【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练：5-5简单的三角恒等变换]
2015年高考数学(文)一轮课件：5-5简单的三角恒等变换
通关训练3 π)，求2α－β的值．
1 1 已知tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，且α，β∈(0， 2 7
tanα－tanβ 1 1 解析：由tan(α－β)＝2知， ＝ . 1＋tanαtanβ 2 1 1 将tanβ＝－ 代入上式解得tanα＝ . 7 3 1 2× 3 2tanα 3 ∴tan2α＝ ＝ 1 ＝4， 1－tan2α 1－ 3 2 3 1 ＋ tan2α－tanβ 4 7 ∴tan(2α－β)＝ ＝ ＝1. 3 1 1＋tan2αtanβ 1＋4×－7
通关训练1
cos2α－sin2α (1) π π ＝__________. 2tan4－αcos24－α
1 1＋cos20° ＝__________. －tan5° (2) 2sin20° －sin10° tan5°
(3)tan25° ＋tan35° ＋ 3tan25° tan35° ＝__________.
2 2 7 2 2 sin α＋ 2 cosα＝－ 10 .
7 2 答案：－ 10
π 2 5．若tanα＋4＝ ，则tanα＝__________. 5
π tanα＋1 2 解析：tanα＋4＝ ＝ ， 1－tanα 5
即5tanα＋5＝2－2tanα. 3 则7tanα＝－3，故tanα＝－7.
π . 2sinα± 4
4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝ a2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值 唯一确定．
答案：
●一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范 围是防止增解的有效措施． ●两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β α＋β α－β α－β β α ＝ 2 － 2 ， 2 ＝α＋2－2＋β. (2)化简技巧：切化弦，“1”的代换等．
【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 5-3三角函数的图像与性质检测试题(2)文
【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 5-3三角函数的图像与性质检测试题（2）文一、选择题 1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R解析：∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .答案：C2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图像关于y 轴对称，为偶函数．答案：D3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析：由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f (x )的对称轴为2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴．答案：C 4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.答案：A5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 答案：C6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C ．2D ．3 解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.答案：B7．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像可看作是由函数f (x )＝sin x 的图像先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.答案：A8．已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3 解析：由已知得f (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，则2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3恒成立，展开得sin 3x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0恒成立．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0恒成立，只有选项D 符合．答案：D 9．函数y ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x sin x (0＜x ＜π)的图像大致是( )A BC D解析：y ＝sin x |cos xsin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0＜x ＜π2，0，x ＝π2，－cos x ，π2＜x ＜π.答案：B10．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，∴y ＝2cos2x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，对称轴为2x ＝k π，即x ＝k π2(k ∈Z )．答案：D 二、填空题11．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为__________．解析：由题意知，2×4π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π－13π6，k ∈Z .当k ＝2时，|φ|min＝π6. 答案：π612．设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是__________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案：213．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________． 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋7π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π12＝π得函数f (x )的周期为π，则ω＝2.答案：214．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为__________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图像及性质可知②④正确． 答案：②④ 三、解答题15．[2013·北京]已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解析：(1)∵f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)∵f (α)＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.∴4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.答案：(1)最小正周期为π2，最大值为22；(2)α＝9π16.16．[2013·山东]设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解析：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.∵图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，∴2π2ω＝4×π4.∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－1≤f (x )≤32. ∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 答案：(1)1；(2)最大值32，最小值－1. 创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具1．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：|MN |＝|sin a －cos a |＝|2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4|，∴|MN |max ＝ 2. 答案：B2．[2014·大同月考]函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x 为奇函数，T ＝2π2＝π. 答案：A3．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝__________.解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4.答案：π44．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称图形．则φ＝__________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数， ∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .答案：k π＋π2，k ∈Z5．设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )，求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解析：f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝12cos2x －12sin2x ＋12(1－cos2x )＝12－12sin2x . (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－12sin2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，g (x )＝g (x ＋π)＝12sin2(x ＋π)＝12sin2x ， 综上所述：函数g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤0.12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x ＜－π2.6．(2014·西南大学附中月考)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝ (sin x,2cos x )，函数f (x )＝a·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调减区间；(3)当π6≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解析：f (x )＝a·b ＋|b |2＝53cos x ·sin x ＋cos x ·2cos x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x ＝532sin2x ＋1－cos2x 2＋3(1＋cos2x )＝532sin2x ＋52cos2x ＋72＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . ∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (3)∵π6≤x ≤π2，∴π2≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.∴1≤f (x )≤172，即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，172.。
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮阶段考查1 集合、常用逻辑用语、不等式
阶段考查(一)考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x＞0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x＞0}B．{x|－3＜x＜－1}C．{x|－3＜x＜0}D．{x|x＜－1}解析：依题意，得集合A＝{x|－3＜x＜0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3＜x＜－1}，故选B项．答案：B2．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是()A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃b∈R，f(x)为奇函数D．∃b∈R，f(x)为偶函数解析：注意到b＝0时，f(x)＝x2是偶函数．故选D项．答案：D3．给定命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图像关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝2(sin2x ＋cos2x )取得极小值．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．綈p ∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．綈p ∨q 是真命题解析：p 命题中y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；q 命题中y ＝2(sin2x ＋cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8(k ∈Z )，故q 为假命题，则綈p ∧q 为假命题，故选B.答案：B4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|＜5}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ≤－4或x ≥1}B ．{x |x ＜－4或x ＞1}C ．{x |x ＜－2或x ＞1}D ．{x |x ≤－2或x ≥1}解析：A ＝{x ||2x ＋3|＜5}＝{x |－4＜x ＜1}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以∁U (A ∩B )＝{x |x ≥1或x ≤－2}，选D.答案：A5．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案：C6．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]解析：“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题；p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4；p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.答案：C7．不等式3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 D ．(－1,1)解析：由3x 2－2x －1＜0解得－13＜x ＜1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1(－1,1)，所以(－1,1)是3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件．答案：D8．已知a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．(a ＋c )4＞(b ＋c )4 B ．ac 2＞bc 2 C ．lg|b ＋c |＜lg|a ＋c |D ．(a ＋c )13＞(b ＋c )13解析：当a ＞b ，a ＋c 与b ＋c 为负数时，由0＞a ＋c ＞b ＋c ，得0＜－(a ＋c )＜－(b ＋c )．∴0＜[－(a ＋c )]4＜[－(b ＋c )]4，即(a ＋c )4＜(b ＋c )4.∴A 不成立； 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴B 不成立；当a ＞b 时，a ＋c ＞b ＋c ，但若a ＋c 、b ＋c 均为负数时， |a ＋c |＜|b ＋c |，即lg|a ＋c |＜lg|b ＋c |. 故C 不恒成立．故选D 项． 答案：D9．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13 B ．a ≥13 C ．a ＞13D ．0＜a ＜12解析：如图，约束条件为图中的三角形区域ABC .目标函数化为y ＝－1a x ＋z a ，当z 最大时，z a 最大，根据图形只要－1a ＞k AB ＝－3，即a ＞13即可．故选C 项．答案：C10．若第一象限内的点A (x ，y )，落在经过点(6，－2)且具有方向向量a ＝(3，－2)的直线l 上，则log 32y －log 23x 有( )A ．最大值32 B ．最大值1 C ．最小值32D ．最小值1解析：直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)，即2x ＋3y ＝6，所以log 32y－log 23 x ＝log 32 y ＋log 32 x ＝log 32 (xy )≤log 32 ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 262＝1，故选B. 答案：B11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[－4，＋∞)C ．[－5，＋∞)D ．[－4,4]解析：原不等式可转化为a ≥－x 2＋4x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在区间(0,1]上恒成立，即将问题转化为求函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间(0,1]上的最大值问题．∵函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(0,1]上为增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－5，∴a ≥－5. 答案：C12．对于函数f (x )，在使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最小值称为函数f (x )的“上确界”．