安徽省安庆市2014届高三第二次模拟考试数学(理)试题(纯Word版)

2014年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 已知i 为虚数单位，复数i z +=1，z 为其共轭复数，则22z z z-等于A. i --1B. i -1C. i +-1D. i +12. 已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中 阴影部分所表示的集合为 A. }1,1{-B.}3{C.}3,2{D. }3,2,1{3. 已知等差数列{}n a 中，86543=+-+a a a a ，则=7S A.8 B.21 C.28D.354. 在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎 叶图如图所示，但其中在∆处数据丢失.按照规则，甲、乙 各去掉一个最高分和一个最低分，用x 和y 分别表示甲、 乙两位选手获得的平均分，则 A. x y > B. x y <C. x y =D. x 和y 之间的大小关系无法确定 5. 右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为A. 2B.32 C.34 D.38 6. 在极坐标系中，圆C:)4πρθ=+上到直线l ：2cos =θρ距离为1的点的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图第4题图 第5题图7. 已知离心率为e 的椭圆有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，若123F PF π∠=，则e 等于B.25 C.D.38. 数列{}n a 共有5项，其中01=a ，25=a ，且11=-+i i a a ，4,3,2,1=i ，则满足条件的不同数列的个数为 A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知点)1,2(A 、)3,1(B ，直线01=+-by ax ),(+∈R b a 与线段AB 相交，则()221b a +-的最小值为A.510 B.52 C.552 D.54 10. 设12x <<，则ln x x 、2ln x x ⎛⎫⎪⎝⎭、22ln x x 的大小关系是A. 222ln ln ln x x xx x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. 222ln ln ln x xx x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 （非选择题 满分100分）二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分）11. 如果52))(1(a x x x -++（a 为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含4x 项的系数为 .12. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若b c a 322=-，且C A B sin cos 8sin =,则边b 等于 .13. 在如图所示的程序框图中，若输出的6=n ，则输入的T 的最大值为 . 14. 已知函数x m x x f -+=21)(有三个零点，则实数m 的取 值范围为 . 15. 如图，设),0(πα∈，且2πα≠.当α=∠xoy 时，定义平面坐标系xoy 为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中,任意 一点P 的斜坐标这样定义：21,e e 分别为与x 轴、y 轴正 向相同的单位向量，若21e y e x OP +=，则记为),(y x OP =， 那么在以下的结论中，正确的有 . （填上所有正确结论的序号）①设),(n m a =、),(t s b =，若b a =，则t n s m ==,； ②设),(n m a =22n m +；③设),(n m a =)t ，若b a //，则0=-ns mt ； ④设),(n m a =、),(t s b =，若b a ⊥，则0=+nt ms ；⑤设)2,1(=a 、)1,2(=b ，若a 与b 的夹角3π，则32πα=.三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分12分）已知向量))4cos(3),4(sin(ππ+-+=x x ，))4cos(),4(sin(ππ-+=x x ，函数n m x f ⋅=)(，R x ∈.（Ⅰ）求函数)(x f y =的图像的对称中心坐标； （Ⅱ）将函数)(x f y =图像向下平移21个单位，再向左平移3π个单位得函数)(x g y =的图像，试写出)(x g y =的解析式并作出它在5[,]66ππ-上的图像.17．（本题满分12分）某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A 、B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分. 其规则是：按先A 后B 再A 的顺序投 篮.教师甲在A 和B 点投中的概率分别是1123和，且在A 、B 两点投中与否相互独立. （Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若教师乙与甲在A 、B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.18.（本题满分12分）已知函数x xax x f ln )(++=，（R a ∈）. （Ⅰ）若)(x f 有最值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当2≥a 时，若存在1x 、2x 12()x x ≠，使得曲线)(x f y =在1x x =与2x x =处的切线互相平行，求证：821>+x x .第12题图第15题图第16题图19．（本题满分13分）如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且22AB AD a ==.（Ⅰ）求证：EA EC ⊥；（Ⅱ）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.20.（本题满分13分）已知椭圆E 的方程为11tan tan 222=++ααy x ,其中)2,0(πα∈.（Ⅰ）求椭圆E 形状最圆时的方程；（Ⅱ）若椭圆E 最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点P ，证明：点P 在一个定圆上.21．