离散数学(b)_1001
黑龙江省考研数学复习资料离散数学基本概念回顾
黑龙江省考研数学复习资料离散数学基本概念回顾黑龙江省考研数学复习资料：离散数学基本概念回顾离散数学作为数学的一个重要分支，是计算机科学和信息技术领域所必备的知识之一。
本文将对离散数学的基本概念进行回顾，以供黑龙江省考研数学复习使用。
一、集合论在离散数学中，集合论是最基础的概念之一。
集合是由一些特定对象组成的整体，常用大写字母表示。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
集合之间的关系包括包含关系、相等关系、交集、并集等。
1. 包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集（A⊆B）；若A是B的子集，并且B中还有不属于A的元素，则称A是B的真子集（A⊂B）。
2. 相等关系：若A是B的子集，并且B是A的子集，则称A和B相等（A=B）。
3. 交集与并集：集合A和集合B的交集（A∩B）是指既属于A又属于B的所有元素所组成的集合；集合A和集合B的并集（A∪B）是指属于A或属于B的所有元素所组成的集合。
二、命题与逻辑运算离散数学中的命题是指可以判断真假的陈述句。
命题可以使用逻辑运算进行组合和推理。
1. 逻辑运算符：包括非（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。
2. 预算表：逻辑运算符的真假取值可以通过真值表进行表示，以明确逻辑表达式的真假情况。
三、关系和函数关系和函数是离散数学中的重要概念，它们描述了元素之间的联系和映射关系。
1. 关系：关系是元素之间的对应关系或者说集合之间的子集。
常见的关系有等价关系、偏序关系和全序关系等。
2. 函数：函数是一种特殊的关系，它将集合A中的每个元素映射到集合B中的唯一元素上。
函数可以表示为f：A→B。
其中，A是函数的定义域，B是函数的值域。
四、图论图论是离散数学中的另一个重要分支，主要研究图的性质和图之间的关系。
1. 图：图由节点和边构成，用来描述节点之间的连接关系。
图分为有向图和无向图，其中有向图的边具有方向性。
2. 图的属性：常见的图的属性包括路径、回路、连通性等。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学基础知识
离散数学基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的数学基础学科，它研究离散对象的性质和关系，主要涉及逻辑、集合论、图论、代数结构等方面的内容。
具备扎实的离散数学基础知识对于计算机科学领域的学习和研究都具有重要的意义。
本文将重点介绍离散数学的一些基础知识。
1. 逻辑逻辑是离散数学的基础，它研究判断和推理的规则。
在计算机科学中，逻辑常常用于描述程序的正确性和推理的过程。
逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑两个分支。
命题逻辑研究命题与命题之间的关系，它使用命题变量和逻辑运算符来构造复合命题。
常见的逻辑运算符有非（¬）、与（∧）、或（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。
通过逻辑运算符的组合，可以构建出复杂的逻辑表达式，并通过真值表来确定表达式的真值。
谓词逻辑是对命题逻辑的扩展，它引入了量词和谓词，用于描述对象之间的关系。
谓词逻辑包括一阶逻辑和二阶逻辑两个分支。
一阶逻辑主要研究命题中包含变量的情况，而二阶逻辑则允许变量代表集合或者谓词。
2. 集合论集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究集合及其运算和关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于描述数据类型、数据结构和算法等方面。
集合是由一些确定的对象组成的整体，可以用罗素概念公理或者包含-属于公理来描述。
常见的集合运算有并（∪）、交（∩）、差（-）和补（\）等。
通过这些运算，可以构建出各种复杂的集合。
集合论中的函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数可以用来描述计算机程序中的算法和操作。
常见的函数类型有单射、满射、双射等。
3. 图论图论是离散数学的一个重要分支，它研究图的性质和关系。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络、算法和人工智能等方面。
图是由顶点和边组成的结构，可以用来描述对象之间的关系。
图的类型包括有向图和无向图，以及它们的变种如加权图和带标签的图等。
图的常见概念有度、路径、连通性和环等。
图的表示方法有邻接矩阵和邻接表两种。
邻接矩阵使用二维数组来表示顶点之间的连接关系，邻接表则使用链表来表示边的信息。
离散数学课后习题答案第四章
离散数学课后习题答案第四章离散数学课后习题答案第四章第⼗章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的⼆元运算是否封闭：（1）整数集合Z 和普通的减法运算。
