2.4.1抛物线及标准方程
学案10：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程预习导引区 核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹． ①M 的轨迹是什么形状？②|MH |与|MF |之间有什么关系？③抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？(2)观察教材，直线l 的方程为x ＝－p2，定点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？2．归纳总结，核心必记 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程图形标准方程 焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 续表图形标准方程 焦点坐标准线方程x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？(2)到定点A (3，0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程 思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？思考2 抛物线方程中p 的几何意义是什么？思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？ 讲一讲1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0; (3)y 2＝ax (a >0)．类题·通法根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．练一练1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．知识点2 求抛物线的标准方程思考1抛物线标准方程有什么特点？思考2如何求抛物线的标准方程？讲一讲2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6，6);(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．类题·通法求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n 的值．练一练2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．类题通法(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．练一练3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．类题通法在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．练一练4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．参考答案预习导引区核心必知1．(1)①提示：抛物线． ②提示：相等． ③提示：都相等． (2)提示：y 2＝2px (p >0)．2．(1)距离相等 焦点 准线 问题思考(1)提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过点F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点F 时，点的轨迹是抛物线． (2)提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x ．(3)提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x ． 课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 名师指津：y 2＝2px (p >0)；y 2＝－2px (p >0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)． 思考2 名师指津：p 的几何意义是：焦点到准线的距离．思考3 名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p ，利用焦点坐标及准线的定义求解． 讲一讲1．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110， 准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 练一练1．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1a y .当a >0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ； 当a <0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 知识点2 求抛物线的标准方程思考1 名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项． 思考2 名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p 的值． 讲一讲2．解：(1)∵点M (－6，6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6，6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 将点M (－6，6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F (2，0)， ∴p2＝2， ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . 练一练2．解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪－p 2－p2＝p ＝3， 因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .知识点3 抛物线定义的应用 讲一讲3．解：如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴()|P A |＋|PF |min＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2，∴P 点坐标为(2，2)． 练一练3．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知， 当点P ，A (0，2)，和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172. 知识点4 抛物线方程的实际应用 讲一讲4．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，由点B 在抛物线上， 得⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ⎝⎛⎭⎫－a 4，所以p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13. 练一练4．解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.。
2.4.1 抛物线及其标准方程
2．4．1抛物线及其标准方程预习课本P64～67，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？[新知初探]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)()答案：(1)×(2)×2．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18答案：D3．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x[典例] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3．∴抛物线的方程为y 2＝－6x ．若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6， ∴p ＝3，∴抛物线的方程为x 2＝6y ．综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y ． (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x ． ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y ．综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y ．求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．②直接根据定义求p ，最后写标准方程．③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． [活学活用]求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0；(3)y 2＝ax (a >0)．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72． (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110，准线方程是y ＝－110．(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4．抛物线定义的应用[典例] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)(浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A ．|BF |－1|AF |－1B ．|BF |2－1|AF |2－1C ．|BF |＋1|AF |＋1D ．|BF |2＋1|AF |2＋1[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－14．因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A ．(2)由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |．由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1．∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M ．由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1．在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1．[答案] (1)A (2)A抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．[活学活用]1．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．74解析：选C 根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54．2．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π3解析：选C 由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F ．又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2．抛物线的实际应用[典例]某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解]如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1．28，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1．28)，此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7，150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系；(2)假设：设出合适的抛物线标准方程；(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；(4)求解：求出需要求出的量；(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．[活学活用]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y ．当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：2 6层级一 学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．148D ．124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124．故到焦点的距离最小值为148．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A ． B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2．3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ＝4FQ，则|QF |＝( )A ．72B ．52C ．3D ．2解析：选C 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ＝4FQ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3．故选C ．4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2．若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以ba ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ．抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y ．6．抛物线x ＝14my 2的焦点坐标是________． 解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ，∴p ＝2m ，即焦点(m,0)． 答案：(m,0)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a ＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________．解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8．不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14．答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5，即p ＝4．所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2． 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±26．法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p2． ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5， 故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2．10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)?解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y ． (2)设车辆高为h ，则|DB |＝h ＋0．5， 故D (3．5，h －6．5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4．05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．层级二 应试能力达标1．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线解析：选D 设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．故选D ．2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．23B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图，∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l ． 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4， ∴S △PMF ＝34×42＝43．故选D ． 3．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ．32C ．1D ．2解析：选D 设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)．过M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，过A 作AC ⊥l 于C ，过B 作BD ⊥l 于D ，则|MN |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|BF |2≥|AB |2＝3，所以AB 中点到x 轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB 过焦点，故选D ．4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5．若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0，2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2．由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4．由|MF |＝5得，⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C ．5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC＝0，则|FA |＋|FB|＋|FC |＝________．解析：因为FA ＋FB ＋FC＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA |＋|FB|＋|FC |＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6．答案：66．从抛物线y 2＝4x 上的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的内切圆的面积为________．解析：如图，∵|PM |＝5，∴点P 的坐标为(4,4)， ∴S △PMF ＝12×5×4＝10．设△PMF 的内切圆圆心为O ′，半径为r ， ∴S △PMF ＝S △O ′PM ＋S △O ′PF ＋S △O ′MF ， 即12(5＋5＋25)r ＝10，解得r ＝5－52， 故△PMF 内切圆的面积为πr 2＝15－552π．答案：15－552π 7．已知M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上任一点(不与原点重合)，F 是其焦点． 求证：以MF 为直径的圆与y 轴相切．证明：如图，过M 作MN ⊥l 于N ，交y 轴于点Q ，O ′是MF 的中点，作O ′R ⊥y 轴于R ．∵|MF |＝|MN |，|OF |＝|OP |＝|QN |， ∴|O ′R |＝12(|OF |＋|QM |)＝12(|QM |＋|QN |) ＝12|MN |＝12|MF |， ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切．8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝5．(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．即|PB|＋|PF|的最小值为4．。
【2.4.1抛物线及其标准方程】
y
K
y
y
.
l
F
x
K
.F
l
x
K
.
l
F
x
（1） ）
（2） ）
（3） ）
二、标准方程
