2012版中考数学精品课件(含10 11真题)第8讲一元二次方程(51张)
2012年中考数学一轮复习精品讲义 一元二次方程 人教新课标版
第二十二章一元二次方程本章小结小结1 本章概述本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。
一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.小结2 本章学习重难点【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规X化地表达方程思想和方程知识的过程.3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用. 知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 已知（m －1）x|m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.分析 依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可. 解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题2 一元二次方程的解法一元二次 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未解法（降次） 直接开平方法因式分解法配方法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x 2+1＝3 x . 分析 本题考查配方法解方程的步骤. 解：移项，得2x 2－3 x ＝－1， 二次项系数化为1，得231,22x x -=- 配方，得231().416x -=由此可得12311,1,.442x x x -=±∴==【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方. 例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（）A.x ＝0B.x 1＝0，x 2＝3C. 1210,3x x ==D. 13x = 分析根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1)＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解.故选C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程. 例4 解方程x 2－2x －2＝0.分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，∴x 1==1211x x ==解法2：移项，得x 2－2x ＝2， 配方得x 2－2x +1＝3，即（x －1）2＝3，∴x －1＝1211x x ==【解题策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题. 例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.解：填表如下：（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. （2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律. 设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 理由如下：∵p 2－4q ≥0，∴方程x 2+px +q ＝0有两个实数根，∴12x x ==∴x 1+x 22,2pp -==-x 1·x 222(4)444p p q q q --===，即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（） A.ab B.baC.a +bD.a －b 分析此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x ＝a 代入方程x 2+bx +a ＝0，得a 2+ab +a ＝0，∴a (a +b +1)＝0，又∵a ≠0，∴a +b +1＝0，即a +b ＝－1.故选C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意列方程得.分析本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则2006年投入资金是5786（1+x ）万元，2007年的投入资金是5786（1+x ）2万元，故所求方程为5786（1+x ）2＝8058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a （1+x ）n ＝b （n 为正整数）. 二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.例8 如果（2m +2n +1）（2m +2n －1）＝63，那么m +n 的值是.分析把m +n 看做一个整体求解.设m +n ＝x ，则原方程化为（2x +1）（2x －1）＝63，整理，得4x 2＝64，解得x ＝±4，∴m +n ＝±4.故填±4.例9 解方程（3x +2）2－8（3x +2）+15＝0.分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x +2看做一个整体，设为t ，则原方程就可化成关于未知数t 的一元二次方程.解：设3x +2＝t ，原方程化为t 2－8t +15＝0， ∴t 1＝3，t 2＝5.当t ＝3时，3x +2＝3，∴x ＝13； 当t ＝5时，3x +2＝5，∴x ＝1. ∴原方程的根为x 1＝13，x 2＝1. 【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x +2)－3][ (3x +2)－5]＝0，即（3x －1）（3x －3）＝0，用因式分解法解得x 1＝13，x 2＝1. 例10 解方程（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）＝44.分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.解：原方程转化为（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）－44＝0， [（x +2）（x －4）][ （x +3）（x －5）] －44＝0， （x 2－2x －8）（x 2－2x －15）－44＝0，令x 2－2x ＝y ，则原方程化为（y －8）（y －15）－44＝0， ∴y 2－23y +76＝0， ∴y 1＝4，y 2＝19.当y ＝4时，x 2－2x ＝4，∴1211x x ==当y ＝19时，x 2－2x ＝19，∴3411x x =+=-∴原方程的根是1211x x ==3411x x =+=- 2.配方法例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1. ∵（x －3）2≥0，∴（x －3）2+1＞0，∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0. 当x －3＝0，即x ＝3时，(x 2－6x +10)最小＝1.例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（） A.－1 B. 0 C分析本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m －n＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2＝0，即（n +4）2+p 2＝0，又∵（n +4）2≥0，p 2≥0，且（n +4）2+p 2＝0，∴400,n p +=⎧⎨=⎩，4,4(4)00.0,n m n p p =-⎧∴++=+-+=⎨=⎩解得故选B.3.构造法例13 解方程3x 2+11x +10＝0.解：原方程两边同时乘3，得(3x )2+11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴125, 2.3x x =-=- 4.特殊解法例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.分析观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.解：方程组19941997,19951996x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x =3991，方程组19941996,19951997xx-=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x=－2，∵原方程最多只有两个实数解，∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到吨，则平均每年下降的百分率是.分析根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2，解得x1，x2，而＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.2011中考真题精选一、选择题1.（2011某某乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A、－1B、0C、1D、－1或1考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
2012中考数学一轮复习精品课件-第7课时一元二次方程及其.
