【原创】2020-2021学年上学期高三数学周测(集合与逻辑用语、函数与导数、复数)

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2020-2021学年高三数学周测卷(精品)

2020-2021学年高三数学周测卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．设集合A ＝{x |ln x ＜1}，B ＝{x |x 2－4x －12≥0}，则A ∪(∁R B )＝( )．A ．(－∞，6)B ．(－2，6)C ．(0，6]D ．(0，e)2. 已知sin(θ－π3)＝15，则sin(2θ－π6)＝（）A . －225 B . －2325 C . 225 D . 23253．设a ＝30.7，b ＝(13)－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4. 已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60º，E 是BC 的中点，DF →＝－2AF →，则AE →·BF →＝（） A . 24 B . －7C . －10D . －125．函数f (x )＝(x －1x)cos x 在其定义域上的图像大致是( )．6.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C 处作圆弧的切线,两条切线交于B 点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?.(,)64A ππ.(,)43B ππ5.(,)312C ππ5.(,)122D ππ7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则该数列共有( )． A ．202项 B ．203项 C ．204项 D ．205项 8. 函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[m ，n ]D ，使f (x )在[m ，n ]上的值域为[m 2，n2]，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)（a ＞0，且a ≠1）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（）． A . (0，14) B . (－12，0)∪(0，12) C . (0，12)D . (－12，12)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9．下列命题正确的是( )．A ．“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件 B ．“M ＞N ”是“lg M ＞lg N ”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1＜0”D ．设函数f (x )的导数为f '(x )，则“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的充要条件10．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )．A ．y ＝f (x )是偶函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，且双曲线C 的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1C ．k 1k 2为定值14D ．存在点P ，使得k 1＋k 2＝112．关于函数f(x)＝ae x－cosx ，x ∈(－π，π)，下列说法正确的是A ．当a ＝1时，f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝xB ．若函数f(x)在(－π，π)上恰有一个极值，则a ＝0C ．对任意a ＞0，f(x)≥0恒成立D ．当a ＝1时，f(x)在(－π，π)上恰有2个零点三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．13.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__________.14．若函数f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a －ax，，x ＜1x ≥1，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为_________.15．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，设点A (p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为（本题第一空2分，第二空3分）． 16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，将△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在①a 1，a 2，a 5成等比数列，且T n ＝2－b n ；②S 4＝S 22，且T n ＝2－(12)n －1这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1，其前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n 项和Q n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，E 是AD 上的点且满足ΔBED 与ΔABD相似，∠AEB ＝3π4，∠DBE ＝π6，DE ＝6.(1)求BD 的长度；(2)求三角形BCD 面积的最大值.19.（本小题12分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AB ＝AD ＝2，三角形PBD 是边长为22的正三角形，PA ＝2 3. （1）证明：PC ⊥面ABCD ；（2）若E 为BC 中点，F 在线段DE 上，且DF →＝25DE →，求二面角F －PA －C 的大小.20.（本小题12分）已知f (x )＝x ln x ＋a2x 2＋1（1）若f (x )在其定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数g (x )＝f (x )＋x cos x －sin x －x ln x －1在(0，π2]上有1个零点.求实数a 的取值范围；21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点P (263，33)在C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，H (0，－12)，试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点Q ，M ，N (其中M ，N 的纵坐标不相等)，满足OM →＋ON →＝12OQ →，且直线HM 与直线HN 倾斜角互补？若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，说明理由.22.（本小题12分）已知函数f (x )＝e x－1－x －ax 2.（1）当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若x ＞0，证明(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2.2020-2021学年度宁海中学高三（上）数学周测卷8一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |ln x ＜1}，B ＝{x |x 2－4x －12≥0}，则A ∪(∁R B )＝( )．A ．(－∞，6)B ．(－2，6)C ．(0，6]D ．(0，e) 【答案】B【分析】A ＝(0，e)，∁R B ＝(－2，6)．2. 已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. 225-B. 2325-C.225D.2325【答案】D3．设a ＝30.7，b ＝(13)－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 【答案】D【分析】a ＞1，b ＝30.8＞a ，c ＜log 0.70.7＝1，故c ＜1＜a ＜b ．4. 已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-，则AE BF ⋅=（）A. 24B. 7-C. 10-D. 12-【答案】D5．函数f (x )＝(x －1x)cos x 在其定义域上的图像大致是( )．答案：C6.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—— 《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘｡将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C 处作圆弧的切线,两条切线交于B 点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?.(,)64A ππ.(,)43B ππ5.(,)312C ππ5.(,)122D ππ【答案】B7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则该数列共有( )． A ．202项 B ．203项 C ．204项 D ．205项【答案】B【分析】被2除余1的数：1，3，5，7，9，11，…；被5除余1的数：1，6，11，16…故a n ＝10n －9，由10n －9≤2021，解得n ≤203．8. 函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆，使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()()2log x a f x a t =+（0a >，且1a ≠）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（）． A. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分． 9．下列命题正确的是( )．A ．“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件 B ．“M ＞N ”是“lg M ＞lg N ”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1＜0”D ．设函数f (x )的导数为f '(x )，则“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的充要条件【答案】AB【分析】对于C ，命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1≥0”，错误；对于D ，“f '(x 0)＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件，错误．A ，B 正确．10．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )．A ．y ＝f (x )是偶函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称【答案】AD【分析】函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x 的图象．故A ，D 正确；对于B ，f (x )周期为2π，错误；对于C ，f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，错误．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)且双曲线C 的左焦点在直线x ＋y 0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -= C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝1 答案：BC12．关于函数()e cos x f x a x =-，x ∈(π-，π)，下列说法正确的是 A ．当a ＝1时，()f x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x B ．若函数()f x 在(π-，π)上恰有一个极值，则a ＝0 C ．对任意a ＞0，()f x ≥0恒成立D ．当a ＝1时，()f x 在(π-，π)上恰有2个零点答案：ABD三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．13.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__________. 答案：214．若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为_________.答案：1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，16．已知F 是抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点，设点A(p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为（本题第一空2分，第二空3分）．答案：2，3416．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，将△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为．答案：π4四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；②242S S =，且112()2n n T -=-这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n Q ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，A C ∠=∠，E 是AD 上的点且满足BED ∆与ABD ∆相似，34AEB π∠=，6DBE π∠=，6DE =. (1)求BD 的长度；(2)求三角形BCD 面积的最大值. 18. 解：（1）4BED AEB ππ∠=-∠=,在三角形BDE 中，sin sin DE BDDBE BED=∠∠，即6sinsin64BD ππ=， …………2分所以6122=，62BD =； …………6分 (2)因为BED ABD ∆∆，所以C A ∠=∠=6DBE π∠=， …………7分在三角形BDC 中，2222cos6BD DC BC DC BC π=+-，所以22723DC BC DC BC =+-， …………8分所以7223DC BC DC BC ≥-，所以()722+3DC BC ≤，所以()()11sin 722+3182+3264BCD S DC BC π∆=≤⨯=，所以三角形BCD 面积的最大值为36183+. …………12分 19.（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，=2AB AD =，三角形PBD 是边长为22的正三角形，23PA =. （1）证明：PC ABCD ⊥平面；（2）若E为BC中点，F在线段DE上，且25DF DE=，求二面角F PA C--的大小.解：(1)因为222AB AD BD===，，所以222+=AB AD BD，所以AB AD⊥，又因为ABCD为平行四边形，所以AB BC⊥,AD DC⊥，因为222,23AB BP PA===，，所以222+=AB BP AP，所以AB BP⊥，因为PB BC B=,所以AB BPC⊥平面,所以AB CP⊥, 因为222,23AD P PA===，D，所以222+=AD DP AP，所以AD DP⊥，因为PD DC D=,所以AD PCD⊥平面,所以AD CP⊥,因为AD AB A=,所以PC ABCD⊥平面. …………6分(2)由 (1)知，,,CD CB CP两两垂直，分别以,,CD CB CP所在的直线为,,x y z轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在三角形PBC中，222PC PB BC=-=,则(2,2,0)A, (0,2,0)B,(0,0,0)C, (2,0,0)D,(0,1,0)E,(0,0,2)P,所以(2,1,0)DE=-，242(,,0)555DF DE==-,48(,,0)55AF AD DF=+=--,(2,2,2)PA=-,设平面PAF的一个法向量为(,,)x y z=m，则AFPA⎧=⎪⎨=⎪⎩mm，即48552220x yx y z⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，令1y=，得2x=-，1z=-，于是取(2,1,1)=--m，又由 (1)知，底面ABCD为正方形，所以AC BD⊥,因为PC ABCD⊥平面，所以PC BD⊥,因为AC PC C=,所以BD ACP⊥平面.所以(2,2,0)BD=-平面PAC的一个法向量，设二面角F PA C--的大小为θ，则cos cos ,6BD BD BDθ=<>===m m m ，所以二面角F PA C --的大小为6π. …………12分20.（本小题12分）已知2()ln 12a f x x x x =++ （1）若()f x 在其定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()cos sin ln 1g x f x x x x x x =+---在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有1个零点.求实数a的取值范围；20.解:（1）()ln 10f x x ax '=++≤在(0,)+∞上恒成立，所以ln 1x a x--≤，令ln 1()x h x x --=，则2ln ()xh x x'=，由2ln 0xx >，得1x >，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，由2ln 0xx <，得01x <<，所以()h x 在(0,1)单调递减，所以当1x =时，()h x 取得最小值(1)1h =-，所以1a ≤-. (6)分（2）（i ）2()cos sin ,0,22a g x x x x x x π⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦所以()(sin )g x x a x '=-，当1a ≥时，sin 0a x -≥，所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，又因为(0)0g =，所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无零点. (7)分当01a <<时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得0sin x a =，所以()g x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，在()00,x 单调递增，又因为(0)0g =，2()128a g ππ=-，所以若2108a π->，即28a π>时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无零点， ........8分若2108a π-≤，即280a π<≤时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有一个零点， …………9分当0a ≤时()sin 0g x a x x '=-<，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， ()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无零点， .............................10分综上当280a π<≤时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有一个零点 …………12分21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>P (33在C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，1(0,)2H -，试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点,,Q M N (其中,M N 的纵坐标不相等)，满足12OM ON OQ +=，且直线HM 与直线HN 倾斜角互补？若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，说明理由. 21.解：（1）由题意知可得c a =222a b c -=，2281133a b+=，解得2a =，1b =，则椭圆C 的方程为2214x y +=； …………4分（2）由题意，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN 方程为y kx m =+，设点1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得222(41)4084k k x mx m +++-=，所以122814km x x k -+=+ ，21224441m x x k -=+，121222()214m y y k x x m k +=++=+，因为12OM ON OQ +=，所以22164(,)1414km mQ k k -++，因为Q 在椭圆上，所以222216()414()1414km m k k-++=+，化简得221614m k =+， …………8分满足0∆>，又因为直线HM 与直线HN 倾斜角互补，所以0HE HF k k +=，所以121211220y y x x +++=，所以121211220kx m kx m x x +++++=，所以121212()()02kx x m x x +++=，所以24(2)014k m k+=+， …………10分因为0k ≠，所以2m =-，代入221614m k =+得k =±，所以存在满足条件的三个点，此时直线MN的方程为22y x =-或2y x =-. (12)分22.（本小题12分）已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若0x >，证明()()21ln 1x e x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数()12x f x e ax '=--，令()12x h x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。

