[名校版]大连市普兰店高二上期末数学试卷理科有答案
2019-2020年大连五校高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)-(新课标人教版)
辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤02．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．543．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A． B．C．D．5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣28．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C． D．9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048 B．5050 C．10098 D．1010012．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀＞0，﹣ln＞0”的否定是∃＞0，﹣ln≤0．故选：D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，∴3a1+12d=﹣9，∴a1+4d=﹣3，∴S9==9（a1+4d）=﹣27．故选：A．3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要条件．故选：C．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A． B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，∴a=2b，∴c=b，∴双曲线的离心率是e==．故选：D．5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为，y，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故选：D．7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣2【解答】解：由变量，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数=+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为2．由，解得A（m，m），A代入=+2y，可得m+2m=2，解得m=．故选：C．8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C． D．【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，∴=，∵AB=4，AC=6，BD=8，∴2=（）2=+2=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．∴CD的长为||=2．故选：B．9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）【解答】解：由题意可知：不等式y≤a2+2y2对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，即：a≥﹣2（）2，对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，令t=，则2≤t≤5，∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，∴y=﹣2t2+t在[2，5]单调递减，∴y ma=﹣2×22+2=﹣6，∴a≥﹣6，故选B．10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．【解答】解：∵椭圆C：与函数y=3的图象相交于A，B两点，∴A，B两点关于原点对称，设A（1，y1），（﹣1，﹣y1），则，即．设P（0，y0），则，可得：．∴．∵直线PA的斜率1的取值范围[﹣3，﹣1]，∴﹣3≤≤﹣1，得，∴直线PB的斜率取值范围是[]．故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048 B．5050 C．10098 D．10100【解答】解：当n=1时，=0，则a1=0．当n≥2时，+++…++=4n﹣4，①+++…+=4n﹣8，②+++…++=4n，③由①﹣②得到：=4，∵a n≥0，∴a n=2n，由③﹣①得到：=4，=2n+2，∴a n+1﹣a n=2，∴a n+1∴数列{a n}是等差数列，公差是2，综上所述，a n=，∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×（100﹣1）=10098．故选：C．12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0【解答】解：由2+y2﹣y+=0，得2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（0，y0）（y0＞0），则由2+y2﹣y+=0与（0，y0﹣c）•（0，y0﹣）=0，解得：0=，y0=．∴D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由2+2﹣3＞0得＞1或＜﹣3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，∵q：＞a，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为2，若，可得（a1•2m﹣1）（a1•2n﹣1）=4（2a1）2，即有m﹣1+n﹣1=4，则m+n=6，可得=（m+n）（）=（2+++）≥（+2）=×=．当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，则的最小值为．故答案为：．15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是6．【解答】解：抛物线2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．即CM⊥轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，故答案为：6．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．【解答】解：以A为原点，AB为轴，AC为y轴，AA1为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（，0，0），D（0，y，0），=（﹣，y，﹣1），=（，﹣1，﹣），∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即+2y﹣1=0∴DF===，∵0＜＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值=，当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1．∴线段DF的长度的取值范围是[，1）．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），所以（S3﹣S1）+（S3﹣S2）+2a3=a1+a2，所以4a3=a1，因为数列{a n}是等比数列，所以，又q＞0，所以，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，，所以，=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=．故．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC，在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；（2）如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为，y，轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），，设平面AD 1E的法向量为，则，令=1，则，∴，所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为数列{a n}满足，所以，即，又a1=1，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得，所以，因为b1=﹣λ符合，所以．＞b n，即（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n+1化为λ＜n+1，所以λ＜2．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD∥FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣y，令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，令=（1，y，）为平面PAC的法向量，由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，∴，解得，则，由cos θ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【解答】解：（1）抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：联立方程组，消元得：，∴∴，解得p=±2．∵p＞0，∴抛物线E的方程为：y2=4．（2）证明：设C，D两点坐标分别为（1，y1），（2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=（﹣1）（≠0）．由，得22﹣（22+4）+2=0．△=（22+4）﹣44=162+16＞0因为直线l1与曲线E于C，D两点，所以．所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+22，﹣2）．当≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．所以，直线PQ的方程为，整理得y2+（﹣3）﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点（3，0）；当=±1时，直线PQ的方程为=3，也过点（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（I）如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，故点Q的轨迹方程为（II）由题可知，设直线l：=my﹣1，不妨设M（1，y1），N（2，y2）∵，，∵，∴（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，∴，∵，即∈（﹣，0]，∈（﹣3，﹣），∴=﹣∈（，3）．。
2021-2022学年辽宁省大连市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线，的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合2.已知空间向量，若，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 23.若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.4.若直线与圆相切，则b的值是( )A. 或12B. 2或C. 或D. 2或125.直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则( )A. B. C. D.7.阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.8.如图1，矩形ABCD ，，，E 为CD 中点，F 为线段除端点外的动点.如图2，将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD 内，过点D 作，K 为垂足，则AK长度的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列圆锥曲线中，焦点在x 轴上的是( )A.B.C.D.10.已知空间向量，，则下列正确的是( )A. B.C.D.，11.如图，正四面体的顶点 A 、 B 、 C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ， Oy ， Oz 上，则下列选项中正确的是( )A. 三棱锥是正三棱锥B. 直线平面ACDC. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为D. 异面直线AB 和CD 所成角是12.已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有( )A. 点P的坐标为B.C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.双曲线的渐近线方程是__________.14.已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则实数等于__________.15.已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数__________.16.双曲线上一点点P在第一象限，过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A，B两点点A，B异于点，设直线PA，PB的斜率分别为、，且，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
辽宁省大连市高二数学上学期期末考试试题 理-人教版高二全册数学试题
2016～2017学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设命题21:,04p x x x ∀∈-+≥R ，则p ⌝为 （ ） A.21,04x x x ∃∈-+≥R B.21,04x x x ∃∈-+<RC.21,04x x x ∃∈-+≤RD.21,04x x x ∀∈-+<R2.已知椭圆2215x y k +=的一个焦点坐标为(2,0)，则k 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．9 D ．813.已知,,a b c 均为实数，则 “2b ac =”是“,,a b c 构成等比数列”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.抛物线214x y =的准线方程是（） A ．116x =B ．116x =-C ．116y = D.116y =- 5.在等差数列{}n a 中，134561,20,a a a a a =+++=则8a =（ ） A ．7B ．8 C ．9 D ．106.已知ABC ∆的两个顶点()()5,0,5,0A B -，周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．2213611x y +=B ．()22103611x y y +=≠C ．221916x y +=D ．()2210916x y y +=≠7.函数()ln xf x x=，则（ ） A ．x e =为函数()f x 的极大值点B ．x e =为函数()f x 的极小值点C ．1x e =为函数()f x 的极大值点D ．1x e=为函数()f x 的极小值点 8.如图所示，在正方体1111-ABCD A B C D 中，已知M N ，分别是BD 和AD 的中点，则1B M 与1D N 所成角的余弦值为（ ）A ．3010 B.3015C.3030D.1515（第8题图）9.已知数列{}n a ，1a ＝1，122nn n a a a +=+，则10a 的值为（ ） A.5 B.15 C.112 D. 21110.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值X 围是（ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞ 11.已知(),0,x y ∈+∞，且满足1122x y+=，那么4x y +的最小值为 （ ） A ．322- B ．232+ C ．322+ D ．232-12.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为 （ ） A ．26+ B.26+ C.22+ D.22+第II 卷二、填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13.