ ，即弧长等于_______________________________________________________ .S 扇= ________ = _____________ .2•三角函数的定义任意角的三角函数定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么① ___ 叫做a的正弦，记作sin a,即sin a= y；②_______ 叫做a的余弦，记作cos a,即cos a=x;③_________ 叫做a的正切，记作tan a,即tan a=0).x(1) 三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【自我检测】1 a= f” 是“ COS2 a=的（）6 2A .充分而不必要条件B •必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. （2018 济宁模拟）点 P （tan2009 / cos2009 ）位于（） A .第一象限B .第二象限 C .第三象限D .第四象限3. （2018 山东青岛高三教案质量检测）已知si n a <0且tano>0,则角a 是（）A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角（2 n 2冗\ 4. 已知角a 的终边上一点的坐标为 Sin — , cos—，则角a 的最小正值为（）课堂潘动惬究砒考点硏析热点探究点一角的概念【例1】（1）如果角a 是第三象限角，那么一 a, n — a, n+ a 角的终边落在第几象限;.J +y+ 0XJy)+ -4-OX 0+Xsin a cosa（2）三角函数线下图中有向线段MP , OM , AT 分别表示tana___________________ 和A. 5 n IB.47 47⑵写出终边落在直线y= 1 3x上的角的集合；⑶若0= 168 °+ k 360 °（k€ Z），求在［0 °, 360 °）内终边与f角的终边相同的角.变式迁移1若a是第二象限的角，试分别确定 2 a,扌的终边所在位置.探究点二弧长与扇形面积［例2（2018金华模拟）已知一个扇形的圆心角是a，0<a<2n,其所在圆的半径是R.（1）若a= 60 ° R= 10cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；⑵若扇形的周长是一定值C（C>0），当a为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2 （1）已知扇形的周长为10,面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三三角函数的定义【例3】已知角a的终边在直线3x+ 4y= 0上，求sin a，cos a，tan a的值.变式迁移3已知角a的终边经过点P（- 4a,3a）（a* 0），求sin a，cos a，tan a的值.1. 角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯.象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础.2. 三角函数都是以角为自变量（用弧度表示），以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法.（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1. （2018宣城模拟）点P从（1,0）出发，沿单位圆X2+ y2= 1逆时针方向运动f n弧长到达Q，则Q的坐标为（）1 J3 爲1A . （-2，2）B .（-T，-2）1 12. 若0<x< n,则使sinx>2和cosx<2同时成立的x的取值范围是（）n n n 5A.3<X<2B.3<X<6nn 5 n 2c.6<x<6 Q3<x<3n3. 已知a为第三象限的角，则扌所在的象限是（）A.第一或第二象限B .第二或第三象限C.第一或第三象限 D .第二或第四象限4. 若1弧度的圆心角所对弦长等于2,则这个圆心角所对的弧长等于（）1 nA. sin7B.72 61 1C. D. 2sin.1 2 sin 25. 已知卜^,扌且sin 0+ cos0= a,其中a € （0,1），则关于tan B的值，以下四个答案中，可能正确的是（）亠1A . —3B. 3 或31 、1C . —3D. —3 或—3题号12345答案二、填空题（每、题4分，共12分）6 .已知点P（sin a—cos a, tan %）在第一象限，且 a € [0,2 n]则a的取值范围是（3n 3 nsin —, cos ■—落在角0的终边上，且值为_________ .&阅读下列命题：①若点P（a,2a）（a^ 0）为角a终边上一点，贝U si n a= 专;5-才的角有且只有一个；V5sin a=—5（0为象限角），则0在第一象限.___ .（将正确命题的序号填在横线上）三、解答题（共38分）9. （12分）已知扇形OAB的圆心角a为120 °半径长为6,（1）求AB的弧长；⑵求弓形OAB的面积.[0,2 n，则0的其中正确命题为1②同时满足sin a= 2，cos a=③设tan a= 2且n<a<3n，贝U④设cos（sin 0） tan（cos 0）>010. （12分）在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围，并由此写出角a的集合:(1)sin a i(2)COS a<— 211. (14分)(2018舟山月考)已知角a 终边经过点 P(x , — .2)(X M 0),且cos o=~^x.求1sin a+ 的值.tan a答案自主梳理1•始边顶点终边逆顺零(1)第几象限-1 k j(2){ a|a= k n, k € Z } *a| a= k 计 §， k € Z 广 a| a=才，k € Z 「(3){ 3 3= a + k 360° , k €的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积弓厲曲勺•①y ②X ③丫 (2) a 的正弦线a 的余弦线 a 的2 2 X正切线自我检测1. A2.D3.C4.D 课堂活动区【例1】解题导引 ⑴一般地，角a 与—a 终边关于X 轴对称；角a 与n — a 终边关于y 轴对称；角a 与n+ a 终边关于原点对称.⑵利用终边相同的角的集合S ={ 33= 2k n+ a, k 題}判断一个角3所在的象限时，只需把这个角写成［0,2%)范围内的一角a 与2 n 的整数倍，然后判断角a 的象限.(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k 赋值来求得所需角.3 n解(1) n+ 2k n<o <2 + 2ku(k €), 3 n-•—2 — 2k nJ a < — n — 2k ^(k ),n即 2+ 2k n< a <n+ 2k n (k €).①• —a 角终边在第二象限.3 n又由①各边都加上 n,得~2 + 2k n < — a <2 n+ 2k n (k €).•n— a 是第四象限角.同理可知，n+ a 是第一象限角.⑵在(0, n 内终边在直线 y = -3X 上的角是n ， •终边在直线y = 3x 上的角的集合为 J n1Z }{ 3 3= a+ 2k n k € Z } (4)半径圆心角弧度制rad 弧度 (5)2冗命巴0 ° (6)| a| •-弧所对a a= 3+ k n k€ •(3) •••0= 168 °+ k 360 °k€),= 56°+ k -120° (k 題).3••0°< 56°+ k 120°<360°,, 0••k = 0,1,2 时，§q o ° 360° .故在［0 ° 360°内终边与3角的终边相同的角是56° 176°296° 变式迁移1解Ta是第二象限的角，• 360°+ 90° a<k 360°+ 180°(k 題).(1) '.2k 360 °+ 180 °2 a<2k 360 °+ 360 °(k^Z),••2 a的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上.(2) --k 180 °+ 45 °2<k 180 °+ 90 ° (k^Z),当k = 2n (n®)时，an 360 °+ 45 °<^< n 360 °+ 90 °当k = 2n + 1 (n^Z)时，an 360 °+ 225 °<^< n 360 °+ 270 °a「2■是第一或第三象限的角.a•3的终边在第一或第三象限.【例2】解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起.确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解.解(1)设扇形的弧长为I，该弧所在弓形的面积为S,如图所示,n 当a= 60°= 3,R= 10cm 时，可知I = aR= fm.,. I I 2 刃而S= S 扇一S ZOAB= ?IR —?R sin§⑵已知2R+ l = C,即卩2R+ aR= C,1 2 1 1S 扇=aR = aR R= 4 aR 2R'；R+2RZ = 1 f C x 2 = C 2 -^― ! = 4迈丿=活当且仅当 C 2.变式迁移2解设扇形半径为 R ,圆心角为 0所对的弧长为值就相应确定了.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解.解•••角a 的终边在直线3x + 4y = 0上，•••在角a 的终边上任取一点 P(4t ,— 3t) (t 丰0), 贝U x = 4t , y =— 3t , r = 'x 2+ y 2= ‘4t 2+ — 3t 2=5|t|,当 t>0 时,r = 5t ,y Sin a= r = 5t =x 4t 4 COS a= r =5t =5， tan = y == — 3； tan a= x = 4t = — 4；当 t<0 时，r = — 5t ,y —3sin a= r = — 5t = 5,x 4tCOS a= _= =—2 0R= 4,(1)依题意，得」R+ 2R = 10,：2 0— 17 0+ 8 =0.「.0= 8 或 1.厶亠 1••8>2n,舍去，• 0= 2.⑵扇形的周长为 40,即0+ 2R = 40,1 1 7 1 八 * 1 0R+ 2R S = [R =2 0R= 4 0R 2R W 4 =100.2当且仅当0R= 2R ,即R = 10, 0= 2时扇形面积取得最大值，【例3】解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，最大值为 100.当终边确定时三角函数aR= 2R ,即a= 2时，等号成立，即当 a 为2弧度时，该扇形有最大面积 l.35,4 5,r—5t伽=y=—=— 3 tan a= x= 4t =—4.3 4 3综上可知，t>0 时，sin a=—;, cos a= , tan a=—二;5 5 4z 3 4 3t<0 时，sin a= 5, COS a=—5, tan a= —4.变式迁移 3 解r =—4a 2+ 3a 2= 5RI.若a>0,则r = 5a , a 角在第二象限,y 3a 3 sin a=_=二=匚， r 5a 5—4a 4~5F = — 5，tan a= xy_ 3a =3 = —4.若 a<0, 则 r = — 5a , a 角在第四象限， sin 心 y3a —5a 35, x COS a= 一 r —4a 4 —5^ = 5, 3 —4a *课后练习区 1. A2.B3.D4.C5.C5 n冗，丁tan a= y3a6.解读由已知得sin a>cos a,tan a >0,n n • '4 + 2k n<<2 + 2k n 或 n+ 5 n 2k n<a <"4 +2k n, k^Z.n n 5 n••0< a< 2 n •••当 k = 0 时，；< a <o 或 n<<丁. 4247 7・4n解读由三角函数的定义,cos ‘y4tan 0= ==— 1.x 3 nsin ~43 n 3 n . 7 n 又-.sin[>0, cos_<0,「.P 在第四象限，• 0= _.&③ 解读①中，当a 在第三象限时， sin a=—今5，故①错.5 7n②中，同时满足 sin a= 2 , COs a=于的角为 a= 2k n+ - (k €Z)，不只有错•③正确•④0可能在第一象限或第四象限，故④错•综上选③ ” o 2n 9.解⑴-a= 120 = 3 , r = 6, • AB 的弧长为 I =ar 严>< 6 = 4n •: ................................................................... 1 1 (2) '-S 扇形 OAB =尹=4 n X 6=12 n, ............................................2' ，故②(4分) …(7S ZABO =扩 sin^62X 宁=9 3 , ........................................(10xCOS a=r11 / 9•'S 弓形 OAB = S 扇形 OAB — S ^ABO = 分） 10.解（1）作直线y =~2^交单位圆于A 、n 2n的集合为 1 a|2k n+ aW 2k n+ —, k ».1作直线x =— 2交单位圆于C 、D 两点，连结 OC 、OD ，贝y OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角a 终边的范围•故满足条件的角a 的集合为2 n 4 n* o|2k n+§三 aW 2k n+-3, k 題•- 11.解-.P （x , — ,2）（x 工 0）, •••点P 到原点的距离 r = x 2+ 2.又亚又 COS a= — X ,6 x V 3 I —「COS a= ------ = tT X.伙工 0 ,「X =± 10 ,V X 2^ 6 ， •丫 = 2"；.'3 ................................................ 当x = 10时，P 点坐标为（.10, — ,2）, 由三角函数的定义， 6有 Sin a=——, （6分）1 • sin a+ =— tan a当 x =— .10时,盘一5, - 5 =-6 .' 5 + ■, 6;（10 分）同样可求得sin a+1 tan a（14 分）（12（6分）（12分）（2则0A 与0B 围成的区域即为角。

【步步高】高考数学总复习第七章不等式、推理与证明章末检测理北师大版

第七章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2011·山东)设集合M ＝{x|x 2＋x －6<0}，N ＝{x|1≤x ≤3}，则M ∩N 等于( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]2．(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是( )A ．若a>b ，c>d ，则ac>bdB ．若|a|>b ，则a 2>b 2C ．若a>b ，则a 2>b 2D ．若a>|b|，则a 2>b 23．若实数a 、b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3D ．2434．不等式y ≥|x|表示的平面区域是( )5．(2011·北京)如果12log x<12log y<0，那么( )A ．y<x<1B ．x<y<1C ．1<x<yD ．1<y<x6．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9B .157C ．1D .7157．点P(a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为( )A ．3B ．7C ．－3D ．－78．(2011·黄冈月考)设a n ＝sin 12＋sin 222＋…＋sin n 2n ，则对任意正整数m ，n (m>n)都成立的是( )A ．|a n －a m |<m·n 2B ．|a n －a m |>m －n 2C ．|a n －a m |<12nD ．|a n －a m |>12n9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a 、b.设物体的真实重量为G ，则( )A .a ＋b 2＝GB .a ＋b 2≤GC .a ＋b 2>G D .ab<G 10．设M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫0，18B .⎣⎡⎭⎫18，1C ．[1,8)D ．[8，＋∞) 11．(2011·许昌月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)12．若实数x 、y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2 B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a 、b 的值分别为________．14．(2011·陕西)如图，点(x ，y)在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．15．(2011·汤阴模拟)已知正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为____________，a ＋b 的取值范围是____________．16．(2011·山东)设函数f(x)＝x x ＋2(x>0)，观察： f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2， f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4， f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 7x ＋8， f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)解关于x 的不等式31x x a-+≤1a(其中a >0且a ≠1)．18．(12分)(2011·惠州月考)函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)；(2)求f (x )；(3)当0<x <2时不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值范围．19．(12分)(2011·汕头月考)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．(1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？20．(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？21．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22.因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12. (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述问题的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明．22．(12分)(2009·山东)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．第七章章末检测1．A [∵x 2＋x －6<0，∴－3<x<2，∴M ＝{x|－3<x<2}．又∵N ＝{x|1≤x ≤3}，∴M ∩N ＝{x|1≤x<2}．]2．D3．B [由基本不等式，得3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以3a ＋3b 的最小值是6.]4．A 5．D [不等式转化为⇒1<y<x.]6．A [画出可行域如图：令z ＝x ＋y ，可变为y ＝－x ＋z ，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A 时z最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A(4,5)， ∴z max ＝4＋5＝9.] 7．C [由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.] 8．C [|a n －a m |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin (n＋1)2n ＋1＋sin (n ＋2)2n ＋2＋…＋sin m 2m ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin (n＋1)2n ＋1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin (n ＋2)2n ＋2＋…＋⎪⎪⎪⎪sin m 2m <12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12m ＝12n ＋1－12m ＋11－12＝12n －12m <12n .] 9．C [设左、右臂长分别为l 1、l 2，则l 1·G ＝l 2·a ，①l 2·G ＝l 1·b.②①×②，得G 2＝ab ，∴G ＝ab.∵l 1≠l 2，故a ≠b ，a ＋b 2>ab ＝G .] 10．D [∵M ＝(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴M ≥8.]11．A [当x ＝0时，对任意实数a ，不等式都成立；当x ≠0时，a ≥－x 2＋1|x|＝－⎝⎛⎭⎫|x|＋1|x|＝f(x)，问题等价于a ≥f(x)max ，∵f(x)max ＝－2，故a ≥－2.综上可知，a 的取值范围是[－2，＋∞)．]12．B [x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·1＝(x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝1＋2y 2x 2＋x 2y 2＋2≥3＋22y 2x 2·x 2y 2＝3＋22，当且仅当2y 2x 2＝x 2y2时等号成立．] 13．－4,1解析由题意知，－1、4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴a＝－4，b ＝1.14．1解析令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.15．[9，＋∞) [6，＋∞)解析 ∵a ＋b ≥2ab ，∴ab －3≥2ab.解得，ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，a ＋b ＝ab －3≥6.16.x (2n －1)x ＋2n解析依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝x (2n －1)x ＋2n. 17．解 ①当a>1时，有x －3x＋1≤－1， ∴x －3x ＋2≤0，∴x 2＋2x －3x≤0. ∴(x ＋3)(x －1)x≤0，∴x ≤－3或0<x ≤1.(6分) ②当0<a<1时，有x －3x＋1≥－1， ∴x 2＋2x －3x≥0.∴－3≤x<0或x ≥1.(8分) 综上，当a>1时，x ∈(－∞，－3]∪(0,1]；当0<a<1时，x ∈[－3,0)∪[1，＋∞)．(10分)18．解 (1)令x ＝1，y ＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)×1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(3分)(2)令y ＝0，f(x ＋0)－f(0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ，∴f(x)＝x 2＋x －2.(6分)(3)f(x)>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5，ax<x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a<x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x .(8分) 当x ∈(0,2)时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取等号，由3∈(0,2)，得(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3. ∴a<1＋2 3.(12分)19．(1)证明方法一 (反证法)若{S n }是等比数列．则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q)2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， (3分)∵a 1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q ＋q 2，∴q ＝0.这与q ≠0矛盾．∴{S n }不是等比数列．(6分)方法二 ∵S n ＋1＝a 1＋qS n ，S n ＋2＝a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2－S 2n ＋1＝S n (a 1＋qS n ＋1)－(a 1＋qS n )S n ＋1＝a 1(S n －S n ＋1)＝－a 1a n ＋1≠0.故S n S n ＋2≠S 2n ＋1，∴数列{S n }不是等比数列．(6分)(2)解当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3.∴2a 1(1＋q)＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)(10分)由于a 1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q ＋q 2，∴q ＝q 2，∵q ≠1，∴q ＝0.这与q ≠0矛盾，故当q ≠1时，{S n }不是等差数列．(12分)20．解设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.(5分)上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．(9分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z max ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．(12分)21．(1)解若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(4分) (2)证明构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n .(8分)因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而证得a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n .(12分)22．(1)解由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，(3分)由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，所以b (b －1)b ＋r＝b ，所以r ＝－1.(5分) (2)证明由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1. (6分)①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2. 左式>右式，所以结论成立，(7分)②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由均值不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．(11分)由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．(12分)。

新步步高高考数学北师大理一轮复习第章不等式 1 不等关系与不等式课件

A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知x∈R，m＝(x＋1)(x2＋2x ＋1)，n＝(x＋12 )·(x2＋x＋1)，则m，n 的大小关系为( )
A.m≥n
B.m>n
C.m≤n
D.m<n
解析答案
(2)设a>0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小关系是__P_>_Q____. 解析由题意可知a>1. ∴(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，∴a3－1>a2－1， ∴loga(a3－1)>loga(a2－1)，即P>Q.
11.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( ) A.若 a>b，则 ac2>bc2 B.若ac>bc，则 a>b C.若 a3>b3 且 ab<0，则1a>1b D.若 a2>b2 且 ab>0，则1a<1b
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( A )
跟踪训练2
若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②ad＋bc<0；③a－c>b－d； ④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是( )
解析答案
题型三不等式性质的应用
例 3 已知 a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③ a－b> a－ b；④a3＋b3>2a2b.

北师大版 2010届高三数学步步高(理)总复习解析几何

第九编解析几何 §9.1直线的倾斜角与斜率1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则（）A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C .0°＜α≤135°D .0°＜α＜135°答案 D2.（2008²全国Ⅰ文，4）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A .30°B .45°C .60°D .120°答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（）A .1B .4C .1或3D .1或4答案 A4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是（）A .［0，+∞）B .（-∞，+∞）C .［-1，+∞）D .（-∞,-1）∪［0，+∞）答案 D5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -32例1 若α∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是( )基础自测A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡26ππ，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，65C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡6,0πD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,2ππ 答案 B例2（12分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行；（2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解（1）方法一当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;2分当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,5分综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分方法二由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1³2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1³6≠0, 2分∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a4分⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,5分故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分（2）方法一当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分当a ≠1时，l 1:y =-2ax -3,l 2:y =x a-11-(a +1), 10分由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ²a-11=-1⇒a =32.12分方法二由A 1A 2+B 1B 2=0，得a +2(a -1)=0⇒a =32. 12分例3 已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为34.1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是（）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,22,6ππππB .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,0πD .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 答案 B2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58.（1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m mm 584355243，m =-7.∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +²⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为（）A.21 B.33 C.23 D.3答案 D一、选择题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是（）A .[)π,0B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ43,4C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 答案 D2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则（）A .α一定是直线l 的倾斜角B .α一定不是直线l 的倾斜角C .α不一定是直线l 的倾斜角D .180°-α一定是直线l 的倾斜角答案 C3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（）A .[)π,0B .⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0πD .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,22,4 答案 B4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为（）A .21 B .-21 C .-2D .2答案 C5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是（）A .31-B .-3C .31D .3答案 A 二、填空题6.（2008²浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+27.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案（-∞，-3］∪［1，+∞）8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解方法一直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二过P 、Q 两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34, 代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m. 由已知-1≤-37+m m≤2, 解得-32≤m ≤21. 10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得：（1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解（1）由已知1³3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当1²（m -2）+m ²3=0，即m =21时，l 1⊥l 2. (3)当21-m =3m ≠m 26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m26，即m =3时，l 1与l 2重合.11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.解设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0，∴k AB ²k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3.此时AB 与CD 不平行. 故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y. 由于AD ⊥AB ，∴xy 3-²3=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y=3. 解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解（1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33，∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.§9.2 直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式1.下列四个命题中真命题是（）A .经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示B .经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示C .不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D .经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示答案 B2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（）A .2x -y -1=0B .x +y -5=0C .2x +y -7=0D .2y -x -4=0答案 B3.（2008²全国Ⅱ文，3）原点到直线x +2y -5=0的距离为（）A .1B .3C .2D .5答案 D4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为( )A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2 y -5=0答案 A5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .基础自测答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0例1 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解（1）方法一设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+aya x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+aa ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43. 又直线经过点A （-1，-3），因此所求直线方程为y +3=-43(x +1), 即3x +4y +15=0.例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：（1）△AOB 面积最小时l 的方程；（2）|PA |²|PB |最小时l 的方程. 解方法一设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+ba . （1）∵2ba 12⋅≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4. 当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0.（2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |²|PB |=22)01()2(-+-a ²22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-+-b a≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |²|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.方法二设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫⎝⎛-k 12（1-2k ）² ²=21³⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. （2）|PA |²|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k≥4,当且仅当24k =4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解方法一若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25，解得k =0,即所求直线方程为y =1. 10分综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.12分方法二设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,²两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-52121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x =3或y =1.12分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解方法一由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⋅--122110000x x y y xx yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2³(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程. 解（1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中，得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ay a x+2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a =-21，此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43. 于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-, tan2α=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x-8),即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8), 即24x -7y -150=0.2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解方法一设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24b a ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1, 即2x +3y -12=0.方法二设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k .∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y -12=0.3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a ,∴521+a =1057,∴21+a =27, ∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611， ∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52³2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x ∴假设成立，P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点'P (x 0,y 0)，由'PP ⊥l 可知,k PP ′=-32=500+x y.而'PP 的中点Q 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x ,Q 点在l 上，∴3²250-x -2²20y+7=0. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则3200-=--xx y y , 又'PP 的中点Q ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在l 上， ∴3³20x x +-2³20y y ++7=0,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x x x y y可得P 点的坐标为 x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中，化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、选择题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N +，b ∈N +，则可作出的l 的条数为（）A .1B .2C .3D .4答案 B2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是（） A .x +3y -5=0 B .x +3y -15=0 C .x -3y +5=0D .x -3y +15=0答案 B3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是（）A .32-B .32 C .-23 D .23 答案 A4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是（）A .x +2y -1=0B .2x +y -1=0C .2x +y -3=0D .x+2y -3=0答案 D5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（）A .x +2y -6=0B .2x +y -6=0C . x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案 B6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是41(0°≤θ≤180°)，那么θ等于（）A .150°B .30°或150°C .30°D .30°或210°答案 B 二、填空题7.设l 1的倾斜角为α，α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转2π-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 . 答案 2x -y +8=08.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 三、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解（1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4，由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6，解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ²b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程；（2）求这条光线从P 到Q 的长度.解（1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=1²（x -1）即x -y =0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+21212121y x.解之得⎩⎨⎧-='-='.2,2y x ∴'Q （-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射方程为 222232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是'QQ 的垂直平分线，因而NQ ='NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+'NQ ='PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程. 解设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0.由⎩⎨⎧=++=+-01022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0），由点P 到两直线l ,l 1的距离相等，则22223113151++-=+--c ,得c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴22133++-a =223151+--，得a =9或-3,∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程. 解方法一设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k k y k k x A A ,由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k k y k k x B B .∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§9.3 圆的方程基础自测1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是（） A .a ＜-2或a ＞32B .-32＜a ＜0 C .-2＜a ＜0D .-2＜a ＜32 答案 D2.圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是（）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,B .⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0C .⎪⎭⎫⎝⎛-,041D .)41,(-∞答案 A3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是（）A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4D .(x +1)2+(y +1)2=4答案 C4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为（）A .(x -2)2+(y +1)2=3 B .(x +2)2+(y -1)2=3 C .(x -2)2+(y +1)2=9D .(x +2)2+(y -1)2=9答案 C5.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆(x +a )2+(y +b )2=r 2(r ＞0)的圆心位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 B例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 ( )A .x 2+y 2-2x -3=0B .x 2+y 2+4x =0 C .x 2+y 2+2x -3=0D .x 2+y 2-4x =0答案 D例2 （14分）已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x =3-2y , 代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0, 得5y 2-20y +12+m =0.4分设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=512m+. 6分∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0. 8分而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径r =25.14分方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k 1=2.∴O 1M 的方程为:y -3=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ,即：y =2x +4.由方程组⎩⎨⎧=-++=03242y x x y .解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为(x +1)2+(y -2)2=r 2. 6分∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.∴2121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+(3-2)2+5=44)6(12m --+.∴m =3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21. 14分方法三设过P 、Q 的圆系方程为x 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0. 由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m -3λ=0，即m =3λ. 3分∴圆的方程可化为x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0 即x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.6分 ∴圆心M ⎪⎭⎫⎝⎛-+-2)3(2,21λλ，7分又圆在PQ 上， ∴-21λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3. ∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25.14分例3 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0. （1）求y -x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解（1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时3202=+-b，解得b =-2±6.所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43，x 2+y 2的最小值是(2-3)2=7-43.1.（2008²山东文，11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A .(x -3)2+(y -37)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .(x -23)2+(y -1)2=1 答案 B2.已知圆C ：(x -1)2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0与2x +y -7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.（2）解从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=222CM r - =2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CMk1,从而k l =-311-=2. ∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5.3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x -2y 的最大值和最小值；（3）求12--x y 的最大值和最小值. 解（1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为d =22431204)2(3++⨯+-⨯=56. ∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为 d +r =56+1=511，最小值为d -r =56-1=51. （2）设t =x -2y ,则直线x -2y -t =0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点.∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k =12--x y ，则直线kx -y -k +2=0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点， ∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k ≤433+, ∴k max =433+，k min =433-.一、选择题1.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为( )A .2B .22C .1D .2答案 D2.两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2+(y -1)2=4的内部，则实数a 的取值范围是( )A .-51＜a ＜1 B .a ＞1或a ＜-51 C .-51≤a ＜1D .a ≥1或a ≤-51 答案 A3.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是( )A .3+2B .3-2C .6D .4答案 A4.圆心在抛物线y 2=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )A .x 2+y 2-x -2y -41=0 B .x 2+y 2+x -2y +1=0 C .x 2+y 2-x -2y +1=0D .x 2+y 2-x -2y +41=0 答案 D5.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长，则ba 11+的最小值是 ( )A .41 B .2 C .4 D .21 答案 C6.从原点O 向圆：x 2+y 2-6x +427=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 ( )A .32πB .πC .23π D .34π 答案 B 二、填空题7.（2008²四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0与圆C ：（x -1）2+（y -1）2=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 28.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 答案（x +2)2+223⎪⎭⎫ ⎝⎛-y =425三、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解（1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：22y x +=22)1()1(-+-y x ，即x +y -1=0.解方程组⎩⎨⎧=++=-+013201y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）.又圆的半径r =|OC |=5,所以所求圆的方程为(x -4)2+(y +3)2=25. （2）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 ①将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎨⎧=---=+-1032024F E D F E D令x =0，由①得y 2+Ey +F =0④由已知|y 1-y 2|=43，其中y 1、y 2是方程④的两根，所以（y 1-y 2）2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F =48⑤解②、③、⑤组成的方程组得D =-2，E =0，F =-12或D =-10，E =-8，F =4，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.10.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解将圆方程化为(x -1)2+(y -1)2=1,其圆心为C （1，1），半径r =1,如图，由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =2³21³|PA |³r =1||2-PC . ∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC |最小.当点P 恰为圆心C 在直线3x +4y +8=0上的正射影时,|PC |最小,由点到直线的距离公式,得 |PC |min =5843++=3, 故四边形PACB 面积的最小值为22.11.已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程;② ③(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). ∵P 点在圆x 2+y 2=4上,∴(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中, |PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连结ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0. 12.已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=25, 其中圆心(a ,b )满足a -b +10=0.又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a )2+(0-b )2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a , 可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a ,故所求圆C 的方程为(x +10)2+y 2=25或(x +5)2+(y -5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d =1110+=52.当r 满足r +5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r +5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切；当r 满足r +5=d ,即r =52-5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.§9.4 直线、圆的位置关系1.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）（）A .在圆上B .在圆外C .在圆内D .以上都有可能答案 B2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是（）A .-3＜a ＜7B .-6＜a ＜4C .-7＜a ＜3D .-21＜a ＜19答案 B3.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为（）A .1B .2C .3D .4答案 B4.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B .),125(+∞C .⎥⎦⎤ ⎝⎛43,21D .)125,0( 答案 A5.(2008²重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0基础自测例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；（2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明配方得：（x -3m ）2+［y -(m -1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0，则圆心到直线l 1的距离为d =10)1(33bm m +--=103b +.∵圆的半径为r =5，∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交；当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +，弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解方法一如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k 反=33+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =33+b (x -b ),即3x -(b +3)y -3b =0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2），半径为1,∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1. ∴k AB =-34或k AB =-43. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法二已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法三设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k b k k ,消去b 得11552=++k k . 即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切；（2）圆C 1与圆C 2内含.解对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2+(y +2)2=9;C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2.(m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切；当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.例4 （12分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；（2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23，圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16，圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4，在Rt △ACD 中，可得CD =2.2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx , 即kx -y +5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k =43. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0. 4分又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6分则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23,∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8分方法二设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5,联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0 ① 2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x ② 4分由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =43，此时直线的方程为3x -4y +20=0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. 6分 ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）,8分则CD ⊥PD ，即CD ²=0， 10分（x +2,y -6）²(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2+y 2+2x -11y +30=0. 12分1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5. （1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解（1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0的距离d =22)1(2-+m =5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜-5.故当m ＞5或m ＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知r 2-d 2=12，即5-52m =1. 得m =±25,∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d =22r ，即225=m ²5, 解得m =±225. 故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2.从圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标.解已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -3)2=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结PC ，CT .由平面几何知， |PT|2=|PC|2-|CT |2=(a -2)2+(b -3)2-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|2=|PO|2，即(a -2)2+(b -3)2-1=a 2+b 2. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT|2=a 2+b 2=91（13a 2-24a +36）. 当a =1312时， |PT|min =3136131224)1312(132+⨯-⨯=13136. |PT|的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312. 3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解方法一设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ，因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3），则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113212, 解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x -y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y )=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程，解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0.4.圆x 2+y 2=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.解（1）当α=43π时，k AB =-1，直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22，从而弦长|AB |=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0，即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y .∴直线l 的方程为y -2=21（x +1），即x -2y+5=0.一、选择题1.（2008²辽宁理，3）圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点的充要条件是（）A .k ∈(-2,2)B .k ∈(-∞,-2)∪(2,+∞)C .k ∈(-3,3)D .k ∈(-∞,-3)∪(3,+∞)答案 C2.（2008²重庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是（）A .相离B .相交C .外切D .内切答案 B3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于（）A .2B .2-2C .2-1D .2+1。

