动点问题中的面积问题

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因动点产生的面积问题

80因动点产生的面积问题★林广姗所谓的因动点产生的面积问题就是解决一个会移动的点在坐标系中的位置转变所形成的几何面积问题。

在往年真题中我们可以看到中考命题组特别喜爱动点面积相结合的问题，因动点产生的面积问题大多以函数为背景，充分结合函数、方程、转化及数形结合等思想进行展开，而学生对知识点多且题型复杂的动点问题也是又爱又恨。

在数学教学中，教师可以从哪些方向带着学生不慌不忙延伸拆解每一道题，让学生动脑生趣，不再害怕此类问题。

引言：在中考中，数学要如何和他人拉开距离，保持领先？那么我们就要教会学生破解压轴题，而作我们首要突破的热点压轴题则是动点问题，其中因动点产生的面积问题则是学生们最怕见到的压轴题类型。

如何让学生对动点产生兴趣？高效利用每一道真题，延伸派生，让学生一题多思。

接下来笔者将会对两道中考真题进行思路点拨和延伸，旨在与大家交流研讨。

一、思路建立阶段面积是平面图形中的一个重要的概念，关联着平面图形中的要素边与角，因点的运动而产生的面积问题，是一次函数图象与二次函数图象相结合的形式，经常出现的面积问题有规则图形（如直角三角形、平行四边形、特殊平行四边形的面积）以及不规则图形的面积计算，求解不规则几何图形的面积是中考压轴常考的题型，此类题目运算量较大，要根据不同题目的动点问题思考解的可变性和多可能性。

求解动点相关面积问题经常用到下列与面积有关的方法：平面几何的割与补、等积变形、等比转化等数学思想方法。

解决与面积相关的动点存在性题目，出现频率较高的题型和使用较多的解题策略有两种：一是据图形确定存在性，再列出方程，求解并检验方程的根．二是先认为关系存在，然后列出方程，再据方程的反推假设是否成立．而教师对真题进行延展派生时，可通过以下几个方面进行延展：（1）在原图中加一或多条辅助线，构成新图形，再求解新平面几何图形的面积；（2）改变面积比例求对应点坐标；（3）改变动点活动范围，例如当动点跑出函数外时；（4）求构成特殊图形时特殊点的坐标，例如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、特殊的平行四边形等。

初中数学动点产生的面积问题学习方法

初中数学动点产生的面积问题学习方法
函数中的动点问题是以函数为背景，充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决。

1.求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法：
①有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形，如图1;
②“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积，如图2.
图1
图2
2.对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积：如图3，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
图3
3.底或高不明显，但已知边的关系，可用相似比间接求得.①如图4，同底三角形的面积比等于高的比同高三角形的面积比等于底的比;②如图5，同底等高三角形的面积相等.
图4
图5
【典型例题】
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.。

利用面积解决动点问题

利用面积解决运点问题例1：已知如图是一个等边三角形木框：①如图1甲虫P 在边框AC 上爬行（A 、C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，请猜想d 与h 的大小关系怎样？②如图2当甲虫P 爬行到三角形木框内部时，P 到三角形三边的距离之和与h 的关系如何？ ③如图3当甲虫P 爬行到三角形外部时，P 到三角形三边的距离与h 之间存在怎样的关系？解：①如图1连接BP 、过A 作AE ⊥BC 于E ，则AE 为h ，设三角形的边长为a. S △ABC =S △ABP +S △BCP =12 a·PC+12 a·PD=12 a(PC+PD)=12ah∴PC+PD=h. ②连接AP 、BP 、CP ，过A 作AF ⊥BC 于F S △ABC =S △ABP +S △BCP +S △ACP =12 a·PC+12 a·PD+ 12 a·PE= 12a(PC+PD+PE)=12ah ∴PC+PD+PE=h. ③关系：PC+PD －PE=h.连接AP 、BP 、CP ，过A 作AF ⊥BC 于F S △ABC =S △ABP +S △BCP －S △ACP=12 a(PC+PD －PE) =12ah∴PC+PD －PE=h.·PA BCCD 图1·P ABCCD图2E ·P ABCCD图3EE F F点评：此题的关键在于利用面积问题求线段和的问题，图中将△ABC 的面积分成几部分，求和或做差，利用三角形的面积的不变性求出几条垂线段的和或差的不变性。

例2：如图已知矩形ABCD ，AB=6，BC=8，对角线交于O ，P 为BC 上的一动点，过P 作PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，当P 在BC 上运动时，试问PE+PF 的值是否变化？若不变化求出其值；若改变请说明理由。

解：连接OP 、过B 作BG ⊥AC 于G ∵四边形ABCD 是矩形∴△ABC 是直角三角形，AO=BO=CO=DO ∵AB=6，BC=8∴AC=62+82 =10，S △BCA = 12 ×6×8=24∴BO=CO=5 S △BCO = 12×24=12∴S △OBC =S △OBP +S △OCP = 12×5×PE+ 12 ×5×PF= 12 ×5×(PE+PF)=12∴PE+PF=245. 点评：此题关键是运用面积来解决线段和的问题，利用△BCO 的面积的不变性，将其分成两部分来求和，得出两小三角形的高之和等于大三角形的高，从而求出最后结果。

由动点引出的几种面积问题(含答案)

专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

基本模型一利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积.面积公式：S =12ah 基本模型二CABD其中：:ACD BCD S S AD BD =△△：，:ACD BCA S S AD BA =△△：基本模型三OB()12AOB ACB AOBC S S S a h OA =+=+△△四边形类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题例1. 如图例1-1，在平面直角坐标系中，直线121y x =+和直线2443y x =-+交于点A . 直线y n =从x 轴出发以每秒2个单位的速度向上运动，至通过A 点时停止. 在运动过程中，直线y n =分别交y 1、y 2两条直线于C 、B 两点，交y 轴于点D . 连接OC 、OB .（1）设运动时间为t （s ），求t 的取值范围.（2）求出△OBC 的面积S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时n 的值.y=n类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题例2. 如图例2-1，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的交点为A 、D (A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，且A (4，0)，C (0，－3)，对称轴是直线x =1． (1)求二次函数的解析式；(2)若M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m ，设四边形OCMA 的面积为S ．请写出S 与m 之间的函数关系式，并求出当m 为何值时，四边形OCMA 的面积最大.图例2-1图例2-2类型三、反比例函数由动点问题引出的面积问题例3. 如图例3-1，直线y＝2x＋6与反比例函数kyx(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？图例3-1类型四、利用三角函数求解由动点问题引出的面积问题例4. 如图例4-1，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC＝10，抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 经过点A 、C ，与AB 交于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S . 求S 关于m 的函数表达式并求出S 最大时的m 值.图例4-1.类型五、由动点问题引出的面积存在性问题例5. 如图例5-1，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，A （1，0），B （0，2），C （3，1）抛物线2122y x bx =+-的图象过C 点，交y 轴于点D ．（1）在后面的横线上直接写出点D 的坐标及b 的值：，b = ；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ，设l 与x 轴交于点G （x ，0），当OG 等于多少时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？AOxyBCGF H E图例5-1 图例5-2类型六、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题如图例6-1，在平面直角坐标系中，抛物线24 5y ax x c=++与直线2255y x=--交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线2255y x=--与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线2255y x=--上方，求△P AC的最大面积.OxyPACBGEH 图例6-1专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