6 ·人教版
考点5 一元二次方程的应用
1．增长率中的等量关系 (1)增长率＝增量÷基础量． (2)设 a 为原来的量， m 为平均增长率， n 为增长次数， b 为增长后的量， 则 a(1＋m)n＝b；当 m 为平均下降率时，有 a(1－m)n＝b. 2．利率中的等量关系 (1)本息和＝本金＋利息． (2)利息＝本金×利率×期数． 3．利润中的等量关系 (1)毛利润＝售出价－进货价． (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用． (3)利润率＝利润÷进货价．
两个不相等 的实数根． (1)b －4ac>0⇔方程有____________
2 2 2 2
两个相等 的实数根． (2)b －4ac＝0⇔方程有____________
2
没有 (3)b －4ac<0⇔方程____________ 实数根．
2
[注意] 在使用根的判别式解决问题时， 如果二次项系数中含 有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．
第7课时
一元二次方程及其应用
考点聚焦
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
1．(1)一元二次方程：含有____ 一 个未知数，并且未知数最高次数 是________ 的整式方程． 2
(2)一元二次方程的一般形式 ： 2 ax ＋bx＋c＝0(a≠0) ____________________________________________.
2 2 2 2 2 2
－b± b －4ac 2a ＝________________.
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2
公式法解方程的步骤：(1)将方程化成 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的形 式；(2)确定 a、b、c 的值；(3)若 b －4ac≥0，则代入求根公式，得
2012版中考数学精品课件(含10-11真题)第22讲矩形、菱形、正方形(113张)
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菱形的性质与判定
菱形除具有平行四边形的一切性质外，还具有其特殊的性质，即 四条边相等；对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角；具 有中心对称性和轴对称性等；
菱形的判定方法主要有(1)利用边之间的关系进行判定，即有一组邻边 相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；(2)利用对 角线之间的关系判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
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【解析】选C.由折叠知，
AF＝AD，∠D＝∠AFE，EF＝DE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝AF，∠B＝∠AFE＝∠D＝∠AFG＝90°. ∵AG=AG, ∴Rt△ABG≌Rt△AFG,故①正确； ∵AB＝6，CD＝3DE. ∴CE＝4,DE＝EF＝2,
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2.2012年中考估计有加大本讲题量的趋势，本讲知识与轴对称、 旋转及平移等知识结合考查，许多有一定难度的新题、活题、压轴题 将出现于此讲，试题强调基础，源于教材，变中求新，着重考查学生 的发散思维能力.
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□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，
连接AE，交BC于点F.
(1)求证：△ABF≌△ECF. (2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.
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【思路点拨】
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【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
【例3】(2010·上海中考)已知正方形ABCD
2012版中考数学专题复习精品课件(含10 11真题)专题7 探索问题(53张)
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3.(2011·成都中考)设 S 1 1 1 ,S 1 1 1 , 1 2 12 22 22 32 1 1 1 1 S3 1 2 2 ,,Sn 1 2 ，设S S1 S2 2 3 4 n n 1 则S=______(用含n的代数式表示，其中n为正整数). Sn ,
1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 . 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
答案： 1 n
1 (n 1)
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动态探索问题
动态探索问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某个元素 的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、 面积关系、函数关系等.在解决动态问题时，要抓住不变的量， 找出其中的规律,同时还应该考虑到，当动态元素去某一位臵 时，“动”则变为“静”，从而化动为静.
sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由.