封闭,不满⾜交换律和结合律，⽆零元和单位元（2）⾮零整数集合普通的除法运算。
不封闭（3）全体n n ?实矩阵集合（R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律；加法单位元是零矩阵，⽆零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。
不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为 +?-=--?=R 1111111ο（6）n关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律加法单位元是0，⽆零元；乘法⽆单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n运算定义如下：封闭不满⾜交换律，满⾜结合律，（8）S =关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律（9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满⾜交换律，结合律（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满⾜交换律，结合律10．令S={a ，b}，S 上有四个运算：*，分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满⾜交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满⾜，零元为a,没有单位元； (b)满⾜交换律和结合律，不满⾜幂等律，单位元为a,没有零元b b a a ==--11,(c)满⾜交换律,不满⾜幂等律,不满⾜结合律 a b a b b a b a a b b a ====οοοοοο)(,)(b b a b b a οοοο)()(≠ 没有单位元, 没有零元(d) 不满⾜交换律，满⾜结合律和幂等律没有单位元, 没有零元 (1) 求每个运算的单位元，零元以及每⼀个可逆元素的逆元。
大一离散数学知识点归纳
大一离散数学知识点归纳离散数学是大一学生在计算机科学和相关学科中最常接触的数学分支之一。
它涉及的知识点广泛且重要，对于学习和理解其他高级课程至关重要。
下面是对大一离散数学知识点的归纳。
1. 集合论1.1 集合的定义和表示1.2 集合的运算（并、交、差、补）1.3 子集、真子集、幂集1.4 集合的基本性质（交换律、结合律、分配律）1.5 集合的等价关系和等价类1.6 集合的基数和无限集2. 逻辑与命题2.1 命题的定义和性质2.2 命题的逻辑运算（与、或、非、异或、蕴含、等价）2.3 命题的真值表和简化2.4 谓词逻辑和量词2.5 命题逻辑的推理和证明方法2.6 命题逻辑的应用（布尔代数、逻辑电路）3. 数理归纳法3.1 数学归纳法的基本原理3.2 强归纳法和弱归纳法3.3 数学归纳法的应用（证明数学命题、计算算法复杂度）4. 图论4.1 图的基本概念（顶点、边、度、路径、环）4.2 连通图和孤立点4.3 树和森林4.4 图的遍历算法（深度优先搜索、广度优先搜索）4.5 最小生成树和最短路径问题4.6 图的应用（社交网络、路线规划）5. 关系与函数5.1 关系的定义和表示5.2 关系的性质（自反性、对称性、传递性、等价关系） 5.3 关系的闭包和传递闭包5.4 函数的定义和性质5.5 单射、满射和双射5.6 函数的复合和反函数6. 组合数学6.1 排列和组合的基本概念6.2 二项式系数和杨辉三角6.3 递归和递推关系6.4 置换和循环节6.5 容斥原理和鸽笼原理6.6 组合数学的应用（概率、计数问题）7. 布尔代数7.1 逻辑代数和布尔运算7.2 布尔函数和真值表7.3 极小项和主析取范式7.4 逻辑函数的化简和设计7.5 布尔代数的应用（逻辑电路、开关网络）这些是大一离散数学课程中的一些重要知识点，通过对这些知识点的学习和理解，学生将能够为将来的计算机科学和相关领域的学习打下坚实的基础。
同时，离散数学的思维方式和证明方法也会培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
离散数学大一上知识点总结
离散数学大一上知识点总结离散数学是计算机科学和数学专业中一门重要的基础课程，它主要研究离散的数学结构和离散对象。
在大一上学期的学习中，我们学习了一些离散数学的基础知识和概念。
本文将对这些知识点进行总结和归纳。
