弹性力学作业习题

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY

1. DATE: 2001-9-20

1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l ，地层的弹性常数ν,E 和密度ρ均为已知。假

设你在纵波到达0t 秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区试根据Km 200=l ，GPa 20=E ，3.0=ν，36g/m 100.2⨯=ρ，s 30=t 来进行具体估算。

2. 假定体积不可压缩，位移112(，)u x x 与212(，)u x x 很小，30u ≡。在一定区域内已

知22

12

11(1) ()u x a bx cx =-++，其中a ，b ，c 为常数，且120ε=，求212(，)u x x 。 3. 给定位移分量

21123()u cx x x =+，22213()u cx x x =+，23312()u cx x x =+，此处c 为一个很小的常数。求

应变分量ij ε及旋转分量ij Q 。

4. 证明

,1

122

i ijk jk ijk k j e Q e u ω==

其中i ω为转动矢量。

5. 设位移场为22131232123()()u a x x e a x x e ax x e =-++-，其中a 为远小于1的常数。确定在 (0，2，1)P -点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。

6. 试分析以下应变状态能否存在。

（1）22111

22()k x x x ε=+，2

2223kx x ε=，330ε=，121232kx x x γ=，23310γγ== （2）22111

2()k x x ε=+，2222kx x ε=，330ε=，12122kx x γ=，23310γγ== （3）21112ax a ε=，22212ax x ε=，3312ax x ε=，120γ=，22332ax bx γ=+，22

3112ax bx γ=+

其中，，k a b 为远小于1的常数。

2. DATE: 2001-9-17

1. 证明对坐标变换⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡2121cos sin sin cos x x x x αααα

，33x x =，无论α为何值均有

22112211εεεε+=+，21222112122211εεεεεε-=- 2

23213223213εεεε+=+，ij ij εε=

2. 利用课堂上给出的各向同性张量表达式，推导各向同性材料的广义虎克定律。并写为以杨氏模量E 和泊松比ν来表示的分量表达式。 写出在Voigt 记号下的6个Cauchy 关系等式。

3. 证明，对各向同性弹性体，若主应为123σσσ≥≥，则相应的主应变123εεε≥≥。

4. 证明在各向同性弹性体中，应力张量的主方向与应变张量的主方向一致。

5. 各向同性弹性体承受单向拉伸（1230，0σσσ>==），试确定只产生剪应变的截面位置，并求该截面上的正应力（取0.3v =）。

6. 试推导体积应变余能密度c v W 及畸变应变余能密度c f W 公式：

211

()618c v ii jj ii W K σεσ==

2111()243c f ij ij ij ij ii W G σεσσσ⎡⎤''==-⎢⎥⎣⎦

3. DATE: 2001-9-26

1. 下面应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场如果是，它们在什么条件下存在

（1），，0，x y z ax by cx dy σσσ=+=+=

，0xy yz zx fx gy τττ=+==；

（2）222，，0，，x y z xy ax y bx cy dxy σσστ=+===

0yz zx ττ==；

（3）222222[()]，[()]x y a y b x y a x b y x σσ=+-=+-，

22()，2，0z xy yz zx ab x y abxy στττ=+===。

其中、、、、a b c d f 及g 均为常数。

2. 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在除上、下表面之外的全部边界上，受有均匀压力p 。验证x y p σσ==-及0xy τ=能满足平衡微分方程、协调方程及边界条件，

因而就是正确的解答。

3.应力函数一般形式

kl mn jml ink ij e e ,Φ=σ

和对应的Beltrami-Michell 方程

()()

011

,,2,2=Φ-Φ∇++

Φ∇ij

mn

mn mm kl mn jml ink e e ν

导出在Maxwell 应力函数下（333222111,,X X X =Φ=Φ=Φ，其余为零），书中的，式。 考虑由面积不可压缩()02211=+εε的平行叠层组成的层合板，其层界面以3X 轴为法向，写出该层合板的约束应力表达式.

4. DATE: 2001-9-28

1.若在域V 内应力场()x ij σ与体力()x i f 相平衡，V 的边界S 均为力边界，作用在其上有面力j ij i v t σ=，j v 为S 上的单位外法向量。若i f ，i t 为已知，而ij σ为待求，求证问题只有在i f ，i t 满足下列条件时才有解

0=+⎰

⎰dS t dV f V

S

i i 且

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰⎰dS t x dV f x e k S j k V j ijk

2. 对各向同性弹性体，若体力为零，试证明

02=∇kk ε

3. 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，在铁盖上面作用均匀压力p （图5-6）。假设铁盒与铁盖可以视为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦。试用位移法求橡皮块中的位移、应变与应力。

图5-6

4. 图5-8所示矩形薄板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压。由叠加原理求板的应务和位移。

图5-8

5. 一矩形截面构件受沿轴向的简单拉伸及绕x 、y 轴的弯矩作用，如图5-9所示。不计体力。六个应力分量为