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【思路点拨】(1)连接OH, 过点H作HP⊥y轴于点P，构造直角 三角形，利用勾股定理求出线段的长，然后利用等角，求出 sin∠HAO的值.
(2)过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于
T，利用等腰三角形的性质以及圆的轴对称性，证明∠CGO
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n2 n 1 2 【解析】通过探索规律可得 Sn ［ ］, 所以 Sn n n 1 n2 n 1 3 7 13 n2 n 1 ，所以S n n 1 2 6 12 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 n n 1 1 1 1 1 2 6 12 n n 1
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
2012版中考数学精品课件含1011一次方程组53张4
方法二：①＋②，得5x=10.∴x=2，
把x=2代入①，得4-y=3.∴y=1.
∴方程组的解是
x y
2 .
1
5.(2010·百色中考)二元一次方程组 2xx33yy41的解是( )
(A)
x y
1 1
(C)
x y
2 2
(B)xy
1 1
(D)
x y
2 1
【解析】选A.把两式相加，得3x=3，x=1，把x=1代入第一
()
(A)xxyy1 2
(B) 51xxy2y
3
3
(C)
2x
z
0
3x
y
1 5
(D)
x x
2
5 y
3
7
【解析】选D.根据二元一次方程组的定义判定：A是二元二次
方程组，B是分式方程组，C是三元一次方程组，只有D满足 二 元一次方程组的定义.
3.(2009·杭州中考)
已知
x 1 y 1
是方程2x-ay=3的一个解,
(4)解这个二元一次方程组，求出未知数的值； (5)检验所得结果的正确性及合理性； (6)写出答案.
【例3】(2010·郴州中考)受气候等因素的影响，今年某些农 产品的价格有所上涨.张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、 乙两种蔬菜共获利13 800元.其中甲种蔬菜每亩获利1 200元， 乙种蔬菜每亩获利1 500元.则甲、乙两种蔬菜各种植了多少 亩？ 【思路点拨】
二元一次方程组的解法
1.代入法解二元一次方程组的步骤 (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未 知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得 到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求出未知数的值；
2012版中考数学专题复习精品课件(含10 11真题)专题1 数学思想方法(64张)
⑦消元法；
⑧配方法； ⑨待定系数法等.
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分类讨论思想方法
分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常
常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准 ,将
问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行 讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想 .
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【例2】(2010·曲靖中考)如图，在平 面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2向左 平移1个单位，再向下平移4个单位， 得到抛物线y=(x-h)2+k,所得抛物线与
x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)与
y轴交于点C，顶点为D.
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(1)求h、k的值； (2)判断△ACD的形状，并说明理由； (3)在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似.若存在， 求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
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1 1 ∴直线AP的解析式为y= x . 2 4 ∵点P既在抛物线上，又在直线AP上， 3 1 1 ∴点P的纵坐标相等，即 x 2 x 1 x , 2 2 4 解得 x1 5 , x 2 1 舍去 . 2 2 5 3 当x 时, y . 2 2 5 3 P( , ). 2 2
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(2)存在.①如图1，当CP=CO时， 点P在以BM为直径的圆上， ∵BM为圆的直径.
∴∠BPM=90°，
∴PM∥AB.
∴△CPM∽△CBA.
∴ CP CM ，即 4 CM , 所以CM=5. CB CA 5 25 4 ∴m=-1.
2012版中考数学复习指导
[初中数学+]+一元二次方程的根与系数的关系+课件++人教版(2012)九年级数学上册
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一步感受一元二次方
程根与系数的关系.
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么
b
c
x1 + x2 = ， x1 ·x2 .
a
a
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac ≥ 0
与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2有关的几个常
2
2
2
7
解得： m ，故选 A.
4
练习 6 按要求解一元二次方程.
（ 1 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 px q 0 的 两 根 为 -3 和 -1, 则
-4 q _____.