1. 集合论(Set Theory)- 集合的定义和表示方法；- 子集、并集、交集和补集的运算；- 集合的基本运算规则；- 集合的基数和幂集；2. 命题逻辑(Propositional Logic)- 命题和命题变量；- 逻辑运算符（非、与、或、异或、蕴含、等价）；- 真值表和逻辑等价性；- 合取范式和析取范式；3. 谓词逻辑(Predicate Logic)- 谓词逻辑的基本概念；- 量词（全称量词和存在量词）；- 代入实例和量化顺序；- 合取与析取的关系；4. 图论(Graph Theory)- 图的基本概念（顶点、边、路径、环）；- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）；- 图的遍历算法（深度优先遍历、广度优先遍历）；- 最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）；5. 关系(Relations)- 关系的定义和表示方法；- 关系的性质（自反性、对称性、传递性）；- 等价关系和偏序关系；- 关系的闭包和传递闭包；6. 函数(Function)- 函数的定义和表示方法； - 单射、满射和双射的概念； - 函数的复合和反函数；- 函数的性质和分类；7. 计数(Counting)- 排列和组合的概念；- 基本计数原理和乘法原理； - 集合的幂级数；- 分配原理和容斥原理；8. 递归(Recursion)- 递归的定义和特性；- 递归关系的建立和求解； - 递归算法的设计和分析；- 递归的应用领域；9. 张量(Tensor)- 张量的定义和表示方法；- 张量的运算规则；- 张量的秩和余秩；- 张量的应用领域；10. 图的着色(Graph Coloring)- 图的着色问题的基本概念；- 色数和固定点数的关系；- 图的可着色性定理；- 图的四色定理及其证明；总结：离散数学作为计算机科学和数学领域的重要基础课程，涵盖了集合论、逻辑、图论、关系、函数、计数、递归、张量和图的着色等多个知识点。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
离散数学一阶逻辑等值演算
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
大一离散数学基本知识点
大一离散数学基本知识点离散数学是指研究离散结构及其相关问题的数学分支学科。
它对于计算机科学、信息科学以及其他相似领域的学科都具有重要的意义。
在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将介绍大一离散数学的基本知识点，包括集合论、逻辑、关系和函数等内容。
1. 集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
我们可以将集合看作是由一些对象组成的整体。
在集合论中，常用的运算有交集、并集、补集等。
并且，我们需要了解集合的基本性质，如包含关系、相等关系、空集和全集等。
2. 逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支。
它通过研究命题、命题的组合以及推理规则等内容来研究思维的规律性。
在逻辑中，我们需要了解命题的真值、逻辑运算符（如与、或、非、蕴含和等价）、真值表和真值函数等。
3. 关系关系是用来描述集合之间元素的连接关系的工具。
在离散数学中，关系可以分为等价关系、偏序关系、全序关系和函数等。
其中，函数是一种特殊的关系，它是指每个输入值都对应唯一的输出值。
我们需要了解关系的性质和运算，以及如何使用矩阵和图来表示关系。
4. 函数函数是离散数学中最重要的概念之一。
它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在函数中，我们需要了解定义域、值域、像、单射、满射和双射等概念。
此外，我们还需要学习函数的运算性质，如复合函数、反函数和逆函数等。
5. 计数原理计数原理是离散数学中的一个重要内容，它研究如何进行计数和计算问题的方法。
常用的计数方法包括排列、组合、二项式系数和鸽笼原理等。
掌握计数原理可以帮助我们解决很多实际问题，如概率计算、图的着色和密码学等。
6. 图论图论是离散数学中的一门重要学科，它研究由顶点和边组成的图及其相关的性质和算法。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、回路和连通性等。
此外，我们还需要学习最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
通过学习以上基本知识点，我们可以建立起对离散数学的基本理解。
离散数学不仅在计算机科学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也能体现出其重要性。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它包括了许多重要的概念和技术，是计算机科学、通信工程、数学和逻辑学等领域的基础。
本文将对离散数学的一些核心知识点进行总结，包括命题逻辑、一阶逻辑、图论、集合论和组合数学等内容。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学的一个重要分支，研究命题之间的逻辑关系。
命题是一个陈述语句，要么为真，要么为假，而且不能同时为真和为假。
命题逻辑包括逻辑运算和逻辑推理等内容，是离散数学的基础之一。
1.1 逻辑运算逻辑运算包括与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）和双条件（↔）等运算。
与、或和非是三种基本的逻辑运算，蕴含和双条件则是基于这三种基本运算得到的复合运算。