（本题满分13分）已知数列{}n a 满足a a =1，nn n a a a λ+=+21，(R a ∈λ,)（Ⅰ）若2-=λ，数列}{n a 单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若2=a ，试写出2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件，并证明你的结论.2014年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 解析：i z -=1，i i i i i zz z --=--=-+-+=-1121)1(2)1(222，选A. 第19题图2. 解析：}1{<∈=x R x B ,则A B =I }1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D.3. 解析：由86543=+-+a a a a 得853=+a a ，所以871=+a a ，282)(7717=+⨯=a a S ，选C.4. 解析：设图中甲、乙丢失的数据分别为b a ,，则16805a x +=+，26805y =+，∵0 9a ≤≤，∴1625808055a x y +=++<≤,选B. 5. 解析：多面体ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其 体积38344=-=V ，选D. 6. 解析：直线的方程为2=x ，圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=，圆心到直线的距离为1，故圆C 上有2个点到l 距离为1，选B.7. 解析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，1PF m =，2PF n =，且不妨设m n >，由 12m n a +=，22m n a -=得12m a a =+，12n a a =-.又123F PF π∠=，∴222221243c m n mn a a =+-=+，∴22122234a a c c+=234e +=，解得e =，选C. 8. 解析：设i i i a a b -=+1，1,2,3,4i =，则i b 等于1或-1，由554433221()()()()a a a a a a a a a =-+-+-+-1234b b b b +++=， 知i b )4,3,2,1(=i 共有3个1，1个-1.这种组合共有414=C 个，选B.9. 解析：由已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≤+-≥+-00013012b a b a b a ，作出可行域，令()221ba d +-=，则d 的最小值为点)0,1(到直线013=+-b a 的距离，此时510min=d ， 第9题图所以()221b a +-的最小值为52，选B. 10. 解析：令()ln (12)f x x x x =-<<，则11()10x f x x x-'=-=>， 所以函数()(12)y f x x =<<为增函数，∴()(1)10f x f >=>，∴ln 0x x >>⇒ln 01x x <<，∴2ln ln x xx x ⎛⎫<⎪⎝⎭.又2222ln ln 2ln ln (2)ln 0x x x x x x xx x x x ---==>， ∴222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，选A . 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上) 11. 解析：∵ 52))(1(a x x x -++的展开式所有项的系数和为0)1)(111(52=-++a ， ∴ 1a =，∴52))(1(a x x x -++4434352)1()1()1)(1()1)(1(---=--=-++=x x x x x x x x ，其展开式中含4x 项的系数为330044C (1)C (1)5---=-.12. 解析：由C A B sin cos 8sin =及正、余弦定理知：bca cbc b 28222-+⨯=，整理得22243c b a +=，由b c a 322=-联立解得：4=b .13. 解析：当输出的6=n 时，512263S =+++=L ，设输入的T 值为0T ,003(125)45T T T =-+++=-L , 且T S ≥,解得0108T ≤.T 最大值为108.14. 解析：函数()f x 有三个零点等价于方程12m x x =+有且仅有三个实根. ∵11(2)2m x x x x m=⇔=++，作函数(2)y x x =+的图像，如图所示，由图像可知m 应满足：101m<<，故1m >.15. 解析：αcos 222mn n m +++，∵2πα≠，所以②错误；由//得()b a R λλ=∈r r,所以,s m t n λλ==，所以0=-ns mt ，故③正确；∵1212()()()cos a b me ne se te ms nt mt ns ms nt α⋅=+⋅+=+++≠+r r u r u r u r u r，所以④错误；根据夹角公式><⋅b a b a ,1245a b e e ⋅=+⋅r ru r u r得121245(54)cos 3e e e e π+⋅=+⋅u r u r u r u r ，故1212e e ⋅=-，即1cos 2α=- 23πα∴=，⑤正确所以正确的是①、③、⑤.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）解析：（Ⅰ）x f ⋅=)()4cos()4cos(3)4(sin 2πππ-+-+=x x x21)32sin(2cos 23)2sin 1(21+-=-+=πx x x …………4分由于0)32sin(=-πx 得：Z k k x ∈=-,32ππ，所以Z k k x ∈+=,621ππ. 所以)(x f 的图像的对称中心坐标为Z k k ∈+),21,621(ππ …………6分 （Ⅱ）)(x g =)32sin(π+x ，列表：描点、连线得函数()y g x =在5[,]66ππ-上的图象如图所示：17．（本题满分12分）解答：设“教师甲在A 点投中”的事件为A ，“教师甲在B 点投中”的事件为B . （Ⅰ）根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7…………12分61)311()211()()0(2=-⨯-=⋅⋅==A B A P X P ，31)211()311(21)()2(12=-⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅== C A B A A B A P X P 121)211(31)211()()3(=-⨯⨯-=⋅⋅==A B A P X P6121)311(21)()4(=⨯-⨯=⋅⋅==A B A P X P6131)211(21)()5(12=⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅==C A B A A B A P X P121213121)()7(=⨯⨯=⋅⋅==A B A P X P …………6分 所以X 的分布列是：312176156141213312610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………8分 （Ⅱ）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形. 