【高中数学】2020-2021学年人教A版必修一二次函数、方程和不等式(能力测评卷)

章末检测（一) 集合与常用逻辑用语 ◎◎◎◎◎◎滚动测评卷◎◎◎◎◎◎(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝() A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |x <0} D ．{x |x >1}【答案】B【解析】∵全集U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}，故选B.2．四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定是菱形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件． 3．下列四个命题中的真命题为() A ．∃x ∈Z ，1<4x <3 B ．∃x ∈Z ，5x ＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 【答案】D【解析】选项A 中，14<x <34且x ∈Z ，不成立；选项B 中，x ＝－15，与x ∈Z 矛盾；选项C 中，x ＝±1，与∀x ∈R 矛盾；选项D 中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D 正确． 4．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是() A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n } 【答案】B【解析】方程(m －x )(n ＋x )＝0的两个根为m ，－n .因为m ＋n >0，所以m >－n ，结合二次函数y ＝(m －x )·(n ＋x )的图象，得原不等式的解集是{x |－n <x <m }．故选B. 5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是() A ．{x |x <5a 或x >－a } B ．{x |x >5a 或x <－a } C ．{x |－a <x <5a } D ．{x |5a <x <－a } 【答案】A【解析】方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a .因为2a ＋1<0，所以a <－12，所以－a >5a .结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }，故选A.6．若－4<x <1，则22222-+-x x x ()A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1【答案】D【解析】]11)1[(2122222-+-=-+-x x x x x 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.∴1])1(1)1([21-≤--+---x x ≤－1.当且仅当x －1＝11-x ，即x ＝0时等号成立． 7．关于x 的方程11-=-x xx x 的解集为() A ．{0} B ．{x |x ≤0或x >1} C ．{x |0≤x <1} D ．{x |x ≠1}【答案】B【解析】由题意知，1-x x≥0，所以x ≤0或x >1，所以方程11-=-x x x x 的解集为{x |x ≤0或x >1}． 8．设p ：0＜x ＜1，q ：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣1，0]B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）【答案】A【解析】命题q ：：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，即a ≤x ≤2+a ．由题意得，命题p 成立时，命题q 一定成立，但当命题q 成立时，命题p 不一定成立． ∴a ≤0，且2+a ≥1，解得﹣1≤a ≤0，故选：A ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．（2019·江苏姑苏�高二期中）已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：( )A ．a a mb b m+<+ B ．a a mb b m ->- C ．a a bmb b am+<+ D ．a a bmb b am-<- 【答案】AC【解析】由题意可知，可以得到不等式，若0b a >>，0m >，则有a a m b b m+<+，因此选项A 是正确的；由该不等式反应的性质可得：a a am a bmb b am b am++<<++，因此选项C 是正确的；对于选项B ：假设a a mb b m->-成立，例如：当3,1,4b a m ===时，显然1143334->=-不成立，故选项B 不是正确的；对于选项D ：假设a a bmb b am-<-成立，例如：当3,1,1b a m ===时，显然113113311-⨯<=--⨯不成立，故选项D 不是正确的.故选：AC2．（2020·山东新泰�泰安一中高二期中）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（） A ．11a b< B ．22ac bc <C ．11a b b a+<+ D ．22a ab b >>【答案】CD 【解析】0,0,0,0a b b a a b ab <<∴->-<>A.110b aa b ab--=>，故错误； B. ()222ac bc c a b -=-，当0c时，220ac bc -=，故错误；C. ()11110a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； D. 2()0a ab a a b -=->，2()0=->-b a b ab b ，故正确. 故选CD.11．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(-，则下列结论正确的是() A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0 D ．a ＋b ＋c >0【答案】BCD【解析】因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故B 、C 正确；由二次函数的图象可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选B 、C 、D. 12．已知关于x 的不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是() A ．当a ＜b ＜1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅ B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4} C ．当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式 D ．不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b ＝34 【答案】AB 【解析】由43x 2－3x ＋4≤b 得3x 2－12x ＋16－4b ≤0，又b ＜1，所以Δ＝48(b －1)＜0.从而不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅，故A 正确；当a ＝1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4就是x 2－4x ＋4≥0，解集为R ，当b ＝4时，不等式43x 2－3x ＋4≤b 就是x 2－4x ≤0，解集为{x |0≤x ≤4}，故B 正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝43x 2－3x ＋4＝43(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示．由图知，当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |x A ≤x ≤x C }∪{x |x D ≤x ≤x B }的形式，故C 错误；由a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }，知a ≤y min ，即a ≤1，因此当x ＝a ，x ＝b 时函数值都是b .由当x ＝b 时函数值是b ，得43b 2－3b ＋4＝b ，解得b ＝34或b ＝4.当b ＝34时，由43a 2－3a ＋4＝b ＝34，解得a ＝34或a ＝38，不满足a ≤1，不符合题意，故D 错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．【答案】∅【解析】原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.14．若不等式x 2－4x ＋m <0的解集为空集，则不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集是________．【答案】{x |3<x <m }【解析】由题意，知方程x 2－4x ＋m ＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m ≤0，解得m ≥4，又x 2－(m ＋3)x ＋3m <0等价于(x －3)(x －m )<0，所以3<x <m . 15．若∃x >0，使得x1＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≥2 【解析】∃x >0，使得x 1＋x －a ≤0，等价于a 大于等于x1＋x 的最小值， ∵x ＋x1≥2 xx 1⋅＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)，故a ≥2.16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：万元．【答案】20330【解析】设总产值为y 万元，应开发A 类电子器件x 件，则应开发B 类电子器件(50－x )件．根据题意，得2x ＋350x -≤20，解得x ≤20. 由题意，得y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以欲使总产值最高，A 类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R . (1)当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；若A ≠∅，由A ⊆B ，得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-43221321a a a a ，解得－1≤a ≤21综上，a 的取值范围是}2114{≤≤--<a a a 或.18．(本小题满分12分)）若正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，求：（1）3x +4y 的最小值；（2）求xy 的最小值．【解析】（1）正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴1y+3x=5．∴3x +4y =15(3x +1y )（3x +4y ）=15（13+12yx +3x y ≥15(13+3×2√4y x ⋅xy )=5，当且仅当x ＝1，y =12时取等号．∴3x +4y 的最小值为5．（2）∵正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴5xy ≥2√3xy ，解得：xy ≥1225，当且仅当x ＝3y =65时取等号． ∴xy 的最小值为1225．19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式56x 2�ax �a 2<0. 【解析】原不等式可化为()()780x a x a +-<，即078a a x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①当78a a -<即0a >时，78a a x -<<； ②当78a a-=时，即0a =时，原不等式的解集为∅；③当78a a ->即0a <时，87a a x <<-，综上知：当0a >时，原不等式的解集为78a a x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为87a a xx ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.20．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【解析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .21．(本小题满分12分)已知命题：“∃x ∈{x |﹣1＜x ＜1}，使等式x 2﹣x ﹣m ＝0成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x ﹣a ）（x +a ﹣2）＜0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．【解析】（1）由x 2﹣x ﹣m ＝0可得m ＝x 2﹣x =(x −12)2−14 ∵﹣1＜x ＜1 ∴−14≤m ＜2 M ＝{m |−14≤m ＜2}（2）若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N①当a ＞2﹣a 即a ＞1时，N ＝{x |2﹣a ＜x ＜a }，则{2−a ＜−14a ≥2a ＞1即a ＞94②当a ＜2﹣a 即a ＜1时，N ＝{x |a ＜x ＜2﹣a }，则{a ＜1a ＜−142−a ≥2即a ＜−14③当a ＝2﹣a 即a ＝1时，N ＝φ，此时不满足条件综上可得a ＞94或a ＜−1422．(本小题满分12分)某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x +1；g （x ）={10x+1x+1(0≤x ≤3)−x 2+9x −12(3＜x ≤5)．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．【解析】设投入B 商品的资金为x 万元（0≤x ≤5），则投入A 商品的资金为5﹣x 万元，设收入为S （x ）万元，①当0≤x ≤3时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）=10x+1x+1，则S （x ）＝6﹣x +10x+1x+1=17﹣[（x +1）+9x+1]≤17﹣2√(x +1)⋅9x+1=17﹣6＝11，当且仅当x +1=9x+1，解得x ＝2时，取等号．②当3＜x ≤5时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝﹣x 2+9x ﹣12，则S （x ）＝6﹣x ﹣x 2+9x ﹣12＝﹣（x ﹣4）2+10≤10，此时x ＝4． ∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A 商品的资金为3万元，投入B 商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．。

2021年高三数学集合简易逻辑、函数与导数单元测试题理

2021年高三数学集合简易逻辑、函数与导数单元测试题理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知2{1,0,1,2,3},{|log (1)1},A B x x A B =-=-≤则的元素个数为（）A ．0B ．5C ．3D ．22．已知c<0，下列不等式中成立的一个是 ( )A ．B ．C ．D ．3.设集合1{|1},{|2,[1,0]}x A x B y y x x=>==∈-，则（）A 、B 、C 、D 、 4.下列函数中，在区间上为增函数的是（） A 、 B 、 C 、 D 、 5.已知命题：:在中，的充分不必要条件是; :.则下列命题为真命题的是（）A 、B 、C 、D 、6. “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数在处的导数值与函数值互为相反数，则的值为（）A ．0B ．1C ．D ．不存在 8.函数的图像大致为（）A B C D . 9．已知，且函数的最小值为b ，若函数，则不等式的解集为 ( )A ．B ．C ．D ．10.设是函数的定义域，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在“次不动点”.若函数在上存在三个“次不动点”，则实数的取值范围是（） A 、 B 、 C 、 D 、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.设为曲线在点处的切线，则的方程为12.命题“”的否定是．13.若函数y ＝x ＋4x在(0，a )上为单调减函数，则实数a 的取值范围是．14.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 15．已知关于的方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域．若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .第Ⅱ卷（共100分）一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11、 12、13、 14、 15、三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）已知实数，且满足以下条件：①、，有解；②、，；求实数的取值范围17. （本小题满分12分）已知函数其中,.（1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围.（2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为. 18. （本小题满分12分）经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散.设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：,（1）求出k的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？19. （本小题满分12分）定义在R上的函数f（x），其周期为4，且当时，，若函数恰有4个零点，则实数k的取值范是20. （本小题满分13分）(本小题满分13分)已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）试讨论函数的单调性；（3）证明：对任意，都有成立。