初中数学动点问题大全

初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。

题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。

2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。

3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。

角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线O 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S ∆∆的值；如果变化，请说明理由．O x y （备用图）O xy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a ）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S AP S AO ∆∆=．∴1ABP ACP S S ∆∆=．即当a 变化时，ABP ACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CM PM BC AB AC ∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)12217x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得11x =+，21x =-（不合题意，舍去）∴P（1+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．A B CD M N EF （图1）AB C D M N E F变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DF DC CE =.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y .22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2(DC AD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=a a x ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOC OA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-m m m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒A C BO yx∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CD AD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y=-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BF BC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCDS BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴BH =16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC（2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y =又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAP PDC C C x =- ，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,)2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN AB AB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC 1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AE CB FA B D GC EF变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴AB AF BC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴AB AF BC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =x x x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。

二次函数动点问题专题

二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

一次函数与面积的关系动点问题

一次函数与面积的关系
当函数的导数为常数时，函数的图像为
图像下面积的计算
2
直线，与x轴和y轴围成的图形面积与x轴之间的积分成正比，即面积等于函数导
在一次函数的图像下方，面积与反比例
数在定义域上的积分。
函数成正比，可以通过用反比例函数来
计算函数面积。
3
图像上方面积的计算
在一次函数的图像上方，面积பைடு நூலகம்反比例
一次函数与面积的关系动点问题
在本次的PPT中，我们将会一起探究一次函数与面积的关系动点问题。了解什么是一次函数，如何求解函数的解析式以及如何计算面积的变化。让我们开始吧！
什么是一次函数？
一次函数是指函数的最高次项为1的一类函数。它具有简单的线性关系，对于初学者来说是数学中的基础。
1 定义和性质
将复杂图形分解成若干个简单图形，计算每个图形的面积，然后将它们相加起来。
2
特殊图形的面积计算
掌握特殊图形的计算公式，如扇形和梯形的面积计算公式。
3
应用例题
用面积的知识解决实际问题。
探究一次函数与面积的关系
了解一次函数与面积之间的关系，探究线性函数的图像和面积之间的联系，以及如何在图像上求解面积。
1
了解线性函数的基本概念和特点。
2 解析式的确定
掌握如何根据给定的条件来确定一次函数的解析式。
3 实际问题求解
学会如何用一次函数的知识解决实际问题。
面积的定义和性质
面积是二维图形所占的空间大小。它是一种抽象的概念，但是却具有广泛的应用。
面积的定义
通过正方形面积的概念引入面积的定义。
面积的性质
了解面积在几何学中的一些基本性质，比如面积叠加和面积不变形。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积

中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是函数曲线，出现在中学数学和高等数学教程中。

它是由x轴和y轴组成的二维坐标系，在抛物线中，x轴及y轴都定义了不同的概念。

在数学求解中，经常会用到抛物线，抛物线可以用来表示一些复杂的数学模型，用来研究一些特定的数学问题。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积是指在抛物线上，给定抛物线的一个点，要找出一个最大的凸包，且该凸包的面积是最大的。

在实际求解中，这个问题可以看做一个凸优化问题，首先定义一个凸函数，然后对凸函数的极小值解进行求解，最后得到最大的凸包。

求解这个问题，可以利用梯度下降法以最小化成本函数，成本函数记作f（x），它是抛物线与给定点之间最大距离的函数。

每次迭代，在遍历整个抛物线函数时，都要选择正确的梯度方向以最小化成本函数，梯度方向由梯度，也就是函数对x求导得到，梯度即函数在当前点的斜率。

按照梯度下降原理，在每次迭代中，都可以使用梯度来预测当前的搜索方向，朝着梯度方向移动，其移动的距离与梯度的大小成正比，当梯度趋于零时，就得到最大的凸包，即答案。

通过梯度下降法求解中考经典抛物线中的动点问题最大面积，可以将复杂的数学模型简单化，使用简单的算法来解决复杂的数学问题，从而节省时间和成本。

此外，为了解决抛物线中的动点问题最大面积，还可以通过利用极坐标系来求解。

极坐标系，也称极模型，是一种描述抛物线的方法。

它使用两个变量，一个是极坐标系中的极距，另一个是极角，用来描述抛物线上每个点的位置。

极距定义为抛物线上某点到原点的距离，极角定义为抛物线上该点到x轴的夹角。

极坐标系在求解抛物线最大面积问题时，可以将原问题转换为极坐标系中的一个优化问题，以极坐标系中的极距为优化变量，最小化极距的平方和，从而获得最大的凸包。

上述的求解方法可以成功解出抛物线中的动点问题最大面积。

如果将其用于抛物线的其他问题，效果也会很好，甚至可以解决更复杂的数学问题。

它提供了一种新的抛物线研究方法，它将抛物线之间的关系更加可视化，从而使抛物线研究更加清晰和深入。

平面直角坐标系中面积动点问题

平面直角坐标系提升练习热身题：如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A坐标为a,0,点C的坐标为0,b,且a、b满足+|b﹣6|=0,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B ﹣A﹣O的线路移动．1a= ,b= ,点B的坐标为；2当点P移动4秒时,请指出点P的位置,并求出点P的坐标；3在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,求点P移动的时间．题型一:已知面积求点的坐标1．已知：A0,1,B2,0,C4,31在坐标系中描出各点,画出△ABC．2求△ABC的面积；3设点P在坐标轴上,且△ABP与△ABC的面积相等,求点P的坐标．2、已知：如图,△ABC的三个顶点位置分别是A1,0、B﹣2,3、C﹣3,0．1求△ABC的面积是多少2若点A、C的位置不变,当点P在y轴上时,且S△ACP =2S△ABC,求点P的坐标3若点B、C的位置不变,当点Q在x轴上时,且S△BCQ =2S△ABC,求点Q的坐标3、如图,在平面直角坐标系2、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点A8,6分别作x轴、y轴的平行线,交y轴于点B,交x轴于点C,点P是从点B出发,沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点,运动时间为t秒．1直接写出点B和点C的坐标B , 、C , ；2当点P运动时,用含t的式子表示线段AP的长,并写出t的取值范围；3点D2,0,连接PD、AD,在2条件下是否存在这样的t值,使S△APD =SABOC,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由．3、点Px,y在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为6,0,设△OPA的面积为S．1用含x的式子表示S,写出x的取值范围；2当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为多少3当S=12时,求点P的坐标；4△OPA的面积能大于24吗为什么4、如图,在平面直角坐标系中,已知A0,a,Bb,0,Cb,c三点,其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+b﹣32=0,c ﹣42≤01求a、b、c的值；2如果在第二象限内有一点Pm,,请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；3在2的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．题型二：坐标系中转化角度1、已知：P4x,x﹣3在平面直角坐标系中．1若点P在第三象限的角平分线上,求x的值；2若点P在第四象限,且到两坐标轴的距离之和为9,求x的值．2、在平面直角坐标系中,O为原点,B0,6,A8,0,以点B为旋转中心把△ABO逆时针旋转,得△A′BO′,点O,A旋转后的对应点为O′,A′,记旋转角为β．1如图1,若β=90°,求AA′的长；2如图2,若β=120°,求点O′的坐标．3、如图,平面直角坐标系中,将线段AB平移,使点A0,3平移到A′5,0,B平移到B′1,﹣31则B点的坐标为；2求△AB′B的面积：3A′B′的延长线交y轴于C,点D、E分别是x轴、射线A′,B′上的点．若∠ABD的平分线BF的反向延长线交CE于点H,∠ECO的平分线交BH于点G,求∠HGC的度数．4、如图,在平面直角坐标系中,Aa,0,D6,4,将线段AD平移得到BC,使B0,b,且a、b满足|a﹣2|+=0,延长BC交x轴于点E．1填空：点A , ,点B , ,∠DAE= °；2求点C和点E的坐标；3设点P是x轴上的一动点不与点A、E重合,且PA＞AE,探究∠APC与∠PCB的数量关系写出你的结论并证明．题型三：规律题1、如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．1观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是,B4的坐标是．2若按第1题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAn Bn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An 的坐标是,Bn的坐标是．3若按第1题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAn Bn,则△OAnBn的面积S为 ;。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积