3
p _____,
（2）若一元二次方程 x2 4 x 3 0 的两个根是 x1 , x2 ,则 x1 x2 的
-4
1
-3
-4
x2 - 5x + 6 = 0
2
3
5
3
2
6
2x2 +
3x + 1 = 0
1
2
-1
1
2
【思考】方程的两根 x1 和 x2 与系数a，b，c有什么关系？
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的
两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3) 方程化为一般式 4x2－5x＋1＝0
5 5
1
x1＋x2＝－ = ，x1 x2＝ .
4 4
2012版中考数学精品课件(含10 11真题)第4讲分式(46张)#
【解析】原式= 1 ( 1 1 1 1 11) 1 ( 1 1)
1222n11
2 n .335 2n1
2 n 12 n 122 n 1
答案： n
2n 1
2.(2010·衢州中考)已知a≠0，S1=2a，S2
2 S1
，S3
2 S2
，
…，S2
010
2 S2 009
，则S2 010=_____(用含a的代数式表示).
【解析】S1=2a，S2S2122a1 a， S3S221 22a ，…，则第偶
数个S为 1 .
a
a
答案：1
a
1.(2009·鄂州中考)使代数式 x 3 有意义的x的取值范围是
x4
()
(A)x>3
(B)x≥3
2.分式的化简和运算是中考热点,应加强训练,在分式运 算中,要联系和类比已学过的分数运算.
3.分式的化简求值问题,一要注意整体思想,二要注意解 题技巧.
分式的概念
1.若分式 A 有意义,则B≠0;
B
2.若分式 A 无意义,则B=0;
B
3.若分式A =0，则A=0且B≠0;
B
4.若分式 A ＞0,则A、B同号；
分式的运算
1.分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减，需要添 加括号时，一定要添加括号. 2.分式的乘除运算要按照从左到右的顺序进行计算,特别注意, 除法不满足结合律和分配律. 3.分式乘方时要先确定乘方结果的符号,负数的偶次方为正, 负数的奇次方为负.
4.分式化简时能约分的应先约分,从而简化运算;当分式的分 子或分母为多项式时,在运算时,相当于使分子或分母的外面 有一个括号,从而把它们分别当成一个整体看待.
2012年中考数学一轮复习精品讲义 一元二次方程 人教新课标版
第二十二章一元二次方程本章小结小结1 本章概述本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。
一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.小结2 本章学习重难点【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用.知识网络结构图一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程解法（降次）直接开平方法因式分解法配方法公式法22240404b acb acb ac⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 已知（m －1）x |m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.分析 依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可. 解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1. 【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x 2+1＝3 x . 分析 本题考查配方法解方程的步骤.解：移项，得2x 2－3 x ＝－1，二次项系数化为1，得231,22x x -=- 配方，得231().416x -=由此可得12311,1,.442x x x -=±∴==【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（ ） A.x ＝0 B.x 1＝0，x 2＝3 C. 1210,3x x ==D. 13x = 分析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1)＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解.故选C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程.例4 解方程x 2－2x －2＝0.分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，∴x (2)12--±==1211x x ==解法2：移项，得x 2－2x ＝2，配方得x 2－2x +1＝3，即（x －1）2＝3，∴x －1＝1211x x ==【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法. 专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.（2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律.设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 理由如下：∵p 2－4q ≥0，∴方程x 2+px +q ＝0有两个实数根，∴12x x ==∴x 1+x 22,2pp -==-x 1·x 222(4)444p p q qq --===，即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（ ） A.ab B.baC.a +bD.a －b 分析 此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x＝a代入方程x2+bx+a＝0，得a2+ab+a＝0，∴a(a+b+1)＝0，又∵a≠0，∴a+b+1＝0，即a+b＝－1.故选C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意列方程得 .分析本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则2006年投入资金是5786（1+x）万元，2007年的投入资金是5786（1+x）2万元，故所求方程为5786（1+x）2＝8058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a（1+x）n＝b（n为正整数）.二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.1.