这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P 为：1111111111111111()()()(1)361263663126631261212P =⨯+⨯++⨯+++⨯++++⨯-571914448==…………12分 18.（本题满分12分）解析：（Ⅰ） 22211)(xax x x x a x f -+=+-='，),0(+∞∈x 由a 41+=∆知， ①当41-≤a 时，0)(≥'x f ，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值； ②当041≤<-a 时，02=-+a x x 的两根均非正，因此，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值；③当0>a 时，02=-+a x x 有一正根2411a x ++-=，)(x f 在)2411,0(a++-上递减，在),2411(+∞++-a上递增；此时，)(x f 有最小值；所以，实数a 的范围为0>a . …………7分 （Ⅱ）证明：依题意：1)11(111121222121=+⇒+-=+-x x a x x a x x a ， 由于0,021>>x x ，且21x x ≠，则有22121212121)2()(22x x x x x x x x x x a +<⋅≤+⇒≥+⋅=22121)2()(2x x x x +<+∴821>+⇒x x . …………12分19.（本题满分13分）解答：（Ⅰ）∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊆平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，∴EA ⊥平面EBC ,∴EA EC ⊥.…………6分(Ⅱ) 如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC知6BAE π∠=，∴3BOE π∠=，∴1,,0)2E a ，由题设可知(0,,)C a a ，(0,,)D a a -，∴3,,)2DE a a a =-uuu r，1,,)2CE a a =--uur .设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =u r ，由0DE p ⋅=uuu r u r ，0CE p ⋅=uur u r得00z x =，00y =，取02x =，得0z =∴p =u r .又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =r，∴cos ,p q <>=u r r.第19题图平面DCE 与平面AEB. …………13分 （其他解法可参考给分）20.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）根据已知条件有0tan >α，且ααtan 1tan 2>+，故椭圆E 的长轴在y 轴上.e ==≥=，当且仅当4πα=时取等号. 由于椭圆E 的离心率e 最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为2212y x +=.…………5分（Ⅱ）设交点P ),(00y x ，过交点P 的直线l 与椭圆2212y x +=相切.(1)当斜率不存在或等于零时，易得P 点的坐标为P (1,±. …………6分 (2)当斜率存在且非零时，则01x ≠±设斜率为k ，则直线l ：00)(y x x k y +-=， 与椭圆方程联立消y ，得：2220000(2)2()()20k x k y kx x y kx ++-+--=. 由相切，2220000[2()]4(2)[()2]0k y kx k kx y ∆=--+--=，化简整理得2220000(1)220x k x y k y -++-=. ①因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故121-=k k ，而21,k k 为方程①的两根，故202211y x -=--，整理得：22003x y +=.又(1,±也满足上式，故P 点的轨迹方程为223x y +=，即P 点在定圆223x y +=上. ………13分21.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）若2-=λ，则nn n a a a 221-=+， 由21122000n n n n n n n na a a a a a a a ++->⇔->⇔->⇔>， 得2>n a 或02<<-n a ，所以只需21>a 或021<<-a .所以实数a 的取值范围为(∪)+∞. …………6分 (Ⅱ) 2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件为4-≥λ.必要性：由22≥a ，解出4-≥λ； （另解：假设221≥+=+n n n a a a λ，得n n a a 222+-≥λ，令21)21(2)(2+--=n a n f ， 2≥n a ，可得：4)(max -=n f ，即有4-≥λ.） …………8分 充分性：数学归纳法证明：4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立. 证明：（1）显然1=n 时，结论成立；（2）假设)1(≥=k k n 时结论成立，即2≥k a ，当1+=k n 时，k k k a a a λ+=+21. 考察函数x x x f λ+=2)(，),2[+∞∈x ，① 若 04≤≤-λ，由02)('2>-=x x f λ，知)(x f 在区间),2[+∞上单调递增.由假设得k k k a a a λ+=+2124λ+≥2≥.② 若0>λ，对),2[+∞∈x 总有242)(>>+=x x x f λ， 则由假设得221>+=+k k k a a a λ.所以，1+=k n 时，结论成立，综上可知：当4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立.故2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件是4-≥λ. (13)。