中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考越来越近，学生对中考经典抛物线中的动点问题仍存在些许困惑，其实，这个问题本质上依然是一个计算最大面积的问题，也可以通过求和的方法来求解。

首先，我们需要明确抛物线的性质：抛物线的坐标表示为(X,Y)，其中X与Y之间存在一个线性关系，而Y即为抛物线上任意点的高度，Y值越高，说明抛物线越陡峭。

其次，我们可以使用坐标轴，将抛物线分割成一个个三角形，即把抛物线上任意一点当作顶点，分别求出它左右两边的斜边以及X轴构成的边。

接着，通过相应的数学公式，可以将这些三角形的面积全部加起来，以计算出抛物线的最大面积。

经过上述步骤，就可以用较简单的方式完成中考经典抛物线中的动点问题最大面积的求解。

但是，要计算出准确的最大面积，就需要深入地来探究它的性质，比如要充分利用抛物线当中的绝对极值点及拐点，用一些高等函数数学运算来分析抛物线最大面积，这对于学习者来说，正是一次令人激动的挑战。

总之，抛物线上的动点问题最大面积的求解，不论是从简单数学运算还是深度函数分析来看，都值得学生深入研究，从中学习奥秘的数学之美！最终，希望大家能够在中考中取得优异的成绩，获得自己的最佳科学成果！
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中考经典抛物线中的动点问题最大面积

中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是中考经典的数学知识，它是一种深受学生喜爱的函数，它可以让学生探索诸多有趣的数学问题。

其中，最大面积问题是抛物线函数中最有趣的数学问题之一，得到学生的广泛关注和深入研究。

最大面积问题的解法主要有两种，一种是利用解析方法，一种是利用数值计算方法。

其中，解析方法是一种比较容易准确求解的方法，可以快速解出动点的最大面积；而数值计算方法则是在解析方法不能求解的情况下，运用数值方法求解最大面积的一种方法。

针对抛物线中动点最大面积问题，使用解析方法时需要先求出抛物线的几何表达式。

一般来说，抛物线的几何表达式可以用如下的方程来表达：y=ax2+bx+c，其中a、b、c都是常数。

既然表达式已经确定，就可以算出动点的最大面积了。

由于一般高中学生对解析几何方法掌握还不够，所以更多情况下老师会让学生使用数值计算方法来解决动点最大面积问题。

使用数值计算方法来求解动点最大面积，一般采用delta x和delta y来代替动点x、y，即delta x=x2-x1，delta y=y2-y1。

用这种方法求出的最大面积为：s=delta x*delta y/2。

求解抛物线中动点最大面积的问题，无论是使用解析方法还是使用数值计算方法，都不能够完全满足学生的需求。

因此，老师需要为学生提供有效的学习教程和实验室设计，使学生能够充分掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。

有效的学习教程可以帮助学生更好的掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。

学生首先要学习和掌握抛物线的几何表达式，以及求出动点最大面积的过程，其次要掌握用数值计算解决问题的方法。

为了让学生更好地掌握求解抛物线中动点最大面积问题的方法，老师可以设计出实验室来帮助学生练习，让学生在实践中更好地学习和熟练掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。

求解抛物线中动点最大面积问题，不仅对学生学习和认识抛物线函数有很大的帮助，而且可以帮助学生了解数学解决问题的思维方式，培养学生分析和解决实际问题的能力，从而提高学生的综合素质。

特殊平行四边形中的三种几何动点问题—2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)(解析版)