若)1,2,7(),0,3,1(),5,2,3(-=-=-=c b a ，则=⋅+c b a )(_______. 14.11e edx x=⎰__________. 15.椭圆C 的中心在坐标原点，左、右焦点12,F F 在x 轴上，已知,A B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率为_____. 16.已知(,)f x y ax by =+，若1(1,1)2f ≤≤且-1(1,1)1f ≤-≤，则(2,1)f 的取值X 围为______.三、解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=，n ∈+N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，且满足12b a =，3123b a a a =++，求数列{}n b 的通项公式.18.(本小题满分12分)已知抛物线()220y px p =>，焦点到准线的距离为4，过点()1,1P -的直线交抛物线于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点P 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.19.(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,22AA AC CB AB ====. (Ⅰ)证明：1BC ∥平面1A CD ； (Ⅱ)求锐二面角1D A C E --的余弦值. （第19题图） 20.（本小题满分12分）在圆224x y +=上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足2PQ MQ =，动点M 形成的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）点(2,0)A 在曲线C 上，过点()1,0的直线l 交曲线C 于,B D 两点，设直线AB 斜率为1k ，直线AD 斜率为2k ，求证：12k k 为定值.21.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3π=∠DAB ，DC PD AD PD ⊥⊥,.(Ⅰ)证明：平面⊥PBC 平面PBD ； （第21题图） (Ⅱ)若二面角D BC P --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分） 设函数()2x f x x e =．（Ⅰ）求曲线()f x 在点()1,e 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x ax <对(),0x ∈-∞恒成立，某某数a 的取值X 围； （Ⅲ）求整数n 的值，使函数()()1F x f x x=-在区间(),1n n +上有零点． 2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）参考答案一．选择题1．B 2. C 3. A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.C 12.D二．填空题13. 7- 14. 215. 571,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三．解答题17. （Ⅰ）由题设可知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分所以13n n a -=，…………………………………………………………………………………4分1331132n n n S --==- (6)分（Ⅱ）设数列{}n b 的公差为d12312333,13b a b a a a S ===++==，31102b b d ∴-==，5,d ∴=.....................................................................8分 52n b n ∴=- (10)分18. （Ⅰ）由题设可知4p =，所以抛物线方程为28y x =……………………………4分 （Ⅱ）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=-又21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减整理得1212128842y y x x y y -===--+-…………………………………8分所以直线AB 的方程是4(1)1y x =---，即430x y +-=.…………………………12分方法二：由题设可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)A x y B x y ，由28(1)1y x y k x ⎧=⎨=--⎩，消去x ，得28880ky y k ---=，…………………………………6分易知2132()5602k ∆=++>，128y y k+=， 又122y y +=-所以82k=-，4k =-………………………………………………………8分所以直线AB 的方程是4(1)1y x =---，即430x y +-=.……………………………12分19.解：(Ⅰ)连结1AC ,交1A C 于点O ，连结DO ,则O 为1AC 的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥1BC ,又因为OD ⊂平面1A CD ,1BC ⊄平面1A CD ,1BC ∴∥平面1A CD ……4分(Ⅱ)由12,22AA AC CB AB ====，可知AC BC ⊥,以C 为坐标原点，CA 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，1CC 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz ， 则()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2D E A ,()1,1,0CD =,()0,2,1CE =,()12,0,2CA =设(),,n x y z =是平面1A CD 的法向量，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0220x y x z +=⎧⎨+=⎩可取()1,1,1n =--.……………………………6分 同理，设m 是平面1A CE 的法向量，则10m CE m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 可取()2,1,2m =-.…………………………8分 从而3cos ,3n m n m n m⋅〈〉==…………………10分所以锐二面角1D AC E --的余弦值为3……………………………………………12分 20.解：（Ⅰ）设点M 坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则00,2y x x y == 因为点()00,P x y 在圆224x y +=，所以22004x y +=①把00,2x x y y ==代入方程①，得2244x y +=，即2214x y +=，所以曲线C 的方程为2214x y +=.……………………………………………………………4分（Ⅱ）方法一：由题意知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为1x my =+，1122(,),(,)B x y D x y由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(4)230m y my ++-=， 易知216480m ∆=+>，得12122223,44m y y y y m m --+==++…………………………8分 12121212212121212(2)(2)(1)(1)()1y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===-----++222333244m m m -==--+++．所以123kk =-为定值………………………………12分 方法二：（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，(1,,B D所以123332212124k k -=⋅=---………………………………………………………………6分（ⅱ）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)B x y D x y由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2222(14)8440k x k x k +-+-=， 易知248160k ∆=+>，22121222844,1414k k x x x x k k-+==++……………………………8分 []22121212121212121212()1(1)(1)(2)(2)(2)(2)2()4k x x x x y y k x x k k x x x x x x x x -++--===-----++ 2222222(44814344164164k k k k k k k --++==---++）．所以1234k k =-为定值…………………………12分21.解：（Ⅰ）∵PD AD ⊥,PD CD ⊥AD CD D =,AD ABCD ⊂平面 CD ABCD ⊂平面∴PD ⊥平面ABCD ，BC ABCD ⊂平面∴BC PD ⊥………………………2分又213AB AD DAB π==∠=，， ∴2221221cos33BD π=+-⨯⨯⨯= 又sin sin BD ABA ADB=∠ 322sin 13ADB ⨯∴∠==,90ADB ∠= AD BD ⊥,又因为AD ∥BC∴BC BD ⊥……………………………………………………………………4分又∵D BD PD =⋂,BD ⊂平面PBD ,PD ⊂平面PBD∴⊥BC 平面PBD而⊂BC 平面PBC ∴平面⊥PBC 平面PBD …………………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）所证，⊥BC 平面PBD所以∠PBD 即为二面角P BC D --的平面角，即∠PBD 6π=而3=BD ，所以1=PD ……………………………………………………………8分 分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。
辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题(1)
辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．抛物线212y x =的准线方程为（ ） A ．18x =-B ．14x =-C ．12x =-D ．1x =-2．命题：“20,0x x x ∀>-≥”的否定是（ ） A ．20,0x x x ∀≤-> B ．20,0x x x ∀>-≤ C ．20,0x x x ∃>-< D ．20,0x x x ∃≤->3．若0ab >，则b aa b+的最小值是（ ） A ．1BC ．2D．4．{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64B ．100C ．110D ．1205．命题:1p x ≥，命题1:1q x≤，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知实数,x y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．5B ．5-C ．52D ．52-7．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．B ．6C ．D ．128．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为60°,且|AB |=1,|AD |=2,|1AA |=3,则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．89．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 A ．1B ．2C ．-1D ．-210．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(),1-∞-，则关于x 的不等式()()20x ax b -+<的解集为（ ） A ．()1,2- B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),12,-∞⋃+∞11．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离）A ．225514y x -= B ．22154x y -= C ．22154y x -= D ．224515y x -= 12．若()f x 的定义域为R ，()2f x '<恒成立，()12f -=，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．(),-∞+∞二、填空题13．{}n a 是公比为正数的等比数列，若354,16a a ==则数列{}n a 的前5项和为___．14．直线1y x =-与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB = 15．12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=左右焦点，A 为椭圆上一点，2AF 垂直于x 轴，且三角形12AF F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为___．16．点P 是圆()22:24C x y ++=上的动点，定点()2,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是___．三、解答题17．过抛物线2:2E y px =的焦点F 的一条直线与抛物线E 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点.求证：212.y y p =-18．已知等差数列{}n a ()n N*∈的前项和为nS，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}()n b n N *∈，若2235,b a b a ==，求数列{}n n a b +的前n 项和(1)(21)02ab b =-+->19．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，ABC BAD 90∠∠==，SA ⊥平面ABCD ，SA AB BC 2===，AD 1=．()1求SC 与平面ASD 所成的角余弦值； ()2求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值．20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．21．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面1,//,,1,2ABCD AB DC AB AD AD CD AA AB ⊥====,E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的正弦值.22．已知椭圆C 的中心是坐标原点O ，它的短轴长，焦点(),0F c ，点10,0A c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且2.OF FA =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相交于,P Q 两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由.参考答案1．A 【解析】结合抛物线的标准方程可得：抛物线212y x =的准线方程为11248x =-=-. 本题选择A 选项. 2．C 【解析】全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论，所以命题：“20,0x x x ∀>-≥”的否定是20,0x x x ∃>-<.本题选择C 选项. 3．C 【解析】0,0,0,2b a b a ab a b a b >∴>>∴+≥=，等号当且仅当,b a a b =即a b =时等号成立.则b aa b+的最小值是2. 本题选择C 选项. 4．B 【详解】设等差数列的公差为d ，由a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，可得：111146728a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解方程组可得1a 1,d 2101109101002S a d ⨯∴=+=. 故选：B考点：等差数列通项公式及求和 5．