高三数学一轮总复习 72基本不等式课件北师大版

7．已知 x>0，y>0.求证：(1＋x2)(1＋y2)≥4xy.
[证明] ∵x>0，y>0，∴1＋x2≥2x>0(当 x＝1 时取等号)，
1＋y2≥2y>0(当 y＝1 时取等号)， ∴(1＋x2)(1＋y2)≥2x· 2y＝4xy(当 x＝y＝1 时取等号)．
课堂典例讲练
利用基本不等式证明不等式
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
.
1
第七章
不等式
2
第七章
第二节基本不等式
3
高考目标
3
课堂典例讲练
课前自主预习
考纲解读 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
考向预测 1．以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件． 2．考查方式灵活，可出选择题、填空题，也可出解答题． 3．以不等式的证明为载体，与其他知识结合在一起来考查基本不等式，证明不会太难．
当且仅当 x－2＝2，即 x＝4 时成立． ∴x＝4，y＝6 时，xy 取最小值 24.
[点评]
用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数
变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立．
1 a＝b＝2时等号成立)．
方法二
1 1 1 1 1 1＋ 1＋＝1＋＋＋ a b a b ab

【免费下载】步步高届高三数学北师大版通用理总复习章末检测第五章解三角形与平面向量

22．(12 分)(2010·天津一中高三第四次月考)设 A，B，C 为△ABC 的三个内角， m＝(sin B＋sin C,0)，n＝(0，sin A)且|m|2－|n|2＝sin Bsin C.
(1)求角 A 的大小； (2)求 sin B＋sin C 的取值范围．
2．B [由数量积的坐标表示知 a·b＝cos 40°sin 20°＋sin 40°cos 20°
18．(12 分)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0)，B(0,4)，C(3cos α，3sin α)．
（1）若 α∈（- ，0）,且|A→B|＝|B→C|，求角 α 的大小；
（2）若A→C⊥B→C，求2sin12＋α＋tansiαn
2α 的值．
第2页共8页
19．(12 分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
B→D B→E F→C D. －－＝0
2．(2011·金华月考)已知 a＝(cos 40°，sin 40°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，则 a·b 等于A．1BFra bibliotek 23
3.已知△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，若 a·b<0，则△ABC 是
A．钝角三角形
C．锐角三角形
C.2
1
B．直角三角形
3B→D，|A→D|＝1，则A→C·
A→D ＝________.
16.（2011·济南模拟）在△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c， A→B A→C B→A B→C 若 · ＝ · ＝1，那么 c＝________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)(2010·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－1，－2)、B(2,3)、 C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数 t 满足(A→B－tO→C)·O→C＝0，求 t 的值．

【北师大版】高三数学步步高(理)第二编函数与基本初等函数Ⅰ

第二编函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示基础自测1. 与函数f (x )=|x |是相同函数的是（） A .y =2x B .y =xx 2 C .y =eln xD .y =log 22x答案A2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A .0个B .1个C .2个D .3个答案C3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是（） A .A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素 B .A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同C .B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同D .B 中的元素在A 中可能没有对应元素答案B4.如图所示，①②③三个图像各表示两个变量x ,y 的对应关系，则有（）A .都表示映射，且①③表示y 为x 的函数B .都表示y 是x 的函数C .仅②③表示y 是x 的函数D .都不能表示y 是x 的函数答案C5.已知f （x1）=x 2+5x ,则f (x )= . 答案251x x (x ≠0)例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式.解（1）令t =x +1,∴t ≥1，x =(t -1)2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(g 1xx x --（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域.解（1）,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即-3＜x ＜0或2＜x ＜ 3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).（2）∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x ≤2.∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤ 4. 故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例3 (12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2(1+0.75x ) (万元)，销售量为1 000(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x), 4整理得y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). 6分（2则y -(1.2-1)×1 000＞0, 8即-60x 2+20x +200-200＞0,即3x 2-x ＜0. 10分0＜x ＜31，适合0＜x ＜ 1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0＜x ＜31. 11分答（1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). （2）投入成本增加的比例x 的范围是(0,31). 12分例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1）画出函数的图像（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值.解（1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上的图像，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）. 解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t∴f （t ）=lg12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x+17∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1.2.（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;（2）y =log (2x +1)(32-4x).解（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).（2）由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,251120120432x ，x x ，x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G依题意，则有AH =2a，AG =23a.（1）当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB由于AM =x ，∠BAD =45°. ∴MN =x .∴y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a）.（2）当M 位于HG由于AM =x ，∴MN =2a ，BN =x -2a.∴y =S 直角梯形AMNB =221a ∙［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a ≤<（3）当M 位于点G由于AM =x ，MN =MD =2a -x . ∴y =S 梯形ABCD -S △MDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(221222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+∙ 综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形.设直线x =t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f (t ),则函数y =f (t )的图像（如下图所示）大致是（）答案D一、选择题1.下列函数中，与函数y =x 相同的函数是（A .y =x x 2B .y =(x )2C .y =lg10xD .y =x2log2答案C2.设M ={x |-2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图像可以是图中的（）答案B3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为（A .1B .2C .3 D.4答案C4.已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f(x )的解析式可取为（）A .21x x+ B .-212x x+ C .212x x + D .-21x x +答案C5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是（）A .（-∞,-31）B .（-31,31）C .（-31，1）D .（-31,+答案C6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=2,则f (-3)等于（A .2B .3C .6 D.9答案C二、填空题7.已知函数f (x ),g (x)则f ［g (1)］的值为，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是. 答案 1 28.已知函数ϕ(x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16, ϕ(1)=8, 则ϕ(x )= . 答案 3x +x5三、解答题 9.求函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域.解由,110010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、b ,有f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解（1）依题意令a =b =x ,则f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x ,而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ① 又2f (x )-f (-x )=lg(1+x ) ②两式联立消去f (-x )得3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ), ∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1). 11.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域.解 AB =2R ，C 、D 在⊙O的半圆周上，设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB，垂足为E ，连接BD ，那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2=AE ×AB ，即AE =R x 22，∴CD =AB -2AE =2R -Rx 2，所以y =2R +2x +（2R -R x 2）,即y =-Rx 2+2x +4R.再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R x x ,解得0＜x ＜2R .所以y =-R x 2+2x +4R ,定义域为（0，2R ）. 12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50. 整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050. 所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.§2.2 函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，则f (x )=0的根（）A .有且只有一个B .有2个C .至多有一个D .以上均不对答案C2.（2008·保定联考）已知f (x )是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的（）A .增函数B .减函数C .先减后增的函数D .先增后减的函数答案B3.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是（）A .［-3，-1］B .（-∞，-3］∪［-1，+∞）C .［1，3］D .（-∞，1］∪［3，+∞）答案C4.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，其中a 、b 、c ∈R ，则a 2-3b ＜0时，f (x )是（）A .增函数 B .减函数C .常数函数D .单调性不确定的函数答案A5.(2009·文登月考)若函数f (x ) =1222--+aax x 的值域为[)+∞,0，则实数a 的取值范围是 .答案(][)+∞--∞,01,例1已知函数f (x )=a x +12+-x x (a ＞1).证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,12x x a -＞1且1x a ＞0,∴a 0)1(12112>-=--x x x x x a a a ，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0, 于是f (x 2)-f (x 1)=a12x x a -+12121122+--+-x x x x ＞0,故函数f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f (x )=a x +1-13+x (a ＞1), 求导数得)(x f '=a x ln a +2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a x ln a ＞0,2)1(3+x ＞0,)(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f (x )在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a ＞1,∴y =a x 为增函数，又y =13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴y =a x +12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数. 例2判断函数f (x )=12-x 在定义域上的单调性.解函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1}, 则f (x )= 12-x , 可分解成两个简单函数.f (x )=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u (x )为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u (x )为减函数，)(x u 为减函数，∴f (x )=12-x 在（-∞,-1］上为减函数. 例3（1）y =4-223x x -+;（2）y =2x -x 21-;（3）y =x +x4;(4)y =4)2(122+-++x x .解（1）由3+2x -x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t =3+2x -x 2=4-(x -1)2.∴t ∈［0，4］，t ∈［0，2］，从而，当x =1时，y min =2.当x =-1或x =3时，y max =4.故值域为［2，4］. （2）方法一令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∴y =1-t 2-t =-（t +)212+45.∵二次函数对称轴为t =-21,∴在［0，+∞）上y =-(t +)212+45故y max =-(0+)212+45=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二 ∵y =2x 与y =-x 21-均为定义域上的增函数，∴y =2x -x 21-是定义域为{x |x ≤21}上的增函数，故y max =2×212121⨯--=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］. (3)方法一函数y =x +x4是定义域为{x |x ≠0}上的奇函数,故其图像关于原点对称,故只讨论x ＞0时,即可知x ＜0时的最值.∴当x ＞0时,y =x +x 4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x =2时取得.当x ＜0时，y ≤-4,等号当且仅当x =-2时取得. 综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二任取x 1,x 2,且x 1＜x 2,因为f (x1)-f (x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x --所以当x ≤-2或x ≥2时，f (x )递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f (x )递减. 故x =-2时，f (x )最大值=f (-2)=-4,x =2时，f (x )最小值=f (2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （4y =2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x ,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.y min =|AB |=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13. 显然无最大值.故值域为［13，+∞）.例4 (12分)函数f (x )对任意的a 、b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1,并且当x ＞0时，f (x )＞1.（1）求证：f (x )是R（2）若f (4)=5,解不等式f (3m 2-m -2)＜3.解（1）设x1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＞1. 2分f (x2)-f (x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1＞0. 5分∴f （x2）＞f (x 1).即f (x )是R 上的增函数. 6分（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5∴f （2）=3， 8分∴原不等式可化为f (3m 2-m -2)＜f (2),∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2-m -2＜2, 10分解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）. 12分1.讨论函数f （x ）=x +xa（a ＞0）的单调性.解方法一显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1＞x 2＞0,f (x 1)-f (x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)·（1-21x x a）.∴当0＜x 2＜x 1≤a 时，21x x a＞1, 则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f (x 1)＜f (x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数.当x 1＞x 2≥a 时，0＜21x x a＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f (x 1)＞f (x 2), 故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ） ∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数. 方法二由)(x f '=1-2x a =0可得x =±a当x ＞a 时或x ＜-a 时，)(x f '＞0,∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数. 同理0＜x ＜a 或-a ＜x ＜0时，)(x f '＜0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数. 2.求函数y =21log （4x -x 2）的单调区间.解由4x -x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t =4x -x 2，则y =21log t .∵t =4x -x 2=-(x -2)2+4，∴t =4x -x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.又y =21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y =21log （4x -x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).3.在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )=f (x +1)-f (x ).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x (x ＞0)台的收入函数为R (x )=3 000x -20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )=500x +4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )（2）利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )解（1）P (x )=R(x )-C (x )=（3 000x -20x 2）-（500x +4 000）=-20x 2+2 500x -4 000（x ∈［1，100］且x ∈N ） MP (x )=P (x +1)-P (x )=-20(x +1)2+2 500（x +1）-4 000-（-20x 2+2 500x -4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）. （2）P (x )=-20(x -)21252+74 125，当x =62或63时，P (x )max =74 120（元）. 因为MP (x )=2 480-40x 是减函数，所以当x =1时，MP (x )max =2 440(元）. 因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值. 4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f (x )满足f ()21x x =f (x 1)-f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. （1）求f (1)（2）判断f (x（3）若f (3)=-1,解不等式f (|x |)＜-2.解（1）令x 1=x 2＞0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f (x )＜0, 所以f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21xx ＜0,即f (x 1)-f (x 2)＜0,因此f (x 1)＜f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21xx =f (x 1)-f (x 2)f ⎪⎭⎫⎝⎛39=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. 由于函数f (x )在区间（0,+由f (|x |)＜f (9),得|x |＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x |x ＞9或x ＜-9}.一、选择题1.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是（）A .（-∞,23］ B .［23，+∞） C .（-1，23］ D .［23，4）答案D2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上（）A .至少有一实根B .至多有一实根C .没有实根D .必有惟一的实根答案D3.函数y =lg(x 2+2x +m )的值域是R ,则m 的取值范围是（）A .m ＞1B .m ≥1C .m ≤1D .m ∈R答案C4.函数f (x )(x ∈R )的图像如图所示，则函数g (x )=f (log a x ) (0＜a ＜1)的单调减区间是（）A .［0,21］ B .（-∞,0）∪［21，+∞） C .［a ,1］ D .［a ,1+a ］答案C5.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（）A .（0，1）B .（0，31） C .［71，31） D .［71，1）答案C6.设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥,1||,,1||,2x x x x g (x )是二次函数.若f (g (x ))的值域是［0,+∞）,则g (x )的值域是（）A .(-∞,-1］∪［1，+∞）B .（-∞，-1］∪［0，+∞）C .［0，+∞）D .［1，+∞）答案C二、填空题7.已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是. 答案 (-)32,21 8.已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则-f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ,b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间（a ,b ）上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ,b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则)()(x g x f 在（a ,b )上是递增函数.其中正确命题的序号是. 答案 ① 三、解答题9.已知f (x )在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,试解不等式f (x )+f (x -8)≤2. 解根据题意，由f (3)=1,得f (9)=f (3)+f (3)=2. 又f (x )+f (x -8)=f ［x (x -8)］,故f ［x (x -8)］≤f (9).∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得8＜x ≤9.10.函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m +n )=f (m )+f (n ),且当x ＞0时有f (x )＞0. （1）求证：f (x )在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f (1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x -2)］＜2. （1）证明设x 2＞x 1,则x 2-x 1＞0.∵f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)＞0, ∴f (x 2)＞f (x 1),f (x )在（-∞,+∞)上为增函数. （2）解 ∵f (1)=1,∴2=1+1=f (1)+f (1)=f (2). 又f ［log 2(x 2-x -2)］＜2,∴f ［log 2(x 2-x -2)］＜f (2).∴log 2(x 2-x -2)＜2,于是⎪⎩⎪⎨⎧<-->--.060222x x x x ，∴⎩⎨⎧<<->-<,32,21x x x 或即-2＜x ＜-1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集为{x |-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}. 11.（2008·青岛调研）已知f (x )=ax x-(x ≠a). （1）若a =-2,试证f (x )在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a ＞0且f (x )在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围.（1）证明任设x 1＜x 2＜-2,则f (x 1)-f (x 2)=.)2)(2()(22221212211++-=+-+x x x x x x xx∵(x 1+2）(x 2+2)＞0,x 1-x 2＜0,∴f (x 1)＜f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. （2）解任设1＜x 1＜x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.))(()(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---∵a ＞0,x 2-x 1＞0,∴要使f (x 1)-f (x 2)＞0,只需(x 1-a )(x 2-a )＞0恒成立， ∴a ≤1.综上所述知0＜a ≤1.12.已知函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 均有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x ＞0时，f (x )＜0,f (1)=-32. (1)判断并证明f (x )在R上的单调性；（2）求f (x )在［-3，3］上的最值.解（1）f (x )在R 上是单调递减函数证明如下：令x =y =0,f (0)=0,令x =-y 可得：f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, ∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1).又∵x ＞0时，f (x )＜0,∴f (x 2-x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1).由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数. （2）∵f (x )在R 上是减函数，∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数.∴f （-3）最大，f (3)最小.f (3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=3×（-)32=-2.∴f (-3)=-f (3)=2.即f (x )在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.§2.3 函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为（） A .3 B .0 C .-1 D .-2答案B2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为（） A .-1 B .0 C .1 D .2答案B3.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞,0）上单调递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系为（）A .f (a +1)≥f (b +2)B .f (a +1)≤f (b +2)C .f (a +1)＜f (b +2)D .f (a +1)＞f (b +2) 答案D4.已知f （x ）=122)12(+-+x a 是奇函数，则实数a 的值等于（）A .1B .-1C .0D .±1答案A5.（2009·文登月考）定义域为R 的函数f (x )满足f (-4-x )=f (x +8),且y =f (x +8)为偶函数，则f (x ) （）A .是周期为4的周期函数B .是周期为8的周期函数C .是周期为12的周期函数D .不是周期函数答案C例1 判断下列函数的奇偶性. （1）f (x )=2211x x -⋅-;(2)f (x )=log2(x +12+x ) (x ∈R );(3)f (x )=lg|x -2|.解（1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x =±1,即f (x )的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f (-1)=0,∴f (1)=f (-1),f (-1)=-f (1), 故f (x )既是奇函数又是偶函数. （2）方法一易知f (x )的定义域为R ，又∵f (-x )=log 2［-x +1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x +12+x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.方法二易知f (x )的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x +1)(2+-x ］+log 2(x +12+x )=log 21=0,即f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（3）由|x -2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x |x ≠2}关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数. 例2 已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ).(1)求证：f (x )（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f (1)=-21,试求f (x )在区间［-2，6］上的最值. （1）证明 ∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称.∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），令y =-x,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0, ∴f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（2）解方法一设x ,y ∈R +，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y∴f （x +y ）-f （x ）=f （y ）.x ∈R +，f （x ）＜0,∴f (x +y )-f (x )＜0,f (x +y )＜f (x ).∵x +y ＞x ,f (x )在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f (6)为最小值.∵f (1)=-21,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f (x )在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二设x1＜x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)-f (x 1)＜0.即f (x )在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1,f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 例3（12分）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x +2)=-f (x ).（1）求证：f (x )（2）若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,求使f (x )=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明 ∵f （x +2）=-f （x∴f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2分∴f （x ）是以4为周期的周期函数. 3（2）解当0≤x ≤1时，f (x )=21x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x . ∵f (x )是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x. 5 故f (x )=21x (-1≤x ≤1) 6又设1＜x ＜3,则-1＜x -2＜1, ∴f (x -2)=21(x -2), 7分又∵f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x∴-f （x ）=21（x-2∴f （x ）=-21（x -2）（1＜x ＜3）. 8分 ∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x9由f (x )=-21,解得x =-1. ∵f （x ）是以4为周期的周期函数. 故f (x )=-21的所有x =4n -1 (n ∈Z ). 10分0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）, ∴在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 12分1.（1）f （x ）=（x -2）xx -+22（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---xx（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x解（1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数. （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠---.02|2|0122x ＞x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----.∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f x x x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x ＜-1时，f （x ）=x +2，-x ＞1, ∴f （-x ）=-（-x ）+2=x +2=f （x ）. x ＞1时，f （x ）=-x +2-x ＜-1，f (-x )=x +2=f (x ). -1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）. 因此f （x ）是偶函数.2.已知函数y =f (x )的定义域为R ，且对任意a ,b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )，且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)=-3. (1)证明：函数y =f (x )是R(2)证明：函数y =f (x )(3)试求函数y =f (x )在［m ,n ］（m ,n ∈Z ）上的值域.(1)证明设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2,f (x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f (x 1)+f (x 2-x 1). ∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)=f (x 1)+f (x 2-x 1)＜f (x 1). 故f (x )是R 上的减函数.(2)证明 ∵f (a +b )=f (a )+f (b )恒成立，∴可令a =-b =x ,则有f (x )+f (-x )=f (0)又令a =b =0,则有f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.从而任意x ∈R ，f (x )+f (-x )=0 ∴f (-x )=-f (x ).故y =f (x )是奇函数. (3)解由于y =f (x )是R∴y =f (x )在［m ，n ］上也是减函数，故f (x )在［m ，n ］上的最大值f (x )max =f (m ),最小值f (x )min =f (n ). 由于f (n )=f (1+(n -1))=f (1)+f (n -1)= =nf (1),同理f (m )=mf (1). 又f (3)=3f (1)=-3,∴f (1)=-1,∴f (m )=-m ,f (n )=-n . ∴函数y =f (x )在［m ,n ］上的值域为［-n ,-m ］.3.设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)，且f (1)=a ＞0. （1）求f (21)及f (41) （2）证明：f (x )（3）记a n =f (2n +)21n，求a n . （1）解 ∵对x 1、x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)∴f (x )=f ()2()2()22xf x f x x ⋅=+≥0，x ∈［0，1］. ∴f (1)=f (,)21()21()21()21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+f f ff (2)41()41()41()4141()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+=f f f f .f (1)=a ＞0, ∴f .)41(,)21(4121a f a ==（2）证明 ∵y =f (x )的图像关于直线x =1∴f (x )=f (1+1-x )，即f (x )=f (2-x )，x ∈R . 又由f (x )是偶函数知，f (-x )=f (x )，x ∈R∴f (-x )=f (2-x )，x ∈R .将上式中-x 用x 代换，得f (x )=f (x +2)，x ∈R .这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （3）解由（1）知f (x )≥0，x ∈［0，1］.∵f (⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⋅=n n nf nn f 21)1(21)21()21=f (=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅n n f n 21)1()21…=f (⋅⋅)21()21nf n …·f (.)21()21nn f n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=又f (.2121)21(,)21n a n f a =∴=∵f (x )的一个周期是2，∴a n =f (2n +n 21)=f (n21),∴a n =a n 21.一、选择题1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的（）A .充要条件B .C .必要而不充分的条件D .答案B2.（2008·重庆理，6）若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（） A .f （x ）为奇函数 B .f （x ）为偶函数C .f （x ）+1为奇函数D .f （x ）+1为偶函数答案C3.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x -1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为（）A .2B .0C .-2D .±2答案 A4.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（） ①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =x ·f (x );④y =f (x )+x .A .①③B .②③C .①④D .答案D5.设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则（） A .f (x1)＞f (-x 2) B .f (-x 1)=f (-x 2) C .f (-x1)＜f (-x 2) D .f (-x 1)与f (-x 2)大小关系答案A6.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为（）A .-x (x -2)B .x (|x |-2)C .|x |(x -2)D .|x |(|x |-2)答案B二、填空题7.已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = .答案 48.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )= .答案 -b +4三、解答题9.已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ,f (x )=f (x +1)+f (x -1)恒成立. (1)求证：f (x )是周期函数. (2)已知f (3)=2，求f (2 004).（1）证明 ∵f (x )=f (x +1)+f (x -1),∴f (x +1)=f (x )-f (x -1),则f (x +2)=f []).1()()1()()()1(1)1(--=---=-+=++x f x f x f x f x f x f x ∴f (x +3)=f [][]).(1)1(2)1(x f x f x -=-+-=++ ∴f (x +6)=f []).()3(3)3(x f x f x =+-=++ ∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f (2 004)=f (334×6)=f (0)=-f (3)=-2.10.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解 ∵f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f （x ）=x lg （2+x ），即f （x ）=-x lg （2+x ）（x ＞0）.∴f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f (x )=-x lg(2+|x |)(x ∈R ). 11.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R .（1）试判断f (x )的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1, f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数. (2)当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43, ∵a ≤21,故函数f (x )在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f (x )在（-∞，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1.当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43, ∵a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+∞)上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1. 12.设函数f (x )在（-∞,+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0. （1）试判断函数y =f (x )的奇偶性；（2）试求方程f (x )=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.解（1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(+=⇒-=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f从而知函数y =f (x )的周期为T =10.又f (3)=f (1)=0,而f (7)≠0,故f (-3)≠0. 故函数y =f (x )是非奇非偶函数.（2）由（1）知y =f (x )的周期为10.又f （3）=f (1)=0,f (11)=f (13)=f (-7)=f (-9)=0,故f (x )在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y =f (x )在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有 400个解，所以函数y =f (x )在［-2 005，2 005］上有802个解.§2.4 二次函数基础自测1.方程a 2x 2+ax -2=0 (|x |≤1)有解，则（）A .|a |≥1B .|a |＞2C .|a |≤1D .a ∈R答案A2.已知函数f (x )=4x 2-mx +5在区间［-2，+∞）上是增函数，则f (1)的范围是（）A .f (1)≥25B .f (1)=25C .f (1)≤25D .f (1)＞25答案A3.若函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (4)=f (1),那么（）A .f (2）＞f (3)B .f (3)＞f (2)C .f (3)=f (2)D .f (3)与f (2)的大小关系不能确定答案C4.若二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,则f (x )的表达式为（） A .f (x )=-x 2-x -1 B .f (x )=-x 2+x -1C .f (x )=x 2-x -1D .f (x )=x 2-x +1答案D5.（2008·湖北理，13）已知函数f （x ）=x 2+2x +a ，f （bx ）=9x 2-6x +2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f （ax +b ）=0的解集为 . 答案 ∅例1 已知f (x )=-4x 2+4ax -4a -a 2在区间［0，1］内有一最大值-5，求a 的值及函数表达式f (x ).解 ∵f （x ）=-42)2(a x --4a ，此抛物线顶点为)4,2(a a-.当2a ≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值-4-a 2.令-4-a 2=-5,得a 2=1,a =±1＜2(舍去). 当0＜2a ＜1,即0＜a ＜2时，x =2a 时，f (x )取最大值为-4a .令-4a =-5,得a =45∈(0,2).当2a≤0,即a ≤0时，f (x )在［0，1］内递减，∴x =0时，f (x )取最大值为-4a -a 2,令-4a -a 2=-5,得a 2+4a -5=0,解得a =-5,或a =1，其中-5∈（-∞，0］. 综上所述，a =45或a =-5时,f (x )在［0，1］内有最大值-5. ∴f (x )=-4x 2+5x -16105或f (x )=-4x 2-20x -5. 例2 设二次函数f (x )=x 2+ax +a ,方程f (x )-x =0的两根x 1和x 2满足0＜x 1＜x 2＜1. （1）求实数a 的取值范围；（2）试比较f (0)f (1)-f (0)与161的大小，并说明理由.解方法一（1）令g (x )=f (x )-x =x 2+(a -1)x +a ,则由题意可得,.2230223,223,11,00)0(,0)1(,1210,0-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+>-<<<->⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆a a a a a g g a 或故所求实数a 的取值范围是（0，3-22）. （2）f (0)·f (1)-f (0)=f (0)g (1)=2a 2,令h (a )=2a 2.∵当a ＞0时，h (a )单调递增，∴当0＜a ＜3-22时，0＜h (a )＜h (3-22)2(3-22)2=2(17-122)=2·,161212171<+即f (0)·f （1）-f （0）＜161. 方法二（1）同方法一.（2）∵f （0）f （1）-f （0）=f （0）g （1）=2a 2，则由(1)知0＜a ＜3-22,∴42a -1＜122-17＜0.又42a +1＞0,于是2a 2-161=161(32a 2-1)=161 (42a -1)(42a +1)＜0, 即2a 2-161＜0,即2a 2＜161,故f (0)f (1)-f (0)=2a 2＜161. 方法三 (1）方程f (x )-x =0⇔x 2+(a -1)x +a =0由韦达定理，得x 1+x 2=1-a ,x 1x 2=a ,于是0＜x 1＜x 2＜1.2230.223,223,1,00)1)(1(,0)1()1(,0,0,021212121-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+>-<<>⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+>∆⇔a a a a a x x x x x x x x或故所求实数a 的取值范围是（0,3-22）.（2）依题意可设g (x )=(x -x 1)(x -x 2)，则由0＜x 1＜x 2＜1,得f (0)f (1)-f (0)=f (0)g (1)=g (0)g (1)=x 1x 2(1-x 1)(1-x 2)=［x 1(1-x 1)］［x 2(1-x 2)］＜,161)21(·)21(222211=-+-+x x x x 故f (0)f (1)-f (0)＜161. 例3 （14分）已知二次函数y =f (x )的图像与x 轴交于A ，B 两点，且|AB |=23，它在y 轴上的截距为4,又对任意的x 都有f (x +1)=f (1-x ).（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像都在直线l :y =x +c 的下方，求c 的取值范围.解（1）方法一 ∵f （x +1）=f （1-x ），∴y =f （x ）的对称轴为x =1，又f (x )为二次函数，可设f (x )=a (x -1)2+k (a ≠0),又当x =0时，y =4,∴a +k =4,得f (x )=a (x -1)2-a +4, 令f (x )=0,得a (x -1)2=a -4. ∴x =1±,4aa - ∴|AB |=2aa 4-.6分∵|AB |=23,∴a =-2.即f (x )=-2(x -1)2+6=-2x 2+4x +4. 8分方法二令二次函数y =f (x )的图像与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），（x 2＞x 1）, ∵f （x +1）=f （1-x ），|AB |=23.∴x 1+x 2=2，x 2-x 1=23，得x 1=1-3,x 2=1+3. 3分设二次函数f (x )=a ［x -(1-3)］［x -(1+3)］. 又f (0)=4,则a =-2.即f (x )=-2(x -1)2+6=-2x 2+4x +4. 8分(2)由条件知-2x 2+4x +4＜x +c 在x ∈R 上恒成立. 即2x 2-3x -4+c ＞0对x ∈R 恒成立. Δ=9+8（4-c ）＜0，得c ＞841, 12分 ∴c 的取值范围是（841，+∞）. 14分1.已知二次函数f （x（1）f （1+x ）=f （1-x （2）f （x ）的最大值为15（3）f （x ）=0的两根的立方和等于17，求f （x ）的解析式.解 ∵f （1+x ）=f （1-x ），∴函数f （x ）关于直线x =1对称，又f （x ）的最大值为15，故可设f （x ）=a （x -1）2+15（a ＜0). ∴f （x ）=ax 2-2ax +a +15，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=1+a15，∴x 31+x 32=（x 1+x 2）3-3x 1x 2（x 1+x 2）=23-3×2（1+a15）=2-a 90=17.∴a =-6.故所求函数的解析式为f （x ）=-6x 2+12x +9. 2.已知函数f (x )=|x 2-2ax +b | (x ∈R ).给出四个命题：①f (x )必是偶函数；②若f (0)=f (2),则f (x )的图像必关于直线x =1对称；③a 2-b ≤0，则f (x )在［a ，+∞）上是增函数；④f (x )有最小值|a 2-b |.其中正确命题的序号是 .答案3.（2009·武汉武昌区模拟）已知a 、b 、c 、d 是不全为零的实数，函数f (x )=bx 2+cx +d ,g (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,方程f (x )=0有实数根，且f (x )=0的实数根都是g (f (x ))=0的根，反之，g (f (x ))=0的实数根都是f (x )=0的根.（1）求d（2）若a =0，求c 的取值范围.解（1）设r 为f (x )=0的一个根，即f (r )=0,则由题意得g (f (r ))=0，于是,g (0)=g (f (r ))=0,即g (0)=d =0.所以，d =0.（2）由题意及(1)知f (x )=bx 2+cx ,g (x )=ax 3+bx 2+cx . 由a =0得b ,c 是不全为零的实数，且g (x )=bx 2+cx =x (bx +c ), 则g (f (x ))=x (bx +c )［bx (bx +c )+c ］=x (bx +c )(b 2x 2+bcx +c ).方程f (x )=0就是x (bx +c )=0. ① 方程g (f (x ))=0就是x (bx +c )(b 2x 2+bcx +c )=0. ②(ⅰ)当c =0，b ≠0时，方程①②的根都是x =0符合题意. (ⅱ)当c ≠0,b =0时，方程①②的根都是x =0符合题意. (ⅲ)当c ≠0,b ≠0时，方程①的根为x 1=0,x 2=-bc. 也都是②的根，但不是方程b 2x 2+bcx +c =0的实数根. 由题意方程b 2x 2+bcx +c =0无实数根，∴Δ=(bc )2-4b 2c ＜0,得0＜c ＜4.综上所述：c 的取值范围为［0，4）.一、选择题1.不等式f (x )=ax 2-x -c ＞0的解集为{x |-2＜x ＜1}，则函数y =f (-x )的图像为（答案C2.若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间（-∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是（A .a ≥3B .a ≤-3C .a ＜5D .a ≥-3答案B3.设函数f (x )=⎩⎨⎧>≤++),0(,2),0(,2x x c bx x 若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为（） A .1 B .2C .3D .4。