【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(三)含答案(集合与逻辑用语,函数)

2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(三)考试内容：一轮复习（集合与逻辑用语，函数)一、单选题1．（b ）下列各命题中正确命题的序号是（）① “若,a b 都是奇数，则+a b 是偶数”的逆否命题是“+a b 不是偶数，则,a b 都不是奇数”；② 命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤” ；③ “函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π” 是“1a =”的必要不充分条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④2．（b ）已知函数()1x x x f x e e-=++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于（） A ．1B ．2C ．211e e ++D ．221e e ++ 3．（b ）函数x x x x e e y e e--+=-的图像大致为（） A ． B ． C ． D ．4．（b ）已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（）A ．[)110，B ．110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．11010⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()111010⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦，，5．（b ）已知函数34(x)sin 1x f x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（）A ．4040B ．4C ．2D ．06．（b ）设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（）A ．()9,01,4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B ．[)0,+∞C ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()9,02,4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦二、填空题7．（b ）已知11:,42p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()221x m x <+，:q 函数()1421x x f x m +=++-存在零点．若：“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是_____．8．（b ）函数22()1f x x x kx =-++在(0,2)上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围__________.9．（b ）某同学在研究函数2()()||1x f x x R x =∈+时，给出下列结论：①()()0f x f x -+=对任意x ∈R 成立；②函数()f x 的值域是()2,2-；③若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；④函数()()2g x f x x =-在R 上有三个零点．则正确结论的序号是_______.2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(三)参考答案1．C【详解】① “若,a b 都是奇数，则+a b 是偶数”的逆否命题是“+a b 不是偶数，则,a b 不都是奇数”；错误② 命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤” ；根据命题否定的规则判断：正确③ “函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π” 是“1a =”的必要不充分条件；函数22()cos sin cos 2f x ax ax ax =-=的最小正周期为π1a ⇒=± ，1a ⇒=±是“1a =”的必要不充分条件，正确④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<，0a b ⋅<可能夹角为180︒，错误. 故答案选C2．B【详解】令()x x x g x e e -=+，则()()x x x xx x g x g x e e e e ----==-=-++ 所以()g x 是奇函数，即()()min max 0g x g x +=所以()()min max 22M m g x g x +=++= 故选B3．A【解析】试题分析：x xx x e e y e e--+=-2211x e =+-为奇函数且x 0=时，函数无意义，可排除,C D ，又在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，故选A .4．C【详解】由题意，因为()()()g x f x g x -=-=，所以()g x 为偶函数，又因为()f x 是[)0,+∞上的增函数，所以()g x 是[)0,+∞上的减函数，又因为()()lg 1g x g >，所以()()lg 1g x g >，所以lg 1x <，解得11010x <<，故选C. 5．B【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xx e f x x x e =-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B .6．D【解析】()x g x <等价于220x x -->即2x >或1x <-，此时2()2f x x x =++ 此时()f x 的取值范围是(2,)+∞.而 ()x g x ≥等价于220x x --≤即12x -≤≤，此时2()2f x x x =-- 此时()f x 的取值范围是9[,0]4-. 所以()f x 的值域是9[,0](2,)4-⋃+∞，故选D. 7．4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题意得，因为()211:,,2142p x x m x ⎡⎤∀∈<+⎢⎥⎣⎦ ，即22211x m x x x >=++ 当12x =时，1x x +取得最小值52，此时 221x x +取得最大值，最大值为45，所以45>m ；设2(0,)x t =∈+∞，则()221f t t t m =++-，要是的()f t 在(0,)+∞存在零点，则()0010f m <⇒-<，解得1m <，所以实数m 的取值范围是415m <<. 8．7,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】函数22()|1|f x x x kx =-++，21,(0,1]()21,(1,2)kx x f x x kx x +∈⎧∴=⎨+-∈⎩∴①函数()f x 在(0，1]，(1,2)各一个解：由于(0)10=>f ， ∴(1)071(2)02f k f <⎧⇒-<<-⎨>⎩． ②两零点都在(1,2)上时，显然不符合根与系数的关系12102x x =-<．综上，k 的取值范围是：712k -<<-．故答案为：7(2-，1)-． 9．①②③【解析】①()()2211x x f x f x x x --==-=--++，即()()0f x f x -+=，故正确； ②当0x >时，()2()0,211f x x =∈+，由①可知当0x <时，()()2,0f x ∈-，当0x =时，()00f =，所以函数()f x 的值域是()2,2-，正确；③当0x >时，2()11f x x=+，由反比例函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，由①可知()f x 在(),0-∞上也是增函数，所以若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠，正确； ④由③可知()f x 的图像与函数2y x =的图像只有两个交点，故错误。

2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元测试卷一课一练含解析第一册

新20版练B1数学人教A版第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是(）。

A.{0,1，2，3，4} B。

{1，2，3,4｝C。

｛0，1,2，3,4,5} D。

｛1,2,3，4,5}答案:A解析:小于5的自然数有0,1，2，3,4。

2。

若集合M={x|-2≤x〈2｝,N={0,1,2}，则M∩N=()。

A。

{0｝ B.{1｝C.{0,1，2｝D。

{0，1}答案：D解析：∵M={x｜—2≤x〈2｝，N=｛0，1,2},∴M∩N=｛0,1}，故选D。

3。

集合｛2a，a2—a}中a的取值范围是（)。

A.｛a∈R|a≠0或a≠3} B。

{a∈R|a≠0}C。

{a∈R｜a≠0且a≠3} D.｛a∈R｜a≠3}答案：C解析：根据元素的互异性知a2-a≠2a，解得a≠0且a≠3。

4。

如图1—4，已知全集U=R，集合A=｛x∈N|x〈6｝,B=｛x∈R|x〉3｝，图中阴影部分所表示的集合为（)。

图1-4A。

{0，1，2,3} B。

{0，1,2｝C。

{4,5} D.{3,4，5｝答案：A解析：由题图可知阴影部分所表示的集合为A∩（∁U B)=｛0，1,2，3}。

5。

(2018·湖南衡阳八中高三月考）设集合A={0，1,2，3｝,B=｛x|—x ∈A,1—x∉A}，则集合B中元素的个数为()。

A.1 B。

2 C.3 D.4答案：A解析：若x∈B,则—x∈A,故x只可能是0,—1，—2,-3。

当0∈B 时,1—0=1∈A;当-1∈B时，1—（-1)=2∈A;当-2∈B时，1—（-2）=3∈A；当-3∈B时,1—（—3）=4∉A,所以B=｛-3｝。

故集合B中元素的个数为1,选A.6.(全国Ⅰ高考）已知集合A=｛x|x=3n+2，n∈N｝,B={6,8，10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(）。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