A 【解析】对于命题q ，求解11x ≤有1110,0,(1)0,0 1.x x x x x x x--≤∴≤∴-≥∴≤≥或 显然命题p 对应的集合为命题q 对应集合的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.本题选择A 选项. 6．B 【解析】作出不等式组2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中13A -（，），由2,2z x y y x z =-∴=-，将直线l ：2y x =进行平移， 观察y 轴上的截距变化，可得：当l 经过点()1,3A -时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值为2(1)3 5.⨯--=- 本题选择B 选项.7．C 【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C 【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算. 8．A 【分析】结合图形先表示出1AC =1AB AD AA ++，再计算21AC ，即可解决问题． 【详解】在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中有，11AC AB AD CC =++=1AB AD AA ++ 所以有1AC =1AB AD AA ++，于是有21AC =21AB AD AA ++21AC =2220001112cos602cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA +++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=25所以15AC =，答案选A 【点睛】求空间向量的模有两种方法：一是平方法，即利用2a a a =⋅，其实质转化为数量积求解；二是从标法，即利用公式2a x y =+9．B 【解析】设切点00(,)P x y ，则，又001|1x x y x a===+' 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选B ．10．D 【解析】0ax b ax b ->⇒>,由于解决为1x <-,故0a <,且1ba=-,故()()20x ax b -+=的开口向下,两个根为1,2,所以解集为1,2x x .故选D . 11．A 【解析】试题分析：抛物线焦点为()1,0，所以双曲线中1c =，245c e a b a ====，双曲线方程为225514y x -=考点：双曲线抛物线方程及性质 12．B 【解析】设()()24F x f x x =--，则()()2F x f x '='-，因为()2f x '<恒成立,所以()()20,F x f x '='-<即函数F (x )在R 上单调递减. 因为()12f -=,所以()()()112142240F f -=--⨯--=+-=， 则不等式即()()240F x f x x =-->， 据此可得：()()()241F x f x x F =-->-.所以1x <-，即不等式()24f x x >+解集为(,1)-∞-. 本题选择B 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 13．31 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，2531644a q a ∴===，解得2q ，3122412a a q ∴===， ∴数列{}n a 的前5项和()()55151********a q S q-⨯-===--.14．3.54 【解析】试题分析：把1y x =-代入椭圆22142x y +=化简可得23420x x --=，∴121242,33x x x x +==-，由弦长公式可得()12123AB x x x =-=+=考点：直线与椭圆方程相交的弦长问题151 【解析】由椭圆的通径公式可得：22b AF a=，由抛物线方程可得122F F c =，三角形12AF F 为等腰直角三角形，则：212AF F F =，即：22b c a =，整理可得：2222,210a c ac e e -=∴+-=，求解关于e 的方程可得：1e =-±椭圆的离心率0e >1.16．2213y x -=【解析】由垂直平分线的性质有QP QF =，所以2QF QC QP QC CP -=-==，又42CF =>，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是C ，F 为焦点，以4为实轴长的双曲线，2224a c ∴==，，12a c ∴==，，b ∴= 所以点Q 的轨迹方程是2213y x -=.点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义． 17．证明见解析 【解析】【试题分析】当直线斜率不存在时,可求得12,P P 两点的坐标,可得212y y p =-成立.当直线斜率存在时,用点斜式设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,消去x ,用韦达定理证明. 【试题解析】当过焦点F 的直线垂直于x 轴时，则212y y p =-成立，当直线不与x 轴垂直时，设2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2220ky py p --= 所以212y y p =- .18．(1)21n a n =-；(2)()21312nn T n =+-. 【解析】 试题分析：（1） 由39S =，可得23a =，则数列的公差 2.d =通项公式为()222 1.n a a n d n =+-=-（2）由(1)可得22353,9b a b a ====，则公比 3.q =从而13n n b -=，分组求和可得()21312nn T n =+-. 试题解析：（1） 由39S =，得239a =，所以2 3.a = 又因为35a =，所以公差 2.d = 从而()222 1.n a a n d n =+-=-（2）由(1)可得22353,9b a b a ====，所以公比 3.q =从而2123n n n b b q--=⋅=，则()1213n n n a b n -+=-+，分组求和可得()21312nn T n =+-. 点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．19．（1）3；（2）3【分析】（1）建立直角坐标系，求出SC 和平面ASD 的一个法向量，设SC 与平面ASD 所成的角为θ，利用向量法求解即可；（2）分别求出平面SAB 和平面SCD 的法向量，利用向量法求解平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，S （0，0，2），C （2，2，0），D （1，0，0），＝（2，2，﹣2），∵AB ⊥平面SAD ，故平面ASD 的一个法向量为＝（0，2，0），设SC 与平面ASD所成的角为θ，则sin θ＝cos ,SC AB =•SC AB SC AB＝，故cos θSC 与平面ASD所成的角余弦为：3. （2）平面SAB 的一个法向量为：m ＝（1，0，0），∵＝（2，2，﹣2），＝（1，0，﹣2），设平面SCD 的一个法向量为＝（x ，y ，z ），由⇒，令z ＝1可得平面SCD 的一个法向量为＝（2，﹣1，1）显然，平面SAB 和平面SCD 所成角为锐角，不妨设为α，则cos α＝＝，即平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值为 .【点睛】本题考查了二面角的平面角和直线与平面所成角，注意向量法的合理运用，属于中档题.20．解：（1）1,22a b =-=-，递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）1,2c c <->或 【分析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（23-）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可． 【详解】（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）． （2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．21．(1)证明见解析；(2)7. 【详解】试题分析：以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得：()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E（1）易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,则110B C CE ⋅=,11.B C CE ⊥ （2）由题意可得平面1B CE 的一个法向量()3,2,1m =--，平面1CEC 的一个法向量为()111,0,1B C =-，则111111,7m B C cos m B Cm B C ⋅=-⋅><=,故二面角11B CE C --的正弦值为7试题解析：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E ，，（1）证明：易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,于是110B C CE ⋅=, 所以11.B C CE ⊥（2）()11,2,1B C =--,设平面1B CE 的一个法向量(),,m x y z =，则100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得20y z +=，不妨令1z =，所以平面1B CE 的一个法向量为()3,2,1m =--由（1）知，11,B C CE ⊥又11111,,,CC B C CE CC C CE CC ⊥⋂=⊂平面1CEC ， 所以11B C ⊥平面1CEC ，故()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量，于是111111,714m B C cos m B C m B C ⋅<===->⋅,从而1121,.7sin m B C ><=所以二面角11B CE C --的正弦值为722．(1)22162x y +=；(2)答案见解析.【解析】【试题分析】(1)利用2OF FA =列方程,可求得2c =,由题意可知b =由此求得a ,且出去椭圆的标准方程.(2) 设直线PQ 的方程为()3y k x =-,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得k 的值. 【试题解析】 （1）由题意知，()10,0,,0b F c A c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10,0,2,0OF c FA c c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由2OF FA =，得204c c c=-，解得： 2.c = 2226,a b c ∴=+=∴椭圆的方程为22162x y +=3=（2）()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y k x =-联立()223162y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()222213182760k x k x k +-+-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则2212122218276,1313k k x x x x k k-+==++ ()22222121212222276543399131313k k k y y k x x x x k k k k ⎡⎤-⎡⎤=-++=-+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦由已知得OP OQ ⊥，得12120x x y y +=，即22222227633060131313k k k k k k--+==+++解得：k =， 符合0,∆>∴直线PQ的方程为()35y x =±-.。
大连市普兰店高二上期末数学试卷文有答案-名校版
2017-2018学年辽宁省大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若i为虚数单位，复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+1＜03．（4分）设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣15．（4分）椭圆的焦点坐标为（）A． B．（0，±1）C．（±1，0）D．（±2，0）6．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．1 B．C．2 D．37．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假 B．“p∧q”真 C．“￢p”假D．“p∨q”真8．（4分）已知双曲线离心率为2，该双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则的值为（）A． B．C． D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）双曲线的焦距为．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= ．11．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．12．（4分）椭圆的一个焦点为，则k= ．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的横坐标为．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，m∈R，i为虚数单位．（I）实数m为何值时该复数是实数；（Ⅱ）实数m为何值时该复数是纯虚数．15．（12分）已知双曲线的离心率e=2，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．16．（12分）已知椭圆的长轴为4，短轴为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，若点M（﹣1，y）是线段AB的中点，求直线l的方程．17．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．2017-2018学年辽宁省大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若i为虚数单位，复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【解答】解：（3+2i）i=2i2+3i=﹣2+3i．故选：B．2．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+1＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为：．故选：C．3．（4分）设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件，故选：A4．（4分）抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．5．（4分）椭圆的焦点坐标为（）A． B．（0，±1）C．（±1，0）D．（±2，0）【解答】解：椭圆，可得a=，b=1，则c=1，椭圆的焦点坐标为：（±1，0）．故选：C．6．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0）到直线的距离是：=1．故选：A．7．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假 B．“p∧q”真 C．“￢p”假D．“p∨q”真【解答】解：大于90°的角为钝角，错误则命题p是假命题，所有的有理数都是实数，正确，则q是真命题，则“p∨q”真，其余为假，故选：D8．（4分）已知双曲线离心率为2，该双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则的值为（）A． B．C． D．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合，∴双曲线的右焦点为F（1，0）即c=1；∵双曲线离心率为2，∴a=，∴b=，∴=．故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）双曲线的焦距为．【解答】解：双曲线的 a=，b=，∴c==2，故焦距为2c=，故答案为．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2 ．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2故答案为：211．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．【解答】解：由双曲线的渐近线方程为y=±x，b=a；∴双曲线的离心率e===．故答案为：．12．（4分）椭圆的一个焦点为，则k= 3 ．【解答】解：椭圆的一个焦点为，可得：，解得k=3．故答案为：3．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的横坐标为 3 ．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=3=x+=4，∴x=3，故答案为：3．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，m∈R，i为虚数单位．（I）实数m为何值时该复数是实数；（Ⅱ）实数m为何值时该复数是纯虚数．【解答】解：（Ⅰ）由m2﹣3m=0，解得m=0或m=3，∴当m=0或m=3时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i为实数；（Ⅱ）由，即，得m=2．∴当m=2时为纯虚数．15．（12分）已知双曲线的离心率e=2，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．【解答】解：（Ⅰ）因为离心率e=2，则，椭圆的焦点（2，0），即c=2，a=1，双曲线c2=a2+b2，得，双曲线方程．（Ⅱ）因为双曲线方程．渐近线，所以．16．（12分）已知椭圆的长轴为4，短轴为2．（I）求椭圆的方程；）是线段AB的中点，求直线（Ⅱ）直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，若点M（﹣1，yl的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴为4，短轴为2．可得2a=4，2b=2，所以 a=2，b=1，则椭圆方程．（Ⅱ）因为，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，又因为△＞0，（8m）2﹣4•5•（4m2﹣4）＞0，解得：.，，则，直线方程．17．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．【解答】（Ⅰ）解：因为b=1，，且a2=b2+c2，所以a=2，，则椭圆方程．（Ⅱ）解：因为，=，直线QF1：，可得，整理得：，解得：，则，所以==．。