【北师大版】高三数学步步高(理)第十三编算法初步、推理与证明、复数

第十三编算法初步、推理与证明、复数§13.1 算法与流程图1.以下对算法的描述正确的有（）①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③计算可以一步步地进行，每一步都有确切的含义； ④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果. A .1个B .2个C.3D.4答案D2.任何一个算法都必须有的基本结构是( )A. B .条件C .循环结构D. 答案A3.下列问题的算法适宜用条件结构表示的是（）A.求点P （-1，3）到直线l :3x -2y +1=0的距离B .由直角三角形的两条直角边求斜边C .解不等式ax +b ＞0 (a ≠0)D .计算100个数的平均数答案 C4.下列关于选择结构的说法中正确的是（）A.B.C. D .对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的答案B5.（2008·广东理，9）阅读下面的流程图，若输入m =4，n =3，则输出a = ，i = .（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）答案 12 3例1 已知点P （x 0，y 0）和直线l :Ax +By +C =0，求点P （x 0，y 0）到直线l 的距离d ，写出其算法并画出程序框图.基础自测解算法如下：第一步，输入x 0,y 0及直线方程的系数A ，B ，C . 流程图为：第二步，计算Z 1=Ax 0+By 0+C . 第三步，计算Z 2=A 2+B 2. 第四步，计算d =21ΖΖ.第五步，输出d .例2 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f =⎩⎨⎧>⨯-+⨯≤)50(85.0)50(53.050)50(53.0ωωωω其中f (单位：元)为托运费,ω为托运物品的重量（单位：千克）.试设计计算费用f 的算法，并画出程序框图.解算法如下： S1 输入ω;S2 如果ω≤50,那么f =0.53ω;否则f =50×0.53+(ω-50)×0.85; S3 输出f . 程序框图为：例3（12分）画出计算12-22+32-42+…+992-1002的值的流程图. 解流程图如下图.12分1.写出求解一个任意二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的最值的算法. 解算法设计如下：第一步，计算m =ab ac 442-;第二步，若a ＞0,输出最小值m ; 第三步，若a ＜0，输出最大值m .2.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，试用条件语句描述汇款额为x 元时，银行收取手续费y 元的过程，画出流程图. 解这是一个实际问题，故应先建立数学模型，y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤<00000010005.500005100,01.01000,1x x x x 由此看出，求手续费时，需先判断x 的范围，故应用条件结构描述.流程图如图所示：3.利用循环结构写出1+2+3+…+100的算法，并画出各自的流程图. 解流程图如下：算法如下： S1 令i =1,S =0S2 若i ≤100成立，则执行S3；否则，输出S ，结束算法 S3 S =S+i S4 i =i +1，返回S2一、选择题 1.算法： S1 输入n ；S2 判断n是否是2,若n=2,则n满足条件，若n＞2,则执行S3；S3 依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是（）A.质数B.C.偶数D.答案A2.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构（）A.B.选择C.顺序结构和选择D.答案B3.阅读下面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是（）A.75、21、32B.21、32、75C.32、21、75D.75、32、21答案A4.如果执行下面的流程图，那么输出的S等于（）A.2 450B.2 500C.2 550D.2 652答案C5.（2008·枣庄模拟）右边的流程图表示的算法的功能是（A.计算小于100B.计算从1C.从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100D.计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n答案D6.如图所示，流程图所进行的求和运算是（）A .1+3121++…+101B .1+5131++…+191C .614121+++…+201D .32212121+++…+1021答案C二、填空题7.（2008·山东理，13）执行下边的流程图，若p =0.8，则输出的n = . 答案 48.若框图所给的程序运行的结果为S =90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 .答案 k ≤8 三、解答题9.已知函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<-)0(52)0(13x x x x ,写出该函数的函数值的算法并画出流程图. 解算法如下：第一步，输入x .第二步，如果x ＜0,那么使f (x )=3x -1;否则f (x )=2-5x .第三步，输出函数值f (x ). 流程图如下：10.写出求过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线的斜率的算法，并画出流程图.解由于当x 1=x 2时，过两点P 1、P 2的直线的斜率不存在，只有当x 1≠x 2时，根据斜率公式 k =1212x x y y --求出，故可设计如下的算法和流程图.算法如下：第一步：输入x 1,y 1,x 2,y 2;第二步：如果x 1=x 2,输出“斜率不存在”，否则， k=1212x x y y --;第三步：输出k . 相应的流程图如图所示:11.某企业2007年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图. 解算法设计如下：第一步，n=0,a=200,r =0.05.第二步，T =ar (计算年增量). 第三步，a =a +T （计算年产量）.第四步，如果a ≤300，那么n =n +1，重复执行第二步. 如果a ＞300,则执行第五步. 第五步，N =2007+n . 第六步，输出N . 流程图如下：方法一方法二§13.2 基本算法语句、算法案例1.给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的算术平方根；②求函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥+)0(1)0(12x x x x 的函数值；③求周长为6的正方形的面积；④求三个数a ，b ，c 中的最小数.其中不需要用条件语句来描述其算法的个数是（） A .1B.2C.3D.4答案A2.If 语句的基本作用是( )A.B. C .若表达式结果为真,D.基础自测答案C3.根据下面程序判断输出结果为（）A .6B .7 C.8 D.9答案B4.则当x =5时，输出结果为（A .15B .95.5C .94.5D .答案A5.下面程序语句输出的S 值是.答案 15例1 输入两个实数，由小到大输出这两个数，画出流程图，并用语句描述.解流程图如图所示.输入a ,b Ifa ＞b Thent =ai =0S =0 DoS =S +i i =i +1Loop While S ≤20i输入x If x ≤5ThenP =x *3 ElseP =10*7.5+（x -2）*6.5 End If 输出Pi =1 S =0For i =1 To 5S =S +ii =i +1 Next 输出Sa =b b =tEnd If 输出a ，b例2 编写程序,根据输入的x 的值,计算y 的值,并输出y 的值.y =.)2(1)2(122⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+x x x x 解算法步骤: (1)输入x;(2)如果x ＞2,则y =x 2-1; (3)如果x ≤2,则y =x 2+1. (4)输出y. 用语句描述如下:例3 某次考试规定：共考三门课，凡考试符合下列条件之一的，发给优秀证书.（1）三门成绩之和大于280 （2）其中两门成绩大于95分，另一门大于80分.试用语句来描述这个算法. 解输入学生的考试成绩a ,b ,cIf a +b +c ＞280ThenElse If a ＞95AND b ＞95AND c ＞80ThenElse If b ＞95AND c ＞95AND a ＞80ThenElseIf a ＞95ANDc ＞95AND b ＞80Then输出“请发 ElseEnd If End If End If End If例4 画出求+⨯+⨯+⨯431321211…+100991⨯的值的流程图,并用语句描述. 解输入x ; Ifx >2Theny =x *x -1Else y =x *x +1End If 输出y用语句描述为：例5 （12分）设计求满足条件1+3121 +…+n1＞106的最小自然数的算法.并画出流程图，写出程序.解（1）S=0; （2）i=1;（3）S =S +i1，i =i+1.（4）如果S ≤106，则执行（3），否则输出i -1.4对应的流程图如图所示，相应的程序用语句描述如下：8S =0 k =1For k=1 To 99S =S +1/（k *（k +1k =k +1 Next 输出S12分1.以下是一个流程图，请写出相应的基本语句编写的程序，流程图如图.解输入x,y;x=x/2y=3*y输出x,yx=x-yy=y-1输出x,y2.已知y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-),(52),(122xxxx编写一个算法语句，对每输入的一个x值都得到相应的函数值.解方法一用If—Then—Else输入x;If x≥0Theny=x2-1Elsey=2x2-5End If输出y方法二用If—Then输入x;If x≥0ThenS=0i=1DoS=S+i1i=i+1Loop While S≤106输出i-1y =x 2-1End If Ifx ＜0Theny =2x 2-5End If输出y3.试写出一个算法语句，每输入一个x 值，求y =⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+-)0(1),0(0),0(1x x x x x 的函数值.解输入x; Ifx ＜0Theny =-x+1Else Ifx =0Theny=0Else y =x+1End IfEnd If输出y4.小球从100 m 的高度落下，每次落地后又反跳回原高度的一半，再落下，写出一个求第10次落地时，小球共经过多少路程的算法语句，并画出流程图. 解流程图如图所示.S=0 h=100 For i =1To10S =S +2*hh =h/2Next S =S-100 输出S5.某商场第一年销售计算机5 000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，试写出一个算法语句，求从第一年起，大约几年后可使总销售量达到30 000台，并画出流程图.解流程图如图所示.m=5 000S=0i=0DoS=S+mm=m*(1+10%)i=i+1Loop While S＜30 000输出i一、选择题1.下列关于条件语句的叙述正确的是（A.条件语句中必须有Else和End IfB.条件语句中可以没有End IfC.条件语句中可以没有Else，但必须有End If结束D.条件语句中可以没有End If，但必须有Else答案C2.有下列算法语句，输出结果是（s=1i=1Doi=i+2s=s*iLoop While s≤2 005输出iA.1+3+5+…+2 005B.1×3×5×…×2 005C.求方程1×3×5×…×n=2 005中nD.求满足1×3×5×…×n＞2 005的最小整数n答案D3.以上程序运行结果为（A .80B .120C .100D .95 答案B4.阅读下面的算法语句，若最后输出的y 为9，则输入的x 应该是（输入xIfx ＜0Theny =(x +1)*(x +1) Else y =(x -1)*(x -1) End If 输出y A .-4B .-2C .4或-4D .2或-2答案C5.以上程序用来( )A .计算3×10的值B .计算39C .计算310的值D .计算1×2×3×…×10 答案C6.下面程序输出的结果为（A . 17B .19C .21D .23t =1 i =2 Fori =2To 5t =t *i i =i +1Next 输出tS =1 i =1For i =1 To 10S =3*Si =i +1 Next 输出Si =1 Doi =i +2S =2*i +3Loop While i <8输出 S答案C二、填空题 7.（2008·广州模拟输入x; Ifx ＞0Then y=1 Else Ifx =0Theny=0Elsey=-1End IfEnd If 输出y求函数的值.答案 y =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,0,1x x x 8.下面是一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为.S=0 i=1Do输入x S =S +xi =i+1Loop While a =S/20 输出a答案 i ≤20三、解答题9.已知某商店对顾客购买货款数满500元，减价3%，不足500元不予优惠，输入一顾客购物的货款数，计算出这个顾客实交的货款，画出流程图，写出程序.解设购买货款数为x 元，则顾客实际应交的货款yy =⎩⎨⎧<≥-)500()500(%)31(x x xx 即y =⎩⎨⎧<≥)500()500(97.0x x xx所以，流程图如图所示：10.输出1~100（包括1和100）中能被7整除的所有整数.解方法一输入x ; If x ≥500 Theny =0.97*xElse y =x End Ifyi=1DoIf i MOD 7=0Then输出iEnd If i =i+1Loop While i ≤100方法二For i =1To100 Ifi MOD 7=0Then输出iEnd IfNext11.已知分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+-),0(1),0(0),0(1x x x x x 编写程序，输入自变量x 的值，输出其相应的函数值,并画出相应的流程图.解方法一由于函数是一个分段函数，所以输入x 的值后应根据x 的值所在的范围，选择相应的解析式代入求出其函数值，故应用条件语句;又因为实数x 的值共分为三个范围，所以还应用到条件语句的嵌套.流程图如图所示：用语句描述为:方法二也可以不用条件语句的嵌套，用如下的三个If —Then 语句编写程序.用语句描述为：xIfx ＜0Then y =-x +1Else If x =0Theny =0 Else y =x +1 End IfEnd Ifyx ;If x ＜0Theny =-x +1 End If Ifx =0Then y =0 End If Ifx ＞0Theny =x +1 End If输出y ;§13.3 合情推理与演绎推理1. 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）A.B.C .白色可能性大D.答案A 2.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是（）A .a n =2n -1B .a n =2n-1 C .a n =2nD .a n =2n+1答案B3.已知a 1=3,a 2=6,且a n +2=a n +1-a n ,则a 33为（）A .3B .-3C.6 D.-6答案A4.下面使用类比推理恰当的是（） A .“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0，则a =b ” B .“(a +b )c =ac +bc ”类推出“c b a +=c a +c b” C .“(a +b ）c =ac +bc ”类推出“c b a +=c a +cb(c ≠0)” D .“（ab ）n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ” 答案 C5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 . 答案一切奇数都不能被2整除，大前提 2100+1是奇数，小前提所以2100+1不能被2整除.结论例1 在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=nna a +22,n ∈N +,猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由. 解在{a n }中,a 1=1,a 2=1122a a +=32, 基础自测a 3=2222a a +=21=42,a 4=3322a a +=52,…, 所以猜想{a n }的通项公式a n =12+n . 这个猜想是正确的. 证明如下:因为a 1=1,a n +1=nna a +22, 所以11+n a =n n a a 22+=n a 1+21,即11+n a -n a 1=21, 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以11a =1为首项,21为公差的等差数列,所以na 1=1+21(n -1)= 21n +21,所以通项公式a n =12+n . 例2已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A ′,B ′,C ′,则''AA OA +''BB OB +''CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. ''AA OA +''BB OB +''CC OC =A B COB CSS∆∆+A B COCASS ∆∆+A B COA BSS ∆∆=A B CA B CSS ∆∆=1，请运用类比思想，对于空间中的四面体V —BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明.证明在四面体V —BCD 中，任取一点O ，连结VO 、DO 、BO 、CO 并延长分别交四个面于E 、F 、G 、H 点. 则VE OE +DF OF +BG OG +CHOH=1. 在四面体O —BCD 与V —BCD 中： VE OE =h h 1=hS hSB CDB CD ∙∙∆∆31311=B CDV B CDO VV --.同理有：DF OF =V B CD V B CO VV--；BG OG =V CDB V CDO VV--；CH OH =V B DC V B DO VV--，∴VE OE +DF OF +BG OG +CHOH=BCD V VBD O VCD O VBC O BCD O V V V V V -----+++=BCDV BCDV V V --=1.例3 （12分）已知函数f （x ）=-aa a x +（a ＞0且a ≠1），（1）证明：函数y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称；（2）求f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）的值.（1）证明函数f （x ）的定义域为R ，任取一点（x ，y ），它关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称的点的坐标为（1-x ，-1-y ）. 2分由已知得y =-aa a x +,则-1-y =-1+aa a x +=-aa a x x +， 3分f （1-x ）=-aa ax +-1=-aa a a x+=-xx a a a a a ∙+∙=-aa a x x +， 4分∴-1-y =f （1-x ）.即函数y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称.6分（2）解由（1）有-1-f （x ）=f （1-x ），即f （x ）+f （1-x ）=-1.∴f （-2）+f （3）=-1，f （-1）+f （2）=-1， f （0）+f （1）=-1，则f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=-3. 12分1.已知f (x )=2)1(1++ax bx (x ≠-a1,a ＞0),且f (1)=log 162,f (-2)=1. （1）求函数f (x )的表达式；（2）已知数列{x n }的项满足x n =［1-f (1)］［1-f (2)］…［1-f (n )］，试求x 1,x 2,x 3,x 4; （3）猜想{x n }的通项. 解（1）把f (1)=log 162=41,f (-2)=1, 代入函数表达式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++1)21(1241)1(12a b a b ,整理得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-++=+14412124422a a b a a b ，解得⎩⎨⎧==01b a ,于是f (x )=2)1(1+x (x ≠-1). （2）x 1=1-f (1)=1-41=43, x 2=43×⎪⎭⎫ ⎝⎛-911=32,x 3=32×⎪⎭⎫ ⎝⎛-1611=85, x 4=85×⎪⎭⎫ ⎝⎛-2511=53. （3）这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为43，64，85，106，…，便可猜想x n =)1(22++n n . 2.如图1，若射线OM ，ON 上分别存在点M 1，M 2与点N 1，N 2，则2211N OM N OM S S ∆∆=21OM OM ·21ON ON ；如图2，若不在同一平面内的射线OP ，OQ 和OR 上分别存在点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由.解类似的结论为：222111R Q P O R Q P O V V --=21OP OP ·21OQ OQ·21OR OR . 这个结论是正确的，证明如下：如图，过R 2作R 2M 2⊥平面P 2OQ 2于M 2，连OM 2. 过R 1在平面OR 2M 2作R 1M 1∥R 2M 2交OM 2于M 1，则R 1M 1⊥平面P 2OQ 2. 由111R Q P O V -=3111OQ P S ∆·R 1M 1=31·21OP 1·OQ 1·sin ∠P 1OQ 1·R 1M 1 =61OP 1·OQ 1·R 1M 1·sin ∠P 1OQ 1，同理，222R Q P O V -=61OP 2·OQ 2·R 2M 2·sin ∠P 2OQ 2. 所以222111R Q P O R Q P O V V --=22221111M R OQ OP M R OQ OP ∙∙∙∙.由平面几何知识可得2211M R M R =21OR OR . 所以222111R Q P O R Q P O V V --=222111OR OQ OP OR OQ OP ∙∙∙∙.所以结论正确.3.已知函数f （x ）=1212+-x x （x ∈R ），（1）判定函数f （x ）的奇偶性；（2）判定函数f （x ）在R 上的单调性，并证明. 解（1）对∀x ∈R 有-x ∈R ，并且f （-x ）=1212+---x x =x x 2121+-=-1212+-x x =-f （x ），所以f （x ）是奇函数.（2）f (x )在R 上单调递增，证明如下：任取x 1,x 2∈R ，并且x 1＞x 2, f (x 1)-f (x 2)= 121211+-x x -121222+-x x =)12)(12()12)(12()12)(12(211221+++--+-x x x x x x=)12)(12()22(22121++-x x x x .∵x 1＞x 2,∴12x ＞22x ＞0,∴12x -22x ＞0, 12x +1＞0, 22x +1＞0.∴)12)(12()22(22121++-x x x x ＞0.∴f (x 1)＞f (x 2).∴f (x )在R 上为单调递增函数.一、选择题 1.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为（）A .B .前者大C .后者大D .答案B2.已知a 1=1,a n +1＞a n ，且(a n +1-a n )2-2(a n +1+a n )+1=0，猜想a n 的表达式为（） A .n B .n2C .n3D .n n -+3答案B3.已知f (x )=x 2 008+ax2 007-0092xb -8,f (-1)=10,则f (1)等于（）A .10B .-10C .-4D .-24答案D4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”；②“(m +n )t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”；③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）”；④“t ≠0,mt =xt ⇒m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”;⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”；⑥“bc ac =ba ”类比得到“cbc a ⋅⋅=b a”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（）A .1B.2C .3D .4答案B5.下列推理是归纳推理的是（）.A.A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B .由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 C .由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πabD .科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是（）A .(3,8)B .(4,7)C .(4,8)D .(5,7)答案D二、填空题7.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比EB AE =BCAC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图所示），而DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是 .答案EB AE =B CDA CDSS∆∆8.（2008·福州模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .答案 83a三、解答题9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质. 解如图所示，由平行四边形的性质可知AB =DC ，AD =BC ，于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，我们猜想： ABCD =1111D C B A ,S 11A ADD =11B BCC ,11A ABB =11C CDD ,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.10.已知梯形ABCD 中，AB =DC =AD ，AC 和BD 是它的对角线.用三段论证明：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA . 证明（1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提） ∠BCA 与∠CAD 是平行线AD ，BC 被AC 所截内错角（小前提）所以，∠BCA =∠CAD （结论）（2）等腰三角形两底角相等（大前提） △CAD 是等腰三角形，DA =DC （小前提）所以，∠DCA =∠CAD （结论）（3）等于同一个量的两个量相等（大前提） ∠BCA 与∠DCA 都等于∠CAD （小前提）所以，∠BCA =∠DCA ，即AC 平分∠BCD （结论）（4）同理，BD 平分∠CBA .11.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N . （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF ·EF ·cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 证明（1）∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN .∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . （2）在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有S 211AABB =S 211B BCC +S 211A ACC -2S 11B BCC S 11A ACC cos α. 其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2=PN 2+MN 2-2PN ·MN cos ∠MNP∴PM 2·CC 21=PN 2·CC 21+MN 2·CC 21-2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP ，由于S 11B BCC =PN ·CC 1，S 11A ACC =MN ·CC 1， S 11A ABB =PM ·BB 1=PM ·CC 1，∴S 211AABB =S 211B BCC +S 211A ACC -2S 11B BCC ·S 11A ACC ·cos α. 12.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线2222b y a x -=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222b y a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值. 证明如下：设点M 、P 的坐标分别为（m ，n ），（x ，y ），则N （-m ，-n ）. 因为点M （m ,n ）在已知双曲线上，所以n 2=22a b m 2-b 2.同理y 2=22ab x 2-b 2.则k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --=22a b ·2222m x m x --=22a b (定值).§13.4 直接证明与间接证明1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的（）A .充分条件 B.C .充要条件D.基础自测答案A2.若a ＞b ＞0,则下列不等式中总成立的是（）A .a +b 1＞b +a 1 B .a b ＞11++a b C .a +a1＞b +b 1D .bab a b a >++22 答案A3.要证明3+7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A. 综合法B.分析法C .反证法D .归纳法答案 B4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A .假设a 、b 、c 都是偶数B .假设a 、b 、c 都不是偶数C .假设a 、b 、c 至多有一个偶数D .假设a 、b 、c 至多有两个偶数答案 B5.设a 、b 、c ∈（0，+∞），P =a +b -c ，Q =b +c -a ，R =c +a -b ，则“PQR ＞0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A .充分而不必要条件B .C .D .答案C例1 设a ,b ,c ＞0,证明：a c c b b a 222++≥a +b +c . 证明 ∵a ,b ,c ＞0，根据基本不等式，有b a 2+b ≥2a ,cb 2+c ≥2b ,a c 2+a ≥2c .三式相加：b a 2+c b 2+a c 2+a +b +c ≥2(a +b +c ).即b a 2+cb 2+ac 2≥a +b +c .例2 （12分）已知a ＞0,求证： 221aa +-2≥a +a1-2. 证明要证221a a +-2≥a +a1-2, 只要证221a a ++2≥a +a1+2. 2分∵a ＞0,故只要证22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a ≥（a +a 1+2）2,6分即a 2+21a+4221a a ++4≥a 2+2+21a +22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1+2,8分从而只要证2221aa +≥2⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1,10分只要证4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221a a ≥2（a 2+2+21a ）,即a 2+21a ≥2,而该不等式显然成立，故原不等式成立.12分例3 若x ,y 都是正实数，且x +y ＞2, 求证：yx+1＜2与x y +1＜2中至少有一个成立.证明假设yx+1＜2和x y +1＜2都不成立，则有yx+1≥2和x y +1≥2同时成立，因为x ＞0且y ＞0,所以1+x ≥2y ，且1+y ≥2x ，两式相加，得2+x +y ≥2x +2y ，所以x +y ≤2，这与已知条件x +y ＞2相矛盾，因此yx+1＜2与x y +1＜2中至少有一个成立.素1.已知a ,b ,c 为互不相等的非负数.求证：a 2+b 2+c 2＞abc (a +b +c ).证明 ∵a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,a 2+c 2≥2ac . 又∵a ,b ,c 为互不相等的非负数， ∴上面三个式子中都不能取“=”， ∴a 2+b 2+c 2＞ab +bc +ac ,∵ab +bc ≥2c ab 2,bc +ac ≥22abc , ab +ac ≥2bc a 2,又a ,b ,c 为互不相等的非负数， ∴ab +bc +ac ＞abc (a +b +c ),∴a 2+b 2+c 2＞abc (a +b +c ).2.已知a ＞0,b ＞0,且a +b =1,试用分析法证明不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425.证明要证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425,只需证ab +abb a 122++≥425，只需证4(ab )2+4(a 2+b 2)-25ab +4≥0, 只需证4(ab )2+8ab -25ab +4≥0,只需证4(ab )2-17ab +4≥0, 即证ab ≥4或ab ≤41,只需证ab ≤41，而由1=a +b ≥2ab ,∴ab ≤41显然成立，所以原不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425成立.3.已知a 、b 、c ∈（0，1），求证：(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不能同时大于41. 证明方法一假设三式同时大于41，即(1-a )b ＞41,(1-b )c ＞41,(1-c )a ＞41, ∵a 、b 、c ∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a )b (1-b )c (1-c )a ＞641. 又(1-a )a ≤221⎪⎭⎫⎝⎛+-a a =41,同理（1-b ）b ≤41,(1-c )c ≤41, ∴(1-a )a (1-b )b (1-c )c ≤641, 这与假设矛盾，故原命题正确. 方法二假设三式同时大于41， ∵0＜a ＜1,∴1-a ＞0,2)1(b a +-≥b a )1(-＞41=21, 同理2)1(c b +-＞21,2)1(a c +-＞21, 三式相加得23＞23,这是矛盾的，故假设错误， ∴原命题正确.一、选择题1.（2008·济南模拟）用反证法证明“如果a ＞b ,那么3a ＞3b ”假设内容应是（）A .33b a =B .33b a <C .33b a =且33b a <D .33b a = 或33b a <答案D2.已知a ＞b ＞0，且ab =1,若0＜c ＜1,p =log c 222b a +,q =log c 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，则p ,q 的大小关系是（） A .p ＞qB .p ＜qC .p =qD .p ≥q答案B3.设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a ,b ∈S ，对于有序元素对(a ,b ),在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应）.若对任意的a ,b ∈S ,有a *(b *a )=b ,则对任意的a ,b ∈S ，下列等式中不恒成立的是（）A .（a *b ）*a =aB .［a *(b *a )］*(a *b )=aC. b *(b *b )=bD .(a *b )*［b *(a *b )］=b答案 A4.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（）A .△A1B 1C 1和△A 2B 2C 2 B .△A1B 1C 1和△A 2B 2C 2C .△A1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2 D .△A1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2答案D二、填空题5.（2008·揭阳模拟）已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中命题正确的是（填序号）.答案 ①6.（2008·枣庄模拟）对于任意实数a ,b 定义运算a *b =(a +1)(b +1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a ,b ,c ，有a *(b +c )=(a *b )+(a *c ); ②对于任意实数a ,b ,c ，有a *(b *c )=(a *b )*c ;③对于任意实数a ,有a *0=a ,则以上结论正确的是 . (写出你认为正确的结论的所有序号) 答案 ②③ 三、解答题7.已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1=4a n +2（n =1，2，…），a 1=1. （1）设b n =a n +1-2a n (n =1,2,…)，求证：数列{b n }是等比数列；（2）设c n =nn a 2(n =1,2,…),求证：数列{c n }是等差数列；（3）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式. （1）证明 ∵S n +1=4a n +2， ∴S n +2=4a n +1+2，两式相减，得 S n +2-S n +1=4a n +1-4a n (n =1,2,…), 即a n +2=4a n +1-4a n ,变形得a n +2-2a n +1=2(a n +1-2a n )∵b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),∴b n +1=2b n . 由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列. （2）证明由S 2=a 1+a 2=4a 1+2，a 1=1. 得a 2=5,b 1=a 2-2a 1=3.故b n =3·2n -1.∵c n =nn a 2(n =1,2,…),∴c n +1-c n =112++n n a -nn a 2=1122++-n nn a a =12+n n b .将b n =3·2n -1代入得 c n +1-c n =43(n =1,2,…), 由此可知，数列{c n }是公差为43的等差数列，它的首项c 1=21a =21，故c n =43n -41(n =1,2,…).（3）解 ∵c n =43n -41=41(3n -1). ∴a n =2n ·c n =(3n -1)·2n -2(n =1,2,…) 当n ≥2时，S n =4a n -1+2=(3n -4)·2n -1+2.由于S 1=a 1=1也适合于此公式，所以{a n }的前n 项和公式为S n =（3n -4）·2n -1+2.8.设a ,b ,c 为任意三角形三边长，I =a +b +c ,S =ab +bc +ca ,试证：I 2＜4S . 证明由I 2=（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca ) =a 2+b 2+c 2+2S ,∵a ,b ,c 为任意三角形三边长， ∴a ＜b +c ,b ＜c +a ,c ＜a +b ,∴a 2＜a (b +c ),b 2＜b (c +a ),c 2＜c (a +b ) 即(a 2-ab -ac )+(b 2-bc -ba )+(c 2-ca -cb )＜0 ∴a 2+b 2+c 2-2(ab +bc +ca )＜0 ∴a 2+b 2+c 2＜2S ∴a 2+b 2+c 2+2S ＜4S . ∴I 2＜4S .9.已知a ,b ,c 为正实数,a +b +c =1. 求证：（1）a 2+b 2+c 2≥31; (2)23+a + 23+b +23+c ≤6. 证明（1）方法一 a 2+b 2+c 2-31 =31 (3a 2+3b 2+3c 2-1) =31［3a 2+3b 2+3c 2-(a +b +c )2］=31(3a 2+3b 2+3c 2-a 2-b 2-c 2-2ab -2ac -2bc ) =31［(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31. 方法二 ∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31. 方法三设a =31+α,b =31+β,c =31+γ. ∵a +b +c =1,∴α+β+γ=0 ∴a 2+b 2+c 2=（31+α）2+（31+β）2+（31+γ）2=31+32(α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31 ∴a 2+b 2+c 2≥31. (2)∵23+a =1)23(⨯+a ≤2123++a =233+a , 同理23+b ≤233+b ,23+c ≤233+c ∴23+a +23+b +23+c ≤29)(3+++c b a =6∴原不等式成立. 10.已知函数y =a x +12+-x x (a ＞1). （1）证明：函数f (x )在（-1,+∞)上为增函数；（2）用反证法证明方程f (x )=0没有负数根. 证明（1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,由于a ＞1, ∴a 12x x -＞1且a 1x ＞0, ∴a 2x -a 1x =a 1x (a 12x x --1)＞0. 又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴1222+-x x -1211+-x x =)1)(1()1)(2()1)(2(212112+++--+-x x x x x x=)1)(1()(32112++-x x x x ＞0,于是f (x 2)-f (x 1)=a 2x -a 1x +1222+-x x -1211+-x x ＞0,故函数f (x )在(-1,+∞）上为增函数.（2）方法一假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f (x 0)=0, 则a 0x =-1200+-x x . ∵a ＞1,∴0＜a 0x ＜1, ∴0＜-1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2，与假设x 0＜0相矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 方法二假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f (x 0)=0, ①若-1＜x 0＜0，则1200+-x x ＜-2,a 0x ＜1, ∴f (x 0)＜-1,与f (x 0)=0矛盾. ②若x 0＜-1,则1200+-x x ＞0,a 0x ＞0, ∴f (x 0)＞0,与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根.§13.5 数学归纳法1.用数学归纳法证明：“1+a +a2+…+a n +1=a a n --+112(a ≠1)”在验证n =1时，左端计算所得的项为（）A .1B .1+aC .1+a +a2D .1+a +a 2+a3答案C2.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是( )A .P （n ）对n ∈N +成立 B.P (n )对n ＞4且n ∈N +成立 C .P （n ）对n ＜4且n ∈N +成立 D .P （n ）对n ≤4且n ∈N +不成立答案 D3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=224n n +，则当n =k +1时左端应在n =k 的基础上加上( )A . k 2+1B .( k +1)2C .2)1(）1(24+++k kD .（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k +1）2答案D4.已知f (n )=n 1+ 11+n +21+n +…+21n ，则 ( )A .f (n )中共有n 项，当n =2时，f (2)=21+31基础自测B .f (n )中共有n +1项，当n =2时，f (2)= 21+31+41C .f (n )中共有n 2-n 项，当n =2时，f (2)=21+31 D .f (n )中共有n 2-n +1项，当n =2时，f (2)= 21+31+41 答案 D5.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n +y n 能被x +y 整除”，在第二步时，正确的证法是（） A .假设n = k （k ∈N +），证明n = k +1命题成立B .假设n = k ( k 是正奇数)，证明n = k +1命题成立C .假设n =2 k +1( k ∈N +),证明n = k +1命题成立D .假设n = k ( k 是正奇数)，证明n = k +2命题成立答案 D例1 用数学归纳法证明:对任意的n ∈N +,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-n n =12+n n . 证明（1）当n =1时,左边=311⨯=31, 右边=1121+⨯=31,左边=右边,所以等式成立.（2）假设n =k (k ∈N +)时等式成立,即有 311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k =12+k k , 则当n =k +1时,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k +)32)(12(1++k k =12+k k +)32)(12(1++k k =)32)(12(13)2(++++k k k k =)32)(12(1322++++k k k k =321++k k =1）1(21+++k k , 所以当n =k +1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n ∈N +等式都成立.例2 试证：当n 为正整数时，f (n )=32n +2-8n -9能被64整除.证明方法一（1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64, 命题显然成立.（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时， f (k )=32k +2-8k -9能被64整除. 由于32(k +1)+2-8(k +1)-9=9(32k +2-8k -9)+9·8k +9·9-8(k +1)-9=9(32k +2-8k -9)+64(k +1)即f (k +1)=9f (k )+64(k +1) ∴n =k +1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N +，命题都成立. 方法二（1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64，命题显然成立. （2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时，f (k )=32k +2-8k -9能被64整除.由归纳假设，设32k +2-8k -9=64m (m 为大于1的自然数)，将32k +2=64m +8k +9代入到f (k +1)中得 f (k +1)=9(64m +8k +9)-8(k +1)-9=64(9m +k +1), ∴n =k +1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N +,命题都成立.例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+31）（1+51）…（1+121-n ）＞212+n 均成立.证明（1）当n =2时，左边=1+31=34；右边=25. ∵左边＞右边，∴不等式成立.（2）假设n =k (k ≥2,且k ∈N +)时不等式成立，即（1+31）（1+51）…（1+121-k ）＞212+k .则当n =k +1时，（1+31）（1+51）…（1+121-k ）＞]1)1(211[-++k＞212+k ·1222++k k =12222++k k =1224842+++k k k ＞1223842+++k k k =1221232+++k k k =21)1(2++k .∴当n =k +1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n ,不等式都成立.例4 （12分）已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2,a 5是方程x 2-12x +27=0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n =1-n b 21. （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较nb 1与S n +1的大小，并说明理由. 解（1）由已知得⎩⎨⎧==+27125252a a a a ,又∵{a n }的公差大于0，∴a 5＞a 2,∴a 2=3,a 5=9. ∴d =325a a - =339-=2，a 1=1.2分∵T n =1-21b n ，∴b 1=32，当n ≥2时，T n -1=1-21b n -1, ∴b n =T n -T n -1=1-21b n -(1-21b n-1), 化简，得b n =31b n -1, 5分∴{b n }是首项为32,公比为31的等比数列，即b n =32·131-⎪⎭⎫⎝⎛n =n32,∴a n =2n -1，b n =n32.6分(2)∵S n =2)]12(1[-+n n =n 2,∴S n +1=（n +1）2，n b 1=23n.以下比较nb 1与S n +1的大小：当n =1时，11b =23，S 2=4，∴11b ＜S 2, 当n =2时，21b =29,S 3=9,∴21b ＜S 3,当n =3时，31b =227,S 4=16,∴31b ＜S 4, 当n =4时，41b =281,S 5=25,∴41b ＞S 5. 猜想：n ≥4时，nb 1＞S n +1.下面用数学归纳法证明： ①当n =4时，已证.②假设当n =k (k ∈N +,k ≥4)时，k b 1＞S k +1,即23k ＞(k +1)2. 9分那么n =k +1时，11+k b =231+k =3·23k ＞3(k +1)2=3k 2+6k +3=(k 2+4k +4)+2k 2+2k -1＞［(k +1)+1］2=S (k +1)+1, ∴n =k +1时，nb 1＞S n +1也成立. 11分由①②可知n ∈N +,n ≥4时，nb 1＞S n +1都成立.综上所述，当n =1,2,3时，n b 1＜S n +1, 当n ≥4时，nb 1＞S n +1.12分1.用数学归纳法证明： 1-21+31-41+…+121-n -n 21=11+n +21+n +…+n 21.证明（1）当n =1时，左边=1-21=21=111+=右边， ∴等式成立.（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时，等式成立，即 1-21+31-41+…+121-k -k 21=11+k +21+k +…+k 21.则当n =k +1时, 1-21+31-41+…+121-k -k 21+121+k -221+k=11+k +21+k +…+k 21+121+k -221+k =111++k +211++k +…+k 21+121+k +(11+k -221+k )=111++k +211++k +…+k 21+121+k +)12(1+k ,即当n =k +1时，等式也成立，所以由（1）（2）知等式成立.2.求证：二项式x 2n -y 2n (n ∈N +)能被x +y 整除.证明（1）当n =1时，x 2-y 2=(x +y )(x -y ), 能被x +y 整除，命题成立.。