特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题例．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=，10cm AB AD ==，=8cm BC ．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P ，Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)直接写出CD 的长（cm ）；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，直接写出四边形PBQD 的周长（cm ）；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)(3)存在，满足条件的t 的值为2512秒或5秒【分析】（1）过点A 作AM CD ⊥于M ，根据题意证明四边形ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，则103BP t =−，2DQ t =，根据平行四边形的性质可得1032t t −=，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；（3）分两种情况进行讨论：①当点P 在线段AB 上时；②当点P 在线段BC 上时；根据三角形面积列方程计算即可．【详解】（1）解：如图1，过点A 作AM CD ⊥于M ，AM CD ⊥，=90BCD ∠︒，∴AM CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，10cm CM AB ∴==，在t R ADM 中，10cm AD =，8cm AM BC ==，根据勾股定理得，6cm DM =，16cm CD DM CM ∴=+=；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图3，由运动知，103BP t =−，2DQ t =，1032t t ∴−=，2t ∴=，此时，4BP DQ ==，12CQ =，根据勾股定理得，BQ =∴四边形PBQD 的周长为()28BP BQ +=+（3）①当点P 在线段AB 上时，即：1003t ≤≤时，如图2，()1110381522BPQ S PB BC t =⋅=−⨯=，2512t ∴=；②当点P 在线段BC 上时，即：1063t <≤时，如图4，310BP t =−，162CQ t =−，()()113101621522BPQ S PB CQ t t ∴=⋅=−−=，5t ∴=或193t =（舍），即：满足条件的t 的值为2512秒或5秒．【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形的性质列出方程是解本题的关键．【答案】(1)①12DP t =−；15BQ t =−；②7.5t =(2)()()()220<12=12<151345 15<1844t S t t t t −≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩【分析】（1）①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；②AP BQ =时，四边形APQB 是平行四边形；（2）求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可．【详解】（1）解：①由题意可知=cm AP t ，cm CQ t =，∴()12cm DP AD AP t =−=−，()15cm BQ BC CQ t =−=−；②当四边形APQB 是平行四边形时，AP BQ =，即15t t =−，解得7.5t =．故答案为：()12cm t −，()15cm t −（2）解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则90A B DEB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABED 是矩形，∴90ADE ∠=︒，()12cm BE AD ==， ∴()15123cm CE BC BE =−=−=，∵120ADC ∠=︒，∴30CDE ADC ADE ∠=∠−∠=︒，∴()26cm DC EC ==，∴)cm DE ===，∴点P 运动到点D 时，需12秒，点P 到点C 时，需18秒；点Q 从点C 到点B 需15秒，从点B 到点A 需15+秒．故分三种情况讨论：①当012t <≤时，如图，11==(1522S BQ AB t ⋅−−）②当1215t <≤时，如图，过点P 作DH BC ⊥于点H ，()18cm PC AD DC t t =+−=−，易知DE PH ∥∴30CPH CDE ∠=∠=︒， ∴()119cm 22CH PC t ==−，∴())cm PH t ==−，∴211(15))22S BQ PH t t =⋅=−−=；③当1518t <≤时，如图，()15cm BQ t BC t =−=−，()111596cm 22BH BC CH t t ⎛⎫=−=−−=+ ⎪⎝⎭， ∴211113(15)(6)4522244S BQ BH t t t t =⋅=−⋅+=−−，综上，))()220<12=12<15134515<1844t S t t t t ≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩．【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．【答案】(1)10(2)12(3)S=18(09)6216(918)t t t t <≤⎧⎨−+<≤⎩(4)t= 4或8或12【分析】（1）当t=4时，AP=8，PD=AD -AP=BC -AP=18-8=10；（2）当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，根据不同的时间段AP的关系式求出t值即可；（3）由（2）中不同时间段AP的关系式得出S的分段函数即可；（4）PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分时，可能再两个不同的时间段存在12ABQPPDCQss=四边形四边形和12PDCQABQPss=四边形四边形两种可能，根据（3）中面积的函数关系式分段求t值即可．（1）解：当t=4时，AP=2t=8，∴PD=AD-AP=18-8=10，故答案为10（2）解：当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，若0≤t≤9时，AP=2t，则2t=t，解得t=0（不符合题意，舍去）；若9＜t≤18时，AP=36-2t，则36-2t=t，解得t=12；故答案为12（3）解：当0<t≤9时，S=12(BQ +AP)⋅AB =12(t+2t)×12= 18t；当9<t<18时，S=12(BQ +AP)．AB =- 6t + 216．综上所述，S =18(09)6216(918)t tt t<≤⎧⎨−+<≤⎩（4）解：当0≤t≤9时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴18t=13×12×18，解得t=4；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴18t=23×12×18，解得t=8；当9＜t≤18时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴-6t+216=13×12×18，解得t=24（舍）；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴-6t+216=23×12×18，解得t=12；综上，当t=4或8或12时，PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2两部分．【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．如图，在ABD中，几秒钟后，MON的面积为【答案】(1)见解析(2)5米，24平方米；(3)1秒或4秒【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA 、OB 的长，用勾股定理可求AB ，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分三种情况分别讨论．【详解】（1）证明：AO 平分BAD ∠，AB CD ∥，DAC BAC DCA ∠∠∠∴==， ACD ∴是等腰三角形，AD DC =，又AB AD =，AB CD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：解方程27120x x −+=，得，14x =，23x = 4OA ∴=，3OB =，利用勾股定理5AB ==，28,26AC OA BD OB ∴====，∴ABCD S =菱形118622AC BD ⨯=⨯⨯24=平方米．（3）解：在第(2)问的条件下，设M 、N 同时出发x 秒钟后，MON 的面积22m ，当点M 在OA 上时，2x <，MON S =12()()4232x x −−=，解得1214x x ==， (大于2，舍去)；当点M 在OC 上且点N 在OB 上时，23x <<，MON S =12()()3242x x −−=，整理得，2580x x −+=，此时，2=541870∆−⨯⨯=−<，∴原方程无解；当点M 在OC 上且点N 在OD 上时，即34x <≤，MON S =12 ()()2432x x −−=，整理得，2540x x −+=，解得1241x x ==， (小于3，舍去)．综上所述：M ，N 出发1秒或4秒钟后，△MON 的面积为22m ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想．类型二、几何图形存在性问题 Rt ABC 中， (1)求AB AC ，的长；(2)求证：AE DF =；(3)当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)AB=5，AC=10；(2)证明见解析(3)当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形，理由见解析【分析】（1（2）利用已知用未知数表示出DF ，AF 的长，进而得出AE DF =；（3）利用①当90EDF ∠=︒时；②当90DEF ∠=︒时；③当90EFD ∠=︒时，分别分析得出即可．【详解】（1）解：设AB x =，90B ∠=︒，30C ∠=︒，22AC AB x ∴==．由勾股定理得，()(2222x x −=，解得：5x =， 5AB ∴=，10AC = ；（2）证明：由题意得AE t =，CD=2t ，则102AD t =−，在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴12DF CD t==．又AE t=，AE DF∴=；（3）解：当52t=秒或4秒时，DEF为直角三角形，理由如下：分情况讨论：①∠EDF=∠DFC=90°时，则DE BC∥，∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，∴10-2t=2t，∴52t=；②∠DEF=90°时，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD EF，∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠AED=30°，∴12AD AE=，∴1 1022t t−=，∴4 t=；③∠EFD=90°时，此种情况不存在．当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键． (1)连接PD 、PQ 、DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为(2)当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得△合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒或4秒(2)存在，43t =秒或4)秒【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD 为腰的等腰三角形即可说明．【详解】（1）解：当P 在BC 上时如图：根据题意，得4AB BC CD AD ====AQ t =，4QB t =−，2BP t =，42PC t =−，7PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S =−−−=△△△△正方形，1111642(4)4(42)7222t t t t −⨯⨯−⨯−−⨯⨯−=整理，得2210t t −+=，解得121t t ==．当P 在CD 上时，此时24t <≤4(24)82DP t t =−−=− 1(82)472PQD S t ∴=−⨯=△94t ∴=答：当t 为1秒或94秒时，PQD △的面积为27cm ．（2）①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +−=+，解得143t =，24t =（不符合题意，舍去）．②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +−=−+，整理得：28160t t +−=解得14t =，24t =−（不符合题意，舍去）．答：存在这样的43t =秒或4)秒，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．例3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，BC ＝18cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P 也停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t s ．(1)从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？(2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQCD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQBA 是矩形？(4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQBA 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)不存在，理由见解析(3)6(4)不存在，理由见解析【分析】（1（2）利用菱形的判定和性质进行求解即可；（3）利用矩形的判定和性质进行求解即可；（4）利用正方形的判定和性质进行求解即可．