解：如图所示建立平面直角坐标系 由于F是定点，直线L是定直线 所以不妨设︱KF︱= p (p>0) ︱ ︱
l N K o
y
M
设点M（x，y）， （ ， ），
p p ），l： 则F（ 2 ，0）， ：x = （ ）， 2
· ·F
p 的坐标为： （2）焦点 的坐标为： F ( ,0) ）焦点F的坐标为 2 p 准线l的方程为 的方程为： 准线 的方程为： x = − 2
| （4）抛物线的几何意义： MF |= d ）抛物线的几何意义：
由于平面内的定点F及定直线l的位置 关系可以不同，因而画出的抛物线，其 开口方向也就可能不同，相应的抛物线 的标准方程也就不同。
想 一 想 ？
抛物线的标准方程还有 哪些形式？ 哪些形式？
l
Y
P
O
F
·
X
F
·
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形 o
焦
点
准 线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x y
x = 2 py
2
( p > 0)
2
﹒
o
x
x = -2 py
( p > 0)
对抛物线标准方程的再认识
l
y
O
对于y2 = 2px;
y2 = – 2px;
y
左边是 y的平方项 ，右边是 x的一次项 ； 一次项系数大于0时 焦点在 一次项系数大于 时，焦点在 X轴的正半轴 ，开口 向右
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》知识导学
2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程第一课时课标解读1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握其定义、标准方程及几何图形. 学会思考1.把一根直尺固定在图板上直线l 的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A ,取绳长等于点A 到直角顶点C 的长(即点A 到直线l 的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F .用铅笔尖扣着绳子,使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.请问此曲线上任意一点到定点F 的距离与到l 的距离有何关系?此曲线为何曲线?2.抛物线的标准方程y 2=2px (p >0)中,p 具有一定的几何意义,它表示__________________. 答案:1.相等,抛物线.2.抛物线的焦点到准线的距离自学导引1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离_________的点的轨迹叫做抛物线点F 叫做抛物线的_________，直线l 叫做抛物线的_________.2.方程y 2=±2px ,x 2=±2py (p >0)叫做抛物线的_________方程.3.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.4.抛物线y 2=-2px (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是________,它的开口方向 ________.5.抛物线x 2=2py (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.6.抛物线x 2=-2py (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.答案:1.相等 焦点 准线2.标准3.(2p ,0) 2p x -= 向右 4.(2p -,0) 2p x = 向左 5.(0,2p ) 2p y -= 向上 6.(0,2p -) 2p y = 向下典例启示知识点1求抛物线的标准方程【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，-4)；(2)焦点在直线x +3y +15=0上.解:(1)∵点(3，-4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2=2px (p ＞0)或x 2=-2p 1y (p 1＞0).把点(3，-4)的坐标分别代入y 2=2px 和x 2=-2p 1y ，得(-4)2=2p ·3，32=-2p 1·(-4)， 即3162=p ,4219=p . ∴所求抛物线的方程为x y 3162=或y x 492-=. (2)令x=0,得y=-5；令y=0,得x=-15.∴抛物线的焦点为(0，-5)或(-15，0).∴所求抛物线的标准方程为y 2=-60x 或x 2=-20y .启示:求抛物线的标准方程需要：(1)求p ；(2)判断焦点所在坐标轴的位置.【例2】 分别求适合下列条件的抛物线方程.(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A (2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为25. 解:(1)由题意,方程可设为y 2=mx 或x 2=ny ,将点A (2,3)的坐标代入,得32=m •2或22=n •3,∴29=m 或34=n . ∴所求的抛物线方程为x y 292=或y x 342=. (2)由焦点到准线的距离为25,可知25=p , ∴所求抛物线方程为y 2=5x 或y 2=-5x 或x 2=5y 或x 2=-5y .启示:(1)抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.(2)抛物线的标准方程只有一个参数p ,即焦点到准线的距离,常称为焦参数.知识点2抛物线定义及标准方程的应用【例3】 已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x 轴，求抛物线的方程解:设M (x ,y )为抛物线上的任意一点， 则由抛物线的定义，得||)3()3(22y y x =-+-. 平方整理，得3612+-=x x y 为所求抛物线的方程. 启示:当抛物线不在标准位置时，只有利用其定义来求方程.【例4】 平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,求动点P 的轨迹方程.解法一:设P 点的坐标为(x ,y ),则有1||)1(22+=+-x y x ,两边平方并化简得y 2=2x +2|x |.∴⎩⎨⎧<≥=,0,0,0,42x x x y 即点P 的轨迹方程为y 2=4x (x ≥0)或y=0(x <0).解法二:由题意,动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1,由于点F (1,0)到y 轴的距离为1,故当x <0时,直线y=0上的点适合条件;当x ≥0时,原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P 在以F 为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y 2=4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2=4x (x ≥0)或y=0(x <0).启示:求动点的轨迹方程时,可用定义法列等量关系,化简求解;也可判断后,用类似于公式法的待定系数法求解,但要判断准确,注意挖掘题目中的隐含条件,防止重、漏解.随堂训练1.已知抛物线过点(-11，13)，则抛物线的标准方程是( ) A.x y 221692= B.x y 111692-= C.x y 111692-=或y x 131212= D.y x 131212-= 解析:∵点(-11,13)在第二象限,∴抛物线的张口向左或向上.当抛物线的张口向左时,设抛物线的方程为y 2=-2px ,把点 (-11,13)的坐标代入方程得 132=-2p ·(-11),∴111692=p . ∴抛物线的标准方程为x y 111692-=. 当抛物线的张口向上时,设抛物线的方程为x 2=2p 1y ,把点(-11,13)的坐标代入得(-11)2=2p ·13, ∴131212=p . ∴抛物线的方程为y x 131212=. 答案:C2.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是( )A.x 2=-28yB.y 2=28xC.y 2=-28xD.x 2=28y解析:∵72=p , ∴p =14.∵抛物线的焦点在x 轴上,∴抛物线的方程是y 2=28x .答案:B3.已知抛物线的焦点在直线3x -y +36=0上，则抛物线的标准方程是( )A.x 2=72yB.x 2=144yC.y 2=-48xD.x 2=144y 或y 2=-48x解析:令x =0得y =36,令y =0得x =-12,∴抛物线的焦点为(0,36)或(-12,0).答案:D4.抛物线y 2=-4px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( )A.F 到l 的距离B.F 到y 轴的距离C.F 点的横坐标D.F 到l 的距离的41 解析:在抛物线的标准方程y 2=-2px (p >0)中,p 是焦点到准线的距离,2p 是焦点到y 轴的距离或y 轴与准线间的距离,所以在抛物线方程y 2=-4px (p >0)中,p 为焦点到y 轴或y 轴与准线间的距离.答案:B5.已知点(-2,3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5,则p 的值为( )A.4B.3C.2D.1解析:抛物线的焦点为(2p ,0), 由5)03()22(22=-+--p ,得p =4. 答案:A6.若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,则点P 的轨迹方程是( )A.y 2=-16xB.y 2=-32xC.y 2=16xD.y 2=16x 或y=0(x <0)解析:∵点F (4,0)在直线x +5=0的右侧,且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,∴点P 到F (4,0)的距离与到直线x +4=0的距离相等,故点P 的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p =8,故P 点的轨迹方程为y 2=16x .答案:C。
第2章2.4.1 抛物线及其标准方程
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 抛物线的焦点 F 的坐标为(p2，0)，线段 FA 的中
点 B 的坐标为(4p，1)，代入抛物线方程，得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2，
故点
B
的坐标为(
42，1)，故点
B
到该抛物线准线的距离为
42＋
2 2
＝3
4
2 .