集合与常用逻辑用语、函数、导数答案

专题检测卷(二)集合与常用逻辑用语、函数、导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·课标全国)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}【解析】由已知A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤4，x∈Z}＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，则A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}，故选D.【答案】 D2．(2010·海南三亚模拟)设A＝{x||x|≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}，若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是A．t＜－3 B．t≤－3C．t＞3 D．t≥3【解析】A＝[－3,3]，B＝(－∞，t]，由A∩B＝∅知t＜－3.【答案】 A3．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于A．∅B．MC．N D．R【解析】∵M＝R，N＝{y|y≥－1}，∴M∩N＝N.【答案】 C4．(2010·广东广州模拟)若函数f(x)＝log a(x＋1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于A.13 B. 2C.22D．2【解析】∵f(x)＝log a(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a＞1时，0＝log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2；当0＜a＜1时，log a 2≤log a(x＋1)≤log a1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.【答案】 D5．(2010·海南三亚质检)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则A．f(0)＜f(－1)＜f(2) B．f(－1)＜f(0)＜f(2)C．f(－1)＜f(2)＜f(0) D．f(2)＜f(－1)＜f(0)【解析】由f(x－2)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,0]上单调递减．∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增．又f(－1)＝f(1)，∴f(0)＜f(－1)＜f(2)．【答案】 A6．A7．(2010·山东聊城摸底)函数f(x)的图象如下图所示，下列数值排序正确的是A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)【解析】 f ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图象上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B. 【答案】 B8．(2010·济宁质检)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 ①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点； ②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A . A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】对于①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔m 2－4(m ＋3)＞0⇔p ：m ＜－2或m ＞6；对于②y ＝f (x )为偶函数，但不一定满足f (－x )f (x )＝1， ∴不是充要条件．对于③若α＝π6，β＝－π6，满足cos α＝cos β，但不满足tan α＝tan β，∴不是充要条件．对于④p ：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔q ：∁U B ⊆∁U A . 【答案】 D9．(2010·山东临沂模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值A ．恒为正B ．等于零C ．恒为负D ．不大于零【解析】数形结合．由于f (1)＞0，f (3)＜0，所以x 0∈(1,3)．在(1,3)上g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，φ(x )＝log 3x 是增函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x 在(1,3)上是减函数，所以f (x 1)＞f (x 0)＝0，故选A.【答案】 A10．(2010·江苏无锡摸底)若a ＞2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有 A ．0个根 B ．1个根 C ．2个根D ．3个根【解析】设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a ＜0，f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)11．3(,1)412．-7 13．314．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【解析】对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0得a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4， a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 【答案】 2115．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是【解析】 f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图知f (a )＝f (b )，则有0＜a ＜1＜b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，得a ＝1b ， ∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2，显然b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )＞0， ∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，得g (b )＝2b ＋1b ＞3，故选C. 【答案】(3，＋∞)16．(2010·宁夏银川摸底)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上) 【解析】令x ＝－3，可得f (3)＝f (－3)＝0，知①正确； ∵f (x ＋6)＝f (x )，又f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，∴②正确；由题意知，x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，又f (x )为偶函数，f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )在[－9，－6]上单调递减，③不正确；由f (3)＝0可知，f (－3)＝f (－9)＝f (9)＝0，∴④正确．【答案】 ①②④17．(2010·滨州模拟)给出下列四个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真； ③函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )有3个零点；④对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时f ′(x )＞g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号) 【解析】显然①正确，而②的逆命题为若a ＜b ，则am 2＜bm 2，当m 2＝0时不成立，故②不正确；③中f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )在R 上为单调增函数．∴在R 上有且仅有一个零点，故③不正确；对于④由已知f (x )为奇函数，又在(0，＋∞)时f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴在x ＜0时亦为增函数， ∴f ′(x )＞0，同理g (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴x ＜0时，g ′(x )＜0，因此f ′(x )＞g ′(x )，故④正确．【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(12分) (1)2,12,0a b c ==-=(2)单调增区间(,)-∞+∞，单调减区间(19．(12分)(2010·东北六校联考)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)f (x )＝3·2x .(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．【答案】 (1)f (x )＝3·2x (2)m ≤5620．(12分)(2010·安徽)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1.【解析】 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.【答案】 (1)f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞) 极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )(2)略21．(12分)(2010·珠海模拟)设函数f (x )＝x (1＋x )2，x ∈(－∞，0]． (1)求f (x )的极值点；(2)对任意的a ＜0，以F (a )记f (x )在[a,0]上的最小值，求k ＝F (a )a 的最小值．【解析】 (1)f ′(x )＝(1＋x )2＋2x (1＋x )＝(1＋x )(1＋3x )，由f ′(x )＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝－13，当x ＜－1或x ＞－13时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜－13时，f ′(x )＜0，所以，有两个极值点：x 1＝－1是极大值点，f (－1)＝0； x 2＝－13是极小值点，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－427.(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－427作直线y ＝－427，与y ＝f (x )的图象的另一个交点为A ，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－427，－427＝x (x ＋1)2，即27x 3＋54x 2＋27x ＋4＝0，已知有解x ＝－13，则(3x ＋1)(9x 2＋15x ＋4)＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－427. 当a ＜－43时，F (a )＝f (a )，k ＝f (a )a ＝(1＋a )2＞19；当－43≤a ≤－13时，F (a )＝－427， k ＝－427a ≥－427－43＝19，其中当a ＝－43时，k ＝19；当－13＜a ＜0时，F (a )＝f (a )，k ＝f (a )a ＝(1＋a )2＞49.所以，对任意的a ＜0，k 的最小值为19⎝ ⎛⎭⎪⎫其中当a ＝－43时，k ＝19【答案】 (1)有两个极值点： x 1＝－1是极大值点，f (－1)＝0； x 2＝－13是极小值点，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－427(2)对任意的a ＜0，k 的最小值为19⎝ ⎛⎭⎪⎫其中当a ＝－43时，k ＝19 22．(14分)(2010·浙江嘉兴模拟)已知x ＝0是函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e x (x ∈R )的一个极值点，且函数f (x )的图象在x ＝2处的切线的斜率为2e 2.(1)求函数f (x )的解析式并求单调区间；(2)设g (x )＝f ′(x )e x ，其中x ∈[－2，m )，问：对于任意的m ＞－2，方程g (x )＝23(m －1)2在区间(－2，m )上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋b ]e x ，由f ′(0)＝0，得b ＝－a ， ∴f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ]e x ，又f ′(2)＝[4＋2(a ＋2)]e 2， ∴[4＋2(a ＋2)]e 2＝2e 2，故a ＝－3，令f ′(x )＝(x 2－x )e x ≥0，得x≤0或x≥1，令f′(x)＝(x2－x)e x＜0，得0＜x＜1，故：f(x)＝(x2－3x＋3)e x的单调增区间是(－∞，0]，[1，＋∞)，单调减区间是(0,1)．(2)由(1)知g(x)＝x2－x，假设方程g(x)＝23(m－1)2在区间(－2，m)上存在实数根，设x0是方程g(x)＝23(m－1)2的实根，则x20－x0＝23(m－1)2，令h(x)＝x2－x－23(m－1)2，从而问题转化为证明方程h(x)＝x2－x－23(m－1)2＝0在(－2，m)上有实根，并讨论解的个数，因为h(－2)＝6－23(m－1)2＝－23(m＋2)(m－4)，h(m)＝m(m－1)－23(m－1)2＝13(m＋2)(m－1)，所以①当m＞4或－2＜m＜1时，h(－2)·h(m)＜0，所以h(x)＝0在(－2，m)上有解，且只有一解②当1＜m＜4时，h(－2)＞0且h(m)＞0，但由于h(0)＝－23(m－1)2＜0，所以h(x)＝0在(－2，m)上有解，且有两解③当m＝1时，h(x)＝x2－x＝0⇒x＝0或x＝1，所以h(x)＝0在(－2,1)上有且只有一解；当m＝4时，h(x)＝x2－x－6＝0⇒x＝－2或x＝3，所以h(x)＝0在(－2,4)上也有且只有一解，综上所述，对于任意的m＞－2，方程g(x)＝23(m－1)2在区间(－2，m)上均有实数根且当m≥4或－2＜m≤1时，有唯一的实数解；当1＜m＜4时，有两个实数解．【答案】(1)f(x)＝(x2－3x＋3)e x，单调增区间是(－∞，0]，[1，＋∞)，单调减区间是(0,1) (2)略- 11 -。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册

1.1。

3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。

问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误![拓展](1)对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。

这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。

（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集学案含解析第一册

第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。

通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。

(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。

2020-2021学年新教材人教A版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试

第一章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|－1<x≤1}，则A∩B＝(　B　)A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1<x≤1}C．{x|－1<x<2}D．{x|1≤x<2}解析：∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x≤1}，∴A∩B＝{x|－1<x≤1}．故选B.2．已知集合A＝{x|0≤x≤4，x∈Z}，B＝{y|y＝m2，m∈A}，则A∩B＝(　A　)A．{0,1,4}B．{0,1,6}C．{0,2,4}D．{0,4,16}解析：因为A＝{x|0≤x≤4，x∈Z}＝{0,1,2,3,4}，所以B＝{y|y＝m2，m∈A}＝{0,1,4,9,16}，则A∩B＝{0,1,4}．故选A.3．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤－2或x≥1}，N＝{x|－1≤x≤2}，则(∁U M)∩N＝(　C　)A．{x|－2≤x≤－1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x<1}D．{x|1≤x≤2}解析：因为全集U＝R，集合M＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁U M＝{x|－2<x<1}．又N＝{x|－1≤x≤2}，所以(∁U M)∩N＝{x|－1≤x<1}．故选C.4．已知集合A＝{x∈Z|－1≤x<2}，则集合A的子集的个数为(　B　)C．15D．16解析：∵－1≤x<2，x∈Z，∴x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}，∴集合A的子集的个数为23＝8.故选B.5．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的(　B　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：方法1：由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城，因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件．方法2：设綈p为不到长城，推出綈q非好汉，到綈p⇒綈q，由原命题与其逆否命题等价可知q⇒p，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件．故选B.6．“∃m，n∈Z，m2＝n2＋1 998”的否定是(　C　)A．∀m，n∈Z，m2＝n2＋1 998B．∃m，n∈Z，m2≠n2＋1 998C．∀m，n∈Z，m2≠n2＋1 998D．以上都不对解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：∀m，n∈Z，m2≠n2＋1 998.7．下列命题中假命题的个数为(　B　)①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x∈R,2x＋1＝3；③∃x∈Z，x能被2和3整除；④∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.C．2D．4解析：①∀x∈R，x2≥0，∴x2＋1≥1，正确；②x＝1时，2x＋1＝3，正确；③x＝6时，x能被2和3整除，正确；④∵Δ＝4－12＝－8<0，∴x2＋2x＋3＝0无实数根，不正确．综上可知，只有④是假命题．故选B.8．“∃x>0，使得a＋x<b”是“a<b”成立的(　C　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：因为∃x>0，使得a＋x<b，所以a<a＋x<b，所以a<b，所以充分性成立；必要性：因为a<b，所以b－a>0，所以∃x∈{x|0<x<b－a}，使得a＋x<b，所以必要性成立．所以命题“∃x>0，使得a＋x<b”是“a<b”成立的充要条件．故选C.9．设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　D　) A．对任意实数a，(2,1)∈AB．对任意实数a，(2,1)∉AC．当且仅当a<0时，(2,1)∉AD．当且仅当a≤32时，(2,1)∉A解析：将(2,1)代入x－y≥1，ax＋y>4与x－ay≤2中，可得2a＋1>4,2－a≤2同时成立，即a>32时，(2,1)∈A.结合各选项，知D正确．10．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　B　)A．31B．7C．3D．111．若“0≤x≤4”是“a≤x≤a＋2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　B　)A．{a|0<a<2}B．{a|0≤a≤2}C．{a|－2≤a≤0}D．{a|－2<a<0}解析：本题考查必要不充分条件的判定．“0≤x≤4”是“a≤x≤a＋2”的必要不充分条件，∴集合{x|a≤x≤a＋2}是集合{x|0≤x≤4}的子集．由集合的包含关系知Error!(其中等号不同时成立)，解得0≤a≤2，故选B.12．设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是(　B　) A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S解析：题目中x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z ＝3，w＝4满足题意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x ，y ，w )∈S 成立．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0.解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．14．命题“∃x 0∈{x |x 是正实数}，使x 0<x 0”的否定为假命题．(填“真”或“假”)解析：原命题的否定为“∀x ∈{x |x 是正实数}，使x ≥x ”，是假命题．15．若不等式|x －1|<a 成立的一个充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是{a |a ≥3}．解析：由|x －1|<a ，得－a ＋1<x <a ＋1.因为不等式|x －1|<a 成立的一个充分条件是0<x <4，所以Error!得a ≥3，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥3}．16．已知集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |mx ＋1>0}，若(A ∪B )⊆C ，则实数m 的取值范围是－12≤m ≤1.解析：由A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，得A ∪B ＝{x |－1<x <2}．∵集合C ＝{x |mx ＋1>0}，(A ∪B )⊆C ，①当m <0时，x <－1m ，∴－1m≥2，∴m ≥－12，∴－12≤m <0；②当m＝0时，成立；③当m>0时，x>－1m ，∴－1m≤－1，∴m≤1，∴0<m≤1，综上所述，－12≤m≤1.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．解：由于p：－1<x<3，－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)．依题意，得{x|－1<x<3} {x|1－a<x<1＋a}(a>0)，所以Error!解得a>2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即{b|b≤2}．18．(12分)已知p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}，q：x∈B，且B＝{x|x≤1或x≥3}．(1)若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a的值；(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．解：A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x≤1或x≥3}．(1)由A∩B＝∅，A∪B＝R，得Error!解得a＝2，所以满足A∩B＝∅，A∪B＝R的实数a的值为2.(2)若p是q的充分条件，则A⊆B，又A≠∅，所以a＋1≤1或a－1≥3，解得a≤0或a≥4，所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥4}．19．(12分)设集合A＝{x|－3<x<1}，集合B＝{x||x＋a|<1}．(1)若a＝3，求A∪B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即B＝{x|－4<x<－2}．A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|－4<x<1}．(2)因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|－a－1<x<－a＋1}．所以Error!或Error!解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．20．(12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；(2)若A⊆(∁R B)，求实数m的取值范围．解：由已知得，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，所以Error!解得m＝2.(2)∁R B＝{x|x<m－2或x>m＋2}，因为A⊆∁R B，所以m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.21．(12分)已知命题p：方程x2－22x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：m<1.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．解：(1)若p为真命题，则应有Δ＝8－4m>0，解得m<2.(2)若q为真命题，即m<1，又p，q一真一假，∴①当p真q假时，有Error!得1≤m<2；②当p假q真时，有Error!无解．综上，m的取值范围是1≤m<2.22．(12分)已知集合A＝{x|x<－3或x>2}，B＝{x|－4<x－2<2}．(1)求A∩B，(∁R A)∪(∁R B)；(2)若集合M＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围．解：(1)∵B＝{x|－4<x－2<2}＝{x|－2<x<4}，且A＝{x|x<－3或x>2}，∴A∩B＝{x|2<x<4}，∴(∁R A)∪(∁R B)＝∁R(A∩B)＝{x|x≤2或x≥4}．(2)①若M＝∅，则2k－1>2k＋1，不存在这样的实数k；②若M≠∅，则2k＋1<－3或2k－1>2，解得k<－2或k>32.综上，实数k的取值范围是Error! .。