（1）解：由运动知，AP ＝tcm ，CQ ＝2tcm ，∴DP ＝AD ﹣AP ＝（12﹣t ）cm ，∵AD BC ∥，要PQ CD ∥，∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴DP ＝CQ ，∴12﹣t ＝2t ，∴t ＝4，即t ＝4时，PQ ∥CD ；（2）不存在，理由：∵四边形PQCD 是菱形，∴CQ ＝CD ，∴2t ＝10，∴t ＝5，此时，DP ＝AD ﹣AP ＝12﹣5＝7（cm ），而DP≠CD ，∴四边形PQCD 不可能是菱形；（3）如图4，∵∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是矩形，即t ＝18﹣2t ，解得：t ＝6，∴当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形；（4）由当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形，∴AP ＝6cm ，∵AB ＝8cm ，∴AP≠AB ，∴矩形PQBA 不能是正方形，即不存在时间t ，使四边形PQBA 是正方形．【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置．例4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且8AC =，6BD =，现有两动点M ，N 分别从A ，C 同时出发，点M 沿线段AB 向终点B 运动，点N 沿折线C D A −−向终点A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （秒）．(1)填空：AB = ；菱形ABCD 的面积S = ；菱形的高h = ．(2)若点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒a 个单位（其中52a <），当4t =时在平面内存在点得以A ，M ，N ，E 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a 的值．【答案】(1)5；24；245(2)1.5或1.94或1.4【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得AB ，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S ，最后根据菱形的面积为边长×高，由此可得高h 的长；（2）当4t =，时间固定，AM 的长度也就固定，A 、M 、N 、E 四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM 为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM 为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，86AC BD ==，，∴43AO CO BO DO AC BD ====⊥，，，∴AB=5，设菱形的高为h,则菱形ABCD 的面积为186242AB h ⨯⨯=⨯=∴245h =故答案为：5，24，245（2）解：当4t =时，4AM =，①如图2，四边形AMEN 为菱形，4AN AM ∴==，1046ND CD ∴+=−=，46a ∴=，32a =．②如图3，AENM 为菱形，EM 交AN 于点R ，作DP 垂直BC 于P ，菱形面积为24，4.8DP ∴=，75CP ∴=，MAR BCD ∠=∠，AMR PDC ∴∠=∠，AR CP AM CD ∴=，1.12AR ∴=，2.24AN ∴=，()()410 2.244 1.94a ND CD ∴=+÷=−÷=，③如图4，AEMN 为菱形，EN 交AM 于点T ，作BS 垂直CD 于S ，则2AT MT ==，523BT NS ∴==−=，4.8BS =， 1.4CS ∴=，1.43 4.4CN NS CS∴=+=+=，4 4.44 1.1a CN∴=÷=÷=；综上所述，a的取值有1.5或1.94或1.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键．类型三、直线位置关系问题(1)直接写出AB的长．(2)当点Q落在AB边上时，用含t的代数式表示【答案】(1)3(2)3523t−或5332t−(3)12、或175(4)920或215【分析】（1）根据勾股定理直接求出AB 的长度；（2）分类讨论Q 在AD 和BD 上的两种情况，DQ AD AQ =−或 DQ AQ AD =−；（3）当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为PQ AC ⊥，所以当Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为直角，平行四边形PQDM 不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据PQ DQ =建立等量解出t 值；当Q 在BC 上时，表示出DQ 的长度较为复杂，所以可以表示出2DQ ，利用22PQ DQ =建立方程解出t 值；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形，可直接求得t 值；（4）因为平行四边形PQDM 的四个顶点顺序已经确定，所以Q 在过点D 的AC 平行线的下方，分类讨论Q 在AD 上和在CN （见详解图）上的两种况下QM 平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当Q 在AB 上时，QM 不可能平行于AB ，当Q 在BC 上时，QM 不可能平行于BC ．【详解】（1）解：在Rt ABC 中，222AB AC BC =−，∴3=AB ；（2）解：P 从点A 出发以每秒个单位的速度沿AC 向终点C 运动，∴AP t =，PQ AC ⊥，∴APQ ABC △△∽，::3:4:5AB BC AC =，∴::3:4:5AP QP AQ =， ∴5533AP t AQ ==，点D 是边AB 的中点，∴32AD BD ==， ∴ 3523DQ t =−或5332t −；（3）解：当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形， ∴ PQ DQ =或平行四边形PQDM 某一内角为90︒，①当Q 在AB 上时，990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，由（1）得43PQ t =，3523DQ t =−或5332t −， ∴354233t t −=或534323t t −=，解得12t =或92， 990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，∴12t =；Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为90︒，故不存在矩形的情况；②如图，当Q 在BC 上时，955t ≤≤，CPQ CBA △△∽，∴::4:3:5CP QP CQ =，AP t =，∴5CP t =−， ∴()354PQ t =−，()554CQ t =−， ∴()55945444BQ t t =−−=−， ∴222222359254511724416816DQ BD BQ t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当22PQ DQ =时，平行四边形PQDM 为菱形， ∴()22254511735168164t t t ⎡⎤−+=−⎢⎥⎣⎦，解得t =，955t ≤≤，∴t =；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形，此时485255t −=⨯=，解得175t =；综上所述：当平行四边形PQDM 为轴对称图形时，t 的值为12、或175；（4）解：平行四边形PQDM ，∴Q 在过点D 的AC 平行线的下方， ①如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM AC ∥时，易得DQM QAP △△∽，平行四边形PQDM ，∴43DM QP t ==，由（1）得3523DQ t =−， ∴35523443t DQ DM t −==，解得920t =；②如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM BC ∥时，易得DQM QPA △△∽，∴35423453tDQDM t−==，解得8245t=（舍）；③过点D的平行线交BC于点N，点Q在CN上移动才可能会出现平行四边形PQDM的对角线QM平行于直角三角形的边，此时1755t≤≤，如图，当QM AC∥时，延长DM交AC于点H，平行四边形PQDM，∴()354DM PQ t==−且DH AC⊥，QM AC∥，∴四边形MQPH为矩形，∴()354MH PQ DM t===−，∴()365245t DH−⨯==，解得215t=；不存在QM AB∥的情况；综上所述：当QM与Rt ABC△的某条边平行时，t的值为920或215．【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行分类讨论．【答案】(1)BD =，9BE cm =(2)PQ AD ⊥，理由见详解(3)存在，t 的值为125或4(4)或【分析】（1）可求出30ADB ∠=︒，根据含30︒的直角三角形的性质可得212AD AB cm ==，BD =，根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则30DBC ∠=︒，即可得12DE BD =，BE =，即可求解；（2）先证四边形DEQP 是平行四边形，可得四边形DEQP 是矩形，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP BQ =，列出方程可求解；（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形，90ABD Ð=°，60A ∠=︒，6AB cm =，30ADB ∴∠=︒，AD BC ∥，212AD AB cm ∴==，BD ==，30DBC ADB ∠=∠=︒，DE BC ⊥，12DE BD ∴==，BE =，9BE cm ∴==；（2）PQ AD ⊥，理由如下：如图1，动点P 从点D 出发沿DA 以1/s cm 的速度向终点A 运动，同时点Q 从点B 出发，以4/cm s 的速度沿射线BC 运动，∴当95t =时，95PD =，365BQ =， 369955QE BE BQ PD ∴=−=−==， AD BC ，∴四边形DEQP 是平行四边形，DE BC ⊥，∴四边形DEQP 是矩形，PQ AD ∴⊥；（3）存在，当CD 为边时，四边形PQCD 是平行四边形，PD CQ ∴=，124t t ∴=−，125t ∴=；当CD 为对角线时，四边形PCQD 是平行四边形，PD CQ ∴=，412t t ∴=−，4t ∴=，综上所述：t 的值为125或4；（4）如图，当点P 的对称点在线段CD 上时，60ADQ QDC ∴∠=∠=︒，60QDC BCD ∴∠=∠=︒，CDQ ∴是等边三角形，CD CQ ∴=，6124t ∴=−，32t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，32EH PD cm ==， 60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，13cm 2CE CD ∴==，32QH CQ EH CE cm ∴=−−=，在Rt PQH 中，PQ =；如图，当点P 的对称点在线段CD 的延长线上时，120CDA ∠=︒，60PDP '∴∠=︒，点P 的对称点在线段CD 的延长线上，1302CDQ PDP '∴∠=∠=︒，BCD CDQ CQD ∠=∠+∠， 30CDQ CQD ∴∠=∠=︒，6CD CQ ∴==，12618BQ ∴=+=，418t ∴=，92t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，92EH PD cm ==，60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，132CE CD cm ∴==，272QH CQ EH CE cm ∴=++=，在Rt PQH 中，PQ ==；综上所述：点P ，Q 之间的距离为或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．课后训练1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，24cm DC =，26cm AB =，动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动，P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t 秒．(1)t 为何值时，四边形DPQA 为矩形？(2)t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？【答案】(1)当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形(2)当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形【分析】（1）根据AB CD ∥，矩形的判定和性质，得AQ DP =，求出t ，即可；（2）根据平行四边形的判定和性质，得PC QB =，求出t ，即可．【详解】（1）∵AB CD ∥，∴AQ DP ∥，当AQ DP =时，四边形DPQA 为平行四边形，∵90A ∠=︒，∴平行四边形DPQA 为矩形，∵动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动， ∴cm DP t =，3cm BQ t =，∴263AQ AB BQ t =−=−，∴263t t =−，解得：261342t ==， ∴当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形．（2）∵AB CD ∥，∴QB PC ∥，当PC QB =时，四边形PQBC 为平行四边形，∴24PC t =−，∴243t t −=，解得：6t =，∴当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质．在ABC 中，发现：(1)在点O 的运动过程中，OE 与OF 的关系是(2)当=2t 时，=EF ______cm ．