【答案】
32 4
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
②下图，当圆 P 与圆 A 内切时，有
||PPAB||＝＝rr－1⇒|PA|－|PB|＝－1， 即 （x－3）2＋y2－(x＋2)＝－1. 即 y2＝8(x－1)．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二 求抛物线的标准方程 例 2 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
第24页
高考调研 ·新课标 ·数学选2-1
(2)直线 x－y＋2＝0 与两坐标轴的交点为(－2，0)，(0，2)． 若抛物线的焦点为(－2，0)，设其方程 y2＝－2px. 由－p2＝－2，得－2p＝－8，所求方程为 y2＝－8x； 若抛物线的焦点为(0，2)，设其方程为 x2＝2py. 由p2＝2，得 2p＝8，所求方程为 x2＝8y.
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)设抛物线方程为 x2＝2py 或 y2＝－2px(p＞0)． 将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝34.∴x2＝34y. 将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝92. ∴y2＝－29x. ∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝43y 或 y2＝－29x.
2.4.1抛物线及其标准方程
y
F o
x
投篮时篮球的运动轨迹
桥拱
卫星接收天线的轴截面
文件名
抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条 定直线l 距离相等的 H 点的轨迹叫做抛物线.
M
·
F ·
l
· F
l
M
抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条 定直线l (l不经过点F) 距离相等的 H 点的轨迹叫做抛物线.
建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛 物线的顶点）与原点重合. 设抛物线的标准方程是y2=2px（p>0）.由已 知条件得，点A的坐标是（0.5,3），代入方 程，得 32=2p×0.5 即 p=9
y o
A Fx B
所以，所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦 点坐标是（4.5,0）
拓展提高：
已知抛物线y2=2px
抛物线方程的推导： 抛物线的标准方程：
建系
l
y
M
2 设点
y =2px（p>0）
o
F
( x, y )
列方程 化简
x
p 焦点坐标：F ( , 0) 2
p 准线方程： x 2 检验
设 温馨提示： KF p( p 0),
小试牛刀：判断下列方程是否为抛物线，若是，
求出焦点坐标和准线方程.
1、y2=4x
求（1）点M到准线的距离. （2）点M的横坐标.
p (p>0)上一点M到焦点距离是a( a ) 2
y
l
答案： （1）
a
p a 2
H
N
M
a
K O
F
x
（2）
练习：
2.4.1抛物线及其标准方程
1、抛物线定义,标准方程的焦点、准线， P的几何意义。 2、抛物线的定义,标准方程类型与图 象的对应关系以及判断方法
3、焦半径公式
4、注重数形结合的思想。
一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直 l 线l的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。 N 定点F 叫做抛物线的焦点。
M
定直线l 叫做抛物线的准线。
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 ︳ ︳ MN
· F ·
即:
M 的轨迹是抛物线。
方程 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
2 y
其中 p 为正常数，它的几何意 义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准 线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对 称轴，焦点就在对称轴上 第二：一次项的系数决定了开口 方向
课堂作业：
课本P73 3 、8
练习 1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的 距离 等于点M到准线的距离则点M的坐 标是
2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是 抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的 距离之和最小，并求出这个最 小值。 若 A(3,7)呢？
例1:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,
2.4.1抛物线及其标准方程
（1）已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的一点 (5, m) 例2: 到焦点的距离是 6，则 p =____.
（2） M 与点 F (4,0) 的距离比它到直线 l : x 5 0 点 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
A( 3,2) ，抛物线 y 2 2 x 的焦点为 F ， （3）已知点
点 P 为抛物线上的动点，则 | PA | | PF | 的 最小值是_________.