【北师大版】高三数学步步高(理)第四编三角函数及三角恒等变换(44页)

第四编三角函数及三角恒等变换§4.1 角的概念的推广和弧度制及任意角的三角函数基础自测1.A ={小于90°的角}，B ={第一象限的角}，则A ∩B 等于（） A.{小于90°的角} B.{0°～90°的角} C.{第一象限的角}D.以上都不对答案 D2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 ( )A.3π B.6π C.-3π D.-6π答案 A3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A.1 B.4 C.1或4D.2或4 答案 C4.已知角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin α等于（）A.sin2B.-sin2C.cos2D. -cos2 答案 D5.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且cos α=x 42,则sin α的值是（）A.410B.46 C.42 D.-410 答案 A试分别确定2α,2α ,3α的终边例1 若α是第二象限的角，所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°；当k =2n +1（n ∈Z ）时，n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. （3）∵k ·120°+30°＜3α＜k ·120°+60°（k ∈Z ），当k =3n （n ∈Z ）时， n ·360°+30°＜3α＜n ·360°+60°；当k =3n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+150°＜3α＜n ·360°+180°；当k =3n +2（n ∈Z ）时， n ·360°+270°＜3α＜n ·360°+300°. ∴3α是第一或第二或第四象限的角. 例2 （1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解（1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ,所以扇形的周长是2r +r θ. 依题意，得2r +r θ=πr ,∴θ=π-2=(π-2)×︒⎪⎭⎫⎝⎛π180≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,∴扇形的面积为S =21r 2θ=21（π-2）r 2. （2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =20, 即l =20-2r (0＜r ＜10)①扇形的面积S =21lr ，将①代入，得 S =21(20-2r )r =-r 2+10r =-(r -5)2+25, 所以当且仅当r =5时，S 有最大值25.此时 l =20-2×5=10,α=rl=2. 所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例3 （12分）已知角α的终边在直线3x +4y =0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x +4y =0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ,-3t ) (t ≠0), 2分则x =4t ,y =-3t ,r =t t t y x 5)3()4(2222=-+=+, 4分当t ＞0时，r =5t , sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x ,tan α=4343-=-=t t x y ; 8分当t ＜0时，r =-5t ,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t r x , tan α=4343-=-=t t x y . 10分综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-;t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-. 12分例4 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解（1）作直线y =23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α 的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x =21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z ,342322|k k k ππαππα.1.已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解 ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6, （1）求的弧长；（2）求弓形OAB 的面积. 解（1）∵α=120°=32πrad ，r =6，∴ 的弧长为l =32π×6=4π.(2)∵S 扇形OAB =21lr =21×4π×6=12π，S △ABO =21r 2·sin 32π=21×62×23=93，∴S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △ABO =12π-93.3.已知角α的终边在y 轴上，求sin α、cos α、tan α的值.解 ∵角α的终边在y 轴上，∴可在α的终边上任取一点（0,t )(t ≠0),即x =0，y =t . ∴r =22y x +=220t +=|t |. 当t ＞0时，r =t ,sin α=r y =t t =1,cos α=r x =t 0=0,tan α=x y 不存在；当t ＜0时，r =-t ，sin α=r y =tt-=-1, cos α=r x =t -0=0,tan α=xy 不存在. 综上可知,sin α=±1,cos α=0,tan α不存在. 4.求下列函数的定义域：（1）y =1cos 2-x ；（2）y =lg(3-4sin 2x ）.解（1）∵2cos x -1≥0，∴cos x ≥21. 由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sin x ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).一、选择题1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是（）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案 C 2.若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是（） A.sinx<x π3B. sinx>x π3C. sinx<224x π D.sinx>224x π答案 D3.与610°角终边相同的角表示为（） A. k ·360°+230°(k ∈Z ) B. k ·360°+250°(k ∈Z ) C. k ·360°+70°(k ∈Z ) D. k ·360°+270°(k ∈Z ) 答案 B4.已知（21）sin2θ＜1,则θ所在象限为（） A.第一或第二象限 B.第二或第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第三象限答案 D5.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B6.（2009·德州模拟）已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是（） A.-3 B.3或31 C.-31D.-3或-31答案 C 二、填空题7.已知角α的终边落在直线y =-3x (x ＜0)上，则=-ααααcos cos sin sin .答案 28.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin 60tπ 三、解答题 9.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，求实数a 的值. 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a , 解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91. 10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l . （1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21. ∵8＞2π,舍去,∴θ=21. (2)扇形的周长为40,∴R θ+2R =40，S =21lR =212R θ=41R θ·2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ.当且仅当R θ=2R ,即R =10,θ=2时面积取得最大值，最大值为100.11.设θ为第三象限角，试判断2cos2sinθθ的符号. 解 ∵θ为第三象限角， ∴2k π+π＜θ＜2k π+23π(k ∈Z ), k π+4322ππθπ+<<k (k ∈Z ). 当k =2n (n ∈Z )时，2n π+ππθπ43222+<<n , 此时2θ在第二象限. ∴sin2θ＞0,cos 2θ＜0. 因此2cos2sin θθ＜0. 当k =2n +1(n ∈Z )时，(2n +1)π+2π＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ), 即2n π+23π＜2θ＜2n π+47π(n ∈Z )此时2θ在第四象限.∴sin 2θ＜0,cos 2θ＞0,因此2cos2sin θθ＜0,综上可知：2cos 2sinθθ＜0. 12.角α终边上的点P 与A （a ，2a ）关于x 轴对称（a ≠0），角β终边上的点Q 与A 关于直线y =x 对称，求sin α·cos α+sin β·cos β+tan α·tan β的值.解由题意得，点P 的坐标为（a ,-2a )，点Q 的坐标为（2a ，a ）. sin α=22252)2(2aa a a a -=-+-,cos α=2225)2(aa a a a =-+,tan α=22-=-a a,sin β=2225)2(aa aa a =+,cos β=22252)2(2a a a a a =+,tan β=212=a a , 故有sin α·cos α+sin β·cos β+tan α·tan β =21)2(5255522222⨯-+∙+∙-a a a a a a a a =-1.§4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础自测1.（2009·泰安模拟）sin 2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的值为（）A.1B.α2sin 2C.0D.2 答案 D2.sin210°等于（）A.23B.-23 C.21D.-21答案 D 3.已知tan α=21,且α∈⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ，则sin α的值是 ( ) A.55-B.55 C.552 D.552-答案 A 4.若θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23等于（） A.43 B.103± C.103 D.-103答案 C 5.已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为 ( )A.53-B.51- C.51 D.53答案 A例1 已知f (α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;（1）化简f (α);（2）若α是第三象限角，且cos 5123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求f (α)的值.解（1）f （α）=αααααsin tan )tan (cos sin -⋅⋅=-cos α.（2）∵cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23πα=-sin α,∴sin α=-51,cos α=-65251522-=-, ∴f (α)=652. 例2 （12分）已知-2π＜x ＜0,sin x +cos x =51. （1）求sin x -cos x 的值；（2）求xx 22sin cos 1-的值.解（1）方法一联立方程： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+②1cos sin ①51cos sin 22　x x 　x x 2分由①得sin x =51-cos x ,将其代入②，整理得 25cos 2x -5cos x -12=0. 3分∵-2π＜x ＜0, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ,所以sin x -cos x =-57. 6分方法二 ∵sin x +cos x =51, ∴(sin x +cos x )2=251⎪⎭⎫⎝⎛,即1+2sin x cos x =251, ∴2sin x cos x =-2524.2分∵(sin x -cos x )2=sin 2x -2sin x cos x +cos 2x =1-2sin x cos x =1+2524=2549 ① 4分又∵-2π＜x ＜0,∴sin x ＜0,cos x ＞0, ∴sin x -cos x ＜0② 由①②可知：sin x -cos x =-57.6分（2）由已知条件及（1）可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+57cos sin 51cos sin x x x x ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x , 8分∴tan x =-43. 9分又∵xx x x xx 222222sin cos cos sin sin cos 1-+=-=xxx x xx 222222cos sin cos cos cos sin -+ =xx 22tan 11tan -+ 11分=72543114322=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫⎝⎛-. 12分例3 已知tan α=2,求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--;（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;（3）4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α. 解（1）原式=19243229tan 43tan 2-=-⨯-⨯=--αα.（2）759243229tan 43tan 2cos 9sin 4cos 3sin 222222222=-⨯-⨯=--=--αααααα. （3）∵sin 2α+cos 2α=1, ∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α =αααααα2222cos sin cos 5cos sin 3sin 4+--=114523441tan 5tan 3tan 422=+-⨯-⨯=+--ααα.1.化简)sin()cos(23sin )2cos()tan(αππαπααπαπ----⎪⎭⎫ ⎝⎛+---.解原式=[][])sin()cos(2sin )(cos )tan (απαπαππαππα+-∙+⎪⎭⎫⎝⎛-+∙-+∙- =[]αααπαπαsin )cos (2sin )cos()tan (∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙--∙-=αααααsin cos )cos (cos tan ∙--∙∙-=αααsin cos tan ∙-=ααααsin cos cos sin ∙-=-1. 2.已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π).求值：（1）tan θ;（2）sin θ-cos θ;（3）sin 3θ+cos 3θ. 解方法一 ∵sin θ+cos θ=51,θ∈(0,π), ∴(sin θ+cos θ)2=251=1+2sin θcos θ， ∴sin θcos θ=-2512＜0. 由根与系数的关系知， sin θ,cos θ是方程x 2-51x -2512=0的两根，解方程得x 1=54,x 2=-53.∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ=54,cos θ =-53.∴（1）tan θ=-34. （2）sin θ-cos θ=57. （3）sin 3θ+cos 3θ=12537. 方法二（1）同方法一.（2）(sin θ-cos θ)2=1-2sin θ·cos θ=1-2×⎪⎭⎫ ⎝⎛-2512=2549.∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0, ∴sin θ-cos θ=57. （3）sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ) =51×⎪⎭⎫ ⎝⎛+25121=12537. 3.已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:（1）θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;（2）41sin 2θ+52cos 2θ. 解由已知得cos(θ+k π)≠0, ∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ.（2）41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52sin 41++=2571tan 52tan 4122=++θθ.一、选择题1.α是第四象限角，tan α=125-，则sin α等于（） A.51 B.-51 C.135 D.-135 答案 D2.（2008·浙江理，8）若cos α+2sin α=-5,则tan α等于（）A.21B. 2C.21- D.-2 答案 B3.（2008· 四川理，5）设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是（）A.)2,3(ππB. ),3(ππC. )34,3(ππD.)23,3(ππ答案 C4.设0≤x ＜2π，且x 2sin 1-=sin x -cos x ，则（） A .0≤x ≤π B .474ππ≤≤x C .454ππ≤≤x D .232ππ≤≤x答案C5.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为（） A.1 B.2sin 2α C.0D.2 答案 D6.若sin α+cos α=tan α ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα，则α的取值范围是（）A.)6,0(πB. )4,6(ππ C. )3,4(ππD. )2,3(ππ答案 C 二、填空题 7.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos )2(πα+= . 答案562 8.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--∙+∙+--∙+∙+= .答案 1 三、解答题 9.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算：（1）sin(2π-α); （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++ (n ∈Z ).解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21, 又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-∙++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(∙+-++=αααπαcos sin )sin(sin ∙---=αααcos sin sin 2-=αcos 2-=-4. 10.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----.解方法一原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+∙αααααα. 方法二原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-=)sin cos cos 1(sin )sin cos 1(sin 4422222ααααααα-++-+=)sin )(cos sin (cos cos 1cos 2222222αααααα-+++=.32cos 3cos 2sin cos cos 1cos 2222222==-++αααααα11.设k 为整数，化简[][].)cos()1(sin )1(cos )sin(απαπαπαπ+++---k k k k 解方法一当k 为偶数时，设k =2m (m ∈Z ),则原式=[][].)2cos()12(sin )12(cos )2sin(απαπαπαπ+++---m m m m =;1cos sin )cos )(sin (cos )sin()cos()sin(-=---=++-ααααααπαπα当k 为奇数时，可设k =2m +1(m ∈Z ), 仿上可得，原式=-1.方法二由(k π+α)+(k π-α)=2 k π, ［(k -1)π-α］+［(k +1)π+α］=2 k π, 得sin(k π-α)=-sin(k π+α),[][]απαπ++=--)1(cos )1(cos k k=-cos(k π+α),sin ［(k +1)π+α］=-sin(k π+α). 故原式=[].1)cos()sin()cos()sin(-=++-+-+-απαπαπαπk k k k12.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值：（1）sin α-cos α;（2）).2(cos 2sin 33απαπ++⎪⎭⎫⎝⎛-解由sin(π-α)-cos(π+α)=32, 得,32cos sin =+αα①将①式两边平方，得1+2sin α·cos α=92,故2sin α·cos α=-97, 又2π＜α＜π，∴αsin ＞0，∴αcos ＜0. ∴ααcos sin -＞0.（1）,916)97(1cos sin 21)cos (sin 2=--=⋅-=-αααα∴34cos sin =-αα. （2）αααπαπ333sin cos )2(cos )2(sin -=++-3=)sin sin cos )(cos sin (cos 22αααααα+⋅+-=.2722187134-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-§4.3 三角函数的图像与性质基础自测1.①在（0,2π）上递减；②以2π为周期；③是奇函数. （） A .y =tan x B .y =cos x C .y =-sin x D .y =sin x cos x答案C2.下列函数中，周期为2π的是（ A .y =sin2xB .y =sin2xC .y =cos4xD .y =cos4x答案D3.设函数y =a cos x +b （a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么a cos x +b sin x 的最大值是 ( )A .1B .4C .5D .7答案 C4.函数y =|sin x |的一个单调增区间是（）A .)4,4(ππ-B .)43,4(ππ C .)23,(ππ D . )2,23(ππ答案 C5.（2008·全国Ⅱ理，8）若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为（）A .1B .2C .3D .2答案 B例1 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x );（2）=x x cos sin -. 解（1）要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0. ∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1,∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k x k x ,2222|ππππ.（2）要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.方法一利用图像.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图像，如图所示.在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为4π，45π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,24524|ππππ.方法二利用三角函数线，如图MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM ，则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,24524|ππππ. 方法三 sin x -cos x =2sin )4(π-x ≥0，将x -4π视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图像和性质可知2k π≤x -4π≤π+2k π, 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z . 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζ,24542|k k x kx x πππ.例2 求下列函数的值域：（1）y =xx x cos 1sin 2sin -;(2)y =sin x +cos x +sin x cos x ; (3)y =2cos )3(x +π+2cos x .解（1）y =x x x x cos 1sin cos sin 2-=xx x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x +2cos x =22)21(cos +x -21.于是当且仅当cos x =1时取得y max =4,但cos x ≠1, ∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cos x =-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21.（2）令t =sin x +cos x ,则有t 2=1+2sin x cos x ,即sin x cos x =212-t .有y =f (t )=t +212-t =1)1(212-+t .又t =sin x +cos x =2sin )4(π+x ，∴-2≤t ≤2. 故y =f (t )=1)1(212-+t (-2≤t ≤2), 从而知：f (-1)≤y ≤f (2),即-1≤y ≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y =2cos )3(x +π+2cos x=2cos3πcos x -2sin 3πsin x +2cos x =3cos x -3sin x=23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos )6(π+x .∵)6cos(π+x ≤1∴该函数值域为［-23，23］. 例3（12分）求函数y =2sin )4(x -π的单调区间.解方法一 y =2sin )4(x -π化成y =-2sin )4(π-x . 1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ),3分∴函数y =-2sin )4(π-x 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ), 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ),2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z ),即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ). 11分∴函数y=2sin )4(x -π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).12分方法二 y =2sin )4(x -π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.1分又∵u =x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ), -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin )4(x -π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ), 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z ) 得-2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ), 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin )4(x -π的递增区间.11分综上可知：y =2sin )4(x -π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）；递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.12分1.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.解由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图像，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0;当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.Z2.已知函数f (x )=x x x 2cos 1cos 3cos 224+-,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π，解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f (x ）的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x x ,42ππ且,.又f （x )= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=x x x 2cos )1)(cos 1cos 2(22--=cos 2x -1=-sin 2x .又定义域关于原点对称，∴f (x )是偶函数.显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z . ∴-sin 2x ≠-21.所以原函数的值域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.3.（1）求函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 23π的单调递减区间；（2）求y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期及单调区间.解（1）方法一令u =x 23-π,y =sin u 利用复合函数单调性.由2k π-2π≤-2x +3π≤2k π+2π(k ∈Z ),得 2k π-65π≤-2x ≤2k π+6π（k ∈Z ), -k π-12π≤x ≤-k π+125π(k ∈Z ), 即k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ).∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k (k ∈Z ).方法二由已知函数y =-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ,欲求函数的单调递减区间，只需求y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的单调递增区间.由2k π-2π≤2x -3π≤2k π+2π（k ∈Z ), 解得k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ).∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k （k ∈Z ）. （2）y =3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-46x π =-3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64πx ,∴T =ωπ=4π,∴y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期为4π.由k π-2π＜64π-x ＜k π+2π，得4k π-34π＜x ＜4k π+38π(k ∈Z ),y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx 的单调增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ） ∴y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ).一、选择题1.已知函数y =tan ωx 在)2,2(ππ-内是减函数,则（）A .0＜ω≤1B .-1≤ω＜0C .ω≥1D .ω≤-1答案B2.（2009· 连云港模拟）若函数y=)0)(sin(>+ωϕωx 的最小正周期为4，且当x =2时y 取得最小值,则ϕ的一个可能值是（ )A.4πB.3π C.2πD.π 答案 C3.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图像的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f (4π)的值是 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.4π 答案 A 4.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 ( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65答案 C5.函数f (x )=lg(sin2x +3cos2x -1)的定义域是 ( )A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412|ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,26|ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,12114|ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,3|πππ答案 A 6.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23; ③若βα、是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程； ⑤函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形.其中正确的序号为（） A.①③ B.②④ C.①④ D.④⑤ 答案 C 二、填空题7.(2008·江苏，1)f (x )=cos(ωx -6π)最小正周期为5π，其中ω＞0，则ω= . 答案 108.关于函数f (x )=4sin （2x +3π）（x ∈R①由f (x1)=f (x 2)=0可得x 1-x 2必是π②y = f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -6π)③y = f (x )的图像关于点(-6π,0)④y = f (x )的图像关于直线x =-6π对称. 其中正确的命题的序号是 .答案三、解答题9.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，试求参数m 的取值范围.解由m cos x -1=cos x +m 得 cos x =11-+m m ,作出函数y =cos x 的图像（如图所示），由图像可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 10.设a =)sin cos ,42(sin 2x x x++π,b =(4sin x ,cos x -sin x ),f (x )=a ·b .（1）求函数f (x )的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y =f (x ω)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤ππ326x x ，B ={x ||f (x )-m |＜2},若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.解（1）f (x )=sin242x+π·4sin x +(cos x +sin x )·(cos x -sin x )=4sin x ·22cos 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x π+cos2x=2sin x (1+sin x )+1-2sin 2x =2sin x +1,∴f (x )=2sin x +1.（2）∵f (ωx )=2sin ωx +1,ω＞0. 由2k π-2π≤ωx ≤2k π+2π, 得f (ωx )的增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ωπωπωπωπ22,22k k ,k ∈Z . ∵f （ωx ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2. ∴-2π≥ωπ2-且32π≤ωπ2,∴ω∈ ⎝⎛⎥⎦⎤43,0. （3）由|f (x )-m |＜2,得-2＜f (x )-m ＜2, 即f (x )-2＜m ＜f (x )+2. ∵A ⊆B ，∴当6π≤x ≤π32时，不等式f (x )-2＜m ＜f (x )+2恒成立. ∴f (x )max -2＜m ＜f (x )min +2, ∵f (x )max =f (2π)=3,f (x )min =f (6π)=2,∴m ∈（1，4）. 11.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f (x )=sin x .（1）求当x ∈［-π，0］时，f (x )的解析式；（2）画出函数f (x )在［-π，π］上的函数简图；（3）求当f (x )≥21时，x 的取值范围. 解（1）∵f (x )是偶函数，∴f (-x )=f (x ).而当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f (x )=sin x .∴当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π时，f (x )=f (-x )=sin(-x )=-sin x .又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,ππ时，x +π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∵f (x )的周期为π，∴f (x )=f (π+x )=sin(π+x )=-sin x . ∴当x ∈［-π,0］时，f (x )=-sin x . （2）如图（3）由于f (x ）的最小正周期为π, 因此先在［-π，0］上来研究f (x )≥21,即-sin x ≥21,∴sin x ≤-21, ∴-65π≤x ≤-6π.由周期性知，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππππk k ,k ∈Z 时，f (x )≥21.12.已知a ＞0，函数f (x )=-2a sin )62(π+x +2a +b ,当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，-5≤f (x )≤1. （1）求常数a ,b 的值；（2）设g (x )=f )2(π+x 且lg g (x )＞0,求g (x )的单调区间.解（1）∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∴2x +6π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ67,6.∴sin )62(π+x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21，∴-2a sin )62(π+x ∈［-2a ,a ］.∴f (x )∈［b ,3a +b ］,又∵-5≤f (x )≤1,∴b =-5,3a +b =1,因此a =2,b =-5. （2）由（1）知a =2,b =-5,∴f （x ）=-4sin )62(π+x -1,g (x )=f )2(π+x =-4sin )672(π+x -1=4sin )62(π+x -1. 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1,∴4sin )62(π+x -1＞1,∴sin )62(π+x ＞21,∴2k π+6π＜2x +6π＜2k π+65π,k ∈Z .由2k π+6π＜2x +6π≤2k π+2π(k ∈Z ),得g (x )的单调增区间为：⎥⎦⎤ ⎝⎛+6,πππk k （k ∈Z ）由2k π+2π≤2x +6π＜2k π+65π,得g (x )的单调减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡++3,6ππππk k （k ∈Z ）. §4.4 函数y=Asin(ωx+ϕ)的图像及三角函数模型的简单应用基础自测1.（2008·天津理，3）设函数f （x ）=sin )22(π-x ，x ∈R ，则f （x ）是 ( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数答案 B2.（2008· 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y =cos )232(π+x (x ∈[0,2π])的图像和直线y =21的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 C3.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图像，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图像上所有的点（）A .向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B .向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 C .向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3D .向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）答案C4.下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图像和函数y =x 的图像有三个公共点. ④把函数y =3sin(2x +3π)的图像向右平移6π得到y =3sin2x 的图像. ⑤函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的序号是 . 答案 ①④5.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案 23例1 已知函数y =2sin )32(π+x ,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明y =2sin )32(π+x 的图像可由y =sin x 的图像经过怎样的变换而得到.解（1）y =2sin )32(π+x 的振幅A =2,周期T =22π=π，初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin )32(π+x =2sin X . 列表，并描点画出图像：（3）方法一把y =sin x 的图像上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin )3(π+x 的图像，再把y =sin )3(π+x 的图像上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin )32(π+x 的图像，最后把y =sin )32(π+x 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin )32(π+x 的图像.方法二将y =sin x 的图像上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图像；再将y =sin2x 的图像向左平移6π个单位；得到y =sin2)3(π+x =sin )32(π+x 的图像；再将y =sin )32(π+x 的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin )32(π+x 的图像.例2 如图为y =A sin(ωx +ϕ)的图像的一段，求其解析式.解方法一以N 为第一个零点，则A =-3，T =2)365(ππ-=π， ∴ω=2，此时解析式为y =-3sin （2x +ϕ）. ∵点N )0,6(π-，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π，所求解析式为y =-3sin )32(π+x . ①方法二由图像知A =3，以M )0,3(π为第一个零点，P )0,65(π为第二个零点.列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+πϕπωϕπω65·03· 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω.∴所求解析式为y =3sin )322(π-x . ②例3（12分）已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图像相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解（1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ),且y =f (x )的最大值为2，A ＞0, ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图像相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0, ∴21)22(ωπ=2, ω=4π.2分∴f (x )=22-22cos )22(ϕπ+x =1-cos )22(ϕπ+x . ∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos )22(ϕπ+=-1.4分ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z . 又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.6分(2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos )22(ππ+x =1+sin x 2π. ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.9分又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4×502,∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4×502=2 008. 12分1.已知函数y =3sin )421(π-x（1）用五点法作出函数的图像；（2）说明此图像是由y =sin x 的图像经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图像的对称轴方程、对称中心. 解（1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y =sin x 的图像上所有点向右平移4π个单位，得到y =sin )4(π-x 的图像；再把y =sin )4(π-x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin )421(π-x 的图像，最后将y =sin )421(π-x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin )421(π-x 的图像.方法二 “先伸缩，后平移”先把y =sin x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin21x 的图像；再把y =sin 21x 图像上所有的点向右平移2π个单位，得到y =sin21(x -2π)=sin )42(π-x 的图像，最后将y =sin )42(π-x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin )421(π-x 的图像.（3）周期T =ωπ2=22π=4π，振幅A =3，初相是-4π. (4)令421π-x =2π+k π(k ∈Z ), 得x =2k π+23π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令21x -4π=k π(k ∈Z )得x =2π+2k π(k ∈Z ). 对称中心为)0,22(ππ+k (k ∈Z ).2.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图像如图所示，则函数表达式为 ( )A. y =-4sin )48(ππ-x B. y =-4sin )48(ππ+xC. y =4sin )48(ππ-x D. y =4sin )48(ππ+x答案 B3.已知函数f (x )=A sin x ω+B cos x ω(其中A 、B 、ω是实常数，且ω＞0)的最小正周期为2,并当x =31时,f (x )取得最大值2. （1）函数f (x )的表达式；（2）在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡423,421上是否存在f (x )的对称轴? 如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.解（1）f (x )=A sin x ω+B cos x ω=)sin(22ϕω++x B A 由T =ωπ2=2知ω=π，又因为f (x )最大值为2，所以f （x ）=2sin(πx +ϕ). 由x =31时f (x )max =2，得sin )3(ϕπ+=1，∴ϕ=6π.∴f (x )=2sin )6(ππ+x . （2）令πx +6π=k π+2π(k ∈Z )得对称轴方程为x =k +31，由对称轴满足421≤k +31≤423（k ∈Z ）即1259≤k ≤1265且k ∈Z ，∴k =5. 故在⎥⎦⎤⎢⎣⎡423,421上f (x ）只有一条对称轴.x =5+31=316，即对称轴方程为x =316.一、选择题1.下列函数中，图像的一部分如下图所示的是（）A.y =sin )6(π+x B. y =sin )62(π-xC.y =cos )34(π-x D.y =cos )62(π-x答案 D2.（2008·全国Ⅰ理，8）为得到函数y =cos )32(π+x 的图像，只需将函数y =sin2x 的图像（）A .向左平移125π B .向右平移125π C .向左平移65π D .向右平移65π答案A3.（2008·湖南理，6）函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值是（）A.1B.231+ C.23D.1+3 答案 C4.（2008·四川理，10）设f （x ）=sin （ωx +ϕ），其中ω＞0,则f (x )是偶函数的充要条件是（）A. f (0)=1B. f (0)=0C.)0('f =1D.)0('f =0 答案 D5.函数y =3sin )321(π+x 的周期、振幅依次是（）A.4π，3B.4π，-3C. π，3D. π，-3 答案 A6.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f )6(x +π=f )6(x -π，则f )6(π等于（）A.2或0B.-2或2C.0D. -2或0 答案 B 二.填空题7.（2008·辽宁理，16）已知f (x )=sin )3(πω+x (ω＞0),f )6(π=f )3(π,且f (x )在区间)3,6(ππ上有最小值，无最大值，则ω= .答案3148.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期与最大值的和为 . 答案 2π-21三、解答题9.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.解 y =1-cos 2x +a cos x +85a -23 =218542cos 22-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x。