换元法例8 如果（2m+2n+1）（2m+2n－1）＝63，那么m+n的值是 .分析把m+n看做一个整体求解.设m+n＝x，则原方程化为（2x+1）（2x－1）＝63，整理，得4x2＝64，解得x＝±4，∴m+n＝±4.故填±4.例9 解方程（3x+2）2－8（3x+2）+15＝0.分析此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x+2看做一个整体，设为t，则原方程就可化成关于未知数t的一元二次方程.解：设3x+2＝t，原方程化为t2－8t+15＝0，∴t1＝3，t2＝5.当t＝3时，3x+2＝3，∴x＝13；当t＝5时，3x+2＝5，∴x＝1.∴原方程的根为x1＝13，x2＝1.【解题策略】本题也可直接分解为[(3x+2)－3][ (3x+2)－5]＝0，即（3x－1）（3x－3）＝0，用因式分解法解得x1＝13，x2＝1.例10 解方程（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）＝44.分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.解：原方程转化为（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）－44＝0，[（x+2）（x－4）][ （x+3）（x－5）] －44＝0，（x2－2x－8）（x2－2x－15）－44＝0，令x2－2x＝y，则原方程化为（y－8）（y－15）－44＝0，∴y2－23y+76＝0，∴y1＝4，y2＝19.当y ＝4时，x 2－2x ＝4，∴1211x x ==当y ＝19时，x 2－2x ＝19，∴3411x x =+=-∴原方程的根是1211x x ==3411x x =+=-2.配方法例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1.∵（x －3）2≥0，∴（x －3）2+1＞0，∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0.当x －3＝0，即x ＝3时，(x 2－6x +10)最小＝1.例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（ ） A.－1 B. 0 C.1 D.2分析 本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m －n＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2＝0，即（n +4）2+p 2＝0，又∵（n +4）2≥0，p 2≥0，且（n +4）2+p 2＝0，∴400,n p +=⎧⎨=⎩，4,4(4)00.0,n m n p p =-⎧∴++=+-+=⎨=⎩解得故选B.3.构造法例13 解方程3x 2+11x +10＝0.解：原方程两边同时乘3，得(3x )2+11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴125, 2.3x x =-=-4.特殊解法例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.分析 观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.解：方程组19941997,19951996x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x =3991，方程组19941996,19951997x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x =－2，∵原方程最多只有两个实数解，∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 .分析根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2=40.5，解得x1=1.9，x2=0.1，而1.9＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.2011中考真题精选一、选择题1.（2011新疆乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A、－1B、0C、1D、－1或1考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
2012版中考数学精品课件(含10 11真题)第15讲函数与方程(组)、不等式(70张)
所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2，2).
2012版中考数学复习指导
1.(2010· 孝感中考)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常 数)的交点在第四象限，则整数m的值为( (A)-3，-2，-1，0 )
(B)-2，-1，0，1
(C)-1，0，1，2
(D) 0，1，2，3
2012版中考数学复习指导
【解析】选B.解方程组 x 2y 2m
2m 6 x 解得 3 y 2m 3 3
2x y 2m 3
，
,因为两直线的交点在第四象限,
2m 6 3 0 所以 ,解得 3 m 3 , 2 2m 3 0 3
正常水位的最低值.
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一次函数与一元一次不等式
1.从函数值的角度看,不等式kx+b>0的解集为使函数值大于零 (即kx+b>0)的x的取值范围;
2.从图象的角度看,由于一次函数的图象在x轴上方时,y>0，
因此kx+b>0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对中考数学复习指导
1.函数、方程(组)、不等式的基础知识是学习本讲知识 的依据.在复习过程中首先要弄懂函数、方程(组)、不等式的 基本知识，并注意联系各部分知识,进而掌握函数、方程、不 等式的思想与方法. 2.函数观点与方程思想的综合考查是中考的热点与难点,
故必须采取多种形式的题目进行训练,特别是综合性较强的题
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2012版中考数学精品课件(含10-11真题)第9讲不等式与不等式组(54张)精选版.ppt
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1.(2010·江西中考)不等式组 22x＜x6＞1的解集是( ) (A)x＞－3 (B)x＞3 (C)－3＜x＜3 (D)无解 【解析】选B.解-2x＜6，得x＞-3；解-2+x＞1， 得x＞3.因此原不等式组的解集是x＞3.