大连市高二上学期期末数学理试题有答案
大连市08-09学年普通高中高二上学期期末考试高二数学（理科）试题一．选择题{每小题5分，共60分}1． 下列命题是全称命题的是 （ )A.圆有内接三角形B.有一个函数，既是奇函数又是偶函数C.有的四边形是矩形D.,x ∃使092=-x2．命题：“R x ∈∀，都有012>+-x x ”的否定是 （ ）A R x ∈∀，都有012≤+-x xB R x ∈∃，使012>+-x x ”C R x ∈∃，使012≤+-x x ”D 以上选项均不正确3．.一元二次方程)1(02)1(2≠=++-a x x a 有两个异号实根的一个充分不必要条件是 ( )A. 1<aB. 0<aC. 1>aD. 0>a4．“1=a ”是函数a x x f -=)( 在区间[),1+∞上为增函数的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5．以221412x y -=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ）A ．2211612x y +=B 。
2211216x y +=C ．221164x y +=D 。
221416x y += 6．双曲线2214x y k+=的离心率(1,2e ∈，则k 的取值范围是 （ ）A ． (,0)-∞B 。
(12,0)-C ． (3,0)-D 。
(60,12)--7．.已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ） A ．72. B 。
3 C 。
4 D 。
258．．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ）A ．)0,1(B 。
)0,41( C 。
)81,0( D 。
)41,0(9．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长为 （ ）A ．15B ．152C ．215 D ．1510．已知)32,2,2(=+b a ，)0,2,0(=-b a ，则><b a,c o s 等于( )A.36 B .66 C. 31 D. 61 11. 正方体1AC 中，直线1BC 与平面BD A 1所成角的余弦值为（ ）A.42 B. 32 C. 33 D. 23 12．设椭圆的两个焦点分别为21,F F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△21P F F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 、22B 、212－C 、22－D 、12－二．填空题（每小题4分，共16分）13．“若M a ∉或P a ∉,则P M a ⋂∉”逆否命题是 .14.. 若圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点为P （2，—1），则直线AB 的方程_____________________. 15. 已知A （1，0，3），B （1，2，1），B （0，2，1），则平面ABC 的一个单位法向量为__________________。
辽宁省大连普兰店市高二数学上学期期末考试试题 理
辽宁省大连普兰店市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、下列关系正确的是（）A. Q ∈3B. R ∈3C. Z ∈3D. N ∈3 2、函数51)(-=x x f 的定义域是（）A. }5|{>x xB. }5|{<x xC. }5|{≠x xD. }5|{-≠x x3、从甲、乙、丙三名学生中任选两名学生参加某项活动，甲被选中的概率是 （） A.21 B. 32 C. 31 D. 414、某商场有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有40种、30种和20种, 现采用分层抽样的方法抽取样本进行安全检测，若果蔬类抽取8种，则奶制品类应抽取的种数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7 5、函数f (x) = cos 2x –sin 2x + 1的最小正周期是 （） A4πB 2π C π D 2π 6、如图，网格纸上正方形的边长是1则这个空间几何体的体积为（）A .πB .2πC . 3π D. 4π 7、下列各式中，与sin115的值相等的是（） A ．sin15 B ．sin 25 C ．cos15D ．cos 258、某程序框图如图所示，当输入x 的值是2时，输出y的值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 39、设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D. 1 10、如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝→011、正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（）A.3B.32112、已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）ABC．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年辽宁省大连市普兰店第二十四高级中学高二数学理期末试卷含解析
2021-2022学年辽宁省大连市普兰店第二十四高级中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则p是q的（）B因为条件q：|a|≤1，即为﹣1≤a≤1；因为{a|﹣1≤a≤1}?{a|a≤1}；所以p推不出q，反之q能推出p；所以p是q的必要不充分条件；故选B．2. 已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则等于A． 16 B. 8 C.4 D. 2参考答案：B3. 若函数存在与直线平行的切线,则实数取值范围是A． B． C． D．参考答案：C略4. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A．4 B．6 C．9 D．13参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可得出程序运行后输出的s值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；输入n=5，i=2，s=3，i≤n；s=3+0=3，i=3，i≤n；s=3+1=4，i=4，i≤n；s=4+2=6，i=5，i≤n；s=6+3=9，i=6，i＞n；结束循环，输出s=9．故选：C ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．5. 已知是定义在R 上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线，当时，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①⑤参考答案：B考点：归纳推理；演绎推理的意义7. 在的展开式中，如果第4项和第项的二项式系数相等，则的值为A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A8. 如图,正方体中,,分别为棱,的中点,在平面内且与平面平行的直线（▲ ）A．有无数条 B．有2条 C．有1条 D．不存在参考答案：A9. 用数学归纳法证明（）的过程中，从到时，左边需增加的代数式是( ) A. 3k－1 B. 9k C. 3k＋1 D. 8k参考答案：D【分析】写出n＝k+1的表达式，用f（k+1）﹣f（k）即可得到答案．【详解】设f（k）＝k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2），f（k+1）＝（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）则f（k+1）﹣f（k）＝3k﹣1+3k+3k+1﹣k＝8k，即需要增加的代数式为8k,故选：D．【点睛】本题考查数学归纳法的应用，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1的变化，属于中档题.10. 直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π) B. ∪C. D. ∪参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知曲线上一点，则过曲线上点的所有切线的方程中，斜率最小的切线方程是；参考答案：12. 若参考答案：13. 圆与圆的公切线有_________条．参考答案：略14. 若α表示平面, a 、b 表示直线, 给定下列四个命题: ①a∥α, a⊥b T b⊥α; ② a∥b, a⊥α T b⊥α; ③ a⊥α, a⊥b T b∥α; ④ a⊥α, b⊥αT a∥b . 其中正确命题的序号是 . (只需填写命题的序号)参考答案：略 15. 命题“”的否定是 ________．参考答案：本题主要考查的是命题的否定. 命题“”的否定是“”.故答案为:【备注】全称命题的否定是特称命题. 16. 函数的定义域为.参考答案：17. 已知函数f （x ）=sin （2x ﹣），那么f ′（）的值是 _________ ．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
辽宁省大连市数学高二上学期理数期末考试试卷
辽宁省大连市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）某大学有三个系，A系有10名教师，B系有20名教师，C系有30名教师，甲是B系主任，如果学校决定采用分层抽样的方法选举6位教师组成“教授联席会”，那么，甲被选中的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（）.A . 322B . 332C . 342D . 3523. （2分）(2018·上海) 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）C . 12D . 164. （2分）已知正方体的棱长为a，，点N为的中点，则=（）A .B .C .D .5. （2分）已知命题p：“x∈R时，都有x2﹣x+ ＜0”；命题q：“存在x∈R，使sinx+cosx= 成立”．则下列判断正确的是（）A . p∨q为假命题B . p∧q为真命题C . ￢p∧q为真命题D . ￢p∨￢q是假命题6. （2分）下列命题中正确命题的个数是（）（1）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（2）设回归直线方程中，增加1个单位时，一定增加2个单位；（3）若为假命题，则均为假命题；（4）对命题，使得，则，均有；（5）设随机变量服从正态分布，若，则.C . 4D . 57. （2分） (2019高二上·长沙期中) 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A . 甲所得分数的极差为22B . 乙所得分数的中位数为18C . 两人所得分数的众数相等D . 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数8. （2分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A . K,6B . K,79. （2分）在长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）不等式≤0的解集为（）A . {x|﹣6＜x≤﹣1或x＞1}B . {x|﹣6＜x≤﹣1或x=0或x＞1}C . {x|x＜﹣6或﹣1≤x＜1}D . {x|x＜﹣6或﹣1≤x＜1且x≠0}11. （2分） (2017高二下·黄陵开学考) 若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM ， kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM•kBM=（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 对正整数n，有抛物线y2=2（2n﹣1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于An ， Bn两点，设数列{an}中，a1=﹣4，且an= （其中n＞1，n∈N），则数列{an}的前n项和Tn=（）A . 4nB . ﹣4nC . 2n（n+1）D . ﹣2n（n+1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·中山月考) 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是________。
辽宁省大连市高二上学期期末数学试卷(理科)