集合与常用逻辑用语(综合测试卷)-2020-2021高中数学新教材(人教A版必修第一册)(解析版)

《集合与常用逻辑用语》综合测试卷一、单选题1．（2020·四川遂宁·高二期末（文））命题“2000,0x x ∃≤≥”的否定是（）A ．20,0x x ∀≤<B ．20,0x x ∀≤≥C ．2000,0x x ∃>>D ．2000,0x x ∃<<【答案】A 【解析】命题“2000,0x x ∃≤≥”的否定形式为：“20,0x x ∀≤<”.故选：A.2．（2019·浙江南湖·嘉兴一中高一月考）方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（）A ．{1}B ．(1,1)C ．{}(1,1)D ．{}1,1【答案】C 【解析】 ∵2{0x y x y +=-=∴1{1x y ==∴方程组2{x y x y +=-=的解构成的集合是{（1，1）}故选：C ．3．（2019·浙江湖州·高一期中）设集合()(){}110A x x x =-+=，则（） A ．A ∅∈ B ．1A ∈C ．{}1A -∈D ．{}11A -∈, 【答案】B 【解析】集合()(){}{}1101,1A x x x =-+==-，A ∴∅⊆，所以选项A 错误，1A ∈，所以选项B 正确，{}1-⊆A,{}1,1=A -，所以选项C ，D 错误. 故选：B4．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（文））设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（）A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞，【答案】C 【解析】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .5．（2020·广西兴宁·南宁三中高一期末）设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2UA =- ，故答案为B6．（2019·浙江高三月考）已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,1,3,5A =，{}2,3,6B =，则()UA B ⋃=（） A ．{}3 B ．{}0,1,3,4 C ．{}0,1,3,4,5 D ．{}0,1,2,3,5,6【答案】C 【解析】全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,6B =，则{}0,1,4,5UB =，又集合{}0,1,3,5A =，因此，(){}0,1,3,4,5UAB =.故选：C.7．（2019·浙江衢州·高二期中）已知全集U R =,集合{}{|13},2A x x B x x =<≤=,则()UA B ⋂=（）A ．{|12}x x <≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|12}x x ≤≤D ．{|13}x x ≤≤【答案】A 【解析】由U R =及{}2B x x =可得{|2}UB x x =≤,所以()U A B ⋂= {|12}x x <≤,故选A.8．（2020·天山·新疆实验高二期末）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A ．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 9．（2020·全国高三专题练习（文））设x ∈R ，则“20x -≥”是“()211x -≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】202-≥⇔≤x x ，2(1)102-≤⇔≤≤x x据此可知，20x -≥是2(1)1-≤x 的必要不充分条件. 故选：B10．（2020·湖北高一期末）设全集U =R ，已知集合{3A x x =<或}9x ≥，集合{}B x x a =≥.若()U C A B ≠∅，则a 的取值范围为（）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤【答案】C 【解析】∵{3A x x =<或}9x ≥，∴{}9|3U C A x x =≤<，若()U C A B ≠∅，则9a <，故选：C ．二、多选题11．（2020·辽宁抚顺·高一期末）若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，【答案】AB 【解析】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题，可得(,0)M ⊆-∞，所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB12．（2019·儋州市八一中学高一期中）已知下列命题其中正确的有（） A ．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”B ．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题C ．“至少存在一个实数x ，使得||0x ”是含有存在量词的真命题D ．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题【答案】BCD 【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A 错误.对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B 正确;对于C, “至少存在一个实数x ，使得||0x ”含有存在量词,且为真命题,所以C 正确; 对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D 正确. 综上可知,正确命题为BCD 故答案为: BCD13．（2020·江苏连云港·高二期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件， q 是s 的必要条件，则（）A ．p 是q 的既不充分也不必要条件B ．p 是s 的充分条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件【答案】BD 【解析】因为,p r q r ⇒⇒，r s ⇒，s q ⇒，故p s ⇒，q s ⇒，故选:BD 。