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不等式(组)的整数解 不等式(组)的整数解，包含在它的解集中，因此，解决 此类问题的关键是先求出不等式(组)的解集，然后，根据题 目条件的限制或实际意义的要求借助数轴确定其整数解.
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【例2】(2010·芜湖中考)求不等式组
2x 3x
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【例3】(2010·荆门中考)试确定实数a的取值范围，使不等
x 2
,并写出不等式组
的整数解.
5 2x 3 ①
【解析】
x
3
1
x 2
, ②
解不等式①得：x≥-1,解不等式②得：x<2,
所以不等式组的解集是－1≤x<2.
所以不等式组的整数解是－1，0，1.
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确定不等式(组)中的参数的取值范围(值)
1.已知的不等式组中含有参数m，可以先进行化简，求出不等 式组的解集，然后再与已知解集比较，求出m的取值范围. 2.当一元一次不等式组化简后解集中含有参数时，可以通过 比较已知解集列不等式或列方程来确定参数的取值范围或值. 3.确定不等式中某个参数的范围时,常常借助数轴,使数与形 有机地结合起来,是解决此类问题的关键.
2.命题热点以不等式(组)的解法及有关设计方案的优化 判断为主.
2012版中考数学专题复习精品课件(含10 11真题)专题4 阅读理解问题(54张)
∴△NFN′∽△M′EM,∴ MM ME , NN NF
∵M′E=N′F,∴ MM NF tan(或 sin ).
NN NF
cos
①当α=45°时，tanα=1,则MM′=N′N；
②当α≠45°时，MM′≠N′N,则 MM tan(或 sin ).
NN
cos
方法二：在方形环中，∠D=90°,
2
猜想：一般地，当α为锐角时，有cos(180°+α)=-cosα,
由此可知cos240°的值等于______.
【解析】根据归纳的规律，cos240°=cos(180°+60°)= -cos60°= 1 .
2 答案： 1
2
7.(2011·内江中考)阅读理解:同学们,我们曾经研究过n×n
正方形网格,得到网格中正方形总个数的表达式为12+22+32+…
【自主解答】(1) 3 (2)如图：
作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、 OE，连接AE交CD于一点P，AP+BP最短，
因为 A»D 的度数为60°,点B是 A»D 的中点， 所以∠AEB=15°, 因为点B关于CD的对称点是点E，所以∠BOE=60°, 所以△OBE为等边三角形， 所以∠OEB=60°,所以∠OEA=45°， 又因为OA=OE， 所以△OAE为等腰直角三角形,所以AE= 2 2. 所以图中点P即为所求.BP+AP的最小值为 2 2.
再如题(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点， AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小. 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE 交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为___.
2012版中考数学精品课件含1011等腰三角形61张42
(A)15米
(B)20米
(C)25米 (D)30米
【解析】选C.因为点E、F分别是边AB、AC的中点，所以BC ＝2EF，又因为EF＝5米，所以BC＝10米，因为三角形ABC 是等边三角形，所以BE=CF＝5米，所以篱笆的长为25米.