【答案】(1)OE OF =，详见解析(2)8cm ，探究：3，拓展：=AB 10cm【分析】()1根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到OEC ACE ∠=∠，ACF OFC ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到OE OC =，OF OC =，等量代换证明结论；()2根据直角三角形斜边上的中线的性质解答；探究：根据矩形的判定定理得到=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，进而求出OA ，求出t ；拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到45ACE ∠=︒，进而得到90ACB ∠=︒，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）解：OE OF =，理由如下：CE 平分ACB ∠，BCE ACE ∴∠=∠，EF BC ∥，BCE OEC ∴∠=∠，OEC ACE ∴∠=∠，OE OC ∴=，同理可得，ACF OFC ∠=∠，OF OC ∴=，OE OF ∴=，故答案为：OE OF =；（2）由题意得，当=2t 时，2cm OA =，则4cm OC AC OA =−=，BCE ACE ∠=∠，GCF ACF ∠=∠，90ECF ∴∠=︒，OE OF =，()28cm EF OC ∴==，故答案为：8；探究：当=3t 时，四边形AECF 是矩形，理由如下：90ECF ∠=︒，OE OF =，∴当=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，此时，3cm OA OC ==，3t ∴=时，四边形AECF 是矩形，故答案为：3；拓展：当四边形AECF 是正方形时，45ACE ∠=︒，CE 平分ACB ∠，290ACB ACE ∴∠=∠=︒，()10cm AB ∴=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键． 3．已知正方形ABCD 中，8AB BC CD DA ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒．动点P 以每秒2个单位速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒8个单位速度从B 点出发沿正方形的边BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动，当点P 与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t ．(1)当运动时间为秒时，点P 与点Q 相遇；(2)当BQ PD ∥时，求线段DQ 的长度；(3)连接PA ，当PAB 和QAD 全等时，求t 的值．【答案】(1)3.2(2)3.2(3)t 为0.8或83【分析】（1）先判断出点P ，Q 相遇时，必在正方形的边BC 上，利用运动路程之和为正方形的正常建立方程即可；（2）先判断出四边形BQDP 是平行四边形，得出BP DQ =，进而表示出BP ，DQ ，用BP DQ =建立方程求解即可；（3）分点Q 在正方形的边AB ，AD ，CD ，BC 上，建立方程求解即可得出结论；【详解】（1）解：点P 的运动速度为2，8BC =，∴点P 运动到点C 的时间为4，点Q 的运动速度为8，∴点Q 从点B 出发沿BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动到点C 的时间为(888)83++÷=，∴点P ，Q 相遇时在边BC 上，284832t t ∴+=⨯=，3.2t ∴=，故答案为3.2；（2）解：如图1，//BQ PD ，∴点Q 只能在边AD 上，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，∴四边形BQDP 是平行四边形，BP DQ ∴=，2288t t ∴=⨯−，1.6t ∴=，288 3.2DQ t ∴=⨯−=；（3）解：①当点Q 在边AB 上时，如图2，AB AD =，ABP DAQ ∠=∠，要使PAB ∆和ΔQAD 全等，只能是PAB QDA ≅，BP AQ ∴=，88AQ t =−，2BP t =，882t t ∴−=，0.8t ∴=，②当点Q 在边AD 时，不能构成QAD ，③当点Q 在边CD 上时，如图3，同①的方法得，要使PAB 和QAD 全等，只能是PAB QAD ≅，BP DQ ∴=，2816t t ∴=−，83t ∴=，④当点Q 在边BC 时，QAD 不是直角三角形，而PAB 是直角三角形，所以，不能全等；即：当PAB 和QAD 全等时，t 的值为0.8或83；【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论． 4．如图，在ABCD Y 中，9034BAC CD AC ∠=︒==，，．动点P 从点A 出发沿AD 以1cm /s 速度向终点D 运动，同时点Q 从点C 出发，以4cm /s 速度沿射线CB 运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，设点P 运动的时间为t 秒()0t >．(1)CB 的长为______．(2)用含t 的代数式表示线段QB 的长．(3)连接PQ ，①是否存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②是否存在t 的值，使得PQ 与AB 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(4)若点P 关于直线AQ 对称的点恰好落在直线AB 上，请直接写出t 的值．【答案】(1)5(2)55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭(3)①不存在，理由见解析；②存在，t 的值为53(4)t 的值为12或2【分析】（1）根据平行四边形的性质得3AB DC ==，再根据勾股定理即可求解；（2）根据题意可得4CQ t =，先求出当点Q 与点B 重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q 在线段BC 上时和当点Q 在线段CB 的延长线上时；（3）①连接PC AQ ，，假设PQ 与AC 互相平分，则可得四边形APCQ 是平行四边形，进而可得AP CQ =，解得即可到答案；②连接PB AQ ，，假设PQ 与AB 互相平分，则可得四边形APBQ 是平行四边形，进而可得AP BQ =，解得即可到答案；（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时和当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴3AB DC ==，∵90BAC ∠=︒，∴5BC =，故答案为：5；（2）在ABCD Y 中，AD BC =，AD BC ∥，由题意得，4CQ t =，当点Q 与点B 重合时，45t =， ∴5s 4t =，当点Q 在线段BC 上时，54QB BC CQ t =−=−，当点Q 在线段CB 的延长线上时，45QB CQ BC t =−=−，综上所述，55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭；（3）①不存在，理由如下：如图，连接PC AQ ，，若PQ 与AC 互相平分，则四边形APCQ 是平行四边形，∴AP CQ =，∵4AP t CQ t ==，，∴4t t =，解得0=t （不合题意），∴不存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分；②存在，如图，连接PB AQ ，，若PQ 与AB 互相平分，则四边形APBQ 是平行四边形，∴AP BQ =，∴45t t =−， ∴5s 3t =， ∴当5s 3t =时，PQ 与AB 互相平分；（4）当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时，如图，由对称得，PAQ P AQ '∠=∠，∵AD BC ∥，∴PAQ AQB ∠=∠，∴P AQ AQB '∠=∠，即BAQ AQB ∠=∠，∴3BQ AB ==，∴2CQ BC BQ =−=，∴42t =，解得12t =；当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时，如图，由对称得，12∠=∠，∵AD BC ∥，∴13∠=∠，∵24∠∠=∴3=4∠∠，∴3BQ AB ==，∴8CQ BC BQ =+=，∴48t =，解得2t =，综上所述，t 的值为12或2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．如图，矩形ABCD 中，4CD =，30CBD ∠=︒．一动点P 从B 点出发沿对角线BD 方向以每秒2个单位长度的速度向点D 匀速运动，同时另一动点Q 从D 点出发沿DC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 、Q 运动的时间为t 秒()0t >．过点P 作PE BC ⊥于点E ，连接EQ ，PQ ．(1)求证：PE DQ =；(2)四边形PEQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．(3)当t 为何值时，PQE V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)能，83t =(3)当2t =或165，见解析【分析】（1）由垂直得90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，由30CBD ∠=︒，可得PE t =，即可证明结果；（2）先证明四边形PEQD 是平行四边形，82PD t =−，DQ t =，当PD DQ =时，四边形PEQD 为菱形，即可求解；（3）分类讨论：①当90EPQ ∠=︒，②当90PQE ∠=︒，③当90PEQ ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵PE BC ⊥，∴90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，∵30CBD ∠=︒，∴PE t =，又∵DQ t =，∴PE DQ =；（2）解：能，理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，PE BC ⊥，90BEP C ︒∠==∠，∴PE DQ ∥，由（1）知，PE DQ =，∴四边形PEQD 为平行四边形，在Rt CBD 中，4CD =，30CBD ∠=︒，∴28BD CD ==，∵2BP t =，∴82PD BD BP t =−=−，若使平行四边形PEQD 为菱形，则需PD DQ =，即82t t −=， ∴83t =，即当83t =时，四边形PEQD 为菱形；（3）解：①当90EPQ ∠=︒时，四边形EPQC 为矩形，∴PE QC =，∵PE t =，4QC t =−，∴4t t =−，即2t =；②当90PQE ∠=︒时，90DPQ PQE ∠=∠=︒，在Rt DPQ 中，906030PQD ∠=︒−︒=︒，∴2DQ DP =，∵DQ t =，82DP t =−∴()282t t =−，即165t =．③当90PEQ ∠=︒时，此种情况不存在，综上所述，当2t =或165时，PQE V 为直角三角形．【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键．(1)=a ______cm ，b =______cm ；(2)t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？(3)另有一点Q 从点E 出发，按照E D C →→的路径运动，且速度为1cm /s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，BPQ V 的面积等于26cm ．【答案】(1)3，3(2)2s =t(3)3s 2或11s 3或5s【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值；（2）先求出18cm BCDE C =四边形，可得9cm BE BP +=，可求4cm BP =，即可求解；（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）∵()230a −=，∴30,290a a b −=+−=，∴3,3a b ==；故答案为：3，3；（2）∵3cm,3cm AE DE ==，∴6cm AD BC ==，∴18cm BCDE C BC CD DE EB =+++=四边形，∵EP 把四边形BCDE 的周长平分，∴9cm BE BP +=，∴4cm BP =，点P 在BC 上，∴42s 2t ==；（3）①点P在BC上(03)t<≤，∵12462BPQtS=⨯⨯=V，∴3.2t=；②相遇前，点P在CD上13 (3)3t<≤，∵[]1(4(3)(26)662BPQS t t=⨯−−−−⨯=，∴113t=；③相遇后，点P在CD上13(5)3t<≤，∵[]1(3)(26)4662BPQS t t=⨯−+−−⨯=，∴.5t=；∴综上所述，当3s2t=或11s3或5s时，BPQV的面积等于26cm．【点睛】本题考查了矩形的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论思想是解本题的关键．角形与DCQ全等．【答案】(1)1(2)54t=或4或232(3) 3.5t=，5.5或10【分析】（1）根据题中条件求出AP 的长即可求解；（2）分三种情况讨论：①当点P 在AB 上时，②当点P 在BC 上时，③当点P 在AD 上时；（3）连接CQ ，要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ，分类讨论即可．【详解】（1）解：动点P 的速度是2cm/s ，∴当2t =时，224AP =⨯=，∵5cm AB =，∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时，CDP △是等腰三角形，∴PD CP =，在长方形ABCD 中，,90AD BC A B =∠=∠=︒，∴()HL DAP CBP ≌，∴AP BP =， ∴1522AP AB ==，∵动点P 的速度是2cm/s ， ∴54t =；②当点P 在BC 上时，CDP △是等腰三角形，如图所示，∵90C ∠=︒，∴5CD CP ==，∴3BP CB CD =−=， ∴53422AB BP t ++===；③当点P 在AD 上时，CDP △是等腰三角形．如图所示，∵90D Ð=°，∴5DP CD ==， ∴585523222AB CB CD DP t ++++++===，综上所述，54t =或4或232时，CDP △是等腰三角形；（3）解：根据题意，如图，连接CQ ，∵5,90,6AB CD A B C D DQ ==∠=∠=∠=∠=︒=，∴要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ．①当点P 运动到1P 时，16CP DQ ==，此时1DCQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：1527AB BP +=+=， ∴72 3.5t =÷=；②当点P 运动到2P 时，26BP DQ ==，此时2CDQ ABP △≌△， ∴点P 的路程为：25611AB BP +=+=，∴112 5.5t =÷=③当点P 运动到3P 时，35AP DQ ==，此时3CDQ BAP △≌△， ∴点P 的路程为：3585220AB BC CD DP +++=+++=， ∴20210t =÷=，④当点P 运动到4P 时，即P 与Q 重合时，46DP DQ ==，此时4CDQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：4585624AB BC CD DP +++=+++=∴24212t =÷=，此结果舍去，不符合题意，综上所述，t 的值可以是： 3.5t =，5.5或10．【点睛】本题考查了动点问题，灵活运用分类讨论思想是解题关键．。

