冷轧高纯铝板深冲过程的率无关多晶体有限元分析

冷轧高纯铝板深冲过程的率无关多晶体有限元分析1张少睿, 李大永, 罗应兵, 彭颖红上海交通大学机械工程学院知识工程研究所，（200030）E －mail ：shaoruiz@摘 要：金属材料的各向异性对板材成形性能具有很大影响。

本文建立了率无关多晶体有限元模型，并将取向空间中的晶体取向分配给各个单元的积分点。

从而对面心立方金属轧制板材冲压过程中制耳的大小和分布，采用晶体塑性有限元分析，并通过试验结果进行验证。

高纯铝板在轧制过程主要形成高强的旋转立方织构，织构组分比较单一，因此具有明显的制耳现象，并且制耳呈45度方位。

关键词：面心立方金属，率无关，织构，多晶体塑性模型1. 简 介金属材料经过机械变形或热处理以后通常会显示出各向异性，这种各向异性并将极大地影响到材料成形模拟的准确性。

金属材料的织构组分及其分布与演化等微观性能对宏观成形性能的影响不可忽略，有必要在金属板成形模拟过程中引进微观塑性力学。

近年来，已经有大量研究从事于如何将各向异性参数引入到有限元模拟过程之中。

Anand 等[1] 采用单晶体面心金属模拟冲压中的制耳现象。

Nakamachi 等人[2-7] 建立了弹塑性多晶体有限元模型，并应用于金属板成形分析。

这些研究中，作者均采用的是率相关晶体模型，这种率相关模型不能区分滑移系是否开动。

而实际上，在塑性变形时，滑移系是否开动依赖于滑移系上的剪切应力是否达到开动所需的临界剪切应力。

本文建立了率无关多晶体塑性模型，并将其引入动态有限元显示算法。

为了确定塑性应变率的大小，引入“successive integration method”。

采用潜在硬化模型模拟板材的加工硬化过程，并将取向空间中的初始晶体取向分配给各个单元的积分点。

对冷轧铝板的深冲过程进行了率无关多晶体塑性有限元分析，并和试验结果进行对比。

2． 率无关晶体塑性有限元模型2.1 晶体变形运动学设变形前第s个滑移系滑移方向的单位向量以n (s)表示，滑移面的单位法向量为m*(s)。

晶体塑性变形后将产生晶格畸变，滑移方向及滑移面法向将变为n*(s)和 m*(s)。

则当前构形的应变率塑性张量D p 及晶格旋转张量pω分别为： ∑==M s s 1)(γ (s)ijpij L D (s)Ms γ ∑==1(s)ij p ij W ω (1)1 本课题得到教育部博士点基金（20030248029）资助其中sγ 表示第s 滑移系的滑移剪切率，求和将对所有激活的滑移系进行，M 是滑移系的数目，并且有：)(21(s)i (s)j (s)j (s)i (s)ij m *n *n *m L += (2) )(21(s)i (s)j (s)j (s)i (s)ij m *n *n *m W −= (3) 则晶体塑性连续方程可以写为：()1()M s s γ∇==−∑e(s)ij ijklkl kl σC D L (4) 其中ij σ∇ 是Kirchhoff 应力率张量的Jaumman 增量, eijkl C 是弹性系数矩。

2.2塑性应变增量的确定第S 个滑移系上的剪切应力为：ij (s)ij σL =)(s τ (5)根据schmid 定律有s s s k sign =)()()(ττ (6)其中s k 是第S 个滑移系上的临界剪应力。

其中滑移系是否已经开动，可由以下条件进行判据：0)()()(≥s s sign γτ 滑移系已开动s s s k sign <)()()(ττ 滑移系为开动率无关晶体塑性力学的关键问题就是活化滑移系的确定，为了确定滑移系是否开动，Takahashi 提出了一种相对简单的“successive integration method”[ 8]。