辽宁省大连市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知圆 C1:x2+y2+2x+8y-8=0 与圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0 相交，则圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在的直 线的方程为（ ）A . x+2y+1=0B . x+2y-1=0C . x-2y+1=0D . x-2y-1=02. （2 分） (2017·襄阳模拟) 榫卯（sǔn mǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两 个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”．某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所 示，则该“榫头”体积等于（ ）A . 12 B . 13 C . 14 D . 15第 1 页 共 13 页3. （2 分） 已知命题，使， 则（ ）A.，使B.，使C.，使D.，使4. （2 分） 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且总保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹A . 线段 B1CB . BB1 的中点与 CC1 中点连成的线段C . 线段 BC1D . CB 中点与 B1C1 中点连成的线段5. （2 分） 对于直线 m，n 和平面， 有如下四个命题：（1）若,则（2）若,则（3）若,则（4）若,则其中真命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3D.46. （2 分） “ ”是“直线 A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件与直线平行”的（ ）第 2 页 共 13 页C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2 分） (2018 高一上·广西期末) 若不论 点的坐标（ ）取何实数，直线A.B.C.D.恒过一定点，则该8. （2 分） (2016 高三上·兰州期中) 椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是 F1 ， F2 ， 焦距为 2c，若直线与椭圆交于 M 点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 则离心率是（ ）A. B . -1C.D. 9. （2 分） 如图，四棱锥的底面为正方形， ⊥底面，则下列结论中不正确的是（ ）A. B . ∥平面第 3 页 共 13 页C . 与 所成的角等于 与 所成的角D . 与平面所成的角等于 与平面所成的角10. （2 分） (2016 高三上·绍兴期末) 过双曲线=1（a，b＞0）的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 OP 的垂直平分线交 y 轴于点 Q（其中 O 为坐标原点）．若△OFP 的面积是△OPQ 的面积的 4 倍，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. C.2D.11. （2 分） 设双曲线 离为 ， 则双曲线的离心率为（ ）的半焦距为 c，直线 过A . 或2 B.2两点，若原点 到 的距C. 或D. 12.（2 分）抛物线的焦点为 ，已知点 、 为抛物线上的两个动点，且满足.过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ， 垂足为 ， 则 的最大值为 （ ）A. B.1C.第 4 页 共 13 页D.2二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一上·西安期末) 在空间直角坐标系中，点 A（﹣1，2，0）关于平面 yOz 的对称点坐标 为________．14. （1 分） 如图，P﹣ABCD 是棱长均为 1 的正四棱锥，顶点 P 在平面 ABCD 内的正投影为点 E，点 E 在平面 PAB 内的正投影为点 F，则 tan∠PEF=________．15. （1 分） (2016 高一下·仁化期中) 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行，那么系数 a 的值为 ________．16. （1 分） 设 P 为直线 x﹣y=0 上的一动点，过 P 点做圆（x﹣4）2+y2=2 的两条切线，切点分别为 A，B，则 ∠APB 的最大值________．三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （10 分） (2019 高三上·柳州月考) 已知椭圆点 P 为椭圆 E 上任一点，且的最大值为.（1） 求椭圆 E 的方程；的左焦点 ，离心率为 ，（2） 若直线 l 过椭圆的左焦点 ，与椭圆交于 A，B 两点，且的面积为 ，求直线 l 的方程.18. （5 分） 已知命题 p：a∈{y|y=，x∈R}，命题 q：关于 x 的方程 x2+x﹣a=0 的一根大于 1，另一根小于 1．如果命题“p 且 q”为假命题，“p 或 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．19. （15 分） (2019 高二上·上海期中) 如图，已知直线射线的一个法向量为，点 为坐标原点，、 上的动点，直线 和 之间的距离为 2，于点第 5 页 共 13 页和直线 ， ，， ，点 、 分别是直线 于点 ；（1） 若，求的值；（2） 若，求的最大值；（3） 若，，求的最小值.20. （5 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，四边形 BDEF 是矩形， 平面 BDEF⊥平面 ABCD，BF=3，H 是 CF 的中点．（1）求证：AC⊥平面 BDEF；（2）求二面角 H﹣BD﹣C 的大小．21. （5 分） (2018 高二上·吉林期中) （Ⅰ）已知某椭圆过点，求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程．22. （5 分） 知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点．且 长轴长为 4．（I）求椭圆 E 的方程： （Ⅱ）若 A 是椭圆 E 的左顶点，经过左焦点 F 的直线 1 与椭圆 E 交于 C，D 两点，求△OAD 与△OAC 的面积之差第 6 页 共 13 页的绝对值的最大值．（0 为坐标原点）第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、17-2、第 9 页 共 13 页18-1、 19-1、19-2、第 10 页 共 13 页19-3、第11 页共13 页20-1、第12 页共13 页21-1、22-1、第13 页共13 页。
辽宁省大连市普兰店区第一中学2021-2022高二数学上学期期末考试试题.doc
辽宁省大连市普兰店区第一中学2021-2022高二数学上学期期末考试试题时间：120分钟 满分：150分一．单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）1、已知全集{1,2,3,4,5,6},U 集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B ，则()U C A B（ ）A ．{5}B ．{1,3}C ．{1,3,4,5}D ．∅2、复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i3、计算232a a⋅的结果为（ ）A ．32aB ．16aC ．56a D ．65a4、函数()11f x x =+-的图象是（ ）A. B. C.D.5、圆224210x y x y +--+=的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6、函数1()2lg(1)f x x x =+-+ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]7、设4a =，3b =，夹角为60，则a b +等于（ ） A ．37B ．13C ．37D 138、若直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a =（ ）A ．2或－1B ．－1C ．2D ．239、若正实数a ，b 满足，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最小值 B ．有最小值 C ．有最小值4D ．有最小值10、定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在[－1，0]上单调递减，设()2.8a f =-，()1.6b f =-，()0.5c f =，则a 、b ，c 大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.b c a >>D.a c b >>二、多项选择题(本题共3小题，每题4选项2正确，选对一个得2分，不选或选错得0分)11、在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ）.A.23B.26C.30D.3112、下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是（ ） A ．y x =B ．3+=x yC ．1y x=D ．24y x =-+13、若直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A.2-B.2±C.2D.5三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13、直线3350x -=的倾斜角大小为___________.14、已知函数()()()21,02,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦__________ 15、已知a 是函数()22f x log x ＝－的零点，则实数a 的值为______．16、如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高500BC m =，则山高MN =________m ．四、解答题（本大题共6小题共82分。
2019-2020年大连市普兰店高二上册期末数学试题(理科)(有答案)-名校密卷
辽宁大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数满足（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则的共轭复数=（）A．﹣i B．C．i D．2．（5分）演绎推理是（）A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到一般的推理D．一般到特殊的推理3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A．1+a+a2+a3+a4B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a34．（5分）双曲线82﹣y2=8的一个焦点是（0，﹣3），则的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）曲线y=e﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）已知函数f（）=2（a+b）（a，b∈R）在=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3+y=0平行，则函数f（）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0） B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）9．（5分）已知函数f（）=33﹣a2+﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]10．（5分）设函数f（）满足2f′（）+2f（）=，f（2）=，则＞0时，f（）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（）=a（﹣）﹣2ln（a∈R），g（）=﹣，若至少存在一个∈[1，e]，使得f（0）＞g（）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为．14．（5分）已知抛物线y2=2p（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．15．（5分）若函数f（）=2+2f（）d，则f（）d= ．16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．18．（12分）已知函数f（）=3+a2+b+c在=﹣，=1处都取得极值（1）求a，b的值与函数f（）的单调递减区间；（2）若对∈[﹣1，2]，不等式f（）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．建立如图的空间直角坐标系．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（3）求点C到平面A1BD的距离．20．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．21．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（0，y）关于直线y=2的对称点为P1（1，y1），求31﹣4y1的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）若函数f（）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，n∈R，且m≠n，求证．辽宁省大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数满足（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则的共轭复数=（）A．﹣i B．C．i D．【解答】解：∵（1+i）=1﹣i，∴===﹣i，∴的共轭复数=i．故选C．2．（5分）演绎推理是（）A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到一般的推理D．一般到特殊的推理【解答】解：根据题意，演绎推理的模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，是从一般到特殊的推理．故选：D．3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A．1+a+a2+a3+a4B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【解答】解：∵等式“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”左端和式中a的次数由0次依次递增，当n=时，最高次数为（2+1）次，∴用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为1+a+a2+a3，故选：D．4．（5分）双曲线82﹣y2=8的一个焦点是（0，﹣3），则的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：双曲线82﹣y2=8的一个焦点是（0，﹣3），可知＜0，并且：=3，解得=﹣1．故选：B．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：分别以DA、DC、DD1为轴、y轴和轴，建立空间直角坐标系如图设正方体的棱长为2，得C1（0，2，2），E（1，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）∴=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，0）因此，得到||==3，||=2，且•=1×（﹣2）+（﹣2）×0+（﹣2）×0=﹣2∴cos＜，＞==﹣∵异面直线C1E与BC所成的角是锐角或直角∴面直线C1E与BC所成的角的余弦值是故选：C6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．7．（5分）曲线y=e﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【解答】解：函数的导数为f′（）=e﹣1+e﹣1=（1+）e﹣1，当=1时，f′（1）=2，即曲线y=e﹣1在点（1，1）处切线的斜率=f′（1）=2，故选：C．8．（5分）已知函数f（）=2（a+b）（a，b∈R）在=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3+y=0平行，则函数f（）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0） B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：f′（）=3a2+2b，因为函数在=2时有极值，所以f′（2）=12a+4b=0即3a+b=0①；又直线3+y=0的斜率为﹣3，则切线的斜率=f′（1）=3a+2b=﹣3②，联立①②解得a=1，b=﹣3，令f′（）=32﹣6＜0即3（﹣2）＜0，解得0＜＜2．故选B9．（5分）已知函数f（）=33﹣a2+﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]【解答】解：f′（）=92﹣2a+1∵f（）=33﹣a2+﹣5在区间[1，2]上单调递增∴f′（）=92﹣2a+1≥0在区间[1，2]上恒成立．即，即a≤5，故选A10．（5分）设函数f（）满足2f′（）+2f（）=，f（2）=，则＞0时，f（）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【解答】解：∵函数f（）满足，∴令F（）=2f（），则F′（）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（）=，令φ（）=e﹣2F（），则φ′（）=e﹣2F′（）=．