漫谈正项级数的收敛性 - 北京交通大学

n 1
r 1 an发散。
虽然拉阿伯判别法有时 可以处理柯西判别法和 达朗贝尔， 判别法失效的级数，如 p 级数等，但是对于 an limn 1 1时 ， 拉 阿 伯 判 别 法 仍 失 然效。 n an 1 an 1 例如对于 ， 成 立limn 1 1， p n an 1 n 1 n ln n 1 但 是 当p 1时 收 敛 ; p 1时 发 散 。 p n 1 n ln n
由几何级数 q
n 1

n 1
的敛散性，可以看出，
当n充分大时，只要正项级 数的后项小于前项时， 该级数就收敛，否则就 发散。 在此基础上，就有了判 别正项级数敛散性的比 值 （达朗贝尔）判别法和 根值（柯西）判别法：
当 1时，级数收敛； 1时，级数发散； 而当 1时，判别法失效。
1 同理第三分钟爬过距离 将大于 ， 30
若棒的高为 L, 则第n分钟末，爬过的高度将 大于
L 1 1 1 (1 )。 10 2 3 n 1 1 1 于是问题化为是否存在 n, 使得1 10。 2 3 n
1 这当然可以做到。因级 为 数 是 发 散 的 。 n 1 n
n 1

这 种 逐 次 建 立 更 有 效判 的别 法 的 过 程 是 无 限。 的 每 次 都 能 得 到 新 的 适范 用围 更 广 的 判 别 法 。
下面给出有关级数的敛 散性有关的实际例子。
问题1. 追赶问题： 设甲在乙前方 s处以速度 v1前进，乙以速度 v2追赶甲， s v2 v1 , 显 然 ， 经 过 时 间 T ,乙 就 追 赶 上 甲 。 v2 v1 但是，有人提出了疑问 ?认为：
n
n 1
由 于 两 者 相 去 甚 远 ，此 因判 别 法 在 许 多 情 况都 下会 1 失效，即便对 p 级 数 p 也 无 能 为 力 。 n 1 n

为了弥补上述柯西判别 法和达朗贝尔判别法的 局限性， 我们有拉阿伯判别法 : an 设 lim n 1 r，则r 1 an收敛; n n 1 an 1
可是，马上又面临新的 问题： 1 1 1 趋 于0的 速 度 快 于 ， 而 n lnn lnlnn n lnn n 1 n lnn lnlnn 是发散级数。 于是需要更为精细的判 断级数敛散性的“尺子 ”。 这样，我们会得到一系 列判别级数收敛的“尺 子”： 1 1 1 , , ,。 n n ln n n ln n ln ln n 这些尺子，可以无限的 精细, 一直进行下去。 实际上，按这种方式， 只能找到越来越精细的 尺子， 但是永远找不到最为精 细的尺子。
1 当an 趋 于0的 速 度 快 于 时 ， 级 数 an收 敛 ； n n 1 1 当an 趋 于0的 速 度 不 快 于 时 ， 级 数 a n发 散 。 n n 1 1 而无穷小 是衡量级数 an 敛 散 的 一 把 “ 尺 子 ” n n 1
可是这把尺子有点粗糙 了。
如果蚂蚁始终沿铅垂线 匀速上爬，每分钟上升 1厘米。 在孙悟空叫变时，已经 爬至高 1厘米处，此后，棒的 各部分每个时刻都是匀 速地变长，每经 1分钟，棒就增长 10厘米，即第一分钟末， 高10厘米，第二分钟末，高 30 厘米，第三分钟末，高 3 0厘米，
请问最终蚂蚁能爬到顶 端吗？
不少人会说，由于爬行 速度不变而棒的长度不 停 的变长，是永远不可能 到达顶端的。
这两种判别方法，具有 明显的优势： 仅需要自身项的性质， 不需要借助于参考级数 。
然而这些基于等比级数 这把尺子给出的判别法 ，其精度 远比上述基于 p 级数的尺子粗糙的多。
事 实 上 ，对 于
n 1