1.2 逻辑等值式逻辑等值式是指在命题逻辑中具有相同真值的两个复合命题。
常见的逻辑等值式包括德摩根定律、双重否定定律、分配率等。
1.3 形式化证明形式化证明是命题逻辑的一个重要内容，研究如何利用逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
形式化证明包括直接证明、间接证明和反证法等方法，是离散数学中的常见技巧。
2. 一阶逻辑一阶逻辑是命题逻辑的延伸，研究命题中的量词和谓词等概念。
一阶逻辑包括量词、谓词逻辑和形式化证明等内容，是离散数学中的重要部分。
2.1 量词量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用来对命题中的变量进行量化。
全称量词表示对所有元素都成立的命题，而存在量词表示至少存在一个元素使命题成立。
2.2 谓词逻辑谓词逻辑是一阶逻辑的核心内容，研究带有量词的语句和谓词的逻辑关系。
谓词是含有变量的函数，它可以表示一类对象的性质或关系。
2.3 形式化证明形式化证明在一阶逻辑中同样起着重要作用，通过逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
一阶逻辑的形式化证明和命题逻辑类似，但更复杂和抽象。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。
图是由节点和边组成的数学对象，图论包括图的表示、图的遍历、最短路径、最小生成树等内容，是离散数学中的一大亮点。
离散数学基础知识
离散数学基础知识离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
这门学科主要研究离散对象的结构及其相互关系，包括集合、关系、图、逻辑等方面的内容。
集合是离散数学中最基本的概念之一。
简单来说，集合就是一堆具有某种共同特征的元素的总体。
比如，｛1, 2, 3, 4, 5}就是一个由数字 1 到 5 组成的集合。
集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集就是把两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。
关系也是离散数学中的重要概念。
关系可以理解为两个集合之间元素的对应规则。
比如，在一个班级中，“同学关系”就是一种关系。
从数学角度来看，我们可以用一个矩阵或者一个有序对的集合来表示关系。
关系具有自反性、对称性、传递性等性质。
图论在离散数学中占据着重要的地位。
图由顶点和边组成，可以用来表示很多实际问题。
比如，交通网络可以用图来表示，顶点代表城市，边代表城市之间的道路。
图的类型有很多，比如无向图、有向图、加权图等。
在图论中，我们研究图的连通性、最短路径、最小生成树等问题。
例如，通过算法可以找到两个顶点之间的最短路径，这在物流配送、网络通信等领域有着重要的应用。
逻辑是离散数学中用于推理和判断的工具。
包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑中，我们研究简单的陈述句的真假情况，并通过逻辑连接词（如“与”“或”“非”等）来组合命题。
谓词逻辑则更加复杂，它可以处理涉及变量和量词（如“存在”“所有”）的命题。
在计算机科学中，离散数学的应用无处不在。
比如，在数据库设计中，集合和关系的概念用于组织和管理数据；在算法设计中，图论的知识可以帮助优化算法的效率；在人工智能中，逻辑推理用于知识表示和推理。
另外，离散数学对于培养逻辑思维和解决问题的能力也非常有帮助。
通过学习离散数学，我们能够更加严谨地思考问题，学会用数学的方法去分析和解决实际问题。
离散数学答案版(全)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。
教学目的：1. 熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2. 熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3. 熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4. 熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5. 熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1 .命题的概念及判断2 .联结词，命题的翻译3. 主析（合）取范式的求法4. 逻辑推理教学难点：1. 主析（合）取范式的求法2. 逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母 A , B,…，Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i, [10], R等，例如A1：我是一名大学生。