∴φ（）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（）≥0．又＞0，∴f′（）≥0．∴f（）在（0，+∞）单调递增．∴f（）既无极大值也无极小值．故选D．11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．12．（5分）已知函数f（）=a（﹣）﹣2ln（a∈R），g（）=﹣，若至少存在一个∈[1，e]，使得f（0）＞g（）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个0∈[1，e]，使得f（）＞g（）成立，即f（）﹣g（）＞0在∈[1，e]时有解，设F（）=f（）﹣g（）=a（﹣）﹣2ln+=a﹣2ln＞0有解，∈[1，e]，即a，则F′（）=，当∈[1，e]时，F′（）=≥0，∴F（）在[1，e]上单调递增，（）=F（1）=0，即Fmin因此a＞0即可．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是 1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜14．（5分）已知抛物线y2=2p（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为=﹣1 ．【解答】解：设A（1，y1）、B（2，y2），则有y12=2p1，y22=2p2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（1﹣2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为=﹣=﹣1．故答案为：=﹣1．15．（5分）若函数f（）=2+2f（）d，则f（）d= ﹣．【解答】解：设f（）d=c，则f（）=2+2c，所以f（）d=（2+2c）d==c，解得c=；故答案为：﹣．16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是10 ．【解答】解：∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=a．△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°⇔×a×（a+a）×=40⇔a=10，故答案为：10．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．【解答】解：定圆M圆心M（2，0），半径r=8，因为动圆C与定圆M内切，且动圆C过定点A（﹣2，0），|MA|+|MB|=8．所以动圆心C轨迹是以B、A为焦点，长轴长为8的椭圆．c=2，a=4，b2=12，动圆心轨迹方程．18．（12分）已知函数f（）=3+a2+b+c在=﹣，=1处都取得极值（1）求a，b的值与函数f（）的单调递减区间；（2）若对∈[﹣1，2]，不等式f（）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f′（）=32+2a+b，∵=f′（1）=0，∴+2a×+b=0，3+2a+b=0，联立解得a=，b=﹣2．f（）=3﹣2﹣2+c，∴f′（）=32﹣﹣2=（3+2）（﹣1），令f′（）=（3+2）（﹣1）≤0，解得．∴函数f（）的单调递减区间为．（2）由（1）可得：f（）=3﹣2﹣2+c，对∈[﹣1，2]，不等式f（）＜c2恒成立⇔＜c2﹣c，令g（）=3﹣2﹣2，∈[﹣1，2]，∴g′（）=32﹣﹣2=（3+2）（﹣1），由（1）可得：函数g（）在，[1，2]上单调递增，在区间上单调递减．而=，g（2）=2．∴g（）ma=2．∴c2﹣c＞2，即c2﹣c﹣2＞0，解得c＞2，或c＜﹣1．∴c的取值范围（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．建立如图的空间直角坐标系．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（3）求点C到平面A1BD的距离．【解答】法一、（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO，∵△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1，连结B 1O ，在正方形BCC 1B 1 中， ∵O ，D 分别为BC ，CC 1 的中点， ∴B 1O ⊥BD ，则AB 1⊥BD ． 在正方形ABB 1A 1 中， ∵AB 1⊥A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ；（Ⅱ）解：设AB 1 与A 1B 交于点G ，在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ， 连结AF ，由（Ⅰ）得AB 1⊥平面A 1BD ．∴AF ⊥A 1D ，则∠AFG 为二面角A ﹣A 1D ﹣B 的平面角． 在△AA 1D 中，由等面积法可求得，又∵，∴sin．∴二面角A ﹣A 1D ﹣B 的正弦值为；（Ⅲ）在△A 1BD 中，，，∴，S△BCD =1．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1 到平面BCC 1B 1 的距离为．设点C 到平面A 1BD 的距离为d ． 由，得，∴d=．∴点C 到平面A 1BD 的距离为．法二：（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为，y，轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），∴，，．∵，，∴AB1⊥BD，AB1⊥BA1．∴AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）解：设平面A1AD的法向量为．，．由，取=1，得．由（Ⅰ）知为平面A1BD的法向量．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，为平面A1BD法向量，∵，．∴点C到平面A1BD的距离d=．20．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（6分）又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为，y，轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣y．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…（9分）设n=（，y，）为平面BCE的法向量，则令=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）21．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（0，y）关于直线y=2的对称点为P1（1，y1），求31﹣4y1的取值范围．【解答】解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2．∵，∴．∴所求椭圆C的方程为．（2）∵点P（0，y）关于直线y=2的对称点为，∴解得：，．∴31﹣4y 1=﹣50．∵点P （0，y 0）在椭圆C ：上，∴﹣2≤0≤2，则﹣10≤﹣50≤10．∴31﹣4y 1的取值范围为[﹣10，10]．22．（12分）已知函数．（1）若函数f （）在（0，+∞）上为单调增函数，求a 的取值范围； （2）设m ，n ∈R ，且m ≠n ，求证．【解答】解：（1）f′（）=﹣==，因为f （）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（）≥0在（0，+∞）上恒成立 即2+（2﹣2a ）+1≥0在（0，+∞）上恒成立， 当∈（0，+∞）时，由2+（2﹣2a ）+1≥0， 得：2a ﹣2≤+，设g （）=+，∈（0，+∞）， 则g （）=+≥2=2，当且仅当=即=1时，g （）有最小值2，所以2a ﹣2≤2，解得a ≤2，所以a 的取值范围是（﹣∞，2]； （2）设m ＞n ，要证，只需证＜，即ln ＞，即ln ﹣＞0，设h（）=ln﹣，由（1）知h（）在（1，+∞）上是单调增函数，又＞1，所以h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0成立，得到．。
高二(上)期末数学试卷(理科)2
2021-2021学年辽宁省大连五校高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕设命题p：?x＞0，x﹣lnx＞0，那么￢p为〔〕A．?x＞0，x﹣lnx≤0 B．?x＞0，x﹣lnx＜0C．?x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．?x0＞0，x0﹣lnx0≤02．〔5分〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，2a1+a13=﹣9，那么S9=〔〕A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．543．〔5分〕假设a，b∈R，那么“＜〞是“＞0〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．〔5分〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线方程为x﹣2y=0，那么该双曲线的离心率是〔〕A． B． C．D．5．〔5分〕直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角的余弦值为〔〕A．B ．C．D．6．〔5分〕等比数列{an}中，a2=2，那么其前三项和S3的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕C．[6，+∞〕D．〔﹣∞，﹣2]∪[6，+∞〕7．〔5分〕变量x，y满足约束条件，假设目标函数z=x+2y的最小值为2，那么m=〔〕A．2 B．1C．D．﹣28．〔5分〕60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，AB=4，AC=6，BD=8，那么CD的长为〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[ 1，+∞〕B．[ 6，+∞〕C．[ 28，+∞〕D．[ 45，+∞〕10．〔5分〕与函数B的点，假设直PA的斜率取范是A．[6，2]B．[2，6]C．y=x3的象相交于A，B两点，点P C上异于A，[ 3，1]，直PB的斜率取范是〔〕D．11．〔5分〕数列{a n}的前n和S n，假设+++⋯+=4n 4，且a n≥0，S100等于〔〕A．5048B．5050C．10098 D．1010012．〔5分〕双曲Γ：=1〔a＞0，b＞0〕的上焦点F〔0，c〕〔c＞0〕，M是双曲下支上的一点，段MF与x2+y2y+ =0相切于点D，且|MF|=3|DF|，双曲Γ的近方程〔〕A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x±2y=0二、填空〔每5分，分20分，将答案填在答上〕13．〔5分〕命p：x2+2x3＞0，命q：x＞a，假设￢p是￢q的充分不必要条件，数a的取范是．14．〔5分〕正等比数列{a n}的公比2，假设，的最小等于．．〔分〕M 是抛物2上一点，F其焦点，点A在C：〔x+1〕2+〔y6〕2=1155x=4y上，|MA|+|MF|的最小是．16．〔5分〕如，在直三棱柱A1B1C1ABC中，，G与E分是棱A11和1的中点，D 与F分是段AC与AB上的点〔不包括端点〕．假设GD⊥EF，B CC段DF的度的取范是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔10分〕数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕假设数列{b n满足，求数列n的前n 项和n．}{b}T18．〔12分〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．〔1〕证明：AC⊥D1E；〔2〕求DE与平面AD1E所成角的正弦值．19．〔12分〕数列{{a n}满足，．〔1〕求证：数列是等比数列；〔2〕假设数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．20．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．〔Ⅰ〕求证：平面AEC⊥平面PCD．〔Ⅱ〕假设二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．〔12分〕过抛物线E：y2=2px〔p＞0〕的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕〔x1＜x2〕两点，且|AB|=6．〔1〕求该抛物线E的方程；〔2〕过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．22．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：〔x+1〕2+y2=16，点A〔1，0〕，点B〔a，0〕〔|a|＞3〕，以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线CP于点Q．I〕当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；II〕直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕设命题p：?x＞0，x﹣lnx＞0，那么￢p为〔〕A．?x＞0，x﹣lnx≤0B．?x＞0，x﹣lnx＜0C．?x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．?x0＞0，x0﹣lnx0≤0【解答】解：因为全称命题的否认是特称命题，所以命题“?x＞0，x﹣lnx＞0〞的否认是?x＞0，x﹣lnx≤0．应选：D．2．〔5分〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，那么S9=〔〕A．﹣27B．27C．﹣54D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，∴3a1﹣，∴1﹣，+12d=9a+4d=3∴S9〔1〕﹣．==9a+4d=27应选：A．3．〔5分〕假设a，b∈R，那么“＜〞是“＞0〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：?a，b∈R，a2+ab+b2=+ b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．∴＞0?〔a﹣b〕ab＞0，?“＜〞．∴“＜〞是“＞0〞的充要条件．应选：C．4．〔5分〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线方程为x﹣2y=0，那么该双曲线的离心率是〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴a=2b，∴c=b，∴双曲线的离心率是e= =．应选：D．5．〔5分〕直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．【解答】解：根据条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如下列图空间直角坐标系，设CA=2，那么：A〔2，0，2〕，N〔1，0，0〕，B〔0，2，2〕，A1〔2，0，0〕，B1〔0，2，0〕，M〔1，1，0〕；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．应选：D．6．〔5分〕等比数列{a n}中，a2=2，那么其前三项和S3的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2]B．〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕C．[6，+∞〕D．〔﹣∞，﹣2]∪[6，+∞〕【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=2，∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是〔﹣∞，﹣2]∪[6，+∞〕．应选：D．7．〔5分〕变量x，y满足约束条件，假设目标函数z=x+2y的最小值为2，那么m=〔〕A．2 B．1C．D．﹣2【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过距最小，z有最小值为2．由，解得A〔m，m〕，A代入z=x+2y，可得m+2m=2，解得m=A时，直线在．