对所有的滑移系都有： s s Y d dX G =⋅)/(2ρ (7)其中ρ (≥0) 是连续递增的类似时间的参数，G 剪切模量。

并且有：)()()sgn(s s s X γτ = (8)s ij s ij s s k L Y −=στ)()()sgn( (9)以上方程根据以下两个条件进行连续迭代：1. 初始条件： 0=s X 当0=ρ,1. 恒定条件：当s X 变为负值时令 0=s X .其中，剪切应变可由式（5）计算得到，并采用下式更新：γγγρρρ d d +=+ （10）进行连续迭代直至所有s X 保持不变，此时所有滑移系必须隶属于：a) 0>s X and 0/=ρd dX s ,活动滑移系;b) 0=s X and 0/<ρd dX s ,未激活的滑移系.2.3晶体的应变硬化模型在多晶体变形过程中，由于同时有多个滑移系启动，并且每一个滑移系均对各个滑移系上的硬化状态产生影响。

因此，在滑移系S 上，流动应力增量有如下形式：∑=tt st s h γτ(11) 其中st h 为硬化模量，是由Zhou [9]等提出的。

矩阵st h 的对角元素是自硬化模量，非对角元素是潜在硬化模量：st st q h h )(γ= (12)其中γ是所有滑移系上的剪切应变总和，h(γ)为相应的应变模量，q st 为自硬化及潜在硬化系数。

对于面心立方金属，st q 为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C L L L L C L L L L C L L L L C q zt 123132231321 （13） 其中， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111c cc cc c q q q q q q C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=v l l l c l l l v q q q q q q q q q L 1 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=v l l l v ll l vq q q q q q q q q L 2 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c l l l v l l l v q q q q q q q q q L 3Punch5 0.740.3 42 70 Die Blank holder 5 Blank 系数c q ，v q 和l q 是潜在硬化比（l v c q q q <<），由单晶应变试验测得。

参数c q 是共面和共线体系的LHR 值。

不考虑位错的相互作用，c q 可看作常量。

参数v q 是具有与活动滑移面相垂直向量的潜在滑移系体系的LHR 值，硬化程度高于共面或共线体系。

参数l q 是其他潜在滑移系体系的LHR 值。

对于纯fcc 晶体，矩阵st q 不随应变率，应变速率敏感指数的改变而改变。

2.4 晶体取向分配方法本文中假设有限元中的每个积分点代表一个晶粒。

晶体取向我们可以通过试验测定ODF (晶体取向分布函数)数据计算得到，并采用欧拉角表示。

晶体取向分布函数f(g )在取向空间内基本服从三维正态分布，可以认为取向分布函数由正态分布部分和随机分布部分两部分叠加而成[10]:∑=+=SUM1j j r (g)f (g)f f(g) (14)其中， )(g f r 是随机取向分布密度，)(g f j 是正态取向分布函，SUM 是所有可能的取向数。

对某一正态分布g i 的织构组分，可以推导出其体积含量i V 为：)]4/exp(1[212i i oi i i S Z V ψψπ−−= (15)其中i Z 为多重因子，oi S 为正态分布织构组分中心的取向密度值， i ψ为正态取向分布的漫散宽度。

3．有限元深冲模拟将率无关多晶体模型引入到动态显示有限元方法[11]之中，从而进一步分析板材初始织构对深冲制耳现象的影响。

深冲过程的几何示意图如图1所示：极图数据采用自动x 射线衍射仪对板材的中心截面进行测量。

ODF 数据通过三组不完整{111}, {200} and {220}极图数据拟合，并采用欧拉角),,(21φφφg 表示。

轧制高纯铝板的实图1 冲压几何尺寸图图3 成形后制耳轮廓图 验ODF 如图2所示。

由图中可知冷轧高纯铝板主要由{001}<110> 织构组成，其他织构组分强度较弱，呈现出相对单一织构取向分布。

基于以上理论，将初始织构分配给有限元模型中的各个积分点上，并进行数值计算。

其他所需的材料参数为：弹性模量E =69GPa, 泊松比v =0.3, 板厚t =0.7mm。

由于深冲的对称性，仅对板材的四分之一模型进行分析，并划分为770个四节点Mindlin壳单元。

模拟结果如图3所示。

由于冷轧织构中{001}<110> 织构的强度及含量远远高于其他织构， 织构组分相对单一，因此板材具有强烈的各向异性，深冲后形成45度方位的制耳。

图4为冷轧高纯铝板冲压后的杯高的轮廓曲线，根据几何对称性，只选取θ＝0º－90º范围内的冲杯部分，θ为板面和轧制方向之间的夹角。

可以看出，基于率无关多晶体塑性有限元模拟可较好的预测各向异性板材的制耳倾向。

冲杯的ODF 数据可以分别通过计算及试验数据拟合得到。

试验与模拟结果的对比见图5，模拟结果可以较好的与试验结果相匹配。

由于初始织构的离散化，模拟结果具有较强的趋向聚集和密度峰值。

深冲以后，板材中{001}<110> 织构强度减弱，立方织构强度有所增加，并出现新的高强织构组分：{124}<211> 织构。

说明在深冲过程中轧制织构{001}<110> 织构为不稳定取向，并向立方织构方向转动； {124}<211> 织构在深冲过程中为稳定取向，其他织构组分在深冲变形过程中逐渐聚集在{124}<211> 织构组分附近。