高考数学全程训练计划：周周测1 集合与常用逻辑用语

周周测1 集合与常用逻辑用语一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A ＝{0,2},B ＝{－2,－1,0,1,2},则A∩B＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2,－1,0,1,2} 答案：A解析：A∩B＝{0,2}∩{－2,－1,0,1,2}＝{0,2}．故选A.2．[2019·甘肃肃南月考]已知集合P ＝{2,3,4,5,6},Q ＝{3,5,7}．若M ＝P∩Q ,则M 的子集个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B解析：因为P∩Q＝{3,5},所以集合M 的子集个数为4.故选B.3．[2017·全国卷Ⅰ文,1]已知集合A ＝{x|x<2},B ＝{x|3－2x>0},则( )A ．A∩B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx<32B ．A∩B＝∅C ．A∪B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx<32D ．A∪B＝R 答案：A解析：由题意知A ＝{x|x<2},B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<32.由图易知A∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<32,A∪B＝{x|x<2},故选A.4．[2019·合肥一检]已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域,集合N 是函数y ＝x 2－4的值域,则M∩N＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪x<12且y≥－4D ．∅ 答案：B解析：由题意得M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12,N ＝[－4,＋∞),所以M∩N＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，12. 5．[2019·广东汕头模拟]已知集合A ＝{0,1,2},若A∩∁Z B ＝∅(Z 是整数集合),则集合B 可以为( ) A ．{x|x ＝2a,a∈A} B．{x|x ＝2a,a∈A} C ．{x|x ＝a －1,a∈N} D．{x|x ＝a 2,a∈N} 答案：C解析：由题意知,集合A ＝{0,1,2},可知{x|x ＝2a,a∈A}＝{0,2,4},此时A∩∁Z B ＝{1}≠∅,A 不满足题意；{x|x ＝2a,a∈A}＝{1,2,4},则A∩∁Z B ＝{0}≠∅,B 不满足题意；{x|x ＝a －1,a∈N}＝{－1,0,1,2,3,…},则A∩∁Z B ＝∅,C 满足题意；{x|x ＝a 2,a∈N}＝{0,1,4,9,16,…},则A∩∁Z B ＝{2}≠∅,D 不满足题意．故选C.6．[2019·广西南宁联考]设集合M ＝{x|x<4},集合N ＝{x|x 2－2x<0},则下列关系中正确的是( ) A ．M∩N＝M B ．M∪(∁R N)＝M C ．N∪(∁R M)＝R D ．M∩N＝N 答案：D解析：由题意可得N ＝(0,2),M ＝(－∞,4),N ⊆M.故选D.7．已知集合A ＝{4,a},B ＝{x∈Z|x 2－5x ＋4≥0},若A∩(∁Z B)≠∅,则实数a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2或6 D ．2或3 答案：D解析：因为B ＝{x∈Z|x 2－5x ＋4≥0},所以∁Z B ＝{x∈Z|x 2－5x ＋4<0}＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}．若A∩(∁ZB)≠∅,则a ＝2或a ＝3,故选D.8．[2019·合肥市高三第二次教学质量检测]命题p ：∀a≥0,关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实数解,则綈p 为( )A ．∃a<0,关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实数解 B ．∃a<0,关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数解 C ．∃a≥0,关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数解 D ．∃a≥0,关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实数解答案：C解析：根据全称命题的否定可知,綈p 为∃a≥0,关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数解,故选C. 9．[2019·唐山五校联考]已知命题p ：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；q ：∃x 0∈R ,|x 0＋1|≤x 0,则( )A ．(綈p)∨q 为真命题B ．p∨q 为真命题C ．p∧q 为真命题D ．p∧(綈q)为假命题答案：B解析：由函数y ＝2x是R 上的增函数,知命题p 是真命题．对于命题q,当x ＋1≥0,即x≥－1时,|x ＋1|＝x ＋1>x ；当x ＋1<0,即x<－1时,|x ＋1|＝－x －1,由－x －1≤x ,得x≥－12,无解,因此命题q 是假命题．所以(綈p)∨q 为假命题,A 错误；p∨q 为真命题,B 正确；p∧q 为假命题,C 错误；p∧(綈q)为真命题,D 错误．选择B.10．[2019·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学联考]对于实数x,y,若p ：x ＋y≠4,q ：x≠3或y≠1,则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由于命题“若x ＝3且y ＝1,则x ＋y ＝4”为真命题,可知该命题的逆否命题也为真命题,即p ⇒q.由x≠3或y≠1,但x ＝2,y ＝2时有x ＋y ＝4,即qD ⇒p.故p 是q 的充分不必要条件．故选A.11．[2019·广东深圳第一次调研]设有下面四个命题： p 1：∃n∈N ,n 2>2n；p 2：x∈R ,“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x ＝y,则sinx ＝siny”的逆否命题是“若sinx≠siny ,则x≠y”； p 4：若“p∨q”是真命题,则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1,p 2 B ．p 2,p 3 C ．p 2,p 4 D ．p 1,p 3 答案：D解析：∵n＝3时,32>23,∴∃n∈N ,n 2>2n,∴p 1为真命题,可排除B,C 选项．∵(2,＋∞)⊂(1,＋∞),∴x>2能推出x>1,x>1不能推出x>2,x>1是x>2的必要不充分条件,∴p 2是假命题,排除A.故选D.12．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知命题p ：∀x∈R ,不等式ax 2＋22x ＋1<0解集为空集,命题q ：f(x)＝(2a －5)x在R 上满足f′(x)<0,若命题p∧(綈q)是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3,＋∞)C ．[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3,＋∞) 答案：D解析：由题意命题p ：∀x∈R ,不等式ax 2＋22x ＋1<0解集为空集,a ＝0时,不满足题意．当a≠0时,必须满足：⎩⎨⎧a>0，Δ＝222－4a≤0，解得a≥2.命题q ：f(x)＝(2a －5)x在R 上满足f′(x)<0,可得函数f(x)在R 上单调递减,∴0<2a－5<1,解得52<a<3.∵命题p∧(綈q)是真命题,∴p 为真命题,q 为假命题． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a≥2，a ≤52或a≥3，解得2≤a≤52或a≥3,则实数a 的取值范围是[3,＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.故选D.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上．13．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ,则a 2 018＋b 2 018的值为________．答案：1解析：因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0,a 2,a ＋b},所以⎩⎪⎨⎪⎧ba＝0，a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去),故a2 018＋b2 018＝1.14．某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的有________人．答案：26解析：设只爱好音乐的人数为x,两者都爱好的人数为y,只爱好体育的人数为z,作Venn 图如图所示,则x ＋y ＋z ＝55－4＝51,x ＋y ＝34,y ＋z ＝43,故y ＝(34＋43)－51＝26.故答案为26.15．[2019·江西玉山一中月考]已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0,1]上有解；命题q ：f(x)＝log 2x 2－2mx ＋12在[1,＋∞)上单调递增．若“綈p”为真命题,“p∨q”为真命题,则实数m 的取值范围为______．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，34 解析：对于命题p ：令g(x)＝x 2－mx －2,则g(0)＝－2,∴g(1)＝－m －1≥0,解得m≤－1,故命题p ：m≤－1.∴綈p ：m>－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m≤1，1－2m ＋12>0，解得m<34.又由题意可得p 假q 真,∴－1<m<34,即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.16．[2019·福建闽侯二中模拟]设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析：由|4x －3|≤1,得12≤x≤1；由x 2－(2a ＋1)·x＋a(a ＋1)≤0,得a≤x≤a＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件,∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1[a,a ＋1]．∴a≤12且a＋1≥1,两个等号不能同时成立,解得0≤a≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0},B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0,x∈R ,m∈R}． (1)若A∩B＝[0,3],求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B,求实数m 的取值范围．解析：由已知得A ＝{x|－1≤x≤3}, B ＝{x|m －2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3],∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m＝2.(2)∁R B ＝{x|x ＜m －2或x ＞m ＋2},∵A ⊆∁R B, ∴m－2＞3或m ＋2＜－1,即m ＞5或m ＜－3. 所以实数M 的取值范围是{m|m ＞5,或m ＜－3}． 18．(本小题满分12分)设集合A ＝{x|132≤2－x ≤4},B ＝{x|x 2－3mx ＋2m 2－m －1<0}．(1)当x∈Z 时,求A 的非空真子集的个数； (2)若B ⊆A,求m 的取值范围．解析：化简集合A ＝{x|－2≤x≤5},集合B 可写为B ＝{x|(x －m ＋1)(x －2m －1)<0}．(1) x∈Z ,∴A＝{－2,－1,0,1,2,3,4,5},即A 中含有8个元素,∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)． (2)当B ＝∅即m ＝－2时,B ⊆A. 当B≠∅即m≠－2时．(ⅰ)当m<－2 时,B ＝(2m ＋1,m －1),要B ⊆A,只要⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥－2，m －1≤5⇒－32≤m≤6,所以m 的值不存在；(ⅱ)当m>－2 时,B ＝(m －1,2m ＋1),要B ⊆A,只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m≤2.综上可知m 的取值范围是：{m|m ＝－2或－1≤m≤2}． 19．(本小题满分12分)[2019·河南南阳第一中学第二次检测]若集合A ＝{(x,y)|x 2＋mx －y ＋2＝0,x∈R},B ＝{(x,y)|x －y ＋1＝0,0≤x≤2},当A∩B≠∅时,求实数m 的取值范围．解析：∵集合A ＝{(x,y)|x 2＋mx －y ＋2＝0,x∈R}＝{(x,y)|y ＝x 2＋mx ＋2,x∈R},B ＝{(x,y)|x －y ＋1＝0,0≤x≤2}＝{(x,y)|y ＝x ＋1,0≤x≤2},∴A∩B≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x∈[0,2]上有解,即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0,2]上有解,即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解,显然,x ＝0不是该方程的解,从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x在(0,2]上有解．又∵当x∈(0,2]时,1x ＋x≥2当且仅当1x ＝x,即x ＝1时取“＝”,∴－(m －1)≥2,∴m≤－1,即m∈(－∞,－1]．20．(本小题满分12分)[2019·山东陵县一中月考]已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根,不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．若命题p 是真命题,命题q 是假命题,求实数a 的取值范围．解析：因为x 1,x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2，所以|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝m 2＋8.所以当m∈[－1,1]时,|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立,得a 2－5a －3≥3,解得a≥6或a≤－1, 所以命题p 为真命题时,a≥6或a≤－1. 命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解, ①a>0时,显然有解； ②当a ＝0时,2x －1>0有解；③当a<0时,因为ax 2＋2x －1>0有解,所以Δ＝4＋4a>0,解得－1<a<0.所以命题q 为真命题时,a>－1. 又因为命题q 是假命题,所以a≤－1.所以命题p 是真命题且命题q 是假命题时,实数a 的取值范围为(－∞,－1]． 21．(本小题满分12分)[2019·山东德州模拟]命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0,命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R,若命题p∧q 为假,p∨q 为真,求实数a 的取值范围．解析：当命题p 为真时,即a 2＋a －6≥0,解得a≥2或a≤－3；当命题q 为真时,可得ax 2－ax ＋1≥0对任意x∈R 恒成立, 若a ＝0,则满足题意；若a≠0,则有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a 2－4a≤0，解得0<a≤4,∴0≤a≤4.∵p∧q 为假,p∨q 为真,∴“p 真q 假”或“p 假q 真”,①当p 真q 假时,则⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－3，a>4或a<0，∴a>4或a≤－3；②当p 假q 真时,则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a<2，0≤a≤4，∴0≤a<2.∴实数a 的取值范围是(－∞,－3]∪[0,2)∪(4,＋∞)． 22．(本小题满分12分)[2019·山东潍坊联考]已知m∈R ,设p ：∀x∈[－1,1],x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x∈[1,2],log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立．如果“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m 的取值范围．解析：若p 为真,则对∀x∈[－1,1],4m 2－8m≤x 2－2x －2恒成立．设f(x)＝x 2－2x －2,配方得f(x)＝(x －1)2－3, ∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－3,∴4m 2－8m≤－3,解得12≤m≤32,∴p 为真时,12≤m≤32.若q 为真,则∃x∈[1,2],x 2－mx ＋1>2成立,即m<x 2－1x成立．设g(x)＝x 2－1x ＝x －1x ,则g(x)在[1,2]上是增函数,∴g(x)的最大值为g(2)＝32,∴m<32,∴q 为真时,m<32.∵“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时,⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m≤32，m ≥32，∴m＝32；当p 假q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧m<12或m>32，m<32，∴m<12.综上所述,实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m<12或m ＝32。