y轴上的截应选：C．8．〔5分〕60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，AB=4，AC=6，BD=8，那么CD的长为〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，∴=，∵AB=4，AC=6，BD=8，∴2=〔〕2=+2=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．∴CD的长为| |=2．应选：B．9．〔5分〕不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[﹣1，+∞〕B．[﹣6，+∞〕C．[﹣28，+∞〕D．[﹣45，+∞〕【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，即：a≥﹣2〔〕2，对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，t=，那么2≤t≤5，∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，y=2t2+t在[2，5]减，y max=2×22+2=6，∴a≥6，故B．．〔分〕与函数3的象相交于A，B两点，点PC上异于A，105y=xB的点，假设直PA的斜率取范是[3，1]，直PB的斜率取范是〔〕A．[6，2]B．[2，6]C．D．【解答】解：∵C：与函数y=x3的象相交于A，B两点，∴A，B两点关于原点称，A〔x1，y1〕，〔x1，y1〕，，即．P〔x0，0〕，，可得：．y∴．∵直PA的斜率k1的取范[，1]，3∴3≤≤1，得，∴直PB的斜率取范是[]．故：D．11．〔5分〕数列{a n}的前n和S n，假设+++⋯+=4n 4，且a n≥0，S100等于〔〕A．5048B．5050C．10098 D．10100【解答】解：当n=1，=0，a1=0．当n≥2，+++⋯++=4n 4，①+++⋯+=4n 8，②+++⋯++=4n，③由①②得到：=4，∵a n≥0，∴n=2n，由③①得到：=4，∴a n+1=2n+2，n+1a n=2，∴数列{a n是等差数列，公差是，}2上所述，a n=，∴S100123⋯100=0+×〔〕．=S+S+S+++S1001=10098故：C．12．〔5分〕双曲Γ：=1〔a＞0，b＞0〕的上焦点F〔0，c〕〔c＞0〕，M是双曲下支上的一点，段MF与x2+y2y+ =0相切于点D，且|MF|=3|DF|，双曲Γ的近方程〔〕A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x±2y=0【解答】解：由x2+y2y+ =0，得x2+〔y〕2=，的心坐〔0，〕，半径．切点D〔x0，y0〕〔y0＞0〕，由x2+y2y+=0与〔x0，0〕〔0，0〕，y c?x y=0解得：x0=，y0=．∴D〔，〕，由|MF|=3|DF|，得=3，得M〔，﹣〕，代入双曲线Γ：﹣=1〔a＞0，b＞0〕整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±x．应选：D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，假设￢p是￢q的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是[1，+∞〕．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，假设￢p是￢q的充分不必要条件，q是p的充分不必要条件，∵q：x＞a，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞〕，故答案为：[1，+∞〕．14．〔5分〕正项等比数列{a n}的公比为2，假设，那么的最小值等于．【解答】解：正项等比数列{a n的公比为，假设，}2可得〔a1?2m﹣1〕〔a1?2n﹣1〕=4〔2a1〕2，即有m﹣1+n﹣1=4，m+n=6，可得=〔m+n〕〔〕=〔2++ +〕≥〔+2〕=×=．当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，那么的最小值为．故答案为：．15．〔5分〕M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：〔x+1〕2+〔y﹣6〕2=1上，那么|MA|+|MF|的最小值是6．【解答】解：抛物线x2=4y 的焦点〔，〕，准线方程为﹣，F01y=1如下列图：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．即CM⊥x轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，故答案为：6．16．〔5分〕如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，G与E分别是棱A11和1的中点，D 与F分别是线段AC与AB上的动点〔不包括端点〕．假设⊥，那么B CC GD EF线段DF的长度的取值范围是．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如下列图的空间直角坐标系，那么A〔0，0，0〕，E〔0，1，〕，G〔，0，1〕，F〔x，0，0〕，D〔0，y，0〕，=〔﹣，y，﹣1〕，=〔x，﹣1，﹣〕，∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即x+2y﹣1=0∴DF===，∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值=，y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1．∴线段DF的长度的取值范围是[，1〕．故答案为：．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔10分〕数列{a}是等比数列，首项a=1，公比q＞0，其前n项和为S，且S+a，n1n11S3+a3，S2+a2成等差数列．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕假设数列{b n满足，求数列n的前n项和n．}{b}T【解答】解：〔1〕因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以2〔S3+a3〕=〔S1+a1〕+〔S2+a2〕，所以〔S3﹣S1〕+〔S3﹣S2〕+2a3=a1+a2，所以4a3=a1，因为数列{a n}是等比数列，所以，又q＞0，所以，所以数列{a n}的通公式．〔2〕由〔1〕知，，，所以，=20+21+22+⋯+2n﹣1n?2n，=．故．18．〔12分〕在方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，EBB1中点．〔1〕明：AC⊥D1E；〔2〕求DE与平面AD1E所成角的正弦．【解答】〔1〕明：接BD，∵ABCDA1B1C1D1是方体，∴D1D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC，在方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，D1E?平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；〔2〕如，以D坐原点，DA，DC，DD1所在的直x，y，z建立空直角坐系，A〔1，0，0〕，D1〔0，0，2〕，E〔1，1，1〕，B〔1，1，0〕，，平面AD1E的法向量，，令z=1，那么，∴，所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．19．〔12分〕数列{{a n}满足，．〔1〕求证：数列是等比数列；〔2〕假设数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：〔1〕因为数列{a n}满足，所以，即，又a1，所以，=1所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．〔2〕由〔1〕可得，所以，因为b1﹣λ符合，所以．=因为数列{b n是单调递增数列，所以n+1＞n，即〔﹣λ〕n＞〔n﹣1﹣λ〕?2n﹣1n?2，}b b化为λ＜n+1，所以λ＜2．20．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．〔Ⅰ〕求证：平面AEC⊥平面PCD．〔Ⅱ〕假设二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】〔Ⅰ〕证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，FO⊥AD，那么FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，CD∥FO，那么CD⊥AE，E是PD中点，那么AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；〔Ⅱ〕解：如下列图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，那么P〔0，0，〕，A〔1，0，0〕，C〔﹣1，a，0〕．由〔Ⅰ〕知=〔〕为平面PCE的法向量，令=〔1，y，z〕为平面PAC的法向量，由于=〔1，0，﹣〕，=〔2，﹣a，0〕均与垂直，∴，解得，那么，由cosθ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD?PO=?2??=2．2的直线交抛物线于A〔x，21．〔12分〕过抛物线E：y=2px〔p＞0〕的焦点F，斜率为1 y1〕，B〔x2，y2〕〔x1＜x2〕两点，且|AB|=6．〔1〕求该抛物线E的方程；〔2〕过点F任意作互相垂直的两条直线l1，2，分别交曲线E 于点，和M，．设线段，l CD N CD MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【解答】解：〔1〕抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：联立方程组，消元得：，∴∴，解得p=±2．∵p＞0，∴抛物线E的方程为：y2．=4x〔2〕证明：设C，D两点坐标分别为〔x1，1〕，〔2，2〕，那么点P 的坐标为．y xy 由题意可设直线l1的方程为y=k〔x﹣1〕〔k≠0〕．由，得k22﹣〔2k2+4〕x+k2．△〔2k 2+4〕﹣4k42+16＞0x=0==16k因为直线l1与曲线E 于，D两点，所以．C所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为〔1+2k2，﹣2k〕．当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．所以，直线PQ的方程为，整理得yk2+〔x﹣3〕k﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点〔3，0〕；k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点〔3，0〕．综上所述，直线PQ恒过定点〔3，0〕．22．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：〔x+1〕2+y2=16，点A〔1，0〕，点B〔a，0〕〔|a|＞3〕，以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线CP于点Q．I〕当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；II〕直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．【解答】解：〔I〕如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，故点Q的轨迹方程为〔II〕由题可知，设直线l：x=my﹣1，不妨设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕∵，，∵，∴〔3m2+4〕y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，∴，∵，即∈〔﹣，0]，∈〔﹣3，﹣〕，∴=﹣∈〔，3〕．。
2019-2020学年辽宁省大连市普兰店区第一中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年辽宁省大连市普兰店区第一中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B =，则()U C A B =I （ ） A ．{5} B ．{1,3}C ．{1,3,4,5}D ．∅【答案】A【解析】先求集合A 的补集,再与B 求交集即可. 【详解】因为{1,2,3,4,5,6},U ={1,3,4}A =,{2,5,6}U C A ∴=,(){5}U C A B ∴⋂=,故选A . 【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题. 2．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题. 32的结果为（ ）A ．32aB ．16a C ．56a D ．65a【解析】利用同底数幂运算法则完成计算. 【详解】 因为7522226627132362a a aa a aa aa-====⋅⋅，故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：rsr sa a a +⋅=，rr s s a a a-=. 4．函数()11f x x =+-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数(),1112,1x x f x x x x ≥-⎧=+-=⎨--<-⎩，根据一次函数的图象，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，函数(),1112,1x x f x x x x ≥-⎧=+-=⎨--<-⎩，根据一次函数的图象，可得函数()f x 的图象为选项C. 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，其中解答中正确化简函数的解析式，利用一次函数的图象判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及识图能力，属于基础题. 5．圆224210x y x y +--+=的圆心在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】将圆的一般方程化简为标准方程，即可得出答案。
辽宁省大连市高二上学期期末数学试卷(理科)
