1.一元二次方程根系关系.pdf
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
1.2 一元二次方程的根与系数的关系
| x1 x2 | _________
已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,
求下列代数式的值 Zx xk
(1)
1Fra bibliotek1
； (2) ；
2 2 2
(3) ； (4) 1 1 .
方程x2(m1)x2m10，求m满足什么条件时,
如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的两根为x1、x2 ( b2－4ac≥0 ).
那么x1+x2、 x1 x2与系数a，b，c 有何 关系？Zx xk
●
归纳小结
韦达定理
如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的 两根为x1、x2 ( b2－4ac≥0 ),那么: Zx xk
①方程的两根互为相反数？
②方程的两根互为倒数？ ③方程的一根为零？Zx xk
b x1+x2= a
,
x 1 x 2=
●
c a
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（不解方程）
zxxk
（1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=1
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根。(口答)
（1）x2-6x-7=0（-1，7） （2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）
个根是
，m的值是
。Zx xk
2、如果方程x2+ 2x+a=0的一个根是1－ 2 那么另一个根是 ，a的值为 。
例题讲解
设x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根,则
一元二次方程的根的关系
一元二次方程的根的关系一元二次方程是代数中常见且重要的一类方程形式，其一般形式可表示为：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程即是求出满足方程的x值，也就是找到方程的根。
一元二次方程的根的关系可通过判别式和求根公式来探讨。
判别式：一元二次方程的判别式D = b² - 4ac，判别式可以帮助我们判断方程的根的情况。
1. 当判别式大于0时，即D > 0，方程有两个不相等的实根。
这意味着方程所对应的抛物线与x轴有两个交点。
2. 当判别式等于0时，即D = 0，方程有两个相等的实根。
这意味着方程所对应的抛物线与x轴有一个交点，该交点称为方程的重根。
3. 当判别式小于0时，即D < 0，方程没有实根。
这意味着方程所对应的抛物线与x轴没有交点，但是在复数域内仍然存在两个共轭复根。
求根公式：一元二次方程的根可以通过求根公式来计算，求根公式如下：x₁ = (-b + √(b² - 4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b² - 4ac))/(2a)根据求根公式，我们可以得出以下结论：1. 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根，可以直接带入求根公式计算出根的具体值。
2. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。
由求根公式可得到x₁ = x₂ = -b/(2a)，即重根的值。
3. 当判别式小于0时，方程没有实根。
此时，根为复数，分别由x₁ = (-b + i√|D|) / (2a) 以及 x₂ = (-b - i√|D|) / (2a)给出，其中i为虚数单位。
练习题：1. 解方程2x² - 5x + 2 = 0，求出方程的根。
根据判别式，我们可以先计算出判别式的值：D = b² - 4ac = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9由判别式的值可知D大于0，因此方程有两个不相等的实根。
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优秀课件
(1)x2-2x-1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
(2) 2x2 - 3x +12 =0 x1+x2=
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2= x1x2=0 x1x2= -
例1:方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2 不解方程，求下列代数式的值：
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+2=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；
当b2-4ac≥0时有两个根：
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b -
b2 4ac 2a
则x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac - 2b b
一元二次方程的根与系数的关系
-.
回顾旧知
1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出 下列一元二次方程的两根和与两根积？
（1）x2+3x+2=0 （2）6x2+x-2=0 （3）2x2-3x +1=0
解法一： 设方程的另一个根为x1 由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k
解得 x2 =－3 k =－2
答:方程的另一个根是－3,k的值是－2.