课堂小结：
1. 抛物线及其焦点、准线的有关概念；
2. 抛物线的标准方程的推导过程； 3. 建系求曲线方程的一些常用思路。
o
l y o
F
x
l
(0,
x2=－2py x (p>0)
P (0, － 2 )
例1:（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，
求它的焦点坐标及准线方程.
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F (0,2) , 求抛物线的标准方程.
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ， 求抛物线的标准方程. （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程.
p F（ 2 ，0），l：x = p 2
其中p为正常数，它的几何意义是
焦点到准线的距离
图形
y o l y l
F F
标准方程 y2=2px (p>0)
焦点坐标
P ( 2 ,0) P (－ 2 , 0) P 2 )
准线方程
P x =－ 2 P x= 2 P y =－ 2 P y= 2
x
o
y
F
y2=－2px x (p>0) x2=2py (p>0)
实验：
1、画出定直线 l 和定点 F ( F l ) ； 2、在定直线 l 上任取一点 P1； 3、将白纸对折，使 P1 和 F 重合，并留下 一条折痕； 4、过 P1 作定直线的垂线交折痕于点 M1； 5、再在定直线 l 上任取其它点 P2 、P3 、 P4 、P5 、P6 ，重复 2-4 的步骤，便可得 到一个点列 M1、M2、M3…，这个点列能 连成一个很美的图形.
2.4.1抛物线及其标准方程
y 2 = 4 x的焦点,与抛物线相交 的焦点, (3)斜率为 的直线经过抛物线 )斜率为1的直线经过抛物线
于两点A 求线段AB的长 的长. 于两点 ,B,求线段 的长.
D
y
A F B
x
y 2 = 2 px( p > 0) 的 归纳总结: 归纳总结:抛物线
焦点弦长公式____________ 焦点弦长公式
2
x
F(1,0) ( , )
p x = 1 + x0 2 (2)抛物线 y = 2 px( p > 0) 上一点 P ( x0 , m ) 到焦点F 的距离是 2 ) .
p 焦点 ( ,0 ) 2 p 准线 x = 2
p PD = x0 2
y
D
P ( x , m )
0
y 2 = 2 px
AB = x1 + x2 + p
O
C
引申探究: 引申探究: 的焦点的弦AB的中 (4)求经过抛物线y = 4 x 的焦点的弦 的中 ) 点的轨迹方程. 点的轨迹方程. y l
2
H1
A
C
K
H2
O
B
M
x
F
y2 = 4x
学习小结: 学习小结:
1.抛物线的定义: 1.抛物线的定义: 抛物线的定义 2.p的几何意义是: 2. 的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离 的几何意义是 作业: 作业: 1.(作业本 作业本)P73A组1(2)(4),3,4(1). 作业本 组 补充: 补充: 2.同步:P53-54. 同步: 同步
课题: 课题:抛物线的标准方程和几何性质 抛物线的定义: (二)抛物线的定义 在平面内,与一个定点 在平面内 与一个定点F 和一条 与一个定点 不经过点F 定直线l的 不经过点 的定直线 的距离相等 d 为 M 到 l 的距离 的点的轨迹叫抛物线 抛物线. 的点的轨迹叫抛物线 d M C 定点F 叫抛物线的焦点 定点 叫抛物线的焦点 , H 焦 定直线l 叫抛物线的准线 定直线 叫抛物线的准线 点
高二数学 2.4.1 抛物线及其标准方程
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第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解 如下图，易判断知点A在抛物线外侧，设P(x，y)， 则P到x轴的距离即y值，设P到准线y＝－1的距离为d，则y＝ d－1.