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1＋a (x ∈[－2,2])是奇函数，则f (x )的上确界为( )A ．2 B.95 C ．1 D.45 解析：因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝1＋a ＝0， 解得a ＝－1.于是f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1－1＝2xx 2＋1.当0＜x ≤2时，f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，所以M 的最小值为1.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为__________．解析：由题意可知a ＞0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1，c a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a ＞－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成__________个正确命题．解析：此题共可组成三个命题即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.若ab ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得bc －ad ＞0，即可得命题①②⇒③正确；若ab ＞0，bc －ad ＞0，则bc －ad ab ＝c a －d b ＞0，得c a ＞db ，即命题①③⇒②正确；若bc －ad ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得ab ＞0，即命题②③⇒①正确．综上可得正确的命题有3个．答案：315．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min≥a ，解得，a ≤12； 若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)·(a ＋4)≥0，解得a ≤－4或a ≥－2.所以实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1216．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )＜0的解集为A . (1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|＜a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解析：(1)对任意的x 1, x 2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a ＞0.(3分)由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＜0， 解得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1a ，0.(6分)(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a .化简得a 2＋4a －1≤0，解得0＜a ≤－2＋ 5. (10分)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a . (1)当a ＝12时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12，则f (x )＞1的解集为{x |x ＞－1＋62或x ＜－1－62}．(4分)(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，则a ＞－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．(6分)令g (x )＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)，则g (x )的对称轴为x ＝－1，又x ∈[1，＋∞)， (8分)则当x ＝1时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝－3， (10分)所以a ＞－3.(12分)19．(本小题满分12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解析：由0＜a －32＜1，得32＜a ＜52.(2分)若f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，则2≤a ≤4.(4分) ∵“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题， ∴p 、q 中一真一假，若p 真q 假，得32＜a ＜2，(6分) 若p 假q 真，得52≤a ≤4，(8分)综上，a 的取值范围是32＜a ＜2或52≤a ≤4. (12分)20．(本小题满分12分)已知命题p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，命题q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(2分)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1，∴m ＝2.(7分)(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ， 而∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∴m －2＞3或m ＋2＜－1， ∴m ＞5或m ＜－3.(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图像过点(2,1)，且方向向量v ＝(1，－1)．若不等式f (x )≥x 2＋x －5的解集为A ，且A ⊆(－∞，a ]．(1)求a 的取值范围；(2)解不等式x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )＜1.解析：(1)∵直线的方向向量v ＝(1，－1)， ∴k ＝－1，由点斜式可得f (x )＝3－x . 由f (x )≥x 2＋x －5，得x 2＋2x －8≤0， ∴解得A ＝{x |－4≤x ≤2}， 又A ⊆(－∞，a ]，∴a ≥2即可， ∴a 的取值范围是[2，＋∞)．(5分)(2)由x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )－1＝x 2－(a ＋2)x ＋2a 3－x ＝(x －2)(x －a )3－x ＜0，得(x －2)(x －a )(x －3)＞0且x ≠3.(6分) ①当a ＝2时，x ＞3；②当2＜a ＜3时，x ＞3或2＜x ＜a ； ③当a ＝3时，x ＞2且x ≠3； ④当a ＞3时，x ＞a 或2＜x ＜3.(10分)综上，当a ＝2时，不等式的解集为(3，＋∞)；当2＜a ≤3时，不等式的解集为(2，a )∪(3，＋∞)；当a ＞3时，不等式的解集为(2,3)∪(a ，＋∞)．(12分)22．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)当m ＜12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(3)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析：(1)B ＝{x |(x －1)(x －2m )＜0}，(1分)当m ＜12时，2m ＜1，∴集合B ＝{x |2m ＜x ＜1}．(3分)(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A .(4分)A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12；②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立；③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1.(8分)(3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2，∴－32≤m ＜－1；②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4，∴32＜m ≤2.综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.(12分)。
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮开卷速查：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(02) 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：对于A ，其逆命题是：若x ＞|y |，则x ＞y ，是真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25＞1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2＞0，则x ＞0或x ＜0，不一定有x ＞1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题，故选A.答案：A2．设a ，b ∈R ，则“a ＞0，b ＞0”是“a ＋b2＞ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞0，b ＞0不能得知a ＋b 2＞ab ，如取a ＝b ＝1时，a ＋b2＝ab ；由a ＋b 2＞ab 不能得知a ＞0，b ＞0，如取a ＝4，b ＝0时，满足a ＋b2＞ab ，但b ＝0.综上所述，“a ＞0，b ＞0”是“a ＋b2＞ab ”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件，故选A.答案：A4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0解析：方法一(直接法)当a＝0时，原方程变形为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a，当有一负实根时，⎩⎨⎧a≤1，1a＜0⇒a＜0；有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，－2a＜0，1a＞0⇒0＜a≤1.综上所述，a≤1.方法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.答案：C5．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，故y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案：B6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由大边对大角可知，A＜B⇔a＜b.由正弦定理可知asin A＝bsin B，故a＜b⇔sin A＜sin B.而cos2A＝1－2sin2A，cos2B＝1－2sin2B，又sin A＞0，sin B＞0，所以sin A＜sin B⇔cos2A＞cos2B.所以a＜b⇔cos2A＞cos2B，即“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故选C.答案：C7．命题p：|x＋2|＞2；命题q：13－x＞1，则綈q是綈p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：解|x＋2|＞2，即x＋2＜－2或x＋2＞2，得x＜－4或x＞0，所以p：x＜－4或x＞0，故綈p：－4≤x≤0；解13－x＞1，得2＜x＜3，所以q ：2＜x ＜3，綈q ：x ≤2或x ≥3.显然{x |－4≤x ≤0}{x |x ≤2，或x ≥3}，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故选B.答案：B8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．充要条件解析：∵x ∈[0,1]时，f (x )是增函数， 又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数． 当x ∈[3,4]时，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2， ∴f (x )＝f (x －4)．∴x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，充分性成立．反之，x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数．∵y ＝f (x )是偶函数，∴x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，必要性亦成立． 答案：D9．若“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[3，＋∞)C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞) 解析：由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.∵x ∈{3，a }是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a ≠3，∴a ≤－12或a ＞3，故选D. 答案：D10．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ：“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”等价于0＜a ＜1.q ：“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”等价于2－a ＞0，即a ＜2.而{a |0＜a ＜1}是{a |a ＜2}的真子集，故选A.答案：A 二、填空题11．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：A ＝{x |x ＜4}，由题意得A B ，结合数轴易得a ＞4. 答案：(4，＋∞)12．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．解析：由x 2＞1，得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－113．下列命题：①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是__________．解析：对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin30°＝sin150°A ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2A ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④14．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝__________.解析：∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ， ∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0， ∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 答案：3或4 三、解答题15．已知p ：－x 2＋6x ＋16≥0，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)． (1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由－x 2＋6x ＋16≥0，解得－2≤x ≤8； 所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为－2≤x ≤8.(2)方法一：若q 为真，可由x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)，解得2－m ≤x ≤2＋m (m ＞0)．若p 是q 成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m ，2＋m ]的真子集， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，2－m ≤－2，2＋m ≥8(两等号不同时成立)，得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6. 方法二：设f (x )＝x 2－4x ＋4－m 2(m ＞0)，若p 是q 成立的充分不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f (－2)≤0，f (8)≤0(两等号不同时成立)，解得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6. 答案：(1)－2≤x ≤8；(2)m ≥6.16．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a ＜0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52＜0}＝{x |2＜x ＜52}，B ＝{x |x －94x －12＜0}＝{x |12＜x ＜94}，所以∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，故(∁U B )∩A ＝{x |94≤x ＜52}．(2)∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．①当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 答案：(1){x |94≤x ＜52}；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 创新试题 教师备选教学积累 资源共享 教师用书独具1．在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”，那么f (p )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f (p )＝2，故选B.答案：B2．条件p ：π4＜α＜π2，条件q ：f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，∴tan α＞1，得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π(k∈Z )．