高考数学总复习 133不等式选讲课件北师大版

推论：设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有(a21 ＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当向量(a1，a2， a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立。
6．排序不等式定理 1 设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 a≥b，c≥d，那么 ac＋bd≥ ad＋bc ，当且仅当 a＝b(或 c＝d)，时取 “＝”号．定理 2 (排序不等式)设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥
[点评] (1)解这类绝对值符号内是一次式的不等式，其一般步骤是：
①令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；
②把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
④取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．对于形如|x－a|＋|x－b|>c 或|x－a|＋|x－b|<c 的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷，这又一次体现了数形结合思想方法的优越性！
解．
②
当 x≥3 时，x＋3＋x－3>8，即 x>4，此时不等式的解
集为{x|x>4}．
③
取①②③式的并集得原不等式的解集为
{x|x<－4 或 x>4}．
解法 2：不等式|x＋3|＋|x－3|>8 表示数轴上与 A(－3)， B(3)两点距离之和大于 8 的点，而 A、B 两点距离为 6.因此线段 AB 上每一点到 A、B 的距离之和都等于 6.
2．高考考查的重点是：绝对值不等式的解法和性质运用、不等式的证明、基本不等式、柯西不等式、数学归纳法的应用，利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值等．

【北师大版】高三数学步步高(理)第一编集合与常用逻辑用语(18页)

第一编集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念及其基本运算基础自测1.（2008· 山东，1）满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是（）A .1B .2C .3D .4答案 B2.(2009·安徽怀远三中月考)若A ={}4,3,2，B ={}n m A n m m n x x ≠∈=,,·|、，则集合B 的元素个数为（）A .2B .3C .4D .5 答案 B3.设全集U ={}7,5,3,1，集合M ={},|5|,1-a M ⊆U ，U M ={}7,5，则a 的值为（） A .2或-8 B .-8或-2 C .-2或8 D .2或8 答案 D4.(2008·四川理，1)设集合U ={},5,4,3,2,1A ={},3,2,1B ={}4,3,2,则U （A B ）等于（） A .{}3,2 B .{}5,4,1 C .{}5,4 D .{}5,1 答案 B5.设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B ，则下列集合为空集的是（） A .A B B .A (U B ） C .B (U A ）D .（U A ）（U B ）答案 B例1 若a ,b ∈R ,集合{},,,0,,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a 求b -a 的值.解由{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a +b =0，则有以下对应关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10b a a bb a ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10ab ab b a ② 由①得,11⎩⎨⎧=-=b a 符合题意；②无解.所以b -a =2.例2 已知集合A ={}510|≤+<ax x ，集合B =.221|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a =0，则A =R ;②若a ＜0，则A =;14|⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤a x a x③若a ＞0，则A=,41|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-a x a x (1) 当a =0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a ＜0时，若A ⊆B ，如图，则,21214⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->aa ∴，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<218a a ∴a ＜-8. 当a ＞0时，若A ⊆B ，如图，则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-aa ∴.22⎩⎨⎧≥≥a a ∴a ≥2.综上知，此时a 的取值范围是a ＜-8或a ≥2.(2)当a =0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时,若B ⊆A ，如图，则，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤21214a a ∴,218⎪⎩⎪⎨⎧->-≥a a ∴-21＜a ＜0,当a ＞0时，若B ⊆A ,如图，则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-a a ∴,22⎩⎨⎧≤≤a a ∴0＜a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，-.221≤<a（3）当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A =B . 由（1）、（2）知，a =2.例3（12分）设集合A ={}023|2=+-x x x ,B {}0)5()1(2|22=-+++=a x a x x . (1)若A B ={}2,求实数a 的值； (2)若A B =A,求实数a 的取值范围；(3)若U =R ，A （U B ）=A .求实数a 的取值范围.解由x 2-3x +2=0得x =1或x =2,故集合A ={}.2,1 （1）∵A B ={}2,∴2∈B ,代入B 中的方程,得a 2+4a +3=0,∴a =-1或a =-3.1分当a =-1时，B ={}{},2,204|2-==-x x 满足条件；当a =-3时，B ={}{},2044|2==+-x x x 满足条件；综上，a 的值为-1或-3. 3分（2）对于集合B ，∆=4(a +1)2-4(a 2-5)=8(a +3). ∵A B =A,∴B ⊆A ,①当∆＜0,即a ＜-3时，B =∅，满足条件； ②当∆=0，即a =-3时，B ={}2，满足条件；③当∆＞0，即a ＞-3时，B =A ={}2,1才能满足条件， 5分则由根与系数的关系得,521)1(2212⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+-=+a a 即,7252⎪⎩⎪⎨⎧=-=a a 矛盾；综上，a 的取值范围是a ≤-3. 7分（3）∵A（U B ）=A ，∴A⊆U B ，∴A B=;∅ 8分①若B =;∅，则∆＜03-<⇒a 符合；②若B ≠;∅，则a =-3时，B ={}2，A B {}2=，不合题意；a ＞-3，此时需1∉B 且2∉B .将2代入B 的方程得a =-1或a =-3（舍去）；将1代入B 的方程得a 2+2a -2=0.31±-=⇒a∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1.3± 11分综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜-1-3或-1-3＜a ＜-1或-1＜a ＜-1+3或a ＞-1+.3 12分例4 若集合A 1、A 2满足A 1 A 2=A ,则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2,，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={}3,2,1的不同分拆种数是（）A .27B .26C .9D .8 答案A1.设含有三个实数的集合可表示为{},2,,d a d a a ++也可表示为{},,,2aq aq a 其中a ,d ,q ∈R ,求常数q . 解依元素的互异性可知，a ≠0,d ≠0，q ≠0,q ≠1±. 由两集合相等，有（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22,aq d a aq d a 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.2,2aq d a aq d a 由（1）得a +2a （q -1）=aq 2,∵a ≠0, ∴q 2-2q +1=0,∴q =1(舍去).由（2）得a +2a (q 2-1)=aq ,∵a ≠0,∴2q 2-q -1=0,∴q =1或q =-.21∵q ≠1, ∴q =-,21综上所述,q =-.212.（1）若集合P ={},06|2=-+x x x S {},01|=+=ax x 且S ⊆P ,求a 的可取值组成的集合；（2）若集合A ={},52|≤≤-x x B {},121|-≤≤+=m x m x 且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合.解（1）P ={}.2,3-当a =0时，S =∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax +1=0的解为x =-,1a为满足S ⊆P ,可使31-=-a 或,21=-a 即a =31或a =-.21故所求集合为.21,31,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧- （2）当m +1＞2m -1，即m ＜2时，B =∅，满足B ⊆A ;若B ≠∅，且满足B ⊆A ,如图所示，则,51221,121⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+m m m m 即⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥3,32m m m ∴2≤m ≤3. 综上所述，m 的取值范围为m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{}.3|≤m m3.已知集合A ={},R ,01)2(|2∈=+++x x a x x B {}0|R >∈=x x ，试问是否存在实数a ，使得A B=∅？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.解方法一假设存在实数a 满足条件A B=∅，则有（1）当A ≠∅时，由A B ,∅=B ={}0|R >∈x x ，知集合A 中的元素为非正数，设方程x 2+(2+a )x +1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得（2）当A =∅时，则有△=(2+a )2-4＜0，解得-4＜a ＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件A B =∅的实数a ,其取值范围是（-4，+∞）.方法二假设存在实数a 满足条件A B ≠∅，则方程x 2+(2+a )x +1=0的两实数根x 1,x 2至少有一个为正，因为x 1·x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数.则由根与系数的关系，得,0)2(04)2(212⎪⎩⎪⎨⎧>+-=+≥-+=∆a x x a 解得.4,240-≤⎩⎨⎧-<-≤≥a a a a 即或又∵集合{}4|-≤a a 的补集为{},4|->a a ∴存在满足条件A B =∅的实数a ,其取值范围是（-4，+∞）. 4.设集合S ={}3210,,,A A A A ，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为i +j 被4除的余数，i ,j =0，1，2，3,则满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为（） A .1 B .2 C .3 D .4 答案B一、选择题1.(2008·江西理，2)定义集合运算：A *B ={}.,,|B y A x xy z z ∈∈=设A ={}{},2,0,2,1=B 则集合A *B 的所有元素之和为（）A .0B .2C .3D .6 答案 D2.已知全集U {}9,7,5,3,1,0=， A U B ={},1B {},7,5,3=那么（U A ）( U B ）等于（）A .{}7,3,0B .{}9,0C .∅D .{}7答案 B3.设全集U =R ,集合M ={x |x ≤1或x ≥3},集合P ={}R ∈+<<k k x k x ,1|，且U M P ≠∅，则实数k 的取值范围是（）A .k ＜0或k ＞3B .1＜k ＜2C .0＜k ＜3D .-1＜k ＜3 答案 C4.(2008·安徽理，2)集合A ={}，1,g 1|R >=∈x x y y B {},2,1,1,2--=则下列结论中正确的是（）A .AB {}1,2--= B .( R A ) B （=-∞,0） C .A B ，（0=+∞）D .(R A ) B {}12--=，答案 D5.已知集合P ={（x ，y ）||x |+|y |=1}，Q ={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，则 ( ） A .P Q B .P =Q C .P Q D .P ∩Q =Q答案 A6.(2008·长沙模拟) 已知集合A ={x |y =21x -,x ∈Z }，B ={y |y =x 2+1,x ∈A },则A ∩B 为（） A .∅ B .［0，+ C .{1} D .{（0，1）}答案C二、填空题7.集合A ={x ||x -3|＜a ,a ＞0}，B ={x |x 2-3x +2＜0}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 . 答案［2，+8.(2008·福建理，16) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a -b 、ab 、ba∈P （除数b ≠0）,则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集F ={a +b 2|a ,b ∈Q }也是数域.有下列命题: ①整数集是数域;②若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)答案三、解答题9.已知集合A ={x |mx 2-2x +3=0，m ∈R }.（1）若A 是空集，求m（2）若A 中只有一个元素，求m（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.解集合A 是方程mx 2-2x +3=0在实数范围内的解集. (1)∵A 是空集，∴方程mx 2-2x +3=0无解.∴Δ=4-12m ＜0,即m ＞31.（2）∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2-2x +3=0只有一个解. 若m =0，方程为-2x +3=0，只有一解x =23;若m ≠0，则Δ=0，即4-12m =0,m =31.∴m =0或m =31.(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m =0或m ≥31.10.（1）已知A ={a +2，( a +1)2，a 2+3a +3}且1∈A ，求实数a的值；（2）已知M ={2，a ，b }，N ={2a ，2，b 2}且M =N ，求a ，b 的值. 解（1）由题意知：a +2=1或(a +1)2=1或a 2+3a +3=1，∴a =-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a =0即为所求.（2）由题意知,,214100102222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==b a b a b a a b b a b b a a 或或或根据元素的互异性得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==214110b a b a 或即为所求. 11.已知集合A =,R ,116|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+x x x B ={},02|2<--m x x x（1）当m =3时，求A (R B )；（2）若A B {}41|<<-=x x ，求实数m 的值. 解由,116≥+x 得,015≤+-x x ∴-1＜x ≤5,∴A ={}51|≤<-x x . （1）当m =3时，B ={}31|<<-x x ，则R B ={}31|≥-≤x x x 或，∴A （R B ）={}53|≤≤x x . (2)∵A ={}{},41|,51|<<-=≤<-x x B A x x ∴有42-2×4-m =0,解得m =8. 此时B ={}42|<<-x x ,符合题意，故实数m 的值为8.12.设集合A ={（x ,y ）|y =2x -1,x ∈N +},B ={(x ,y )|y =ax 2-ax +a ,x ∈N +}，问是否存在非零整数a ,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由.解假设A ∩B ≠∅，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=aax ax y x y 212有正整数解，消去y ,得ax 2-(a +2)x +a +1=0.(*)由Δ≥0，有(a +2)2-4a (a +1)≥0,-332332≤≤a .因a 为非零整数，∴a =±1当a =-1时，代入（*得x =0或x =-1,x ∈N +.故a ≠-1.a =1时，代入（*）,解得x =1或x =2，符合题意.故存在a =1,使得A ∩B ≠∅,此时A ∩B ={（1，1），（2，3）}§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件基础自测1.下列语句中是命题的是（） A .|x +a | B.{}0∈N C .元素与集合 D .真子集答案 B2.（2008·湖北理，2）若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则（）A .“x ∈C ”是“x ∈A”的充分条件但不是必要条件B .“x ∈C ”是“x ∈A”的必要条件但不是充分条件C .“x ∈C ”是“x ∈A”的充要条件D .“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件答案B3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的（）A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题答案C4.（2008·浙江理，3）已知a,b都是实数,那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D5.设集合A、B，有下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A都有x∉B;②A B⇔A∩B=∅;③A B⇔B A;④A B⇔存在x∈A,使得x∉B.其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）答案④例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.解（1）原命题:若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.(2)原命题:若两个三角形全等，则它们的面积相等.逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.（3）原命题:已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d”.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p，“a+c=b+d”是结论q，所以逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+c≠b+d.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等.例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；（4）已知x、y∈R，p：(x-1)2 +(y-2)2=0，q：（x-1）（y-2）=0.解（1）在△ABC中，∠A=∠B⇒sin A=sin B，反之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q⇒⌝p.但⌝p⌝q,即⌝q 是⌝p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p :x =1且y =2,条件q :x =1或y =2,所以p ⇒q 但q p ,故p 是q 的充分不必要条件. 例3（12分）已知ab ≠0求证：a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.证明∵a +b =1，∴a +b -1=0， 1∴a 3+b 3+ab -a 2-b 2=（a +b ）（a 2-ab +b 2）-（a 2-ab +b 2） 4=（a +b -1）（a 2-ab +b 2）=0. 6∵a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0即（a +b -1）（a 2-ab +b 2）=0， 8又ab ≠0,∴a ≠0且b ≠0, ∴a 2-ab +b 2=（a -43)22+b b 2＞0,∴a +b -1=0,即a +b =1, 10综上可知,当ab ≠0时,a +b =1a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0. 12分1. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题.2.（2008·湖南理，2）“|x -1|＜2成立”是“x (x -3)＜0成立”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B3. 证明一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.证明充分性：若ac ＜0,则b 2-4ac ＞0,且ac＜0, ∴方程ax 2+bx +c =0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根，则Δ=b 2-4ac ＞0,x 1x 2=ac＜0,∴ac ＜0.综上所述，一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.一、选择题1.下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a ＞b,则a +c ＞b +c ”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为（） A .0 B.1C .2 D.3答案B2.（2008·重庆理，2）设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m +n 是偶数”的（） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A3.“x ＞1”是“x 2＞x ”的（） A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A4. 对任意实数a ,b ,c，给出下列命题：①“a =b ”是“ac =bc”的充要条件；②“a +5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件；④“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件.其中真命题的个数是（）A.1 B .2 C .3 D.4答案B5.在△ABC 中，“sin2A =23”是“A =30°”的 ( ）A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案B6.（2008·安徽理，7）a ＜0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的（）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案B二、填空题7.设集合A ={}{},034|,4|||2>+-=<x x x B x x 则集合{}B A x A x x ∉∈且|= . 答案 {}31|≤≤x x8.设A ={}{},0|),(,1)1(|),(22≥++==-+m y x y x B y x y x 则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是 .答案 m 12-≥ 三、解答题9. 求关于x 的方程x 2-mx +3m -2=0的两根均大于1的充要条件.解设方程的两根分别为x 1、x 2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->-+-≥--=∆,0)1)(10)1()1(,0)23(421212x x x x m m （，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++->-+≥+-=∆.01)(02)(,08122121212x x x x x x m m ，又∵x 1+x 2=m ,x 1x 2=3m -2,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≤+≥21,2,726726m m m m 或故所求的充要条件为m ≥6+27. 10.已知x ,y ∈R.求证：|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明（充分性）若xy ≥0,则x ,y 至少有一个为0或同号.∴|x +y |=|x |+|y |一定成立. （必要性）若|x +y |=|x |+|y |,则(x +y )2=(|x |+|y |)2,x 2+2xy +y 2=x 2+2|xy |+y 2,∴xy =|xy |,∴xy ≥0.综上，命题得证.11. a ,b ,c 为实数，且a =b +c +1.证明：两个一元二次方程x 2+x +b =0,x 2+ax +c =0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明假设两个方程都没有两个不等的实数根，则1=1-4b ≤0,Δ2=a 2-4c ≤0,∴Δ1+Δ2=1-4b +a 2-4c ≤0.∵a =b +c +1,∴b +c =a -1.∴1-4(a -1)+a 2≤0,即a 2-4a +5≤0.但是a 2-4a +5=(a -2)2+1＞0,故矛盾. 所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.12.设α、β是方程x 2-ax +b =0的两个根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α、β均大于1的什么条件？解令p :a ＞2,且b ＞1;q : α＞1,且β＞1,易知α+β=a ,αβ=b.①若a ＞2,且b ＞1,即，⎩⎨⎧>>+12αββα不能推出α＞1且β＞1.可举反例：若⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+，2163216βααββα，则所以由p 推不出q ；②若α＞1,且β＞1，则α+β＞1+1=2, αβ＞1.所以由q 可推出p .综合知p 是q 的必要不充分条件，也即a ＞2,且b ＞1是两根α、β均大于1的必要不充分条件.§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础自测1.已知命题p :任意,1sin ,≤∈x x R 则（） A .1sin ,:≥∈⌝x x p R 存在 B .1sin ,:≥∈⌝x x p R 任意 C .1sin ,:x ＞x p R ∈⌝存在 D .1sin ,:>∈⌝x x p R 任意答案C2.已知命题p :3≥3;q :3＞4，则下列选项正确的是（） A .p 或q 为假，p 且q 为假,⌝p 为真 B .p 或q 为真，p 且q 为假，⌝p 为真C .p 或q 为假，p 且q 为假，⌝p 为假D . p 或q 为真，p 且q 为假，⌝p 为假答案D3. (2008·广东理，6)已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（） A .( p ⌝)或qB .q p 且C .( p ⌝)且()q ⌝D .( p ⌝)或)(q ⌝答案D4. 下列命题中是全称命题的是（） A .圆有内接四边形 B .3 ＞2C .3≤2D .若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形答案A5.命题：“至少有一个点在函数y =kx (k ≠0)的图像上”的否定是（） A .至少有一个点在函数y =kx (k ≠0)的图像上 B .至少有一个点不在函数y =kx (k ≠0)的图像上 C .所有点都在函数y =kx (k ≠0)的图像上D .所有点都不在函数y =kx (k ≠0)的图像上答案D例1分别指出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“⌝p ”形式的命题的真假. (1)p :3是9的约数,q :3是18的约数;(2)p :菱形的对角线相等,q :菱形的对角线互相垂直;(3)p :方程x 2+x -1=0的两实根符号相同,q :方程x 2+x -1=0的两实根绝对值相等.(4)p :π是有理数,q : π是无理数.解 (1)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p 或q 是真命题，p 且q 是真命题，⌝p 是假命题. (2)∵p 是假命题,q 是真命题,∴p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，⌝p 是真命题. (3)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p 或q 是假命题，p 且q 是假命题，⌝p 是真命题. （4）∵p 是假命题，q 是真命题，∴p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，⌝p 是真命题.例2 (12分) 已知两个命题r (x ):sin x +cos x ＞m ,s (x ):x 2+mx +1＞0.如果对任意x ∈R ,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题.求实数m 的取值范围.解 ∵sin x +cos x =2sin （x +4π）≥-2， ∴当r (x )是真命题时，m ＜-2 2分又∵对任意x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2+mx +1＞0恒成立，有Δ=m 2-4＜0,∴-2＜m ＜2. 4分∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜-2，同时m ≤-2或m ≥2,即m ≤-2; 6分当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥-2且-2＜m ＜2,即-2≤m ＜2. 8分综上，实数m 的取值范围是m ≤-2或-2≤m ＜2. 12分例3写出下列命题的“否定”，并判断其真假.（1）p ：任意 x ∈R ，x 2-x +41≥0；（2）q ：所有的正方形都是矩形；（3）r ：存在x ∈R ，x 2+2x +2≤0；（4）s ：至少有一个实数x ，使x 3+1=0.解（1）⌝p 041,:2<+-∈x x x R 存在，这是假命题，因为0)21(41,22≥-=+-∈x x x x R 任意恒成立. (2)⌝q:至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3)⌝r 22,:2++∈x x x R 任意＞0，是真命题，这是由于11)1(22,22≥++=++∈x x x x R 任意＞0成立. (4)⌝s 1,:3+∈x x R 任意≠0，是假命题，这是由于x =-1时，x 3+1=0.1.分别指出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“⌝p ”形式的命题的真假. （1）p ：4∈{2，3}，q ：2∈{2，3}；（2）p ：1是奇数，q ：1是质数；（3）p ：0∈∅，q ：{x |x 2-3x -5＜0}⊆R ；（4）p ：5≤5，q ：27不是质数；（5）p ：不等式x 2+2x -8＜0的解集是{x |-4＜x ＜2},q ：不等式x 2+2x -8＜0的解集是{x |x ＜-4或x ＞2}.解（1）∵p 是假命题，q 是真命题，∴p 或q 为真，p 且q 为假，⌝p 为真. （2）∵1是奇数，∴p 是真命题，又∵1不是质数，∴q 是假命题，因此p 或q 为真，p 且q 为假，⌝p 为假. (3)∵0∅∉，∴p 为假命题，又∵x 2-3x -5＜0,22932293,+<<-∴x ∴{}R 22932293|053|2⊆⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-=<--x x x x x 成立. ∴q 为真命题.∴p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，⌝p 为真命题. （4）显然p ：5≤5为真命题，q :27不是质数为真命题， ∴p 或q 为真命题，p 且q 为真命题，⌝p 为假命题. （5）∵x 2+2x -8＜0, ∴(x +4)(x -2)＜0.即-4＜x ＜2，∴x 2+2x -8＜0的解集为{},24|<<-x x ∴命题p 为真，q 为假.∴p 或q 为真，p 且q 为假，⌝p 为假.2．已知a ＞0,设命题p ：函数y =a x 在R 上单调递减，q ：不等式x +|x -2a |＞1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解由函数y =a x 在R 上单调递减知0＜a ＜1，所以命题p 为真命题的a 的取值范围是0＜a ＜1，令y =x +|x -2a |，则y =⎩⎨⎧<≥-)2(2)2(22a x a a x a x .不等式x +|x -2a |＞1的解集为R ，只要y min ＞1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ,所以2a ＞1，即a ＞21.即q 真⇔a ＞21. 所以命题p 和q 有且只有一个命题正确的a 的取值范围是0＜a ≤21或a ≥1. 3.写出下列命题的否定并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0的整数都能被5（2）q ：任意x ≥0，x 2＞0;（3）r ：存在一个三角形，它的内角和大于180°;（4）t : 某些梯形的对角线互相平分.解（1）p ⌝:存在一个末位数字是0的整数不能被5整除,假命题.（2）q ⌝,0,0:2≤≥x x 存在真命题.（3）r ⌝：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题. （4）t ⌝：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题.一、选择题1.今有命题p 、q ，若命题m 为“p 且q ”，则“p ⌝ 或q ⌝”是m ⌝的（）A .B .C .充要条件D .答案C2.已知命题p :{}{}{},2,11:,0∈⊆∅q 由它们组成的“p 或q ”, “p 且q ”和“p ⌝”形式的复合命题中，真命题的个数为（） A .3 B .2 C .1 D .0答案C3.“p 或q ”为真命题”是“p 且q 为真命题”的（）A .B .C .充分必要条件D .答案B4.(2009·安徽怀远三中月考)命题“对任意的x ∈R ,x 3-x 2+1≤0”的否定是（）A .不存在x ∈ R , x 3-x 2+1≤0B . 存在x ∈R , x 3-x 2+1≤0C .存在x ∈ R , x 3-x 2+1＞0 D .对任意的x ∈R , x 3-x 2+1＞0 答案C5.若命题p :∈x A B ，则p ⌝是（） A .x ∈A 且x ∉B B .x ∉A 或x ∉BC .x ∉A 且x ∉BD .x ∈A ∪B答案B6. 若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（） A .p 真q 真 B .p 假qC .p 真q 假D .p 假q答案B二、填空题7.（2008·扬州模拟）命题“存在x ∈R ，x ≤1或x 2＞4”的否定是 .答案任意x ∈R ，x ＞1且x 2≤48.令p (x ):ax 2+2x +1＞0,若对任意x ∈R ，p （x ）是真命题，则实数a 的取值范围是 .答案 a ＞1三、解答题 9.（1）命题“不等式(x +2)2≤0（2）命题“1（3）命题“2属于集合Q ，也属于集合R ”；（4）命题“A A B ”.解（1）此命题为“⌝p ”的形式,其中p :“不等式(x +2)2≤0有实数解”，因为x =-2是该不等式的一个解，所以p 是真命题，即⌝p 是假命题，所以原命题是假命题.（2）此命题是“p 或q ”的形式，其中p :“1是偶数”，q :“1是奇数”，因为p 为假命题，q所以p 或q 是真命题，故原命题是真命题.（3）此命题是“p 且q ”的形式，其中p :“2属于集合Q ”，q :“2属于集合R ”，因为p 为假命题,q 为真命题，所以p 且q 是假命题，故原命题是假命题.（4）此命题是“⌝p ”的形式，其中p :“A ⊆A B ”，因为p 为真命题，所以“⌝p ”为假命题，故原命题是假命题.10.写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假:(1)若m ＞0,则关于x 的方程x 2+x -m =0有实数根;(2)若x 、y 都是奇数，则x +y（3）若abc =0，则a 、b 、c 中至少有一个为零.解（1）否命题：若m ≤0，则关于x 的方程x 2+x -m =0命题的否定：若m ＞0，则关于x 的方程x 2+x -m =0（2）否命题：若x 、y 不都是奇数，则x +y命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x +y（3）否命题：若abc ≠0,则a 、b 、c 全不为0命题的否定：若abc =0，则a 、b 、c 全不为0.（假命题）11.已知命题p ：方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实数根；命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根.若“p 或q ”为真命题，“p且q ”为假命题，求m 的取值范围.解由p 得：，⎪⎩⎪⎨⎧>>-=∆042m m 则m ＞2.由q 知：Δ′=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)＜0,则1＜m ＜3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真. 则,312312⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>m m m m m 或或解得m ≥3或1＜m ≤2. 12.（1）是否存在实数p ，使“4x +p ＜0”是“x 2-x -2＞0”的充分条件？如果存在，求出p（2）是否存在实数p ,使“4x +p ＜0”是“x 2-x -2＞0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.解（1）当x ＞2或x ＜-1时,x 2-x -2＞0,4x +p ＜0,得x ＜-4p ,故-4p≤-1“x ＜-4p ”⇒“x ＜-1” ⇒ “x 2-x -2＞0”.p ≥4时，“4x +p ＜0”是“x 2-x -2＞0”的充分条件.（2）不存在实数p 满足题设要求.单元检测一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.(2008·北京理，1) 已知全集U =R ,集合A ={x |-2≤x ≤3},B ={x |x ＜-1或x ＞4},那么集合A ∩(U B )等于（） A .{}42|<≤-x x B .{}43|≥≤x x x 或C.{}12|-<≤-x x D .{}31|≤≤-x x 答案 D2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 ( ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案A3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：(x +1)2＞4，条件q :x ＞a ,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（） A .a ≥1 B .a ≤1 C .a ≥-3D .a ≤-3答案A4.“a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案C5.设集合M ={x |x ＞2}，P ={x |x ＜3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案B6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是（）答案B7.已知命题p :存在x ∈R ，使tan x =1,命题q ：x 2-3x +2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且q ⌝”是假命题；③命题“"q p 或⌝是真命题； ④命题“q p ⌝⌝或”是假命题.其中正确的是（） A .②③ B .①②④ C .①③④ D .①②③④答案D8.(2008·天津理，6)设集合S ={x ||x -2|＞3},T ={x |a ＜x ＜a +8}，S ∪T =R ，则a 的取值范围是（）A .-3＜a ＜-1B .-3≤a ≤-1C .a ≤-3或a ≥-1D .a ＜-3或a ＞-1答案A9.（2008·北京海淀模拟）若集合A ={1，m 2}，集合B ={2，4}，则“m =2”是“A ∩B ={4}”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案A10.若数列{an }满足221nn a a +=p （p 为正常数，n ∈N +），则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ） A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B11.（2008·浙江理，2）已知U =R ，A ={x |x ＞0},B ={x |x ≤-1}，则（A ∩U B ）∪（BU A ）等于（）A .∅B .{x |x ≤0}C .{x |x ＞-1}D .{x |x ＞0或x ≤-1}答案D12.下列命题中是全称命题并且是真命题的是（）A .所有菱形的四条边都相等B .若2x 为偶数，则任意x ∈NC .若对任意x ∈R ，则x 2+2x +1＞0 D .π是无理数答案A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.设集合A ={5,log 2(a +3)}，集合B ={a ，b }，若A ∩B ={2}，则A ∪B = . 答案 {1，2，5}14.已知条件p ：|x +1|＞2,条件q :5x -6＞x 2，则非p 是非q 的条件.答案充分不必要15.不等式|x |＜a 的一个充分条件为0＜x ＜1,则a 的取值范围为 .答案 a ≥116.下列命题中：①若p 、q 为两个命题，则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；②若p 为：存在x ∈R ，x 2+2x +2≤0,则⌝p 为：任意x ∈R ，x 2+2x +2＞0; ③若椭圆251622y x +=1的两焦点为F 1、F 2，且弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为16； ④若a ＜0,-1＜b ＜0,则ab ＞ab 2＞a .所有正确命题的序号是 .答案 ②④三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）设命题p ：（4x -3）2≤1;命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解设A ={x |(4x -3)2≤1},B ={x |x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0},易知A ={x |21≤x ≤1},B ={x |a ≤x ≤a +1}. 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范围是［0，21］.18.（12分）已知集合U =R ，U A ={}06|2≠+x x x ，B ={x |x 2+3（a +1）x +a 2-1=0}，且A ∪B =A ，求实数a 的取值范围.解 ∵A ={0，-6}，A ∪B =A ，∴B ⊆A. (1)当B =A 时，由,10)1(3)6(02⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+a a 得a=1, (2)当B A 时，①若B =∅，则方程x 2+3(a +1)x +a 2-1=0无实根.即Δ＜0,得9(a +1)2-4(a 2-1)＜0,解得-513＜a ＜-1. ②若B ≠∅，则方程x 2+3(a +1)x +a 2-1=0有相等的实根，即Δ=0,即a =-1或a =-513.由a =-1得B ={0},有B A ；由a =-513,得B ={512}，不满足B A ，舍去，综上可知，-513＜a ≤-1或a =1. 19.（12分）已知p ：|1-31-x |≤2，q ：x 2-2x +1-m 2≤0（m ＞0），且⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围. 解方法一由x 2-2x +1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m , ∴q ⌝:A ={x |x ＞1+m 或x ＜1-m ,m ＞0},由|1-31-x |≤2，得-2≤x ≤10， ∴{}210|:-<>=⌝x x x B p 或，∵p ⌝是⌝q的必要而不充分条件，∴A B ,101210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤->⇔m m m 解得m ≥9.方法二p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，由x 2-2x +1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m (m ＞0)，∴q :B ={}m x m x +≤≤-11|. 又由|1-31-x |≤2，得-2≤x ≤10，∴p ：A ={}102|≤≤-x x .又∵p 是q 的充分而不必要条件. ∴B A ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥101210m m m ，解得m ≥9. 20.（12分）求关于x 的方程ax 2-(a 2+a +1)x +a +1=0至少有一个正根的充要条件.解方法一若a =0，则方程变为-x +1=0,x =1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于⎪⎩⎪⎨⎧>++=+<+011012a a a a a a 或或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -1＜a ＜0或a ＞0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a ＞-1. 方法二若a =0，则方程即为-x +1=0,∴x =1满足条件；若a ≠0，∵Δ=(a 2+a +1)2-4a (a +1)=(a 2+a )2+2(a 2+a )+1-4a (a +1) =(a 2+a )2-2a (a +1)+1=(a 2+a -1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa a a a 解得a ≤-1, ∴至少有一正根时应满足a ＞-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a ＞-1. 21.（12分）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [])1()2)(1(<---a x a a x 的定义域为B . (1)求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解（1）由2-,013≥++x x 得,011≥+-x x ∴x ＜-1或x ≥1，即A =（-∞,-1） [)+∞,1. (2)由（x -a -1）(2a -x ) ＞0,得(x -a -1)(x -2a )＜0.∵a ＜1,∴a +1＞2a , ∴B =(2a ,a +1).又∵B ⊆A ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥21或a ≤-2.∵a ＜1,∴21≤a ＜1或a ≤-2, 故B ⊆A 时，a 的取值范围是(].1,212,⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-22.（14分）设p ：实数x 满足x 2-4ax +3a 2＜0,其中a ＜0；q ：实数x 满足x 2-x -6≤0，或x 2+2x -8＞0，且q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求a 的取值范围.解设A ={x |p }={x |x 2-4ax +3a 2＜0,a ＜0}={x |3a ＜x ＜a ,a ＜0}, B ={x |q }={x |x 2-x -6≤0或x 2+2x -8＞0}={x |x 2-x -6≤0}∪{x |x 2+2x -8＞0} ={x |-2≤x ≤3}∪{x |x ＜-4或x ＞2}={}.24|-≥-<x x x 或 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝.则{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x|RB ={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A ={},0,3|<≥≤a a x a x x 或∴{}24|-<≤-xx {},0,3|<≥≤a a x a x x 或则⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或。