7.(2010·铜仁中考)如图，小红作出了边长为1的第1个正 △A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边 的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正 △A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算 出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8的面 积是( )
【例3】(2010·烟台中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC， ∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE， 则∠CBE等于( )
(A)80° (B)70° (C)60°
(D)50°
【思路点拨】
【自主解答】选C.因为AB=AC，∠A=20°，所以∠ABC= 1(180°-∠A)=80°，因为DE垂直平分AB，所以∠ABE=∠A
(A) 3 (1)7
42
(B) 3 (1)8
42
(C) 3 (1)7
44
(D) 3 (1)8
44
【解析】选C.因为△A1B1C1的边长为1，所以△A1B1C1的面积
为 3，又因为点A2，B2，C2分别是△A1B1C1各边的中点，所
4
以△A2B2C2的面积为 3 1，同理，△A3B3C3的面积为
1.(2010·宁波中考)如图，在△ABC中，
AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、
∠BCD的角平分线，则图中
的等腰三角形有( )
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一元二次方程的解法
1.一元二次方程主要有四种解法，任何一个有解的一元二次 方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂， 除指定外，一般不选用. 2.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在四种解法 中,选择顺序为:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方 法.
【例2】(2011·南京中考)解方程：x2-4x+1=0. 【思路点拨】此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因 式分解法，解题时要注意步骤. 【自主解答】方法一：配方法，移项，得x2-4x=-1. 配方，得x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3. 由此可得 x 2 3.
(A)-3，2
(B)3，-2
(C)2，-3
(D)2，3
【解析】选A.根据根与系数的关系得：
x1
x2
b a
－p
2
1
3,
x1x 2
c a
q
2,即p
பைடு நூலகம்3,
q
2.
3.(2010·上海中考)已知一元二次方程 x2 +x-1=0，下列判 断正确的是( ) (A)该方程有两个相等的实数根 (B)该方程有两个不相等的实数根 (C)该方程无实数根 (D)该方程根的情况不确定 【解析】选B.∵Δ=1+4=5＞0, ∴该方程有两个不相等的实数 根.
x1 1 2，x2 1 2，所以 x1 1x2 1 1 2 1 1 2 1
2 2 2.
答案：-2
6.(2011·无锡中考)解方程：x2+4x-2=0.
【解析】∵a=1,b=4,c=-2,
∴b2-4ac=16+8=24>0,
∴ x b b2 4ac 4 24 2 6.
2a
【例】(2010·河北中考)已知x = 1是一元二次方程 x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为_____. 【思路点拨】把x = 1代入一元二次方程x2+mx+n=0得到m+n的 值，把m2+2mn+n2配方后得m2+2mn+n2的值.
【自主解答】∵x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个 根,∴1+m+n=0, ∴m+n=-1. 当m+n=-1时，m2+2mn+n2 =(m+n)2=(-1)2=1. 答案：1
4.(2010·厦门中考)已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个 根为p,则p=_____. 【解析】把x=p代入方程x2-4x-p2+2p+2=0, 得p2-4p-p2+2p+2=0, 即-2p+2=0,解得p=1. 答案:1
5.(2010·成都中考)设x1,x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个 实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_____. 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得： x1+x2=3,x1x2=-2. 所以x12+3x1x2+x22=(x1+x2)2+ x1x2=9-2=7. 答案：7
(A)0
(B)8
(C) 4 2 2
(D)0或8
【解析】选D.一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0，
∴(m-2)2-4(m+1)=0,解得：m1=0;m2=8.故选D.
9.(2010·兰州中考)已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0
有实数根.则m的取值范围是_____.
【解析】根据题意得12-4×(m-1)×1≥0且m-1≠0，解得 m 5 且m≠1.
2
次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 【思路点拨】(1)先把一元二次方程化成二次项系数为1的一 般形式，再与给出的5个方程进行比较，从而得出结论.(2)比 较(1)中几个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，得出 一般结论.
【自主解答】(1)①②④⑤ (2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为-2a、常 数项为-4a.
【例3】(2011·德州中考)若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根， 则x12+x22=_____. 【思路点拨】先由根与系数的关系求出x1+x2、x1·x2的值， 再把x12+x22配方求出x12+x22的值. 【自主解答】由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2= -1,x1x2=-1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2-2×(-1)=3. 答案：3
4
答案：m 5 且m≠1
4
10.(2011·广东中考)已知一元二次方程x2-2x+m=0.
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.
【解析】(1)由题意得Δ=4-4m≥0,解得m≤1.