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第一章 §2.4 2.4.1
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题型三 与抛物线有关的最值问题 例3 已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A 的坐标为(12,6)．求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和 的最小值．
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第一章 §2.4 2.4.1
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第一章 §2.4 2.4.1
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变式训练3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则
点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值
为( )
17 A. 2
B．3
9
C. 5
D.2
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第一章 §2.4 2.4.1
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第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
2．抛物线的标准方程的特点：
抛物线标 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py 准方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
高中数学2.4.1 抛物线的标准方程
§抛物线的标准方程要点精讲1.抛物线的定义：平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.2.抛物线的标准方程：〔1〕px y 22= 〔2〕px y 22-= 〔3〕py x 22= 〔4〕py x 22-=其中0>p ，表示焦点到准线的距离.3.抛物线标准方程有以下四种形式,求抛物线标准方程主要用待定系数法,根据抛物线开口方向选定其中一种形式抛物线标准方程.标准方程y 2=2px y 2=－2px x 2=2py x 2=－2py图形焦点坐标)0,2(p )0,2(p － )2,0(p )2,0(p － 准线方程2=p －x 2=p x 2=p －y 2=p y 开口方向向右 向右 向上 向下典型题解析[例1]一抛物线拱桥跨度为40米，拱顶距水面6米(如图)，有一竹排上载有一宽4米，高5米的大箱，问能否安全通过此桥?[例2]巳知直线l :x ＋1＝0及圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，假设动圆M 与z 相切且与圆C 外切，试求动圆圆心M 的轨迹方程；假设动圆M 与l 相切且与圆C 内切，M 的轨迹是什么曲线?[解]设M(x,y)，M 到直线l 的距离为d ,∵动圆M 与l 相切且与圆C 外切，∴｜MC ｜=d ＋1，∴动点M 到定点C 的距离与到定直线x=－2的距离相等，∴动点M 的轨迹是以C(2，0)为焦点,x=－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x.[解][分析]假设动圆M与l相切且与圆C内切，那么｜MC｜=d－1，∴动点M到定点C的距离与到定直线x=0的距离相等，故动点M的轨迹是以C(2，0)为焦点x=0为准线的抛物线(此时抛物线的方程是非标准的抛物线方程) [点评]平面内，动点到定点的距离与判定直线的距离之差是一个常数，总可以转化为动点到定点的距离与到某条定直线的距离相等(只需将定直线作平行移动)，因而动点的轨迹仍为抛物线.[例3]倾斜角为 的直线经过抛物线扩y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长及其最小值．[解][点评]规律总结1.抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离〔动点到焦点的距离与动点到准线的距离〕的互化．〔常用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，把焦点弦长转化为点到准线的距离〕．2y＝±2px和2x＝±2py〔p＞0〕其中“±〞决定图形开口〔“＋〞号代表朝正方向，“－〞号代表朝负方向〕．。
2.4.1抛物线及其标准方程
10x
（2）
y 2 2 px( p 0)
1 2 x y （3） 4
（4）
y 2 ax(a 0)
课堂小结
1.抛物线的定义？
2.抛物线的标准方程？
3.求标准方程的方法？
抛物线及其标准方程
一.定义: MF MH
点M的轨迹叫做抛物线H 定点F 叫焦点，定直线l 叫准线
l y
M
标准方程的推导
探讨建立平面直角坐标系的方案(设F到 l 的距离是p) y y y . .
M M
.
M
O
.
F
x
l
.
l
F
x
l
O
.
F
x
l 方案(1)
y 2 px p
2 2
方案(2)
方案(3)
2
y 2 px p
2
y 2 px
2
标准方程的推导
（方案三）以过F且垂直于 l 的直线为 H M（x,y） x轴,垂足为K.以线段FK的中点O为坐 . x 标原点建立直角坐标系xOy. O F K 设点 M ( x, y) 为抛物线上的任意一 点 ， FK P p 0 l 作 MH l 于点H. p p 则焦点 F ( , 0)，准线 l : x 2 2 p 2 p 2 由定义得 MF MH 所以 (x ) y x 2 2 两边平方，整理得 y 2 2 px( p 0)
2.4.1抛物线及其 标准方程
喷泉
球在空中运动的 轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?
画抛物线
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
[一点通]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问
题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后， 要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据 准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
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5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛 物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm， 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
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p＝4， 解得 m＝2 6，
p＝4， 或 m＝－2
6.
∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(－ ，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5， 即点 M 到准线的距离等于 5，
答案：B
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4． 已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点， 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D.2 )
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解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A(0,2)点，抛物线的 1 焦点 F( ，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离 d＝ 2 |AF|＝ 12 17 2 0－ ＋2－0 ＝ . 2 2
2
4，得 p＝8，故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：A
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2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、 到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， ∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则焦点坐标 F(－ ，0). 2 m2＝6p， 由题意知 p2 2 m ＋3－ ＝5， 2
课件11：2.4.1 抛物线及其标准方程
易知点 A(0,2)在抛物线 y2＝2x 的外部，
连接 AF，交 y2＝2x 于点 P′，
欲使所求距离之和最小，只需 A，P′，F 共线，
∴其最小7．
(2)若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F21，0的距离比它 到 y 轴的距离大12．求点 M 的轨迹方程．
初试身手
1．抛物线 x2＋8y＝0 的焦点坐标是( )
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(0,4)
D．(0，－4)
【解析】抛物线 x2＝－8y 的焦点在 y 轴的负半轴上，
且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．
【答案】B
2．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2 C．4
D．8
2．设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦 半径．若 M(x0，y0)在抛物线 y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定 义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所 以焦半径|MF|＝x0＋p2． 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到 准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此 可以解决有关距离的最值问题．
解：(1)设所求抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 由p2＋3＝5 得 p＝4，因此抛物线方程为 x2＝－8y， 其准线方程为 y＝2， 由 m2＝24 得 m＝±2 6．
(2)如图，作 PN⊥l 于 N(l 为准线)，作 AB⊥l 于 B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5． 此时 yP＝2，代入抛物线得 xP＝1， ∴P(1,2)．
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
§2.4抛物线2．4.1抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.知识点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0) ⎝⎛⎭⎫p2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0) ⎝⎛⎭⎫－p2，0x＝p2x2＝2py(p>0) ⎝⎛⎭⎫0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0) ⎝⎛⎭⎫0，－p2y＝p21．抛物线的方程都是二次函数．()2．抛物线的焦点到准线的距离是p.()3．抛物线的开口方向由一次项确定．()题型一求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5.题型二 抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)例2 已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．反思感悟解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．命题角度2利用抛物线定义求最值例3如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．引申探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是() A. 3 B. 5 C．2 D.5－1抛物线的实际应用问题典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.1．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0 C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1)3．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－1164．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．5．抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p 的值)”的程序求解.一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.14 D.122．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)4．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x 或x 2＝－8yB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．86．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716二、填空题9．已知双曲线x 2m －y 2＝1的右焦点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则m ＝________.10．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．11．一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为________米．三、解答题12．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.13．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|P A|＋|PQ|的最小值为()A．7 B．8 C．9 D．1014．平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．。
2.4.1抛物线及标准方程
②y = ax2 (a≠0)
例2.已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求 它的标准方程。