∴p 是q 的充分不必要条件，故选B. 答案：B3．“－3＜a ＜1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a ＝1表示椭圆”的__________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0，1－a ＞0，a ＋3≠1－a ，解得－3＜a ＜1且a ≠－1，故“－3＜a ＜1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．已知集合A ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －6＜1}，B ＝{x |log 4(x ＋a )＜1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－x －6＜1，即x 2－x －6＞0，解得x ＜－2或x ＞3，故A ＝{x |x ＜－2，或x ＞3}；由log 4(x ＋a )＜1，即0＜x ＋a ＜4，解得－a ＜x ＜4－a ，故B ＝{x |－a ＜x ＜4－a }，由题意，可知B ⊆A ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)5．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则m 的取值范围是__________．解析：由题意知：“13＜x ＜12”是“不等式|x －m |＜1”成立的充分不必要条件．所以{x |13＜x ＜12}是{x ||x －m |＜1}的真子集．而{x ||x －m |＜1}＝{x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，436．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；②若a 2－4b ＜0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集；③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ＜0；④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ＜0；⑤若a 2－4b ＜0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是__________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案：①③②④7．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是__________．解析：当a ＝0时，不等式为2x ＋1＞0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝22－4a ＜0，解得a ＞1.若命题q 为真，则0＜4a －3＜1，解得34＜a ＜1.由题意，可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是{a |a ＞1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a ＞1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |34＜a ＜1}＝{a |34＜a ＜1}；综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 8．已知集合M ＝{x |x ＜－3，或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件．解析：(1)由M∩P＝{x|5＜x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P ＝{x|5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x|5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P ＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件．答案：(1)－3≤a≤5；(2)a＝0.。
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮阶段考查2 函数、导数及其应用
阶段考查(二)考查范围：函数、导数及其应用考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为() A．(0,2]B．(0,2) C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2]解析：f(x)＝1lg x＋2－x是复合函数，所以定义域要满足lg x≠0且2－x≥0，所以0＜x≤2且x≠1.答案：C2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A．y＝lg 1－x1＋xB．y＝x＋1xC．y＝tan x D．y＝1 x解析：对于选项B、C、D，其在定义域内是奇函数，但不是减函数．答案：A3．已知a＝log132，b＝log23，c＝⎝⎛⎭⎪⎫120.3，则a，b，c大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解析：a＝log132＝－log32＜0，b＝log23＞log22＝1，c＝⎝⎛⎭⎪⎫120.3＜⎝⎛⎭⎪⎫120＝1，所以b＞c＞a.答案：D4．函数f(x)＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1]C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(0,1)解析：f(x)＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x －1x ＝x 2－1x ，∴由f ′(x)≤0得0＜x ≤1.∴函数f(x)＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．答案：B5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f[f(1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D .72解析：f(1)＝log 21＝0，f[f(1)]＝f(0)＝3－0＋1＝2，∵log 312＜0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，∴f[f(1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：A6．已知f(x)＝a x －2，g(x)＝log a |x|(a ＞0，a ≠1)，若f(4)·g(－4)＜0，则y ＝f(x)，y ＝g(x)在同一坐标系内的大致图像是( )ABCD解析：∵f(4)·g(－4)＜0，∴a2·log a4＜0，∴log a4＜0，∴0＜a＜1.依据对数函数、指数函数的性质可知选项B正确．答案：B7．若函数f(x)＝x3－32ax2＋a在R上存在三个零点，则实数a的取值范围是()A．a＞ 2 B．a＜－ 2 C．a＞2或a＜－ 2 D．a＜－1解析：f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )＝0，有两个根x 1＝0，x 2＝a .∵函数f (x )＝x 3－32ax 2＋a 在R 上存在三个零点，∴a ≠0且这个函数f (x )的极大值一定要大于0，极小值一定要小于0，即f (0)f (a )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 3＋a ＜0，解得a ＞2或a ＜－ 2.答案：C8．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.13B.23 C ．－23D ．－13解析：设曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝3，因为直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，所以ab ＝－13.答案：D9．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥19 B ．m ＞19 C ．m ≤29D ．m ＜29解析：f ′(x )＝x 3－4x ，x ∈[0，＋∞)，令f ′(x )＝x (x －2)(x ＋2)＝0，则f (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝13×23－2×22＋3m ＝－163＋3m ，要使f (x )＋5≥0恒成立，则f (2)＋5＝－163＋3m＋5＝－13＋3m ≥0，解得m ≥19.答案：A10．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m 、n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为( )A.12、2 B.14、2 C.22、 2D.14、4解析：由题意得－log 2m ＝log 2n ，1m ＝n,0＜m ＜1，n ＞1.∵函数f (x )＝|log 2x |在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，0＜m 2＜1，n ＞1，∴f (x )在区间[m 2，n ]上的最值在端点处取得，∴|log 2m 2|＝2或log 2n ＝2.当|log 2m 2|＝2时，1m 2＝4，结合n ＝1m ，解得n ＝2，m ＝12，满足条件；当log 2n ＝2时，n ＝4，则m ＝14，此时，f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为|log 2116|＝4，不满足条件．综上，n ＝2，m ＝12.答案：A11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( ) A ．{x |x ＜12} B ．{x |0＜x ＜12}C ．{x |x ＜－12或0＜x ＜12}D．{x|－12≤x≤0或x≥12}解析：由题意可画草图，如图所示，根据图像得不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－12或0＜x＜12}．答案：C12．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，则不等式e x·f(x)＞e x＋1的解集为()A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜－1或x＞1}D．{x|x＜－1或0＜x＜1}解析：构造函数g(x)＝e x·f(x)－e x，因为g′(x)＝e x·f(x)＋e x·f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x＞e x－e x＝0，所以g(x)＝e x·f(x)－e x为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，解得x＞0.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为__________．解析：由f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0得[f (x )g (x )]′＞0，所以F (x )＝f (x )g (x )在(－∞，0)上是增函数．又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F (x )＝f (x )g (x )在R 上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数．因为g (－3)＝0，所以F (－3)＝0，F (3)＝0.当x ＜0时，f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)；当x ＞0时，不等式f (x )g (x )＜0的解集为(0,3)．综上，不等式的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案：(－∞，－3)∪(0,3)14．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为__________．解析：由题意，f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值为9.答案：915．已知函数f (x )＝ln x －a ，若f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵函数f (x )＝ln x －a ，且f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )＝ln x －a ＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴a ＞ln x －x 2，令h (x )＝ln x －x 2，有h ′(x )＝1x －2x ，∵x ＞1，∴1x －2x ＜0，∴h (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝－1，∴a ≥－1.答案：[－1，＋∞)16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，则f (2 012)－f (2 013)＝__________.解析：由题意，函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.∵对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，∴函数的最小正周期为4，∴f (2 012)＝f (4×503)＝f (0)＝0.∵当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，∴f (－1)＝12，f (1)＝－12，∴f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝－12， ∴f (2 012)－f (2 013)＝12. 答案：12三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(0,1)和(1,4)，且对于任意的实数x ，不等式f (x )≥4x 恒成立．(1)求函数f (x )的表达式；(2)设g (x )＝kx ＋1，若F (x )＝log 2[g (x )－f (x )]在区间[1,2]上是增函数，求实数k 的取值范围．解析：(1)f (0)＝c ＝1，f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ∴f (x )＝ax 2＋(3－a )x ＋1，f (x )≥4x 即ax 2－(a ＋1)x ＋1≥0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a ＋1)2－4a ≤0，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分) (2)F (x )＝log 2[g (x )－f (x )] ＝log 2[－x 2＋(k －2)x ]．由F (x )在区间[1,2]上是增函数，得h (x )＝－x 2＋(k －2)x 在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数，∴⎩⎨⎧k －22≥2，h (1)＝－1＋k －2＞0，解得k ≥6，∴实数k 的取值范围为k ≥6.(10分)18．(本小题满分12分)设a ∈R ，函数f (x )＝(x 2－ax －a )e x . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在[－2,2]上的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝(2x －a )e x ＋(x 2－ax －a )e x ＝(x ＋2)(x －a )e x .(2分)当a ＝1时，f ′(0)＝－2，f (0)＝－1.(3分)所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －(－1)＝－2x ，即2x ＋y ＋1＝0.(4分)(2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝a .(5分)当a ≥2时，在区间(－2,2)内，f ′(x )＜0，则函数f (x )在(－2,2)上单调递减，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最小值，最小值为f (2)＝(4－3a )e 2.(7分) 当－2＜a ＜2时，在区间(－2,2)内，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘) 当a ≤－2时，在区间(－2,2)内，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－2,2)上单调递增，所以当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝(4＋a )e －2.(11分)综上，当a ≤－2时，f (x )的最小值为(4＋a )e －2；当－2＜a ＜2时，f (x )的最小值为－a ·e a ；当a ≥2时，f (x )的最小值为(4－3a )e 2.(12分)19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a x ，g (x )＝log a (2x ＋m －2)，其中x ∈[1,2]，a ＞0且a ≠1，m ∈R .(1)当m ＝4时，若函数F (x )＝f (x )＋g (x )有最小值2，求a 的值； (2)当0＜a ＜1时，f (x )≥2g (x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由题意，m ＝4时，F (x )＝f (x )＋g (x )＝log a x ＋log a (2x ＋2)＝log a (2x 2＋2x )．(2分)又x ∈[1,2]，则2x 2＋2x ∈[4,12]．(4分) 而函数F (x )＝f (x )＋g (x )有最小值2，∴a ＞1， 由log a 4＝2得a ＝2.(5分)(2)由题意，0＜a ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2x ＋m －2＞0，log a x ≥log a (2x ＋m －2)2⇒⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，m ＞2－2x x ≤(2x ＋m －2)2⇒⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，m ＞0，4x 2＋(4m －9)x ＋(m －2)2≥0.