【北师大版】高三数学步步高(理)第十四编系列4选讲

第十四编系列4选讲§14.1 坐标系与参数方程基础自测1.设曲线的极坐标方程为ρ=2a sin θ（a ＞0），则它表示的曲线是（）A .圆心在点（a ,0）直径为a B .圆心在点（0,a ）直径为a C .圆心在点（a ,0）直径为2a D .圆心在点（0,a ）直径为2a答案D2.两直线αθ=和ρcos （θ-α）=a 的位置关系是（A .平行 B.C.D.答案C3.将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθ22sin sin 2y x （θ为参数）化为普通方程为（A .y =x -2B .y =x+2C .y =x -2（2≤x ≤3）D .y =x +2（0≤y ≤1答案C4.参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x （t 为参数）表示的曲线是（A. B. C.D.答案D5.直线：3x -4y -9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （其中θ为参数）的位置关系是（A .相切B.C .直线过圆心D.答案D6.直线⎩⎨⎧-=+=t y tx 5443（t 为参数）的斜率为.答案 -45例1 将极坐标方程sin θ=31化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线. 解由sin θ=ρy,ρ=22y x +,得sin θ=ρy =22y x y +=31. 则y ＞0,平方得x 2+y 2=9y 2, 即y 2=81x 2,y =±88x , 因此，它表示端点除外的两条射线： y =88x (x ＞0)和y =-88x (x ＜0).例2 在极坐标系中，求过点A ⎪⎭⎫⎝⎛6,6π，并且平行于极轴的直线l 的极坐标方程.解如图所示，设M （ρ，θ）为直线l 上的任意一点，则OM =ρ,∠MOC =θ.过点A ，M 作极轴的垂线AB ，MC 交极轴与B ，C 两点.∵l ∥Ox ，∴MC =AB .则OA =6，∠AOB =6π. 所以MC =AB =3.由sin θ=OM MC =ρ3,得ρsin θ=3. 所以ρsin θ=3为所求的直线l 的极坐标方程.例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,211（t 为参数）；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 2,12（t 为参数）；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 1,1（t 为参数）；（4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x （θ为参数）.解（1）由x =1+21t 得，t =2x -2.∴y =2+23(2x -2). ∴3x -y +2-3=0,此方程表示直线. （2）由y =2+t 得,t =y -2，∴x =1+（y -2）2. 即(y -2)2=x -1,方程表示抛物线.（3）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11∴①2-②2得，x 2-y 2=4,方程表示双曲线.① ②（4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5cos 4sin yx θθ ①2+②2，得251622y x +=1表示椭圆. 例4 （2008·盐城调研）（10分）求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（t 为参数）被曲线ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ所截的弦长.解将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541,ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ分别化为普通方程：3x +4y +1=0,x 2+y 2-x +y =0, 5分圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，半径为22，圆心到直线的距离d =101,弦长=222d r -=2100121-=57. 10分1.在极坐标系中，已知三点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π、N （2，0）、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π.（1）将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.解（1）由公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得M 的直角坐标为(1,-3);N 的直角坐标为（2，0）；P 的直角坐标为（3，3）. （2）∵k MN =123-=3，k NP =2303--=3. ∴k MN =k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上.2.求圆心在A ⎪⎭⎫⎝⎛6,πa （a ＞0），半径为a 的圆的极坐标方程.解如图所示，设M （ρ，θ）为圆上的任意一点（点O ，B 除外），则OM =ρ，∠MOx =θ. 连结BM ，OB =2a ，∠MOB =θ-6π. 在直角三角形OBM 中， cos ∠MOB =OB OM =a2ρ=cos （θ-6π）， ① ②即ρ=2a cos(θ-6π).(*) 经检验，O （0，32π），B （2a ，6π）满足方程（*），所以ρ=2a cos （θ-6π）为所求的圆的极坐标方程. 3.（2008·栟茶模拟）将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos 4,sin 32y x (θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.解 y =4cos2θ=4-8sin 2θ, 由x =3sin 2θ,得sin 2θ=3x. ∴y =4-38x ，即8x +3y -12=0. ∵x =3sin 2θ≥0，∴所求普通方程为8x +3y -12=0 (x ≥0)，它表示一条射线.4.已知经过点M （-1，1），倾斜角为4π的直线l 和椭圆2422y x +=1交于A ，B 两点，求线段AB 的长度及点M （-1，1）到A ，B 两点的距离之积.解直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221,221(t 为参数)，代入椭圆的方程，得2221422122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t =1. 即3t 2+22t -2=0,解得t 1=-2,t 2=32. 所以，由参数t 的几何意义，得 |AB |=|t 1-t 2|=322--=324, |MA |·|MB |=|t 1t 2|=32. §14.2 不等式选讲基础自测1.不等式1＜｜x +1｜＜3的解集为( )A .（0，2）B .（-2，0）∪（2，4C .（-4，0）D .（-4，-2）∪(0，2)答案D2.已知a ,b ∈R ，ab ＞0,则下列不等式中不正确的是（）A .|a +b |≥a -bB .2ab ≤|a +b|C .|a +b |＜|a |+|b |D .|baa b +|≥2答案C3.若实数m ,n ,x ,y 满足m 2+n 2=1,x 2+y 2=3，则mx +ny 的最大值是 ( )A .2B .5C .3D .43答案C4.设x ＞0,y ＞0,M =y x y x +++2,N =y yx x +++22,则M 、N 的大小关系是（）A .M ＞NB .M ＜NC .M ≥ND .M ≤N答案B5.已知a ＞0,b ＞0,且a +b ＞2,则ab +1,b a+1中（A .至多一个小于2B .至少一个小于2C .都小于2D .都大于2答案B6.若x 2+y 2=4,则x -y 的最大值是 .答案 22例1 解不等式（1）|432-x x|≤1；(2)|x +1|＞|2x -3|-2(3)|5x -3|＜|2x +4|+|3x -7|.解（1）|432-x x |≤1⇔(432-x x )2≤1 9x 2≤(x 2-4)2(x ≠±2)⇔x 4-17x 2+16≥0⇔x 2≤1或x 2≥16⇔ -1≤x ≤1或x ≤-4或x ≥4.即不等式的解集为{x |x ≤-4或-1≤x ≤1或x ≥4}.(2)原不等式等价于⎩⎨⎧--->+--≤,2)32()1(,1x x x或⎪⎩⎪⎨⎧--->+≤<-,2)32(1231x x ，x或⎪⎩⎪⎨⎧-->+>.2321,23x x x不等式组①解集为∅，不等式组②解集为（0，23］，不等式组③解集为（23，6），因此原不等式解集为（0，6）. （3）∵5x -3=(2x +4)+(3x -7)｜(2x +4)+(3x -7)｜≤｜2x +4｜+｜3x -7而｜(2x +4)+(3x -7)｜＜｜2x +4｜+｜3x -7｜.∴原不等式可化为（2x +4）(3x -7)＜0.∴-2＜x ＜37. 即不等式的解集为{x ｜-2＜x ＜37}. 例2 已知函数f (x )=21x +，设a 、b ∈R ，且a ≠b求证：｜f (a )-f (b )｜＜｜a -b ｜.证明方法一｜f (a )-f (b )｜＜｜a -b⇔｜21a +-21b +｜＜｜a -b ｜⇔(21a +-21b +)2＜(a -b )2⇔2+a 2+b 2-222)1)(1(b a ++＜a 2+b 2-2ab⇔1+ab ＜)1)(1(22b a ++.当ab ≤-1当ab ＞-1时，式①⇔(1+ab )2＜(1+a 2)(1+b 2)⇔2ab ＜a 2+b 2.∵a ≠b ，∴②式成立.故原不等式成立. 方法二当a =-b当a ≠-b 时，∵｜21a +-21b +=|||))((|||||||11|)1(）1（|222222b a b a b a b a b a b a b a +-+≤+-<++++-+=｜a -b ｜， ∴原不等式成立.方法三设x =(1，a )，y =(1,b ),则｜x ｜=21a +，｜y ｜=21b +，x -y =(0，a -b ),｜x -y ｜=｜a -b ｜，而｜｜x ｜-｜y ｜｜≤｜x -y∴｜21a +-21b +｜≤｜a -b ｜，又a ≠b即｜f (a )-f (b )｜＜｜a -b ｜.方法四设y =21x + (x ∈R ),则y =21x +表示双曲线y 2-x 2=1上支的部分.其渐近线为y =±x ，设A （a ，f (a )）， B (b ，f (b )）为曲线y =21x +上两不同的点.则｜k AB ｜＜1.即ab a f b f --)()(＜1.∴｜f (a )-f (b )｜＜｜a -b ｜.例3 设f (x )=ax 2+bx +c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1，求证：|f (2)|≤7.证明 ∵|f (1)|≤1,|f (-1)|≤1,|f (0)|≤1, ∴|f (2)|=|4a +2b +c | =|3f (1)+f (-1)-3f (0)|≤3|f (1)|+|f (-1)|+3|f (0)|≤7.例4 （2008·江苏，21，D ）（10分）设a ,b ,c 为正实数，求证：32111333≥+++abc cb a .证明因为a ,b ,c,11131113333333c b a c b a ⋅⋅≥++ 即333111c b a ++≥abc3所以333111c b a +++abc ≥abc3+abc .6而abc 3+abc ≥,3232=⋅abc abc , 所以333111cb a +++abc ≥32.10分1.若不等式｜ax +2｜＜6的解集为(-1，2)，则实数a 等于( )A .8B .2C .-4D .-8答案C2.函数f (x )的定义域为［0，1］且f (0) =f (1)，当x1、x 2∈［0，1］，x 1≠x 2时都有｜f （x 2）-f (x 1)｜＜｜x 2-x 1求证：｜f (x2)-f (x 1)｜＜21.证明不妨设0≤x1＜x 2≤1 若x 2-x 1≤21，而｜f (x 2)-f (x 1)｜＜｜x 2-x 1｜≤21∴｜f (x 2)-f (x 1)｜＜21若x 2-x 1＞21，∵f (0)=f (1)∴｜f (x 2)-f (x 1)｜=｜f (x 2)-f (1) +f (0)- f (x 1)｜≤｜f (x 2)-f (1)｜+｜f (x 1)-f (0)｜≤(1-x 2)+(x 1-0)=1-(x2-x 1)＜1-21=21. 综上所述｜f (x 2)-f (x 1)｜＜21. 3.已知f (x )=x 2-x +c 定义在区间［0,1］上,x1,x 2∈［0,1］，且x 1≠x 2（1）f (0)=f (1);(2)|f (x2)-f (x 1)|＜|x 1-x 2|; (3)|f (x2)-f (x 1)|＜21; (4)|f (x2)-f (x 1)|≤41. 证明（1）f (0)=c ,f (1)=c ,故f (0)=f (1).(2)|f (x2)-f (x 1)| =|x22-x 2+c -x 12+x 1-c | =|x2-x 1||x 2+x 1-1|, ∵0≤x 1≤1,0≤x 2≤1, 0＜x1+x 2＜2(x 1≠x 2), ∴-1＜x1+x 2-1＜1,∴|f (x2)-f (x 1)|＜|x 2-x 1|. (3)不妨设x2＞x 1,由(2) |f (x2)-f (x 1)|＜x 2-x 1.而由（1）知f (0)=f (1),|f (x2)-f (x 1)|=|f (x 2)-f (1)+f (0)-f (x 1)| ≤|f (x2)-f (1)|+|f (0)-f (x 1)| ＜|1-x2|+|x 1|=1-x 2+x 1①+②得2|f (x2)-f (x 1)|＜1, 即|f (x2)-f (x 1)|＜21.(4)|f (x2)-f (x 1)|≤f (x )最大-f (x )最小=f (0)-f （21）=41. 4.（2008·苏中三市调研）已知x 、y 、z 均为正数.求证：.111zz z z ++≥++y x xy x y y x 证明因为x ,y ,z 全为正数.所以,2)(1zz z z z ≥+=+x y y x y y x 同理可得,2,2yy x xy x xy x y ≥+≥+z z z z 当且仅当x =y =z 时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得.111zz z z ++≥++y x xy x y y x。

【步步高】高考数学总复习第六章专题三高考中的数列问题强化训练理北师大版

专题三高考中的数列问题1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．－20B ．0C ．7D ．40答案 A解析记等比数列{a n }的公比为q ，其中q ≠1，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2≠0. 即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，S 4＝1×[1－(－3)4]1＋3＝－20，选A.2．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( ) A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35答案 B解析等比数列{a n }中，a 5a 6＝a 4a 7，又因为a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9， log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝5log 3(a 5a 6)＝5log 39＝10.3．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 013，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 013·1010B ．2 013·1011C ．2 014·1010D ．2 014·1011答案 A解析由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }为公比是10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 013·1010，选A.4．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，则{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 2n ＋1－2－n解析 ∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，∴S n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－2－n .5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________．答案 392解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392.题型一等差、等比数列的综合问题例1 在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列； (3)求数列{nb n }的前n 项和T n .思维启迪 (1)设出数列{a n }的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解； (2)由(1)写出b n 的表达式，利用定义法证明； (3)写出T n 的表达式，考虑用错位相减法求解． (1)解由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝2.所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. (2)证明由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n ＋10－10＝22n ＝4n ，所以b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列． (3)解由nb n ＝n ×4n ，得 T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n ，①4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，②①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1＝4(1－4n )－3－n ×4n ＋1.所以T n ＝(3n －1)×4n ＋1＋49.思维升华 (1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列． (2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{b n }是一个公差为d 的等差数列，则{ab n }(a >0，a ≠1)就是一个等比数列，其公比q ＝a d ；反之，若数列{b n }是一个公比为q (q >0)的正项等比数列，则{log a b n }(a >0，a ≠1)就是一个等差数列，其公差d ＝log a q .数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N ＋成立．即a n ＝2n 对n ≥2，n ∈N ＋成立，又a 1＝S 1＝2×1，所以a n ＝2n 对n ∈N ＋成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N ＋成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N ＋.(2)存在．由(1)知，a n ＝2n 对n ∈N ＋成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以有b 1＝2，b 2＝6，b 3＝18，则b 2b 1＝b 3b 2＝3，所以存在以b 1＝2为首项，以3为公比的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.题型二数列与函数的综合问题例2 已知二次函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整数m .思维启迪 (1)先求出函数f (x )，再利用n ，S n 的关系求a n .(2)可以利用裂项相消法求出T n .通过T n 的取值范围确定最小正整数m . 解 (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12·⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)．因此，要使12(1－16n ＋1)<m 20对n ∈N ＋恒成立，则m 必须且仅需满足12≤m20，即m ≥10.所以满足要求的最小正整数为10.思维升华数列与函数的综合一般体现在两个方面：(1)以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系； (2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图像上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N ＋}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N ＋}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式．解 (1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图像上， ∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)对f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2.∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ，∴k n ＝2n ＋2， ∴Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N ＋}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N ＋}． ∴Q ∩R ＝R .又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6， ∵{c n }的公差是4的倍数， ∴c 10＝4m ＋6(m ∈N ＋)．又∵110<c 10<115，∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115m ∈N ＋，解得m ＝27，所以c 10＝114，设等差数列的公差为d ，则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n ＝6＋(n －1)×12＝12n －6，所以{c n }的通项公式为c n ＝12n －6. 题型三数列与不等式的综合问题例3 已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋1(n ∈N ＋)；数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝4b n ＋6(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N ＋)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N ＋，都有c n ＋1>c n 成立．思维启迪 (1)先求a n ，再构造等比数列求b n ；(2)不等式c n ＋1>c n 恒成立，可以转化为求函数的最值问题．解 (1)由已知，得S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )＝1，所以a n ＋2－a n ＋1＝1(n ≥1)．又a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n ＋1. 又b n ＋1＋2＝4(b n ＋2)，所以{b n ＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列．所以b n ＝4n －2.(2)因为a n ＝n ＋1，b n ＝4n －2，所以c n ＝4n ＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1>c n 恒成立，需c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n ＋(－1)n λ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1>0恒成立，即3·4n －3λ(－1)n －12n ＋1>0恒成立．所以(－1)n －1λ<2n－1恒成立．①当n 为奇数时，即λ<2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；②当n 为偶数时，即λ>－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n－1有最大值－2.所以λ>－2，结合①②可知－2<λ<1. 又λ为非零整数，则λ＝－1.故存在λ＝－1，使得对任意n ∈N ＋，都有c n ＋1>c n 成立．思维升华数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．(2013·天津)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋)．(1)解设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.(时间：80分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N )，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又因为a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又因为S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．2．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列，又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n.(2)证明由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－nn ＋1·n＝1n －1n ＋1， S n ＝∑k ＝1n b k ＝∑k ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1.3．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2，再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1； P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )． (1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋…＋|P n Q n |.解 (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x 得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )． (2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)，所以|P k Q k |＝e x k ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1. 4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列{3(lg a n )(lg a n ＋1)}的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N ＋恒成立的整数m 的取值集合．(1)证明依题意，得a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10.当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10，两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ，即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10，故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1q n －1＝10n (n ∈N ＋)，∴lg a n ＝n .∴lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即{lg a n }是等差数列．(2)解由(1)知，T n ＝3[11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)]＝3(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝3nn ＋1.(3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}．5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a na n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝112a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k ，因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以(m m ＋1)2＝12×kk ＋1.整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m 、k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N ＋，所以m ＝2，此时k ＝8. 故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列{a n2n }是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意n ∈N ＋恒成立，求λ的取值范围．解 (1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－22得a 1＝4. S n ＝2a n －2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n ，两式相减得 a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝2a n －1＋2n2n－a n －12n －1＝a n －12n －1＋1－a n －12n －1＝1. 又a 121＝2，所以数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝(n ＋1)·2n .因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于 5－λ>2n －32n ，记b n ＝2n －32n ，n ≥2时，b n －1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，所以n ≥3时b n ＋1b n <1，(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<178.。

【步步高】高考数学总复习第二章 2.2函数的单调性课件理北师大版.ppt

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (2)求函数 y＝ x2＋x－6的单调区间．
(2)解令 u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6可以看作有 y＝ u与 u＝x2＋x－6 的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
∵u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而 y＝ u在(0，＋∞)上是增函数．
跟踪训练 1 (1)已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ax (x>0)，证明：函数 f(x)在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(1)证明设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝x1x－1x2x2(x1x2－a)．当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0，所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数；当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0，所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
f(x)<0. (1)求 f(1)的值； (2)证明：f(x)为单调递减函数；
fx1与 fx2
∴y＝ x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为 [2，＋∞)．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数的单调性求参数
【例 2】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x 思维启迪解析答案思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增
的，则实数 a 的取值范围是( )

【北师大版】高三数学步步高(理)第五编平面向量、解三角形(39页)