变式:过点A（-3，2）
．y A
先定位,后定量
O
x
练习：
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2 = 20x （2）y=2x2
（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
l y
M F
O
x
lx
M
FO
x
l y
O
l
F
x
四种抛物线及其它们的标准方程
y
图
OF
x
形
l
y
y
FO x
F
O
l
l
y l
O
x
F
x
焦点位对置称正x轴轴半的轴看上 一负x次轴半的轴，上 开正y轴口半的轴看上 正负y轴负半的轴上
标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
焦点坐标 准线方程
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1
2.4.1抛物线及其标准方程
我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0) 的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点 坐标、对称轴等问题。那么抛物线到底有怎 样的的几何特征？它还有哪些几何性质？
定义 几何画板演示
方程
几何性质
如何定义抛物线?
小结
平面内与一个定点Ｆ和一条定 直线 l（ l不经过点Ｆ）距离相等
的点的轨迹叫做抛物线．
点Ｆ叫做抛物线的焦点，直线l
叫做抛物线的准线
抛物线形状由什么确定？
几何画板演示
2.4.1抛物线及其标准方程
l
y轴的 正半轴上
x
•
x
x轴的 焦点位置 正半轴上 标准方程 焦点坐标
x轴的 负半轴上
y轴的 负半轴上
y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x =2
y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2
x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y =2
x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2
第二课时
. 四种抛物线及其它们的标准方程
图 形
l
o
y
y
•x
•o
l
x
o
•
y
o
y
l
l
y轴的 正半轴上
x
•
x
x轴的 焦点位置 正半轴上 标准方程 焦点坐标
x轴的 负半轴上
y轴的 负半轴上
y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x =2
y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2
x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y =2
分析：因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点，以 l 2 为准线的抛物线的一段， 所以本题关键是建立适当坐标系，确定 C 所满足的抛物线方程．
解：以 l1 为 x 轴，MN 的中点为坐标原点 O，建立直角坐标系．由题意，曲线段 C 是 N 为焦 点，以 l 2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段的两端点．∴设曲线段 C 满足的
y 8 x, m 2 6
2
2.已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上 的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物 线的标准方程和m的值。 变形：如果焦点在y轴上呢？ 法1：分x2=2py(p>0)与x2= -2py(p>0) 两种情况 。
2.4.1抛物线及其标准方程
B、 3
离之和的最小值为（ ）
XX分校
A、2
11 C、 5
37 D、 16
A(12,6) 变式2 已知 P 是抛物线 x 4 y 上的动点，
2
求点 P 到点 A 的距离与到 x 轴的距离之和的最小值
XX分校
）
p a A、 2
p a B、 2
a p C、
a p D、
2 y 12x 上到焦点的距离为9的点的坐 练习 抛物线
标是_______
XX分校
2 2 ( x 2 ) y 1 外切，又与直线 例 若动圆与圆
x 1 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程
变式 过点 A(3,0) 且与 y 轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
2
及准线方程
XX分校
例 根据条件求抛物线的标准方程
1 （1）准线方程为 x 4 （2）焦点坐标为 F (0,2)
（4）经过点 P(3,2)
（3）焦点在直线 x 2 y 4 0 上
XX分校
例 已知抛物线 y 2 px( p 0) 上一点 M 到焦点
2
的距离为 a ，则点M 的横坐标为（
A、圆
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
XX分校
2 A ( 4 , 2 ), F y 4 x 的焦点，P 为抛 例 已知 为抛物线
物线上的动点，求 | PA | | PF | 的最小值，并求取最
小值时点 P 的坐标 变式1 已知直线 l1 : 4 x 3 y 6 0 ，直线 l2 : x 1,
2
p F ( ,0 ) 焦点坐标： 2
p x 准线方程： 2
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待定系数法求抛物线的标准方程 4、
例2、求抛物线的标准方程
1. 抛物线的焦点为（0，-3）； 2.求过点P（-2，-4）的抛物线的标准方程。
练习：
1、求适合下列条件的抛物线的标准方 程: （1）焦点为（3，0） （2）焦点为（0，-4） 2 （3）准线方程为y 3 （4）焦点到准线的距离为5 2、求以直线 2 x 3 y 6 0与坐标轴 的交点为焦点的抛物线的标准方程。
例3、已知抛物线焦点在y轴上，其上一点M （m，3）到焦点的距离为5，则其标准方程 2 为 x 8 y ,点M的坐标为 2 6 .
y
5
F
M
3
x l
练习:已知抛物线 y 16 x 上一点与x轴距 离为12，则点P到焦点距离为 。
2
回 顾小 结
抛物线的定义 1、 2、 抛物线标准方程的四种形式 已知抛物线的方程,求其焦点坐 3、 标和准线方程
2.4.1抛物线的标准方程
投篮运动
喷泉
抛物线的定义：
平面内到一个定点F和一条定直线 l F不在l上） 距离相等的点的轨迹叫做 （ 抛物线．定点F叫做抛物线的焦点,定直 线l叫做抛物线的准线．
P
设FN p ( p 0)
N
F
l
过F作直线FN 直线l,垂足为N,以直线NF为 x轴,线段NF的垂直平分线为y轴,建立如图 所示的直角坐标系xoy.
p 设FN p ( p 0),则F ( ,0) l : x p 2 2 又设P(x,y)为抛物线上任意 y P 一点,作PH l ,垂足为H,则 H PF=PH,得
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
化简可得
2
N O
F
x
y 2 px( p 0)
l
问题：由前面求抛物线标准方程的方法，你 能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛 物线的方程吗?
(1)
N F
(2)
设FN p
( p 0)
l F
F
N
l
N
l
(3)
F
(4)
l
N
抛物线的标准方程四种形式
y
y
y
l
y O F
图形
O F
x
x
F
O
x
F O l
x
l
l
标准 方程
焦点 坐标
准线 方程
2 x 2 py y 2 px y 2 px x 2 py p p p p ( ,0) (0, ) ( ,0 ) (0, ) 2 2 2 2
2
1 2 x (a 0) 的焦点坐 2、求抛物线 y 4a
标。
解:原抛物线方程化为标准式为 x 4ay 2 p | 4a | 即p 2 | a |
2
当a 0时， p 2a 它的焦点坐标为 (0, a) 当a 0时， p 2a它的焦点坐标为 (0, a) 综上所述， 此抛物线的焦点坐标为 (0, a)
2
2
2
p x 2
p x 2
p y 2
p y 2
开口 方向
向右
准线方程
（ 1） y 2 = 8 x
（ 2） y = - 6 x 2 （3） x 2ay
2
( a 0) ( m 0)
（4） y mx
2
练习：
1、已知抛物线的方程为 y 8x ， 1 ( 0, ) 32 其焦点坐标为 , 1 y 32 准线方程为 。