(7分)令h (x )＝4x 2＋(4m －9)x ＋(m －2)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫98－m 22＋(m －2)2－(9－4m )216. (ⅰ)当0＜m ＜14时，1＜98－m 2＜98＜2，函数h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫98－m 2＝(m －2)2－(9－4m )216≥0⇒m 无解；(9分)(ⅱ)当m ≥14时，函数h (x )在x ∈[1,2]上单调递增，则h (x )min ＝h (1)＝m 2－1≥0⇒m ≥1.(11分)综上，实数m 的取值范围为[1，＋∞)．(12分)20．(本小题满分12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)，每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解析：(1)由题意可得L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.05×1 000x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x ＋250，0＜x ＜80，0.05×1 000x －⎝ ⎛⎭⎪⎫51x ＋10 000x －1 450＋250，x ≥80＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(5分)(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950. (8分) 当x ≥80时， L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000＞950.(11分)综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋2x ＋a ln x ，a ∈R . (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)记函数g (x )＝x 2[f ′(x )＋2x －2]，若g (x )的最小值是－6，求函数f (x )的解析式．解析：(1)依题意f ′(x )＝2－2x 2＋ax ≥0， 即a ≥2x －2x 在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x max .(2分) 令h (x )＝2x －2x ，x ∈[1，＋∞)， ∵h ′(x )＝－2x 2－2＜0恒成立， ∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减， h (x )max ＝h (1)＝0， ∴a ≥0.(5分)(2)∵f ′(x )＝2－2x 2＋ax ， ∴g (x )＝2x 3＋ax －2，x ＞0， ∴g ′(x )＝6x 2＋a ，(6分)易知a ≥0时，g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最小值，不合题意， ∴a ＜0.(8分) 令g ′(x )＝0，则x ＝－a6(x ＝－－a6舍去)，g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：↘(10∴g (x )min ＝g (x )极小值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 6＝－6， 解得a ＝－6，∴f (x )＝2x ＋2x －6ln x .(12分)22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝92时，如果函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围；(2)当a ＝2时，试比较f (x )与1的大小；(3)求证：ln(x ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．解析：(1)当a ＝92时，f (x )＝ln x ＋92(x ＋1)，定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(2x －1)(x －2)2x (x ＋1)2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝2.(2分)∵当0＜x ＜12或x ＞2时，f ′(x )＞0，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，2上单调递减．(4分)∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－ln2，极小值是f (2)＝32＋ln2.∵当x →0时，f (x )→－∞；当x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴当g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点时，k 的取值范围是k ＞3－ln2或k ＜32＋ln2.(5分)(2)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)． 令h (x )＝f (x )－1＝ln x ＋2x ＋1－1，∵h ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2＞0，∴h (x )在(0，＋∞)上是增函数．(7分) 当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0，即f (x )＞1； 当0＜x ＜1时，h (x )＜h (1)＝0，即f (x )＜1； 当x ＝1时，h (x )＝h (1)＝0，即f (x )＝1.(9分)(3)根据(2)的结论，当x ＞1时，ln x ＋2x ＋1＞1，即ln x ＞x －1x ＋1.令x ＝k ＋1k ，k ∈N *，则有ln k ＋1k ＞12k ＋1，∴∑nk ＝1ln k ＋1k ＞∑nk ＝112k ＋1. ∵ln(n ＋1)＝∑nk ＝1ln k ＋1k ， ∴ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1.(12分)。
2015届高三数学第一轮总复习课件：第21讲 简单的三角恒等变换
右边＝1－2sicnos2α2α＝4si2nsαin·c2αos α＝tan2 α，
所以ta1nα2－tanα2＝1－2sicnos2α2α.
8 第八页，编辑于星期五：八点 五十二分。五十二分。
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一 三角函数式的化简与证明
【例1】已知f(x)＝22tacnos4π4x－－x2scions22xx＋＋12π4. (1)化简f(x)； (2)若f(x)＝25，且x∈(0，π2)，求证：3tan x＝1.
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＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
12 第十二页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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(2)证明：由(1)知f(x)＝12cos2x＝25，所以cos2x＝45. 又x∈(0，π2)，所以2x∈(0，π)，从而sin2x＝53. 所以tan x＝csoins xx＝2si2nsixnc2oxs x＝1－sicno2sx2x
＝13× 33＋232× 36＝593.
33 第三十三页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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3.(2013·重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝( C )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
34 第三十四页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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解析：4cos
50°－tan
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【拓展演练2】计算：sin 123°ta4nco1s22°1－2°3－2＝
.
21 第二十一页，编辑于星期五：八点 五十二分。
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解析：原式＝ 2cos
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮阶段考查7 概率与统计
阶段考查(七)考查范围：概率与统计 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是()A .14 B .18 C .π4D .π8解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为12π×124＝π8.答案：D2．为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．1,2,3,4,5D ．7,17,27,37,47解析：利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10.答案：D3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得：∑8i ＝1x i ＝52，∑8i ＝1y i＝228，∑8i ＝1x 2i ＝478，∑8i ＝1x i y i ＝1 849，则y 与x 的回归直线方程是( )A .y^＝11.47＋2.62x B .y^＝－11.47＋2.62x C .y^＝－2.62x －11.47 D .y^＝11.47－2.62x 解析：由题意知，x ＝6.5，y ＝28.5， 则b ^＝∑8i ＝1x i y i －nx —y —∑8i ＝1x 2i －n x 2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62， a ^＝y －b ^x ＝28.5－2.62×6.5＝11.47. 答案：A4．统计某校1 000名学生的数学测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )A ．20%B ．25%C ．6%D ．80%解析：及格的频率是1－(0.005＋0.015)×10＝0.8，以这个0.8估计及格率，即80%.答案：D5．执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为()A．2 B．3C．4 D．5解析：逐次计算结果是P＝1，Q＝3，n＝1；P＝5，Q＝7，n＝2；P＝21，Q＝15，n＝3，退出循环，故输出结果是n＝3.答案：B6．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：设回归方程为y＝bx＋a，则点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的() A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方解析：依题意得，x ＝18×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，y ＝18×(62＋68＋75＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.则85＝45b ＋a ，a ＋45b －10＝75＞0，因此点(a ，b)必位于直线x ＋45y －10＝0的右上方．答案：C7．甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．老师在计算甲、乙两人的平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清．若从{0,1,2,3，…，9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为( )A .110 B .19 C .15D .45解析：甲的平均分为88＋89＋90＋91＋925＝90，设看不清的数字为x ，则乙的平均分为83＋83＋87＋99＋90＋x 5， 依题意有83＋83＋87＋99＋90＋x5＞90，解得x ＞8，所以x ＝9.所求概率为P ＝110.答案：A8．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A ．90个B ．75个C ．60个D ．45个解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.答案：A9．如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A ．q ＝NM B ．q ＝MN C ．q ＝NM ＋ND ．q ＝MM ＋N解析：程序执行的过程是如果输入的成绩不小于60分即及格，就把变量M 的值增加1，即变量M 为成绩及格的人数，否则，由变量N 统计不及格的人数，但总人数由变量i 进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩停止循环，输出变量q ，变量q代表的含义为及格率，也就是及格人数总人数＝MM ＋N .答案：D10．已知－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是( )A .14B .12C .18D .110解析：方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根，则Δ＝a 2－4b 2≥0，即|b|≤12|a|.在坐标平面aOb 中，实数(a ，b)组成以(1,1)，(1，－1)，(－1，－1)，(－1,1)为顶点的正方形区域，其面积是4，区域|b|≤12|a|是以点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12和以点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12为顶点的两个三角形区域，其面积之和为1，故所求的概率是14.答案：A11．在区间[0,1]上任取三个数a ，b ，c ，若向量m ＝(a ，b ，c )，则|m |≤1的概率是( )A.π24B.π12C.3π32D.π6解析：依题意得，实数a ，b ，c 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，0≤c ≤1，这样的点(a ，b ，c )可视为在空间直角坐标系下的单位正方体区域(其中原点是该正方体的一个顶点)内的点，其中满足|m |≤1，即a 2＋b 2＋c 2≤1，a 2＋b 2＋c 2≤1，这样(a ，b ，c )可视为在空间直角坐标系下的单位正方体区域内且其还在以原点为球心、1为半径的球形区域内的点，该部分的体积恰好等于该球体积的18，因此|m |≤1的概率等于18×43π×1313＝π6.答案：D12．在区域M ＝{}(x ，y )| { 0＜x ＜2，＜y ＜4内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{}(x ，y )| { x ＋y ＜4，y ＞x ，x ＞0内的概率是( )A.23B.13C.14D.12解析：画出区域M 、N ，如图所示，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．S 阴影＝12×4×2＝4，故所求概率P ＝44×2＝12.故选D.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校开展“爱我青岛，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．解析：当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91， ∴x ＜4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1. 答案：114．如图所示的是某班60名同学参加高中数学毕业会考所得成绩(成绩均为整数)整理后画出的概率分布直方图，根据图中可得出的该班及格(60分以上)的同学的人数为__________．解析：直方图中后四个小矩形对应的概率依次为0.15，0.3,0.25,0.05，所以及格人数为(0.15＋0.3＋0.25＋0.05)×60＝45.答案：4515．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是__________． 解析：x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65＞s 2甲，故甲更稳定．答案：甲16．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样抽取一个容量为10的样本，并规定：如果在第一组随机抽取的号码为m ，那么在第k (k ＝2,3，…，10)组中抽取的号码的个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则该样本的全部号码是__________．解析：由规则，第2小组m ＋k 为8，抽取号码为18；第3小组m ＋k 为9，抽取号码为29，第4小组m ＋k 为10，抽取号码为30；第5小组m ＋k 为11，抽取号码为41；第6小组m ＋k 为12，抽取号码为52；…，故该样本的全部号码是6,18,29,30,41,52,63,74,85,96.答案：6,18,29,30,41,52,63,74,85,96三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的，小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．解析：(1)得60分的人数40×10%＝4.设抽取x 张选择题得60分的试卷，则4020＝4x ，则x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷． (4分)(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.(10分)18．(本小题满分12分)对甲、乙两名自行车选手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车选手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．解析：(1)画茎叶图，中间数为数据的十位数.从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.(6分)(2)计算可得：x甲＝33，x乙＝33；s甲≈3.96，s乙≈3.56；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5.