第五编平面向量、解三角形 §5.1 平面向量的概念及线性运算基础自测1.下列等式不正确的是（）A .a +0=aB .a +b =b +aC .AB +BA ≠0D .AC =DC +AB +BD答案 C2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（A .AB =DCB .AB AD +=ACC .AD AB -=BD D .CB AD +=0答案C3.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若=a ,=b ,则等于（）A.41a +21bB.32a +31b C.21a +41bD.31a +32b 答案 B4.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则等于（）A.b +21a B.b -21a C. a +21bD. a-21b 答案 B5.设四边形ABCD 中，有=21，且||=||，则这个四边形是 ( )A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案 C例1 给出下列命题①向量的长度与向量的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（）A.2B.3C.4D.5答案 C例2 如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB =a ， AD =b ，=c ，试用a 、b 、c 表示，，+.解 =++=-a +b +c ， ∵=MD ++， ∴=-21,=-,=21, ∴MN =21a -b -21c . +=DM +++=2=a -2b -c .例3 设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b )，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线. （1）证明 ∵=a +b ,BC =2a +8b ,CD =3(a -b ), ∴=+=2a +8b +3(a -b ) =2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5. ∴、共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线. （2）解 ∵k a +b 与a +k b 共线， ∴存在实数λ，使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b . ∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k -λ=λk -1=0，∴k 2-1=0.∴k =±1.例4 （12分）如图所示，在△ABO 中，OC =41OA , =21,AD 与BC 相交于点M ，设=a ，=b .试用a 和b 表示向量. 解设=m a +n b ，则=-=m a +n b -a =(m -1)a +n b . =OD -OA =21-OA =-a +21b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴与共线. ∴存在实数t ,使得=t ，即(m -1)a +n b =t (-a +21b ). 3分 ∴(m -1)a +n b =-t a +21t b . ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-21tn t m ，消去t 得：m -1=-2n ，即m +2n =1. ① 5分又∵CM =-=m a +n b -41a =(m -41)a +n b . CB =-OC =b -41a =-41a +b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与共线. 8分 ∴存在实数t 1,使得CM =t 1, ∴(m -41)a +n b =t 1⎪⎭⎫⎝⎛+-41, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-114141t n t m ，消去t 1得,4m +n =1 ② 10分由①②得m =71,n =73, ∴=71a +73b . 12分a b∴1.下列命题中真命题的个数为（）①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ;②若=，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点； ③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . A.4B.3C.2D.1答案 D2.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =31OB .DC 与OA 交于E ，设OA =a ，OB =b ，用a , b 表示向量OC ，DC . 解因为A 是BC 的中点，所以=21(+)，即=2-=2a -b ； DC =OC -OD =OC -32=2a -b -32b =2a -35b . 3.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ,t b ,31(a +b )三向量的终点在同一条直线上？解设=a ，=tb ，=31(a +b )，∴=-=-32a +31b ，AB =OB -OA =t b -a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需=λ 即-32a +31b =t λb -λa ∴有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-t λλ3132，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2132t λ ∴当t =21时，三向量终点在同一直线上. 4.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值. 解方法一设e 1=BM ,e 2=CN , 则=+CM =-3e 2-e 1， =+=2e 1+e 2.因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，使=λ=-3λe 2-λe 1， =μ=2μe 1+μe 2，∴=-=（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2，另外=+=2e 1+3e 2，⎩⎨⎧=+=+3322μλμλ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5354μλ， ∴=54,=53BN ,∴AP ∶PM =4∶1. 方法二设=λAM ， ∵=21(+)=21+43， ∴=2λ+43λAN . ∵B 、P 、N 三点共线，∴-=t (-), ∴=(1+t )-t∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t λλ4312∴2λ+43λ=1，λ=54，∴AP ∶PM =4∶1.一、选择题1.下列算式中不正确的是（）A .AB +BC +CA =0 B .AB -AC =BC C .0·AB =0D .λ（μa ）=λ·μ·a 答案 B2.（2008·全国Ⅰ理,3）在△ABC 中，=c ，=b ，若点D 满足=2，则等于（）A.32b +31c B.35c -32b C.32b -31c D.31b +32c 答案 A3.若=3e 1，=-5e 1，且||=||，则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰梯形答案 C4.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若=a 1+b 2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足（）A.a ＞0,b ＞0B.a ＞0,b ＜0C. a ＜0,b ＞0D. a ＜0,b ＜0答案 B5.设=x +y ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过端点O ），则x +y 等于（） A.1B.-1C.0D.不能确定答案 A6.已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若++=，则（）A.点P 在△ABC 外部B.点P 在线段AB 上C.点P 在线段BC 上D.点P 在线段AC 上答案 D 二、填空题7.在△ABC 中，=a ，=b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则可用a 、b 表示为 .答案 -32a +31b 8.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2,=31+λ,则λ= . 答案32 三、解答题9.如图所示，△ABC 中，AD =32，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上中线，交DE 于N .设=a ，=b ，用a ,b 分别表示向量，，，，，. 解 ⎪⎭⎪⎬⎫=AB AD BC DE 32//⇒=32=32b . =-=b -a .由△ADE ∽△ABC ，得=32=32(b -a ). 由AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，得 =21DE =31(b -a ). 而且=+=a +21=a +21(b -a ) =21(a +b ). 由⎪⎭⎪⎬⎫=∆∆ABM ADN 32⇒=32AM =31(a +b ). ∽10.如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，=32，=a ，=b . （1）用a 、b 表示向量、、、、；（2）求证：B 、E 、F 三点共线. （1）解延长AD 到G ，使=21，连接BG 、CG ，所以=a +b , =21=21(a +b ), =32=31(a +b ). =21=21b , BE =-=31(a +b )-a =31(b -2a ). =-=21b -a =21(b -2a ). (2)证明由(1)可知=32BF ,所以B 、E 、F 三点共线. 11.已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：=21(+). 证明方法一如图，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴+=0，+=0，又∵+++=0，∴=++ ① 同理=++ ② 由①+②得，2=++（+）+（+）=+. ∴=21(+). 方法二连结，，则=+， EB =EA +AB ，∴=21(+EB ) =21(+++)=21(+). 12.已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且=x ，=y ，求x 1+y1的值. 解根据题意G 为三角形的重心，故=31(+)， =-=31(+)-x =(31-x )+31, =-=y -=y AC -31(+AC ) =（y -31）-31, 由于与GN 共线，根据共线向量基本定理知 =λ⇒(31-x )+31=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y 31)31(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(313131y x λλ⇒3131--x =3131-y⇒x +y -3xy =0两边同除以xy 得x1+y1=3. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示基础自测1.已知平面向量a =（1，1），b =(1,-1),则向量21a -23b 等于（）A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案 D2.（2008·安徽理,3）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则等于（） A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4) 答案 B3.若向量a =(1,1)，b =(1,-1),c =(-2,1),则c 等于（）A.21-a +23bB. 21-a -23bC. 23-a-21bD. 23-a +21b答案 B4.(2009·烟台模拟)已知向量a =(8,x 21),b =(x ,1),其中x ＞0,若（a -2b ）//(2a +b ),则x 的值为（） A.4B.8C.0D.2答案 A5.（2008·广东五校联考）设a =⎪⎭⎫ ⎝⎛43,sin x ，b =⎪⎭⎫ ⎝⎛x cos 21,31，且a ∥b ，则锐角x 为 .A.6πB.4π C.3π D.π125 答案 B例1 设两个非零向量e 1和e 2不共线.（1）如果=e 1-e 2，=3e 1+2e 2，=-8e 1-2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果=e 1+e 2，=2e 1-3e 2，=2e 1-k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值. （1）证明 =e 1-e 2，=3e 1+2e 2, =-8e 1-2e 2, AC =+=4e 1+e 2=-21(-8e 1-2e 2)=-21, ∴与共线，又∵与有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线.（2）解 =+=（e 1+e 2）+（2e 1-3e 2）=3e 1-2e 2， ∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得=λ, 即3e 1-2e 2=λ(2e 1-k e 2)，由平面向量的基本定理，得⎩⎨⎧-=-=kλλ223，解之得λ=32，k =34.例2 已知点A (1，0)、B (0，2)、C (-1，-2)，求以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.解设D 的坐标为（x ,y ）.(1)，则由=DC 得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x ,y ), 即(-1,2)=(-1-x ,-2-y ),∴⎩⎨⎧=---=--2211y x , ∴x =0，y =-4. ∴D 点的坐标为（0，-4）（如图中的D 1）. （2，则由=得（x ，y ）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x -1,y )=(1,4).解得x =2,y =4. ∴D 点坐标为（2，4）（如图中的D 2）. （3，则由=得（0，2）-（1，0）=（x ,y ）-(-1,-2), 即(-1,2)=(x +1,y +2).解得x =-2,y =0. ∴D 点的坐标为（-2，0）（如图中的D 3）.综上所述，以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）. 例3 （12分）平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题：（1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k ;(2)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d . 解（1）∵（a +k c ）∥（2b -a ），又a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 2分 ∴2×(3+4k )-(-5)×(2+k )=0, 4分 ∴k =-1316. 6分（2）∵d -c =(x -4,y -1),a +b =(2,4), 又(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,∴()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=---1140124422y x y x ， 8分解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5521554y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5521554y x . 10分∴d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++55255520，或d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--55255520，. 12分1.如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知=c ，=d ，试用c ，d 表示，.解方法一设AB =a ，AD =b ，则a =+=d +⎪⎭⎫ ⎝⎛-b 21b =AM +MD =c +⎪⎭⎫⎝⎛-a 21将②代入①得a =d +⎪⎭⎫⎝⎛-21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a c 21 ⇒a =d 34-32c ,代入② 得b =c +⎪⎭⎫⎝⎛-21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c d 323434c -32d即AB =34d -32c ，AD =34c -32d 方法二设=a ，=b . 因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN =21b ，DM =21a ，因而⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b a d a b c 2121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2(32)2(32d c b c d a , 即AB =32(2d -c ), AD =32(2c -d ). 2.已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标. 解 ∵A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）， ∴=（1，8），=（6，3），∴CM =3=（3，24），=2=（12，6). 设M （x ，y ），则有CM =（x +3，y +4），∴⎩⎨⎧=+=+24433y x ，∴⎩⎨⎧==200y x ,∴M 点的坐标为（0，20）.同理可求得N 点坐标为（9，2），因此MN =（9，-18），故所求点M 、N 的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=31. 求证：∥.证明设E 、F 两点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3）， =（4，-1）.∴)1,32(31),32,32(31-====∴),32,32()0,1(),(11=--=y x).1,32()1,3(),(22-=--=y x BF∴),32,31()0,1()32,32(),(11-=-+=y x),0,37()1,3()1,32(),(22=-+-=y x一、选择题1.已知向量a =(2,3),b =(-1,2)，若m a +n b 与a -2b 共线，则nm等于（） A.-21 B.2 C.21 D.-2答案 A2.设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知=2a +p b ，=a +b ，=a -2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为 ( )A.1B.2C.-2D.-1答案 D3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则21等于（）A.(8,1)B.(-8,1)C.(4,-21)D. (-4,21) 答案 D4.已知向量a =(2,4),b =(1,1),若向量b ⊥(a +λb )，则实数λ的值是（A .3B .-3C .31D .-31答案B5.（2008·辽宁文，5）已知四边形ABCD 的顶点A （0，2）、B （-1，-2）、C （3，1），且=2，则顶点D 的坐标为( ) A .(2,27) B .(2,21-) C.(3,2) D.(1,3)答案 A6.设0≤θ＜2π，已知两个向量1=（cos θ，sin θ），2OP =（2+sin θ，2-cos θ），则向量21P P 长度的最大值是（） A .2B .3C .23 D .32答案 C 二、填空题7.（2008·全国Ⅱ文，13）设向量a =(1,2),b =(2,3)，若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线，则λ= . 答案 28.（2008·菏泽模拟）已知向量m =(a -2,-2),n =(-2,b -2),m ∥n (a ＞0,b ＞0)，则ab 的最小值是 .EFEF.AB AB答案 16 三、解答题9.已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）. 设=a ，=b ，=c ，且CM =3c ，=-2b ，（1）求：3a +b -3c ；（2）求满足a =m b +n c 的实数m ，n . 解由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). （2）∵m b +n c =（-6m +n ，-3m +8n ），∴⎩⎨⎧-=+-=+-58356n m n m ，解得⎩⎨⎧-=-=11n m .10.若a ,b 为非零向量且a ∥b ,1λ,2λ∈R ,且1λ2λ≠0. 求证：1λa +2λb 与1λa -2λb 为共线向量. 证明设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).∵a ∥b ,b ≠0,a ≠0,∴存在实数m ,使得a =m b , 即a =(x 1,y 1)=(mx 2,my 2),∴1λa +2λb =((m 1λ+2λ)x 2,(m 1λ+2λ)y 2) =(m 1λ+2λ)(x 2,y 2)同理1λa -2λb =(m 1λ-2λ)(x 2,y 2), ∴(1λa +2λb )∥(1λa -2λb )∥b , 而b ≠0,∴(1λa +2λb )∥(1λa -2λb ). 11.中，A （1，1），=（6，0），点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .（1）若=（3，5），求点C 的坐标；（2）当||=||时，求点P 的轨迹. 解（1）设点C 坐标为(x 0，y 0),又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）, 即（x 0-1,y 0-1）=（9，5）， ∴x 0=10，y 0=6，即点C （10，6）. （2）由三角形相似，不难得出=2 设P （x ,y ），则=-=（x -1，y -1）-（6，0）=（x -7，y -1）,=+=21+3=21+3（-21） =3-=（3(x -1)，3(y -1)）-（6，0） =（3x -9，3y -3）， ∵||=||为菱形，∴AC ⊥BD ，∴⊥，即（x -7，y -1）·（3x -9，3y -3）=0. （x -7）（3x -9）+（y -1）（3y -3）=0， ∴x 2+y 2-10x -2y +22=0（y ≠1）. ∴(x -5)2+(y -1)2=4(y ≠1).故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y =1的两个交点. 12.A (2,3),B (5,4),C (7,10),=+λ.当λ为何值时，（1）点P 在第一、三象限的角平分线上；（2）点P 到两坐标轴的距离相等？解（1）由已知=（3，1），=（5，7），则+λAC =(3，1)+λ(5，7)=（3+5λ，1+7λ）. 设P （x ，y ），则=（x -2，y -3），∴⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ，∴⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x .∵点P 在第一、三象限的角平分线上， ∴x =y ，即5+5λ=4+7λ,∴λ=21. (2）若点P 到两坐标轴的距离相等，则|x |=|y |,即|5+5λ|=|4+7λ|, ∴λ=21或λ=-43.§5.3 平面向量的数量积基础自测1.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 上的投影为（）A.13B.513C.565D.65答案 C2.在边长为1的正三角形ABC 中，设=a ，=c ，=b ，则a ·b +b ·c +c ·a 等于（）A.1.5B.-1.5C. 0.5D.-0.5答案 C3.向量a =(cos15°,sin15°),b =(-sin15°,-cos15°),则|a -b |的值是( )A.1B.23C.2D.3答案 D4.已知a =(1,-2),b =(5,8),c =(2,3),则a (b ·c )为（）A .34B .(34,-68)C .-68D .(-34,68)答案B5.(2008· 浙江理,9)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（a -c ）·（b -c ）=0，则|c |的最大值是 . A.1B.2C.2D.22答案 C例1 已知向量a =,23sin ,23cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x xb =,2sin ,2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ.（1）求a ·b 及|a +b |;(2)若f (x )=a ·b -|a +b |，求f (x )的最大值和最小值. 解（1）a ·b =cos23x cos 2x -sin 23x sin 2x =cos2x , a +b =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2sin 23sin ,2cos 23cos x x x x|a +b |=22)2sin 23(sin )2cos 23(cos xx x x -++=|,cos |22cos 22x x =+∵x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππ,∴cos x ＞0,∴|a +b |=2cos x .(2)由（1）可得f (x )=cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2.23)21(cos 2--x∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ,∴21≤cos x ≤1,∴当cos x =21时，f (x )取得最小值为-23；当cos x =1时，f (x )取得最大值为-1.例2 已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0＜α＜β＜π). (1)求证：a +b 与a -b 互相垂直；（2）若k a +b 与a -k b 的模相等，求β-α.(其中k 为非零实数) （1）证明 (a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2β)=0,∴a +b 与a -b 互相垂直.（2）解 k a +b =(k cos α+cos β,k sin α+sin β),a -k b =(cos α-k cos β,sin α-k sin β), b a +k =,1)cos(22+-+αβk k b a k -=.)cos(212k k +--αβ∵b a +k =b a k -,∴).cos(2)cos(2αβαβ--=-k k 又k ≠0, ∴cos(αβ-)=0.而0＜α＜β＜π,∴β-α=2π. 例3 （12分）设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3π,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的范围.解由向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角，得|||72|)()72(2121212e e e e e e e e t t t t +⋅++⋅+＜0, 3分即(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)＜0, 化简即得：2t 2+15t +7＜0, 解得-7＜t ＜-21, 6分当夹角为π时，也有(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)＜0,但此时夹角不是钝角，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2反向. 8分设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2),λ＜0,可求得⎪⎩⎪⎨⎧<==072λλλt t ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21414t λ 11分∴所求实数t 的范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2147, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,214. 12分1.向量a =(cos23°,cos67°),向量b =(cos68°,cos22°). (1)求a ·b ；（2）若向量b 与向量m 共线，u =a +m ,求u 的模的最小值. 解（1）a ·b =cos23°·cos68°+cos67°·cos22° =cos23°·sin22°+sin23°·cos22°=sin45°=22. （2）由向量b 与向量m 共线，得m =λb (λ∈R ）， u =a +m =a +λb=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°) =（cos23°+λsin22°，sin23°+λcos22°）， |u |2=(cos23°+λsin22°)2+(sin23°+λcos22°)2=λ2+2λ+1=222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ +21， ∴当λ=-22时，|u |有最小值为22.2.已知平面向量a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21,b =(-3,-1). (1)证明：a ⊥b ;(2）若存在不同时为零的实数k 、t ,使x =a +(t 2-2)b ,y =-k a +t 2b ,且x ⊥y ，试把k 表示为t 的函数.(1)证明 a ·b =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21·()1,3-- =⎪⎭⎫⎝⎛-21×(-3)+23×(-1)=0,∴a ⊥b .(2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0, 即［a +(t 2-2)b ］·（-k a +t 2b ）=0.展开得-k a 2+［t 2-k (t 2-2)］a ·b +t 2(t 2-2)b 2=0, ∵a ·b =0,a 2=|a |2=1,b 2=|b |2=4, ∴-k +4t 2(t 2-2)=0,∴k =f (t )=4t 2(t 2-2).3.设a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且a 与b 具有关系|k a +b |=3|a -k b |(k ＞0). （1）用k 表示a ·b ；（2）求a ·b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角. 解（1）∵|k a +b |=3|a -k b |， ∴(k a +b )2=3(a -k b )2，且|a |=|b |=1，即k 2+1+2k a ·b =3(1+k 2-2k a ·b )， ∴4k a ·b =k 2+1.∴a ·b =kk 412+(k ＞0）.（2）由（1）知：∵k ＞0 ∴a ·b =41414≥+k k ·2·kk 1· =21. 34∴a ·b 的最小值为21(当且仅当k =1时等号成立) 设a 、b 的夹角为θ，此时cos θ=b a b a ·=21. ∵0≤θ≤π,∴θ=3π. 故a ·b 的最小值为21，此时向量a 与b 的夹角为3π.一、选择题1.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·=·OC =OC ·OA ，则点O 是△ABC 的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点答案 D2.若向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则a ·b +b ·b 的值为（） A.2B.3C.4D.5 答案 D3.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=4,且a ·b =2,则a 与b 的夹角为（） A.6π B.4π C.3π D.2π 答案 C4.若a 与b -c 都是非零向量，则“a ·b =a ·c ”是“a ⊥（b -c ）”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C5.已知a ，b 是非零向量，且满足（a -2b ）⊥a ，（b -2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是（）A.6πB.3π C.32πD.π65 答案 B6. |a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )A .30B .60°C .120°D .150答案C二、填空题7.（2008·天津理，14）如图所示，在平行四边形ABCD 中，=（1，2），=（-3，2），则·= .答案 38.（2008· 江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F 为线段BC的三等分点，则·= . 答案 22 三、解答题9.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：（a -b ）⊥c ;(2)若|k a +b +c |＞1 (k ∈R )，求k 的取值范围. （1）证明 ∵（a -b ）·c =a ·c -b ·c=|a |·|c |·cos120°-|b |·|c |·cos120°=0, ∴（a -b ）⊥c .（2）解 |k a +b +c |＞1⇔|k a +b +c |2＞1,⇔k 2a 2+b 2+c 2+2k a ·b +2k a ·c +2b ·c ＞1.∵|a |=|b |=|c |=1，且a 、b 、c 的夹角均为120°, ∴a 2=b 2=c 2=1，a ·b =b ·c =a ·c =-21， ∴k 2+1-2k ＞1,即k 2-2k ＞0,∴k ＞2或k ＜0.10.已知a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ,34cos ,34sin θθθθb ,且θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π30,.（1）求ba ba +·的最值；（2）若|k a +b |=3|a -k b | (k ∈R ),求k 的取值范围. 解（1）a ·b =-sin34θ·sin 32θ+cos 34θ·cos 32θ=cos2θ， |a +b |2=|a |2+|b |2+2a ·b =2+2cos2θ=4cos 2θ.∵θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，，∴cos θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，，∴|a +b |=2cos θ.∴ba b a +·= θθcos 22cos =cos θ-θcos 21. 令t =cos θ,则21≤t ≤1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t 21′=1+221t ＞0, ∴t -t 21在t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，上为增函数.∴-21≤t -t21≤21，即所求式子的最大值为21，最小值为-21. （2）由题设可得|k a +b |2=3|a -k b |2, ∴(k a +b )2=3(a -k b )2又|a |=|b |=1,a ·b =cos2θ，∴cos2θ=kk 412+. 由θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π30,，得-21≤cos2θ≤1.∴-21≤kk 412+≤1.解得k ∈［2-3，2+3］ {-1}.11.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 解由|m |=1，|n |=1，夹角为60°，得m ·n =21. 则有|a |=|2m +n |=2)2(n m +=22·44n n m m ++=7. |b |=2)32(m n -=229124mn m n +⋅-=7.而a ·b =（2m +n ）·（2n -3m ）=m ·n -272622-=+n m ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=ba ba ··=727-=-21.故a ，b 夹角为120°.12.已知向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2sin 2cos ,23sin 23cos x ，x x ，x b ,x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，.若函数f (x )=a ·b -21λ|a +b |的最小值为-23，求实数λ的值.解 ∵|a |=1，|b |=1，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，∴a ·b =cos 23x cos 2x -sin 23x sin 2x =cos2x ，|a +b |=2)(b a +=222b b a a +⋅+=x 2cos 22+=2x cos =2cos x .∴f (x )=cos2x -λcos x =2cos 2x -λcos x -1=224cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-λx -82λ-1，cos x ∈［0，1］. ①当λ＜0时，取cos x =0,此时f (x )取得最小值，并且f (x )min =-1≠-23,不合题意. ②当0≤λ≤4时，取cos x =4λ,此时f (x ）取得最小值，并且f (x )min =-82λ-1=-23,解得λ=2. ③当λ＞4时，取cos x =1,此时f (x )取得最小值，并且f (x )min =1-λ=-23,解得λ=25,不符合λ＞4舍去,∴λ=2. §5.4 正弦定理和余弦定理基础自测1.（2008·陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则a 等于（）A.6B.2C.3D.2答案 D2.（2008·福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为( )A.6π B.3π C.6π或65πD.3π或32π答案 D3.下列判断中正确的是（）A .△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解B .△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解 C .△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解D .△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解答案 B4.在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积为 .答案 3105.（2008·浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = . 答案 33例1 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c .解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sin A =b B a sin =245sin 3︒=23, 则A 为60°或120°.①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-. 故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =226+或 A =120°,C =15°,c =226-. 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积. 解（1）由余弦定理知：cos B =acb c a 2222-+，cos C =abc b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b +2得:ac b c a 2222-+·2222c b a ab -+=-ca b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac ∴cos B =acb c a 2222-+=ac ac 2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B =32π. （2）将b =13,a +c =4,B =32π代入 b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac -2ac cos B∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac =3.∴S △ABC =21ac sin B =433. 例3 （12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc =0. （1）求角A 的大小；（2）若a =3，求bc 的最大值；（3）求cb C a --︒)30sin(的值.解（1）∵cos A =bca cb 2222-+=bc bc 2-=-21, 1分又∵A ∈（0，π），∴A =120°. 2分（2）由a =3,得b 2+c 2=3-bc ,又∵b 2+c 2≥2bc （当且仅当c =b 时取等号），∴3-bc ≥2bc (当且仅当c =b 时取等号）. 4分即当且仅当c =b =1时，bc 取得最大值为1. 6分（3）由正弦定理得：===Cc B b A a sin sin sin 2R , ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒ 8分=CB C A sin sin )30sin(sin --︒ 9分=CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- 10分 =C C CC sin 23cos 23sin 43cos 43-- 11分=21. 12分例4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三角形的形状.解方法一已知等式可化为 a 2［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2［-sin （A +B ）-sin(A -B )］ ∴2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A 由正弦定理可知上式可化为： sin 2A cos A sinB =sin 2B cos B sin A∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0 ∴sin2A =sin2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B , 即A =B 或A =2π-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二同方法一可得2a 2cos A sin B =2b 2sin A cos B 由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2) 即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.1.（1）△ABC 中，a =8,B =60°,C =75°,求b ; （2）△ABC 中，B =30°,b =4,c =8,求C 、A 、a . 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B =60°,C =75°,∴A =45°, ∴b =︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. （2）由正弦定理得sin C =430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C =90°.∴A =180°-(B +C )=60°,a =22b c -=43.2.已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且2S =(a +b )2-c 2，求tan C 的值. 解依题意得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab , 由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 所以,ab sin C =2ab (1+cos C ), 即sin C =2+2cos C , 所以2sin2C cos 2C =4cos 22C化简得：tan2C=2. 从而tan C =2tan 12tan22C C-=-34. 3.（2008·辽宁理，17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c =2,C =3π. （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值；（2）若sin C +sin(B -A )=2sin2A ,求△ABC 的面积. 解（1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab =4. 又因为△ABC 的面积等于3，所以21ab sin C =3，所以ab =4. 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A , 即sin B cos A =2sin A cos A , 当cos A =0时，A =2π，B =6π，a =334，b =332. 当cos A ≠0时，得sin B =2sin A ,由正弦定理得b =2a , 联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S =21ab sin C =332. 4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B -8cos B +5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状.解方法一 ∵2cos2B -8cos B +5=0, ∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0.∴4cos 2B -8cos B +3=0,即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21. ∵0＜B ＜π,∴B =3π. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a +c =2b .∴cos B =acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21，化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c . 又∵B =3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cos B +5=0， ∴2（2cos 2B -1）-8cos B +5=0. ∴4cos 2B -8cos B +3=0，即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =21或cos B =23（舍去）. ∴cos B =21,∵0＜B ＜π,∴B =3π,∵a ,b ,c 成等差数列，∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin3π=3. ∴sin A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3，∴sin A +sinA cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sin A +23cos A =3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A +6π=2π,∴A =3π,∴C =3π,∴△ABC 为等边三角形.一、选择题1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案 B2.在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CBsin sin 的值为（）A.58 B.85C.35D.53 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A 等于（）A.45°B.30°C.120°D.15°答案 A4.在△ABC 中，BC =2，B =3π，若△ABC 的面积为23，则tan C 为（）A.3B.1C.33D.23 答案 C5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ,则角C 为（）A.60°B.45°或135°C.120°D.30°答案 A6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则∠C 的度数是（） A.60° B.45°或135° C.120° D.30°答案 B 二、填空题7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a =1,b =7,c =3,则B = . 答案65π8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 答案 3或23 三、解答题9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，并且a 2=b (b +c ). （1）求证：A =2B ；（2）若a =3b ,判断△ABC 的形状. （1）证明因为a 2=b (b +c )，即a 2=b 2+bc , 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cos B =ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sin A =sin2B ,故A =2B . （2）解因为a =3b ,所以ba=3, 由a 2=b (b +c )可得c =2b ,cos B =ac b c a 2222-+=22223443b b b b -+=23,所以B =30°,A =2B =60°,C =90°. 所以△ABC 为直角三角形.10.（2008·全国Ⅱ理，17）在△ABC 中，cos B =-135，cos C =54.（1）求sin A 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长. 解 (1)由cos B =-135,得sin B =1312, 由cos C =54,得sin C =53. 所以sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB ×AC ×sin A =233. 由(1)知sin A =6533,故AB ×AC =65. 又AC =C B AB sin sin ⨯=1320AB ,故1320AB 2=65,AB =213. 所以BC =C A AB sin sin ⨯=211.11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x -b =0 (a ＞c ＞b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S =103，c =7. （1）求角C ；（2）求a ，b 的值.解（1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x -b =0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1·x 2=-a b.∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+a b4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab .又cos C =abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C ∈(0°,180°),∴C =60°. (2)由S =21ab sin C =103，∴ab =40. ① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 即c 2=(a +b )2-2ab (1+cos60°).∴72=(a +b )2-2×40×⎪⎭⎫ ⎝⎛+211.∴a +b =13.又∵a ＞b ② ∴由①②，得a =8,b =5.12.（2008·广东五校联考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a +b =5，c =7，且4sin22B A +-cos2C =27. (1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 解（1）∵A +B +C =180°, 由4sin 22B A +-cos2C =27, 得4cos 22C-cos2C =27, ∴4·2cos 1C +-(2cos 2C -1)=27, 整理,得4cos 2C -4cos C +1=0,解得cos C =21, ∵0°＜C ＜180°,∴C =60°. (2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 即7=a 2+b 2-ab ,∴7=(a +b )2-3ab ，由条件a +b =5,得7=25-3ab ,ab =6, ∴S △ABC =21ab sin C =21×6×23=233.§5.5 正弦定理、余弦定理的应用基础自测1.在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C 点的俯角为70°，则∠BAC 等于（） A.10°B.50°C.120°D.130°答案 D2.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则βα、的关系为（） A.α＞βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案 B3.在△ABC 中，若(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且sin C =2sin A cos B ,则△ABC 是（）A.等边三角形B.等腰三角形但不等边C.等腰直角三角形D.直角三角形答案 A4.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC =120°，则A 、C 两地的距离为（） A.10 km B.3 km C.510 km D.107 km答案 D5.线段AB 外有一点C ，∠ABC =60°,AB =200 km,汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始 h 后，两车的距离最小. 答案4370例1 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°， ∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离. 解如图所示在△ACD 中，∠ACD =120°，∠CAD =∠ADC =30°，∴AC =CD =3 km.在△BCD 中，∠BCD =45°， ∠BDC =75°，∠CBD =60°.∴BC =︒︒60sin 75sin 3=226+.△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=2）3（+2）226（+-2×3×226+×cos75° =3+2+3-3=5，∴AB =5(km).∴A 、B 之间的距离为5 km.例2 （12分）沿一条小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是50°，距离是3 km ，从 B 到C ，方位角是110°，距离是3 km ，从C 到D ,方位角是140°，距离是（9+33）km.试画出示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离（结果保留根号）.解示意图，如图所示， 3分连接AC ，在△ABC 中，∠ABC =50°+(180°-110°)=120°, 又AB =BC =3，∴∠BAC =∠BCA =30°. 5分由余弦定理可得AC =︒⋅-+120cos 222BC AB BC AB=)21(33299-⨯⨯⨯-+=27=33(km). 7分。

第3章不等式复习复习教案(北师大必修5).doc

西安交大阳光中学2009——2010学年度第二学期数学导学案设计年级：高二科目：数学第章第节课题名称不等式复习（3）授课时间第周星期第节课型复习主备课人卫娟莲学习目标理解基本不等式，并能熟练应用。

重点难点解不等式及基本不等式应用1.自主学习：基础知识总结基本不等式1.基本不等式（1）a~ +b2 > 2ab（a,b e R）.⑵zy（a>0,b>0）,其中凹和巫分别叫做正数a, b的平均数和平均数.变式:(3) ab W °；b (a,b G R) (4)ab <(Q；b)2(Q,b G 7?)学习过程以上各不等式当且仅当时取等号.2•最值问题设都为正数，则有（1）若x + y = s （和为定值），则当x = y时，积xy取得最大值；⑵若xy =/?（积为定值），则当x = y时,和x+y取得最小值. 利用基本不等式求最值应注意:@x, y 一定要都是正数;②求积xy最大值时,应看和X+Y是否为定值;求和x+y最小值时，看积xy是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正二定三相等” •利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否能取到，若取到等号，则解法是合理的，若取不到，则必须改用其他方法.常用到的一个不等式:若a>Q,b>0,则有2弘.页<a+b < la2 +尤•（当且仅当“a=b”取等号）a+b 2 T 22.精讲互动：2例1 （2008江苏卷11）.已知x,y,z G 7?+ , x-2y + 3z = 0 ,则』一的最小值例2（山东理科⑹函数j^log a（^+3）-l （日>0, a丰1）的图象恒过定点A,若点A在直线 1 7/nx+ny+l=0 _h,其中肋>0,则一+ —的最小值为・m n3达标训练：下列结论正确的是—A .当兀〉0且兀北1时，lgx ------------ 、2〜lgxB.当兀> 0时，y/~X H—-j= 12 C .当X 2时，X H—的最小值为2Vx XD. 0<兀52时，兀一丄无最大值X3x- y-6<G（2009山东卷理）设x, y满足约束条件< 兀一y+ 210 ,若目标函数z=ax+by[x>0,y>02 3（a>0, b>0）的值是最大值为12,则一+ —的最小值为a b5. （2006上海春）已知直线2过点P（2, 1）,且与兀轴、y轴的正半轴分别交于4、B两点,0为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为.(2006陕西)已知不等式(x+y) (- + -) $9对任意正实数x, y恒成立，则正实数x ya的最小值为.(2008江苏省启东中学高二综合测试二)当x>l时，不等式x+」一三a恒成立，X ~1则实数a的取值范围是课堂小结会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第七章不等式 2

1．“三个二次”的关系(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．不等式x 2－3x －10>0的解集是( ) A ．(－2,5) B ．(5，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案 D解析解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．(2,3] D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 答案 C解析依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1<x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]，故选C.3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．4．(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}．所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．答案 (－1,1)解析由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0 得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4) 答案 (1)D (2)B解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0. (2)任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4. 命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是____________．答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (1)A (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.题型三一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000 ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. ∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0， ∴0<x <13，即x 的范围为(0，13)．13．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图像在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． [失误与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]答案 A解析方法一当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析由题意知a ＝0时，满足条件． a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析由题意，得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.5．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a .∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为( ) A.－1－52B.1－52C.－1±52D.1±52答案 D解析若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52，所以选D. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a} 解析原不等式即(x －a )(x －1a)<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝________. 答案－2 解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0，依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2. 9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞) B ．(－32，12) C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞) D ．(－12，32) 答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72C.154D.152答案 A解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图像可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。