2021届高三数学上学期第五次周考试题文_1

2021届高三数学上学期第五次周考试题文考试范围 1、集合与简易逻辑 10% 2、函数与导数40% 3、三角函数与平面向量25% 4、数列与不等式25%.（考试时间120分钟．共150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，1. 已知集合，则（）A． B． C． D．2. 平面向量与的夹角为，，，则等于（）A． B． C.4 D．123. 函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2D．34. 设函数，则（）A．﹣1 B． C．D．5. 设是等差数列的前项和，若，则（）A．1 B．2 C．3 D．46. 已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（）A．图象关于点中心对称B．图象关于轴对称C．在区间单调递增D．在单调递减7. 设函数，若，则x0的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）8. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．9. 设函数，. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在中，三个内角，，所对的边为，若，，，则( )A． B． C． D．11. 设是数列的前项和，≥2时点（，）在直线上，且首项是二次函数的最小值，则的值为（）A．6 B．7 C．36 D．3212. 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意实数都有，则不等式的解集是（）A．（，+∞） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13. 已知函数，若，则_________.14. 数列满足，且（），则数列的前10项和为15. 条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是 .16. 已知函数,下列结论中正确的序号有______①既是奇函数,又是周期函数②的图像关于直线对称③的最大值为④在上是增函数三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（本小题满分10分）已知集合，（1）当时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数的取值范围．18. （本小题满分12分）已知，且（1）证明（2）若，求的最小值19．（本小题满分12分）已知向量，函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，的对边分别是若，求的值．20.（本小题满分12分）已知函数是奇函数，（1）求的值；（2）若，求的值.21．（本小题满分12分）对于数列，，为数列的前项和，且，，，．（1）求数列、的通项公式；（2）令，求数列的前项和．22．（本小题满分12分）已知函数（1）过原点作曲线的切线，求切点的横坐标；（2）对∀∈[1，+∞），不等式，求实数的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13．-6 14. 15. 16. ①②③④三、解答题17.（1）集合A={x|x2﹣8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，当a=4时，B={x|x2﹣2x﹣24＜0}={x|﹣4＜x＜6}，∴A∩B=（1，6）……4分（2）B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}，∵A⊆B，①当a=﹣1时，B=∅，∴A⊆B不成立；……5分②当a+2＞﹣a，即a＞﹣1时，B=（﹣a，a+2），∵A⊆B，∴，解得a≥5；……7分③当a+2＜﹣a，即a＜﹣1时，B=（a+2，﹣a），∵A⊆B，∴，解得a≤﹣7；……9分综上，当A⊆B，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．……10分18（1）证明：由（a＞0，b＞0）得，，即ab=2，∴，当且仅当a=2b=2时取等号．……5分（2）∵log2a+log2b=log2（ab）=log22=1，∴，∵（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴0＜a＜1，0＜b＜1或a＞1，b＞1，则，∴，即的最小值为．……12分19．（Ⅰ）f（x）=•=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin （2x+），当2kπ+≤2x+≤2kπ+，即kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，（k∈Z）；……5分（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+）=，∴sin（2A+）=，∴2A+=2kπ+或2A+=2kπ+，∴A=kπ或A=kπ+，（k∈Z）；又∵A∈（0，π），∴A=；∵sinC=，C∈（0，π），sinA=，∴C＜，cosC=，∴sinB=sin（A+C）=，∴b==+2．……12分20. （1）因为为奇函数，所以对定义域内任意，都有即，所以由条件知，所以……6分（2）因为为奇函数，所以，令则所以……12分21. 1）因为，所以，所以22. （1）设切点为（x0，ax0﹣lnx0），∴，直线的切线方程为y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，所以lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．……4分（2）因为不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）对∀x∈[1，+∞）恒成立，所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立．设g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．①当a≤0时，∵，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合题意．②当a＞0时，．设，在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．（ i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合题意；（ ii）当0＜a＜1时，∵a﹣1＜0，∴∃x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，则g（x）在[1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x0）＜g（1）=0，则0＜a＜1不合题意．综上所述，a≥1．……12分2021届高三数学上学期第五次周考试题文考试范围 1、集合与简易逻辑 10% 2、函数与导数40% 3、三角函数与平面向量25% 4、数列与不等式25%.（考试时间120分钟．共150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，1. 已知集合，则（）A． B． C． D．2. 平面向量与的夹角为，，，则等于（）A． B． C.4 D．123. 函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2D．34. 设函数，则（）A．﹣1 B． C．D．5. 设是等差数列的前项和，若，则（）A．1 B．2 C．3 D．46. 已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（）A．图象关于点中心对称B．图象关于轴对称C．在区间单调递增D．在单调递减7. 设函数，若，则x0的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）8. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．9. 设函数，. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在中，三个内角，，所对的边为，若，，，则( )A． B． C． D．11. 设是数列的前项和，≥2时点（，）在直线上，且首项是二次函数的最小值，则的值为（）A．6 B．7 C．36 D．3212. 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意实数都有，则不等式的解集是（）A．（，+∞） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13. 已知函数，若，则_________.14. 数列满足，且（），则数列的前10项和为15. 条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是 .16. 已知函数,下列结论中正确的序号有______①既是奇函数,又是周期函数②的图像关于直线对称③的最大值为④在上是增函数三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（本小题满分10分）已知集合，（1）当时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数的取值范围．18. （本小题满分12分）已知，且（1）证明（2）若，求的最小值19．（本小题满分12分）已知向量，函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，的对边分别是若，求的值．20.（本小题满分12分）已知函数是奇函数，（1）求的值；（2）若，求的值.21．（本小题满分12分）对于数列，，为数列的前项和，且，，，．（1）求数列、的通项公式；（2）令，求数列的前项和．22．（本小题满分12分）已知函数（1）过原点作曲线的切线，求切点的横坐标；（2）对∀∈[1，+∞），不等式，求实数的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13．-6 14. 15. 16. ①②③④三、解答题17.（1）集合A={x|x2﹣8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，当a=4时，B={x|x2﹣2x﹣24＜0}={x|﹣4＜x＜6}，∴A∩B=（1，6）……4分（2）B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}，∵A⊆B，①当a=﹣1时，B=∅，∴A⊆B不成立；……5分②当a+2＞﹣a，即a＞﹣1时，B=（﹣a，a+2），∵A⊆B，∴，解得a≥5；……7分③当a+2＜﹣a，即a＜﹣1时，B=（a+2，﹣a），∵A⊆B，∴，解得a≤﹣7；……9分综上，当A⊆B，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．……10分18（1）证明：由（a＞0，b＞0）得，，即ab=2，∴，当且仅当a=2b=2时取等号．……5分（2）∵log2a+log2b=log2（ab）=log22=1，∴，∵（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴0＜a＜1，0＜b＜1或a＞1，b＞1，则，∴，即的最小值为．……12分19．（Ⅰ）f（x）=•=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+），当2kπ+≤2x+≤2kπ+，即kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，（k∈Z）；……5分（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+）=，∴sin（2A+）=，∴2A+=2kπ+或2A+=2kπ+，∴A=kπ或A=kπ+，（k∈Z）；又∵A∈（0，π），∴A=；∵sinC=，C∈（0，π），sinA=，∴C＜，cosC=，∴sinB=sin（A+C）=，∴b==+2．……12分20. （1）因为为奇函数，所以对定义域内任意，都有即，所以由条件知，所以……6分（2）因为为奇函数，所以，令则所以……12分21. 1）因为，所以，所以22. （1）设切点为（x0，ax0﹣lnx0），∴，直线的切线方程为y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，所以lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．……4分（2）因为不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）对∀x∈[1，+∞）恒成立，所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立．设g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．①当a≤0时，∵，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合题意．②当a＞0时，．设，在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．（ i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合题意；（ ii）当0＜a＜1时，∵a﹣1＜0，∴∃x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，则g（x）在[1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x0）＜g（1）=0，则0＜a ＜1不合题意．综上所述，a≥1．……12分。

2020-2021高三数学统练试卷-4-导数、三角函数(详解版)

r 13
r 13
则 sin 1 cos 5 1 12 1 ．故选 B．
2
13 2 13 13
7、已知函数 f (x) 满足 f (x) f ( 1 ) ，当 x [1,3] 时， f (x) ln x ，若在区间[1 ,3]内，曲
x
3
线 g(x) f (x) ax 与 x 轴有三个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（）
B． (0, 2) e
C．[ln 3 , 1) 3e
D．[ln 3 , 2) 3e
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二、填空题
8、函数
y
3cos
2x
π 6
的最小正周期为_____．
9、若关于 x 的不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1、2、3，则 b 的取值范围是_________．
10、已知 m a 1 (a 3) ， n 41x2 ，则 m ， n 之间大小关系是_________． a3
2、命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）
A． x R ， x 0
B． x0 R ， x0 0
C． x R ， x 0
D． x0 R ， x0 0
【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否
定结论，故选 C．
3、函数
f
(x)
log 1
2
x
1 4
B． 1 13
C． 1 12
） D． 1 12
7、已知函数 f (x) 满足 f (x) f ( 1 ) ，当 x [1,3] 时， f (x) ln x ，若在区间[1 ,3]内，曲
x
3
线 g(x) f (x) ax 与 x 轴有三个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（）

2021年高三数学集合简易逻辑、函数与导数单元测试题文

2021年高三数学集合简易逻辑、函数与导数单元测试题文一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知2{1,0,1,2,3},{|log (1)1},A B x x A B =-=-≤则的元素个数为（）A ．0B ．5C ．3D ．22．已知c<0，下列不等式中成立的一个是( )A ．B ．C ．D ．3.设集合1{|1},{|2,[1,0]}x A x B y y x x=>==∈-，则（） A 、 B 、 C 、 D 、 4.下列函数中，在区间上为增函数的是（） A 、 B 、 C 、 D 、5.已知命题：:在中，的充分不必要条件是; :.则下列命题为真命题的是（）A 、B 、C 、D 、6. “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数在处的导数值与函数值互为相反数，则的值为（）A ．0B ．1C ．D ．不存在8 . 设，当0时，恒成立，则实数的取值范围是（）A ．（0,1）B ．C ．D ．9.函数的图像大致为（）A B C D10.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.设为曲线在点处的切线，则的方程为12.命题“”的否定是．13.若函数y ＝x ＋4x在(0，a )上为单调减函数，则实数a 的取值范围是．14.已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .15.一般地，如果函数的定义域为，值域也是，则称函数为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有_____________.（填上所有正确答案的序号）①； ②； ③；④； ⑤.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0}．(1)当m <12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．17（本小题满分12分）.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18（本小题满分12分）.已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝27，函数g (x )＝λ·2ax －4x的定义域为[0，2]，求：(1)求a 的值；(2)若函数g (x )的最大值是13，求实数λ的值．19（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2ln x ＋x 2－a 2x (x >0，a ∈R )．(1)当a >0时，若函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，求a 的最小值；(2)是否存在实数a ，使f ′ (1)是f (x )的极小值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.20（本小题满分13分）经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散.设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知： ,（1）求出k 的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？21（本小题满分14分）已知函数. （I）当时，设.讨论函数的单调性；（II）证明当.潍坊一中文科数学（集合简易逻辑函数与导数）参考答案二、填空题11、 12、...13. 14、 15. ．②③⑤三、解答题：16.【解析】∵不等式x2－(2m＋1)x＋2m<0⇔(x－1)(x－2m)<0.(1)当m<12时，2m<1，∴集合B＝{x|2m<x<1}．(2)若A∪B＝A，则B⊆A，∵A＝{x|－1≤x≤2}，①当m<12时，B＝{x|2m<x<1}，此时－1≤2m<1⇒－12≤m<12；②当m＝12时，B＝∅，有B⊆A成立；③当m>12时，B＝{x|1<x<2m}，此时1<2m≤2⇒12<m≤1；综上所述，m的取值范围是－12≤m≤1.17.【解析】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴3－2a ＞1，∴a ＜1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2). 18. 【解析】(1)由＝27＝33，解得a ＋2＝3，故a ＝1.(2)由(1)可知g (x )＝λ·2x －4x.设t ＝2x ，因为0≤x ≤2，1≤2x≤4，即1≤t ≤4，所以g (x )＝－t 2＋λt ＝－（t －λ2）2＋λ24，1≤t ≤4.①当λ2<1，即λ<2时，g (x )max ＝λ－1＝13，解得λ＝43，符合条件；②当1≤λ2≤4时，即2≤λ≤8时，g (x )max ＝λ24＝13，解得λ＝±2 33[2，8]，舍去；③当λ2>4时，即λ>8时，g (x )max ＝－16＋4λ＝13，解得λ＝4912<8，舍去．综上可得，λ＝43.19. 【解析】(1)依题意f ′(x )＝2x ＋2x －a 2≤0，即a 2≥2x ＋2x 在区间[1，2]上恒成立，所以a 2≥（2x＋2x ）max.当x ＝2时，2x＋2x 在区间[1，2]上取得最大值5.所以a 2≥5.因为a >0，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.(2)由题意可知f ′(x )＝2x＋2x －a 2，由f ′(1)＝2＋2－a 2＝0得a ＝±2，此时f ′(x )＝2x ＋2x －4＝2（x －1）2x≥0.故函数f (x )在定义域上单调递增，没有极小值．因此不存在实数a 满足条件．20.【解析】21. 【解析】（Ⅰ），所以．当时，，故有：当，即时，，；当，即时，，令，得；令，得，综上，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数．（Ⅱ）设22()()(1)e 1x h x f x x x x x =-++=---，则，令，则，因为，所以当时，；在上是减函数，当时，，在上是增函数，又所以当时,恒有,即,所以在上为减函数，所以，即当时，. /24905 6149 慉 f23566 5C0E 導 20163 4EC3 仃/ C38747 975B 靛p 34366 863E 蘾l。