综合比较选乙参加比赛较为合适．(12分) 19．(本小题满分12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130 g/km(视为排放量超标)的MI型新车进行惩罚．某检测单位从甲、乙两类MI型品牌车中各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：经检测发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为x乙＝120 g/km.(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？(2)若90＜x＜130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性．解析：(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，其CO2排放量共有10种不同的结果：80,110；80,120；80,140；80,150；110,120；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150.设“至少有一辆CO2排放量超标”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：80,140；80,150；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150.∴P(A)＝710＝0.7.(6分)(2)由题可知，x甲＝x乙＝120，x＋y＝220.5s2甲＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝3 000，5s2乙＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2＝2 000＋(x－120)2＋(y－120)2.∵x＋y＝220，∴5s2乙＝2 000＋(x－120)2＋(x－100)2，令x－120＝t，∵90＜x＜130，∴－30＜t＜10，∴5s2乙＝2 000＋t2＋(t＋20)2，∴5s2乙－5s2甲＝2t2＋40t－600＝2(t＋30)(t－10)＜0，∴s2乙＜s2甲，∴乙类品牌车CO2排放量的稳定性好．(12分)20．(本小题满分12分)某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了长期的调查，得到的统计数据如下表所示：(1)如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到主动参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)请问学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．附χ2对照表：解析：(1)设“抽到主动参加班级工作的学生”的概率为P 1，则P 1＝2450＝1225.(3分)设“抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生”的概率为P 2，则P 2＝1950.(6分)(2)由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得χ2＝50×(18×19－6×7)224×26×25×25≈11.538＞10.828，所以，我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关．(12分)21．(本小题满分12分)某年某省有23万多文科考生参加高考，除去成绩为670分(含670分)以上的6人与成绩为350分(不含350分)以下的38 390人，还有约19.4万文科考生的成绩集中在[360,670)内，其成绩的频率分布如下表所示：(2)考生A 填报志愿后，得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿．若该志愿计划录取2人，并在同分数考生中随机录取，求考生A 被该志愿录取的概率．(参考数据：650×0.007＋610×0.061＋570×0.154＋530×0.193＋490×0.183＋450×0.161＋410×0.133＋370×0.108＝488.44)解析：(1)由所给的数据估计该年该省文科考生成绩在[350,670)内的平均分为650×0.007＋610×0.061＋570×0.154＋530×0.193＋490×0.183＋450×0.161＋410×0.133＋370×0.108＝488.44≈488.4.(6分)(2)设另外4名考生分别为b，c，d，e，则基本事件有：(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，考生A被录取的事件有(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，共4种，所以考生A被录取的概率是P＝410＝0.4.(12分)22．(本小题满分12分)某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；(2)从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个低于12.8秒的概率；(3)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．解析：(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图：或频率分布直方图如下：甲乙从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．(6分)(2)设事件A为：甲的成绩低于12.8秒，事件B为：乙的成绩低于12.8秒，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：1－610×610＝1625.(8分)(3)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x－y|＜0.8，得x－0.8＜y＜0.8＋x，如图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，则P(|x－y|＜0.8)＝P(x－0.8＜y＜0.8＋x)＝4.163×3＝104225.(12分)。
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮开卷速查：5-6正弦定理和余弦定理
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(25) 正弦定理和余弦定理一、选择题1．[2013·北京]在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B 等于( ) A.15 B.59 C.53 D ．1解析：根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b a sin A ＝53×13＝59，故选B 项．答案：B2．[2013·山东]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2D ．1解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：1sin A ＝3sin B ， 又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A ， ∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴c ＝ 12＋(3)2＝2.答案：B3．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为12，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3C.3＋33D ．2＋ 3解析：∵12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.答案：C4．[2013·天津]在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5，即得AC ＝ 5.由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即522＝3sin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝31010.答案：C5．[2013·辽宁]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：根据正弦定理：a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a ＞b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项． 答案：A6．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：依题意由正弦定理得sin C ＝3sin A ，又B ＝30°，∴sin C ＝3sin(150°－C )＝32cos C ＋32sin C ，即－12sin C ＝32cos C ，∴tan C ＝－3，又0°＜C ＜180°，因此C ＝120°.答案：A7．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则∠B 等于( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4解析：针对a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B 利用正弦定理边角互化可得 a 2＋c 2－2ac ＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，∴B ＝π4. 答案：B8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.答案：A9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：因为a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可得a ＝c ＋2，b ＝c ＋1①.又因为3b ＝20a cos A ，由余弦定理可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ②，联立①②，化简可得7c 2－13c －60＝0，解得c ＝4或c ＝－157(舍去)，则a ＝6，b ＝5.又由正弦定理可得，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.故选D.答案：D10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c 等于( )A.135 B.125 C ．3D.134解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(c ＋b )(c －b )2ac，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴3＋4(c －b )23c ＝32，即3＋4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.∴选A.答案：A 二、填空题11．[2014·石家庄质检一]在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C 的大小为__________．解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. 答案：2π312．在△ABC 中，∠B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为__________．解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin120°＝12×5×3×32＝1534.答案：153413．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝__________.解析：∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝120°.答案：120°14．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝__________.解析：因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145.答案：145 三、解答题15．[2013·课标全国Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解析：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C . 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ， 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 答案：(1)π4；(2)2＋1.16．[2013·江西]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12， 有b 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋14. 又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1. 答案：(1)π3；(2)12≤b ＜1.创新试题 教师备选教学积累 资源共享教师用书独具1．[2013·山东]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解析：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.2．[2013·浙江]在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解析：(1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得 b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733. 3．[2013·北京]在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)∵a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， ∴在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A . ∴2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，∴sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又∵∠B ＝2∠A ，∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. ∴c ＝a sin C sin A ＝5.4．[2013·天津]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3的值． 解析：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318. 5．[2013·四川]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解析：(1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0＜A ＜π，得sin A ＝45， 由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，a 2由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.6．[2013·重庆]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 解析：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22，故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.①因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，2因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。
2015届高考数学(理)一轮复习精选例题4简单的三角恒等变换Word版含解析