数学动点问题经典题型

动点问题1、如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）．（1）求△ABC 的面积；（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''；（3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCS S=；（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQABCSS=．3、如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0，－3）. (1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位，得到△DEF ，延长ED 交y 轴于C 点，过O 点作OG ⊥CE ，垂足为G ；(2) 在(1)的条件下，求证: ∠COG ＝∠EDF ；（3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点分别是A （0，0），B （7，0），C （9，5），D （2，7）（1）在坐标系中，画出此四边形；（2）求此四边形的面积；（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50，若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．y P O C B A图1y xH O F ED A C B yQP DACO5、在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24. （1）线段BC 的长为，点A 的坐标为；（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，∠ECF 与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.6.如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A (0，a )，C (b ，0)220a b b --=．(1) 则A 点的坐标为___________，C 点的坐标为__________；(2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是(1，2)，设运动时间为t (t ＞0)秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝ S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE OEC ∠+∠∠的值是否OCE FHGy xA6、如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．（1）求三角形ABC 的面积；（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．10、在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．xy OCBAP QxyOCBA（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间，使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．11、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结PA ，PB ，使S △PAB ＝S △PDB ，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明理由；（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？12、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）．（1）求△ABC 的面积（2）点D 为y是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n G 是x 轴上一点，若△ABG 点G 的坐标为（用含n1、如图，正方形ABCD 的边长是１cm ，E 为CD 的中点．P 为正方形边上的一个动点，动点P 从A 出发沿A →B →C →E 运动，最终到达点E ，若点P 经过的路程为x cm ．备用图（1）当x ＝1cm 时，求△APE 的面积；（2）若△APE 的面积为31，求x 的值．2、如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．P 是AB 的中点，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿A →D →C →B 的方向运动，设Q 点运动的时间为x (秒)．（1）求AP 的长．（2）若△APQ 的面积为S (平方单位)，用含x 的代数式表示S （0<x <8）．（3）如果点M 与点Q 同时从点A 出发，点M 以每秒3个单位的速度沿A →B →C →D 的方向运动；当M 、Q 两点相遇时，它们同时停止运动.在整个运动过程中,△AQM 按角来分类可以是什么三角形，请写出相应x 的取值范围．AD CBE P xADCBE备用图A D CBE备用图。