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
一元二次方程根的判别式与根系关系
一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有 的实数根；△=0方程有 的实数根；△<0方程 实数根；△≥⇔方程 实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。
2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。
3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。
第十二讲 一元二次方程的根系关系(提尖班)
第十二讲一元二次方程的根系关系一、直接应用【韦达定理】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c[证明]使用求根公式，有：1b x a -=，22b x a --=故122222b bb b x x a a a a-+---+=+==-()22124b ac c x x --⋅==【示例】1x 、2x 是方程2560x x -+=的两个根，则12x x +=5，12x x ⋅=6。
1x 、2x 是方程22310x x -+=的两个根，则12x x += 1.5，12x x ⋅=0.5。
1x 、2x 是方程2810x x -++=的两个根，则12x x +=8，12x x ⋅=-1。
【题型】[已知一根，求另一根]已知5、a 是方程250x mx -+=的两个根，则a =_____，m =_____。
解：由韦达定理，得：555a m a +=⎧⎨=⎩，解得：16a m =⎧⎨=⎩。
[对称式]利用韦达定理求诸如：12x x +、12x x ⋅、2212x x +、221212x x x x +、1211x x +、2112x x x x +已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两个根，则2112x x x x +=_____。
解：由韦达定理，得：121231x x x x +=⎧⎨=⎩，故222221121212121212()232171x x x x x x x x x x x x x x ++--⨯+====[根据根系关系求参数的值或范围]已知1x 、2x 是方程22210x kx k ++-=的两个根，且()()12110x x ++=，则k =_____。
解：22(2)4(1)40k k ∆=-⨯-=>，故k 可以取任意值，由韦达定理，得：1221221x x k x x k +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故()()2121212111121x x x x x x k k ++=+++=--+，由题意，得：21210k k --+=，解得：0k =或2[补充题1]已知1x 、2x 是关于x 的方程()()23x x m --=的两个实数根，(1)求m 的取值范围；(2)若121210x x x x --+=，求m 的值。
中考数学复习讲义 第1讲 一元二次方程的判别式及根系关系(pdf)
第一讲 一元二次方程的判别式及根系关系一、知识摘要1．一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x ．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3．一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题； ⑷借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．4．韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．5．韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12bx x a +=-，12c x x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)a xb xc a ++=≠的两个根．6．韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． ⑵当0ca>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根．7．韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征； ⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．二、 试题精选1．不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=， ∵无论b 取任何数，2b 均为非负数2．当a 、b 为何值时，方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即2324(1)4(3442)0a a ab b +-+++≥，得22(2)(1)0a b a ++-≤．又因为22(2)(1)0a b a ++-≥，所以22(2)(1)0a b a ++-=，得1a =，12b =-．3． 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．4．关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠5．若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ．【解析】21c =6．已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-7． 已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，根据题意可得：1200x x ⎧⎨>⎩≤，即3030m m --⎧⎨->⎩≤，解得33m -<≤．8． 实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-⑴若两根均为正，则240k ->，故2k >；⑵若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； ⑶由13<可知，72432k k ->⇒>．9． 已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 【解析】2250αα+-=，5αβ=-，即225αα+=，5αβ=-，原式()()22550αααβ=++=+-=10．1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：⑴2212x x + ⑵12x x - ⑶2212233x x x +-【解析】⑴2212x x +＝21212()2x x x x +-＝174 ⑵12x x -＝132⑶原式＝2221222()(23)x x x x ++-＝1754+＝1124三、拓展拔高11．已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根； ⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC ∆的周长． 【解析】⑴由题意可得：[]2(2)8k k ∆=-+-22)0k =-≥（故原方程总有实数根．⑵需讨论：①b c =时， 2(2)0k ∆=-=，2k =，得24b c k +=+=， 且符合三角形三边的关系，所以ABC ∆周长为5．②b ，c 中有一个与a 相等时，不妨设1b a == 则21(2)120k k -+⨯+=得1k =，23b c k +=+=，2c =，这与a b c +>矛盾，故a 不能为腰．12．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2244(1)0x m x m +-+=的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．【解析】由3216m ∆=-+≥0得m ≤12．121x x m +=-+，21214x x m =≥0∴1x 与2x 可能同号，分两种情况讨论：⑴若1x ＞0，2x ＞0，则12120x x x x +>⎧⎨>⎩，解得m ＜1且m ≠0∴m ≤12且m ≠0⑵若1x ＜0，2x ＜0，则121200x x x x +<⎧⎨>⎩，解得m ＞1与m ≤12相矛盾综上所述：当m ≤12且m ≠0时，方程的两根同号．。