(2)由题意得x1+x2=2,因为x1+3x2=3,所以
2.(2011·滨州中考)若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个 根，则a的值为_____. 【解析】将x=2代入方程，得4-2-a2+5=0, 解得 a 7. 答案： 7
3.(2011·株洲中考)孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时， 正确解得x1=1,x2=2,则c的值为_____. 【解析】把x=1代入x2-3x+c=0中，得1-3+c=0,所以c＝2. 答案：2
1.(2010·毕节中考)已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a
(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )
(A)ab
(B) a
(C)a+b
(D)a-b
b
【解析】选D.把x=-a代入方程x2+bx+a=0得a2-ab+a=0，即
a(a-b+1)=0，又因为a≠0，所以a-b+1=0，即a-b=-1.
6.(2010·成都中考)若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两 个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值. 【解析】由根的判别式可得b2-4ac≥0， 即42-8k≥0，解得k≤2；k的非负整数值为：0，1，2.
7.(2010·北京中考)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0 有两个相等实数根，求m的值及方程的根. 【解析】由题意可知Δ=0.即(－4)2－4(m－1)=0，解得m=5. 当m=5时，原方程化为x2－4x+4=0，解得x1=x2=2，所以原方程 的根为x1=x2=2.
x2
1 2
,所以
(1)2－2 1 m 0 ,解得 m 3 .
2
2
4
38
配方法
1.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分 广泛,在代数式求值、求最大(小)值、因式分解、化简根式、 解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式等方面都经常 用到它. 2.配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的 一种重要手段,在配方时,要善于“拆”和“添”,将代数式重 新组合得到完全平方式.
(D) x1 3, x2 3
【解析】选D.把选项中给出的数值代入原方程，使方程左右
两边的值相等的数值，就是原方程的解或者解原方程
得 x 3 ,所以 x1 3, x2 3 ,故选D.
2.(2010·日照中考)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的
两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是( )
1.一元二次方程的有关概念及解法是基础,因此,在复习 本部分知识时,应首先弄清概念,掌握解法.
2.一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系 数的关系的应用是中考的热点，应加强有关的题目训练，同 时，要注重一元二次方程的判别式、根与系数的关系与其他 知识综合考查的练习.
3.在复习本讲时,应注意转化思想的运用,还应注意配方 法在解题中的作用,它是利用配方法解方程和推导求根公式的 基础.
7.(2011·泉州中考)已知一元二次方程x2-4x+3=0两根为x1、
x2,则x1·x2=( )
(A)4
(B)3
(C)-4
(D)-3
【解析】选B.∵
x1
x2
c a
3 1
3,
∴B正确.
8.(2011·威海中考)关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0
有两个相等的实数根，则m的值是( )
2
∴ x1 2 6, x2 2 6.
根的判别式及根与系数的关系
1.运用根的判别式判断含有字母系数的一元二次方程根的情 况的一般步骤是:(1)把方程化为一般形式,确定a、b、c的值, 计算Δ;(2)用配方法等将Δ变形,使之符号明朗化后,判断Δ 的符号;(3)写出结论.
2.利用一元二次方程根与系数的关系可解决以下几类问题: (1)已知一元二次方程的一个根,可求另一个根. (2)已知两根，可写出这个一元二次方程. (3)与根的判别式结合起来，可求解方程、判断两根的性质和 正负号. 注意:在运用根与系数的关系时,应先简化为一元二次方程 x2+px+q=0的形式,并牢记一元二次方程x2+px+q=0的两根之和 是一次项系数的相反数而不是一次项系数本身.
1.(2010·包头中考)关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两
个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则(x1-x2)2的值是( )
(A)1
(B)12
(C)13
(D)25
【解析】选C.由根与系数的关系得 x1+x2=m,x1·x2=2m-1,∵x12+x22=7, ∴7=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1)=m2-4m+2,∴m1=-1,m2=5,又 ∵m=5时，Δ=25-36＜0, ∴m=-1. ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2-4(2m-1)=m2-8m+4 =1+8+4=13.