【步步高】高考数学总复习第一章 1.1集合的概念与运算强化训练理北师大版

§1.1集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法．(4)常见数集的记法2．(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． ( × ) (2){1,2,3}＝{3,2,1}． ( √ ) (3)∅＝{0}．( × ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) (5)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则M ∩N ＝N .( √ ) (6)若全集U ＝{－1,0,1,2}，P ＝{x ∈Z |x 2<4}，则∁U P ＝{2}．( √ ) 2． (2013·北京)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1} 答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．3． (2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.4． (2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( )A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}答案 A解析化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，则M ∩N ＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫34，43解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43.即34≤a <43.题型一集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.思维启迪解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”．答案 (1)D (2)2解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个；当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个；当y ＝3时，x 可取4,5，有2个；当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D. (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________. 答案 (1)C (2)0或98解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图像，可得图像有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2.(2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二集合间的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．思维启迪对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形．答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．(1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 (1)A (2)4解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 题型三集合的基本运算例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(∁R B )等于 ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}(2)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.思维启迪集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算．答案 (1)C (2)－1 1解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4} ∴A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．(2)先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解． A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{3}C ．{2,3}D ．{x |－1≤x <2}(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．答案 (1)B (2)1或2解析(1)A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>2}，∴A∩B＝{x∈Z|2<x≤3}＝{3}．(2)A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.题型四集合中的新定义问题例4在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4思维启迪解答本题要充分理解[k]的意义，然后对选项逐一验证．答案 C解析因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n＋4|n∈Z}，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a，b属于同一“类”，则有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来，如果a－b∈[0]，也可以得到a，b属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“”，满足XY ＝(∁U X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，X (YZ )等于( )A ．(X ∪Y )∪(∁U Z )B ．(X ∩Y )∪(∁U Z )C ．[(∁U X )∪(∁U Y )]∩ZD ．(∁U X )∪(∁U Y )∪Z 答案 D 解析因为X Y ＝(∁U X )∪Y ，所以Y Z ＝(∁U Y )∪Z ，所以X(YZ )＝(∁U X )∪(YZ )＝(∁U X )∪(∁U Y )∪Z ，故选D.遗忘空集致误典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况．解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．失误与防范1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．A组专项基础训练(时间：30分钟)一、选择题1．(2013·重庆)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于() A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}答案 D解析因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.2．下列集合中表示同一集合的是() A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．3．已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁S A ＝{3}，则实数a 等于( )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．2答案 D解析由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．设集合M ＝{m ∈Z |m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则(∁Z M )∩N 等于( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}答案 B解析由已知，得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}， N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}．5．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 B解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个．6．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅答案 B解析因为A ＝{x |x 2－x －2<0}，所以A ＝{x |－1<x <2}．又B ＝{x |－1<x <1}，画出数轴，可得B A .7． (2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案 D解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．8．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－ 1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ( ) A ．3B ．4C ．7D ．8答案 C解析因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．二、填空题9．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.答案－1或2解析由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．11．(2013·天津改编)已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x ≤1}，则A ∩B ＝________.答案 {x |－2≤x ≤1}解析易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.B 组专项能力提升 (时间：15分钟)1．若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N ＋}，B ＝{y |4y∈N ＋}，则A ∩B 中元素个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 D解析 ∵A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N ＋}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{y |4y∈N ＋}＝{1,2,4}，所以A ∩B＝{1,2,4}，含有3个元素，选D.2．已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 C解析由x x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x (x －1)≥0， ∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，M ∩N ＝{x |x >1}．3．已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x∈Z }，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∩(∁U N )C ．N ∩(∁U M )D ．(∁U M )∪(∁U N ) 答案 B解析集合U 为函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1的定义域内的整数集，由9x －1>0，即9－x x>0，解得0<x <9，又x ∈Z ，所以x 可取1,2,3,4,5,6,7,8，故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集，解|x －4|≤1，得3≤x ≤5，又x ∈Z ，所以x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}．集合N 是使6x为整数的自然数集合，显然当x ＝1时，6x＝6；当x ＝2时，6x＝3；当x ＝3时，6x＝2；当x ＝6时，6x＝1. 所以N ＝{1,2,3,6}．显然M ⊆U ，N ⊆U .而4∈M,4∈U,4∉N,5∈M,5∈U,5∉N ，所以4∈M,4∈∁U N,5∈M,5∈∁U N ，即{4,5}＝M ∩(∁U N )．4．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝________. 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0<y <12}， ∴∁U P ＝{y |y ≥12}＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如右图所示，得c ≥1.6．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图像向上平移一个单位长度后得到的函数图像上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图像只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．。

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第七编不等式 §7.1 不等关系与不等式基础自测1.已知-1＜a ＜0,那么-a ,-a 3,a 2的大小关系是（）A. a 2＞-a 3＞-aB.-a ＞a 2＞-a 3C.-a 3＞a 2＞-aD.a 2＞-a ＞-a 3答案 B2.若m ＜0,n ＞0且m +n ＜0，则下列不等式中成立的是 ( )A.-n ＜m ＜n ＜-mB.-n ＜m ＜-m ＜nC.m ＜-n ＜-m ＜nD. m ＜-n ＜n ＜-m答案 D3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么下列不等式成立的是（）A. a ＞ab ＞ab 2B.ab 2＞ab ＞aC.ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a答案 D4.（2008·厦门模拟）yx＞1的一个充分不必要条件是（）A .x ＞yB .x ＞y ＞0C .x ＜yD .y ＜x ＜0答案 B5.设甲:m ,n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙:m ,n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么（）A .甲是乙的充分不必要条件B .甲是乙的必要不充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件答案 B例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x 2+y 2)(x -y )与(x 2-y 2)(x +y )的大小；（2）已知a ,b ,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N ,n ＞2时比较c n 与a n +b n 的大小. 解（1）方法一（x 2+y 2）(x -y )-(x 2-y 2)(x +y ) =(x -y )［x 2+y 2-(x +y )2］=-2xy (x -y ), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x -y ＜0, ∴-2xy (x -y )＞0,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x -y ＜0,x 2＞y 2,x +y ＜0. ∴(x 2+y 2)(x -y )＜0,(x 2-y 2)(x +y )＜0, ∴0＜))(())((2222y x y x y x y x +--+=xyy x y x 22222+++＜1,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ).(2)∵a ,b ,c ∈{正实数}，∴a n ,b n ,c n ＞0, 而nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∵a 2+b 2=c 2,则2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫⎝⎛c b =1,∴0＜c a ＜1,0＜cb＜1.∵n ∈N ,n ＞2,∴n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,n c b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b , ∴n n n c b a +=nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜222c b a +=1,∴a n +b n ＜c n .例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b ,则下列不等式恒成立的为（）A.(a +c )4＞(b +c )4B .ac 2＞bc 2C .lg|b +c |＜lg|a +c |D .31）（c a +＞31)(c b +答案 D例3（12分）已知-1＜a +b ＜3且2＜a -b ＜4,求2a +3b 的取值范围. 解设2a +3b =m (a +b )+n (a -b ),∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m , 2分 ∴m =25,n =-21. 4分 ∴2a +3b =25(a +b )-21(a -b ). 5分 ∵-1＜a +b ＜3,2＜a -b ＜4, ∴-25＜25(a +b )＜215,-2＜-21(a -b )＜-1, 8分 ∴-29＜25(a +b )- 21(a -b )＜213, 10分即-29＜2a +3b ＜213. 12分1.（1）比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ; （2）设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a1的大小. 解（1）（x 6+1）-（x 4+x 2） =x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1)=(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1) =(x 2-1)2(x 2+1). 当x =±1时，x 6+1=x 4+x 2; 当x ≠±1时，x 6+1＞x 4+x 2. （2）a -a 1=aa 12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1；当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a1；当a =±1时,a =a1. 2.适当增加不等式条件使下列命题成立： (1)若a ＞b ,则ac ≤bc ; (2)若ac 2＞bc 2,则a 2＞b 2; (3)若a ＞b ,则lg(a +1)＞lg(b +1); (4)若a ＞b ,c ＞d ,则d a ＞cb ; (5)若a ＞b ,则a 1＜b1. 解 (1)原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc ,即增加条件“c ≤0”. (2)由ac 2＞bc 2可得a ＞b ,但只有b ≥0时，才有a 2＞b 2,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a +1＞b +1,但作为真数，应有b +1＞0,故应加条件“b ＞-1”. (4)d a ＞c b成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加条件为“a ＜0,c ＞0,d ＜0”. (5)a 1＜b1成立的条件是a ＞b ,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为“ab ＞0”. 3.设f (x )=ax 2+bx ,1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,求f (-2)的取值范围. 解方法一设f (-2)=mf (-1)+nf (1) (m ,n 为待定系数), 则4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a +(n -m )b ,于是得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f (-2)=3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10, 故5≤f (-2)≤10.方法二由⎩⎨⎧+=-=-b a f ba f )1()1(,得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a , ∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.方法三由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f (-2)=4a -2b 过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,时,取得最小值4×23-2×21=5, 当f (-2)=4a -2b 过点B (3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f (-2)≤10.]一、选择题1.已知a ,b ,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是（）A .a b ＞acB .cab -＞0C .c b 2＞ca 2D .acca -＜0 答案 C2.已知a 、b 、c 满足c ＜b ＜a ,且ac ＜0,那么下列选项中一定成立的是（）A .ab ＞acB .c (b -a )＜0C .cb 2＜ab2D .ac (a -c )＞0答案 A3.设a ＞1＞b ＞-1,则下列不等式恒成立的是（）A .ba 11< B .ba 11> C .221ba >D .a >b 2答案 D4. (2009·杭州模拟)已知三个不等式：ab ＞0，bc -ad ＞0,bda c -＞0(其中a ,b ,c ,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是（） A .0 B .1 C .2D .3答案 D5.已知函数f (x )=log 2(x +1),设a ＞b ＞c ＞0,则a a f )(,b b f )(,cc f )(的大小关系为 ( )A .aa f )(＜c c f )(＜b b f )(B . a a f )(＜b b f )(＜c c f )( C .c c f )(＜a a f )(＜bb f )(D .c c f )(＜bb f )(＜a a f )( 答案 B6.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①a x ＜a y ;②log a x ＞log a y ;③x -a ＞y -a ;④log x a ＜log y a . 其中不成立的个数是（）A .1B .2C .3D .4答案 C 二、填空题 7.已知a +b ＞0，则2b a +2a b 与a 1+b1的大小关系是 . 答案2b a +2a b ≥a 1+b18.给出下列四个命题： ①若a ＞b ＞0,则a 1＞b 1; ②若a ＞b ＞0,则a -a 1＞b -b1; ③若a ＞b ＞0,则b a b a 22++＞ba; ④设a ,b 是互不相等的正数，则|a -b |+ba -1≥2. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）答案 ② 三、解答题9.比较a a b b 与a b b a （a ,b 为不相等的正数）的大小. 解ab b a ba b a =a a -b b b -a =ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a -b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a -b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1.综上所述，总有a a b b ＞a b b a .10.已知奇函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0, γ+α＞0. 试说明f (α)+f (β)+f (γ)的值与0的关系. 解由α+β＞0,得α＞-β.∵f (x )在R 上是单调减函数,∴f (α)＜f (-β).又∵f (x )为奇函数,∴f (α)＜-f (β),∴f (α)+f (β)＜0, 同理f (β)+f (γ)＜0,f (γ)+f (α)＜0, ∴f (α)+f (β)+f (γ)＜0.11.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解设买软件x 片、磁盘y 盒,则x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x y x y x 4300019080.12.已知a ＞0,a 2-2ab +c 2=0,bc ＞a 2.试比较a ,b ,c 的大小. 解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b ,c 同号.又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b =ac a 222+＞0,∴c ＞0,由(a -c )2=2ab -2ac =2a (b -c )≥0,∴b -c ≥0. 当b -c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222a bc a c a b ⇒a c a 222+·c ＞a 2 ⇒(a -c )(2a 2+ac +c 2)＜0.∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac +c 2＞0, ∴a -c ＜0,即a ＜c ,则a ＜c ＜b ；当b -c =0,即b =c 时, ∵bc ＞a 2,∴b 2＞a 2,即b ≠a .又∵a 2-2ab +c 2=(a -b )2=0⇒a =b 与a ≠b 矛盾, ∴b -c ≠0.综上可知:a ＜c ＜b .§7.2 一元二次不等式及其解法基础自测1.下列结论正确的是（）A .不等式x 2≥4的解集为{x |x ≥±2}N + N +B .不等式x 2-9＜0的解集为{x |x ＜3}C .不等式(x -1)2＜2的解集为{x |1-2＜x ＜1+2}D .设x 1,x 2为ax 2+bx +c =0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2} 答案 C2.（2007·湖南理,2）不等式12+-x x ≤0的解集是（）A .（-∞,-1）(]2,1-B.[]2,1- C .（-∞,-1）[)+∞,2D .(]2,1-答案 D3.（2008·天津理,8）已知函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 则不等式x +(x +1)·f (x +1)≤1的解集是( )A .{}121|-≤≤-x xB. {}1|≤x x C .{}12|-≤x xD .{}1212|-≤≤--x x答案 C4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).若不等式(x -a )⊗(x +a )＜1对任意实数x 成立,则( )A .-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C .-21＜a ＜23D .-23＜a ＜21答案 C5.(2008·江苏，4)A ={x |(x -1)2＜3x -7}，则A ∩Z 的元素的个数为 .答案 0例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x . 解原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x , 即2x 2-3x -7≤0.解方程2x 2-3x -7=0,得x =4653±. 所以原不等式的解集为 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-|4654346543|x x . 例2 已知不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx +a ＜0的解集. 解方法一由已知不等式的解集为(α,β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx +c =0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαa c ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0, 则cx 2+bx +a ＜0可化为x 2+x c b +ca＞0, ①÷②得c b =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα11＜0, 由②得c a =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+c b x +c a =0的两根. ∵0＜α＜β,∴不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或.方法二由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0, 且α，β是ax 2+bx +c =0的两根， ∴α+β=-a b ,αβ=ac, ∴cx 2+bx +a ＜0⇔a c x 2+abx +1＞0 ⇔(αβ)x 2-(α+β)x +1＞0⇔(αx -1)(βx -1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1, ①②∴cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ). (1)解这个关于x 的不等式;(2)若x =-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax -1)(x +1)＞0. ①当a =0时,由-(x +1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1; ③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a 1＜x ＜-1; 若a1=-1,即a =-1,则不等式解集为空集; 若a 1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1. 综上所述,a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11; a =-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x a x ;a =0时,解集为{x |x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11或. (2)∵x =-a 时不等式成立,∴112+---a a ＞0,即-a +1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4 （12分）已知f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈［-1，+∞）时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围. 解方法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2,此二次函数图象的对称轴为x =a , 1分 ①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知, f (x )在［-1，+∞）上单调递增，f (x )min =f (-1)=2a +3, 3分要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ,即2a +3≥a ,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; 5分 ②当a ∈［-1，+∞）时，f (x )min =f (a )=2-a 2, 7分由2-a 2≥a ,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1,∴-1≤a ≤1. 10分综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1. 12分方法二由已知得x 2-2ax +2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 4分即Δ=4a 2-4(2-a )≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a , 8分解得-3≤a ≤1. 12分1.解下列不等式：（1）-x 2+2x -32＞0;(2)9x 2-6x +1≥0. 解（1）-x 2+2x -32＞0 ⇔x 2-2x +32＜0 ⇔3x 2-6x +2＜0Δ=12＞0,且方程3x 2-6x +2=0的两根为 x 1=1-33,x 2=1+33, ∴原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-331331x x . (2)9x 2-6x +1≥0⇔(3x -1)2≥0.∴x ∈R ,∴不等式解集为R .2.已知关于x 的不等式(a +b )x +(2a -3b )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0的解集.解 ∵(a +b )x +(2a -3b )＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a =2b ＞0,b ＞0,不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0, 即为-bx -3b ＞0,亦即-bx ＞3b ,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x |x ＜-3}. 3.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.解2a x a x --＜0⇔(x -a )(x -a 2)＜0,①当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a .综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }; 当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅. 4.函数f (x )=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范围; (2)当x ∈［-2,2］时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax +3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图(1),当g (x )的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈［-2,+∞)时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--0324220)3(42a a aa a ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462a a a a 或解之得a ∈∅.③如图(3),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈(-∞,2］时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--0324220)3(42a a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462a a a a 或 ⇔-7≤a ≤-6综合①②③得a ∈［-7，2］.一、选择题1.函数y =)1(log 221-x 的定义域是（）A .［-2,-1）∪（1，2］B .［-2,-1］∪（1，2）C .［-2,-1）∪（1，2］D .（-2,-1）∪（1，2）答案 A 2.不等式412--x x ＞0的解集是（）A .（-2,1）B .（2，+∞）C .(-2,1)∪(2,+∞)D .(-∞,-2)∪(1,+∞)答案 C3.若(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A .m ＞1 B .m ＜-1 C .m ＜-1113D .m ＞1或m ＜-1113 答案 C4.若关于x 的不等式：x 2-ax -6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是( ) A .-25≤a ≤1B .a ≤-25或a ≥1C .-25≤a ＜0或1≤a ＜24D .-25≤a ＜-24或0＜a ≤1答案 D5.(2009·合肥模拟)已知函数f (x ）的定义域为（-∞，+∞），)(x f '为f (x )的导函数，函数y =)(x f '的图象如右图所示，且f (-2)=1,f (3)=1,则不等式f (x 2-6)＞1的解集为（）A .(2,3)∪(-3,-2)B .(-2, 2)C .(2,3)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)答案 A6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（）A .{x |-1＜x ＜1}B .{x |0＜x ＜3}C .{x |0＜x ＜1}D .{x |-1＜x ＜3}答案 C 二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-8)8.已知{x |ax 2-ax +1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 . 答案 0≤a ≤4 三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax -a 2＜0. 解原不等式可化为(7x +a )(8x -a )＜0,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0.①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ; ②当-7a =8a,即a =0时,原不等式解集为∅; ③当-7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7a . 综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x ;当a =0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x ax .10.已知x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px +1＞0的解集.解 ∵x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,∴-21,31是方程x 2+px +q =0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px +1＞0可化为-0161612>++x x , 即x 2-x -6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px +1＞0的解集为{x |-2＜x ＜3}.11.若不等式2x -1＞m (x 2-1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解方法一原不等式化为(x 2-1)m -(2x -1)＜0. 令f (m )=(x 2-1)m -(2x -1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f解得271+-＜x ＜231+. 方法二求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x =±1时，不等式变为2x -1＞0,即x ＞21,∴x =1,此时原不等式恒成立. （2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2,∴1＜x ＜231+. (3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1. 由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x . 12.已知函数f (x )=ax 2+a 2x +2b -a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a ,b 的值及函数f (x )的表达式；（2）设F (x )=-4kf (x )+4(k +1)x +2(6k -1),问k 取何值时，函数F (x )的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f (x )=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623a a b a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f (x )=-4x 2+16x +48.(2)F (x )=-4k (-4x 2+16x +48)+4(k +1)x +2(6k -1)=kx 2+4x -2. 当k =0时，F (x )=4x -2不恒为负值；当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.§7.3 基本不等式基础自测1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b3=1，则a +2b 的最小值为 ( )A .7+26B .23C .7+23D .14答案 A2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A.baa b +≥2 B .a 2+b 2≥2abC .ba ab 22+≥a +bD .b a 11+≥2+ba +2答案 D3.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A .0B .1C .2D . 4答案 D4.x +3y -2=0，则3x +27y +1的最小值为（）A .7B .339C .1+22D .5答案 A5.（2008·江苏，11）x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy 2的最小值是 .答案 3例1 已知x ＞0,y ＞0,z ＞0.求证：⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8.证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0, ∴x y +x z ≥xyz 2＞0, y x +y z≥y xz 2＞0.z x +z y≥z xy 2＞0, ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x≥xyzxyxz yz ∙∙8=8.（当且仅当x =y =z 时等号成立）例2 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值；（2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（3）若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值. 解（1）∵x ＞0,y ＞0,x 1+y9=1, ∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 91=x y +yx9+10≥6+10=16. 当且仅当x y =yx9时，上式等号成立，又x 1+y9=1,∴x =4,y =12时，(x +y )min =16. （2）∵x ＜45,∴5-4x ＞0, ∴y =4x -2+541-x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x =x451-,即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1.(3)由2x +8y -xy =0,得2x +8y =xy ,∴y 2+x8=1, ∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 28=10+x y 8+y x2=10+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y 4≥10+2×2×y xx y ∙4=18,当且仅当x y 4=yx,即x =2y 时取等号，又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6, ∴当x =12,y =6时，x +y 取最小值18.例3 （12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为 80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解（1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x162米. 1分则总造价f (x )=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x +80×162=1 296x +x1002961⨯+12 960 =1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 960 3分≥1 296×2xx 100∙+12 960=38 880（元），当且仅当x =x100(x ＞0), 即x =10时取等号. 5分 ∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 6分（2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16. 8分设g (x )=x +x 100⎪⎭⎫⎝⎛≤≤168110x . g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数，∴当x =1081时(此时x 162=16),g (x )有最小值，即f (x )有最小值.10分1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元. 12分1.已知,a ,b ,c 均为正数，且a +b +c =1. 求证：a 1+b 1+c1≥9. 证明a 1+b 1+c 1= a c b a +++b c b a +++cc b a ++ =3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a a c +⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c≥3+2+2+2=9. 当且仅当a =b =c =31时取等号. 2.若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x=-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x∵-4＜x ＜1,∴-(x -1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1当且仅当-(x -1)=()11--x ，即x =2（舍）或x =0时取等号. 即max22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x =-1.3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时）的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元. （1）把全程运输成本y （元）表示为速度v (千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解（1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v s ，全程运输成本为y =(a +bv 2) v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈（0,c ］.（2）依题意，有s ,b ,a ,v 都是正数.因此y =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①若b a ≤c ,则当且仅当v =bv a ⇒v =ba 时,y 取到最小值. ②若ba≥c ,则y 在（0，c ］上单调递减，所以当v =c 时，y 取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v =ba ；当ba≥c 时，行驶速度应该为v =c .一、选择题1.若不等式x 2+ax +4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为（）A .[)+∞,0B .[)+∞-,4C .[)+∞-,5D .[]4,4-答案 C2.在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是（）A .y =x +x4B .y =xx lg 1lg +C .y =11122+++x xD .y =x 2-2x +3答案 D3.已知0＜x ＜1，则x (3-3x )取得最大值时x 的值为( )A .31 B .21C .43 D .32答案 B4.（2008·聊城模拟）若直线2ax +by -2=0 （a ,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x -4y -6=0，则a 2+b1的最小值是（） A .1 B .5 C .42 D .3+22答案 D5.（2008·汕头模拟）函数y =log 2x +log x (2x )的值域是（）A .(]1,--∞B .[)+∞,3C .[]3,1-D .(][)+∞--∞,31,答案 D6.有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是（） A .4.7 m B .4.8 m C .4.9 m D .5 m答案 C 二、填空题7.（2008·徐州调研）若实数a ,b 满足ab -4a -b +1=0 (a ＞1),则(a +1)(b +2)的最小值为 . 答案 278.若a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，则xa 2+yb 2≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y b 时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f (x )=x 2+ x219-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为，取最小值时x 的值为 .答案 25 51三、解答题9.（1）已知0＜x ＜34，求x (4-3x )的最大值；（2）点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，求2x +4y 的最小值. 解（1）已知0＜x ＜34,∴0＜3x ＜4. ∴x (4-3x )=31(3x )(4-3x )≤3122343⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =34当且仅当3x =4-3x ,即x =32时“=”成立. ∴当x =32时，x (4-3x ）的最大值为34. （2）已知点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，所以x +2y =3.∴2x +4y ≥2y x 42=2y x 22+=232=42. 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=3242y x yx ，即x =23,y =43时“=”成立.∴当x =23,y =43时，2x +4y 的最小值为42. 10.已知a 、b ∈（0，+∞），且a +b =1,求证： (1)a 2+b 2≥21; (2)21a +21b ≥8;(3)21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225;(4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1≥425.证明由⎪⎩⎪⎨⎧=+≥+,b a ,ab ba 12 a 、b ∈（0，+∞），得ab ≤21⇒ab ≤41⇒ab 1≥4. （当且仅当a =b =21时取等号） (1)∵a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ≥1-2×41=21， ∴a 2+b 2≥21. (2)∵21a +21b ≥ab 2≥8,∴21a +21b≥8.(3)由(1)、(2)的结论，知21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b =a 2+b 2+4+21a +21b≥21+4+8=225,∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225. (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b 1=a b +b a +ab +ab 1=a b +b a +21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ab ab +2≥2+2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2=425.11.设a ＞0,b ＞0,a +b =1. （1）证明：ab +ab 1≥441; （3）探索猜想，并将结果填在以下括号内： a 2b 2+221b a ≥（）；a 3b 3+331b a ≥（）；（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明. （1）证明方法一 ab +ab 1≥441⇔4a 2b 2-17ab +4≥0 ⇔(4ab -1)(ab -4)≥0. ∵ab =(ab )2≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a =41,∴4ab ≤1，而又知ab ≤41＜4, 因此(4ab -1)(ab -4)≥0成立，故ab +ab 1≥441. 方法二 ab +ab1=ab +ab ⋅241+ab ⋅2415，∵ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41，∴ab 1≥4，∴ab ⋅2415≥415.当且仅当a =b =21时取等号. 又ab +ab∙241≥2abab ∙∙241=21，当且仅当ab =ab⋅241，即ab 1=4,a =b =21时取等号.故ab +ab 1≥42+415=441（当且仅当a =b =21时，等号成立）. （2）解猜想：当a =b =21时，不等式a 2b 2+221b a ≥( )与a 3b 3+331b a ≥( )取等号，故在括号内分别填16161与64641. （3）解由此得到更一般性的结论： a n b n +n n b a 1≥4n +n41.证明如下：∵ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41,∴ab 1≥4. ∴a n b n +n n b a 1=a n b n +n n n b a ⋅241+n n n n ba ⋅-22414≥2n n n nnba b a ⋅⋅241+n n 22414-×4n=n 42+n n 4142-=4n +n41，当且仅当ab =41,即a =b =21时取等号. 12.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，x ∈N +，1≤x ≤96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3a元. （注：次品率p =产品总数次品个数×100%，正品率=1-p )（1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解（1）依题意可知：p =x-1003(1≤x ≤96,x ∈N +),日产量x 件中次品有xp 件，正品有x -px 件，日盈利额T =a (x -px )-3a px =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004. (2)∵T =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 1004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--x x x 1004001004 =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x 1004004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----x x 100400100104 ≤a (104-2400)=64a ，所以当100-x =20，即x =80时，T 最大. 因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值.§7.4 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题基础自测1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x y x2.（2008·天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-,12,1,0y x y x y x 则目标函数z =5x +y 的最大值为（）A .2B .3C .4D .5答案 D3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是（）A .m ＜-5或m ＞10B .m =-5或m =10C .-5＜m ＜10D .-5≤m ≤104.（2008·北京理，5）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z =3x +2y 的最小值是( )A .0B .1C .3D .9答案 B5.（2008·福建理，8）若实数x 、y 满足⎩⎨⎧>≤+-001x y x ，则x y的取值范围是( )A .(0,1)B .(]1,0C .(1,+∞)D .[)+∞,1答案 C例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x ,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合.x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合,x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.所以,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,25 ,y ∈［-3,8］.(2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧∈≤≤-+≤≤-Z x x x y x 且,325当x =3时,-3≤y ≤8,有12个整点; 当x =2时,-2≤y ≤7,有10个整点; 当x =1时,-1≤y ≤6,有8个整点; 当x =0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x =-1时,1≤y ≤4,有4个整点; 当x =-2时,2≤y ≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).例2 （2008·湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥,092,0,1y x y x x 则x +y 的最大值是（）A .2B .5C .6D .8答案 6例3 （12分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元， 1分则线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+15153001032005430049y x y x y x y x ， 4分目标函数为z =7x +12y , 6分作出可行域如图， 8分作出一组平行直线7x +12y =t ,当直线经过直线4x +5y =200和直线3x +10y =300的交点A (20，24)时，利润最大. 10分即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max =7×20+12×24=428（万元）.答每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大. 12分1.（2008·浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于 . 答案 12.（2008·全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+,30,03,0x y x y x 则z =2x -y 的最大值为 .答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌，那么利润p =15x +20y .其中x ,y 满足限制条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≤+≤+++N N y y x x y x y x ,0,030012000884.即点（x ,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x +8y =8 000(即AB )，2x +y =1 300(即BC )，x =0(即OA )和y =0(即OC ）.对于某一个确定的p =p 0满足p 0=15x +20y ,且点（x ,y )属于阴影部分的解x ,y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案. 对于不同的p ,p =15x +20y 表示一组斜率为-43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p =15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900），当x =200,y =900时，p 取最大值，即p max =15×200+20×900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.一、选择题1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x ,y 满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,22,x y x x y 则z =x -3y 的最小值为（）A .-2B .-4C .-6D .-8答案 D2.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A .a ≥34B .0＜a ≤1C .1≤a ≤34 D . 0＜a ≤1或a ≥34 答案 D3.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z =x +my 取得最小值，则m 等于（）A .-2B .-1C .1D .4答案 C4.（2008·山东理，12）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ,使函数y =a x （a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（）A .［1,3］B .［2,10］C .［2,9］D .［10,9］答案 C5.（2009·武汉模拟）如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,目标函数z =kx +y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（）A .2B .-2C .51D .不存在答案 A6.（2007·江苏，10）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|(x ,y )∈A }的面积为（） A .2B .1C .21D .41 答案 B 二、填空题7.（2008·安徽理，15）若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,2,0,0x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A中的那部分区域的面积为 . 答案47 8.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是；（2）若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是 . 答案（1）［2,+∞)（2）29三、解答题9.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，试求z =11++x y 的最大值和最小值.解由于z =11++x y =)1()1(----x y ，所以z 的几何意义是点（x ,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此11++x y 的最值就是点（x ，y ）与点M （-1，-1）连线的斜率的最值，结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max =k MB =3，此时x =0，y =2； z min =k MC =21，此时x =1，y =0.10.已知变量x ,y 满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x .若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围.解依据约束条件，画出可行域. ∵直线x +2y -3=0的斜率k 1=-21,目标函数 z =ax +y (a ＞0)对应直线的斜率k 2=-a ,若符合题意，则须k 1＞k 2,即-21＞-a ,得a ＞21. 11.两种大小不同的钢板可按下表截成A ,B ,C 三种规格成品:某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z =x +y约束条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+Z Z y y x x y x y x y x ,0,027*******作出可行域如图所示：令z =0，作出基准直线l :y =-x ,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x +3y =27和直线2x +y =15的交点A ⎪⎭⎫⎝⎛539,518可使z 取最小，由于539,518都不是整数，而最优解（x ,y ）中，x ,y 必须都是整数，可行域内点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518不是最优解；通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ⎪⎭⎫⎝⎛539,518点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C （4，8），它们都是最优解.答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；两种方法都最少要截两种钢板共12张. 12.在R 上可导的函数f (x )= 31x 3+21ax 2+2bx +c ,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a ,b )对应的区域的面积以及12--a b 的取值范围. 解函数f (x )的导数为)(x f '=x 2+ax +2b ,当x ∈(0,1)时,f (x )取得极大值,当x ∈(1,2)时,f (x )取得极小值,则方程x 2+ax +2b =0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数)(x f '=x 2+ax +2b 的图象与方程，x 2+ax +2b =0根的分布之间的关系可以得到⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>020120b a b a b在aOb 平面内作出满足约束条件的点(a ,b )对应的区域为△ABD (不包括边界),如图阴影部分,其中点A (-3,1),B (-1,0),D (-2,0), △ABD 的面积为S △ABD =21|BD |×h =21(h 为点A 到a 轴的距离). 点C (1,2)与点(a ,b )连线的斜率为12--a b,显然12--a b ∈(k CA ,k CB ),即12--a b ∈⎪⎭⎫⎝⎛1,41.单元检测七一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合M ={x |x 2＜4},N ={x |x 2-2x -3＜0},则集合M ∩N 等于（）A .{x |x ＜-2}B .{x |x ＞3}C .{x |-1＜x ＜2}D .{x |2＜x ＜3}答案 C2.已知a ＞0,b ＞0,a ,b 的等差中项是21，且m =a +a 1,n =b +b1，则m +n 的最小值是（）A .3B .4C .5D .6答案 C 3.已知x ＞45，则函数y =4x +541-x 的最小值为（）A .-3B .2C .5D .7答案 D4.若x ,y 是正数，则221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x +221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y 的最小值是（）A .3B .27 C .4 D .29 答案 C5.在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M =⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥,20|),(x y x y y y x 区域N ={（x ，y ）|t ≤x ≤t +1，0≤t ≤1}，区域M 和N公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为（）A .-t 2+t +21B .-2t 2+2tC .1-21t 2D .212)2(-t 答案 A。

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