A1：我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1否定联结词「P1.2.2合取联结词A1.2.3 析取联结词V1.2.4 条件联结词—125126 与非联结词T性质：(1)P T P=「( PAP)二「P；(2)(P T Q)T( P T Q) -「( P T Q) - PAQ；(3)( P T P)T( Q TQ) -「P T「Q= P V Q。
127 或非联结词J性质:(1) P J P=「( P V Q) =「P;(2)( P J Q )；( P J Q) =「( P J Q) = P V Q;(3)( P J P)J( Q J Q) =「P Q=P V-Q) = PAQ1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2 ）如果P是公式，则「P是公式；（3）如果P、Q是公式,则PAQ、PVQ、P > Q、P Q都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用（1）、（2）、（3）所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
离散数学大一知识点总结
离散数学大一知识点总结离散数学是计算机科学与信息技术等相关领域的基础课程之一，它涵盖了一系列重要的数学概念和方法。
在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将对离散数学大一学习的知识点进行总结。
一、命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系和运算的分支学科。
在离散数学中，我们学习了命题的定义、命题的逻辑运算（与、或、非、蕴含、等价等）、命题逻辑的公式等概念。
谓词逻辑是研究谓词、量词和变元等概念以及关于它们之间的论证方法和运算规律的学科。
在离散数学中，我们还学习了谓词逻辑的语义、语法以及推理方法。
二、集合与函数集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
我们学习了集合的定义、集合间的运算（并、交、差、补等）、集合的大小与比较等知识。
函数是一种多对一关系，它在离散数学中有着广泛的应用。
我们学习了函数的定义、函数的性质（单射、满射、双射等）、函数的复合和逆等概念。
三、关系与图论关系是研究元素之间联系的数学概念，它可以用集合对的形式来表示。
我们学习了关系的定义、关系的性质（自反性、对称性、传递性等）、关系的运算（并、交、补等）以及关系的闭包等知识。
图论是离散数学中的一个重要分支，它研究了由点和边组成的图的性质和应用。
我们学习了图的定义、图的类型（有向图、无向图、简单图等）、图的表示方法（邻接矩阵、邻接表等）以及图的遍历和最短路径等算法。
四、数论数论是研究整数性质和整数运算规律的学科。
在离散数学中，我们学习了数论的基本概念（素数、互质等）、整数的除法算法（辗转相除法、模重复法等）、同余关系和同余定理等知识。
五、计数与概率计数是研究离散对象数量的学科，它在离散数学中有着广泛的应用。
我们学习了基本的计数方法（排列、组合、乘法原理、加法原理等）以及应用计数方法解决问题的技巧。
概率是描述随机现象发生可能性的数学工具，它在离散数学中也扮演着重要角色。
我们学习了概率的基本概念、概率的运算规则（加法规则、乘法规则等）、条件概率和贝叶斯定理等知识。
大一离散数学知识点笔记
大一离散数学知识点笔记离散数学是计算机科学专业一门重要的基础课程，它主要研究不连续的数学结构和离散现象。
本文将总结大一离散数学中的一些重要知识点，包括集合论、数理逻辑、图论和布尔代数等内容。
希望这些笔记能够帮助大家更好地理解和掌握离散数学的基础知识。
一、集合论【概念】集合是由一个或多个确定的对象（元素）构成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合的元素。
【集合运算】1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素合并在一起。
2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合。
3. 差集：属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合。
4. 补集：全集中不属于该集合的元素的集合。
【集合关系】1. 子集关系：若一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称前者为后者的子集。
2. 包含关系：若一个集合包含另一个集合的所有元素，则称前者为后者的包含集。
二、数理逻辑【命题与命题逻辑】命题是陈述句，其要么为真，要么为假。
命题逻辑研究命题之间的关系，包括与、或、非等逻辑运算。
【逻辑运算】1. 与运算（∧）：当且仅当多个命题同时为真时，结果为真。
2. 或运算（∨）：当且仅当多个命题中至少有一个为真时，结果为真。
3. 非运算（¬）：对一个命题取反。
4. 蕴含运算（→）：如果前提成立，则结论也一定成立。
【真值表】真值表是用来表示逻辑表达式在所有可能情况下的真值。
通过真值表，我们可以判断一个逻辑表达式的真假情况。