图2 冷轧铝板ODF 图图4 深冲后制耳分布图4. 结 论本文建立了率无关多晶体塑性模型，并将其引入动态显示算法，并将取向空间中的晶体取向分配给各个单元的积分点。

数值模拟结果可以较好的预测出制耳倾向，并和试验结果相一致。

冷轧织构含有较强烈的{001}<110> 织构，从而深冲后形成了明显的45º 制耳。

参考文献1. Anand L., Balasubramanian S., Polycrystal Plasticity: Application to Earing in Cup Drawing [J], Annals of the CIRP, 1996, V ol. 45(1):263-2682. Xie C. L., Nakamachi E., Investigations of the formability of BCC steel sheets by using crystalline plasticity finite element analysis [J], Materials and Design, 2002, V ol. 23: 59-683. Nakamachi E., Xie C. L., Harimato M., Drawability assessment of Bcc steel by using elastic/crystalline viscoplastic finite element analysis[J], Int. J. of Mech. Sci., 2001,V ol. 43:631-6524. Nakamachi E., Hiraiwa K., Morimoto H., Harimoto M., Elastic/crystalline viscoplastic finite element analyses of single- and poly-crystal sheet deformations and their experimental verification, Int. J. of Plas. [J], 2000, V ol. 16:1419-14415. Nakamachi E., Dong X., Elastic/crystalline viscoplastic finite element analysis of dynamic deformation of sheet metal[J], Int. J. Computer-Aided Engrg. Software, 1996, V ol. 13:308-3266. Nakamachi E., Dong X., Study of texture effect on sheet failure in a limit dome height test by using elastic/crystalline viscoplastic finite element analysis[J], J. Appl. Mech. Trans. ASME(E), 1997, V ol. 64:519-5247. Nakamachi E., Huo T., Dynamic-explicit elastic plastic finite-element simulation of hemispherical punch-drawing of sheet metal. Engineering Computations[J], 1996, V ol. 13: 327-3388. Takahashi, H., Stress-strain relations of polycrystalline metals: 3. Proportional loading of FCC Metals[J], Bull. J. （a ）模拟ODF 分布 （b ）实验ODF 分布图5 冲杯ODF 分布的模拟及实验对比图Soc. Mech. Eng., 1976, V ol. 19:11159. Pierce, D., Asaro, R. J. and Needleman, A., Material rate dependent and localized deformation in crystalline solids[J], Acta Metall. 1983, V ol. 31:1951-197210. Lueke K., Pospiech J., Virnich K. H., Jura J., On the Problem of the Reproduction of the True Orientation Distribution from Pole Figures, Acta. Metall.[J], 1981, V ol. 29: 167-18511. Li Da-yong, Hu Ping, Wang Jin-cheng, An Effective Numerical Method for Drawbead Force of Stamping Sheet Metals, Chinese Journal of Applied Mechanics[J], 2001, 18(1): 58-64.Analysis of The Rolled Sheet Metal during Deep Drawing with Rate-Independent FEM ModelZhang Shaorui, Li Dayong, Luo Yingbing, Peng Yinghong School of Mechanical Engineering, shanghai Jiaotong Uni., Shanghai 200030, P. R. ChinaAbstractIt has long been found that, during deformation process, the crystal orientations would gradually rotate around some ideal orientations, and then would affect the later deformation properties of sheet metal. So it is very important to introduce texture model into metal forming processes. In this paper, a rate-independent polycrystalline plasticity model is developed and introduced into dynamic explicit element method. Next, a new orientation probability assignment method is proposed and the crystal orientations are assigned to FE integration points, and one point is one crystal. Then cup drawing of rolled aluminum sheet is studied using crystalline plasticity finite element analysis。