平面极坐标系面积动点问题

平面极坐标系面积动点问题在平面极坐标系中，存在着一种有趣的问题，即关于面积动点的问题。

在这种问题中，我们通常要求确定一个动点所对应的面积大小。

问题描述考虑一个平面极坐标系，以原点为中心，从原点发出的一条射线上有一个动点P。

当动点P沿着射线移动时，射线P与两条半径为r1和r2的圆交于两个点A和B。

我们的目标是确定点A、B和动点P所构成的扇形的面积。

解决方法为了解决这个问题，我们可以使用几何分析的基本原理和性质。

根据平面极坐标系的特点，我们可以将扇形的面积计算为扇形对应的圆心角度量与圆的半径乘积的一半。

首先，我们可以计算扇形对应的圆心角度量。

根据动点P在射线上的位置，我们可以确定它与圆的交点A和B。

然后，我们可以计算圆心角AOB，其中O为原点。

圆心角的计算可以通过使用三角函数来获得。

接下来，我们需要计算圆的半径。

根据射线和圆的性质，我们可以得到射线与圆的交点A和B与原点O的距离r1和r2。

由此，我们可以确定圆的半径为r2 - r1。

最后，我们可以将圆心角度量和圆的半径代入扇形面积的计算公式，计算出最终的面积大小。

示例假设动点P沿着射线移动到与圆半径r1和r2相交的位置，此时我们可以进行如下计算：1. 确定与射线相交的点A和B的位置。

2. 计算圆心角度量AOB。

3. 计算圆的半径r2 - r1。

4. 根据扇形面积计算公式，计算出面积大小。

这样，我们就可以得到动点P对应的面积大小。

总结平面极坐标系中面积动点问题是一个有趣且富有挑战性的几何问题。

通过将几何原理和性质应用于该问题，我们可以计算出动点对应的面积大小。

这种问题的解决方法相对简单，但也需要一定的数学和几何知识。

通过分析和求解这类问题，我们可以提高自己的几何思维能力和问题解决能力。

动点问题之面积最值问题

不重合），过点�� 作��轴的平行线交��于点��．
二次
（1）求该二次函数的解析式：（2）若设点��的横坐标为��，用含m的代数式表示线段��的长；
函
（3）求△ ��面积的最大值，并求此时点��的坐标．
练习1：如图，在平面直角坐标系中，点��、��的坐标分别为 −1 , 0 , (0 ,
−3 ) ，点��在��轴上．已知某二次函数的图象经过��、��、��三点，且它的对称轴
为直线 �� = 1 ，点��为直线��下方的二次函数图象上的一个动点（点 �� 与 ��、��
动点问题之面积最值问题综述：动点问题是初中数学问题中的一个大类的问题，因为其具有动态性、变化性的特点，特别能考查学生的数学能力，所以备受中考出题老师的青睐。主要包括线段的最值问题、利润的最值问题、面积的最值问题等，多数考查一次函数或二次函数的性质，题目难度中等偏难，同学们感到这类问题棘手多数是因为没能掌握这类问题的解题套路（方法和技巧）。昊南老师查阅大量的中考真题后发现，此类问题单独考查的情形比较少，大多数会做为二次函数压轴题的第二问或第三问出现，分值为3分或4 分，本文昊南老师和大家一同探讨一下面积最值的问题。
数
最
值Hale Waihona Puke 问题【解析】二次函数最值问题

七年级上册数学动点问题

七年级上册数学动点问题
动点问题是指在几何图形中，点的坐标发生变化时，研究图形的变化规律的问题。

在七年级上册数学中，动点问题主要包括以下几种类型：
1. 动点轨迹问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点的轨迹。

例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A的轨迹。

2. 动点距离问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点到另一个固定点的距离。

例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A到定点P(a, b)的距离。

3. 动点面积问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点与另一个固定点围成的图形的面积。

例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A与定点P(a, b)围成的三角形的面积。

4. 动点角度问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点与另一个固定点连线与某个方向的夹角。

例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A与定点P(a, b)连线与x轴的夹角。

5. 动点对称问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点关于某个固定点的对称点的坐标。

例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A关于定点P(a, b)的对称点的
坐标。

解决动点问题的关键是找出动点的坐标变化规律，然后根据题目要求求解相应的几何量。

在解题过程中，要注意运用所学的几何知识，如平行线、垂直线、相似三角形等性质。

与最值有关的几何动点问题

与最值有关的几何动点问题一、引言几何动点问题是数学中的一个重要分支，它研究的是在几何图形中，随着某个点的移动，某些量的变化情况。

其中，与最值有关的几何动点问题是其中的一个重要问题，它涉及到了最大值、最小值等数学概念，具有一定的难度和深度。

本文将从不同的角度出发，探讨与最值有关的几何动点问题。

二、与最值有关的几何动点问题1. 最大面积问题在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个定点，求以该点为顶点，该直线为一条边的三角形面积的最大值。

解法：设该点坐标为$(x_0,y_0)$，直线方程为$y=kx+b$，则三角形面积为$S=\frac{1}{2}|kx_0-y_0+b|\sqrt{1+k^2}$。

由于$\sqrt{1+k^2}$为常数，因此问题转化为求$|kx_0-y_0+b|$的最大值。

根据绝对值的性质，$|kx_0-y_0+b|$的最大值为该点到直线的距离，即$|kx_0-y_0+b|=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{k^2+1}$。

因此，问题转化为求该点到直线的距离的最大值，即该点到直线的垂线段的长度的最大值。

由于垂线段的长度为$\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$，因此问题转化为求该点到直线的垂线段长度的最大值。

根据数学知识可知，该垂线段长度的最大值为该点到直线的垂线段的中点的距离，即$\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}$。

因此，三角形面积的最大值为$\frac{1}{2}\cdot\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{1+k^2}=\frac{|kx_0-y_0+b|}{4}$。

2. 最小距离问题在平面直角坐标系中，给定两条不平行的直线，求它们之间的最短距离。

解法：设两条直线的方程分别为$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，则它们之间的距离为$\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}$。

中考二次函数动点中的面积问题

中考中的动点问题一、（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A ，B ，与x 轴分别交于点E ，F ，且点E 的坐标为（﹣2/3，0），以0C 为直径作半圆，圆心为D ．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE 是⊙D 的切线；（3）若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，M 是线段CB 上的一个动点（点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN∥BE 交x 轴与点N ，连结PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．二、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.三、（2012 荷泽）如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1四、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。