一、选择题1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0. cos θ＝cos2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角． 答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725 C.1225 D ．－1825 解析：∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝35. ∴cos 4α＝2cos 22α－1＝2×(35)2－1＝－725. 答案：B3．若－2π<α<－3π2，则 1－cos α－π2的值是( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α2 D ．－cos α2 解析： 1－cos α－π2＝ 1－cos π－α2＝ 1＋cos α2＝|cos α2|， ∵－2π<α<－3π2，∴－π<α2<－3π4， ∴cos α2<0，∴|cos α2|＝－cos α2. 答案：D4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( ) A.35B.45 C ．±35 D ．±45解析：∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角． ∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35. 答案：C5．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a 2 B ．－ 1－a 2 C. 1＋a 2 D ．－ 1＋a 2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a 2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12B.12 C ． 2 D ．－2解析：∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35. ∴tan α＝34. 由tan α＝34＝2tan α21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3. 又∵π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z. 当k ＝2n (n ∈Z)时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π，α2在第二象限； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，α2在第四象限． ∴tan α2＝－3.∴1＋tan α21－tan α2＝1－31－－＝－12. 答案：A二、填空题7．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________. 解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38. 答案：388． sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B ＝2sin B cos B 2cos 2B＝tan B ＝－3. ∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34. 答案：349．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________. 解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限的角，∴cos α2<0. ∵tan α＝－43， ∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－55 三、解答题10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x ) 解：原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π6－π4＋x ) ＝22cos(x －π12)． 11．求3tan 10°＋1210°－的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10° ＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10° ＝2sin 40°sin 20°cos 20° ＝2sin 40°12sin 40°＝4. 12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值；(2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)因为f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x )＝2sin(2x ＋π6)－1， 所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值1.(2)法一：由(1)及f (x )＝0得sin(2x ＋π6)＝12， 所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ， 即x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z. 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}． 法二：由f (x )＝0得23sin x cos x ＝2sin 2x ，于是sin x ＝0或3cos x ＝sin x 即tan x ＝ 3.由sin x ＝0可知x ＝k π；由tan x ＝3可知x ＝k π＋π3. 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}。
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮阶段考查6 解析几何
阶段考查(六)考查范围：解析几何 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，a 的值是( )A ．1B ．2C . 2D ．0解析：方程可化为x a ＋y 1a ＝1，因为a ＞0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时等号成立．答案：A2．若过点A(4，sin α)和B(5，cos α)的直线与直线x －y ＋c ＝0平行，则|AB|的值为( )A ．6B . 2C ．2D ．2 2解析：由题知sin α－cos α4－5＝1，得cos α－sin α＝1，则|AB|＝1＋(sin α－cos α)2＝ 2. 答案：B3．一条光线从点A(－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：A(－1,1)关于x 轴的对称点B(－1，－1)，圆心C(2,3)，所以光走过的最短路程为|BC|－1＝4.答案：D4．已知直线l ：x ＋ky －3k ＝0，如果它与双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点，则k 的取值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线经过定点(0,3)，过该点可作双曲线的两条切线，或分别与两条渐近线平行的直线，此时直线l 与双曲线只有一个公共点，故这样的k 值有4个．答案：D5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A .98B .53C .324D .54解析：依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c(其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.答案：B6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能解析：若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA|＋|AF 1|)－(|PB|＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 答案：C7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的 离心率为32，过右焦点F 且斜率为k(k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF→＝3FB →，则k 等于( ) A ．1 B . 2 C . 3D ．2解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∵AF →＝3FB →，∴y 1＝－3y 2， ∵e ＝32，∴设a ＝2t ，c ＝3t ，b ＝ t ， ∴x 2＋4y 2－4t 2＝0.①设直线AB 的方程为x ＝sy ＋3t.代入①式，消去x 整理得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0， ∴y 1＋y 2＝－23st s 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，∴－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，解得s 2＝12，∴k ＝ 2.答案：B8．已知曲线C 1方程为x 2－y 28＝ 1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2方程为(x －3)2＋y 2＝1，斜率为k(k ＞0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，|AB|＝3，则直线AB 的斜率为( )A .33B .12C ．1D . 3解析：如图，由题意可知，C 2为双曲线的右焦点，BA 为圆C 2的切线，于是|AC 2|＝1，|AB|＝3，所以|BC 2|＝2，易知B 为双曲线的右顶点，故可设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，由直线AB 与圆C 2相切得|3k －k|k 2＋1＝1，又k ＞0，所以k ＝33. 答案：A9．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以PF 1→·PF 2→＝10×6×56＝50.答案：C10．已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )A .x 275－y 2100＝1 B .x 2100－y 275＝1 C .x 29－y 216＝1D .x 216－y 29＝1解析：∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314， ∴cos ∠BAC ＝1114，|AC|＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14， sin ∠ACB ＝sin (60°－∠BAC) ＝sin 60°cos ∠BAC －cos 60°sin ∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314，∴|AB|＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6， ∴2a ＝||AC|－|AB||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1. 答案：D11．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2±3B ．2＋ 3C .3±1D .3－1解析：依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又|PQ|＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3.答案：A12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，P 是第一象限C 上的点，Q 为第二象限C 上的点，O 是坐标原点，若 OF →＋OQ →＝OP →，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[2,23)D ．(3，2)解析：由OF→＋OQ →＝OP →得OFPQ 为平行四边形， 所以|PQ|＝|OF|＝c.而|PQ|＞2a(因为P ，Q 不在坐标轴上)，即c ＞2a ，所以e ＝ca ＞2.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝__________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，所以θ＝k π(k ∈Z )．所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z )14．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是__________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－ba ，直线OP 的方程为y ＝－b a x .与椭圆方程联立得x 2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5，故 2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.答案：x 210＋y 25＝115．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽__________米．解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.答案：2 616．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)(由题可知k 存在)，即kx －y ＋2－k ＝0.(4分)∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2， 解得k ＝0或k ＝43.(8分)∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.(10分)18．(本小题满分12分)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解析：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎨⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(6分)(2)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y Ax B －x A＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．(12分)19．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．解析：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(4分)(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a2b 2＋4.(8分)由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4， 即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.(12分)20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解析：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立．(4分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1). ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k ＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0， 即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0， 解得k ＝±1.(8分)(2)∵MA →＝(x 1，y 1－1)，MB →＝(x 2，y 2－1)， ∴MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)，＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . (12分)21．(本小题满分12分)设点P 是曲线C ：x 2＝2py (p ＞0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54.(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k (k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12. 所以曲线C 的方程为x 2＝y .(2分)(2)由题意知直线PQ 的方程为：y ＝k (x －1)＋1，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋1，y ＝x 2，消去y 得 x 2－kx ＋k －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝k －1，则Q (k －1，(k －1)2)． 所以直线QN 的方程为 y －(k －1)2＝－1k (x －k ＋1)，代入曲线y ＝x 2中，得x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0，解得x 3＝k －1，x 4＝1－1k －k ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2. 所以直线MN 的斜率k MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k . (8分)又易知过点N 的切线的斜率k ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k . 由题意有－⎝⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k . 解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52满足题意．(12分)22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k P A .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ→＝λOA →，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P ，使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S△P AM？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点，则由k OP ＋k OA ＝k P A得y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)． (4分)(2)设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，M (x 0，y 0)，由PQ →＝λOA →可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0， 即x 2＋x 1＝－1，由O ，M ，P 三点共线可知， OM →＝(x 0，y 0)与OP →＝(x 1，x 21)共线， ∴x 0x 21－x 1y 0＝0.(8分)由(1)知x 1≠0，故y 0＝x 0x 1，同理，由AM →＝(x 0＋1，y 0－1)与AQ →＝(x 2＋1，x 22－1)共线可知，(x 0＋1)(x 22－1)－(x 2＋1)(y 0－1)＝0，即(x 2＋1)[(x 0＋1)·(x 2－1)－(y 0－1)]＝0， 由(1)知x 2≠－1，故(x 0＋1)(x 2－1)－(y 0－1)＝0， 将y 0＝x 0x 1，x 2＝－1－x 1代入上式得 (x 0＋1)(－2－x 1)－(x 0x 1－1)＝0， 整理得－2x 0(x 1＋1)＝x 1＋1， 由x 1≠－1得x 0＝－12，由S △PQA ＝2S △P AM ，得到|QA |＝2|AM |. (10分) ∵PQ ∥OA ，∴|OP |＝2|OM |，∴PO→＝2OM →， ∴x 1＝1，∴P 的坐标为(1,1)．(12分)。
2015高考数学(人教A版)一轮课件：4 5简单的三角恒等变换
题型三 三角变换的简单应用
【例 3】 (2014·安徽合肥一模)设函数 f(x)＝ 22cos(2x＋π4) ＋sin2x.