三、图论【图的概念】图由节点和边组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
【常见概念】1. 顶点：图中的节点。
2. 边：图中节点之间的连接。
3. 路径：由边连接的一系列节点。
4. 连通图：图中任意两个节点之间都存在路径。
【图的表示】1. 邻接矩阵：用矩阵记录图中节点之间的连接关系。
2. 邻接表：用链表表示图中节点之间的连接关系。
四、布尔代数【概念】布尔代数是一种数学结构，它研究基于逻辑关系的代数运算。
离散数学公式大全总结
离散数学公式大全总结离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。
以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：1. 集合理论：集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$集合补：$A' = {x | x \notin A}$集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。
容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$2. 排列和组合：排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$3. 图论：手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶数。
哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。
图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。
4. 布尔代数：布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。
逻辑与：$A \land B$逻辑或：$A \lor B$逻辑非：$\lnot A$逻辑与门：$AND$逻辑或门：$OR$逻辑非门：$NOT$布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$5. 树和图：树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最多有$2^{h+1} - 1$个节点。
离散数学命题逻辑公式
离散数学命题逻辑公式1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑中的基本概念包括：命题：命题是描述客观事实真假的句子。
命题的真假值只有两个：真和假。
命题联结词：命题联结词用于将两个或多个命题连接起来，形成新的命题。
常见的命题联结词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）。
命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的表达式。
命题公式的真假值取决于其组成命题的真假值。
2. 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则是用于从给定的命题公式推导出新命题公式的规则。
常见的推理规则有：三段论：三段论是一种由两个前提和一个结论组成的推理形式。
如果两个前提都是真的，那么结论也一定是真的。
例如：所有哺乳动物都是恒温动物。
猫是哺乳动物。
所以，猫是恒温动物。
假言推理：假言推理是一种由一个条件句和一个结论组成的推理形式。
如果条件句是真的，那么结论也一定是真的。
例如：如果今天下雨，那么我就不出门。
今天下雨。
所以，我不出门。
选言推理：选言推理是一种由两个或多个分支组成的推理形式。
如果其中一个分支是真的，那么结论也一定是真的。
例如：要么今天下雨，要么明天下雨。
今天下雨。
所以，明天不会下雨。
3. 命题逻辑的应用命题逻辑在计算机科学、人工智能、哲学等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，命题逻辑用于设计和分析逻辑电路、编译器和操作系统等。
在人工智能中，命题逻辑用于知识表示和推理。
在哲学中，命题逻辑用于研究逻辑的本质和推理的有效性。
4. 结语命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑的应用非常广泛，包括计算机科学、人工智能、哲学等领域。
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下⾯的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}?S,{{a},1,3,4}?R,R=S,{a}?S,{a}?R,φ?R,φ?{{a}}?R?E,{φ}?S,φ∈R,φ?{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ? S ，{{a}，1，3，4 } ? R ，R = S ，{a}?S ，{a}? R ，φ? R ，φ? {{a}} ? R ? E ，{φ} ? S ，φ∈R ，φ? {{3}，4 }2写出下⾯集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A?B当且仅当ρ(A)?ρ(B)；(2)ρ(A)?ρ(B)?ρ(A?B)；(3)ρ(A)?ρ(B)=ρ(A?B)；(4)ρ(A-B) ?(ρ(A)-ρ(B)) ?{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x?A。