辽宁省大连市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N+|x≤5}，则A∩B=（）A . {1，2，3}B . {1，2}C . {4，5}D . {1，2，3，4，5}2. （2分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；③一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则样本的标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=a+bx中，b=2，=1，=3，则a=1．其中真命题为（）A . ①②④B . ②④C . ②③④D . ③④4. （2分）已知实数ai ， bi（i=1，2，3）满足a1＜a2＜a3 ， b1＜b2＜b3 ，且（ai﹣b1）（ai﹣b2）（ai ﹣b3）=﹣1（i=1，2，3），则下列结论正确的是（）A . b1＜a1＜a2＜b2＜b3＜a3B . a1＜b1＜b2＜a2＜a3＜b3C . a1＜a2＜b1＜b2＜a3＜b3D . b1＜b2＜a1＜a2＜b3＜a35. （2分）(2018·安徽模拟) 已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）用秦九韶算法求多项式，当时，的值为（）A . 27B . 86C . 262D . 7897. （2分）已知等差数列，为其前项和，若，且，则（）A . 20B . 24C . 26D . 308. （2分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为（）个工作日．A . 36B . 42C . 45D . 519. （2分） (2016高一下·黑龙江期中) 在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则BC的取值范围为（）A . （3，3 ）B . （2 ，3 ）C . （3 ，+∞）D . （0，3 ）10. （2分）(2018·安徽模拟) 若数列的通项公式是，则（）A .B .C .D .11. （2分）已知双曲线的离心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .12. （2分）五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（）A . 20条B . 15条C . 12条D . 10条二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·池州期末) 如图，该程序运行后输出的结果为________．14. （1分）已知△ABC中，A、B的坐标分别为（2，0）和（﹣2，0），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是________．15. （1分）若x，y满足条件当且仅当x=y=3时，z=ax+y取最大值，则实数a的取值范围是________16. （1分） (2016高一上·历城期中) 对于函数f（x）定义域中任意的x1 ， x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=ex时，上述结论中正确结论的序号是________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2016高二上·南昌期中) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2（其中O为原点）．求k 的取值范围．18. （10分） (2016高一下·南沙期末) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+ ）的值．19. （5分） (2018高一下·六安期末) 已知数列满足，它的前项和为，且， .数列满足，其前项和为，求的最小值.20. （5分）城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求．某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）．组别一二三四五候车时间[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]人数2642l（I）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（II）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查．①列出所有可能的结果；②求抽到的两人恰好来自不同组的概率．21. （5分）如图四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD是正三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB，点E为PD中点．（I）证明：CD⊥平面PAD（II）证明：平面PBC⊥平面PCD（III）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．22. （5分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|2=|F1P|2+|F1Q|2 ，求直线m的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、。
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2017-2018年辽宁大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．﹣i B．C．i D．2．（5分）演绎推理是（）A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到一般的推理D．一般到特殊的推理3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A．1+a+a2+a3+a4B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a34．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）已知函数f（x）=x2（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0） B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）9．（5分）已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]10．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．15．（5分）若函数f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx= ．16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣，x=1处都取得极值（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．建立如图的空间直角坐标系．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（3）求点C到平面A1BD的距离．20．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．21．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，y）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求3x1﹣4y1的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，n∈R，且m≠n，求证．2017-2018学年辽宁省大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．﹣i B．C．i D．【解答】解：∵z（1+i）=1﹣i，∴z===﹣i，∴z的共轭复数=i．故选C．2．（5分）演绎推理是（）A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到一般的推理D．一般到特殊的推理【解答】解：根据题意，演绎推理的模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，是从一般到特殊的推理．故选：D．3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A．1+a+a2+a3+a4B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【解答】解：∵等式“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”左端和式中a的次数由0次依次递增，当n=k时，最高次数为（2k+1）次，∴用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为1+a+a2+a3，故选：D．4．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），可知k＜0，并且：=3，解得k=﹣1．故选：B．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图设正方体的棱长为2，得C1（0，2，2），E（1，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）∴=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，0）因此，得到||==3，||=2，且•=1×（﹣2）+（﹣2）×0+（﹣2）×0=﹣2∴cos＜，＞==﹣∵异面直线C1E与BC所成的角是锐角或直角∴面直线C1E与BC所成的角的余弦值是故选：C6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．7．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=x2（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0） B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx，因为函数在x=2时有极值，所以f′（2）=12a+4b=0即3a+b=0①；又直线3x+y=0的斜率为﹣3，则切线的斜率k=f′（1）=3a+2b=﹣3②，联立①②解得a=1，b=﹣3，令f′（x）=3x2﹣6x＜0即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2．故选B9．（5分）已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]【解答】解：f′（x）=9x2﹣2ax+1∵f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增∴f′（x）=9x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立．即，即a≤5，故选A10．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【解答】解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．12．（5分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）=，当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即Fmin（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是 1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1 ．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故答案为：x=﹣1．15．（5分）若函数f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx= ﹣．【解答】解：设f（x）dx=c，则f（x）=x2+2c，所以f（x）dx=（x2+2c）dx==c，解得c=；故答案为：﹣．16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是10 ．【解答】解：∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=a．△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°⇔×a×（a+a）×=40⇔a=10，故答案为：10．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．【解答】解：定圆M圆心M（2，0），半径r=8，因为动圆C与定圆M内切，且动圆C过定点A（﹣2，0），|MA|+|MB|=8．所以动圆心C轨迹是以B、A为焦点，长轴长为8的椭圆．c=2，a=4，b2=12，动圆心轨迹方程．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣，x=1处都取得极值（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵=f′（1）=0，∴+2a×+b=0，3+2a+b=0，联立解得a=，b=﹣2．f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），令f′（x）=（3x+2）（x﹣1）≤0，解得．∴函数f（x）的单调递减区间为．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立⇔＜c2﹣c，令g（x）=x3﹣x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，∴g′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），由（1）可得：函数g（x）在，[1，2]上单调递增，在区间上单调递减．而=，g（2）=2．∴g（x）=2．max∴c2﹣c＞2，即c2﹣c﹣2＞0，解得c＞2，或c＜﹣1．∴c的取值范围（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．建立如图的空间直角坐标系．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（3）求点C到平面A1BD的距离．【解答】法一、（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，连结B1O，在正方形BCC1B1中，∵O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD，则AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，∵AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）解：设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．∴AF⊥A1D，则∠AFG为二面角A﹣A1D﹣B的平面角．在△AA1D中，由等面积法可求得，又∵，∴sin．∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为；（Ⅲ）在△A1BD中，，，∴，S△BCD=1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1到平面BCC1B1的距离为．设点C到平面A1BD的距离为d．由，得，∴d=．∴点C到平面A1BD的距离为．法二：（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），∴，，．∵，，∴AB1⊥BD，AB1⊥BA1．∴AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）解：设平面A1AD的法向量为．，．由，取z=1，得．BD的法向量．由（Ⅰ）知为平面A1∴cos＜＞=．D﹣B的正弦值为；∴二面角A﹣A1BD法向量，（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，为平面A1∵，．∴点C到平面ABD的距离d=．120．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（6分）又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…（9分）设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）21．（12分）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为e=，点A 是椭圆上的一点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点P （x 0，y 0）关于直线y=2x 的对称点为P 1（x 1，y 1），求3x 1﹣4y 1的取值范围．【解答】解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2． ∵，∴．∴所求椭圆C 的方程为．（2）∵点P （x 0，y 0）关于直线y=2x 的对称点为，∴解得：，．∴3x 1﹣4y 1=﹣5x 0．∵点P （x 0，y 0）在椭圆C ：上，∴﹣2≤x 0≤2，则﹣10≤﹣5x 0≤10． ∴3x 1﹣4y 1的取值范围为[﹣10，10]．22．（12分）已知函数．（1）若函数f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数，求a 的取值范围； （2）设m ，n ∈R ，且m ≠n ，求证． 【解答】解：（1）f′（x ）=﹣==，因为f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，当x∈（0，+∞）时，由x2+（2﹣2a）x+1≥0，得：2a﹣2≤x+，设g（x）=x+，x∈（0，+∞），则g（x）=x+≥2=2，当且仅当x=即x=1时，g（x）有最小值2，所以2a﹣2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]；（2）设m＞n，要证，只需证＜，即ln＞，即ln﹣＞0，设h（x）=lnx﹣，由（1）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又＞1，所以h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0成立，得到．。