2021年高三上学期周练数学试题(5) Word版含答案

I←0 S←0While I ＜6I←I+2 S←S+I 2 End whilePrint S 第6题(第13题)2021年高三上学期周练数学试题（5） Word 版含答案一．填空题1．已知集合，若，则实数的值为。

2．若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为____________。

3．函数的值域为________________________。

4．已知，，，则与夹角的度数为____________。

5．已知直线和则的充要条件是_________。

6．知伪代码如图，则输出结果S =_________。

7．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球。

若从中任意选取3个，则所选的3个球至少有一个红球的概率是_________________。

8．设方程的根为，若则整数___________。

9．在△中，，，，则的值为_____________。

10．设，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______________________________。

11．已知点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为_________________________。

12．设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为。

13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆 ()的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为，若，则直线的斜率为____________。

14．设为实数，若则的最大值是_______________。

二．解答题15．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且(1)求角的大小； (2)若，求的值。

A（第16题）BCDD 1C 1B 1A 116．如图，在六面体中，，，.求证： (1)； (2)。

17．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

高考数学周测(一)集合、简易逻辑、向量.docx

衡水万卷周测（一）理科数学集合、简易逻辑、向量考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设函数nx x x x x f nn n )1(321)(32-+⋅⋅⋅+-+-=，其中n 为正整数，则集合{}R x x f x M ∈==,0)(4丨中元素个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 2.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“.若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”3.（2015陕西高考真题） “sin cos αα=”是“cos20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y =（） A ．①④ B ．②③ C ．①② D ．①②④5.下列命题中是假命题的是（）A. ⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ,x x sin > B.∈∃0x R,2cos sin 00=+x x C.∈∀x R,03>xD.∈∃0x R,0lg 0=x6.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内一点,且满足AP =34AB +12AD +231AA ,则点P 到棱AB 的距离为( ) A.56 B. 34C. 134D. 145127.设p:2()e ln 21xf x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增,q:5m -≥,则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 8.已知点P 是△ABC 的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2AP ·22BC AC AB =-，则点P 一定是△ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 9.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 10.设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈11.已知O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足,AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12.在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值.最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M << 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{}1A B =，则A B = 。

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2020-2021学年上学期高三数学周测(三）内容：集合与逻辑用语、函数与导数、复数、2-3一．选择题:(本小题共8小题，每小题5分，共40分) 1、设全集U=R ，集合A={x |1＜x ＜4}，，则A ∩（∁U B ）=（）A ．{x |3＜x ＜4}B ．{x |3≤x ＜4}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |1＜x ≤3}2、复数z 满足()13i z i +=-，则z =（）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i -3、．设命题p ：∃x ∈R ，lnx ﹣x +1＜0，则￢p 为（） A ．∃x ∈R ，lnx ﹣x +1≥0 B ．∀x ∈R ，lnx ﹣x +1＜0 C ．∃x ∈R ，lnx ﹣x +1=0 D ．∀x ∈R ，lnx ﹣x +1≥04、“函数f （x ）=ln （ax +1）在（0，+∞）上单调递增”是“a=1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5、安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有（） A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种 6、二项式展开式中，有理项项数为（）A ．4B ．5C ．6D ．97、若函数f （x ）=a x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）在R 上为减函数，则函数y=log a （|x |﹣1）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．8、已知函数，g （x ）=mx +1，若f （x ）与g （x ）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m 的取值范围是（） A ．B ．[﹣3e ﹣2，3e ]C ．[﹣e ﹣2，3e ]D ．二.选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.)9.下列有关说法正确的是（）A.5)221(y x -的展开式中含32y x 项的二项式系数为20.B.命题“q p ∨”为真命题，则命题p ，q 都是真命题.C.设随机变量ξ服从正态分布),7,(μN 若)4()2(>=<ξξP P ,则.3=μD.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4人去的景点各不相同”，事件B=“甲独自去一个景点，”，则P(A|B)=92.10.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的54，女生喜欢抖音的人数占女生的53，若有95%的把握认为：是否喜欢抖音和性别有关，则调查对象中男生可能有( )人A.55B.45C.35D.3011.能够把圆O （圆心在坐标原点，半径为r 的圆）的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是（）A.f （x ）=3xB.y=x |x |C.f （x ）=4x 3+xD.f （x ）=2x ﹣2﹣x12.己知函数)(x f 的定义域是R ，对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=.当[)1,1x ∈-时，()f x x =.给出下列四个关于函数()f x 的命题中真命题的是（）A.函数)(x f 是奇函数.B.函数)(x f 是周期函数.C.函数)(x f 的全部零点为2x k =，k Z ∈.D.当算[)3,3x ∈-时，函数()1g x x=的图象与函数)(x f 的图象有且只有4个公共点.三.填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数,1),1(log 1,12)(2⎩⎨⎧->+-≤-=x ax x x f x 若,1)21(-=f 则=)(a f . 14.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.则3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率 .15.若函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,)24()(x x x a x a x f a 对任意21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f ，则实数a 的取值范围是 . 16.已知当21||<x 时，有+-+++-=+n x x x x )2(4212112，根据以上信息，若对任意21||<x 都有,)21)(1(22103+++++=+-nn x a x a x a a x x x 则=11a四．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17. (本小题满分10分)已知a 为实数，命题p ：点M （1，1）在圆（x +a ）2+（y ﹣a ）2=4的内部；命题 q ：∀x ∈R ，都有x 2+ax +1≥0．若“p ∧q”为假命题，且“p ∨q”为真命题，求a 的取值范围．18．（12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数)(x f 在区间]2,1[--a 上单调递增，求实数a 的取值范围．19.（12分）已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为13，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；(2)求不等式ξx 2－ξx ＋1＞0的解集为R 的概率．20. （12分）已知函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过点A,点A 在直线)0(>+=mn n mx y 上.(1) 求nm 11+的最小值；(2) 当2=a 时，)(x f 的定义域是[]16,1，[],)()()(22x f x f x g +=求函数)(x g 的最小值.21.（12分）某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续6个月内，月份i x 和关注人数i y （单位：百）(1,2,3,,6)i =数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并建立y 关于x 的回归方程；（2）现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1600人的月份个数ξ分布列与数学期望．(参考公式：相关系数n1n 2211)())()iii niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑（（，若0.95r >，则y 与x 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与x 的关系．回归方程ˆˆˆy bx a =+中61621())ˆ()(iii ii x x y y x x b ==-=--∑∑，ˆˆay bx =-．)22.（本小题满分12分) 已知函数f （x ）=lnx ．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．（2）求证：当x ＞0时，f （x ）≥1﹣．（3）若x ﹣1＞alnx 对任意x ＞1恒成立，求实数a 的最大值．参考答案一选择题:1-6：DADBAB DCD 9、CD 10、AB 11、ABCD 12、ABD 二填空题:13、21-14、29 15、⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,52 16、910 三解答题17：解：由题意得，当p 真时，（1+a ）2+（1﹣a ）2＜4，解得﹣1＜a ＜1，当q 真时，则△≤0，解得﹣2≤a ≤2．若“p ∧q”为假命题，且“p ∨q”为真命题，则p ，q 一真一假，从而当p 真q 假时，有无解；当p 假q 真时，有，解得﹣2≤a ≤﹣1或1≤a ≤2．∴实数a 的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[1，2]．18、解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．19、解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0，1，2，3，4，对应的未发芽的种子数为4，3，2，1，0，所以ξ的所有可能取值为0，2，4，P (ξ＝0)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (ξ＝2)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝4081，P (ξ＝4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1781.所以随机变量ξ的概率分布为ξ 0 2 4 P82740811781数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝81.(2)由(1)知ξ的所有可能取值为0，2，4，当ξ＝0时，代入ξx 2－ξx ＋1＞0，得1＞0，对x ∈R 恒成立，即解集为R ；当ξ＝2时，代入ξx 2－ξx ＋1＞0，得2x 2－2x ＋1＞0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12＞0，对x ∈R 恒成立，即解集为R ；当ξ＝4时，代=入ξx 2－ξx ＋1＞0，得4x 2－4x ＋1＞0，其解集为x ≠12，不满足题意．所以不等式ξx 2－ξx ＋1＞0的解集为R 的概率P ＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝2)＝648120..21.【解析】（1）1(11+13+16+15+20+21)=166y =，∴261()76i i y y =-=∑，又∵621)17.5i i x x =-=∑（，61)()35i i i x x y y =--=∑（，∴相关系数12211)())(0.9617.576)1330niii n niii i x x y y r x x y y ===--==-=≈⨯-∑∑∑（（，………………………2分由于y关于x的相关系数0.960.95r≈>，这说明y关于x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系；又61621()()()35ˆ217.5i iiiix x y yx xb==-==-=-∑∑，且1(1+2+3+4+5+6 )=3.56x=，∴ˆˆ162 3.59a y bx=-=-⨯=，∴回归方程为ˆ29y x=+．…………………………4分（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，且3336(0)120PCCξ===；2133369(1)20C CCPξ===；1233369(2)20C CCPξ===；3336(3)120PCCξ===．所以ξ的分布列为…………………………………………………11分所以1991()0123 1.520202020Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………12分22.解：（1）∵f′（x）=，（x＞0），∴k=f′（1）=1，f（1）=0，∴切线方程为：y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．（2）证明：设g（x）=f（x）﹣1+=lnx﹣1+．x∈（0，+∞），则g′（x）=﹣=，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，∴g（x）min=g（1）=0，∴g（x）≥g（1）=0，∴f（x）≥1﹣．（3）设h（x）=x﹣1﹣alnx，x∈（1，+∞），则h′（x）=1﹣=，①当a≤1时，h′（x）＞0对∀x∈（1，+∞）恒成立，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，∴x﹣1﹣alnx＞0在（1，+∞）上成立，∴a≤1成立．②当a＞1时，令h′（x）=0，∴x=a＞1．当x∈（1，a）时，h′（x）＜0，∴h（x）单减，当x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）单增，∴h（x）min=h（a）＜h（1）=0，∴不成立，综上可得：a≤1，a max=1．。