1 1 ， , n n 1 n
1 ， 可计算 1， 2 n 1 n
事实上，还可以建立比 拉阿伯判别法更有效的 判别法， 例如Bertrand判别法： an 设 lim ln n n 1 1 r，则r 1 an收敛; n n 1 an 1
r 1 an发散。
但是，当 r 1时，该判别法又失效了 。
n n 1 n n 1
但是， l i man 0未 必 有 an a n发 散 。 只 有 无 穷 小
n
的阶高到一定程度时 ， a n才 收 敛
n 1
n 1
几何级数 q n当0 q 1时收敛；q 1时发散。
n 1
可以证明：
1 p 级数 p当p 1时收敛；p 1时发散。 n 1 n 1 由p 级 数 p 的 敛 散 性 及 比 较 判 别 ， 法可 以 看 出 ： n 1 n
正项级数的收敛速度
王进良
a
n 1 n

n
a1 a2 an 称 为 无 穷 级 数
an 0时，此级数为正项级数 。
Sn ak， { Sn }为 部 分 和 数 列 ，
k 1
级数的收敛性用数列 { Sn }的收敛性来定义。
显然，级数 an收 敛 l i man 0 因此， l i man 0 级 数 an发 散

当乙前进了 s的路程到达甲原来所在 位置时，即追赶了 s v1 时 间t1 时 ， 甲 又 前 进 了 路 程 s1 v1t1 s, v2 v2 v1 s 而当乙又追赶了路程 s1时 ， 即 追 赶 了 时 间 t2 v v 时， 2 2 2 v1 甲又前进了路程 s2 v1t 2 v s ,这 样 一 直 下 去 ， 2 乙总是差一点追赶上甲 。果真如此么？
1 1 事实上， 尽管 趋于0的速度远快于 ， n ln n n 1 但是，级数 仍发散。 n 1 n lnn 1 可以证明，级数 当p 1时 收 敛 ； 当 p 1时 发 散 。 p n 1 n ln n 1 于是，无穷小 是衡量级数敛散的一把 精度较高的 n ln n 新“尺子”： 1 当an 趋 于0的 速 度 快 于 时 ， 级 数 an收 敛 ； n lnn n 1 1 当an 趋 于0的 速 度 不 快 于 时 ， 级 数 an发 散 。 n lnn n 1
Байду номын сангаас
比值和根值判别法失效 。但是，根据比较判别 法和
p 级数的敛散性，前两个 级数发散，后一个级数 收敛。
柯西判别法和达朗贝尔 判别法的本质是比较判 别法，
与之相比较的是几何数 级 q n : 在 判 定 级 数 收 敛 时 ，

要求级数的通项受到 q (0 q 1)的控制；而在判定 级数发散时，则是根据 其一般项不趋于 0。
事实上，可以通过几何 级数的敛散性来说明
v1 s 乙追赶第 n段 路 花 费 的 时 间 为 tn v v ，此时 n 2 2 v1 甲乙相距 sn 时总 和 是 v s， 乙 追 上 甲 所 花 费 的 间 2 n 1 v1 s 无穷级数 tn q v1 / v 2 ( 1) v v ，它是公比 n 1 n 1 2 2 s / v2 s 的 几 何 级 数 ， 因 此 总间 时为 . 1 v1 / v2 v2 v1 s 因此，乙经过时间 追赶上甲。 v2 v1
这样他就忽略了一个事 实：由于棒的各部分均 匀变长， 因而，每时刻，尚未爬 过的、正在爬的和已经 爬的部分 都同样要变长的。
1 第一分钟蚂蚁爬了 1厘米，为棒高的 。 10
A1 B1 1 10
A1’ 2
B1’
B2 20
到第二分钟末，棒高伸 长为20厘米，而爬过的 1厘米也变 1 1 为2厘米，因而仍然是棒高的 ，且以后始终保持为 。 10 10 如果第一分钟末到第二 分钟末这段时间内，新 爬过的 1 部分没有变长，则第二分钟爬过的距离 ， 20 但实际上新爬过的部分 也在变长，因而第二分 钟 1 爬过的距离实际大于 ，并且这一小段在以后 棒变高的 20 1 的过程中始终大于棒高 的 。 20
n 1
问题2 : 爬金箍棒的蚂蚁（选自 数学趣题与妙解）
故事：这天，孙悟空闲 暇无事，他把他的金箍 棒变成了 10厘米长的小棒，立在地 面上。这时，一只蚂蚁 来到棒 的底部，沿着小棒往上 爬，孙悟空眼睛一亮， 心想 “要爬，没那么容易！ ”只听他叫了一声“变 ”地上 的棒应声长了起来，眼 看着越来越高，而那只 蚂蚁 似乎什么都没发现，还 是慢悠悠地一如既往地 往上爬。