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g(x＋π2)＝g(x)，且当 x∈[0， π2]时，g(x)＝12－f(x)，求 g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
由于对任意 x∈R，g(x＋π2)＝g(x)，从而 g(x)＝g(x＋2π)＝12sin[2(x＋π2)] ＝12sin(π＋2x)＝－12sin 2x.
②当 x∈[－π，－π2)时，x＋π∈[0，π2)，从而 g(x)＝g(x＋π)＝12sin[2(x＋π)]＝12sin 2x. 综合①②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为
(2)由(1)知，f(α)＝ 22cos(α＋π4)＝3102， 所以 cos(α＋π4)＝35. 所以 sin2α＝－cos(2π＋2α) ＝－cos2(α＋π4)＝1－2cos2(α＋4π) ＝1－285＝275.
使用公式时不注意使用条件
【例 1】 若 sinα＝m，α 为第二象限角，则 tan2α 的值为( )
(1)C
10 (2)13
1－11232＝153，
[方法·规律] 1.本题(2)求解时，也可将 cos(π4－α)，sin(π4＋α) 展开化简最终转化为求 cosα－sinα 的值．
2．三角函数的“给式(值)求值”的关键是找出已知式与未 知式的关系，将所给一个或几个三角函数式经过变形，转化成所 求函数式能使用的形式，或者将所求函数式经过变形后再用条件 达到求值的目的．
sin2 cos2
＝cos2α2α－sinα2α2·csoinsαα sin2·cos2
＝2scionαsα·csoinsαα＝2.
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第三篇三角函数、解三角形第3讲Word版含解析
第3讲 三角函数的图象与性质基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x ，即函数为最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．(2014·南昌联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π9 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析 依题意得，2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x ＋π6＝k π＋π2，解得x ＝k π3＋π9，当k ＝0时，x ＝π9. 因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9. 答案 A3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )． A ．0B ．π6C ．π4 D ．π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B4．(2014·济南调研)已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )．A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4解析 由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C. 答案 C5．(2014·三明模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )．A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 知，函数图象关于x ＝π6对称，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值． 答案 B 二、填空题6．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z )7．函数y ＝sin x ＋1sin x (0＜x ＜π)的最小值为________．解析 令sin x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]．又y ＝1＋1t 在t ∈(0,1]上是减函数，所以当t ＝1时，y 取得最小值2. 答案 28．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是______．解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3三、解答题9．(2013·潮州二模)已知函数f (x )＝3(sin 2 x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求f (x )的单调递增区间．解 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2 x )－2sin x cos x ＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π，当y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减时，f (x )单调递增．∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3. 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.10．(1)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜x ＜π6的值域；(2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域． 解 (1)∵－π6＜x ＜π6，∴0＜2x ＋π3＜2π3， ∴0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为(0,2]．(2)y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋222－1，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1，∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·安徽师大附中模拟)设ω＞0，m ＞0，若函数f (x )＝m sin ωx 2cos ωx2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是 ( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝m sin ωx 2cos ωx 2＝12m sin ωx ，若函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，即ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.答案 B2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )．A ．23 B ．32 C ．2D ．3解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32. 答案 B 二、填空题3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0； ⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤ 三、解答题4．(2013·荆门调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
新教材高中数学基础练55简单的三角恒等变换一含解析新人教A版必修第一册
简单的三角恒等变换(一)(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin 2α＝13 ，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝( ) A ．－13 B ．－23 C ．13 D ．23【解析】选D.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22 ＝1＋sin 2α2 ＝23 .2．已知α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2【解析】选D.因为α∈(π，2π)，所以α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ，所以1－cos （π＋α）2＝1＋cos α2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝－cos α2 .3．在△ABC 中，若cos A ＝13 ，则sin 2B ＋C 2 ＋cos2A ＝( )A ．－19B ．19C ．－13D ．13【解析】选A.sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos （B ＋C ）2＋2cos 2A －1＝1＋cos A2＋2cos 2A －1＝－19. 4．化简2＋cos2－sin 21 的结果是( ) A ．－cos1 B ．cos 1 C ．3 cos 1D ．－3 cos 1【解析】选C.原式＝2＋1－2sin 21－sin 21 ＝3－3sin 21 ＝3（1－sin 21） ＝3cos 21 ＝3 cos1. 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 ，sin 2θ＝378 ，则sin θ＝ ( ) A ．35 B ．45 C ．74 D ．34【解析】选D.方法一：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ，cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos 2θ2 ＝34. 方法二：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 及sin 2θ＝378 可得sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ ＝1＋378＝16＋6716＝9＋67＋716 ＝74 ＋34， 而当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 时sin θ>cos θ，结合选项即可得sin θ＝34 ，cos θ＝74.【补偿训练】已知sin(α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝45 ，且β是第三象限角，则cos β2 的值等于( ) A ．±55 B ．±255 C ．－55 D ．－255【解析】选A.由已知得sin [(α－β)－α]＝sin (－β)＝45 ，得sin β＝－45 .因为β是第三象限角，所以cos β＝－35 ，β2 是第二、四象限角，所以cos β2＝±1＋cos β2 ＝±15 ＝±55. 6．(多选题)若函数f (x )＝1＋cos 2x (x ∈R )，则关于f (x )的下列叙述正确的是( ) A ．最大值为1 B ．最小值为0 C ．偶函数D ．最小正周期为π【解析】选B 、C 、D.函数f (x )＝1＋cos 2x ＝2 |cos x |.所以函数的最大值为2 ，最小值为0，是最小正周期为π的偶函数． 二、填空题(每小题5分，共10分) 7．求值sin π8＝________．【解析】sin π8＝1－cosπ42 ＝1－222 ＝2－22.答案：2－228．计算sin π12 ·cos 5π12 ＝________．【解析】方法一：sin π12 ·cos 512 π＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋512π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－512π ＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32 ＝12－34 ＝2－34 .方法二：sin π12 ·cos 5π12 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12 ·cos 5π12 ＝cos 5π12 ·cos 5π12 ＝cos 25π12 ＝1＋cos 5π62 ＝1－cos π62 ＝1－322 ＝12 －34 ＝2－34 . 答案：2－34三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知tanα＋β2＝62，tan αtan β＝137，求cos (α－β)的值．【解析】因为tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β ＝cos （α－β）－cos （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β） ＝137 ，所以cos (α－β)＝－103 cos (α＋β).又tan α＋β2 ＝62 ，所以cos (α＋β)＝1－tan2α＋β21＋tan 2α＋β2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫6221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622 ＝－15 ，从而cos(α－β)＝－103 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15 ＝23.10．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3 cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 .(1)求函数f (x )的值域．(2)若不等式|f (x )－m |<2恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由题意知，f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3 cos2x ＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3 cos 2x＝1＋sin 2x －3 cos 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 ，得2x －π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 ，由于函数g (t )＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 上递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 上递减，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝12 <g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝32 ，所以g (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 ，所以f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 ∈[2，3]，所以函数f (x )的值域为[2，3].