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
(完整word)一元二次方程根与系数的关系
12。
4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理).2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数.3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=—，x1·x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1）（x—x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 (a≠0）.3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1，x2时,那么x1+x2=—p，x1·x2=q。
反之,以x1，x2为根的一元二次方程是：(x-x1）(x—x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根,求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
(3）已知一元二次方程，不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1，x2，不解方程,求x12+x22的值。
［∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2—2x1x2=（)2-2×=]（4)验根、求根、确定根的符号.（5）已知两根,求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程).（6）已知两数和与积,求这两个数.（7)解特殊的方程或方程组.考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）(A）3,2 （B）-3,—2 （C）3，-2 （D)-3，2考点:一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
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3
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2 ;
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2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
第12讲 一元二次方程的判别式及根系关系(教师版)
知识导航经典例题1当2已知关于3若关于1已知2已知知识导航经典例题1已知方程2已知关于1已知2设1已知关于2已知关于三、数学万花筒古代方程趣味题赏析我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗朗上口的诗歌形式表达出来，以下几例供大家欣赏。
（一）周瑜的年龄大江东去浪淘尽，千古风流数人物 。
而立之年督东吴，早逝英年两位数 。
十比个位正小三，个位六倍与寿符 。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜 ？解析：依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由“个位6倍与寿符”可列方程得：6(x+3)=10x+(x+3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁 。
（二）壶中原有多少酒李白街上走 ，提壶去买酒 。
遇店加一倍 ，见花喝一斗 。
三遇店和花 ，喝光壶中酒 。
试问酒壶中 ，原有多少酒？解析：李白的壶中原有x斗酒，第一次遇到店加了x斗酒后变为2x斗酒，第一次赏花喝去1斗酒，此时还剩下（2x-1）斗酒，第二次遇到店时，壶中酒变为2（2x-1）斗酒，第二次赏花又喝去1斗酒，此时壶中还剩下【2（2x-1）-1】斗酒，第三次遇店时，壶中酒变为2【2（2x-1）-1】斗酒，第三次赏花时又喝去1斗酒，这是正好壶中的酒喝完。
因此可得到下面的方程：2【2（2x-1）-1】-1=0，解得x=7/8,所以壶中原有7/8斗酒。
（三）寺内多少僧人巍巍古寺在山林 ，不知寺内几多僧 。
三百六十四只碗 ，看看用尽不差争 。
三人共食一碗菜 ，四人共吃一碗羹 。
一元二次方程根系关系公式
一元二次方程根系关系公式一元二次方程可是初中数学里的一个重要知识点呢，尤其是那根系关系公式，更是解决问题的利器。
咱们先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
在这个方程中，如果方程有两个根 x₁和 x₂，那么就有一个神奇的关系，这就是咱们今天的主角——根系关系公式。
根系关系公式是啥呢？就是 x₁ + x₂ = -b/a，x₁×x₂ = c/a 。
这两个公式看起来简单，但是用处可大啦！比如说，给你一个一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那咱们可以通过因式分解得到 (x - 2)(x - 3) =0 ，所以方程的两个根就是 x₁ = 2 ，x₂ = 3 。
这时候用根系关系公式验证一下，x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5 ，而 -b/a = -(-5)/1 = 5 ，完全符合！再看x₁×x₂ = 2×3 = 6 ，c/a = 6/1 = 6 ，也没错！我记得之前有个学生，叫小李，他刚开始学这部分知识的时候，总是搞不清楚这两个公式怎么用。
有一次做作业，遇到一道题：已知方程 2x² + 3x - 5 = 0 的一个根是 1 ，求另一个根。
小李就懵了，完全不知道从哪里下手。
我就提醒他，可以先把已知的根代入方程，求出系数之间的关系，再用根系关系公式来求另一个根。
小李听了之后，恍然大悟，赶紧动手算起来。
经过一番努力，终于算出了另一个根是-5/2 。
从那以后，小李对这部分知识的掌握就越来越好了。
在实际应用中，根系关系公式能帮我们解决很多问题。
比如，已知两个根的和与积，反过来求方程的系数；或者判断方程根的正负性；还能根据根的情况来确定系数的取值范围。
再比如说，有一道题是这样的：已知方程 x² + mx + n = 0 的两根之差的绝对值是 4 ，而且 x₁ + x₂ = -m ，x₁×x₂ = n 。
一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根系关系
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一元二次方程的根系关系，这可有意思啦！
咱就说一元二次方程，它就像个神秘的小盒子，里面藏着好多秘密呢。
那根与系数的关系，不就像是盒子里的宝贝嘛！
你看啊，一元二次方程的根，就好像是一对好朋友。
它们有时候亲密无间，有时候又有点小脾气。
这两根之间的关系啊，可神奇了。
比如说，两根之和，就像是这两个好朋友手牵手的力量。
它们加在一起，能告诉我们好多信息呢。
难道不是很奇妙吗？两根之积呢，又像是它们之间的一种默契，一种特殊的联系。
咱可以想象一下，这两根就像是两个小伙伴在玩游戏。
它们的一举一动，都有着特定的规律。
我们只要掌握了这些规律，不就像掌握了游戏的窍门一样嘛！