由于A?B，故x?B，从⽽x∈ρ(B)，于是ρ(A)?ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}?A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)?ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A?B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X?A或X?B∴X?(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ?ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X?A且X?B∴X? A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y? A∩B∴Y?A且Y?B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
离散数学 逻辑运算
离散数学逻辑运算离散数学是计算机科学中的一门重要学科，而逻辑运算则是离散数学中的核心内容之一。
本文将围绕离散数学中的逻辑运算展开，介绍逻辑运算的基本概念、常用符号及其在计算机科学中的应用。
一、逻辑运算的基本概念逻辑运算是指对逻辑命题进行的一系列操作，它们是判断真假的基本手段。
在离散数学中，逻辑运算主要包括命题逻辑、谓词逻辑和命题演算等。
其中，命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系，谓词逻辑则是研究命题中的量词和变量，而命题演算则是一种用符号推理来判断命题真假的方法。
二、逻辑运算的符号表示在逻辑运算中，常用的符号有非（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。
其中，非运算是对命题的否定，合取运算表示命题的同时成立，析取运算表示命题中至少有一个成立，蕴含运算表示当前提成立时结论也成立，等价运算表示两个命题具有相同的真值。
三、逻辑运算在计算机科学中的应用逻辑运算在计算机科学中有着广泛的应用。
其中，布尔运算是逻辑运算在计算机中的一种常见形式，它使用0和1代表真和假，并对二进制数进行逻辑运算。
布尔运算在逻辑电路设计、逻辑编程语言和计算机算法中都有着重要的地位。
逻辑运算在计算机算法中的应用尤为广泛。
比如，在搜索算法中，可以使用逻辑运算来判断搜索条件是否满足；在排序算法中，可以使用逻辑运算来判断元素的相对大小关系；在图论算法中，可以使用逻辑运算来判断两个节点之间是否存在路径等。
逻辑运算在这些算法中起到了举足轻重的作用，能够帮助我们解决各种实际问题。
逻辑运算还可以用于逻辑编程语言中。
逻辑编程语言是一种基于逻辑运算的编程范式，其中的程序由一系列逻辑命题组成，通过逻辑推理来求解问题。
典型的逻辑编程语言包括Prolog和Datalog等，它们在人工智能、数据库查询和知识表示等领域有着广泛的应用。
四、逻辑运算的重要性和挑战逻辑运算在计算机科学中具有重要的地位，它是计算机科学中一切推理和判断的基础。
逻辑运算不仅帮助我们理解和分析问题，还能够指导我们设计和实现算法。
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（ 分） １ （ ３分） （ ５分） （ ６分） （ ７分） （ ８分）
所以Ａ ． ＦＢ 设ｘ ， ＥＢ 则＜ｘｘ ，＞ＥＢ ＸＢ，
１． ３如果图Ｇ是无向图， 且其结点度数均为偶数， 则图Ｇ是欧拉图． １． ４若偏序集＜Ａ， ＞的哈斯图如图二所示， Ｒ 则集合 Ａ的最大元为ａ最小元是ｆ ， ．
图二 得 分 评卷人 五、 计算题（ 每小题 １ ２分 。 本题共 ３ ６分）
１． ５设集合 Ａ二｛１ ， ，｝Ｂ ｛ ，１２ ｝试计算 ｛ ｝１２ ， ＝ ｛ ，｝， １ （） １（ Ａ一Ｂ） ； （） ２（ Ａ门Ｂ ； ） （） ３ＡＸＢ．
８设 Ｇ ＜Ｖ， ． ＝ Ｅ ＞是有 ４ 个结点， 条边的无向连通图， ８ 则从 Ｇ中删去＿
以确定图 Ｇ的一棵生成树．
条边， 可
９设Ｇ是具有ｎ个结点ｍ条边ｋ个面的连通平面图， ｍ等于 ． 则 １ ２ Ａ（ ） ｘ大于 １ ， ｝ ＂ 则谓词公式 （ ｘ Ａ（ ） ３ ） ｘ 的真值为 １． 个 体 域 Ｄ＝ （ ， ， ｘ 为“ ０设
Ａ．＜｝ Ａ “（ － Ｂ ｛ａ ｝ ｝ＣＡ ．｛ ｛｝ Ｃ ｛，ａ ｝ ｝任Ａ ． ｛ ａ Ｄ．必 任Ａ
）