(2)不等式|f (x )－m |<2恒成立，即f (x )－2<m <f (x )＋2恒成立，所以[f (x )－2]max <m <[f (x )＋2]min ，所以1<m <4，即实数m 的取值范围是(1，4).(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若sin (π－α)＝－53 且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2 等于( )A ．－63 B ．－66 C ．66 D ．63【解析】选B.由题意知sin α＝－53 ，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2 ，所以cos α＝－23.因为α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2 ＝cos α2 ＝－1＋cos α2 ＝－66. 2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，且sin αcos α ＝cos β1－sin β ，则( )A ．2α＋β＝π2B ．2α－β＝π2C ．α＋2β＝π2D ．α－2β＝π2【解析】选B.由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β，sin α＝cos (α－β)，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝cos (α－β).因为π2 －α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 ，所以π2 －α＝α－β或π2 －α＋α－β＝0(舍去)，所以2α－β＝π2. 3．设a ＝12 cos7°＋32 sin7°，b ＝2tan19°1－tan 219° ，c ＝1－cos72°2，则有( ) A ．b >a >c B ．a >b >c C ．a >c >b D ．c >b >a【解析】选A.由于a ＝12 cos 7°＋32sin7°＝sin30°cos7°＋cos30°sin7°＝sin37°，b ＝2tan19°1－tan 219° ＝tan38°，c ＝1－cos72°2＝sin36°，根据三角函数的正弦线，余弦线和正切线，得tan38°>sin38°>sin37°>sin36°，所以b >a >c . 4．(多选题)下列叙述正确的是( ) A ．对于任意α，sin α＝1－cos 2α2B ．当α在第一象限时，sin α＝1－cos 2α2 C ．当α在第二象限时，sin α＝1－cos 2α2D ．若sin α＝1－cos 2α2，则α在第一或第二象限 【解析】选B 、C.由cos 2α＝1－2sin 2α，得sin 2α＝1－cos2α2 ，两边开平方，得|sin α| ＝1－cos 2α2， 所以sin α＝±1－cos 2α2， 当α在第一象限、第二象限或α的终边在y 轴非负半轴上时，sin α＝1－cos 2α2； 当α在第三象限、第四象限或α的终边在y 轴非正半轴上时，sin α＝ －1－cos 2α2. 二、填空题(每小题5分，共20分)5．等腰三角形顶角的余弦值为23 ，那么这个三角形的一个底角的余弦值为________．【解析】设等腰三角形的底角为α，顶角为β，则α＝π2 －β2 ，cos β＝23 ，所以cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β2 ＝sin β2 ＝1－cos β2 ＝66. 答案：666．函数y ＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x －sin 2x 的最小正周期为________．【解析】 y ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan 2x1－tan 2x＝tan π4＋tan 2x1－tan π4tan 2x＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ，最小正周期是T ＝π2 .答案：π27．已知cos θ＝－725 ，θ∈(π，2π)，则sin θ2 ＋cos θ2 ＝________.【解析】因为cos θ＝－725 ，θ∈(π，2π)，所以θ为第三象限角，所以sin θ＝－1－cos 2θ ＝－2425，所以θ2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 ，所以sin θ2 ＋cos θ2＞0.再根据⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2 2＝1＋sin θ＝125 ，可得sin θ2 ＋cos θ2 ＝15.答案：158．已知sin α＝12 ＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________．【解析】由sin α＝12 ＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ， 得sin α－cos α＝12.又因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以(sin α＋cos α)2＝2－(sin α－cos α)2＝74 ，所以sin α＋cos α＝72 .所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α） ＝－2 (cos α＋sin α)＝－142 . 答案：－142三、解答题(共30分)9．(10分)化简：sin 50°(1＋3 tan 10°). 【解析】原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·co s 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°·2（sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°）cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10° ＝2cos 40°sin 40°cos 10°＝sin 80°cos 10° ＝cos 10°cos 10°＝1. 10．(10分)若角θ的终边在第三象限，且tan 2θ＝－22 ，求sin 2θ－sin(3π＋θ)cos (π＋θ)－2 cos 2θ.【解题指南】由条件利用二倍角的正切公式求得tan θ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解析】角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ ＝－22 ， 所以tan θ＝2 或tan θ＝－22(舍去). 则sin 2θ－sin(3π＋θ)cos (π＋θ)－2 cos 2θ＝sin 2θ－sin θcos θ－2 cos 2θ ＝sin 2θ－sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ－tan θ－2tan 2θ＋1 ＝2－2－22＋1 ＝2－223.11．(10分)已知f (x )＝3 cos 2x 2 －sin x 2 cos x 2 －32.(1)求f (x )图象的对称轴方程；(2)若存在x 0∈[0，π]，使f (x 0)≤t ＋2，求实数t 的取值范围．【解析】(1)f (x )＝3 cos 2x 2 －sin x 2 cos x 2 －32＝32 cos x －12 sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ，令x ＋π6 ＝k π，得x ＝－π6 ＋k π，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝－π6＋k π，k ∈Z .(2)若存在x 0∈[0，π]，使f (x 0)≤t ＋2， 则f (x )min ≤t ＋2，由x ∈[0，π]得x ＋π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6 ，根据余弦函数的性质可得，当x ＋π6 ＝π，即x ＝5π6 时，函数取得最小值－1，所以－1≤t ＋2，故t ≥－3.。
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练：5-3三角函数的图像与性质
考题调研 成功体验最有价值 备考训练1．[2013·天津]函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．0解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值－22.答案：B2．[2013·江西]函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为__________． 解析：∵y ＝sin2x ＋3(1－cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝2π2＝π.答案：π3．[2013·课标全国Ⅰ]设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ， 令cos α＝15，sin α＝－25，则f (x )＝5sin(α＋x )， 当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－25＝－255. 答案：－2554．[2013·安徽]已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 答案：(1)1；(2)f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上是减函数．5．[2013·天津]已知函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)f (x )＝－2sin2x ·cos π4－2cos2x ·sin π4＋3sin2x －cos2x ＝2sin2x－2cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2上是减函数，又f (0)＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.答案：(1)π；(2)最大值为22，最小值－2.。
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练：6-3平面向量的数量积及应用]
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考题调研 成功体验最有价值 备考训练1．[2013·福建]在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →(－4,2)，则该四边形的面积为( )A.5 B ．25 C ．5 D ．10解析：∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →.又|AC →|＝1＋22＝5，|BD →|＝(－4)2＋22＝16＋4＝25，S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝5.答案：C2．[2013·湖南]已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |＝x 2＋y 2可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO ＝2－1，P ′O ＝2＋1，故选A 项．答案：A3．[2013·浙江]设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC解析：设PB→＝tAB →(0≤t ≤1)， ∴PC→＝PB →＋BC →＝tAB →＋BC →，∴PB →·PC →＝(tAB →)·(tAB →＋BC →)＝t 2AB →2＋tAB →·BC →. 由题意PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →， 即t 2AB →2＋tAB →·BC →≥14AB →⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142AB →2＋14AB →·BC →， 即当t ＝14时PB →·PC →取得最小值． 由二次函数的性质可知：－AB →·BC →2AB →2＝14，即：－AB →·BC →＝12AB →2， ∴AB →·⎝⎛⎭⎪⎫12AB →＋BC →＝0. 取AB 中点M ，则12AB →＋BC →＝MB →＋BC →＝MC →， ∴AB →·MC→＝0，即AB ⊥MC .∴AC ＝BC .故选D 项． 答案：D4．[2013·北京]已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．解析：AP→＝λAB →＋μAC →，AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)． 设P (x ，y )，则AP→＝(x －1，y ＋1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，得⎩⎨⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，如图．可得A 1(3,0)，B 1(4,2)，C 1(6,3)， |A 1B 1|＝(4－3)2＋22＝5，两直线距离d ＝|9－6|22＋1＝35，∴S ＝|A 1B 1|·d ＝3. 答案：35．[2013·天津]在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE→＝1，则AB 的长为________.解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(－12AB →＋AD →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，所以线段AB 的长为12. 答案：12。
2015状元之路新课标a版数学文科详解答案2
2015状元之路新课标a版数学文科详解答案
2
在2015年的高考中，许多学生为了实现自己的状元梦想，都在寻找各
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