而且啊，这根系关系在好多地方都能派上用场呢。
比如解决实际问题的时候，一下子就能找到关键所在。
这多厉害呀！
有时候我就在想，这数学里的东西咋就这么神奇呢。
就这么一个小小的一元二次方程的根系关系，都能让我们研究半天，还能发现那么多有趣的东西。
我们在学习的时候，可不能死记硬背呀，得去理解它，感受它的奇妙之处。
就像交朋友一样，要用心去体会。
当我们真正搞懂了这根系关系，那感觉就像是打开了一扇通往新世界的大门。
哇塞，里面的风景肯定美不胜收！
所以说呀，大家可别小瞧了这一元二次方程的根系关系，它可是有着大用处呢！我们要好好去探索，去发现它的魅力所在。
让我们一起在数学的海洋里畅游吧，去寻找更多的宝藏！。
一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根的判别式（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．重点：会用判别式判定根的情况．2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．三、教学步骤（二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．注意以下几个问题：（1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．练习．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．又∵不论k取何实数，△≥0，∴原方程有两个实数根．教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．练习：不解方程，判别下列方程根的情况．（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．∵不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴方程无实数解．由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．一元二方程的根的判别式（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．一元二次方程的根与系数的关系（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学步骤（一）明确目标：一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知：一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项（2）已知方程一根，求另一根．例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．∴原方程可变为5x2-7x-6=0比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．一元二次方程的根与系数的关系（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．2．教学难点：某些代数式的变形．3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．1．复习提问（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．2．本节课继续学习它的应用（1）不解方程，求某些代数式的值．例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．解：设方程的两个根是x1，x2，那么（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．总结以下两点：1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．2．格式、步骤要求规范第一步：求出x1+x2，x1x2的值．第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．解：所求方程是例已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：此题可以通过列方程求得．但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．解这个方程，得以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．。
一元二次方程根系关系
一元二次方程的根系关系[教学目标]1、知识目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
2、过程与方法目标：经历探索根系关系的过程，理解方程思想和整体变换思想.3、情感目标：[知识要点]对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠若方程有实数根x 1，x 2时，则12b x x a +=-且12c x x a •= 特别对于方程20x px q ++=，若有两个实根αβ、时，则p αβ+=-，q αβ•=【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ . 分析：设另一根为1x ，由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组，解之即得。
答案：25，－1 【例2】已知方程2310x x +-=的根为x 1，x 2，求下列各式的值（1）2212x x + （2）3312x x + （3）212()x x -（4）2112x x x x + （5）12x x - （6）12(2)(2)x x --【例3】求做一个一元二次方程，使它的两个根为【例4】已知：2710a a -+=，2710b b -+=，求a b b a +的值。
【例5】已知关于x 的方程22220x mx m -+-=，求m 为和值时（1）方程有两实根一正、一负；（2）方程两根均为正。
【例6】已知：一元二次方程2(1)10mx m x --+=有有理数根。
求整数m 的值【例7】已知：方程2(6)0x a x a +++=的两个根都是整数，求a 的值【例8】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
分析：有实数根，则△≥0，且16212221+=+x x x x ，联立解得m 的值。
略解：依题意有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--+=∆+=+-=+-=+0)5(4)2(4165)2(22221222122121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ，又由④可知m ≥49-∴15-=m 舍去，故1-=m探索与创新：【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
一元二次方程的判别式和根系关系