２命题公式（ Ｑ 的合取范式是 （ ． 尸Ｖ ）
Ａ． ） （ ＰＡＱ
Ｂ （ ＡＱ） （ ＶＱ） ． Ｐ Ｖ Ｐ Ｃ （ ． ＰＶＱ） Ｄ ，（ ． ，ＰＡ ，Ｑ）
１． Ｇ ６设 ＝＜Ｖ，＞ ， Ｅ Ｖ＝｛ Ｉ ９３ ｝Ｅ＝｛（１ｖ）（ｚｖ）（２ ）（３ ）｝试 Ｖ９２ ９４， Ｖ Ｖ Ｖ ｖ ，３ ，ｖ，３ ，Ｖ ，４ ，ｖＩ ， Ｖ Ｖ ４
（） １给出Ｇ的图形表示； （） ２写出其邻接矩阵； （） ３求出每个结点的度数；
（） ４ 画出其补图的图形．
１． ７设谓词公式 （ ｘ （ ｘ ｙ－（ ｚＢ ｘ ｚ）试 ３ Ａ（ ， ｄ 勿， ，） ， ） ） ） （） １写出量词的辖域； （） ２指出该公式的自由变元和约束变元．
６ ８
得
分
评卷人 三、 逻辑公式翻译（ 每小题 ６ ． 分 本题共 １ ） ２分
１． １将语句“ 今天考试， 明天放假．翻译成命题公式． ” １． ２将语句“ 我去旅游， 仅当我有时间．翻译成命题公式． ”
得 分 评卷人 四、 判断说明题 （ 每小题 ７分， 本题共 １ ４分）
判断下列各题正误， 并说明理由．
Ｄ．｛｝ 。是点割集 ５ 下列公式成立的为（ ．
Ａ． ，尸八 ，Ｑ 片 尸ＶＱ Ｂ Ｐ ”Ｑ 拱 ， 尸 Ｑ ． － ￣ Ｃ Ｑ－ Ｐ ＞ ＝ 尸 ． Ｄ ，Ｐ （ Ａ Ｑ）： ． ＰＶ ＝ Ｑ ＞
图一 ） ．
得
分
评卷人
二、 填空题（ 每小题 ３ 本题共 １ 分） 分． ５
（ ９分）
图四 （２分） １
１． １ ３ｘ量词的辖域为（ ｘ ｙ － （ ） ｙ ｘ，） ７ （） Ａ（ ， ） ｄ Ｂ（ ， ｚ ） ｚ
（ ３分） （ ６分） （ ９分） （２分） １
ｄｚ 量词的辖域为Ｂ（ ， ，） ｙｘ ｚ， （） ２ 自由变元为（ ｘ ｙ一（ ｚＢ ｘ ｚ） Ａ（ ， Ｖ 勺， ，）中的夕 ） ） ，
试卷代号 ：０ ９ １０
座位号 口 巨
中央 广播电 视大学２０－２１ 学年度 ０９ ００ 第一学期“ 开放本科” 期末考试（ 半开卷）
离散数学（ 本） 试题
２１ ００年 １月 题 分 号 数
四 五 六
总
分
得
分
评卷人
一、 单项选择题｛ 每小题 ３分 ， 本题共 １ ５分）
１若集合 Ａ＝｛ Ｗ ｝则下列表述正确的是（ ． ａ ， ，
因为 ＡＸＡ＝ＢＸＢ， 故＜ｘ ｘ ， ＞ＥＡＸＡ， 则有 ｘ ＥＡ， 所以 ＢＭＡ．
故得Ａ＝Ｂ ．
７ ＜ａ ， ｂ ｂ＞ ． ，ａ＞ ＜ ，
８５ ．
９ｎ ｋ ２ ． 一 ＋
１． 或 Ｔ， １ ０ 真（ 或 ） 三、 逻辑公式翻译（ 每小题 ４分 ， 本题共 １ 分 ） ２
ｎ． 尸： 设 今天考试， 明天放假． Ｑ： 则命题公式为： ． 尸八Ｑ １． Ｐ 我去旅游， ： ２设 ： Ｑ 我有时间， 则命题公式为：－Ｑ Ｐ ． 四、 判断说明题（ 每小题 ７ 本题共 １ 分） 分， ４ １． ３错误・ 当图Ｇ不连通时图Ｇ不为欧拉图． １． ４错误．
６设集合Ａ＝（ ， ４ ， ． ２ ３ ）Ｂ＝（ ， ３ ４ ， ， １ ２ ， Ｒ是 Ａ 到 Ｂ的二元关系， ， ｝
Ｒ ＜ｘ ｙ ｘ ＝（ ，＞ＩＥＡ且 Ｙ ＥＢ且ｘ 镇少 则Ｒ的有序对集合为
７如果 Ｒ 是 非 空 集 合 Ａ 上 的 等 价 关 系， ． ａＥＡ， － Ａ， 可 推 知 Ｒ 中 至少 包 含 ｂＣ 则 等元素．
一、 单项选择题（ 每小题 ３分， 本题共 １ ５分）
ｌ Ａ ． ２ Ｃ ． ３ Ｂ ． ４ Ｂ ． ５Ｄ ．
二、 填空题（ 每小题 ３ 本题共 １ 分） 分． ５
６ ｛ ， ＞ ＜２ ３ ＜２ ４ ＜３ ＞， ， ＞， ，４ ２ ， ， ＞ ， ， ＞， ，３ ＜３ ４ ＜４ ＞｝ ． ＜２
集合 Ａ 的最大元与最小元不存在， “是极大元 ， ． ｆ是极小元．
（ ２分） （ ６分） （ ２分） （ ６分）
（ ３分） （ ７分） （ ３分） ＜ ７分）
７１
五、 计算题【 每小题 １ 分， ２ 本题共３ 分） ６
１． Ａ－Ｂ ｛ ）２ ５ （） １ ＝｛１ ，） （ 分） ４
）。 －
３无向树 Ｔ有 ８ ． 个结点， Ｔ的边数为（ 则
Ａ． ６
Ｂ． ７
） ．
Ｃ ８ ．
Ｄ． ９
４图Ｇ如图一所示， ． 以下说法正确的是 （
Ａ． ａ是割点
Ｂ （ ｝ ｂ ：是点割集 ． ， Ｃ （， ｂ ｄ 是点割集 ． ｝
（２分） １ １． Ｇ的图形表示为（ ６ （） １ 如图三） ：
图三 （ ３分）
（） ２邻接矩阵：
０ １ ０ １
（ ６分）
１ ０ １ １
（ ）１ ，３ 结点的度数依次为 １２３ ２ ３ ，２ ，； Ｖ ＇ ＇ Ｙ Ｕ Ｕ Ｊ ，， ， （） ４ 补图如图四所示 ：
（） 二｛） ２ Ａ门Ｂ １ （ 分） ８
（） （ １ ，＞， １，１２＞， ，＞， ， １２＞， ，＞， ， １２＞｝ ３ＡＸＢ＝ ｝１ ＜｛｝｛，） ＜１１ ＜１ ｛，） ＜２１ ＜２ ｛，｝ ＜（
得 分 评卷人 六、 证明题 （ 本题共 ８分）
１． Ａ， ８设 Ｂ是任意集合， 试证明： ＡＸＡ＝ＢＸＢ， Ａ＝Ｂ 若 则 ．
试卷代号 ：０９ １０
中央广播电 视大学２０－２１学年度第 ０９ ００ 一学期“ 开放本科” 期末考 半开卷） 试（
离散数学（ 本） 试题答案及评分标准
（ 供参考）
２１ ０ ０年 １ 月