§2．5（补充内容） 一元二次方程的根的判别式一、新知识引入1.请你简述用公式法解一元二次方程的一般步骤；2.方程20(0)ax bx c a ++=≠什么时候有解？什么时候无解．二、知识目标要点1.一元二次方程的根的判别式任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，通过配方可得2224()24b b ac x a a-+=． 因为0a ≠，所以240a >，于是：（1）当240b ac ->时，有1x =，2x =，且21x x ≠ （2）当240b ac -=时，有 122b x x a ==-（3）当240b ac -<时，方程无实根由此可见，方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况可由24b ac -的符号来判定，我们把24b ac -叫一元次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，记作“△”2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况：（1）0>∆⇔方程有两个不相等的实数根；（2）0=∆⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔<∆0方程无实数根．三、典型例题例1 不解方程，判别下列方程的根的情况（1）22340x x +-=； （2）216924y y +=；（3）25(1)70x x +-=．例2 已知关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=，当k 取什么值时：（1）方程有两个不相等的实根？（2）方程有两个相等的实根？（3）方程没有实根？例3 求证：无论k 取何值时，关于x 的方程222(1)240k x kx k +-++=没有实数根．四、课堂训练1.不解方程，判别下列方程的根的情况．（1）23420x x +-=； （2220+=；（3）25t +=2.已知关于x 的方程22(21)(2)0x m x m +++-=，m 取什么值时，（1）方程有两个不等实根？（2）方程有两个相等实根？（3）方程无实根？课后训练A 级1.如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是 ．2.关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个相等的实根，则m ＝ ． 3.如果m 为任意实数，那么一元二次方程2213022x mx m m -+++=的解的情况是 ． 4.若方程23410x x k -++=无实根，求k 的取值范围，并化简代数式123k -．5.求证，关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=，有两个不相等的实数根．B 级6.若方程222340x x a -+-=有两个不相等的实数根，则2a -＝ ．7.如果a,b,c 是有理数，那么一元一次方程20ax bx c ++=有有理根的条件是 ．8.若方程22(4)60x kx x --+=没有实数根求k 的最小整数值．9.已知a,b,c 是△ABC 的三边长，且方程22(1)2(1)0a x bx c x ++--=两根相等，试判断△ABC 的形状．10.求证，不论k 取何值，方程2(2)()x x k k --=都有不相等的实数根．§2．6（补充内容） 一元二次方程的根与系数的关系（1）一、新知识引入1．已知一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当0≥∆时，它的两个根12,x x 可由系数a,b,c 怎样表出？2．两根之和12x x +，两根之积12x x ，与系数a,b,c 又有怎样的关系呢？二、知识目标要点1.一元二次方程的根系关系如果一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的0≥∆，那么它的两根为1x =，2x =于是1222b b x x a a-+===-221222()444b ac c x x a a a--=== 可见：如果02=++c bx ax （0≠a ）的两根是12,x x ，那么12b x x a +=-，12c x x a⋅=，这个结论叫一元二次方程的根系关系，也称韦达定理．三、典型例题例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一根及k 的值（可由韦达定理或根的定义来解）例2 设12,x x 是方程22310x x +-=的两根，不解方程，求下列各的值．（1）122221x x x x +（2）2221x x + （3）1211x x +例3 已知关于x 的方程22(21)20x k x k +++-=的两个实数根的平方和比两根之积的3倍少10，求k 的值．四、课堂训练1.下列方程的两根的和与两根的积各是多少？（1）2310x x -+=； （2）2322x x -=；（3）2230x x +=； （4）231x =．2.已知方程23190x x m -+=的一根是1，则另一根为 ，m 的值为 ．课后训练A 级1.已知一元二次方程20x px q ++=的两根分别是-2和12，则p= ，q= ．2.如果方程2(1)30x k x +--=的一根是1，那么k 的值是 ，另一个根是 ．3.若1,2x x是方程2210x -=的两个根，则2212x x +＝ ．4.已知1,2x x 是方程22430x x +-=的两极，不解方程求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）2112x x x x +．5.已知1,2x x 是方程22(2)0x k x k ++-=的两个实数根，且22121214x x x x +=，求k 的值．B 级6.若0和-3是方程20x px q -+=的两个根，则p+q ＝ ．7.如果方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数根，且a+b ＝0，那么此方程的两根之间的关系是 ．8.已知方程21104x x k -+=的一个根比另一个根大54，求k 的值．9.已知方程2380x x m -+=的两根之比为3：1，求m 的值．10.设1,2x x 是方程2(1)20x k x -+-=的两根，且1211x x +＝2，求k 的值．§2．6（补充内容）一元二次方程的根与系数的关系（2）一、新知识引入你能迅速地构造一个一元二次方程，使它的两根为3和5吗？二、知识目标要点1.韦达定理的推论1如果方程20x px q ++=的两根是1,2x x 那么12x x p +=-，12x x q =（推论1是韦达定理的特例）． 2.韦达定理的推论2设1,2x x 是方程02=++q px x 的两根则1212,x x p x x q +=-=．∴12()p x x =-+，12q x x =．所以方程20x px q ++=就是21212()0x x x x x x -++=．于是可得韦达定理的推论2：以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．三、典型例题例1 （1）求一个一元二次方程，使它的两个根是113,232-．（2）已知方程2320x x +-=,不解这个方程求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的2倍．例2 已知两个数的和为8，积为9，求这两个数．（分析：根据根系关系可知，这两个数是方程2890x x -+=的两根）例3 已知关于x 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．四、课堂训练1.求一个一元二次方程，使它的两个根分别为（1）4，7（2）12.已知两个数的和为-6，积为2，求这两个数课后训练A 级1.若一元二次方程的两个根是3+3，则此方程是 ．2.已知两数的和等于1，则这两个数是 ．3.当k= 时，方程21104x x k -+=的一个根比另一个根大54． 4.若方程290x mx ++=有两个相等的正根，那么m ＝ ．5.若一元二次方程220x x a ++=B 级6.以方程25430x x --=的各根倒数为两根的方程是 ．7.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，则ααβα22++＝ ． 8.如果关于x 的方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，且两根之差的平方小于1，求m 的范围．9.利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程01322=+-x x 的各根的平方．10.已知关于x 的一元二次方程2(21)30mx m x m -+++=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）如果方程的一个根2α=，另一个根为β，求(αβ的值．。